<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TRƯỜNG THCS LIÊN MẠC</b>

--- <b>ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT NĂM HỌC 2012-2013</b>Mơn thi: Tốn
Thời gian: 120 phút (không kể giao đề)

Ngày thi: 11 tháng 3 năm 2012

<i>---( thi gm cú 1 trang)</i>

<b>Câu I:(1,5 điểm) Cho biểu thøc A = </b>

x 2 2

x 1
x 1  x 1   _.
1) Nêu điều kiện xác nh v rỳt gn biu thc A.

2) Tính giá trị cđa biĨu thøc A khi x = 9.

3) Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B
= A(x-1).

<b>C©u II: (3 ®iĨm)</b>

1) Cho hai đờng thẳng (d) và (d’) có phơng trình lần lợt là:
(d): y = ax + a – 1 (với a là tham số)

(d’): y = x + 1

a) Tìm các giá trị của a để hàm số y = ax + a – 1 đồng biến, nghịch biến.

b) Tìm giá trị của a để d // d; d d.

2) Cho phơng trình bậc hai sau, víi tham sè m :
x2_{- (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)}

a) Giải phơng tr×nh (1) khi m = 2.

b) Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm ca phng trỡnh (1).

3) Cho hệ phơng trình, với tham sè a:

ax y 3
x y 6

 




 



a) Gi¶i hệ phơng trình khi a = 2;

b) Tỡm cỏc giỏ trị của a để hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất.

<b>Câu III: (1 điểm)</b> Hai ngời cùng làm chung một cơng việc thì sau 4 giờ 30 phút họ
làm xong cơng việc. Nếu một mình ngời thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình ngời thứ
hai làm trong 3 giờ thì cả hai ngời làm đợc 75% cơng việc. Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình

thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi ngời là khơng thay
đổi).

<b>C©u IV: (3,5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC. </b>
Đ-ờng tròn đĐ-ờng kính CM cắt BC ở điểm thứ hai là N. BM kéo dài gặp đĐ-ờng tròn tại D.

1) Chứng minh 4 điểm B, A, D, C nằm trên một dờng tròn.
2) Chøng minh MN.BC = AB.MC

3) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M của đờng trịn đờng kính MC đi qua tâm của đờng tròn
ngoại tiếp tứ giác BADC.

<b>Câu V:(1 điểm)</b>

Chứng minh <i>a</i>3 <i>b</i>3<i>ab a b</i>(  ) với mọi <i>a b</i>, 0. Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất

đẳng thức 3 3 3 3 3 3

1 1 1

1

1 1 1

<i>a</i> <i>b</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>c</i> <i>a</i>   _{với mọi}<i>_a</i>_,<i>_b</i>_,<i>_c</i>_{là các số dương thỏa mãn}

1
<i>abc</i> _.

-- Hết

----HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9

Câu I:

a) ĐKXĐ: <i>x ≥</i>0<i>; x ≠</i>1 . 0,25 điểm

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ta có: A = √<i>x</i>

√<i>x −</i>1<i>−</i>
2

√<i>x</i>+1<i>−</i>

2

<i>x −</i>1

= √<i>x</i>(√<i>x</i>+1)

(√<i>x −</i>1)(√<i>x</i>+1)<i>−</i>

2(_√<i>x −</i>1)
(√<i>x</i>+1)(√<i>x −</i>1)<i>−</i>

2

(√<i>x −</i>1)(√<i>x</i>+1) =

(<i>x</i>+_√<i>x</i>)<i>−</i>2(_√<i>x −</i>1)<i>−</i>2
(√<i>x −</i>1)(√<i>x</i>+1)

= <i>x</i>+√<i>x −</i>2√<i>x</i>+2<i>−</i>2

(√<i>x −</i>1)(√<i>x</i>+1) =

<i>x −</i>√<i>x</i>

(√<i>x −</i>1)(√<i>x</i>+1) =

√<i>x</i>(_√<i>x −</i>1)
(√<i>x −</i>1)(√<i>x</i>+1) =

√<i>x</i>

√<i>x</i>+1 0,75 điểm

b) Thay x = 9 vào biểu thức rút gọn của A ta được: A = √9

√9+1=

3
3+1=

3
4

<i>Vậy khi x = 9 thì A = </i> 3₄ 0,25 điểm
c) Ta có: B = A. (<i>x −</i>1)

¿ √<i>x</i>

√<i>x</i>+1(<i>x −</i>1) ¿√<i>x</i>(√<i>x −</i>1) ¿<i>x −</i>√<i>x</i>

√<i>x</i>¿2<i>−</i>2 .√<i>x</i>.1
2+

(

1
2

)

2
<i>−</i>1
4
¿ ¿
√<i>x −</i>1

2¿
2

+

(

<i>−</i>1

4

)

¿ ¿

Vì: √<i>x −</i>12¿
2<i>_≥</i>₀

¿

Với mọi giá trị của x 0 và x 1

<i>⇒</i> √<i>x −</i>1₂¿2+

(

<i>−</i>1₄

)

<i>≥</i>

(

<i>−</i>1₄

)

¿

Với mọi giá trị của x ₀ và x ₁ .
Dấu bằng xãy ra khi √<i>x −</i>12¿

2

=0<i>⇔</i>_√<i>x −</i>1

2=0<i>⇔x</i>=
1
4
¿

<i>Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là </i>

(

<i>−</i>1

4

)

<i> đạt được khi </i> <i>x</i>=
1

4 <i>. </i>0,25 điểm

C©u II:

