CHUYÊN ĐỀ 1.
BÀI 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải.
 Kĩ năng
+ Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+ Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ĐỀ
BÀI

Sử dụng các cơng thức
biến đổi lượng giác
44 phương
phương trình
trình lượng
lượng giác
giác cơ
cơ bản
bản

44 dạng
dạng phương
phương trình
trình lượng
lượng giác

giác
Đưa
Đưa về
về phương
phương trình
trình tích
tích hoặc
hoặc

thường
thường gặp
gặp

đánh
đánh giá
giá bất
bất đẳng
đẳng thức,
thức, hàm
hàm số
số

4 phương trình lượng giác cơ bản

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình thuần nhất
Trang 1


Phương pháp giải


Ví dụ: Giải phương trình

( a, b ∈ ¡ \ { 0} ) .

a sin x + b cos x = c

3 sin 3 x − cos 3x = 2.

Hướng dẫn giải

Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện
theo các bước sau
Bước 1. Kiểm tra
- Nếu a 2 + b 2 < c 2 phương trình vô nghiệm.
- Nếu a 2 + b 2 ≥ c 2 khi đó phương trình có
nghiệm, ta thực hiện tiếp Bước 2.
Bước 2. Chia hai vế phương trình cho Ta có
a 2 + b 2 ≠ 0 ta được
a
a +b
2

Đặt

2

sin x +

a

a +b
2

2

⇔
b
a +b
2

= cos α;

2

cos x =
b

a +b
2

2

c
a + b2
2

. ( **)

= sin α, phương


sin x.cos α + cos x.sin α =
⇔ sin ( x + α ) =
Phương trình sin ( x + α ) =

3
1
π

sin 3 x − cos 3 x = 1 ⇔ sin  3 x − ÷ = 1
2
2
6


⇔ 3x −

π π
2π k 2 π
= + k 2π ( k ∈ ¢ ) ⇔ x =
+
( k ∈¢) .
6 2
9
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
x=

trình (**) trở thành


3 sin 3 x − cos 3x = 2.

2π k 2π
+
( k ∈¢) .
9
3

c
a + b2
2

c
a 2 + b2
c
a 2 + b2

.
là phương

trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải
được.
Một số dạng mở rộng:
a sin u + b cos u = a 2 + b 2 sin v
a
b

→
sin u +
cos u = sin v

a 2 + b2
a 2 + b2
⇔ sin ( u + α ) = sin v.
a sin u + b cos u = a 2 + b 2 cos v
a
b

→
sin u +
cos u = cos v
a 2 + b2
a 2 + b2
⇔ cos ( u − α ) = cos v.
a sin u + b cos u = a′ sin v + b′ cos v
a + b 2 = a ′ 2 + b′ 2

với

2

Trang 2



→ sin ( u + α ) = sin ( v + β ) .
Dạng đặc biệt:
1)sin x + cos x = 0 ⇔ x = −
2) sin x − cos x = 0 ⇔ x =

π

+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
4

π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
4

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình sin 2 x + 2 cos 2 x = 1 + sin x − 4 cos x.
Hướng dẫn giải
Ta có sin 2 x + 2 cos 2 x = 1 + sin x − 4 cos x
⇔ 2sin x cos x + 2 ( 2 cos 2 x − 1) − 1 − sin x + 4 cos x = 0
⇔ sin x ( 2 cos x − 1) + 4 cos 2 x + 4 cos x − 3 = 0
⇔ sin x ( 2 cos x − 1) + ( 2 cos x − 1) ( 2 cos x + 3) = 0
⇔ ( 2 cos x − 1) ( 2sin x + 2 cos x + 3) = 0
1
π

cos x = ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ )

⇔
2
3

 2sin x + 2 cos x = −3
Xét phương trình 2sin x + 2 cos x = −3; có 22 + 22 = 8 < ( −3) nên vơ nghiệm.
2

Vậy phương trình có nghiệm x = ±


π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
3

Ví dụ 2. Giải phương trình 3sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4sin 3 3 x.
Hướng dẫn giải
3
3
Ta có 3sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4sin 3 x. ⇔ ( 3sin 3 x − 4sin 3 x ) − 3 cos 9 x = 1

π
2π

x= +k

π
π

18
9
⇔ sin 9 x − 3 cos 9 x = 1 ⇔ sin  9 x − ÷ = sin ⇔ 
( k ∈ ¢) .
3
6

 x = 7π + k 2π

54
9
Vậy phương trình có nghiệm x =


π
2π
7π
2π
+k
,x =
+k
( k ∈¢) .
18
9
54
9

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Phương trình

3 sin x − cos x = 1 có nghiệm là

Trang 3


 x = −π + k 2π
, k ∈ ¢.
A. 
 x = π + k 2π
6


2π


 x = − 3 + k 2π
, k ∈ ¢.
B. 
 x = π + k 2π

6

π

x = + k 2π

, k ∈ ¢.
3
C.

 x = π + k 2π

 x = k 2π
, k ∈ ¢.
D. 
 x = π + k 2π
6


Câu 2: Phương trình sin x + 3 cos x = 0 có nghiệm âm lớn nhất bằng
A.

−π
.

3

B.

−π
.
6

C.

−5π
.
6

D.

−5π
.
3

Câu 3: Nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1 là
 x = k 2π
( k ∈¢) .
B. 
 x = π + k 2π

2

A. x = k 2π ( k ∈ ¢ ) .


C. x =

π

 x = 4 + k 2π
( k ∈¢) .
D. 
 x = − π + k 2π

4

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
4

Câu 4: Số nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1 trên khoảng ( 0; π ) là
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 5: Điều kiện để phương trình 3sin x + m cos x = 5 vô nghiệm là
 m ≤ −4
.
A. 
m ≥ 4


B. m > 4.

C. m < −4.

D. −4 < m < 4.

Câu 6: Điều kiện để phương trình m sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là
A. m ≥ 4.
Câu 7: Phương trình

B. −4 ≤ m ≤ 4.

C. m ≥ 34.

 m ≤ −4
.
D. 
m ≥ 4

3 sin 3 x + cos 3x = −1 tương đương với phương trình nào sau đây?

π
1

A. sin  3x − ÷ = − .
6
2


π

π

B. sin  3x + ÷ = − .
6
6


π
1

C. sin  3x + ÷ = − .
6
2


π 1

D. sin  3x + ÷ = .
6 2


Câu 8: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
A.

3 sin x = 2.

B.

C. 2sin x + 3cos x = 1.
Câu 9: Cho phương trình


1
1
cos 4 x = .
4
2

D. cot 2 x − cot x + 5 = 0.
3 cos x + sin x = 2 trên đoạn [ 0; π] . Chọn câu trả lời đúng.

A. Phương trình có nghiệm x =

π
3π
;x = .
4
4

B. Phương trình có nghiệm x =

5π
.
12
Trang 4


C. Phương trình có nghiệm x =

3π
4π

;x =
.
7
7

D. Phương trình có nghiệm x =

2π
.
5

Câu 10: Phương trình sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x ) có nghiệm là

x =
A. 
x =


π
+ kπ
3
, k ∈ ¢.
π
π
+k
6
2

π


x = 4 + kπ
, k ∈ ¢.
C. 
x = π + k π

12
7


x =
B. 
x =


π
+ kπ
5
, k ∈ ¢.
π
π
+k
7
2


x =
D. 
x =



π
+ kπ
8
, k ∈ ¢.
π
π
+k
9
3

Câu 11: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm?
B. 3sin x − 4 cos x = 5.

