Dap an va de thi HSG Toan huyen Que Son nam 20082009

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.83 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG I

Câu 1: (2.0 điểm)

Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P). Hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ lần lượt
là -1 và 2.

a. Viết phương trình đường thẳng AB.

b. Tìm điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện
tích lớn nhất.

Câu 2: (2.0 điểm)

Giải các phương trình
a.

x −1¿2
¿
¿

x(x −2)−

√

x+2+3√2x −5+

√

x −2−√2x −5=3√2

Câu 3: (2.0 điểm)

Cho ba số y, z, t. Đặt a = y + z + t; b = yz + zt + ty; c = yzt. Chứng minh các
phương trình ẩn x sau đều có nghiệm.

x2 + 2ax + 3b = 0

ax2 - 2bx + 3c = 0

Câu 4: (3.0 điểm)

Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M ở ngồi đường trịn vẽ các tiếp tuyến
MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O,
A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E.

a. Chứng minh MC = ME.

b. Chứng minh DE là phân giác của góc ADB.

c. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh IM là phân giác của CID.
Câu 5: (1.0 điểm)

Cho A(n) = 5n(5n+1) - 6n(3n + 2n). Chứng minh rằng: A(n) chia hết cho 91

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I

Câu 1: (2.0 điểm)

- A, B thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên có toạ độ A(-1;1), B(2;4).

- Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b. (*)
- Thay toạ độ của A, B vào (*) được:

{

− a2a+b=1

+b=4⇔

{

a=1

b=2 . Vậy phương trình đường

thẳng AB là y = x + 2.

- Gọi m là hồnh độ của điểm M. Có M(m;m2) 
và m [-1, 2]. Gọi C, D, N lần lượt là hình

chiếu của A, B, M lên trục hồnh ta có:
NC = m+1; ND = 2-m; CD = 3
- SAMB = SABCD - (SAMNC + SMBDC).
- Tính được:

SABCD = AC

+BD

2 . CD=
1+4

2 . 3=
15

2
SAMNC = AC+MN

2 . CN=
1+m2

2 (m+1)
SMBDN = MN+BD

2 . ND=

m2+4

2 (2− m)
- SAMB = 152 − 1+m

2 (m+1)

−m

2 (2−m)
¿15−m− m

−1− m2−2m2−8+m3+4m

2
¿6+3m−3m

2 =−

3
2(m

− m−2)
m−1

2¿

+27

m−1

2¿

2−3

2(−2−
1
4)=−

3
2¿

¿−3

2¿

8 . Dấu “=” xảy ra khi m=
1
2 .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Do 12∈[-1;2] nên SAMB lớn nhất là 27

8
(đvdt)

(Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Câu 2: (2.0 điểm)
a. (1.0 điểm)
- ⇔ 1

x2−2x−

x2−2x

+1=

1
20

- Đặt y = x2−2x ( y ≠0; y ≠−1 ) được:

y −

y+1=

20 ⇔20(y+1− y)=y(y+1)⇔y

+y −20=0 .

- Giải được: y1 = 4; y2 = -5.

- Tìm x với y1 và y2 vừa tìm được:

x2 - 2x = - 5

 x2 - 2x + 5 = 0. Phương trình vô nghiệm.

x2 - 2x = 4

 x2 - 2x - 4 = 0. Phương trình có hai nghiệm x1=1+√5; x2=1−√5

b. (1.0 điểm)

- Nhân hai vế với √2 được:

√

2x+4+3 .2 .√2x −5+

√

2x −4−2√2x −5=3

- 

√

2x −5+9+3 . 2.√2x −5+

√

2x −5+1−2√2x −5=3



√2x −5+3¿2
¿

1−√2x −5¿2
¿
¿
¿

√¿

-  |√2x −5+3|+|1−√2x −5|=3

- Có |√2x −5+3|+|1−√2x −5|≥|√2x −5+3+1−√2x −5|=4 . Vậy phương trình vơ

nghiệm.

( Trong trường hợp này không cần thử lại hoặc đặt điều kiện).
Câu 3: (2.0 điểm)

a.(0.75 điểm): Phương trình x2 + 2ax + 3b = 0 (1)

- ’=a2 - 3b = (y + z + t)2 - 3(yz + zt + ty) = y2 + z2 + t2 -yz - zt - ty

- = 12 [(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2]

- ’≥ 0 nên (1) ln có nghiệm.

b. (1.25 điểm): Phương trình ax2 - 2bx + 3c = 0 (2)

Xét a = 0:

- Nếu b = 0  a2 - 3b = 0  12 [(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2] = 0

 y = z = t = 0  c = 0. Lúc đó phương trình (2) có vơ số nghiệm.

