PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Phần hình học khơng gian là phần học khó với học sinh, ngồi việc tổng quan
được hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lơgic,
các phương pháp luận để hình thành nên cách giải của mỗi bài tốn.
Trong q trình dạy học mơn tốn tôi thấy điều quan trọng là dạy cho học sinh
phương pháp tư duy khoa học và logic, học sinh phải có nền tảng kiến thức bộ mơn
vững vàng và biết vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết vấn đề trong học tập
và trong thực tế cuộc sống.
Bài thể tích khối đa diện trong mơn hình học lớp 12 là một chuyên đề khó đối
với học sinh và thường hay gặp trong kỳ thi quốc gia, kỳ thi tốt nghiệp THPT . Để
học tốt bài này các em cần có kiến thức vững chắc phần quan hệ song song và quan
hệ vng góc trong khơng gian và nắm chắc các hệ thức lượng trong tam giác, các
tính chất của các hình cơ bản .
Trước yêu cầu ngặt về thời gian của đề trắc nghiệm, yêu cầu cần được tiếp thu
của học sinh, qua thời gian giảng dạy và tìm hiểu tơi đã lựa chọn đề tài này để hồn
thiện hơn kinh nghiệm của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên
hết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hồn thành tốt các đề thi THPT
quốc gia. Trong khuôn khổ của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm, tôi chọn đề tài: “Vận
dụng tỉ số thể tích để giải bài tốn tính thể tích khối đa diện trong hình học
khơng gian tổng hợp, giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia
năm 2021”. Trong quá trình dạy học bài thể tích khối đa diện, tơi đã áp dụng giải
pháp, sau khi áp dụng tôi thấy đây là một giải pháp hay, hiệu quả trong dạy học bài
“Thể tích khối đa diện” trong mơn hình học 12. Học sinh hứng thú khi tiếp nhận và
vận dụng thành thạo vào giải bài tập , từ đó kết quả học tập của học sinh ngày càng
được nâng cao . Phát triển tư duy logíc trong suốt q trình học tập, học sinh thấy
được tính đa dạng trong việc tư duy giải tốn .
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Như đã nói ở trên, mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm hồn thiện hơn kinh
nghiệm của bản thân, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để
học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia.

Từ đây, có thể hình thành cho học sinh tư duy liên môn, thấy được các mối
quan hệ liên môn giữa các môn học mà lâu nay học sinh không để ý tới, từ đó giúp
học sinh có kỹ năng tốt hơn để giải quyết tốt các bài tốn ở mơn khác, ở thực tiễn
đời sống sau này.
1


Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực trạng của việc dạy và học tính thể tích
khối đa diện giúp giáo viên xây dựng và truyền đạt cho học sinh sơ đồ tư duy từ
kiến thức cơ bản đến bài tốn thường gặp và từ đó học sinh dễ dàng nắm chắc kiến
thức sâu hơn, vận dụng thành thạo hơn trong giải bài tập.
1.3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài:
- Học sinh lớp 12A3 trường THPT Hậu Lộc 1, học chương trình Nâng cao.
- Mục tiêu đạt được của chuyên đề tính thể tích khối đa diện được giới thiệu trong
sách giáo khoa Hình học lớp 12.
- Các bài tập, cơng thức được giới thiệu trong chương trình THPT.
1.4. Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:
+ Phương pháp thống kê, thu thập số liệu.
+ Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết: Vì chưa có một đề tài
nghiên cứu hoàn chỉnh, chuẩn kiến thức nên tơi đã tìm hiểu qua nội dung của các
bài tốn, tham khảo ở một số ý tưởng của một số tác giả và bằng sự hiểu biết của
bản thân để hình thành nên phương pháp luận, xây dựng thành cơ sở lý thuyết để
học sinh học tập.
- Thực hiện dạy tại lớp 12A3 , đối chứng với các phương pháp thường gặp khác Thống kê phân tích, tổng hợp kết quả đạt được sau khi áp dụng.
1.5. Những điểm mới của đề tài:
- Hình thành sơ đồ tư duy từ kiến thức cơ bản đến bài toán thường gặp và từ đó
vận dụng thành thạo hơn trong giải bài tập.
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
- Học sinh nắm chắc kiến thức phần quan hệ song song và quan hệ vng góc trong