3 sin 2 x − cos 2 x = 2.

A.

π
C. sin x = cos .
4

D.

3 sin x − cos x = −3.

 5π π 
Câu 12: Số nghiệm của phương trình sin 2 x − 2 cos x = 0 thuộc đoạn  − ;  là
 2 2
A. 3.


B. 4.

C. 5.

D. 2.

Câu 13: Phương trình cos 7 x − 3 sin 7 x = − 2 có các họ nghiệm là
5π
2π

 x = 84 + k 7
, k ∈ ¢.
A. 
 x = 11π + k 2π

84
7

−5 π
2π

 x = 84 + k 7
, k ∈ ¢.
B. 
 x = 11π + k 2π

84
7

−π

2π

 x = 84 + k 7
, k ∈ ¢.
C. 
 x = π + k 2π

84
7


x =
D. 
x =


−5π
2π
+k
84
7
, k ∈ ¢.
−11π
2π
+k
84
7

Câu 14: Phương trình sin x + 3 cos x = 0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
A.


2π
.
3

B.

5π
.
6

C. π.

D. 0.

1 

Câu 15: Phương trình tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2  2 cos x −
÷ = 0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
cos x 

A.

π
.
4

B.

π

.
2

C. π.

D. 0.

Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x + cos x = −1 với k ∈ ¢ là
A. x = k 2π.

 x = π + k 2π
.
B. 
 x = − π + k 2π

2

C. x =

π
+ k 2π.
4

π

x
=
+ k 2π

4

.
D. 
 x = − π + k 2π

4

Câu 17: Để phương trình 2sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x = m có nghiệm thì giá trị của m là
Trang 5


A. m ≤

1 − 10
.
2

B. m =

C. m ≥

1 + 10
.
2

D.

1 ± 10
.
2


1 − 10
1 + 10
≤m≤
.
2
2

Câu 18: Phương trình cos 2 x + sin x − 1 = 0 có số họ nghiệm là
A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

1 

Câu 19: Phương trình tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2  2 cos x −
÷ = 0 có các họ nghiệm là
cos x 

A. x =

π
π
+ k , k ∈ ¢.
4
2


B. x =

π
π
C. x = − + k , k ∈ ¢.
4
2

π
+ k π, k ∈ ¢.
4

D. x = −

(

π
π
+ k , k ∈ ¢.
6
2

)

Câu 20: Cho phương trình tan x − 3cot x = 4 sin x + 3 cos x . Với k ∈ ¢ thì nghiệm của phương trình là
π

 x = − 3 + k 2π
.
A. 

 x = −4π + k 2π

9
3

π

x = − 3 + kπ
.
B. 
 x = 4π + k 2 π

9
3


x =
C. 
x =


π
+ k 2π
3
.
4π
2π
+k
9
3


π

 x = 12 + k 2π
.
D. 
 x = 4π + k 2 π

9
3

Dạng 2:Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác
Phương pháp giải

Ví dụ: Giải phương trình 2sin 2 x + sin x − 3 = 0.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng Hướng dẫn giải
giác có dạng tổng quát at 2 + bt + c = 0.
Trong đó:

Đặt t = sin x, điều kiện t ≤ 1.

t là một trong các hàm số sin u , cos u, tan u, cot u

Phương trình đã cho trở thành

và u = u ( x ) .
a; b; c ∈ ¡ , a ≠ 0.
Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều
kiện của ẩn phụ. Nếu đặt


t = 1
2t 2 + t − 3 = 0 ⇔  3 .
t =
 2
Kết hợp với điều kiện t ≤ 1 ta được t = 1.
π
+ k 2π, ( k ∈ ¢ ) .
2

+) t = sin u , t = cos u thì điều kiện t ≤ 1.

Với t = 1 thì sin x = 1 ⇔ x =

+) t = sin 2 u , t = cos 2 u thì điều kiện 0 ≤ t ≤ 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

+) t = sin u , t = cos u thì điều kiện 0 ≤ t ≤ 1.

x=

Khi tìm được t1 ; t2 thỏa mãn thì phải giải tiếp

π
+ k 2π, ( k ∈ ¢ ) .
2

sin = t1 ;sin u = t2 ;...
Ví dụ mẫu

Ví dụ. Giải phương trình 3sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0.
Trang 6


Hướng dẫn giải
2
2
Ta có 3sin 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 ⇔ 3 ( 1 − cos 2 x ) + 7 cos 2 x − 3 = 0

cos 2 x = 0
⇔ 3cos 2 2 x − 7 cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x ( 3cos 2 x − 7 ) = 0 ⇔ 
.
3cos 2 x − 7 = 0
Trường hợp 1: cos 2 x = 0 ⇔ 2 x =

π
π
π
+ kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) .
2
4
2

Trường hợp 2: 3cos 2 x − 7 = 0 ⇔ cos 2 x =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

7
> 1 (loại).
3


π
π
+ k ,( k ∈ ¢) .
4
2

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2sin 2 x + sin x − 3 = 0 có nghiệm là
A. k π ( k ∈ ¢ ) .
C.

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2

B. −

π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
2

D. −

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2

Câu 2: Với k ∈ ¢ , phương trình cos 2 x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là
A. x = k 2π.


B. x = 0.

C. x =

π
+ k 2π.
2

D. Vô nghiệm.

Câu 3: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 là
A. x =

π
.
6

B. x =

π
.
2

C. x =

3π
.
2

D. x =


5π
.
6

Câu 4: Xét phương trình 3cos 2 x − 2 cos x − 4 = 0 trên đoạn [ 0;3π] . Chọn câu trả lời đúng.
A. Phương trình có 3 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm.

C. Phương trình có 2 nghiệm.

D. Phương trình vơ nghiệm.

Câu 5: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0 thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x <
A. x =

π
.
3

B. x =

π
.
2

C. x =

π

.
6

π
là
2

D. x =

5π
.
6

Câu 6: Nghiệm của phương trình tan 2 x + 2 tan x + 1 = 0 là
A.

π
π
+ k , k ∈ ¢.
4
2

B. −

π
+ k π, k ∈ ¢.
4

2
Câu 7: Với k ∈ ¢ , phương trình cos 2 x + cos 2 x −


A. x = k π.

B. x = k 2π.

C.

π
+ k 2π, k ∈ ¢.
2

D. k π, k ∈ ¢.

3
= 0 có nghiệm là
4
C. x = ±

π
+ k π.
6

D. x = ±

2π
+ k 2π.
3

Câu 8: Với k ∈ ¢ , phương trình sin 2 x − 2sin x = 0 có nghiệm là
A. x = k 2π.


