CD hpt doi xung loai 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (65.23 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
86
<b>Bài 3: </b>
<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 </b>
<b>I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. </b>
1. Dạng: f(x,y) 0
f(y,x) 0
=
⎧
⎨ <sub>=</sub>
⎩
2. Cách giải: Ta thường biến đổi về hệ tương đương:
f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) f(y,x) 0
f(x,y) 0 f(x,y) f(y,x) 0
− = − =
⎧ <sub>∨</sub>⎧
⎨ <sub>=</sub> ⎨ <sub>+</sub> <sub>=</sub>
⎩ ⎩
<b>II. CÁC VÍ DỤ </b>
Ví dụ 1:
Hãy xác định a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:
2 3 2
2 3 2
y x 4x ax (1)
x y 4y ay (2)
⎧ <sub>=</sub> <sub>−</sub> <sub>+</sub>
⎪
⎨
= − +
⎪⎩
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1996)
(1) - (2): <sub>(x y) x</sub><sub>−</sub> <sub>⎡</sub> 2<sub>+</sub><sub>y</sub>2<sub>+</sub><sub>xy 4(x y) a y x</sub><sub>−</sub> <sub>+</sub> <sub>+ + +</sub> <sub>⎤</sub><sub>=</sub><sub>0</sub>
⎣ ⎦
2 2
y x x y xy 3(x y) a 0
⇔ = ∨ + + − + + =
* x y : (1)= ⇔x3−5x2+ax 0= ⇔x(x2−5x a) 0+ =
2
x 0 f(x) x 5x a 0 (1)
⇔ = ∨ = − + =
Để chỉ có một nghiệm duy nhất, (1) phải có: 0 0
f(0) 0
∆ =
⎧ <sub>∨ ∆ <</sub>
⎨ <sub>=</sub>
⎩
0
f(0) 0VN
∆ =
⎧
⎨ <sub>=</sub>
⎩
25
0 25 4a 0 a
4
∆ < ⇔ − < ⇔ >
* <sub>x</sub>2<sub>+</sub><sub>y</sub>2<sub>+</sub><sub>xy 3(x y) a 0</sub><sub>−</sub> <sub>+</sub> <sub>+ = ⇔</sub><sub>y</sub>2<sub>+</sub><sub>(x 3)y (x</sub><sub>−</sub> <sub>+</sub> 2<sub>−</sub><sub>3x a) 0</sub><sub>+ =</sub>
2 2 2
2
(x 3) 4(x 3x a) 3x 6x 9 4a
3(x 1) (12 4a) 0
∆ = − − − + = − + + −
= − − + − <
87
Khi a 25
4
> . Vậy khi a 25
4
> hệ có 1 nghiệm duy nhất: x = y = 0
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
2
2
2
a
2x y
y
(I) (a 0)
a
2y x
x
⎧
= +
⎪
⎪ <sub>≠</sub>
⎨
⎪ <sub>= +</sub>
⎪⎩
Giaûi
Điều kiện x > 0, y > 0
Hệ (I) 2x y y2<sub>2</sub> 2<sub>2</sub> a2<sub>2</sub> 2x y y2 2 a2
(x y)(2xy x y) 0
2y x x a
⎧ = + ⎧ = +
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨
− + + =
⎪
= +
⎪ ⎩
⎩
3 2 2
x y
(*)
2x x a
=
⎧⎪
⇔ ⎨
− =
⎪⎩
Đặt f(x) 2x= 3−x2⇒f '(x) 6x= 2−2x ; f '(x) 0 x 0 x 1
3
= ⇔ = ∨ =
Bảng biến thiên:
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
88
Ví dụ 3:
Định m để hệ phương trình: x3<sub>3</sub> y2<sub>2</sub> 7x2<sub>2</sub> mx
y x 7y my
⎧ <sub>=</sub> <sub>+</sub> <sub>−</sub>
⎪
⎨
= + −
⎪⎩
Có nghiệm duy nhất:
Giải
Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là nghiệm của hệ.
Và nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là nghiệm của hệ. Vậy
để hệ có nghiệm duy nhất là x = y.
⇒phương trình : x3−x2−7x2+mx 0= ⇔x3−8x2+mx 0= có
nghiệm duy nhaát.
3 2 2
x −8x +mx 0= ⇔x(x −8x m) 0+ = (*)
2
x 0
x 8x m 0 (**)
=
⎡
⇔ ⎢
− + =
⎢⎣
Để (*) có nghiệm duy nhất ⇔(*)có nghiệm x = 0 và (**) VN
' 16 m 0 m 16
⇔ ∆ = − < ⇔ > .