khơng gian .
- Học sinh nắm chắc các hệ thức lượng trong tam giác, các tính chất của các hình
cơ bản .
Trong khn khổ giới hạn của đề tài, tơi chỉ trình bày những kiến thức liên quan
đến đối tượng nghiên cứu của đề tài.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
- Khi tính thể tích khối đa diện học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định
chiều cao và vận dụng các hệ thức lượng giác để tính, học sinh thường áp dụng ở
dạng thuần túy. Do đó khi gặp một số bài phức tạp cần hướng dẫn cho học sinh vận
dụng một cách linh hoạt, đưa về áp dụng các bài tốn thường gặp thì mới có hiệu
quả.
2


- Tư duy của học sinh còn nhiều hạn chế , các em chưa hiểu rõ mối liên hệ giữa thể
tích của các khối đa diện cần phát triển tư duy logic trong vận dụng tỉ số thể tích để
đưa về bài toán thường gặp .
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
3.1. Giải pháp
- Nghiên cứu các phương pháp tính thể tích trong tài liệu nghiên cứu trên Internet,
sách ôn luyện thi THPT Quốc gia .
- Phân dạng các bài tập và phương pháp giải .
- Áp dụng vào dạy cho học sinh nắm chắc phương pháp tính thể tích và vận dụng
thành thạo.
- Hướng dẫn học sinh nhận dạng bài tập áp dụng với phương pháp được trang bị.
3.2. Tổ chức thực hiện
3.2.1. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
3.2.1.1. Kiến thức cơ bản
1
Phương pháp chung: Cơng thức tính thể tích của khối chóp : V = B.h , trong đó: h

3
là chiều cao và B là diện tích đáy.
Tơi chia ra làm 3 trường hợp sau :
- Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy.
Phương pháp: Độ dài cạnh bên vng góc với mặt đáy là chiều cao của khối chóp.
- Trường hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vng góc với mặt đáy.
Phương pháp: Giao tuyến của hai mặt bên cùng vng góc với mặt đáy chính là
đường cao của khối chóp.
- Trường hợp 3: Khối chóp có một mặt bên vng góc với mặt đáy.
Phương pháp: Đường cao của mặt bên vng góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh chóp là
đường cao của khối chóp.
3.2.1.2. Các bài tốn thường gặp

·
Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2 2 , BAD
= 60o.
Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SC = 4 3 . Tính thể tích của khối
chóp S . ABCD .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tính thể tích khối chóp.

3


1
2. Kiến thức cần nhớ: Thể tích khối chóp V = .S .h .
3
3. Hướng giải:
1
·

B1: Tính diện đáy là hình thoi cạnh a là S∆ABCD = . AB. AD.sin BAD
.
2
B2: Tính độ dài đoạn AC .
1
B3: Tính chiều cao SA của hình chóp suy ra VS . ABCD = .S ABCD .SA .
3
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

1
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD = .S ABCD .SA .
3
Mà S ABCD = AB. AD.sin A = 4 3
Xét tam giác SAC có : AC = 2. AO = 6 ( Với O là tâm của hình thoi và AO là
đường trung tuyến trong tam giác đều ABD )

SA = SC 2 − AC 2 = 42
1
Vậy thể tích khối chóp S .ABCD là : VS . ABCD = .S ABCD .SA = 4 14 .
3
Bài 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng cân tại A . Hai mặt bên
( SAB ) và ( SAC ) cùng vng góc với mặt phẳng đáy . Biết góc tạo bởi mặt bên

( SBC )

và ( ABC ) bằng 60o và BC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S . ABC .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tính thể tích khối chóp có hai mặt bên kề nhau
cùng vng góc với mặt đáy.
1

2. Kiến thức cần nhớ: Thể tích khối chóp V = .S .h .
3
3. Hướng giải:
4


B1: Tính diện tích đáy (tam giác vng cân có cạnh huyền bằng BC = a 2 ).
B2: Xác định góc giữa mặt bên ( SBC ) và đáy.
B3: Tính chiều cao SA của hình chóp.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