B. x = k π.

C. x = π + k 2π.

D. x = − k 2π.
Trang 7


Câu 9: Nghiệm của phương trình cot 2 3 x − cot 3x − 2 = 0 là
π
π
4 + k 3
, k ∈ ¢.
A. x = 
1
π
 arccot 2 + k
 3
3

π
 π
− 4 + k 3
, k ∈ ¢.
B. x = 
1
π
 − arccot 2 + k
 3

3

π
 4 + kπ
, k ∈ ¢.
C. x = 
 1 arccot 2 + k π
 3
3

π
 4 + kπ
, k ∈ ¢.
D. x = 
 1 arccot 2 + k π
 3

Câu 10: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 cos 2 x + 2 cos x − 2 = 0 là
A. x = −

5π
.
6

B. x = −

7π
.
6


π
C. x = − .
3

π
D. x = − .
4

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
A.

3 sin x = 2.

B.

C. 2sin x + 3cos x = 5.

1
1
cos 4 x = .
4
2

D. cot 2 x − cot x − 5 = 0.

Câu 12: Xét phương trình 13sin 2 x − 78sin x + 15 = 0 trên đoạn [ 0; 2π] . Lựa chọn phương án đúng.
A. Phương trình có 2 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm.


C. Phương trình vơ nghiệm.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 13: Phương trình 3cos x + 2 sin x = 2 có nghiệm là
A. x =

π
+ kπ( k ∈ ¢ ) .
8

B. x =

π
+ kπ( k ∈ ¢ ) .
2

C. x =

π
+ kπ( k ∈ ¢ ) .
4

D. x =

π
+ kπ( k ∈ ¢ ) .
6

Câu 14: Xét phương trình tan 2 x −


4 3
tan x + 1 = 0 trên đoạn [ 0;3π] . Chọn câu trả lời đúng?
3

A. Phương trình có 5 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm.

C. Phương trình có 6 nghiệm.

D. Phương trình có 3 nghiệm.

Câu 15: Xét phương trình sin 2 x − 5sin x + 6 = 0 trên đoạn [ 0; 2π] . Chọn câu trả lời đúng?
A. Phương trình có 2 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm.

C. Cả A, B, D đều sai.

D. Phương trình có 3 nghiệm.

Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau ( tan x + cot x ) − ( tan x + cot x ) = 2
2

Giá trị của biểu thức tan x +
A. 0.

1
là

tan x

B. 2.

2
Câu 17: Cho x thỏa mãn phương trình sin x + sin

A. 1.

B. 0,5.

C. 3.

D.

2.

x
= 0,5. Giá trị của biểu thức y = tan x là
2
C.

3.

D. 0.
Trang 8


 −1 
Câu 18: Cho x = arctan  ÷+ k π là nghiệm của một trong phương trình sau, hỏi đó là phương trình

 3 
nào?
A. 3sin 2 x − sin 2 x − cos 2 x = 0.
C.

1
1
2
+
=
.
sin 2 x cos 2 x sin 4 x

B. 3sin 2 2 x − 4 cos 2 2 x = 2.
D. cos x + 2 cos 2 x = 0.

sin 3 x + cos3 x
Câu 19: Cho phương trình
= cos 2 x. Nếu giải phương trình bằng cách đặt tan x = t thì
2 cos x − sin x
phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây?
A. 2t 2 + t − 1 = 0.
2
C. t + t −

1
= 0.
2

B. t 2 + 2t − 1 = 0.

D. t 2 + t + 1 = 0.

Câu 20: Cho phương trình 2sin x − 2 cos x = 1 − 3. Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vế
thì ta được phương trình nào sau đây?
π
A. sin 2 x = sin .
4

π
B. sin 2 x = sin .
6

π
C. sin 2 x = sin .
3

π
D. cos 2 x = cos .
3

Dạng 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp
Phương pháp giải
Phương trình lượng giác đẳng cấp có dạng tổng Ví dụ: Giải phương trình sau
qt

2 3 cos 2 x + 6sin x.cos x = 3 + 3.
a.sin 2 x + b.sin x cos x + c.cos 2 x = d .

( 1)


Hướng dẫn giải

Ta có thể giải phương trình lượng giác đẳng cấp
theo hai cách sau
Cách 1:
Bước 1. Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của

π
cos x = 0 ⇔ x = + k π, k ∈ ¢.
Với
phương trình hay khơng, nếu có thì nhận nghiệm
2
này.
Thay vào phương trình (1) ta có 0 = 3 + 3
Bước 2. Nếu cos x ≠ 0 thì chia cả hai vế của
⇒ phương trình vơ nghiệm.
2
phương trình cho cos x đưa về phương trình bậc Với cos x ≠ 0 . Chia cả hai vế của phương trình
hai theo tan x .
(1) cho cos 2 x ta được
sin 2 x
sin x cos x
cos 2 x
d
+
c
=
( 1) ⇔ a 2 + b
2 3 + 6 tan x = 3 + 3 ( 1 + tan 2 x )
2

2
cos x
cos x
cos x cos 2 x

(

(

)

)

⇔ a tan 2 x + b tan x + c = d ( 1 + tan 2 x ) .

⇔ 3 + 3 tan 2 x − 6 tan x + 3 − 3 = 0 ( 2 ) . Đặt

Bước 3. Đặt t = tan x đưa về phương trình bậc

tan x = t phương trình (2) trở thành

hai để giải.
Trang 9


(

t = 1
3 + 3 t 2 − 6t + 3 − 3 = 0 ⇔  3 − 3
t=

 3 + 3

)

π

 tan x = 1
x = + kπ

4
⇔ 
, k ∈ ¢.
3− 3 ⇔ 
π
tan x =

x = + kπ

3+ 3

12
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
π

x = 4 + kπ
, k ∈ ¢.

x = π + kπ

12

Ta có 2 3 cos 2 x + 6sin x.cos x = 3 + 3
⇔ 3 ( 1 + cos 2 x ) + 3sin 2 x = 3 + 3

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc.

⇔ cos 2 x + 3 sin 2 x = 3

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
sin x =
;cos 2 x =
;
2
2
2

sin x cos x =

⇔

sin 2 x
.
2

Đưa phương trình đã cho về phương trình
b sin 2 x + ( c − a ) cos 2 x = d − c − a.
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cosin
ta đã biết cách giải ở dạng 1.

1

3
3
cos 2 x +
sin 2 x =
2
2
2

π
3

⇔ cos  2 x − ÷ =
3 2

π

x = 4 + kπ
⇔
, k ∈ ¢.
π
x = + kπ

12
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là
π

x = 4 + kπ
,k ∈¢

x = π + kπ


12

Tổng quát: Đối với phương trình đẳng cấp bậc

(

n n ≥ 2 : A ( sin n x, cos n x,sin k x cos h x ) = 0

)

trong

đó k + h = n; k , h, n ∈ ¥ , ta cũng giải tương tự
theo hai cách.
Cách 1: Nếu cos x ≠ 0 thì chia cả hai vế cho
cos n x .
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc.
Trang 10


Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho phương trình 2sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x = m. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải
- Nếu cos x = 0 ⇒ Phương trình có dạng 2sin 2 x = m
Để phương trình có nghiệm thì m = 2.

( *)

- Nếu cos x ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì ta chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x .

