<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG</b>
<b>I. MỞ ĐẦU</b>

Cho hàm u(x) u(x ,..., x ) 1 n _vớix (x ,..., x ) 1 n    n,_{ta kí hiệu} i

u
x



 _hayuxi là đạo hàm

riêng của u(x) theo biến x ,i _còn



1 n



T
T

x x

1 n

u u

Du(x) u ,..., u ,...,

x x

   

 _ _ 

 

 

grad u(x) u(x)

  _{là gradien của u(x), toán tử Laplace}

2
n
2

2
i 1 i

u

u u ,

x




  





ma trận Hessian





1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
i j

n 1 n 2 n n

x x x x x x
x x x x x x
2

x x

i, j 1,n

x x x x x x

u u ... u

u u ... u

D u(x) u

... ... ... ...

u u ... u



 

 

 

 _ _

 

 

 _{. Nếu u(x) là hàm 1 biến thì}Du(x)_{chính là}

u '(x),_vàD u(x)2 _làu ''(x).

Xét phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2

i j j

n n

ij x x j x

i, j 1 j 1

a (x)u (x) a (x)u (x) a(x).u(x) f (x) (1.1)

 

  





trong đó a (x), a (x), a(x), f (x)ij j là các hàm cho trước, u(x) là hàm cần tìm. Xét ma trận





11 12 1n

21 22 2n

ij

n1 n2 nn

a (x) a (x) ... a (x)
a (x) a (x) ... a (x)
A(x) a (x)

... ... ... ...

a (x) a (x) ... a (x)

 

 

 

 

 

 

 _{, do}ux xi j ux xj i _{nên ta có thể giả sử A(x) là}

ma trận vuông thực, đối xứng. Với mỗi x x 0_{cố định, ma trận}A(x )0 _{có n giá trị riêng thực}
(tính cả bội), gọi p, n, z lần lượt là số giá trị riêng dương, âm, bằng 0 (positive: dương,
negative: âm, zezo: khơng), ta có      p n z n. Phương trình (1.1) được gọi là thuộc loại
<b>-</b> Elliptic tại x0_nếu p n_hoặc n n.

<b>-</b> Parabolic tại x0_nếu
p
z

n 1
1

  





 


 _hoặc

n
z

n 1
.
1

  



 


<b>-</b> Hyperbolic tại x0_nếu
p
n

1
n 1

 




  


 _hoặc

n
p

1
.
n 1

 




  




Khi tất cả các hệ số aij khơng phụ thuộc vào x thì có phép đổi biến y=y(x) đưa các phương
trình trên về dạng chính tắc (không làm thay đổi phân loại ban đầu).

<b>-</b> (E):  u G(y,u(y), Du(y)) 0.

<b>-</b> (P): (uy y1 1 ... u yn 1 n 1 y  ) G(y,u(y),Du(y)) 0  , chẳng hạn phương trình truyền nhiệt

t y ' n 1 n 1

u   u 0 (t y , y' (y ,..., y   _ ), y (y ', t)).

<b>-</b> (H): (uy y1 1 ... u yn 1 n 1 y   uy yn n) G(y,u(y), Du(y)) 0  , chẳng hạn phương trình

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nghiệm cổ điểm (classical solution) của phương trình (1.1) thường được định nghĩa là hàm
2

u C ( )  _{thoả mãn (1.1) với}_{  }_x _.

Với đa chỉ số (muliti index)   ( ,...1 n) n_bậc  1 ... n _thì  ! ( !)...(1 n!),

1 n

1 n 1 n

x _(x ,..., x ) _(x )...(x  ),

11 nn

u

D u ,

x ... x




 





  D uk 



D u,  k ,k 1, 2,3,....




Riêng D u1 viết tắt là Du và xếp theo trật tự như đã biết Du



u ,..., ux1 xn



, còn D u2 được viết

ở dạng ma trận Hessian.

Ta đưa ra một số không gian hàm hay sử dụng sau đây.



0

C ( ) C( )    u :_{liên tục trên}



.





k k

k 0

C ( ) u : D u C( ), k ,C ( )  C ( ).



        

_





k k

C ( )_{ } u C ( ) : D u_ _ 

liên tục đều trên _{với mọi} k



_.



_{C ( )}k _{C ( ),k 0,1, 2,...,}k



    



0

k k k

0

C ( ) C ( )    u C ( ) : u 0  

ở bên ngoài một tập compact trong



.