1
1
a2
2
Thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC = .S ABC .SA . Mà S ABC = BC =
3
4
2
 BC ⊥ SI , BC ⊥ AI

Lấy I là trung điểm của BC . Khi đó 
BC a 2
=
 AI =

2
2
¶ = 60o.
Vậy (·

( SBC ) , ( ABC ) ) = ( SI , AI ) = SIA
Xét tam giác SAI vuông tại A : tan 60o =

SA
AI

1 a 2 a 6 a3 6 .
a 6
⇒ VS . ABC = . .
=
3 2 2
12
2
Bài 3: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A và
⇒ SA =

AB = a, AC = a 3 . Mặt bên SAB là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vng
góc với đáy . Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o . Tính theo a thể
tích V của khối chóp trên.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tính thể tích khối chóp có một mặt bên vng góc
với mặt đáy.
1
2. Kiến thức cần nhớ: Thể tích khối chóp V = .S .h .
3
5


3. Hướng giải:
1

B1: Tính diện tích đáy là tam giác vuông tại A là: S∆ABC = . AB. AC .
2
·
B2: Xác định góc giữa cạnh bên SC và đáy là góc SCI
= 600 , với I là trung điểm
của AB .
1
·
B3: Tính chiều cao SI của hình chóp: SI = CI .tan SCI
, suy ra V = SI .S ∆ABC .
3
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

1
Dựng SI ⊥ BC ⇒ SI ⊥ ( ABC ) . Thể tích khối chóp S . ABC là V = .S ABC .SI .
3
2
1
a 3
Ta có : S ABC = AB. AC =
.
2
2
Vì SI ⊥ ( ABC ) nên I là hình chiếu của S trên ( ABC ) .
·
Vậy (·SC , ( ABC ) ) = ( SC , IC ) = SCI
= 60o .
a 13
a 39
.

⇒ SI = CI .tan 60o =
2
2
1 a 2 3 a 39 a 3 13
Vậy thể tích của khối chóp là: V = .
.
.
=
3 2
2
4
Bài 4. Cho hình chóp đều S . ABC có đáy là ABC là tam giác đều cạnh a , các cạnh
bên bằng nhau và bằng 2a . Tính thể tích của khối chóp trên.
Lời giải
Gọi O là tâm của tam giác ABC .
1
Thể tích của khối chóp S . ABC là VS . ABC = .S ABC .SO
3
2
a 3
a2 3
a 3
Mà S ABC =
. Xét tam giác ABC có : AI =
.
⇒ AO = AI =
3
3
4
2

Ta có : CI = AC 2 + AI 2 =

6


Xét tam giác SOA vng tại O có : SO = SA2 − AO 2 =

a 33
.
3

1
1 a 2 3 a 33 a 3 11
Vậy VS . ABC = .S ABC .SO = .
.
.
=
3
3 4
3
12
Bài 5. Cho hình chóp S . ABC có AB = 5a , BC = 6a, CA = 7 a các mặt bên SAB ,
SBC , SCA tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích của khối chóp đó.
Lời giải
Dựng SO ⊥ ( ABC ) và từ O dựng OM ⊥ AB , ON ⊥ AC , OP ⊥ BC . Từ định lý ba
SM ⊥ AB , SN ⊥ AC , SP ⊥ BC , do đó
đường vng góc suy ra
·
·
·

SMO
= SNO
= SPO
= 60o. Vậy ∆SOM = ∆SON = ∆SOP ⇒ OM = ON = OP .
Suy ra O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

Diện tích tam giác ABC là S ABC =
Với p =

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 6a 2 6 .