2
Phương trình đã cho trở thành 2 tan x − tan x − 1 −

m
=0
cos 2 x

⇔ ( 2 − m ) tan 2 x − tan x − m − 1 = 0. ( 1)
Với m ≠ 2 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn t = tan x.
Xét ∆ = −4m 2 + 4m + 9.
1 − 10
1 + 10
∆ ≥ 0
≤m≤

⇔ 2
Để phương trình đã cho có nghiệm thì 
2 . ( **)
m ≠ 2
m ≠ 2

Kết hợp (*) và (**), ta được
Vậy với

1 − 10
1+ 0
là những giá trị cần tìm.
≤m≤
2
2


1 − 10
1+ 0
thì phương trình đã cho có nghiệm.
≤m≤
2
2

Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Phương trình cos 2 x − 3sin x cos x − 2sin 2 x = 1 có nghiệm là
 x = k 2π
( k ∈¢) .
A. 
 x = −π + k π

4

 x = k 2π
( k ∈¢) .
B. 
 x = −π + k 2π

4

x = kπ
( k ∈¢) .
C. 
 x = −π + k 2π
3



 x = kπ
( k ∈¢) .
D. 
 x = −π + k π

4

Câu 2: Phương trình

3 sin x + cos x =

x = kπ
( k ∈¢) .
A. 
x = π + kπ
3


x =
C. 
x =


kπ
2
( k ∈¢) .
π
+ kπ
3


1
có nghiệm là
cos x
 x = k 2π
( k ∈¢) .
B. 
 x = π + k 2π
3

D. x = k π ( k ∈ ¢ ) .

Câu 3: Phương trình 3cos 2 4 x + 5sin 2 4 x = 2 − 2 3 sin 4 x.cos 4 x có nghiệm là
Trang 11


A. x =

−π
+ k π, k ∈ ¢.
6

B. x =

−π
π
+ k , k ∈ ¢.
12
2


C. x =

−π
π
+ k , k ∈ ¢.
18
3

D. x =

−π
π
+ k , k ∈ ¢.
24
4

Câu 4: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 x +
B. −1.

A. 1.

1− 3
sin 2 x − 3 cos 2 x = 0 . Giá trị nguyên của tan x là
2
C. 3.

D. 2.

Câu 5: Phương trình 2sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 1 có nghiệm là
π


x = − + k 2π

, k ∈ ¢.
4
A.

 x = arctan 2 + k π

π

x = + kπ

, k ∈ ¢.
4
B.

 x = arctan 2 + k π

x = kπ
, k ∈ ¢.
C. 
 x = arctan 2 + k π

π

x
=
−
+ kπ

, k ∈ ¢.
4
D. 

 x = arctan 2 + k π

Câu 6: Giải phương trình − sin 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 2 ta được nghiệm là
A. x =

−π
+ k π, k ∈ ¢.
6


1+ 3
+ kπ
 x = arctan
2

, k ∈ ¢.
C.

−1 + 3
+ kπ
 x = arctan

2

B. x =


π
+ k π, k ∈ ¢.
3

D. x =

−π
+ k π, k ∈ ¢.
3

Câu 7: Cho x thỏa mãn phương trình sin 3 x − 3 cos3 x = sin x.cos 2 x − 3 sin 2 x.cos x. Giá trị nguyên của
tan x là
A. 1.

B. ±1.

C.

 tan x = − 3
.
D. 
 tan x = ±1

3.

Câu 8: Phương trình 2sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x = −2 có thể được đưa về phương trình nào trong các
phương trình sau
A. 4sin 2 x + 5sin 2 x − cos 2 x = 0.

B. 5sin 2 x + 3cos 2 x = 5.


C. 4sin 2 x + 5sin x cos x + cos 2 x = 0.

D. Một phương trình khác.

2
Câu 9: Kết quả nào cho dưới đây là đúng? Phương trình sin

x
x
− sin x + 3cos 2 = 0 có tập nghiệm là
2
2

A. S = ∅.

B. S = { −π + k 2π, k ∈ ¢} .

π

C. S =  + k 2π, k ∈ ¢  .
2


D. Đáp án khác.

Câu 10: Khi m = 2 thì phương trình

( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x.cos x − ( 4m − 3) cos x = 0


có bao nhiêu họ nghiệm?
Trang 12


A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 11: Cho phương trình sin 3 x − 3 cos3 x = sin x.cos 2 x − 3 sin 2 x.cos x. Nghiệm của phương trình là
−π
+ k π.
3

B. x =

π
+ k π, k ∈ ¢.
4

π
π

x = 4 + k 2
, k ∈ ¢.
C. 
x = − π + kπ


3

D. x =

π
π
π
+ k , x = − + k π, k ∈ ¢.
4
2
3

A. x =

Câu 12: Phương trình 2sin 2 x + sin 2 x + 1 = 0 có tập nghiệm là
A. S = ∅.

B. S = { k π, k ∈ ¢} .

C. Phương trình vơ số nghiệm.

D. Đáp án khác.

Câu 13: Phương trình sin 2 2 x + 3 sin 4 x + 3cos 2 2 x = 0 có nghiệm là
A. x =

−π
+ kπ( k ∈ ¢ ) .
3


B. x =

π
+ kπ( k ∈ ¢ ) .
4

C. x =

−π
π
+ k ( k ∈¢) .
6
2

D. x =

π
π
π
+ k , x = + kπ( k ∈ ¢ ) .
4
2
3

Câu 14: Phương trình sin 2 4 x + 3cos 2 4 x = 0 có tập nghiệm là
A. S = ∅.

B. S = { k π, k ∈ ¢} .


C. Phương trình vơ số nghiệm.

D. Đáp án khác.

Câu 15: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 x + 2 tan x = 3. Giá trị của biểu thức

( tan x − 1) ( 2 tan 2 x − tan x + 3)
A. 1.

là

B. 0.

2
Câu 16: Cho phương trình 3sin

C. 3.

D. 2.

x
x
+ 3 sin x + cos 2 = 0. Số nghiệm của phương trình đã cho trong
2
2

khoảng ( 0; 2π ) là
A. 2.

B. 3.


C. 0.

D. 1.

Câu 17: Cho phương trình 2 3 cos 2 x − sin 2 x = 0, khẳng định đúng là
A. Phương trình có 1 họ nghiệm.

B. Phương trình vơ nghiệm.

C. Phương trình có 2 họ nghiệm.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 18: Cho x thỏa mãn phương trình

( 2 tan

2

A. 1.

π

sin 3  x − ÷ = 2 sin x.
4


Giá trị của biểu thức


x − tan x + 3) tan x là
B. −6.

C. 3.

D. 2.

Trang 13


Câu 19: Cho phương trình

1 − tan x
= 1 + sin 2 x, khẳng định đúng là
1 + tan x

A. Phương trình có 2 họ nghiệm.

B. Phương trình vơ nghiệm.

C. Phương trình có 1 họ nghiệm.

D. Cả A, B, C đều sai.

2
2
Câu 20: Cho phương trình sin x + ( 2m − 2 ) sin x.cos x − ( m + 1) cos x − m = 0. Giá trị của m để phương

trình có nghiệm là
A. −2 ≤ m ≤ 1.


B. 0 ≤ m ≤ 1.

C. 0 ≤ m.

D. m ≥ −2.

Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng
Phương pháp giải
Phương trình lượng giác đối xứng có dạng tổng Ví dụ.
sin x + cos x − 2sin x cos x + 1 = 0. ( 1)

quát
a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0

Hướng dẫn giải

Trong đó a, b, c ∈ ¡ .
Để giải phương trình lượng giác đối xứng, ta
làm như sau.