Giá của hàm liên tục sup p u



x : u(x) 0 .



Hàm u gọi là có giá compact trong _nếu
suppu là tập compact chứa trong _{. (Trong}n_{tập compact là ttập đóng và bị chặn). Một tập}
A được gọi là “chứa compact” trong B nếu AAB_vàA_{là tập compact, kí hiệu}AB.
Kí hiệu C ( )0  _{là tập các hàm khả vi vô hạn lần và có giá compact trong}_.



p

p

L ( ) f (x) : f (x) dx ,1 p ,






 _     







_chuẩn

1
p
p

f f (x) dx ,



 

 



 





 _{là khơng gian}

Banach. Nói riêng L ( )2  là không gian Hilbert với tích vơ hướng

f ,g f (x).g(x)dx.





_

Khơng gian L ( )  



f (x) đo được trên

, esss upf (x)





 _{ }

_{có chuẩn}

f esss upf (x),





trong đó



\B



esss upf (x) inf : B , B 0, lim f (x)




       

cận trên cốt yếu.





p p

loc

L ( )  f (x) : f (x) L (K), K    .

<b>Ví dụ 1 Xét xem hàm </b>

1
f (x)

x



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Lời giải Ta có </b>
1 1
1
0 0
0
1

f (x) dx lim dx lim ( ln ) f (x) L (0;1).
x

 

 _ 

      





Ta xét đoạn bất kì



a;b







0;1 .



_Vì
b
a

b
f (x) dx ln

a

  



nên f (x) L 1loc(0;1)._{(Hoặc với mọi tập compact}

K(0;1)_{tồn tại}

1
loc

x K x K _K _K

1

M m ax f (x) max , f (x) dx M dx M. K f (x) L (0;1)).
x

 

 

_



_

    

Hàm đặc trưng E

1 khi x E

(x) .

0 khi x E




 _




Tích chập: Cho fL (1 n),g L ( p n),1 p , tích chập của f và g, kí hiệu là f*g, là hàm

n

(f *g)(x) :

_

f (x y).g(y)dy.

 _{Ta có}

p n

p 1 p

f *g L (  ), f *g f . g .

<b>Ví dụ 2 Cho </b>









1 khi x 0;1

f (x) ,

0 khi x \ 0;1

 








  2

1

g(x) .

1 x



 _{Chứng minh rằng}fL ( ),g L ( ),1   2 
2

f *g L ( ). 

<b>Lời giải Có </b>

1 b

2
1

2

a a

0 _b a _b

dx

f (x) dx dx 1 f L ( ); g(x) dx lim lim (arctan b arctan a)
1 x
     
   
         










 

2

g L ( ).

      _Và

(f *g)(x)

_

f (x y)g(y)dy,

 _vớix y \ 0;1





 f (x y) 0,  





x y  0;1  f (x y) 1  _nên

x 2

2

2 2

x 1

x

dy 1 x x

(f *g)(x) ln( 1 y y) ln

x 1

1 y 2 2x x x 1


 
 
 _   _  

 
    



h(x)

 _{. Ta thấy nếu}

x

2 2

x 1

1 1 1 dy

x 2 y x 1 1 0 0 h(x)

y y

1 y  1 y

            







x

2

2

x 1 2 2

dy 1 1 dx

ln(1 ) h(x) dx 1 .

y x 1 x 1 _{(x 1)}

 


        

  _







Nếu x 1 y x 1

x x 1

2

2 2

x 1 x 1

1 1 1 dy dy 1 1

0 0 h(x) ln(1 ) h(x) dx

y y y x x

1 y 1 y


   
             
 










1

2
dx
1
x

 


_

  

Hàm h(x) liên tục trên đoạn



1;2



, đặt





2
x 1;2

M lim h(x) ,

 



ta có

2 2

2

1 1

h(x) dx M dx 3M .

 

   





Do đó

1 2

2 2 2

1

h(x) dx h(x) dx h(x) dx

 
    
  







2 2
2
2
dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Ví dụ 3 Cho </b>









2

1 khi x 0;1 ₁

f (x) , g(x) .

0 khi x \ 0;1 _{1 x}

 



_ 



 _

  _{Chứng minh}fL ( ), f1   L ( ).2 
Kiểm tra xem f*g có thuộc L ( )2  hay khơng.

