de va dap an thi hsg toan 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (157.9 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

Đề chính thức

Số báo danh

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2010- 2011

Mơn thi: Tốn

Lớp: 9 THCS

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/03/2011

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu I. (5,0 điểm).

1) Cho phương trình:x2 2m x2m 1 0. Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm
x x1, 2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1212

2(1)

xx

P

xxxx





 khi m thay đổi.

2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn

1 1 1
.

a b c Chứng minh rằng A a2 b2 c2

  

là số hữu tỉ.

(b). Cho ba số hữu tỉ x y z, , đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( )

B

x y y z z x

  

   là số hữu tỉ.

Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:

2 2

10
.

1 1 9

x x

   

 

   

 

   

2) Giải hệ phương trình:
2

2
3

2 3

1 1

1 4

1
4.

x x

y y

x x

x

y y y

  

   

  

  



    




Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,
sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
Tính BPE .

Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB ). P là điểm di động

trên đoạn thẳng AB (PA B, và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm
P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường
tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (N P).

1) Chứng minh rằng ANP BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm).

1) Cho a a1, ,....,2 a45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1a2 ....a45 130. Đặt

1 , ( 1, 2,..., 44).

j j j

d a   a j  Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu dj xuất hiện ít

nhất 10 lần.

2) Cho ba số dương a b c, , thoả mãn: a2b2  b2c2  c2a2  2011.

Chứng minh rằng:

2 2 2 1 2011

2 2

a b c

b c c a a b     

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HỐ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 3 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 - 2011

MÔN THI: TOÁN

LỚP: 9 THCS

Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu Ý

Hướng dẫn chấm

Điểm

Câu I

6 đ 2,5đ Ta có 1)

' (m 1) 0, m

     nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 0,5

Theo định lí viet, ta có x1x2 2 ,m x x1 2 2m 1, suy ra 2

4 1

4 2

m
P

m






</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2
(2 1)

1 1. 1,

4 2
m
Max P
m

   

 khi

1
.
2

m 1,0

2a)

1,5đ Từ giả thiết suy ra 2ab 2bc 2ca0 0,5

Suy ra A (a b c  )2   a b c là số hữu tỉ 1,0
2b)

1,0đ

Đặt

1 1 1

, ,

a b c

x y y z x z

  

   suy ra

1 1 1
.

a b c

0,5

Áp dụng câu 2a) suy ra 2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( )

B

x y y z z x

  

   là số hữu tỉ.

0,5

Câu II

6 đ 2,5đ1) Đk:

x Phương trình tương đương với
2

2 2 2 2

2 2 2

10 2 2 10

2 0.

1 1 1 9 1 1 9

x x x x x

 
 
        
 
    
   
1,0
Đặt
2
2
2
,
1
x
t
x


 ta được phương trình

2 10 0 5

9 3

t  t   t 

hoặc
2
3

t  0,5

Với
5
,
3
t 
ta được
2
2
2 5
1 3
x

x   (vô nghiệm)

0,5
Với
2
,
3
t 
ta được

2
2
2 2
1 3
x

x   suy ra

1
.
2

x 0,5

2)
2,5đ

Đk: y0. Hệ tương đương với
2
2
3
3
1 1
4
1 1
4.
x x
y y
x
x x

y y y


   



 
    
 
  

0,5
Đặt
1
,
u x
y
x
v
y

 



 


 ta được hệ

2 2

3 2

2 4 4 4 0 2

2 4 4 2

u u v u u u

v

u uv u u v

         
 
 
  

    
  
 
1,0
Với
2
1,

u
v





 ta được

1
2
1
1.
1
x
x
y
x y
y

 
  


 


 


 (thoả mãn điều kiện)

1,0

Câu 
III

2đ

Kẻ EF AC tại F, DG BC tại G.

Theo giả thiết S(ADPE) S(BPC) 
 S(ACE) S(BCD).

0,5

Mà AC BC EF DG và A C

Suy ra AEF CDG AE CG .

0,5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

     600

BPE PBC PCB PCD PCB

      0,5

Câu 
IV

4,0đ

3,0đ Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến chung của (O) với (C), (D) tại A, B 
tương ứng.

Suy ra ANP QAP QBP BNP   .

1,0

0,5

0,5
Ta có

    

ANBANP BNP QAP QBP  


0

180 AQB

  , suy ra NAQB nội tiếp (1).

Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B

cùng nằm trên một đường tròn.

Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
một đường tròn.

0,5

Ta có OCN 2OAN 2OBN ODN  ,

suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm

trên một đường tròn. 0,5

2)
1,0đ

Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua
các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố
định.

1,0

Câu V
2đ 2,01)

1 2 ... 44 ( 2 1) ( 3 2) ... ( 45 44) 45 1 130 1 129.

d d  d  a a  a a   a  a a  a    (1) 0,5

Nếu mỗi hiệu dj (j 1, 2,...., 44) xuất hiện khơng q 10 lần thì

1 2 ... 44 9(1 2 3 4) 8.5 130

d d  d       mâu thuẫn với (1).

Vậy phải có ít nhất một hiêụ dj (j1,...,44) xuất hiện khơng ít hơn 10 lần

1,5
2)

2,0đ Ta có

2 2 2

2(a b ) ( a b ) .

Suy ra













2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b      b c  c a  c a

0,5

Đặt x b2c2, y c2a z2,  a2b2,

suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

y z x z x y x y z

VT

x y z

     

  

2 2 2

1 ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

y z z x x y

x y z

        
       

     

 

1,0
A

O
N

C D

B
P

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 2 2

1 ( ) ( ) ( )

2 3 2 3 2 3

2 2 2

2 2

y z z x x y

x x y y z z

x y z

        

          

     

 



 



2( ) 3 2( ) 3 2( 3

2 2 y z x z x y x y z

          

Suy ra

1 1 2011

( )

2 2

VT  x y z  

0,5

</div>

de va dap an thi hsg toan 9

Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

<b> Năm học 2010- 2011</b>

<b> </b>

<b>Mơn thi: Tốn</b>

<b>Lớp: 9 THCS</b>

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/03/2011

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 3 trang)

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH</b>

<b>NĂM HỌC 2010 - 2011</b>

<b>MÔN THI: TOÁN </b>

<b>LỚP: 9 THCS</b>

Ngày thi: 24 - 3 - 2011

<b>Hướng dẫn chấm</b>















 

 



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về