PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Phần hình học khơng gian là phần học khó với học sinh, ngồi việc tổng quan
được hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lơgic,
các phương pháp luận để hình thành nên cách giải của mỗi bài tốn.
Trong q trình dạy học qua nhiều phần kiến thức khác nhau nhưng tôi luôn bắt
gặp những câu hỏi giống nhau ví dụ như “Học phần xong để nhằm mục đích gì, có
ứng dụng vào thực tế khơng”... Mặt khác trong các kì thi trung học phổ thơng của
những năm gần đây cũng đã có xuất hiện những câu ứng dụng của hình học vào trong
cuộc sống khiến mơn tốn trở nên sinh động hơn, học sinh thấy việc học mơn tốn
cũng thú vị và ý nghĩa hơn.
Trong phần kiến thức trong các đề thi THPT quốc gia, trong phần hình học khơng
gian tổng hợp là phần học khó đặc biệt là trong bài thi trắc nghiệm, khi thời gian là áp
lực lớn cho học sinh.
Trước yêu cầu ngặt về thời gian của đề trắc nghiệm, yêu cầu cần được tiếp thu của
học sinh, qua thời gian giảng dạy và tìm hiểu tơi đã lựa chọn đề tài này để hồn thiện
hơn kinh nghiệm của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là
để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia.
Trong khuôn khổ của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm, tơi chọn đề tài: “Ứng dụng
của hình học khơng gian vào các bài toán thực tế’’ giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt
các đề thi THPT quốc gia năm 2018”, giúp học sinh có cái nhìn thiết thực hơn về ý
nghĩa của hình học khơng gian.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Mục tiêu của tơi là hồn thiện hơn kinh nghiệm của mình, làm tư liệu để đồng
nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức,
hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia.
Từ đây, có thể hình thành cho học sinh tư duy liên môn, thấy được các mối quan
hệ liên môn giữa các môn học mà lâu nay học sinh khơng để ý tới, từ đó giúp học sinh
có kỹ năng tốt hơn để giải quyết tốt các bài tốn ở mơn khác, ở thực tiễn đời sống sau
này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.

Cụ thể:
+ Các công thức tính sử dụng trong việc tính tốn về hình học.
+ Các dạng bài tốn có thể áp dụng vào thực tiễn cuộc sống.
+ Các bài tập minh họa và các bài tập củng cố.
1


1.4. Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:
+ Phương pháp thống kê, thu thập số liệu:
+ Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết: Vì chưa có một đề tài
nghiên cứu hoàn chỉnh, chuẩn kiến thức nên tơi đã tìm hiểu qua nội dung của các bài
tốn, tham khảo ở một số ý tưởng của một số tác giả và bằng sự hiểu biết của mình để
hình thành nên phương pháp luận, xây dựng thành cơ sở lý thuyết để học sinh học tập.
+ Phương pháp điều tra thực tế: Bằng việc quan sát học sinh làm bài tập tại lớp,
bằng việc thống kê số lượng học sinh làm toán trong các đề thi, các bài kiểm tra, để từ
đó mình điều chỉnh các dạy, định hướng cho học sinh có thể sử dụng kết hợp linh hoạt
nhiều phương pháp.
1.5. Những điểm mới của đề tài:
Cho học sinh thấy được giá trị của toán học vào trong cuộc sống, đặc biệt là cho
các nghành công nghiệp, nền kinh tế của đất nước. Chi phí nguyên vật liệu ít nhất, giá
thành rẻ nhất trong những bài toán Max, Min.
Hơn nữa tốn học được được nhìn trong thực tiễn một cách đơn giản nhất thơng
qua những bài tốn đo lường đơn giản, làm cho người học cảm thấy thích thú.