<b>Lời giải Ta có </b>

1 1

2

1 2

0 ₀

dx dx

f (x) dx lim 2 f L ( ); f (x) dx f L ( ).

x
x



 _

         









 

 

Theo chứng minh trên g L ( ). 2  Do

1
f (x y)

x y

 

 _vớix y (0;1),  _hayx 1 y x,   _và

f(x – y) = 0 khi x y (0;1),  _{lúc đó}

(f *g)(x)

_

<b>KHÁI NIỆM NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC VÀ</b>
<b>MỐI LIÊN HỆ VỚI NGHIỆM CỔ ĐIỂN</b>

<b>1. Vài kí hiệu</b>

- Ta kí hiệu L là tốn tử được xác định như sau

n n

ij i

i j 1

i, j 1 i 1

u u u

Lu (a ) b cu,

t _ x x _ x

   

   





 





trong đó u u(x, t) u(x ,..., x , t), x (x ,..., x )  1 n  1 n n, t,aij a (x, t),ij
ij ji i i

a a ,b b (x, t),c c(x, t).

- Với 0 T _và_{là miền bị chặn trong}n_{ta kí hiệu}

 

0

n

T T T

t 0 0

R (0;T), Q (0;T), S (0;T),
t (0 t T),

     

    





o

1,1 1,1

T T

2,0 2

W (Q ) (x, t) W (Q ) : (x,T) 0,    0

ở gần S .T



<b>2. Bài toán Cauchy</b>

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính dạng

Lu f (x, t)  _với(x, t) R (1) _T

với điều kiện ban đầu u(x,0)(x), x n (2), các hàm f , cho trước.

Nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy (1), (2) là hàm u mà u u(x, t) C (R ) C(  2,1 T  n



0;T )



và
thỏa mãn đồng thời (1), (2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

n
T

T

n n

ij i

j i 1

i, j 1 i 1
R

1,1
T
2
R

u u

u a b cu dxdt (x) (x,0)dx

t x x x

f dxdt (3), (x, t) W (R ), (x,T) 0.

 

 _ _ _ _ 

_ _ _ _{ } _ _ _ _ _

     

 

     













<b>Ví dụ 1</b>

Xét phương trình

2

1
2

u u

0, (x, t) R (0;1) (4)

t _x

 

    

 _  _{với điều kiện ban đầu}

x

u(x,0) e , x   (5).

Ta thấy hàm u(x, t) e x t (x,0 t 1)  là (một) nghiệm cổ điển của bài toán (4), (5).
Nghiệm suy rộng của bài tốn (4), (5) trong khơng gian W (R )1,02 1 _{là hàm}u u(x,t) W (R )  1,02 1
và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân

1

x 1,1

1
2
R

u

u dxdt e (x,0)dx 0 (6), (x, t) W (R ), (x,1) 0.

t x x

  

 

        

 

  

 







<b>Nhận xét</b>

Đối với bài tốn (1), (2) nếu có thêm điều kiện (x) L ( 2 n)_,

ij

ij i 2 T

i

a

a , , b ,c,f (x, t) L (R ),
x






thì mọi nghiệm cổ điển u(x, t) C (R ) 2,1 T _{đều là nghiệm suy rộng, nhưng điều ngược lại không}
đúng, nghiệm suy rộng chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm, vì nghiệm suy rộng là hàm u(x,t) chỉ
địi hỏi có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp 1 thuộc L (R )2 T _{, cịn nghiệm cổ điển thì phải có}
đạo hàm theo x đến cấp 2 và theo t đến cấp 1 liên tục.

<b>3. Bài toán biên ban đầu</b>

<b>a. Bài toán biên ban đầu thứ nhất</b>

Ta xét phương trình Lu f (x, t), (x, t) Q (7)  T _{với điều kiện ban đầu}

u(x,0)(x), x  (8),_{ở đó}f ,_{là các hàm cho trước, và điều kiện biên}
T

u 0, (x, t) S (9).  

Nghiệm cổ điển của bài toán biên ban đầu thứ nhất (7), (8), (9) là hàm
2,1

T T T 0

u(x, t) C (Q ) C(Q  S   )_{và thỏa mãn đồng thời (7), (8), (9).}

Nghiệm suy rộng của bài toán (7), (8), (9) trong không gian W (Q )1,02 T _{là hàm}
o

1,0
T
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

T

T

n n

ij i

j i 1

i, j 1 i 1
Q

o
1,1

T
2
Q

u u

u a b cu dxdt (x) (x,0)dx

t x x x

f dxdt (10), (x, t) W (Q ), (x,T) 0.