(

π

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x + ÷.
4


Đặt t = sin x + cos x − 2 ≤ t ≤ 2


Điều kiện t ≤ 2.

⇒ sin x cos x =

)

t 2 −1
.
2

Ta có ( sin x + cos x ) = 1 + 2sin x cos x

Khi đó phương trình (1) trở thành

t 2 −1
⇒ sin x cos x =
.
2

 t 2 −1 
t = −1
2
t − 2
.
÷+ 1 = 0 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ 
t = 2
 2 

Khi đó phương trình đã cho trở thành


Kết hợp với điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 ta được

bt 2 + 2at − b + 2c = 0.
Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải.

π

t = −1 ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ 2 sin  x + ÷ = −1
4


Chú ý: Cách giải trên áp dụng cho phương trình

π

x = − + k 2π
π
2


⇔ sin  x + ÷ = −
⇔
( k ∈¢) .
2

4
2

 x = π + k 2π


2

a ( sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = 0.
Đặt t = sin x − cos x ⇒ sin x cos x =

1− t2
.
2

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là
π

 x = − 2 + k 2π ( k ∈ ¢ ) .

 x = π + k 2π

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Giải phương trình sin x − cos x + 14sin x cos x = 1.

( 1)

Hướng dẫn giải

(

)

Đặt t = sin x − cos x − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =


1− t2
.
2
Trang 14


Khi đó phương trình (1) trở thành t + 7 ( 1 − t

2

)

t = 1
= 1 ⇔ 7t − t − 6 = 0 ⇔ 
.
t = − 6
7

2

π

x = + k 2π
π
π


( k ∈ ¢) .
2

- Nếu t = 1 thì sin x − cos x = 1 ⇔ sin  x − ÷ = sin ⇔

4
4

 x = π + k 2π
- Nếu t = −

6
−6
thì sin x − cos x =
7
7


π
−3 2
x = + arcsin
+ k 2π

π  −3 2

4
7
⇔ sin  x − ÷ =
⇔
( k ∈¢) .
4
7



5π
−3 2
− arcsin
+ k 2π
x =
4
7

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm x =
x=

π
+ k 2π; x = π + k 2π
2

π
−3 2
5π
−3 2
+ arcsin
+ k 2π; x =
− arcsin
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
4
7
4
7

3

3
3
Ví dụ 2. Giải phương trình sin x + cos x + 1 = sin 2 x. ( 2 )
2
Hướng dẫn giải

( 2 ) ⇔ 1 + ( sin x + cos x ) ( sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x ) = 3sin x cos x
⇔ 1 + ( sin x + cos x ) ( 1 − sin x cos x ) = 3sin x cos x. ( *)

(

)

Đặt t = sin x + cos x − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =

t 2 −1
.
2

 t 2 −1 
t 2 −1
Khi đó phương trình (*) trở thành 1 + t  1 −
÷ = 3.
2 
2

 t = −1

⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 5 = 0 ⇔ ( t + 1) ( t 2 + 2t − 5 ) = 0 ⇔ t = −1 − 6 < − 2 ⇒ t = −1.
 t = −1 + 6 > 2


π

Suy ra sin x + cos x = −1 ⇔ 2 cos  x − ÷ = −1
4

 x = π + k 2π
π
3π

⇔ cos  x − ÷ = cos
⇔
( k ∈¢) .
 x = −π + k 2π
4
4


2
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm x = π + k 2π; x =

−π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2

Bài tập tự luyện dạng 4

Trang 15



Câu 1: Cho phương trình − 2 ( sin x + cos x ) + 2sin x cos x + 1 = 0 . Đặt t = sin x + cos x, ta được phương
trình nào dưới đây?
A. t 2 + 2t = 0.

B. t 2 + 2t + 2 = 0.

C. t 2 − 2t = 0.

D. t 2 − 2t − 2 = 0.

π

Câu 2: Nếu ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) = 2 thì cos  x − ÷ nhận giá trị là
4

A. −1.

C. −

B. 1.

2
.
2

D.

2
.
2


Câu 3: Phương trình sin x − cos x + 2sin 2 x + 1 = 0 có nghiệm là
 x = k 2π
, k ∈ ¢.
A. 
 x = 3π + k 2π

2
C. x =

 x = kπ
, k ∈ ¢.
B. 
 x = 3π + k π

2

3π
+ k 2π, k ∈ ¢.
2

D. Vơ nghiệm.

Câu 4: Cho phương trình sin 2 x − 2 ( sin x − cos x ) − 2 = 0. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
A. x =

π
.
2


B. x = 0.

C. x =

3π
.
2

D. x =

5π
.
6

Câu 5: Phương trình sin 2 x + 2 ( cos x − sin x ) − 1 = 0 có nghiệm là
A. x =

π
+ k π, k ∈ ¢.
4

C. x = −

B. x =

π
+ k π, k ∈ ¢.
4

Câu 6: Cho phương trình


π
+ k 2π, k ∈ ¢.
4

D. Vơ nghiệm.
2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x. Nếu t = sin x + cos x thì giá trị của t thỏa mãn

t ≤ 2 là
A. −1.

B.

2.

C. − 2.

D. −

2
.
2

Câu 7: Cho phương trình sin 2 x + 4 ( sin x − cos x ) − 5 = 0. Số nghiệm của phương trình thỏa mãn
0 < x < π là

A. 1.

B. 0.


C. 2.

D. 4.

Câu 8: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm?
A.

3 sin 2 x − cos 2 x = 2.

π
C. sin x = cos .
4

B. sin 2 x − sin x + cos x = 1.
D.

3 sin x − cos x = −3.

π

Câu 9: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 x + sin x − cos x = 1. Giá trị lớn nhất tìm được của sin  x − ÷
4

là
Trang 16


A. 0.

B.


2
.
2

C.

1
.
2

D. 1.

Câu 10: Số họ nghiệm của phương trình sin 2 x − sin x + cos x − 1 = 0 là
A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 11: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm?
A. 4 ( sin x − cos x ) + sin 2 x − 5 = 0.

B. 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0.

C. 2 ( sin x − cos x ) − sin 2 x + 2 = 0.

D. 3sin x − 2 = 0.


1
Câu 12: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x + cos x = 1 − sin 2 x là
2
π
A. x = − .
6

π
B. x = − .
2

C. x = −

3π
.
2

D. x = −

5π
.
6

Câu 13: Số nghiệm của phương trình 2 2 ( sin x + cos x ) − sin 2 x − 3 = 0 thỏa mãn điều kiện π < x < 5π là
A. 1.

B. 0.

C. 3.


D. 2.

Câu 14: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
A.

3 sin x = 2.

B.

C. 2 2 ( sin x + cos x ) + sin 2 x + 3 = 0.
Câu 15: Điều kiện để phương trình

1
1
cos 4 x = .
4
2

D. cot 2 x − cot x + 5 = 0.

2 ( sin x + cos x ) + m − 2 = 0 có nghiệm là

A. m ≤ 0.

B. Khơng có giá trị nào của m.

C. m ≥ 4.

D. 0 ≤ m ≤ 4.


1
Câu 16: Phương trình 3 ( sin x + cos x ) + sin 2 x = −3 có nghiệm là
2
π

x = − + k 2π

, k ∈ ¢.
2
B.

 x = π + k 2π

π
A. x = − + k π, k ∈ ¢.
4
C. x = −

π
+ k 2π, k ∈ ¢.
2

D. Vơ nghiệm.

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2 ( sin x + cos x ) + sin 2 x + 1 = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π là
A. x =

3π
.