- Nếu b ≠ 0  Phương trình (2) có nghiệm duy nhất.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- ’= b2 -3ac = (yz + zt + ty)2 - 3(y + z + t)yzt

= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 +2z2yt + 2y2zt + 2t2zy - 3y2zt- 3z2yt - 3t2zy

= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 - y2zt- z2yt - t2zy

- = 12 [(yz-zt)2+(zt-ty)2+(ty-yz)2].

- ’≥ 0 nên (2) ln có nghiệm.

Câu 4: (3.0 điểm)

a.(1.0 điểm)

- Gọi F là giao điểm của CE với (O). Có AF =
BF

- sđ AEC = sđ AC+2BF =sđ AC+2AF

= sđ CF2 = sđ MCF

-  MCE cân tại M nên MC = ME.

(Mỗi ý cho 0,25 điểm- Riêng ý 2 cho 0,50 điểm)

b.(1.0 điểm)

Gọi G là giao điểm của DE với (O).

- MD = MC = ME MDE cân tại M  MDE = MED

- sđ MDE = sđ DG2 = sđ AD2 + sđ AG2 .

- sđ MED = sđ AD2 + sđ GB2

-  sđ GB2 = sđ AG2  ADG =  GDB hay DE là phân giác của góc ADB.

c.(1.0 điểm)

- I là trung điểm của dây AB  OI IM.

- MC, MD là tiếp tuyến của (O) nên OC  CM; ODDM.

-  Các điểm M, C, I, O, D nằm trên đường trịn đường kính MO.

- MC = MD MC = MD  CIM =  DIM. Hay IM là phân giác của góc CID.

(Mỗi ý của b,c cho 0,25 điểm)
Câu 5: (1.0 điểm)

- A(n) = 25n + 5n - 18n - 12n

= (25n - 18n) - (12n - 5n)

- (25n - 18n); (12n - 5n) đều chia hết cho 7 nên A(n) chia hết cho 7

- A(n) = (25n - 12n) - ( 18n - 5n ).

- (25n - 12n); ( 18n - 5n ) đều chia hết cho 13 nên A(n) chia hết cho 13.

- (13,7) = 1 nên A(n) chia hết cho 13.7 = 91.

(Mỗi ý cho 0,25 điểm)

B
A

O
I
E

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II

Câu 1: (2.0 điểm)

a. Cho a, b là các số thực không âm tuỳ ý. Chứng tỏ rằng:
√a+b ≤√a+√b ≤

√

2(a+b) . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b. Cho x, y, u, v là các số thực không âm thay đổi và có tổng bằng 1.
- Chứng minh √x+√y+√u+√v ≥1

- Hãy tìm giá trị lớn nhất của S = √x+√y+√u+√v .

Câu 2: (2.0 điểm)

Giải các hệ phương trình sau:
a .

{

x2−3 xy+2y2=0

2x2−3 xy+5=0 b.

{

y3+y2x+3x −6y=0
xy=3− x2

Câu 3: (2.0 điểm)

Cho hình vng ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm

N sao cho góc MBN bằng 450. Đường chéo AC cắt BM tại E và cắt BN tại F.

a. Tính số đo góc ENB.

b. Gọi G và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBC và
EDF. Chứng minh GH song song với MB.

Câu 4: (3.0 điểm)

Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N,

P sao cho MBMC=NC

NA=
PA
PB=

2 . Gọi A’ là giao điểm của BN và CP, B’ là giao điểm

của CP và AM, C’ là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng qua N song song với
BC cắt AM tại Q. Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng CP tại D.

a. Tính các tỉ số: ADMC ; AB'
AM ;

C'M
C'Q .

b. Chứng minh: B'A =B'C' .

c. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Tính diện tích tam giác A’B’C’ theo S .
Câu 5: (1.0 điểm)

Chứng minh rằng:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II

Câu 1: (2.0 điểm)

a. (1.0 điểm)

- √a+b ≤√a+√b⇔a+b ≤ a+b+2√ab⇔2√ab≥0 .

- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.

- √a −√b¿2≥0

√a+√b ≤

√

2(a+b)⇔a+b+2√ab≤2(a+b)⇔a+b −2√ab≥0⇔¿ .

