VEC TO TRONG KHÔNG GIAN
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

ABCD
(THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện
. Hỏi có bao nhiêu
r
0
ABCD
vectơ khác vectơ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện
?
10
8
12
4
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn A
r
0
ABCD
Số vectơ khác vectơ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện
là
A42 = 12

⇒

Câu 2.

số các chỉnh hợp chập 2 của phần tử
số vectơ là
.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
r r r
a, b, c
A. Ba vectơ
đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
r r r
r
a, b, c
0
B. Ba vectơ
đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ .
r r r
a, b, c
C. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.
r r r
r
r
r
a, b, c
a
b
c
D. Cho hai vectơ không cùng phương và và một vectơ trong khơng gian. Khi đó
r

r
r
c = ma + nb
đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho
.
Lời giải
Chọn D
Theo định lý về tính đồng phẳng của ba vectơ chọn D

Câu 3.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
r r r
a b c
A. Nếu giá của ba vectơ , , cắt nhau từng đơi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
r
a b c
0
B. Nếu trong ba vectơ , , có một vectơ thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
a b c
C. Nếu giá của ba vectơ , , cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng
phẳng.
r r r
a b c
D. Nếu trong ba vectơ , , có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Lời giải
Chọn A
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.


Câu 4.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
r r r
r
r
r
a, b, c
m, n
c = ma + nb
A. Ba véctơ
đồng phẳng thì có
với
là các số duy nhất.
1


ur
r
r
r
d = ma + nb + pc

ur
d

B. Ba véctơ không đồng phẳng khi có
với là véctơ bất kì.
C. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.

D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.
Lời giải
Chọn C

Câu 5.

Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.
r r
a, b
Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ
khơng cùng phương.
ur
r
r
r
r r r
ur
d = ma + nb + pc
a, b, c
d
Câu C sai vì
với là véctơ bất kì khơng phải là điều kiện để 3 véctơ
đồng phẳng.
r r r
a, b, c
Cho ba vectơ
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
r r r
r
r

r r
a, b, c
ma + nb + pc = 0
m=n= p=0
A. Nếu
khơng đồng phẳng thì từ
ta suy ra
.
r
r
r r
r r r
2
2
2
ma + nb + pc = 0
m +n + p >0
a, b, c
B. Nếu có
, trong đó
thì
đồng phẳng.
r
r
r r
r r r
ma + nb + pc = 0
a, b, c
m+n+ p ≠ 0
C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn

ta có
thì
đồng
phẳng.
r r r
r r r
a, b, c
a, b, c
D. Nếu giá của
đồng qui thì
đồng phẳng.
Lời giải
Chọn D
Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng
không đồng phẳng.
DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ

Câu 6.

I, J
ABCD. A′B′C ′D′
CD′
AB′
Cho hình hộp
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng
định nào dưới đây là đúng?
uur uuu

r
uuuur uu
r
uur uuur
uuur uuu
r
AI = CJ
D′A′ = IJ
BI = D′J
A′I = JC
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D

2


Câu 7.

ABCD. A ' B ' C ' D '
Cho hình lập phương
. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu

r uuur uuur uuuu
r
uuur uuu
r uuur
AB + AD + AA ' = AC '
AC = AB + AD
A.
.
B.
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB = CD
AB = CD
C.
.
D.
.

Lời giải
Chọn D

uuu
r uuur uuu
uuur
r
AB = CD AB
CD

Mệnh đề sai là:
,
và
là hai Vectơ đối nhau.

Câu 8.

ABCD
(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho hình tứ diện
có trọng tâm
G
. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur r
OG = OA + OB + OC + OD
GA + GB + GC + GD = 0
4
A.
.
B.
.
uuur 2 uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu
r uuur uuur
AG = AB + AC + AD

AG = AB + AC + AD
3
4
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C

(

(

)

(

3

)

)


Có

G

là trọng tâm của tứ diện


ABCD

nên:

uuur
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuu
r uuur uuur r ⇔ AG = 1 AB + AC + AD
GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ 4GA + AB + AC + AD = 0
4

(

Câu 9.

)
.

ABCD
CD
I J
AB
Cho tứ diện
, gọi , lần lượt là trung điểm của

và
; Đẳng thức nào sai?
uu
r 1 uuur uuur
uu
r 1 uuur uuur
IJ = AC + BD
IJ = AD + BC
2
2
A.
. B.
.
uu
r 1 uuur uuur uuur
uu
r 1 uuur uuur
IJ = DC + AD + BD
IJ = AB + CD
2
2
C.
.
D.
.

(

)


(

(

)

)

(

)

Lời giải
Chọn D

uuu
r
uuur uuur
uu
r uu
r uuu
r = − 1 AB + 1 AC + AD
IJ = IA + AJ
2
2

(

Ta có:
r uuur uuur

1 uuu
= AB + CD + 2 BC
2

(

Câu 10.

=

r uuur uuur uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuu
BC + AD = AB + BD + CD + DC + BC
2
2

(

)

(

)
.
uu
r 1 uuur uuur
IJ = AB + CD
2


(

Vậy đẳng thức sai là

)

)
.