4

B. x =

−π
.
2

C. x = π.

D. x =

−π
.
4

π
3

3
3
Câu 18: Từ phương trình sin x + cos x + 1 = sin 2 x ta tìm được cos  x + ÷ có giá trị bằng
4
2

A. −1.

B. ±

2

.
2

C. −

2
.
2

D.

2
.
2

Trang 17


Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x − sin x − cos x + m = 0 có
nghiệm?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 20: Giá trị của m để phương trình m ( sin x + cos x ) + sin 2 x = 0 có nghiệm là
A. Khơng có giá trị nào của m.


B. ∀m.

C. m = −1.

D. Cả A, B, C đều sai.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Phương trình thuần nhất
1- C
11- D

2- A
12- B

3- B
13- A

4- B
14- A

5- D
15- A

6- D
16- B

7- C
17- D


8- C
18- B

9- B
19- A

10- C
20- B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình 3 sin x − cos x = 1 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có

3 sin x − cos x = 1 ⇔

3
1
1
π 1

sin x − cos x = ⇔ sin  x − ÷ =
2
2
2
6 2


π π


π
x − = + k 2π


x = + k 2π
π
π


6 6

⇔ sin  x ữ = sin

, k Â.
3

6
6

x − π = π − π + k 2π
 x = π + k 2π

6
6
Câu 2.
Phương trình sin x + 3 cos x = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có sin x + 3 cos x = 0 ⇔

1
3

π
π
π

sin x +
cos x = 0 ⇔ sin  x + ÷ = 0 ⇔ x + = k π ⇔ x = − + k π.
2
2
3
3
3


Vậy phương trình có nghiệm âm lớn nhất x = −

π
là với k = 0.
3

Câu 3.
Phương trình sin x + cos x = 1 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
1
1
1
π 1

sin x +
cos x =
⇔ sin  x + ÷ =
Ta có sin x + cos x = 1 ⇔

4
2
2
2
2

π π

x + = + k 2 π ⇔ x = k 2π

π
π

4 4
⇔ sin  x + ữ = sin
, k Â.

4
4


x + = π − π + k 2π ⇔ x = π + k 2π

4
4
2
Câu 4.
Phương trình sin x + cos x = 1 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
1
1

1
π 1

sin x +
cos x =
⇔ sin  x + ÷ =
Ta có sin x + cos x = 1 ⇔
4
2
2
2
2


Trang 18


π π

x
+
= + k 2 π ⇔ x = k 2π

π
π

4
4
⇔ sin  x + ÷ = sin ⇔ 
, k ∈ ¢.

π
4
4


 x + = π − π + k 2π ⇔ x = π + k 2π

4
4
2
π
Theo bài ra x ∈ ( 0; π ) ⇒ x = .
2
Câu 5.
Phương trình 3sin x + m cos x = 5 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
 m ≤ −4
2
2
2
2
.
Điều kiện để phương trình có nghiệm 3 + m ≥ 5 ⇔ m ≥ 16 ⇔ 
m ≥ 4
Vậy phương trình vơ nghiệm khi −4 < m < 4.
Câu 6.
Phương trình m.sin x − 3cos x = 5 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
 m ≤ −4
2
2
2

2
.
Điều kiện để phương trình có nghiệm m + ( −3) ≥ 5 ⇔ m ≥ 16 ⇔ 
m ≥ 4
Câu 7.
Phương trình 3 sin 3 x + cos 3x = −1 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có

3 sin 3 x + cos 3x = −1 ⇔

3
1
1
π
1

sin 3 x + cos 3 x = − ⇔ sin  3 x + ÷ = − .
2
2
2
6
2


Câu 8.
Phương trình 2sin x + 3cos x = 1 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ . Ta có 22 + 32 − 12 = 12 > 0.
Vậy phương trình 2sin x + 3cos x = 1 có nghiệm.
Câu 9.
Phương trình 3 cos x + sin x = 2 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có


3 cos x + sin x = 2 ⇔

3
1
2
π
2

cos x + sin x =
⇔ sin  x + ÷ =
2
2
2
3 2


π π
π

x + = + k 2 π ⇔ x = − + k 2π

π
π

3 4
12
⇔ sin  x + ÷ = sin ⇔ 
, k ∈ ¢.
3

4

 x + π = π − π + k 2π ⇔ x = 5π + k 2π

3
4
12
5π
Vì x ∈ [ 0; π] nên x = .
12
Câu 10.
Phương trình sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x ) có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x ) ⇔ sin 8 x − 3 cos 8 x = cos 6 x + 3 sin 6 x
1
3
1
3
π
π


sin 8 x −
cos8 x = cos 6 x +
sin 6 x ⇔ sin  8 x − ÷ = sin  6 x + ÷
2
2
2
2
3
6



π
π
π

8 x − = 6 x + + k 2π ⇔ x = + k π

π
π


3
6
4
sin  8 x − ÷ = sin  6 x + ÷ ⇔ 
, k ∈ ¢.
π
π
3
6




8 x − = π − 6 x − + k 2π ⇔ x = π + k π

3
6
12 7

Câu 11.
Trang 19


Phương trình

3 sin x − cos x = −3 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .

Để phương trình có nghiệm thì

( 3)

2

+ ( −1) ≥ ( −3) ⇔ 4 ≥ 9 (vơ lí).
2

2

Vậy phương trình 3 sin x − cos x = −3 vơ nghiệm.
Câu 12.
Phương trình sin 2 x − 2 cos x = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có sin 2 x − 2 cos x = 0 ⇔ 2sin x cos x − 2 cos x = 0
π

cos x = 0 ⇒ x = 2 + k π
π
⇔ 2 cos x ( sin x − 1) = 0 ⇔ 
⇒ x = + k π.
2

sin x = 1 ⇒ x = π + k 2π

2
5π
3π
π
π
 5π π 
Vì x ∈  − ;  nên x = − ; x = − ; x = − ; x = .
12
2
2
2
 2 2
Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 13.
Phương trình cos 7 x − 3 sin 7 x = − 2 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có cos 7 x − 3 sin 7 x = − 2 ⇔

1
3
2
cos 7 x −
sin 7 x = −
2
2
2

π π
5π k 2π


7 x − = + k 2π ⇒ x =
+

3
1
2
π
π


6 4
84
7
⇔
sin 7 x − cos 7 x =
⇔ sin  7 x ữ = sin
, k Â.
2
2
2
6
4

7 x − π = π − π + k 2π ⇒ x = 11π + k 2π

6
4
84
7

Câu 14.
Phương trình sin x + 3 cos x = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
1
3
π
π
π

sin x +
cos x = 0 ⇔ sin  x + ÷ = 0 ⇔ x + = k π ⇔ x = − + k π.
2
2
3
3
3

2π
Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là x =
với k = 1.
3
Câu 15.
π
π

Phương trình có nghĩa ⇔ cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k π ⇔ D = ¡ \  + k π  .
2
2

1 
sin x

2

− sin 2 x − cos 2 x + 4 cos x −
=0
Ta có tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2  2 cos x −
÷= 0 ⇔
cos x 
cos x
cos x

Ta có sin x + 3 cos x = 0 ⇔

⇔ sin x − 2sin x cos 2 x − cos 2 x cos x + 2 ( 2 cos 2 x − 1) = 0 ⇔ sin x ( 1 − 2 cos 2 x ) − cos 2 x cos x + 2 cos 2 x = 0
⇔ − sin x cos 2 x − cos 2 x cos x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x ( sin x + cos x − 2 ) = 0
cos 2 x = 0
π
π
⇔
⇔ x = + k , k ∈ ¢.
4
2
sin x + cos x = 2

Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là x =

π
với k = 0.
4

Câu 16.