2


PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Chương học: Hình học khơng gian lớp 11 đến lớp 12 có một lượng kiến thức rất

nhiều. Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tơi chỉ trình bày những kiến thức liên
quan đến đối tượng nghiên cứu của đề tài.
2.1.1. Xác định đúng hình trong bài tốn
Khi đã xác định được đúng hình trong bài tốn thì cần vẽ đúng hình theo tiêu
chuẩn của khơng gian
2.1.2. Xác định đúng cơng thức tính trong bài tốn.
Những cơng thức tốn học thường được dùng trong các bài tốn thực tế là bất
đẳng thức cơ si; các cơng thức tính diện tích, thể tích, các cơng thức hình học liên
quan:
a. Cơng thức tính thể tích của hình chóp
1
V  B.h : Với B là diện tích mặt đáy, h là chiều cao hình chóp
3

b. Cơng thức thể tích của hình lăng trụ
V  B.h : Với B là diện tích mặt đáy, h là chiều cao hình lăng trụ
c. Cơng thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:
+ Diện tích xung quanh: Sxq = p.r .l
2
+ Diện tích đáy (hình trịn): Sday = p.r

+ Diện tích tồn phần hình nón: Stp = Sxq + Sday
1
3

1
3

+ Thể tích khối nón: Vnon = Sday .h = p.r 2.h .

d. Cơng thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , khi đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2prh
+ Diện tích tồn phần của hình trụ:

Stp = Sxq + 2.S�ay = 2prh + 2pr 2

+ Thể tích khối trụ:
V = B.h = pr 2h
e. Cơng thức tính diện tích và thể tích của hình cầu
4
3

+ Diện tích mặt cầu: SC = 4pR 2 .

+ Thể tích mặt cầu: VC = pR 3 .
3


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Như đã nói ở trên, Hình học khơng gian tổng hợp là một mơn học khó, đặc biệt là
các bài tốn thực tế. Chính vì vậy mà trong các đề thi đại học của những năm trước
đây, câu phần hình học khơng gian tính thể tích khối đa diện, phần này ở mức độ 2
(thông hiểu), các câu toán thực tế ở mức độ 3 (vận dụng thấp - cao). Những học sinh
có học lực trung bình, hoặc trung bình – khá thường bỏ qua phần này hoặc rất vất vả
nhưng không chắc chắn đúng hay sai. Điều này dẫn đến việc học sinh khơng dành
thời gian thích đáng để ôn tập phần này, đã kém phần này lại càng học kém hơn.
Tuy nhiên, khi được triển khai ứng dụng các bài tốn hình học khơng gian vào
thực tế học sinh có hứng thú học tập hơn hẳn, thậm chí một số học sinh cịn dành thời
gian rất nhiều để nghiên cứu phần kiến thức này như là để bù lại sự thiếu sót trong hệ

thống kiến thức ôn luyện thi.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
Trước thực trạng trên của học sinh trong quá trình học hình học không gian dẫn
đến sự cần thiết phải truyền thụ kiến thức cho học sinh về ứng dụng các bài tốn hình
học khơng gian trong thực tiễn. Bên cạnh đó, phân phối chương trình khơng dành thời
lượng cho việc triển khai này nên việc triển khai phải thực hiện lồng ghép, thường
xuyên trong mỗi tiết dạy lý thuyết, mỗi tiết dạy bài tập. Cụ thể :
2.3.1. Trong bài thể tích khối đa diện. Ta có thể lồng ghép, bắt đầu truyền thụ
dần kiến thức về ứng cho học sinh như:
+ Các bài tốn về hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác ,tháp cổ Ai câp...
+ Các bài toán về hình Hình lập phương; hình hộp chữ nhật; hình lăng trụ đứng
như tòa tòa, thùng đựng đồ...
2.3.2. Trong bài ‘’Khối nón - Khối trụ - Khối cầu”
Sử dụng các bài tốn như cái phễu, đường óng thốt nước, ống lăn sơn, hộp đựng
mỹ phẩm..
2.3.3 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Câu 1: Người ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp
500 3
m Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng,
3
giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m3 . Nếu biết xác định kích

có thể tích

thước của bể hợp lí thì chi phí th nhân cơng sẽ thấp nhất, chi phí thấp nhất
là bao nhiêu:

4



Lời giải

.
Nhận xét: Chi phí thấp nhất là nhu cầu thiết yếu của cuộc sống. Xác định
đúng công thức về diện tích, thể tích, áp dụng khéo léo bất đẳng thức cosi thì
tốn học sẽ có tac dụng thiết thực trong cuộc sống.
Gọi các yếu tố như hình vẽ, diện tích phần phải xây của bể là phần xung
500
�
V  2 x 2 .h 
500
250 250 co si
�
 2x2 

�150 .
3 � S  2x2 
quanh và đáy. Ta có �
x
x
x
�S  2 x 2  6 xh
�
Số chi phí thấp nhất là 150 �500000  75 triệu.