1)y = ax + a – 1 đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0; 0,25 điểm

b) d // d’ khi

a 1 a 1

a 1

a 1 1 a 2

 

 

  

 

  

  _0,5_điểm

d  d’ khi a.1 = -1  a = -1. 0,25 điểm
2) a) Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành: x2 – 3x + 2 = 0

pt có hai nghiệm là x1 = 1 v à x2 = 2. 0,5 điểm

b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trình (1). Thay x = - 2 vào phương trình (1) ta
được: <i>−</i>2¿2<i>−</i>(<i>m</i>+1).(<i>−</i>2)+2<i>m −</i>2=0

¿

<i>⇔</i>4+2<i>m</i>+2+2<i>m−</i>2=0 <i>⇔</i>4<i>m</i>+4=0 <i>⇔</i>4<i>m</i>=<i>−</i>4 <i>⇔m</i>=<i>−</i>1 ./

<i>Vậy với m = -1 thì phương trình(1) có một nghim l x = -2.</i> 0,5 im

3)a) Giải hệ phơng tr×nh:

2x y 3
x y 6

 




 



3x 9 x 3

x y 6 y 3

 

 

 _  _

  

  _0,5_điểm

b) Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình:

ax y 3
x y 6

 




 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

ax y 3
x y 6

 




 



(a 1)x 9(*)
x y 6

 


 

 

 _{Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất khi phơng trình (*) cã}

nghiÖm duy nhÊt, khi a+1 0  a1. 0,5 điểm

Câu III. Đổi: 4 giờ 30 phút = 9₂ giờ.

Gọi x(h) là thời gian để người thứ nhất làm một mình xong cơng việc (ĐK: x > 9₂ )

Gọi y(h) là thời gian để người thứ hai làm một mình xong cơng việc (ĐK: y > 9₂ )
0,25 điểm

Khi đó: Mỗi giờ người thứ nhất làm được 1<i>_x</i> (công việc)
Mỗi giờ người thứ hai làm được 1<i>_y</i> (công việc)
Mỗi giờ cả hai người làm được 2₉ (công việc)
Trong 4 giờ người thứ nhất làm được 4<i>_x</i> (công việc)
Trong 3 giờ người thứ hai làm được 3<i>_y</i> (công việc)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

¿

1

<i>x</i>+

1

<i>y</i>=

2
9
4

<i>x</i>+

3

<i>y</i>=

75
100=

3
4

¿{
¿

(*) 0,5 điểm

Đặt 1<i>_x</i> = a và 1<i>_y</i> = b. Khi đó hệ phương trình (*) trở thành

¿

<i>a</i>+<i>b</i>=2

9

4<i>a</i>+3<i>b</i>=3

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>⇔</i>

9<i>a</i>+9<i>b</i>=2

16<i>a</i>+12<i>b</i>=3

<i>⇔</i>

¿<i>a</i>= 1

12

<i>b</i>= 5

36

<i>⇔</i>

¿1

<i>x</i>=

1
12

1

<i>y</i>=

5
36

<i>⇔</i>

¿<i>x</i>=12

<i>y</i>=36

5

¿{

(TM)
(TM)

<i>Vậy: Người thứ nhất làm một mình xong cơng việc sau 12 giờ.</i> 0,25 điểm

<i> Người thứ hai làm một mình xong công việc sau </i> 36₅ <i> giờ, hay 7 giờ 12</i>

C©u IV

Vẽ hình đúng 0,5 điểm

1) Hai điểm A và D nhìn đoạn BC dới cùng một góc vng
nên ABCD là tứ giác nội tiếp đờng trịn đờng kính BC

Hay 4 điểm B, A, D, C nằm trên một đờng tròn. 1 điểm
2) Xét hai tam giác NMC và ABC có:

  

C chung; MNC BAC _{(cïng b»ng 90}0₎

nªn NMC ABC (g-g)
suy ra

MN MC

AB BC  _{MN.BC = AB.MC} _{1 ®iĨm}

3) Gọi O’ là tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD ta có O’ là trung điểm BC
Kẻ tiếp tuyến của (O) tại M là Mx ta có Mx// AB (cùng vng góc với AC).
M là trung điểm của AC nên Mx phải đi qua trung điểm (O’) của BC.

Vậy tiếp tuyến tại M của đờng trịn đờng kính MC đi qua tâm O’ của đờng trũn ngoi tip t

giác BADC. 1 điểm

Câu V:

3 3 ₍ ₎ 2₍ ₎ 2₍ _{) 0}

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab a b</i>  <i>a a b</i> <i>b b a</i> 

2 2 2

(<i>a b a</i>)( <i>b</i> ) 0 (<i>a b</i>) (<i>a b</i>) 0

        _{, đúng}<i>a b</i>, 0 _{0,5 điểm}

3 3 ₍ ₎ 3 3 ₍ ₎

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab a b</i>  <i>a</i> <i>b</i> <i>abc ab a b</i>  <i>abc</i>

3 3

3 3

1 1

1 ( )

1 ( )

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab a b c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab a b c</i>

       

   

(Do các vế đều dương). Tương tự, cộng lại ta được

3 3 3 3 3 3

1 1 1

1 1 1

<i>a</i> <i>b</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>c</i> <i>a</i> 

o'

o
d

n
m

//
//

c
b

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1 1 1

1

( ) ( ) ( )

<i>ab a b c</i> <i>bc a b c</i> <i>ca a b c</i>

   

</div>

<!--links-->