a+b+c
= 9a là nửa chu vi của tam giác .
2

7


Vậy bán kính đường trịn nội tiếp tam giác là OM = r =

S ABC 2a 6
=
.
p
3

Suy ra đường cao của hình chóp: SO = r.tan 60o = 2a 2 .
1
2
3

Thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC = .2a 2.6a 6 = 8a 3 .
3
3.2.2. Vận dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện.
3.2.2.1. Kiến thức cơ bản
Tôi chia ra làm 3 trường hợp sau :
- Trường hợp 1: Hai khối chóp có cùng diện tích mặt đáy.
Phương pháp: Khi đó tỉ số thể tích bằng tỉ số chiều cao
- Trường hợp 2: Hai khối chóp có cùng chiều cao.
Phương pháp: Khi đó tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích mặt đáy
- Trường hợp 3: Hai khối chóp tam giác có chung đỉnh. Khi đó ta sử dụng cơng
thức tỉ số thể tích sau:

VS . A′B′C ′ SA′ SB′ SC ′
=
.
.
.
VS . ABC
SA SB SC

Trong quá trình chữa bài tập về tính thể tích khối chóp mà tính bằng cách thuần túy
gặp khó khăn, tơi thường vận dụng tỉ số thể tích để quy thể tích khối chóp đó về thể
tích khối chóp khác mà việc tính thể tích đơn giản hơn (gián tiếp).
Hướng dẫn cho học sinh phát hiện khối chóp có đặc điểm như vậy, từ đó đưa ra
cách tính thể tích của khối chóp đó.
3.2.1.2. Bài tập mẫu (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho tứ diện
ABCD có thể tích V , gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD ,
ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng
4V
V

V
4V
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
9
27
9
27
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán sử dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp.
VS . A′B′C ′ SA′ SB′ SC ′
=
.
.
2. Kiến thức cần nhớ: Cơng thức tỉ số thể tích sau:
.
VS . ABC
SA SB SC
3. Hướng giải:
VAEFI

VAMNP VMNPQ

B1: Tính tỉ số thể tích V
, V

,
.
ABCD
AEFI V AMNP
B2: Suy ra VMNPQ .
8


Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Chọn B

Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD , BD .
VAEFI
S
1 V
AP AM AN
8
= ∆EFI = ; AMNP =
.
.
=
Ta có
VABCD S∆BCD 4 VAEFI
AE AI AF 27
⇒ VAMNP =
VMNPQ
VAMNP

8
2

VAEFI = V .
27
27

1
d ( Q, ( MNP ) ) .S MNP d ( Q, ( MNP ) )
1
1
V
3
=
=
= ⇒ VMNPQ = VAMNP =
.
1
d
A
,
MNP
2
2
27
(
)
(
)
d ( A, ( MNP ) ) .S MNP
3

Bài 1: (THPT TIÊN LÃNG) Cho hình chóp S . ABC có ·ASB = 600 , ·ASC = 900 ,

·
CSB
= 1200 và SA = 1, SB = 2, SC = 3 . Khi đó thể tích khối chóp S . ABC là
2
2
.
C. 2 .
D.
.
6
2
Phân tích hướng dẫn giải
Quy việc tính thể tích khối chóp S . ABC về việc tính thể tích khối chóp S . AMN
bằng cách lấy thêm các điểm M , N trên các đoạn SB, SC sao cho:
SA = SM = SN = 1 rồi vận dụng tỉ số thể tích.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
A.

2
.
4

B.

9


S

N


A

O

M

C

B

Chọn B
Lấy M là trung điểm của SB và lấy N ∈ SC sao cho SN = 1 . Ta có
SA = SM = SN = 1 nên hình chiếu vng góc của S lên ( AMN ) trùng với tâm O
của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . Ta có: AM = 1 vì tam giác SAM đều
(cân tại S và có một góc bằng 600 )
AN = 2 vì là cạnh huyền của tam giác vng SAN có cạnh góc vng bằng 1.
MN = SM 2 + SN 2 − 2.SM .SN .cos1200 = 3 .
Dễ đánh giá được tam giác AMN vng tại A nên có S AMN =

2
.
2

AM . AN .MN
2. 3
3
=
=
3 1

2
2
4 S AMN
2 ⇒ SO = SA − AO = 1 − = .
2
4.
4 2
2
1 1 2
2
Suy ra VS . AMN = . .
.
=
3 2 2
12
VS . AMN SA SM SN 1 1 1 1
=
.
.
= . . = .
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có
VS . ABC SA SB SC 1 2 3 6
OA =