  _

 _ _ _ _ 

         

     

 

     











<b>Ví dụ 2</b>

Chẳng hạn phương trình

2

1
2

u u

2,(x, t) Q (0;2) (0;1) (11),

t _x

 

    

 _ _{với điều kiện ban đầu}

2

u(x,0) x  2x, x  (0;2) (12),_{và diều kiện biên}u(0, t) u(2, t) 0, t (0;1) (13)   _{, hàm}
2

1

u(x, t) x  2x,(x, t) Q _{là (một) nghiệm cổ điển. Còn nghiệm suy rộng của bài toán (11),}

(12), (13) trong W (Q )21,0 1 _{là hàm}

o
1,0

1
2

u(x, t) W (Q ) _{và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân}

1 1

2

Q (0;2) Q

u

u dxdt (x 2x) (x,0)dx 2 dxdt (14)

t x x

  

 

      

 

  

 







với mọi

o
1,1

1
2

(x, t) W (Q ), (x,1) 0.

   

<b>Nhận xét</b>

Đối với bài toán (7), (8), (9) nếu thêm điều kiện _{trơn từng khúc,}
ij

ij i 2 T

i

a

a , , b ,c,f (x, t) L (Q ),
x





 (x) L ( ) ₂  _{thì mọi nghiệm cổ điển}u(x, t) C (Q ) 2,1 _T _{đều là}
nghiệm suy rộng, nhưng điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa chắc đã là nghiệm
cổ điểm.

Ta sẽ chứng minh nhận xét này trong trường hợp 0 T  

Thật vậy, giả sử u(x, t) C (Q ) 2,1 T _{là một nghiệm cổ điển của bài toán (7), (8), (9) với điều}
kiện bổ sung f (x, t) L (Q ), 2 T (x) L ( ) 2  _{. Vì lúc} _này

2,1 2,1 2,1

T T T 0 T T

u(x,t) C (Q ) C(Q  S   ) C (Q ) C (Q )  _{nên u có đạo hàm cổ điển theo mọi}
biến xi_{đến cấp 2, theo biến t đến cấp 1 và các đạo hàm đó liên tục, trên cả}QT_vàQ ,(15).T _Vì
_{là miền bị chặn trong}n_nênQT_{là miền bị chặn trong}n 1 _{, và}QT_{compact trong}n 1 _.
Do đó tồn tại số 0 M   _{sao cho} u M, (x, t) Q .  T _{Ta thấy}

T T

2 2 ₂

T

Q Q

u dxdt M dxdt M Q  





</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

2 T

L (Q )_{(17). Từ (15), (16), (17) suy ra}u W (Q ). 21,0 T _{Mặt khác}u 0 _trênS .T _Nên
o

1,0
T
2

u W (Q ) (18). _{Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng u thỏa mãn (10) với mọi}
o

1,1

T
2

(x, t) W (Q ), (x,T) 0.

   

Nếu





o

1
k(x) W ( )2

   _{là hệ trực chuẩn trong}L ( )₂  _{, sao cho bao đóng tuyến tính của nó}

trong

o
1
2

W ( ) _trùng _với

o
1
2

W ( ) _, _và _kí _hiệu

N

1 1,1

N k k k 2 k 2 T

k 1

M d (t) (x) : d W (0;T),d (T) 0 W (Q )



 

 

_    _

 





 _{, thì ta có tính chất}M N 1MN






_

trù

mật trong
o

1,1
T
2,0

W (Q ).

Do đó với mỗi

o
1,1

T
2

(x, t) W (Q ), (x,T) 0,

    _{tức là}

o
1,1

T
2,0

W (Q )



luôn

tồn tại dãy



m



M hội tụ tới  trong W (Q ),1,12 T _với

m km km

k 1

d (t) (x) M




 

_

 

(nếu tổng
này là tổng hữu hạn thì ta coi dkm 0_{với k đủ lớn). Vì}

o
1
km W ( )2

   _{, mà}

o
1
2

W ( ) _{là bao đóng}

của

o

C ( )  _trongW ( )21  _nên
o

C ( )  _{trù mật trong}
o

1
2

W ( ) _{, nghĩa là tồn tại dãy}





o
kmh C ( )

   _{hội tụ tới}

o
1
km W ( )2

   _khi_h_{ }_trongW ( ).₂1  _Do





C ((0;T)) C ( 0;T )   _{trù mật trong}W ((0;T))₂1 _{, và}d_kmW (0;T),₂1 d_km(T) 0, _{nên tồn tại}
dãy



dkmh



C ( 0;T )





hội tụ đến dkm_khih _trongW (0;T).12 _{Khi đó}





h

kmh kmh 2

: .d L ( 0;T ).