Câu 2. Một người thợ gị hàn muốn làm một thùng tơn đựng thóc ở dạng hình hộp
khơng nắp theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vng cạnh x  cm  , chiều
cao là h  cm  và thể tích là 500cm3 . Tìm độ dài cạnh hình vng x sao cho
chiếc hộp làm ra tốn ít nguyên liệu nhất.

Lời giải

Lời giải

5


Nhận xét: Đây là một trong những bài toán mà các người thợ phải biết để
có thu nhập cao nhất.
Thể tích khối hộp V  x.x.h  x 2 h  500 � h 

500
.
x2

Để chiếc hộp làm ra ít ngun liệu nhất khi và chỉ khi diện tích tồn phần của
hộp là nhỏ nhất. Diện tích tồn phần của hộp (không nắp)
S tp  Sday  S xung quanh  x.x  4.hx  x 2  4hx
500
2000
1000 1000 Cosi 3
2
2

x


x



� 3 1000 2 .
2
x
x
x
x
1000 1000

� x3  1000 � x  10.
Dấu ''  '' xảy ra � x 2 
x
x
2000
Cách 2. Xét hàm f  x   x 2 
với x  0 .
x
x 2  4 x.

Câu 3. Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhơm hình hộp chữ nhật khơng nắp
và có các kích thước x, y, z  dm  . Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y  1: 3 , thể tích
khối hộp bằng 18dm3 . Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng x  y  z bằng bao nhiêu.
Lời giải

Ta có x : y  1: 3 � y  3x.
Theo giả thiết, ta có xyz  18 � z 

6
.
x2


Tổng diện tích vật liệu (nhôm) cần dùng là:
S tp  Sday  S xungquanh (do hộp không nắp)
6 �
48
� 6
 xy  2  xz  yz   x.3x  2 �x. 2  3x. 2 � 3x 2  .
x �
x
� x
48
Xét hàm f  x   3x 2 
trên  0; � , ta được f  x  nhỏ nhất khi x  2.
x
3
19
� x  y  z  dm.
Khi x  2 � y  6, z  ��
2
2

Cách 2. BĐT Côsi 3x 2 

48
8 8
� 8 8�
 3 �x 2   ��3.3 3 x 2 . .  36.
x
x x
� x x�


6


8
x

8
x

Dấu ''  '' xảy ra � x 2   � x  2. .
Câu 4. Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới
mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên
trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như
hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là
R  3 3cm. Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực
ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng).

Lời giải
Nhận xét: Những mẫu sản phẩm này xuất hiện nhiều trên thị trường.
Các kĩ sư thiết kế phải nắm được công thức của khối trụ, khối cầu để
đem lại lợi nhuận cao nhất cho cơng ti.
Xét mặt cắt như hình vẽ: Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy
của khối trụ nằm trong nửa khối cầu
2
2
3
Ta có r 2  h 2  27 � r 2  27  h 2 ; Ta có V  h. r  h  27  h    h  27 h

Vậy ta có V '  3 h2  27 ;V '  0 � h  3 .
2

3
Vì hệ số a  0 nên để Vmax thì h  3 � r  18 � V  3. .18  54  cm 

Câu 5. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152m 2
và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong
để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước như nhau
(khơng kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phịng theo kích thước nào để tiết
kiệm chi phí nhỏ nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).

7


Lời giải
Đặt x, y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng.

�y 
Theo giả thiết, ta có x.3 y  1152 ��

384
.
x

Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích tồn phần nhỏ nhất.
Ta có S tp  4 xh  6 yh  3xy  4 xh  6.

