<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> thi học sinh giỏi - mơn tốn LỚP 9 - đề 1</b>
<i> (Thời gian 150 phỳt )</i>

<b>Câu 1: (3đ) a. Rút gọn biểu thức : A = </b>

6 2 2 3





2



12



18



128

b. T×m GTNN cđa A = <i>x</i>

2

<i></i>2<i>x</i>+2006

<i>x</i>2

c. Giả sử x, y là các số thực dơng thoả mÃn : x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 1

<i>x</i>3+<i>y</i>3+
1
xy

<b>Câu 2: (2đ) a. Chứng minh rằng : Víi mọi sè d¬ng a th× </b>





2

2
2

1 1 1 1

1 1

1 ₁

<i>a a</i> <i>a</i> <i>_a</i>

 

    

 



  

b. TÝnh S = 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 ... 1

1 2 2 3 2008 2009

     

<b>Câu 3: (3 đ)a) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dơng và </b>

(

1

<i>a</i>2+1

)(

1

<i>b</i>2+2

)(

1

<i>c</i>2+8

)

=

32
abc
b) Tìm a , b , c biÕt : a = 2<i>b</i>

2

1+<i>b</i>2 ; b =
2<i>c</i>2

1+<i>c</i>2 ; c =
2<i>a</i>2

1+<i>a</i>2
c. Cho a3_{+ b}3_{+ c}3_{= 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c} ₀

TÝnh P = (2008+ <i>a</i>

<i>b</i> )(2008 +
<i>b</i>

<i>c</i> ) ( 2008 +
<i>c</i>
<i>a</i> )

<b>Câu 4: (2 đ) Giải hệ phơng trình </b>

¿

( x2+ 1 )( y2+ 1 ) = 10
( x + y )( xy - 1) = 3

{

<b>Câu 5: (2đ)</b>

Cho tam giác ABC, các đờng phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn
BD.CE = 2BI.CI. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giỏc vuụng.

<b>Câu 6: (2đ)</b>

Cho tam giác MNP có <i>M</i> <i>N</i> 2<i>P</i> , và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tớnh di cỏc
cnh ca tam giỏc.

<b>Câu 7: (3đ)</b>

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Giọi (I) là đờng tròn nội tiếp tam giác. Đờng vng
góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự ở M, N chứng minh rằng: a. AM.BN = IM2_{= IN}2_{; b.}

2 2 2

1

<i>IA</i> <i>IB</i> <i>IC</i>

<i>bc</i>  <i>ca</i> <i>ab</i>

<b>Câu 8: (2đ) Giải các phơng tr×nh sau </b>
a) x

2
3 +

48

x2= 10(

<i>x</i>

3 -
4

<i>x</i>) ; b)

√

x

2

4 + x + 1 - x =

√

9 - 4

√

2

---

Hết---Đáp án <b>- 1</b>

<b>Câu 1:( 3 điểm): </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

=

6 2 2 3





2



12 4

 

2

=

6 2 2 3





4 2 3



=

6 2 2 2





3

=

6 2 4 2 3





=

6 2 3 1









=

3 1



b. (1 điểm) Tìm GTNN của A = <i>x</i>

2<i>₋</i>₂<i>_x</i>
+2006

<i>x</i>2

A = <i>x</i>
2

<i>−</i>2<i>x</i>+2006

<i>x</i>2 = 1 -

2

<i>x</i> +

2006

<i>x</i>2 = 2006

(

1

<i>x</i>2<i>−</i>

2
2006<i>x</i>+

1

20062

)

+ 1 –
1
2006
= 2006

(

1

<i>x−</i>

1
2006

)

2

+ 2005
2006

2005

2006 <i>⇒</i> GTNN cña P =
2005

2006 khi x = 2006
c.(1 ®iĨm) Ta cã: (x + y)3_{= x}3_{+ y}3_{+ 3xy( x + y ) = 1 hay x}3_{+ y}3_{+ 3xy = 1.Thay vµo biĨu thc A ta cã:}
A = <i>x</i>

3

+<i>y</i>3+3 xy

<i>x</i>3+<i>y</i>3 +

<i>x</i>3

+<i>y</i>3+3 xy

xy = 4+
3 xy

<i>x</i>3+<i>y</i>3+

<i>x</i>3
+<i>y</i>3

xy
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4+ 3 xy

<i>x</i>3
+<i>y</i>3+

<i>x</i>3+<i>y</i>3

xy 4+2

√

3 xy

<i>x</i>3+<i>y</i>3.