ABCD
Cho
tứ
diện
Mệnh
đề nào dưới đây là mệnh
đề
uuur uuu
r uuur u.uu
r
uuu
r đúng?
uuur uuur uuur
BC + AB = DA − DC
AC − AD = BD − BC
A. uuur uuur uuur uuur .
B. uuu
r uuur uuur uuur .
AB − AC = DB − DC
AB − AD = CD + BC
C.

.
D.
.
Lời giải
4

)


Chọn C

Có

uuu
r uuur uuu
r
 AB − AC = CB
r
 uuur uuur uuu
uuu
r uuur uuur uuur
 DB − DC = CB ⇒ AB − AC = DB − DC

.

ABCD. A ' B ' C ' D '
Câu 11. Cho hình hộp
. Chọn đẳng thức vectơ đúng:
uuuu
r uuu

r uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuuur uuur
AC ' = AB + AB ' + AD
DB ' = DA + DD ' + DC
A.
.
B.
.
uuuu
r uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuuur uuur
AC ' = AC + AB + AD
DB = DA + DD ' + DC
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
Theo quy tắc hình hộp ta có

uuuu
r uuur uuuur uuur
DB ' = DA + DD ' + DC

.
ABCD. A′B′C ′D′

Câu 12. Cho hình hộp
. Biểu thức nào sau đây đúng:
uuuur uuuuu
r uuuur
uuuu
r uuu
r uuur uuur
A ' D = A ' B ' + A 'C
AB ' = AB + AA ' + AD
A.
. B.
.
uuuu
r uuu
r uuur uuur
uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
AC ' = AB + AA ' + AD
AD ' = AB + AD + AC '
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn C
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu

r
AB + AA ' + AD = AA ' + AC = AC ′

Câu 13. Cho tứ diện
sai?

ABCD

. Gọi

M,N

.

lần lượt là trung điểm của AD và

5

BC

. Khẳng định nào sau đây


A.

uuu
r uuur uuu
r uuur
AB + CD = CB + AD


.B.
uuur uuuu
r uuu
r uuur
AD + 2 MN = AB + AC
C.
.

uuuu
r uuu
r uuur
2MN = AB + DC

.

uuuu
r uuu
r uuur uuur
2MN = AB + AC + AD

D.
Lời giải

.

Chọn D
Ta có N là trung điểm của BC nên
uuuu
r uuur uuuu
r

2MN = MB + MC

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur
= MA + AB + MA + AC = 2MA + AB + AC = DA + AB + AC = − AD + AB + AC
(Vì M là trung điểm AD).

S . ABCD
ABCD
Câu 14. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?
uur uuu
r uur uuu
r
uur uur uuu
r uuu
r r
SA + SD = SB + SC
SA + SB + SC + SD = 0
A.
. B.
.
uur uuu
r uur uuu
r
uur uur uuu
r uuu

r
SA + SC = SB + SD
SA + SB = SC + SD
C.
. D.
.
Lời giải
Chọn C
Ta có

uur uuu
r uuu
r uuur uur uuu
r uuu
r uuur uur uuu
r
VT = SB + BA + SD + DC = SB + SD + ( BA + DC ) = SB + SD = VP

hành nên

uuu
r uuur r
BA + DC = 0

(Vì ABCD là hình bình

).

ABC. A′B′C ′
Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác

. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường
AB
thẳng
?
uuuu
r
uuuur
uuuur
uuur
A′C
A′C ′
A′B′
A′B
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
uuuur
AB //A′B′ ⇒ A′B′
AB
Ta có
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
S . ABC

G
ABC
Câu 16. Cho hình chóp
, gọi
là trọng tâm tam giác
. Ta có
uur uur uuu
r uuu
r
uur uur uuu
r
uuu
r
SA + SB + SC = SG
SA + SB + SC = 2SG
A.
. B.
.
uur uur uuu
r uuu
r
uur uur uuu
r
uuu
r
SA + SB + SC = 3SG
SA + SB + SC = 4 SG
C.
. D.
.

Lời giải
Chọn C
uur uur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
SA + SB + SC = SG + GA + SG + GB + SG + GC = 3SG
6

.


I, J
ABCD
CD G
IJ
AB
Câu 17. Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
,
là trung điểm của
.
Cho các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
uuu
r uuu

r uuur uuur r
uuu
r uuu
r uuur uuur
ur
GA + GB + GC + GD = 0
GA + GB + GC + GD = 2IJ
A.
.
B.
.
uuu
r uuu
r uuur uuur uu
r
uuu
r uuur uuur uuur
uu
r
GA + GB + GC + GD = JI
GA + GB + GC + GD = −2 JI
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn A
uuu
r uuur uuur uuur

uur uuu
r
uur uuu
r r
GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GJ = 2 GI + GJ = 0

(

)

.

uuur r uuu
r r uuur r uuur ur
AA′ = a, AB = b, AC = c, BC = d

ABCA′B′C ′

Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác
. Đặt
thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.
r r r ur
r r r
r r r ur r
a+b+c = d
a =b+c
a+b+c+d = 0
A.
.
B.

.
C.
.
Lời giải

D.

. Trong các biểu

r r ur
b−c+d = 0

.