384
� 576 �
h  1152  4h �x 
� 1152 .
x

� x �

576
Vì h khơng đổi nên S tp nhỏ nhất khi f  x   x 
(với x  0 ) nhỏ nhất.
x

Khảo sát f  x   x 

576
với x  0 , ta được f  x  nhỏ nhất khi
x

x  24 ��
� y  16 .

Cách 2. BĐT Côsi x 
Câu 6:

576
576
576
� x  24.
�2 x.
 48. Dấu ''  '' xảy ra � x 
x
x
x

Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp

đậy với dung tích 1000 cm3 . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm
nguyên vật liệu nhất bằng
A.

3

500 cm
.


B. 10. 3

5 cm
.


C.

500
cm


D. 10.

5 cm
.


Lời giải
Chọn A.

Gọi h  cm  là chiều cao hình trụ và R  cm  là bán kính nắp
đậy.
Ta có: V   R 2 h  1000 . Suy ra h 

1000
.
 R2

8


Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích tồn phần Stp của
hình trụ nhỏ nhất.
Ta có: Stp  2 R 2  2 Rh  2 R 2  2 R.
 2 R 2 

1000
 R2

1000 1000
1000 1000

�3. 3 2 R 2 .
.
 3 3 2 .10002
R
R
R
R


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 R 2 

1000
500
�R3
.
R


Câu 7. Người ta cắt một tờ giấy hình vng cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp
tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vng dán lại thành đỉnh của hình
chóp như hình vẽ. Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy x của hình
chóp bằng bao nhiêu.

Lời giải
Nhận xét: Đây là bài toán thể hiện sự tư duy sáng tạo trong kĩ thuật cắt,
dán, có ứng dụng quan trọng khi làm các thùng đựng đồ dạng hình chóp.

1
2

2 x
 .
2 2

Ta có BM  BO  MO  AB  MO 

2

2

� 2 x � �x �
1 x 2
.
Chiều cao của hình chóp: h  BM  MO  �
�
�2  2 �
� �
2
�
� �2 �
2

1
3

Suy ra thể tích của khối chóp: V  x 2

9

2

1  x 2 1 x4  x5 2

.
2
3
2


�


2�
�
�, ta được f  x  lớn nhất khi
� 2 �

0;
Khảo sát hàm f  x   x 4  x5 2 trên �
�
x

2 2
.
5

Câu 8: Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ
trịn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước (hai đáy cũng dùng chính vật
liệu đó). Hãy xác định chiều cao h và bán kính R của hình trụ theo V để tốn
ít vật liệu nhất.
A. R  2h  2 3
h  2R  2 3

V
.
2

B. R  2h  2

V
.

2

C. h  2 R  2

V
.
2

D.

V
.
2

Lời giải
Chọn D. Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích tồn phần của hình trụ nhỏ
2
nhất.Ta có: Stp  2 R  2 Rh .

Do V   R 2 h nên h 
Stp  2 R 2  2 R.

V
. Suy ra
 R2

V
V V
V V
 2 R 2   �3. 3 2 R 2 . .  3. 3 2 V 2 .

2
R
R R
R R

Đẳng thức xảy ra khi 2 R 2 

V
V
V
�R3
. Khi đó h  2 3
.
R
2
2

Câu 9: Các kích thước của một bể bơi được cho trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình
chữ nhật). Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy
ắp nước ?

Lời giải
Nhận xét: Đây là những câu hỏi mà ta thường xuyên bắt gặp khi đứng trước
những hồ nước hay các bể bơi. Khơng khó khăn gì nếu ta xác định đúng
hình, đúng cơng thức.
10


.
Ta thấy bể bởi được tạo thành bởi hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' và hình

lăng trụ đứng A ' EF .D ' IJ có đáy D ' IJ vng tại D�
.
VABCD. A ' B 'C ' D '  AB. AD. AA '  2.10.25  500  m3  .
1
1
VA ' EF .D ' IJ  A�
D '. ID�
.JD�
 10. .2.7  70  m3  .
2
2
3
Thể tích nước là: V  VABCD. A����
B C D  VA�
EF . D ' IJ  570 ( m ) .