2
.
2
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ABD , ABC và E là điểm đối xứng với B qua điểm D . Mặt
phẳng ( MNE ) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa

Suy ra VS . ABC = 6.VS . AMN =

diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .
a3 2
A.
.
96

3a 3 2
B.
.
80

3a 3 2
C.
.
320

9a 3 2
D.
.
320

Phân tích hướng dẫn giải
10


Ở bài tốn này, ta dễ dàng tính được thể tích khối tứ diện đều ABCD . Nếu
gọi P, Q, T lần lượt là giao điểm của ( MNE ) với các cạnh AD, AC , AB thì ta sẽ
tính được tỉ số thể tích của hai khối ATPQ và ABCD , từ đó tính được thể tích khối

đa diện chứa đỉnh A chính là khối tứ diện ATPQ .
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Chọn D

a3 2
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là:
.
12
Gọi P = ME ∩ AD ; T = ME ∩ AB . Trong mặt phẳng ( ABC ) đường thẳng TN cắt
AC , BC lần lượt tại Q , F . Khi đó mặt phẳng ( MNE ) chia khối tứ diện đã cho
phần chứa đỉnh A là tứ diện ATPQ .
Gọi I là trung điểm BD . Xét ∆AID ta có:

ED MI PA
.
.
= 1 (định lý Menelaus)
EI MA PD

QA
PA
= 3.
= 3 . Tương tự ta có:
QC
PD
TB 2
EI TB MA
= .
. .
=1 ⇒

Xét ∆AIB ta có:
TA 3
EB TA MI
VATPQ AT AP AQ 3 3 3 27
27 a 3 2 9a 3 2
=
.
.
=
.
.
=
Mặt khác ta có:
.
⇒ VATPQ = .
=
VABCD AB AD AC 5 4 4 80
80 12
320
⇒

Bài 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy ( ABCD ) ,

11


góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) bằng 60° . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SB , SC . Tính thể tích khối chóp S . ADMN .
a3 6

A. V =
.
16

a3 6
B. V =
.
24

3a 3 6
C. V =
.
16
Lời giải

a3 6
D. V =
.
8

Chọn A

·
Gọi O là tâm của hình vng ABCD . Khi đó ta có SOA
là góc giữa hai mặt phẳng
SA
·
( SBD ) và ( ABCD ) nên SOA
= 60° . Khi đó: tan 60° =
AO

2
a 6.
a. 3 =
2
2
SA SM SN 1
V
SA SN SD 1
=
.
.
= và S . AND =
.
.
= .
SA SB SC 4
VS . ACD SA SC SD 2

⇒ SA = AO.tan 60° =
Ta có

VS . AMN
VS . ABC

Do đó VS . ADMN

3
1
1 1 3
3

1
a
6
a
6
2
= VS . ABCD . + ÷ = .VS . ABCD = . .
.
.a =
2
4 2 8
8 3 2
16

Bài 4: (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho hình chóp tứ giác đều
S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60° .
Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt
SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S . AEMF .
A. V =

a3 6
.
36

B. V =

a3 6
a3 6
.
C. V =

.
9
6
Phân tích hướng dẫn giải

D. V =

a3 6
.
18

12


Ở bài tốn này ta chia khối chóp S . AEMF thành hai khối chóp tam giác S . AEM
và S . AFM , tương tự khối chóp S . ABCD chia thành hai khối chóp tam giác
S . ABC và S . ADC . Tính các tỉ số

VS . AEM
VS . AFM
VS . AEMF
và
, từ đó suy ra tỉ số
. Vì
VS . ABC
VS . ADC
VS . ABCD

thể tích khối chóp S . ABCD ta dễ dàng tính được nên suy ra được thể tích khối
chóp S . AEMF .