Chọn D
r r ur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur r
b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = 0
Ta có:
.
A, B, C , D
O
Câu 19. Trong không gian cho điểm
và bốn điểm
không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
A, B, C , D
để
tạo thành hình bình hành là:
uuu

r uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuur uuu
r uuur
OA + OB + OC + OD = 0
OA + OC = OB + OD
A.
.
B.
.
uuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur
uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur
OA + OB = OC + OD
OA + OC = OB + OD
2
2
2
2
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn B


ABCD. A ' B ' C ' D '

Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật
đây?
uuuuur
uuu
r
D 'C '
BA
A.
.
B.
.

. Khi đó, vectơ bằng vectơ

uuur
CD

C.
Lời giải

Chọn A
7

.

uuu
r

AB

D.

là vectơ nào dưới

uuuuu
r
B ' A'

.


Dễ dàng thấy

uuu
r uuuuur
AB = D ' C '
.

ABCD. A1 B1C1 D1
O
Câu 21. Cho hình lập phương
. Gọi
là tâm của
đúng?
uuur 1 uuu
r uuur uuur
uuur 1
AO = AB + AD + AA1

AO =
3
2
A.
.
B.
uuur 1 uuu
r uuur uuur
uuur 2
AO = AB + AD + AA1
AO =
4
3
C.
.
D.
Lời giải

(

(

hình lập phương. Chọn đẳng thức
uuu
r uuur uuur

)

( AB + AD + AA )


)

uuu
r uuur uuur
AB + AD + AA1

1

(

.

)
.

Chọn B

uuuu
r uuur uuur uuur
AC1 = AB + AD + AA1

.

Theo quy tắc hình hộp:

Mà

uuur 1 uuuu
r
AO = AC1

2

uuur 1 uuu
r uuur uuur
AO = AB + AD + AA1
2

(

nên

)
.

ABCD.EFGH
Câu 22. Cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuur uuuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AD + DH = GC + GF
AD − AB − AE = AG
A.
.
B.
.
uuur uuuu
r uuur uuur
uuur uuu

r uuur uuur
AD − DH = GC − GF
AD + AB + AE = AH
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C

* Ta có

uuur uuur uuur uuur
AD + AB + AE = AG

theo qui tắc đường chéo hình hộp ⇒ Phương án A sai.
8


* Do
* Có

* Có

uuur uuuu
r uuur
r
uuur uuur
AD + DH = AH
 uuur uuuu

uuur uuur uuur uuur ⇒ AD + DH = −(GC + GF )
GC + GF = GB = HA
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
AD − AB − AE = BD − BF = FD

⇒ Phương án C sai.

uuur uuuu
r uuur uuur uuur
r uuur uuur
 AD − DH = AD − AE = ED uuur uuuu
⇒ AD − DH = GC − GF
 uuur uuur uuur uuur
GC − GF = FC = ED

Câu 23. Cho tứ diện

. Vậy D đúng.

ABCD

đẳng thức vectơ:

A.

. Vậy B sai.

G
ABC.

k
. Gọi
là trọng tâm tam giác
Tìm giá trị của thích hợp điền vào
uuur uuur uuur
uuur
DA + DB + DC = k DG

k = 2.

B.

Chọn B
uuur uuur uuur uuur
DA + DB + DC = 3DG

k=

k = 3.

C.
Lời giải

1
2

k=

.


D.

1
3

.

.

ABCD. A1B1C1 D1

Câu 24. Cho hình hộp
với tâm
uuur uuur uuur uuuur
AB + AA1 = AD + DD1
A.
.
uuu
r uuuu
r uuur uuuu
r r
AB + BC1 + CD + D1 A = 0
C.
.

O

. Chọn đẳng thức sai.
uuuu
r uuu

r uuur uuur
AC1 = AB + AD + AA1
B.
.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r
AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1
D.
.
Lời giải

Chọn A
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuu
r
uuur uuuu
r
uuur uuur uuur uuuur
AB + AA1 = AB1 , AD + DD1 = AD1
AB1 ≠ AD1
AB + AA1 = AD + DD1
Ta có
mà
nên
sai.

S . ABCD
O

AC
BD
Câu 25. Cho hình chóp
. Gọi
là giao điểm của
và
. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
ABCD
SA + SB + 2 SC + 2 SD = 6SO
A. Nếu
thì
là hình thang.
uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
ABCD
SA + SB + SC + SD = 4SO
B. Nếu
là hình bình hành thì
.
uur uur uuu
r uuu

r
uuu
r
ABCD
SA + SB + 2 SC + 2 SD = 6SO
C. Nếu
là hình thang thì
.
uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
ABCD
SA + SB + SC + SD = 4SO
D. Nếu
thì
là hình bình hành.
Lời giải
Chọn C
9


A. Đúng vì

uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r

SA + SB + 2SC + 2 SD = 6SO SC ⊥ ( BIH )

O, A, C

BIH
và
thẳng hàng nên đặt
uuur
uuur r
⇒ ( k + 1) OC + ( m + 1) OD = 0
.