Câu 10:

Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2 m , 3cm , 2cm
lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể.
Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao
là 5cm và bán kính đường trịn đáy là 4cm . Trung bình một ngày được múc ra
170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao
nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước?

.
Lời giải
Nhận xét. Hàng ngày chúng ta sử dụng các cơng cụ có dạng hình học quen
thuộc. Nếu xác định đúng được thời lượng dùng thì chúng ta sẽ khơng bị lỡ
việc.

3
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là V  2.3.2  12  m  .

Thể tích nước đựng đầy trong gáo là Vg  42.5  80  cm 3  


m3  . .

12500

Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được
lấy ra bằng: Vm  170.Vg 

17
  m3  .
1250

11


V
12

; 280,8616643 �
Ta có Vm 17 
sau 281 ngày bể sẽ hết nước.
1250

Câu 11: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường trịn
đáy là 5cm , chiều dài lăn là 23cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 15 vịng thì

trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là bao nhiêu.

Lời giải
Nhận xét. Khi xác định đúng được diện tích của trục lăn ta sẽ xác định
được số vòng lăn cần thiết cho 1 lần nhứng sơn.
Diện tích xung quanh của mặt trụ là S xq  2 Rl  2 .5.23  230 cm .
Sau khi lăn 15 vịng thì diện tích phần sơn được là: S  230 .15  3450 cm 2 .
2

Câu 12. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính
tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (khơng cần viền, mép, phần
thừa).

.
Lời giải
Nhận xét: Xác định đúng tổng diện tích vải thì người thợ cắt vải sẽ khơng bị
lãng phí vật liệu. Vậy ta cần xác định đúng hình, tính đúng cơng thức hình
trụ và hình trịn.
Diện tích vành nón và đỉnh nón là diện tích hình trịn đường kính 35cm .
12


2

�35 �
S1  � �  306, 25  cm 2  .
�2 �

Diện tích thân nón là diện tích của hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm và
chiều cao bằng 30cm là: S2 


15
.2 .30  450  cm 2  .
2

2
Vậy tổng diện tích vải cần để làm nên cái mũ là: S  S1  S2  756, 25  cm  .

Câu 13. Người ta cần đổ một ống thốt nước hình trụ với chiều cao 200cm , độ dày
của thành ống là 15cm , đường kính của ống là 80cm . Lượng bê tơng cần phải
đổ là
Lời giải

Nhận xét: Khi xác định được đúng lượng bê tơng cần dùng thì người thợ sẽ
khơng bị lãng phí hay thiếu nguyên liệu xây dựng. cần xác định đúng cơng
thức hình trụ.
Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngồi và bên trong
Do đó lượng bê tơng cần phải đổ là:
V  V1  V2   .402.200   .252.200  195000 cm3  0,195 m3 .
Câu 14: Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép
lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60�như
hình bên. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng
hồ là 1000 cm3 . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết
xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía
dưới là bao nhiêu?

13


Lời giải

Nhận xét. Với bài toán đồng hồ cát này, các kĩ sư cần xác định đúng kích
thước, thể tích để đo thời gian chuẩn nhất.
�
�

30
�
 15 �lần lượt là chiều cao, bán kính của hình nón phía
2
�

h�
, r, r�
Gọi h, h�
�

dưới và phía trên của đồng hồ. Ta có:
r

h
h
h� 30  h

; h�
 30  h; r �


.
tan 60� 3
3

3

Khi đó: thể tích của đồng hồ:
2
2
�
1 2 1
1 �
�h � �30  h �
V   r h   r�
h�
 �
h

30

h
�


� � �
�
�
3
3
3 �
3
3
�
�

�
�
�
�

1 �h3  27000  2700 h  90h 2  h 3 � 1
2
 �
�  90h  2700h  27000  1000
3 �
3
� 9





h  20
�
� h 2  30h  200  0 � �
� h  20 � h�
 10
h

10

15


�

3

V �h�
� 1
Do 2 hình nón đồng dạng nên 1  � � .
V2 �h � 8

Câu 15. Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính
mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất.
A. Đáp án khác.
B. R  4 2.
C. R  2.
D. R  2 2.
Lời giải
Chọn D

14


Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất.
AKM vng tại K . Ta thấy IK  r là bán kính đáy của chóp, AI  h là chiều

cao của chóp.
IK 2  AI .IM � r 2  h  6  h  .
1
1
V   r 2 h   h2  6  h 
3
3


 0  h  6 .