- Dấu “=” xảy ra khi a = b.
b. (1.0 điểm)

- S = √x+√y+√u+√v ≥√x+y+√u+v ≥√x+y+u+v=√1=1

- S = √x+√y+√u+√v ≤

√

2(x+y)+

√

2(u+v)

√

2(2(x+y)+2(u+v))=

√

4(x+y+u+v)=√4=2 .

- Dấu “=” xảy ra khi x = y và u = v và x + y = u + v và x + y + u + v = 1.
- x=y=u=v=1

4 thoả. Vậy Max S= 2.

(Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Câu 2: (2.0 điểm)

a. (1.0 điểm)

- Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x. Giải phương trình này được x1=2y ; x2=y .

- Với x = 2y. Thay vào (2) được:

2(2y)2 - 3.(2y).y + 5 = 0  8y2 - 6y2 + 5 = 0  2y2 + 5 = 0. PT vô nghiệm.
- Với x = y. Thay vào (2) được:

2x2 - 3x2 + 5 = 0  x2 = 5  x

1=√5; x2=−√5

- Hệ có nghiệm:

{

x=√5

y=√5 và

{

x=−√5

y=−√5

b.(1.0 điểm)

- Thay xy từ (2) vào (1) được:


{

y

+y(3− x2)+3x −6y=0

xy=3− x2 

{

y3+3y −yx2+3x −6y=0
xy=3− x2

- 

{

y(y − x)(y+x)−3(y − x)=0

xy=3− x2 

{

(y − x)(y2+xy−3)=0

xy=3− x2

- Tiếp tục thay, được:

{

(y − x)(y

− x2)=0

xy=3− x2 

y − x¿2(y+x)=0
¿

¿
¿
¿

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

- 

{

x=y

xy=3− x2

{

x=− y

xy=3− x2
¿



{

x=y
x2

=3− x2

{

x=− y
− x2=3− x2



{

x=y

2x2=3 

{

x=y
x=±

√

(Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Câu 3:(2.0 điểm)
-  EBN = 450 (gt);

-  ECN = 450(AC là đường chéo hình vuông).

-  tứ giác BCNE nội tiếp.

- ENB = ECB = 450.

-  EBCN nội tiếp đường trịn đường kính BN 

Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ECB là trung

điểm G của BN và EM  EN.

- Tương tự chứng minh được ABFM nội tiếp  MF

 BN.

- D, M, E, F, N cùng thuộc đường trịn đường kính

MN  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là

trung điểm H của MN

- HG là đường trung bình của tam giác MNB nên HG
song song với BM.

(Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Câu 4:(3.0 điểm)
- ADBC =PA

PB=
1

2⇒AD=
BC

- MCBC =2

3⇒MC=
2 BC
3 ⇒
AD
MC=
3
4

- B ' MB ' A =AD

MC=
3
4⇒
AB'
AM =

7 (1)

- QNMC=AN

AC=
2

3⇒QN=
2 MC

- BMMC=1

2⇒BM=
MC

- C ' MC ' Q=BM

QN=
MC
2 :
2 MC
3 =
3
4

- C ' MC ' Q=3

4⇒C ' M=
3

7MQ . Do MQ =

3 nên C’M =

7 AM.

- Từ (1) có AB’ = 37 AM⇒B ' C '=AM−1

7AM−
3
7AM=

3
7AM

- Vậy B’A =B’C’

- MC= 32BC  SAMC = 2

3S . B’M =

7AM  SCMB’=
4

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- A’B’= 12 B’C  SA’MB’ = 12 SCMB’ = 12 . 47 . 32 S

- C’B’ = 34 B’M  SA’B’C’= 34 .SA’MB’ = 43 . 12 . 47 . 32 S = 71 S

(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 5: (1.0 điểm)

- x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z

 x3 -x + y3 - y + z3 - z = 2008

- Có x3 - x= x(x2 - 1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 (Tích của ba số tự nhiên liên

tiếp). Tương tự + y3 - y ; z3 - z chia hết cho 3

-  x3 -x + y3 - y + z3 - z chia hết cho 3.

- 2008 không chia hết cho 3 nên không tồn tại x, y, z nguyên thoả x3 + y3 + z3 =

2008 + x + y + z.

</div>

Dap an va de thi HSG Toan huyen Que Son nam 20082009

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

{

{

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

{

{

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

{

{

{

{

{

{

{

{

{

{

{

{

{

√

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về