     _{Do u là nghiệm cổ điển của bài toán đang xét nên nó thỏa}
mãn (7). Nhân hai vế của (7) với h rồi lấy tích phân hai vế ở trên QT_{ta được}

T T

n n

h h h h h

ij i

i j 1

i, j 1 i 1

Q Q

u u u

(a ) b cu dxdt f dxdt.

t _ x x _ x

 _ _ _ _ 

         

     

 









Ta có T T T

h

h h

Q Q Q

u

dxdt u cos( , t)dS u dxdt.

t t



 

    

 







Ta phân tích QT_{thành hợp của ba tập}
đơi một có giao là tập có thể tích 0 như sau QTST   0 T,_{mà u = 0 trên}S ,T _{khi xét trên}

0

 _thìu_và__{là vectơ pháp tuyến ngoài của biên}Q_T_{xét trên đáy trụ}₀_{cho ta}

cos( , t) 1, _{cịn trên} _T _thì cos( , t) 1  _{, ta thu được}

T

h h h

Q

u cos( , t)dS u(x,T) (x,T)dx (x) (x,0)dx.

  

      







Tương tự

T T T

h

h h

ij ij i ij

i j j j i

Q Q Q

u u u

(a )dxdt a cos( , x )dS a dxdt.

x x x x x



    

    

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Vì h = 0 trên S ,T cos( , x ) 0 i  _với_{là vectơ pháp tuyến ngoài của}QT_{xét trên các đáy}

trụ  0, T,_nên T

h

ij i

j
Q

u

a cos( ,x )dS 0.
x





  





Do đó ta thu được đẳng thức tích phân

T

n n

h h

h h

ij i

j i 1

i, j 1 i 1
Q

u u

u a b cu dxdt

t _ x x _ x

 _ _ _ _ 

_ _ _ _{ } _  _

     

 







T

h h h

Q

+ u(x,T) (x,T)dx (x) (x,0)dx f dxdt.

 

     







Cho h _thì
h

km dkm km
     _nên

T

T

n n

km km

ij i km km

j i 1

i, j 1 i 1

Q

km km km

Q

u u

u a b cu dxdt

t x x x

+ u(x,T) (x,T)dx (x) (x,0)dx f dxdt.

 

 

 _ _ _ _ 

_ _ _ _ _ _  _

     

 

     













Lần lượt cho k =

1, 2, 3, …, k0 rồi cộng k0 đẳng thức này lại, cho k0  , mà

m km

k 1




 

_



, nên ta có

T

T

n n

m m

ij i m m

j i 1

i, j 1 i 1
Q

m m m

Q

u u

u a b cu dxdt

t x x x

+ u(x,T) (x,T)dx (x) (x,0)dx f dxdt.

 

 

 _ _ _ _ 

       

     

 

     













Cho m _thì

m ,

   _{ta thu được}

T

T

n n

ij i

j i 1

i, j 1 i 1
Q

Q

u u

u a b cu dxdt

t x x x

+ u(x,T) (x,T)dx (x) (x,0)dx f dxdt.

 

 

 _ _ _ _ 

_ _ _ _{ } _ _

     

 

     













Nhưng (x,T) 0
nên

T

T

n n

ij i

j i 1

i, j 1 i 1
Q

Q

u u

u a b cu dxdt

t x x x

(x) (x,0)dx f dxdt.

 



 _ _ _ _ 

      

     

 

    











Như vậy với mọi
o

1,1
T
2,0

W (Q )



thì đẳng thức (10) được thỏa mãn với u là nghiệm cổ điển đang
xét (19). Từ (18) và (19) chứng tỏ u là nghiệm suy rộng của bài toán (7), (8), (9).