1
Vmax �  h 2  6  h  max � y  h3  6h 2 max trên  0;6  .
3

Câu 16. Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất
lỏng là một khối nón có chiều cao 2 dm (mơ tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc
ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển
chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng
trong ly thứ nhất cịn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai
sau khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt
chất lỏng - lượng chất lỏng coi như khơng hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng
h với sai số không quá 0,01dm).

Lời giải

15


Nhận xét: Đây là bài toán ta gặp thường xuyên khi rót rượu. cần xác định
đúng lượng nước cần đổ, các thơng số về hình nón.
Có chiều cao hình nón khi đựng đầy nước ở ly thứ nhất: AH = 2 .
Chiều cao phần nước ở ly thứ nhất sau khi đổ sang ly thứ hai: AD = 1 .
Chiều cao phần nước ở ly thứ hai sau khi đổ sang ly thứ hai: AF  h .
� AF h
R� AD 1 R�
R
Rh
�


 ,

 suy ra R�
 , R�

.
R AH 2 R AH 2
2
2
Thể tích phần nước ban đầu ở ly thứ nhất : V  2 R 2 .
 R 2 h3
2
�
h
Thể tích phần nước ở ly thứ hai : V1   R�
.
4
 R2
Thể tích phần nước cịn lại ở ly thứ nhất: V2 
.
4
 R 2 h3  R 2
h3 1

 2 R 2 �   2 � h  3 7 �1,91 .
Mà: V  V1  V2 �
4
4
4 4


Theo Ta let ta có:

Câu 17. Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là
5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ.
Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính
thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (đơn vị m3 ).
.

0, 5 m

5m
Lời giải

.
16


Nhận xét: Cần xác định đúng cơng thức tính diện tích hình quạt, khối trụ
R OB

suy ra OHB là tam giác nửa đều.
22
2
�  60�� �
� HOB
AOB  120�.
1
1
Suy ra diện tích hình quạt OAB là: S   R 2   .

3
3
2
OB 3
3
Mặt khác: SAOB  2SHOB  SBOC 

( BOC đều).
4
4
1
3
Vậy diện tích hình viên phân cung AB là   .
3
4
�1
3�


�
Suy ra thể tích dầu được rút ra: V1  5. �
.
�3
4 �
�
�
Thể tích dầu ban đầu: V  5. .12  5 .Vậy thể tích còn: V2  V  V1 ; 12, 637 m3 .

Nhận xét OH  CH  0,5 


Câu 16:

Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình
vẽ). Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể
tích của bồn chứa nước là

128
m3  . Tính diện tích xung quanh của cái bồn

3

chứa nước theo đơn vị m 2 .
Lời giải

Nhận xét: Từ mơ hình bài tốn ta xác định được diện tích xung quanh thơng
qua cơng thức tính hình trụ và hình cầu.
Gọi 4 x  m  là đường sinh hình trụ.
� đường trịn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x  m  .
Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy
R  x đường sinh l  h  4 x và thể tích khối cầu có bán kính R  x .
4

128

�2
3�
� x  2  m .
Do đó:  �x .4 x  x �
3 � 3
�

2
2
Vậy diện tích xung quanh bồn nước là: S    4 x  2.x.4 x   48  m  .
Câu 18: Một Kim tự tháp ở Ai cập có dạng là một khối chóp tứ giác đều, với các kích
hước như hình ảnh. Tính thể tích của kim tự tháp với kết quả làm tròn đến phần
nguyên.