Phương trình sin x + cos x = −1 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .

Trang 20


Ta có sin x + cos x = −1 ⇔

1
1
1
π
1

sin x +
cos x = −
⇔ sin  x + ÷ = −
4
2
2
2
2


π
π
π

x
+
=

−
+
k
2
π
⇔
x
=
−
+ k 2π

π
−π

4
4
2
⇔ sin  x + ÷ = sin
⇔
, k ∈ ¢.
4
4

 x + π = π − −π + k 2π ⇔ x = π + k 2π

4
4
Câu 17.
Phương trình 2sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x = m có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
1

1
2
2
Ta có 2sin x − sin x cos x − cos x = m ⇔ ( 1 − cos 2 x ) − sin 2 x − ( 1 + cos 2 x ) = m
2
2
⇔ sin 2 x + 3cos 2 x = −2m + 1. ( 1)
Để phương trình (1) có nghiệm thì ( 1 − 2m ) ≤ 1 + 9 ⇔ 4m 2 − 4m − 9 ≤ 0 ⇔
2

1 − 10
1 + 10
≤m≤
.
2
2

Câu 18.
Phương trình cos 2 x + sin x − 1 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có cos 2 x + sin x − 1 = 0 ⇔ 1 − 2sin 2 x + sin x − 1 = 0
1 1
1

sin x − = ⇔ sin x = ( 1)

1
1
1

4 4

2
⇔ 2sin 2 x − sin x = 0 ⇔ sin 2 x − sin x = 0 ⇔  sin x − ÷ = ⇔ 
.
2
4  16

sin x − 1 = − 1 ⇔ sin x = 0 ( 2 )

4
4
2

π

x = + k 2π

1
π
6
.
Giải (1) ta có sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ 
2
6
 x = 5π + k 2π

6
Giải (2) ta có sin x = 0 ⇔ x = k π, k ∈ ¢.
Câu 19.
π
Phương trình có nghĩa ⇔ cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k π ⇔ D = ¡

2

π

\  + k π.
2

1 
sin x
2

− sin 2 x − cos 2 x + 4 cos x −
=0
Ta có tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2  2 cos x −
÷= 0 ⇔
cos x 
cos x
cos x


⇔ sin x − 2sin x cos 2 x − cos 2 x cos x + 2 ( 2 cos 2 x − 1) = 0 ⇔ sin x ( 1 − 2 cos 2 x ) − cos 2 x cos x + 2 cos 2 x = 0
⇔ − sin x cos 2 x − cos 2 x cos x + 2 cos 2 x = 0
cos 2 x = 0
π
π
⇔ cos 2 x ( sin x + cos x − 2 ) = 0 ⇔ 
⇔ x = + k , k ∈ ¢.
4
2
sin x + cos x = 2


Câu 20.
π
 π
⇔ D = ¡ \ k  .
2
 2
sin x
cos x
−3
= 4 sin x + 3 cos x
Ta có tan x − 3cot x = 4 sin x + 3 cos x ⇔
cos x
sin x
Phương trình có nghĩa ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

(

)

(

⇔ sin 2 x − 3cos 2 x = 4sin x cos x sin x + 3 cos x

(

)

)


Trang 21


sin x + 3 cos x = 0
⇔ sin x + 3 cos x sin x − 3 cos x = 4sin x.cos x sin x + 3 cos x ⇔ 
sin x − 3 cos x = 4sin x.cos x
Trường hợp 1:

(

)(

)

sin x + 3 cos x = 0 ⇔

(

)

1
3
π
π
π

sin x +
cos x = 0 ⇔ sin  x + ÷ = 0 ⇔ x + = k π ⇔ x = − + k π.
2
2

3
3
3


1
2
Trường hợp 2: sin x − 3 cos x = 4sin x.cos x ⇔ sin x −
cos x = 2sin x.cos x
2
2
−π

x=
+ k 2π

π

3
⇔ sin  x − ÷ = sin 2 x ⇔ 
.
3

 x = 4π + k 2π

9
3
Dạng 2. Phương trình bậc hai của hàm số lượng giác
1- C
11- D


2- A
12- A

3- A
13- B

4- A
14- C

5- C
15- C

6- B
16- B

7- C
17- B

8- B
18- A

9- A
19- A

10- D
20- C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Phương trình 2sin 2 x + sin x − 3 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
t = 1
Đặt t = sin x, t ≤ 1. Ta có 2sin x + sin x − 3 = 0 ⇔ 2t + t − 3 = 0 ⇔  −3 ⇔ t = 1 (do t ≤ 1 ).
t =

2
π
Với t = 1, ta có sin x = 1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
Câu 2.
Phương trình cos 2 x + 2 cos x − 3 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
2

2

t = 1
2
2
⇔ t = 1 (do t ≤ 1 ).
Đặt t = cos x, t ≤ 1. Ta có cos x + 2 cos x − 3 = 0 ⇔ t + 2t − 3 = 0 ⇔ 
t = −3
Với t = 1, ta có cos x = 1 ⇔ x = k 2π ( k ∈ ¢ ) .
Câu 3.
Phương trình 2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
 1
t=
1
Đặt t = sin x, t ≤ 1. Ta có 2sin x + 5sin x − 3 = 0 ⇔ 2t + 5t − 3 = 0 ⇔  2 ⇔ t = (do t ≤ 1 ).

2

t = −3
π

x = + k 2π

1
1
6
( k ∈¢) .
Với t = , ta có sin x = ⇔ 
2
2
 x = 5π + k 2π

6
π
Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là x = .
6
Câu 4.
Phương trình 3cos 2 x − 2 cos x − 4 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
2

2

Đặt t = cos x, t ≤ 1.
Trang 22


 1 − 13
t =

1 − 13
3
2
2
⇔t=
Ta có 3cos x − 2 cos x − 4 = 0 ⇔ 3t − 2t − 4 = 0 ⇔ 
(do t ≤ 1 ).
3
 1 + 13
t =
3


1 − 13
x = arccos
+ k 2π

1 − 13
3
1 − 13

⇔
( k ∈¢) .
Với t =
, ta có cos x =
3

3
1 − 13
+ k 2π

 x = − arccos
3

Vì x ∈ [ 0,3π] nên phương trình chỉ có 3 nghiệm.
x = arccos

1 − 13
1 − 13
1 − 13
, x = arccos
+ 2π, x = − arccos
+ 2π.
3
3
3

Câu 5.
Phương trình 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
 1
t=
Đặt t = sin x, t ≤ 1. Ta có 2sin x − 3sin x + 1 = 0 ⇔ 2t − 3t + 1 = 0 ⇔  2 .

t = 1
π

x = + k 2π

1
1
6

( k ∈¢) .
Với t = , ta có sin x = ⇔ 
5
2
2
 x = π + k 2π

6
π
Với t = 1, ta có sin x = 1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
π
 π
Vì x ∈  0; ÷ nên x = .
6
 2
Câu 6.
π
Phương trình tan 2 x + 2 tan x + 1 = 0 có nghĩa ⇔ x ≠ + k π.
2
2
2
Đặt t = tan x . Ta có tan x + 2 tan x + 1 = 0 ⇔ t + 2t + 1 = 0 ⇔ t = −1.
−π
π
⇔ x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) .
Với t = −1, ta có tan x = −1 ⇔ tan x = tan
4
4
Câu 7.