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Chọn D

Trong mặt phẳng ( SBD ) : EF ∩ SO = I . Suy ra A, M , I thẳng hàng.
Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM , SO cắt nhau tại I suy ra

SI 2
= .
SO 3

SE SF SI 2
=
=
= .
SB SD SO 3
VS . AEM SE SM 1 VS . AFM SF SM 1
=
×
= .
=
×
= .
Ta có:
VSABC
SB SC 3 VSADC SD SC 3
VS . AEM + VS . AFM 1 VS . AEMF 1
= ⇒
= .
Vậy
VS . ABC + VS . ADC 3 VS . ABCD 3

·
Góc giữa cạnh bên và đáy của S . ABCD bằng góc SBO
= 60° suy ra
Lại có EF // BD ⇒

1
a3 6
a3 6
a 6
; VS . ABCD = SO.S ABCD =
. Suy ra VS . AEMF =
.
SO = BO 3 =
3
6
18
2
Bài 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung
điểm của SA , N là điểm trên đoạn SB sao cho SN = 2 NB . Mặt phẳng ( R ) chứa

13


MN cắt đoạn SD tại Q và cắt đoạn SC tại P . Tỉ số

VS . ABCD

lớn nhất bằng

1

3
1
.
C. .
D. .
3
8
4
Phân tích hướng dẫn giải
VS .MNPQ
SP
= f ( x ) . Khảo sát hàm số
= x ta sẽ tính được tỉ số
Tương tự bài 4, đặt
VS . ABCD
SC
A.

2
.
5

VS .MNPQ

B.

f ( x ) ta tìm được GTLN của tỉ số

VS .MNPQ
VS . ABCD


.

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Chọn D

SP
SM SP SN SQ
SQ 1
2
1
= x , 0 < x ≤ 1 . Ta có
+
=
+
⇒
= +x− = x−
SC
SA SC SB SD
SC 2
3
6
1

 x > ÷. Mặt khác ABCD là hình bình hành nên có VS . ABCD = 2VS . ABC = 2VS . ACD
6

VS .MNP SM SN SP 1 VS .MPQ SM SP SQ 1 
1
=

.
.
= x;
=
. .
= x  x − ÷.
VS . ABC
SA SB SC 3 VS . ACD SA SC SD 2 
6
VS .MNPQ VS .MNP
V
1
1 
1 1
1
=
+ S .MPQ = x + x  x − ÷ = x 2 + x .
Suy ra
VS . ABCD 2VS . ABC 2VS . ACD 6
4 
6 4
8
1
1
1 1 
1 2 1
1
Xét f ( x ) = x + x với < x ≤ 1 ; f ′ ( x ) = x + = 0 ⇔ x = − ∉  ;1
2
8

4 6 
4
8
6
Bảng biến thiên:
Đặt

14


3
f ( x ) = . Vậy VS .MNPQ đạt giá trị lớn nhất bằng 3 .
Từ BBT ta có max
1 
8
 ;1
VS . ABCD
8
6 
Bài 6: (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho tứ diện đều
ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và
E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng ( MNE ) chia khối tứ diện ABCD
thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V . Tính V .
A.

11 2a 3
.
216

B.


7 2a 3
.
216

2a 3
.
18
Lời giải
C.

D.

13 2a 3
216

Chọn A

1
Gọi VABCD = V1 ; VACMNPQ = VE . ACMN − VE . ACPQ ; VE . ACMN = d ( E , ( ABC ) ) .S AMNC
3
1
3
1
3
3V
= d ( E , ( ABC ) ) . S ABC = d ( D, ( ABC ) ) . S ABC = 1
3
4
3

4
2
1
1
8
8
VE . ACPQ = d ( B, ( ACD ) ) .( S ACD − SQPD ) = d ( B, ( ACD ) ) . S ACD = V1 .
3
3
9
9
3V1 8
11
− V1 = V1 .
2 9
18
Áp dụng công thức giải nhanh thể tích tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a có
VACMNPQ =

11
11 a 3 2 a 311 2
a3 2
V
=
V
. Vậy
.
.
=
V1 =

1 =
18
18 12
216
12
Bài 7: (THPT HÀM RỒNG - THANH HĨA - LẦN 1 - 2017 - 2018) Cho hình
chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA = a và SA ⊥ ( ABCD ) .
15


Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN = 2 ND . Tính thể
tích V của tứ diện ACMN .
a3
a3
a3
a3
A. V = .
B. V = .
C. V = .
D. V = .
6
8
36
12
Lời giải
Chọn A

M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN = 2 ND nên

SM 1 SN 2

= ,
= . Ta có: VC . AMN = 2VO. AMN = 2 ( VS . ABD − VS . AMN − VM . AOB − VN . AOD )
SB 2 SD 3
1
a3
a3
a3
Lại có: VS . ABCD = .SA. AB. AD = ⇒ VS . ABD = , VS . AOB = VS . AOD =
3
3
6
12
3
VS . AMN SM SN 1 2 1
1
a
=
.
= . = ⇒ VS . AMN = VS . ABD =
VS . ABD
SB SD 2 3 3
3
18
VM . AOB MB 1
1
a3
=
= ⇒ VM . AOB = VS . AOB =
VS . AOB
SB 2

2
24
VN . AOD ND 1
1
a3
=
= ⇒ VN . AOD = VS . AOD =
VS . AOD SD 3
3
36
 a3 a3 a3 a3  a3
V
=
2
V
=
2
− ÷= .
Do đó: C . AMN
 − −
O . AMN
6
18
24
36  12

Bài 8: (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hình đa
diện như hình vẽ

16



·
·
·
·
Biết SA = 6 , SB = 3 , SC = 4 , SD = 2 và ·ASB = BSC
= CSD
= DSA
= BSD
= 60° .
Thể tích khối đa diện S . ABCD là
A. 6 2 .
B. 5 2 .
C. 30 2 .
D. 10 2 .
Lời giải
Chọn B

Trên SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm A′ , B′ , C ′ sao cho
SA′ = SB′ = SC ′ = SD = 2 . Ta có A′B′ = B′C ′ = C ′D = DA′ = 2 . Khi đó hình chóp
S . A′B′D và hình chóp S .CB′D là các hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh
bằng 2 .
23 2 2 2
.
VS . A′B′D = VS .C ′B′D =
=
12
3
VS . ABD SA SB SD

3 9
9
9 2 2
=
.
.
= 3. = , nên VS . ABD = VS . A′B′D = .
Mặt khác
=3 2.
VS . A′B′D SA′ SB′ SD
2 2
2
2 3
VS .CBD SC SB SD
3
=
.
.
= 2. = 3 , nên VS .CBD = 3VS .C′B′D = 3. 2 2 = 2 2 .
VS .C′B′D SC ′ SB′ SD
2
3
Thể tích khối đa diện S . ABCD là: V = VS . ABD + VS .CBD = 3 2 + 2 2 = 5 2 .
3.2.1.3. Bài tập rèn luyện

17


Bài 1 : (Chuyên KHTN - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có
tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác

SAB, SBC , SCD, SDA và O là giao điểm của AC với BD . Thể tích khối chóp
O.MNPQ bằng
2a 3
2a 3 2
a3 2
a3 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
81
81
81
54
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a 3 . Gọi M ; N là
trung điểm SB, BC . Tính thể tích khối chóp A.BCNM . Biết mặt phẳng ( AMN )
vng góc với mặt phẳng ( SBC ) .

a 3 15
a 3 15
a 3 15
a 3 15
.
B.
.
C.

.
D.
.
32
32
32
32
Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB và CD lần lượt
uuur uuur r
uuur
uuur
lấy các điểm M và N sao cho MA + MB = 0 và NC = −2 ND . Mặt phẳng ( P )
chứa MN và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện,
trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V . Tính V .
A.

A. V =

2
.
18

B. V =

7 2
.
216

C. V =


11 2
.
216

D. V =

2
.
108

Bài 5: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình
chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA = a và SA vng góc với
đáy. Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN = 2 ND .
Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN .
1 3
1 3
1 3
1
A. V = a 3
B. V = a .
C. V = a .
D. V = a .
6
8
36
12
Bài 6: (THI-THỬ- NGUYỄN HUY HIỆU-QN-1-NĂM-2020-2021) Cho hình
hộp đứng ABCD. A′B′C ′D′ có AA′ = 2 , đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam
giác đều cạnh 4. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của B′C ′, C ′D′, DD′ và Q
thuộc cạnh BC sao cho QC = 3QB . Tính thể tích tứ diện MNPQ .