Vì

Mà

uuur uuur
OC , OD

không cùng phương nên

.
uuu
r
uuur
uuur
OA = kOC; OB = mOD

k = −2


và

OA OB
=
= 2 ⇒ AB / / CD.
m = −2 ⇒ OC OD

O
B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm
vào vế trái.
AD, BC
ABCD
C. Sai. Vì nếu
là hình thang cân có 2 đáy là
thì sẽ sai.
k = −1, m = −1 ⇒ O
D. Đúng. Tương tự đáp án A với
là trung điểm 2 đường chéo.
uur r uur r uuu
r r
S . ABCD
ABCD
SA = a SB = b SC = c
Câu 26. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đặt
;
;
;
uuu

r r
SD = d
. Khẳng định nào sau đây đúng?
r r r r r
r r r r
r r r r
r r r r
a +b +c +d = 0
a +b = c +d
a +d =b +c
a +c = d +b
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D

Gọi

O

là tâm của hình bình hành

ABCD


. Ta phân tích như sau:
10


uur uuu
r
uuu
r
 SA + SC = 2 SO
r
uuu
r
 uur uuu
 SB + SD = 2 SO

(do tính chất của đường trung tuyến)
uur uuu
r uur uuu
r
r r r r
⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b
.
P, Q
ABCD
CD
AB
Câu 27. Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm của
và

. Chọn khẳng định đúng?
uuur 1 uuur uuur
uuur 1 uuur uuur
PQ = BC + AD
PQ = BC − AD
2
2
A.
. B.
.
uuur 1 uuur uuur
uuur uuur uuur
PQ = BC + AD
PQ = BC + AD
4
C.
.
D.
.
Lời giải

(

)

(

)

(


)

Chọn A
uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
PQ = PB + BC + CQ
PQ = PA + AD + DQ
Ta có:
và

(

nên

Câu 28. Cho tứ diện

)

ABCD

. Gọi

(

M

và


N

)

. Vậy

lần lượt là trung điểm của
uuuu
r
uuur uuur
MN = k AC + BD

(

thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
1
k= .
k = 2.
2
A.
B.

uuur 1 uuur uuur
PQ = BC + AD
2

(

uuur uuu

r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2PQ = PA + PB + BC + AD + CQ + DQ = BC + AD

AB

và

CD

. Tìm giá trị của

)

C.
Lời giải

1
k= .
3

D.

k = 3.

Chọn B
uuuu
r 1 uuuu
r uuuu
r

MN = MC + MD
2

(

Mà

uuur uuur r
MA + MB = 0

)

=

(quy tắc trung điểm)

1 uuur uuur uuur uuur
MA + AC + MB + BD
2

(

)

uuuu
r 1 uuur uuur
⇒ MN = AC + BD
2
M
AB

(vì
là trung điểm
)
.

(

)

ABCD. A1B1C1 D1
Câu 29. Cho hình hộp
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r uuur uuuu
r r
CA1 + AC = CC1
AC1 + CA1 + 2C1C = 0
A.
.
B.
.
uuuu
r uuur uuur
uuuu
r uuur
uuur
AC1 + A1C = AA1
AC1 + A1C = 2 AC

C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
11

)
k


O

+ Gọi

là tâm của hình hộp

ABCD. A1B1C1D1

.

+ Vận dụng cơng thức trung điểm để kiểm tra.
D

C

A

B


O
D1

C1

A1

B1

S . ABCD

ABCD

uur r uur r uuu
r r uuu
r u
r
SA = a, SB = b SC = c, SD = d
là hình bình hành. Đặt
,

Câu 30. Cho hình chóp
có đáy
. Khẳng định nào sau đây đúng?
r r ur r r
r r ur r
a+c+d +b = 0
a+c = d +b
A.

.
B.
.

r r r ur
a+b = c+d

C.
Lời giải

.

D.

Chọn B

S

A

D

B

Gọi

O = AC ∩ BD

. Ta có:


C

r r uur uuu
r
uuu
r
 a + c = SA + SC = 2SO
r uur
uuu
r
 ur r uuu
r r ur r
 d + b = SD + SB = 2SO ⇒ a + c = d + b

.

ABCD
ABC
I
Câu 31. Cho tứ diện
và là trọng tâm tam giác
. Đẳng thức đúng là.
uur
uur uur uuu
r
uur uur uur uuu
r
SI = 3 SA − SB + SC
SI = SA + SB + SC
A.

. B.
.
uur 1 uur 1 uur 1 uuu
r
uur uur uur uuu
r
SI = SA + SB + SC
6SI = SA + SB + SC
3
3
3
C.
.
D.
.

(

)

12

r ur r r
a+d =b+c

.


Lời giải
Chọn C


Vì

I

là trọng tâm tam giác

ABC

nên

uur uur uuu
r
uu
r
uu
r 1 uur 1 uur 1 uuu
r
SA + SB + SC = 3SI ⇔ SI = SA + SB + SC
3
3
3

.