3
2
Phương trình cos 2 x + cos 2 x − = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
4
 1
t = 2
3
3
1
2
2
⇔ t = (do t ≤ 1 ).
Đặt t = cos 2 x, t ≤ 1. Ta có cos 2 x + cos 2 x − = 0 ⇔ t + t − = 0 ⇔ 
4
4
2
t = −3

2
2

2

π
π


2 x = + k 2π
x = + kπ



1
π
1
3
6
⇔
( k ∈¢) .
Với t = , ta có cos 2 x = = cos ⇔ 
2
3
2
 2 x = − π + k 2π
 x = − π + kπ
3
6


Câu 8.
Phương trình sin 2 x − 2sin x = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
Trang 23


t = 0
2
2
⇔ t = 0 (do t ≤ 1 ).
Đặt t = sin x, t ≤ 1. Ta có sin x − 2sin x = 0 ⇔ t − 2t = 0 ⇔ 
t = 2
Với t = 0, ta có sin x = 0 ⇔ x = k π ( k ∈ ¢ ) .

Câu 9.
Phương trình cot 2 3 x − cot 3x − 2 = 0 có nghĩa ⇔ x ≠

kπ
.
3

 t = −1
2
2
.
Đặt t = cot 3 x. Ta có cot 3 x − cot 3x − 2 = 0 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ 
t = 2
3π
3π
π kπ
⇔ 3x =
+ kπ ⇔ x = +
Với t = −1, ta có cot 3 x = −1 ⇔ cot 3 x = cot
( k ∈¢) .
4
4
4 3
1
π
Với t = 2, ta có cot 3 x = 2 ⇔ 3x = arccot 2 + k π ⇔ x = arc cot 2 + k ( k ∈ ¢ ) .
3
3
Câu 10.
Phương trình 2 cos 2 x + 2 cos x − 2 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .

Ta có 2 cos 2 x + 2 cos x − 2 = 0 ⇔ 4 cos 2 x − 2 + 2 cos x − 2 = 0 ⇔ 4 cos 2 x + 2 cos x − 2 − 2 = 0.
Đặt t = cos x, t ≤ 1.

2
t =
2
2
2
2
⇔t=
Ta có 4 cos x + 2 cos x − 2 − 2 = 0 ⇔ 4t + 2t − 2 − 2 = 0 ⇔ 
(do t ≤ 1 ).
 −2 − 36 + 16 2
2
t =
8

2
2
π
π
, ta có cos x =
= cos ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
2
4
4
π
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x = − .
4

Câu 11.
2
> 1 (vơ nghiệm).
Ta có 3 sin x = 2 ⇔ sin x =
3
1
1
Ta có cos 4 x = ⇔ cos 4 x = 2 > 1 (vơ nghiệm).
4
2
2
2
2
Ta có 2 + 2 < 5 nên phương trình 2sin x + 3cos x = 5 (vô nghiệm)
Câu 12.
Với t =

Phương trình 13sin 2 x − 78sin x + 15 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ . Đặt t = sin x, t ≤ 1.
t = 0,199
2
2
⇔ t = 0,199 (do t ≤ 1 ).
Ta có 13sin x − 78sin x + 15 = 0 ⇔ 13t − 78t + 15 = 0 ⇔ 
t = 5,801
 x = arcsin 0.199 + k 2π
( k ∈¢) .
Với t = 0,199, ta có sin x = 0,199 ⇔ 
 x = π − arcsin 0.199 + k 2π
Vì x ∈ [ 0; 2π] nên phương trình có hai nghiệm.
Câu 13.

Phương trình 3cos x + 2 sin x = 2 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
Ta có 3cos x + 2 sin x = 2 ⇔ 3cos x + 2 1 − cos 2 x = 2.
Trang 24


Đặt t = cos x, t ≤ 1. Ta có 3cos x + 2 sin x = 2 ⇔ 3t + 2 1 − t 2 = 2 ⇔ t = 0.
Với t = 0, ta có cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
2

Câu 14.
Phương trình tan 2 x −

π
4 3
tan x + 1 = 0 có nghĩa ⇔ x ≠ + k π.
2
3


3
4 3
4 3
t =
2
tan x + 1 = 0 ⇔ t −
t +1 = 0 ⇔ 
3 .

Đặt t = tan x. Ta có tan x −
3
3
t = 3
2

3
3
π
π
, ta có tan x =
⇔ tan x = tan ⇔ x = + k π ( k ∈ ¢ ) .
3
3
6
6
π
π
Với t = 3, ta có tan x = 3 ⇔ tan x = tan ⇔ x = + k π ( k ∈ ¢ ) .
3
3
π
7π
13π
π
4π
7π
;x =
;x = ;x =
;x =

.
Vì x ∈ [ 0;3π] nên x = ; x =
6
6
6
3
3
3
Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 15.
Phương trình sin 2 x − 5sin x + 6 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
Với t =

Đặt t = sin x, t ≤ 1.
t = 3
2
2
⇔ t = ∅ (do t ≤ 1 ).
Ta có sin x − 5sin x + 6 = 0 ⇔ t − 5t + 6 = 0 ⇔ 
t = 2
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Câu 16.
π

π
cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k π
2
⇔x≠k .
2
Phương trình ( tan x + cot x ) − ( tan x + cot x ) = 2 có nghĩa ⇔ 

2
sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π
t = 2
2
2
.
Đặt t = tan x + cot x. Ta có ( tan x + cot x ) − ( tan x + cot x ) = 2 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ 
 t = −1
 tan x + cot x = 2
 tan x = 1
⇔
.
Với t = 2, ta có 
 tan x cot x = 1
cot x = 1
 tan x + cot x = −1
Với t = −1, ta có 
(vơ nghiệm).
 tan x cot x = 1
Vậy tan x +

1
= 2.
tan x

Câu 17.
x 1
= có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇒ D = ¡ .
2 2
1

1 − cos x 1
2 x
= ⇔ 2sin x + 1 − cos x = 1 ⇔ 2sin x − cos x = 0. ( *)
Ta có sin x + sin = ⇔ sin x +
2 2
2
2
sin x
1
− 1 = 0 ⇔ 2 tan x − 1 = 0 ⇔ tan x = .
Vì cos x = 0 thì (*) vơ nghiệm nên ( *) ⇒ 2
cos x
2
Câu 18.
2
Phương trình sin x + sin

Trang 25