Ta thấy rằng nghiệm suy rộng của bài tốn (7), (8), (9) trong khơng gian W (Q )1,02 T _{là hàm}
o

1,0
T

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

của bài tốn này địi hỏi phải có đạo hàm theo x đến cấp 2 và theo t đến cấp 1, do đó u chưa
chắc đã là nghiệm cổ điểm của bài tốn đó.

<b>b. Bài tốn biên ban đầu thứ hai và thứ ba</b>

Ta xét phương trình (7) với điều kiện ban đầu (8) và điều kiện biên sau đây

T

S

u

(s, t)u 0 (20)
N



  

 _{ở đó}

n

ij i

j
i, j 1

u u

= a cos( , x ) (21),

N _ x

 









với _{là vectơ đơn vị ngoài}
tới mặt S ,T _còn(s, t)_{là hàm cho trước xác định trên}S .T _Khi 0_hoặc  0_{thì bài tốn}
(7), (8), (20) tương ứng được gọi là bài toán biên ban đầu thứ hai hoặc thứ ba.

Nghiệm cổ điển của bài toán (7), (8), (20) là hàm u(x, t) mà

2,1 1,0

T T T 0 T T

u(x, t) C (Q ) C(Q  S   ) C (Q S )_{và đồng thời thoả mãn (7), (8), (20).}

Nghiệm suy rộng của bài toán trong W (Q )1,02 T _{là hàm}u(x, t) W (Q ) 1,02 T _{thoả mãn đồng nhất}
thức tích phân

T T

T

n n

ij j

j i i

i, j 1 i 1

Q S

1,1
T
2
Q

u u

u a b cu dxdt u dsdt

t x x x

(x) (x,0)dx f dxdt (22), (x, t) W (Q ), (x,T) 0.

 



 _ _ _ _ 

         

    

 

        













Tương tự như trên, với điều kiện _{trơn từng khúc,}(x) L ( ), 2 
ij

ij i 2 T 2 T

i

a

a , , b ,c,f L (Q ), L (S ),
x



  

 _{ta thấy mọi nghiệm cổ điển}u(x, t) C (Q ) 2,1 _T _{của bài}
toán (7), (8), (20) đều là nghiệm suy rộng của nó, nhưng điều ngược lại khơng đúng, nghiệm
suy rộng của bài tốn đó chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm. Lúc này lưu ý

T T T T

T T T

T

Q Q Q Q

n n n

ij ij i ij

i j j j i

i, j 1 i, j 1 i, j 1

Q Q Q

ij i

j
i, j

S

u

dxdt u cos( , t)dS u dxdt (x) (x,0)dx ( u )dxdt,

t t t

u u u

(a )dxdt a cos( ,x )dS a dxdt

x x x x x

u

u dsdt a cos( , x )

x

 

   



  

         

  

    

     

    



     



























0 T T

T T

n n

ij

j i

1 i, j 1Q

n
ij

j i
i, j 1

S Q

u

dS a dxdt

x x
u

u dsdt a dxdt.

x x


 



 

 

 
 

   

 















</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Cho phương trình

2

2
2

u u

0, (x, t) Q ( 1;1) (0;2) (23),

t _x

 

     

 _ _{với điều kiện ban đầu}

u(x,0)x , x   ( 1;1) (24)._{Ta xét bài tốn biên ban đầu thứ hai đối với phương trình}

này với điều kiện biên lúc này là









2

u

0, (x, t) S (x, t) | x 1, 1 ,0 t 2 (25).
N



        

 _{Ta lưu ý rằng}

u u

= cos( , x)

N x

 



  _{mà lúc này}cos( , x) 1_{nên điều kiện biên (25) được viết lại thành}
2

u

0, (x, t) S .
x



  



Nghiệm cổ điển của bài toán đang xét là hàm u(x, t) thoả mãn



 







2,1 1,0

2
2

2
2

0 2

u(x, t) C (Q )

C( 1;1

0;2 )

C ( 1;1 (0;2))

u

u

0, (x, t) Q

.

t

_x

u

u

x ,(x, t)

;

0, (x, t) S

x







































_





_



 

 









Nghiệm suy rộng trong W (Q )21,0 2 _{của bài toán là hàm}u W (Q ) 21,0 2 _{sao cho}

 

2

1

1,1
2
2

Q 1

u

( u )dxdt x (x,0)dx 0, W (Q ), (x,2) 0.

t x x



  

       

  

</div>

<!--links-->