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức
nào đúng?
uuur uuur uuur
uur uuu
r uur uuu

r
AB + AC = AD
SB + SD = SA + SC
A.
.
B.
.
uur uuu
r uur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur r
SA + SD = SB + SC
AB + BC + CD + DA = 0
C.
. D.
.
Lời giải
Chọn D

* Có

uur uur uuu
r
 SA − SB = BA
r uuu
r uuur
uuu
r
 uuu

 SC − SD = DC = − BA

.
uur uuu
r uur uuu
r
uur uur uuu
r uuu
r
SA + SD = SB + SC ⇔ SA − SB = SC − SD

Mà muốn có
⇒ Vơ lí. Vậy A sai.
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r r
AB + BC + CD + DA = AC + CA = 0
* Có
. Vậy B đúng.
uuur uuur uuur
AB + AD = AC
* Theo quy tắc hình bình hành
⇒ Phương án C sai.
uur uuu
r uur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
uuu
r
SB + SD − SA − SC = AB − CD = AB − BA = 2 AB
* Có

. Vậy D sai.
r uuu
r uuur uuur
ABCDEFGH
x = CB + CD + CG
Câu 33. Cho hình lập phương
, thực hiện phép tốn:
r uuu
r
r uuur
r uuur
r uuur
x = CE
x = CH
x = EC
x = GE
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuu
r

CB + CD + CG = CA + CG = CE

.
13


S . ABCD
O
G
Câu 34. Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành tâm
. Gọi
là điểm thỏa mãn:
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur r
GS + GA + GB + GC + GD = 0
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
uuu
r
uuur
G S
GS = 4OG
A. , không thẳng hàng.
B.
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur

GS = 5OG
GS = 3OG
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
S

C

B
O
A
D

uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur r
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur r ⇔ GS
+
4
GO
+
OA
+ OB + OC + OD = 0
GS + GA + GB + GC + GD = 0


(

uuu
r uuur r
uuu
r
uuur
⇔ GS + 4GO = 0 ⇔ GS = 4OG

)

.

ABCD. A′B′C ′D′
k
Câu 35. Cho hình hộp
. Tìm giá trị của
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
uuur uuuur uuuur
uuur
BD − D′D − B′D′ = k BB′
A.

k =4

.

B.


k =1

k =0
C.
.
Lời giải

.

Chọn B

Ta có

uuur uuuur uuuur uuur
BD + DD′ + D′B′ = BB′

Câu 36. Cho hình hộp

nên

ABCD. A1B1C1 D1

k =1

. Chọn đẳng thức sai?
14

D.

k =2


.


A.
C.

uuur uuu
r uuuur uuuur
BC + BA = B1C1 + B1 A1
uuur uuu
r uuur uuuu
r
BC + BA + BB1 = BD1

.

.

B.

uuur uuuur uuuur uuur
AD + D1C1 + D1 A1 = DC

D.
Lời giải

uuu
r uuuur uuuu
r uuur

BA + DD1 + BD1 = BC

.

.

Chọn D

uuu
r uuuur uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur
BA + DD1 + BD1 = BA + BB1 + BD1 = BA1 + BD1 ≠ BC

Ta có:
nên D sai.
uuur uuuur
uuu
r uuuur
uuur uuu
r uuuur uuuur
BC = B1C1
BA = B1 A1
BC + BA = B1C1 + B1 A1
Do
và
nên
. A đúng

uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur
AD + D1C1 + D1 A1 = AD + D1 B1 = A1D1 + D1 B1 = A1B1 = DC
Do
nên
uuur uuuur uuuur uuur
AD + D1C1 + D1 A1 = DC
nên B đúng.
uuur uuu
r uuur uuur uuuur uuuu
r
BC + BA + BB1 = BD + DD1 = BD1
Do
nên C đúng.
M, N

AC
ABCD
BD
I
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
của tứ diện
. Gọi là trung
MN
k
P
điểm đoạn
và
là 1 điểm bất kỳ trong khơng gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào
uur

uuu
r uuu
r uuur uuur
PI = k PA + PB + PC + PD
đẳng thức vectơ:
.
1
1
k=
k=
k =2
k =4
4
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Câu 37. Gọi

(

)


Chọn A
uuu
r uuur
uuuu
r uuu
r uuur
uuur
PA + PC = 2 PM PB + PD = 2 PN
Ta có
,

nên

uuu
r uuu
r uuuuu
r uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r uuur
uur
uur
PA + PB + PC + PD = 2 PM + 2 PN = 2( PM + PN ) = 2.2.PI = 4 PI

15

k=


. Vậy

1
4


r
a

r
b

r
c

r
r r
x = 2a − b

Câu 38. Cho ba vectơ , ,
không đồng phẳng. Xét các vectơ
,
r
r r
z = −3b − 2c
. Chọn khẳng định đúng?
r
r u
r r
x y

x z
A. Hai vectơ , cùng phương.
B. Hai vectơ , cùng phương.
r r
u
r r
r u
y z
x y z
C. Ba vectơ , , đồng phẳng.
D. Hai vectơ , cùng phương.
Lời giải
Chọn A
+ Nhận thấy:

u
r
r
y = −2 x

r
r u
x y
nên hai vectơ , cùng phương.

ABCD. A1B1C1 D1

Câu 39. Cho hình hộp
. Gọi
uuuur uuuu

r uuuur 1 uuuur
C1 M = C1C + C1 D1 + C1 B1
2
A.
.
uuur uuuur uuuur
uuuu
r
BB1 + B1 A1 + B1C1 = 2 B1 D
C.
.