17


.
Lời giải
Cạnh đáy a  2 �377.9  755.8 . V  1 Bh  1 a 2 h  1 (755.8)2 481.4  91663958
3

3

3

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Khi đề tài được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, với ý tưởng của đề tài, trong hơn
10 năm kinh nghiệm giảng dạy của mình tơi thấy có tác dụng, có ý nghĩa thực sự rõ
rệt, cụ thể:
Đối với học sinh: Các em có hứng thú rõ rệt với mơn học hình học khơng gian,
đặc biệt là những em có học lực trung bình, khơng gây áp lực giải toán cho các em,
trong các kỳ thi thử đại học và thi đại học của những năm trước và thi THPT quốc gia
ở những năm gần đây.

Đặc biệt trong năm học này tôi được nhà trường phân công dạy 2 lớp 12. Tôi
thống kê 1 lớp như sau, lớp này mức độ đầu vào là trung bình khá. Tơi đã sử dụng
sáng kiến của mình vào dạy học và kiểm tra có kết quả cụ thể như sau:
Sĩ số 40
Điểm trên Điểm trên Điểm trên Điểm trên
7 đến 8
6 đến 7
5 đến 6
4 đến 5
Tỉ lệ
20%
30%
30%
20%
Đối với bản thân: Đây là một nội dung quan trọng để trong quá trình giảng dạy,
tùy từng đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức tổng hợp thuần túy phù hợp, tránh
gây khó khăn, nản lịng ở học sinh và sẽ được hoàn thiện, bổ sung phù hợp với tất cả
các đối tượng học sinh.
Đối với đồng nghiệp: Đề tài cũng là một nguồn tham khảo hữu ích, về cả nội
dung, ý tưởng và một số ý kiến phân tích, lập luận của tác giả trong q trình trình
bày ở mỗi ví dụ để hồn thiện ý tưởng, giáo án giảng dạy của mình

18


PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn áp dụng được vào thực tiễn giảng dạy ở
trường THPT, phù hợp với mọi đối tượng học sinh
Ưu điểm.

Đưa mơn tốn học đến gần với học sinh hơn. Học sinh cảm thụ toán học một cách
tự nhiên, hấp dẫn và ý nghĩa hơn.
Lượng kiến thức và kỹ năng để giúp học sinh có cách nhìn tổng qt hơn về tư
duy hình học
Tổng hợp các bài tốn này giúp học sinh có động lực để học hình học không gian
và nâng cao điểm thi THPT quốc gia.
Hạn chế.
Những bài tốn ứng dụng thường là khó, sử dụng nhiều cơng thức, cần có sự tư
duy cao, cần làm nhiều bài tập mới rút ra được kinh nghiệm.
Để làm tốt bài tập, u cầu học sinh phải có tính cẩn thận, tính chính xác vì chủ
yếu là tính tốn, đặc biệt là các dữ kiện trong đề bài toàn chứa tham số. Các công thức
tương tự nhau nên rất dễ nhầm lẫn.
Chính vì vậy, trong q trình triển khai, ngay từ bài đầu tiên giáo viên cần yêu cầu
học sinh cẩn trọng trong tính tốn.
3.2. Kiến nghị.
Kiến nghị với Sở Giáo dục và Đào tạo: Sau mỗi năm, nhiều đề tài sáng kiến kinh
nghiệm có chất lượng cần được triển khai rộng rãi để cán bộ giáo viên tham khảo. Vì
vậy trong mục Quản lý SKKN của Trang điện tử của Sở cần có thêm phần tổng hợp
tất cả các SKKN để cán bộ giáo viên có thể tải về tham khảo.
Trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, với năng lực có hạn của bản thân khơng
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý, của đồng nghiệp và học sinh.
Tôi xin cam đoan với Hội đồng khoa học nhà trường THPT Hậu Lộc 1, Hội đồng
khoa học Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Sáng kiến kinh nghiệm này do chính tơi viết từ
chính kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, tôi chọn lọc các bài tập trong các đề thi
thử của các trường THPT, các sách tham khảo của nhiều tác giả viết khác nhau. không
sao chép sáng kiến kinh nghiệm nào của ai cả. Tôi xin chịu hồn tồn trách nhiệm với
lời cam đoan của mình.
Trân trọng cảm ơn!

19



Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021
CAM KẾT KHÔNG COPY

Đinh Thị Hồng

20