<b>III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. </b>
3.1. Giải hệ phương trình: x3<sub>3</sub> 2x y
y 2y x
⎧ = +
⎪
⎨
= +
⎪⎩
3.2. Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
2
x 2 y m
y 2 x m
⎧ <sub>+ +</sub> <sub>=</sub>
⎪
⎨
⎪ + + =
⎩
3.3. Giải và biện luận heä : x(3 4y ) m(3 4m )2<sub>2</sub> 2<sub>2</sub>
y(3 4x ) m(3 4m )
⎧ <sub>−</sub> <sub>=</sub> <sub>−</sub>
⎪
⎨
− = −
⎪⎩
89
<b>Hướng dẫn và giải tóm tắt </b>
3.1. x3<sub>3</sub> 2x y (1)
y 2y x (2)
⎧ <sub>=</sub> <sub>+</sub>
⎪
⎨
= +
⎪⎩
(1) – (2): x3−y3= − ⇔x y (x y)(x− 2+y2+xy 1) 0− =
2 2
x y
x y xy 1 0
=
⎡
⇔ ⎢
+ + − =
⎢⎣
Hệ đã cho tương đương với:
2 2
3 3 3
x y x y xy 1 0
(I) (II)
x 2x y x y 3(x y)
⎧
=
⎧ + + − =
⎪ <sub>∨</sub> ⎪
⎨ ⎨
= +
⎪ ⎪ + = +
⎩ ⎩
Giaûi (I) : x 0 x 3 x 3
y 0 <sub>y</sub> <sub>3</sub> <sub>y</sub> <sub>3</sub>
⎧ ⎧
= = = −
⎧ <sub>∨</sub>⎪ <sub>∨</sub>⎪
⎨ <sub>=</sub> ⎨ ⎨
= = −
⎩ ⎪⎩ ⎪⎩
Giaûi
2
2
(x y) xy 1 0
(II) : (II)
(x y) (x y) 3xy 3(x y)
⎧ + − − =
⎪
⇔ ⎨ <sub>+</sub> <sub>⎡</sub> <sub>+</sub> <sub>−</sub> <sub>⎤</sub><sub>=</sub> <sub>+</sub>
⎪ <sub>⎣</sub> <sub>⎦</sub>
⎩
2 2
2
2 2
s 0
s p 1 0 s p 1 s x y
VN
p xy
s 1 p
s(s 3p) 3s s 3p 3
⎧ − − = ⎧ = ⎧ = + ⎛ = + ⎞
⎪ ⎪ ⎪
⇔<sub>⎨</sub> ⇔<sub>⎨</sub> ∨<sub>⎨</sub> <sub>⎜</sub> <sub>⎟</sub>
=
− =
⎪ ⎝ ⎠
− = = +
⎪ ⎩ ⎪
⎩ ⎩
s 0 x 1 x 1
p 1 y 1 y 1
= = = −
⎧ ⎧ ⎧
⇔<sub>⎨</sub> ⇔<sub>⎨</sub> ∨<sub>⎨</sub>
= − = − =
⎩ ⎩ ⎩
Đáp Số: (0,0) , ( 3, 3), (1, 1),( 1,1),( 3,− − − − 3)
3.2.
2
0 0
2
0 0 0 0 0 0
x 2 y m Nếu he äco ùnghiệm (x ,y )thì cũng có
y 2 x m nghiệm( x , y ),(y ,x ),( y , x )
⎧ <sub>+ +</sub> <sub>=</sub>
⎪
⎨
⎪ + + = − − − −
⎩
Vậy điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là x<sub>0</sub>=y<sub>0</sub>=0 thế vào hệ ta
được m= 2. Thử lại: m= 2
2
2
x 2 y 2
x 2 x 2
⎧ <sub>+ +</sub> <sub>=</sub>
⎪
⎨
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
90
. Neáu x 0 : x2 2 2 VN
y 0
⎧ <sub>+ ></sub>
⎪
≠ <sub>⎨</sub>
≥
⎪⎩
. Neáu y 0 : y2 2 2
x 0
⎧ <sub>+ ></sub>
⎪
≠ <sub>⎨</sub>
≥
⎪⎩ VN
Vậy x = y = 0 là nghiệm khi m= 2.
3.3. x(3 4y ) m(3 4m ) (1)2<sub>2</sub> 2<sub>2</sub>
y(3 4x ) m(3 4m ) (2)
⎧ <sub>−</sub> <sub>=</sub> <sub>−</sub>
⎪
⎨
− = −
⎪⎩
(1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) = 0
TH 1: x = y : <sub>(1)</sub><sub>⇔</sub><sub>4x</sub>2<sub>−</sub><sub>3x 3m 4m</sub><sub>+</sub> <sub>−</sub> 3<sub>=</sub><sub>0</sub>
2
2 2
(x m)(4x
4mx 3 4m) 0
x m
4x
4m
3 4m 0 (3)
⇔
−
+
− +
=
=
⎡
⇔ ⎢
<sub>+</sub>
<sub>− +</sub>
<sub>=</sub>
⎣
2
' 4(m
4m 3)
∆ =
−
+
. m 1 m 3 :≤ ∨ ≥ phương trình (3) có 2 nghiệm x ,x1 2⇒hệ có 3 nghiệm.
. m 1 m 3 := ∨ = Phương trình (3) có nghiệm kép: x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> m
2
= = −
⇒
hệcó 2 nghiệm.
TH 2: 3 4yx 0 xy 3
4
+ = ⇔ = − .
Mặt khác (1) + (2): 3(x y) 4xy+ − 2−4x y 2m(3 4m )2 = − 2
2
2
(x y)(3 4xy) 2m(3 4m )
m(3 4m )
x y
3
⇔ + − = −
−
⇒ + =
x,y
⇒ là nghiệm phương trình: <sub>t</sub>2 m(3 4m )2 <sub>t</sub> 3 <sub>0</sub>
3 4
−
− − =
</div>
<!--links-->