M

AD
là trung điểm
. Chọn đẳng thức đúng.
uuuur uuuu
r 1 uuuur 1 uuuur
C1M = C1C + C1D1 + C1B1
2
2
B.
.
uuuur uuur uuuur uuuur
B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1
D.
.
Lời giải


Chọn A
B

A
M

C

D

A1

B1

D1

C1

uuuur uuur uuuu
r uuur 1 uuu
r uuur uuur 1 uuuur uuuur
B1M = B1 B + BM = BB1 + BA + BD = BB1 + B1 A1 + B1D1
2
2

(

A Sai vì

)


(

uuur 1 uuuur uuuur uuuur uuur uuuur 1 uuuur
= BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1C1 = BB1 + B1 A1 + B1C1
2
2

(

)

.

uuuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r 1 uuu
r uuur uuuu
r 1 uuuur uuuur
C1M = C1C + CM = C1C + CA + CD = C1C + C1 A1 + C1D1
2
2

(

B Đúng vì

)


)

16

(

)

u
r
r
r
y = −4a + 2b

,


uuuu
r 1 uuuur uuuur uuuur uuuu
r uuuur 1 uuuur
= C1C + C1 B1 + C1 D1 + C1 D1 = C1C + C1 D1 + C1B1
2
2

(

)

.


C Sai. theo câu B suy ra.
uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuu
r
BB1 + B1 A1 + B1C1 = BA1 + BC = BD1
D Sai vì
.

ABCD
G
M N
AB CD
Câu 40. Cho tứ diện
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
,
và
là trung điểm của
MN
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
uuuur uuur r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
GM + GN = 0
MA + MB + MC + MD = 4MG
A.
.

B.
.
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC = GD
GA + GB + GC + GD = 0
C.
.D.
.
Lời giải
Chọn C

N G
AB CD MN
, ,
lần lượt là trung điểm của
,
,
theo quy tắc trung điểm:
uuu
r uuu
r
uuuu
r uuur uuur
uuur uuuu
r uuur r
GA + GB = 2GM ; GC + GD = 2GN ; GM + GN = 0

.
uuu
r uuur uuur uuur r
uuu
r uuu
r uuur
uuur
GA + GB + GC + GD = 0
GA + GB + GC = −GD
Suy ra:
hay
.
M

ABCD. A′B′C ′D′
Câu 41. Cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây là sai?
uuur uuur uuur uuuur r
uuur uuuuu
r uuuuur uuur
AC − BA ' + DB + C ' D = 0
BD − D ' D − B ' D ' = BB '
A.
.
B.
.
uuur uuur uuur uuuur r
uuur uuuuu
r uuuur uuuur
AC + BA ' + DB + C ' D = 0

AB + B ' C ' + DD ' = AC '
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B

uuu
r uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur
AB = DC = A′B′ = D′C ′; AD = BC = A′D′ = B′C ′

Theo
hộp:
uuuu
r t/ucuuhình
r uu
uu
r uuuur
A A′ = BB′ = CC ′ = D D′
* Ta có:

uuu
r uuuur uuuur. uuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
AB + B′C ′ + D D′ = AB + AD + A A′ = AC ′

17


;

(qui tắc hình hộp) ⇒ Phương án A đúng.


uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur r uuur uuur
BD − D′D − B′D′ = ( BD − B′D′) − D′D = 0 + BB′ = BB′

⇒ Phương án B đúng.
uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC − BA′ + DB + C ′D = AC − BA′ + C ′B = AC + D′A − BA′
* Ta
có:
uuuur uuur uuur uuur
uuur
= D′C − B′A = A′B + A′B = 2 A′B
⇒ Phương án C sai.
uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC + BA′ + DB + C ′D = AC + BA′ + C ′B = AC + D′A + BA′
* Ta có:
uuuur uuur uuur uuur r
= D′C + B′A = A′B − A′B = 0
⇒ Phương án D đúng.
uuu
r uuu
r uuur uuur r
ABCD

G
GA + GB + GC + GD = 0 G
Câu 42. Cho tứ diện
và điểm
thỏa mãn
( là trọng tâm của tứ
* Ta có:

G0

GA

diện). Gọi
là giao điểm của
và mp
đúng?
uuu
r
uuuur
uuu
r
uuuur
GA = −2G0G
GA = 4G0G
A.
.
B.
.

( BCD )


. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào

uuu
r uuuur
GA = 3G0G

C.
Lời giải

.

D.

uuu
r
uuuur
GA = 2G0G

Chọn C

( BCD ) ⇒ G0
G0
GA
BCD
Theo đề:
là giao điểm của
và mp
là trọng tâm tam giác
.

uuuu
r uuuu
r uuuur r
⇒ G0 A + G0 B + G0C = 0
Ta có:

uuu
r uuur uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0

uuu
r
uuur uuur uuur
uuuur uuuu
r uuuu
r uuuur
uuuur
uuuur
⇒ GA = − GB + GC + GD = − 3GG0 + G0 A + G0 B + G0C = −3GG0 = 3G0G

(

)

(

)

18


.

.


Câu 43. Cho tứ diện đều
sau đây sai?.

ABCD M
N
CD
AB
,
và theo thứ tự là trung điểm của cạnh
và
. Mệnh đề nào
uuuu
r 1 uuur uuur
MN = AD + BC
2
B. uuuu
r uuuu
r uuuu
r .r
MC + MD − 4 MN = 0
D.
.
Lời giải:

(


uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AD + BC
A. uuur uuur uuur uuur .
uuuur
AC + BD + AD + BC = −4 NM
C.
.