A.

3 3
.
2

B. 3 3 .

C.

3
.
4

D.

3
.
2

18


Bài 7: (Thi thử THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - Qng Bình lần 01 năm
2021) Cho khối chóp S . ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có
diện tích bằng 20. Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm của các mặt bên SCD và SDA .
Thể tích của khối tứ diện BDPQ bằng
A.

20

.
3

B.

15
.
2

C.

9
.
20

D.

20
.
9

Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.MNP có thể tích V . Gọi G1 , G2 , G3 , G4 lần lượt
là trọng tâm của các tam giác ABC , ACM , AMB, BCM ; V1 là thể tích khối tứ diện
G1G2G3G4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. V = 9V1 .

B. V = 27V1 .

C. V = 81V1 .


D. 8V = 81V1 .

4. Kiểm chứng
Kết quả thu được sau khi thực hiện dạy tại lớp 12A3 : đa số học sinh ở mức
trung bình và khá.
- Học sinh nắm vững kiến thức nhanh hơn và có nhiều học sinh nắm vững phương
pháp ngay tại lớp .
- Học sinh có thể vận dụng thành thạo và dễ dàng ghi nhớ phương pháp giải vào
các bài toán cụ thể.
- Tạo hứng thú học tập cho học sinh , kích thích được tính tư duy sáng tạo của các
em.
- Ứng dụng phương pháp này đặc biệt hiệu quả đối với các bài tốn tính khoảng
cách .
- Tỉ lệ phân loại bài kiểm tra sau khi dạy xong phương pháp bằng cách dạy trên.
Sĩ Giỏi
Khá
TBình
Yếu
Kém
Lớp
SL %
SL %
SL %
SL %
số SL %
12A3 41 11 26.8 16 39.0 14
34.2 0
0
0
0

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Việc vận dụng giải pháp “Vận dụng tỉ số thể tích để giải bài tốn tính thể
tích khối đa diện trong hình học khơng gian tổng hợp, giúp học sinh lớp 12
hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia năm 2021” giải quyết được khó khăn trong

19


bài tốn tính thể tích, tạo hứng thú và làm tăng hiệu quả học tập của học sinh . Phát
triển tư duy tốn học, giúp học sinh hình thành phương pháp tư duy đa dạng và
chặt chẽ .
Trên đây là một giải pháp trong phần tính thể tích khối đa diện ở chương trình hình
học lớp 12, phần này cịn phải sử dụng kiến thức liên môn để giải quyết. Trong
q trình giảng dạy, cần ln sử dụng linh hoạt kiến thức khác để giải quyết vấn đề
triệt để và hiệu quả nhất.
2. Kiến nghị:
- Đối với giáo viên: cần phân biệt rõ giữa các phương pháp, kĩ thuật dạy học để
tránh nhầm lẫn. Đồng thời khơng ngừng tìm tịi tài liệu và học hỏi đồng nghiệp về
phương pháp để hồn thiện mình. Đặc biệt là các giáo viên trẻ.
- Khi vận dụng mỗi phương pháp cần phải xem tính phù hợp của nó với: nội dung
kiến thức bài học, đối tượng học sinh, cơ sở vật chất. Kinh nghiệm cho thấy nếu chỉ
vận dụng đơn thuần một phương pháp thì hiệu quả khó có thể viên mãn. Chúng ta
nên kết hợp giữa các phương pháp một cách linh hoạt cùng với vận dụng kiến thức
liên môn và sử dụng tốt đồ dùng dạy học sẽ là chìa khóa của một tiết dạy tốt góp
phần nâng cao chất lượng giảng dạy.
Trong một thời gian không dài, áp dụng trong đơn vị kiến thức khơng lớn trong
chương trình Tốn THPT chắc chắn khơng tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các đồng
nghiệp đóng góp ý kiến để việc nghiên cứu, triển khai các đề tài sau mang lại hiệu
quả cao hơn.

Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2021.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến

Trần Thị Hiếu

20