)

Đáp án D

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC

(

A. Đúng vì:

) (

)

.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur
uuuu

r uuuu
r uuur
AC + BD = AM + MN + ND + BM + MN + NC

(

B.

Đúng
vì:
uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
= 2 MN + AM + BM + ND + NC = 2MN

(

) (

) (

)

)

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuuur
AC + BD + AD + BC = 2 AN + 2 BN = 2 AN + BN = −2 NA + NB = −4 NM

(

C. Đúng vì:
Vậy D sai
ABCD. A1 B1C1 D1

)

(

)

.

Câu 44. Cho
là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:
uuur uuu
r uuur 1 uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AK = AB + AD + AA1
AK = AB + BC + AA1

2
A.
B.
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
1
1 uuur
uuur uuur uuur uuur
AK
=
AB
+
AD
+
AA1
AK = AB + AD + AA1
2
2
C.
D.

Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur uuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur 1 uuur
AK = AC + CK = ( AB + AD ) + AA1 = AB + AD + AA1
2
2

Có

19


B

A

C

D

K

A1

B1

C1

D1


Chọn A
ABCD. A1B1C1 D1

Câu 45. Cho hình hộp
với
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur 1 uuur
AM = AB + AD + AA1
2
2
2
A.
uuuu
r uuu
r uuur 1 uuur
AM = AB + AD + AA1
2
C.

M = CD1 ∩ C1D

B.

. Khi đó:
uuuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur
AM = AB + AD + AA1

2
2
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur uuur
AM = AB + AD + AA1
2
2

D.
Hướng dẫn giải

uuuu
r uuur uuuur uuur uuuur
r 1 uuur
1 uuur uuuur uuur 1 uuu
AM = AD + DM = AD + DC1 = AD + ( DC + DD1 ) = AD + AB + AA1
2
2
2

Ta có:
Chọn B

ABCD. A1B1C1D1
Câu 46. Chouuuu
khẳng
r uuur
uuur là hìnhuhộp,
uuu

r trong
uuur các
uuu
u
r r định sau khẳng định sai:
AC1 + A1C = 2 AC
AC1 + CA1 + 2CC1 = 0
A. uuuu
B.
r uuur uuur
uuur uuur uuuu
r
AC1 + A1C = AA1
CA1 + AC = CC1
C.
D.
Hướng dẫn giải

A

B

D

C
A1

B1

C1


D1

uuuu
r uuur uuuur uuuu
r uuuur uuuu
r
uuur uuuur
AC1 + A1C = AA1 AC1 = AA1 − AC1 ⇔ A1C = C1 A1

Ta có:
Chọn C

20


P
M

uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC = 0

E

F là
Câu 47. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa
( G là trọng tâmBcủa tứ diện). Gọi O
giaouuđiểm
của

nào sai?
u
r
uuurGA và mặt phẳng
uuu
r (BCD).
uuur Trong các khẳng định sau, khẳng định Q
C
N
GA = −2OG
GA = 4OG
A. uuu
B. uuu
r
uuur
r
uuur
GA = 3OG
GA = 2OG
C.
D.

A

N
G
B
H

O


M

D

C

Hướng dẫn giải
Gọi M, N là trung điểm của BC, AD
⇒
⇒
G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD
NH là đường trung bình của
∆AOD
∆MNH
và OG là đường trung bình của
1
1 1
1
1
⇒ OG = NH = . AO ⇒ OG = NH = . AO
2
2 2
2
4
uuu
r
uuur
hay GA = 3OG
Chọn C

DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC
Câu 48.

Cho hình lập phương

ABCD. A1 B1C1 D1

( Tham khảo hình vẽ bên ).
A1
D
1

B1

B

B1

C1

A

B

C

Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuuu
r uuur uuur
uuuu

r uuur uuur
AC1 = AA1 + AD
AC1 = AA1 + AB
A.
.
B.
.
21

A

A1

D

D


C.

uuuu
r uuur uuur
AC1 = AB + AD

.

D.

uuuu
r uuur uuur uuu

r
AC1 = AA1 + AD + AB

.
Lời giải

Chọn D
A1

D1

C1

B1

B

C1

A
B

Ta có
Câu 49.

A

D1

B1


D

C

uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
AC1 = AA1 + AC = AA1 + AD + AB

ABC. A′B′C ′.

Cho hình lăng trụ
uuuu
r r r r
B′C = a + b − c
A.
.
uuuu
r
r r r
B′C = − a − b + c
.
.
C

B.
D.

uuu
r r uuur r uuur r

AB = a , AA′ = b , AC = c .

Đặt
uuuu
r
r r r
B′C = −a + b − c

uuuu
r
r r r
B′C = − a + b + c

.

Lời giải
Chọn C
uuuur uuuur uuur
B ' C = B ' B + BC
Ta có
uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur
= − BB ' + BA + AC = − BB ' − AB + AC

r r r
= −b − a + c

22


Khẳng định nào sau đây đúng?


uuuu
r
r r r
⇒ B′C = −a − b + c

Câu 50.

hay

Cho lăng trụ tam giác

uuuu
r
r r r
B′C = − a − b + c
ABC. A ' B ' C '.

.

Đặt

uuur r
r uuur r
AA′ = a , AB = b , AC = c

Gọi I là điểm thuộc đường
uuur uuur uuuu

r uuuu
r
C ' I = 3C ' C , G
CC '
GB + GA ' + GB ' + GC ' = 0.
thẳng
sao cho
điểm thỏa mãn
Biểu diễn vectơ
r r r
uur
a, b, c.
IG
qua các vectơ
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
uur 1  1 r
r r
uur 1 r r
r
IG =  a + 2b − 3c ÷
IG = (a + b + 2c )
43

3
A.
.
B.
.
u
u

r
r
uur 1 r r
r
1
1r
r
IG =  b + c − 2a ÷
IG = ( a + c − 2b )
4
3

4
C.
. D.
Lời giải
Chọn A

uuur uuur uuur uuuu
r r
GB + GA′ + GB′ + GC ′ = 0
uur uur uur uuu
r uuu
r
⇔ 4 IG = IB + IA′ + IB′ + IC ′
uur uur uuu
r
uuu
r uuuu
r

uuu
r uuuur uuu
r
⇔ 4 IG = IC + CB + IC ′ + C ′A′ + IC ′ + C ′B′ + IC ′
uur uur uuu
r
uuu
r uuuu
r
⇔ 4 IG = IC + 3IC ′ + 2CB + C ′A′

(
(

) (
) (
)
uur 1 uuuu
r
uuur uuur uuur
⇔ 4 IG = CC ′ + 2 ( AB − AC ) − AC
3

)

uur 1  1 r
r r
⇔ IG =  a + 2b − 3c ÷
43



Câu 51.

ABC. A′B′C ′
G
(Thi thử THPT lần 2-Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho hình lăng trụ
với
là
A′B′C ′
trọnguutâm
của
tam
giác
ur r uuu
r r uuur r .
uuur
AA′ = a, AB = b, AC = c
AG
Đặt
. Khi đó
bằng
r 1 r r
r 1 r r
r 1 r r
r 1 r r
a+ b+c
a+ b+c
a+ b+c
a+ b+c
6

3
2
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải

(

)

(

)

(

Chọn B

23

)

(


)


Do

G

là trọng tâm tam giác

A′B′C ′

uuur 1 uuur uuur uuuu
r
AG = AA′ + AB′ + AC ′
3

(

nên

)

Áp dụng quy tắc hình bình hành trong các hình bình hành

.

ABB′A′, ACC ′A′

có:


uuur 1 uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuu
r 1 uuur r 1 r 1 r
AG = AA′ + AB + AA′ + AC + AA′ = AA′ + AB + AC = a + b + c
3
3
3
3
3
3
3

(

Câu 52.

) (

)

.

x = 1, x = −3.
Cho tam giác
có AB = 2; AC = 5, gọi AD là phân giác trong của góc A (D thuộc
cạnh BC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur 5 uuu
r 2 uuur
uuur 5 uuu
r 2 uuur

AD = AB + AC
AD = AB − AC
7
7
7
7
.
. B.
.
A
uuur −5 uuu
r 2 uuur
uuur
r 2 uuur
5 uuu
AD =
AB + AC
AD = − AB − AC
7
7
7
7
.D.
.
C.

Lời giải
Chọn A
A


C

D
B

AB DB 2
=
= ⇒ 5 DB = 2 DC
AC DC 5

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
.
uuur
uuur
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur 5 uuur 2 uuur
5 BD = 2 DC ⇔ 5 AD − AB = 2 AC − AD ⇔ AD = AC + AC
7
7
Suy ra:
.

(

) (

)


24


ABC. A′B′C ′
Câu 53. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác
,
uuu
r r uuu
r r uuuu
r r
CA = a CB = b CC ′ = c
M
BB′
gọi
là trung điểm cạnh bên
. Đặt
,
,
. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
uuuu
r
uuuu
r r 1r r
uuuu
r
uuuu
r r 1r r
r r 1r
1r r r

AM = −a + b + c
AM = a − b + c
AM = − a + b + c
AM = a + b − c
2
2
2
2
A.
. B.
. C.
.D.
.
Lời giải

uuuu
r 1 uuu
r uuur
r uuu
r uuur uuu
r
r uuur uuu
r
1 uuu
1 uuu
AM = AB + AB ′ = CB − CA + CB ′ − CA = CB + CB ′ − 2CA
2
2
2


(

Ta có:

)

(

)

Theo quy tắc hình bình hành ta lại có:

Câu 54.

)
.

.

uuuu
r 1 uuu
r uuuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
r r 1r
AM = 2CB + CC ′ − 2CA = −CA + CB + CC ′ = − a + b + c

2
2
2

(

Do đó:

uuur uuuu
r uuu
r
CB′ = CC ′ + CB

(

)

.

ABCD
M
P
(THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là
uuu
r r uuur r uuur r
BC
AB = b AC = c AD = d

AD
trung điểm của
và
. Đặt
,
,
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
MP = ( d + b − c )
MP = ( d − b − c )
MP = ( c + d + b )
MP = ( c + b − d )
2
2
2
2
A.
. B.
.C.
. D.
.
Lời giải

25