<i>x</i>3+<i>y</i>3

xy =4+2

√

3
VËy A 4+2

_√

3 . Vậy minA = 4+2

_√

3 <i>⇔</i> x = 1

2

(

1+

√

2

√

2<i>−</i>3

3

)

; y =
1
2

(

1<i>−</i>

√

2

√

2<i>−</i>3

3

)

hc x = 1

2

(

1<i>−</i>

√

2

√

2<i>−</i>3

3

)

; y =
1
2

(

1+

2

2<i></i>3
3

)

<b>Câu 2 : (2đ) a/ Ta có : </b>









2

2
2

1 1 1 1 1 1 1

1 1 2

1 ₁ 1 1

<i>a a</i> <i>a</i> <i>_a</i> <i>a a</i> <i>a a</i>

 

 

         

  _ _

  

   _ _

Mµ





1 1 1 1 1 1 1

0

1 1 1 1

<i>a a</i>   <i>a a</i>  <i>a a</i>  <i>a a</i>  

Do đó





2

2
2

1 1 1 1

1 1

1 ₁

<i>a a</i> <i>a</i> <i>_a</i>

 

    

 



  

b/ áp dụng c/m câu a ta có : S =

1 1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 2 3 2008 2009

    

=

1
2009

2009

<b>Câu 3: (3đ) </b>

a) T×m a , b , c biÕt a , b ,c là các số dơng và

(

1
<i>a</i>2+1

)(

1

<i>b</i>2+2

)(

1

<i>c</i>2+8

)

=
32

abc
áp dụng bất đẳng thức Cô-Si : 1

<i>a</i>2+1 2

√

1

<i>a</i>2 =

2

<i>a</i>

V× a ; b ; c là các số dơng 1

<i>b</i>2+2 2

√

2

<i>b</i>2 = 2

√

2

<i>b</i> ;

1

<i>c</i>2+8 2

√

8

<i>c</i>2 =
4

√

2

<i>c</i>

<i>⇒</i>

(

1

<i>a</i>2+1

)(

1

<i>b</i>2+2

)(

1

<i>c</i>2+8

)

2

<i>a</i> . 2

√

2

<i>b</i> .

4

√

2

<i>c</i> =

32

abc

<i>⇒</i>

(

1
<i>a</i>2+1

)(

1

<i>b</i>2+2

)(

1

<i>c</i>2+8

)

=
32

abc <i>⇔</i>

¿
1

<i>a</i>2=1
1

<i>b</i>2=2

1

<i>c</i>2=8
¿{ {

¿

( 0.25®) <i>⇔</i>

¿

<i>a</i>=1

<i>b</i>=

√

2
2

<i>c</i>=

√

2
4
¿{ {

¿

( 0.5®)

b) T×m a , b , c biÕt : a = 2<i>b</i>
2

1+<i>b</i>2 ; b =
2<i>c</i>2

1+<i>c</i>2 ; c =
2<i>a</i>2
1+<i>b</i>2

Nhận xét các số a ; b ; c là các số dơng , áp dụng bất đẳng thức Co-si (0 .25đ)

1+ b2 _2b <i>⇒</i> _{a =} 2<i>b</i>

2

1+<i>b</i>2

2<i>b</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1 + c2 _2c <i>⇒</i> _{b =} 2<i>c</i>
2

1+<i>c</i>2
2<i>c</i>2

2<i>c</i> = c

1 + a2 _2a <i>⇒</i> _{c =} 2<i>a</i>
2

1+<i>b</i>2
2<i>a</i>2

2<i>a</i> = a

Tõ ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3 ) ta cã a = b = c và theo cosi thì a = b = c = 1
c) Cho a3_{+ b}3_{+ c}3_{= 3abc víi a,b,c khác 0 và a + b+ c} ₀

P = (2008+ <i>a</i>

<i>b</i> )(2008 +

<i>b</i>

<i>c</i> ) ( 2008 +
<i>c</i>
<i>a</i> )

a3 + b3 + c3 = 3abc

<i>⇔</i> ( a + b + c ) ( a2_{+ b}2_{+ c}2_{- ab - bc - ac ) = 0}

<i>⇔</i> a2_{+ b}2_{+ c}2_{- ab - bc -ac = 0 ( v× a + b + c} _{0 )}

<i>⇔</i> ( a- b )2_{+ ( b – c )}2_{+ ( c – a )}2_{= 0} <i>_⇔</i> _{a = b = c} <i>_⇒</i> _{P = (2008+} <i>a</i>

<i>b</i> )(2008 +
<i>b</i>
<i>c</i> )

( 2008 + <i>c_a</i> )

P = ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) ; P = 20093
C©u 4:( 2 ®iÓm )

Ta cã

¿

( x2+ 1 )( y2+ 1 ) = 10
( x + y )( xy - 1) = 3

¿{
¿

Û

¿

<i>x</i>2<i>_y</i>2

+ x2+ y2+ 1 = 10
( x + y )( xy - 1) = 3

¿{
¿

Û

xy - 1¿2= 10
¿

( x + y )( xy - 1) = 3

x +<i>y</i>2+

Đặt u = x + y ; v = xy - 1 hÖ trë thµnh :

¿

<i>u</i>2

+ v2= 10

<i>u</i>. v = 3
¿{

¿

u + v¿2= 16
¿
u . v = 3

¿
¿
¿

Û

¿
u + v = <i>±</i> 4
u . v = 3

¿{
¿

· NÕu

¿
u + v = 4
u . v = 3

¿{
¿

th× ta cã
¿
u = 3
v = 1

¿{
¿

hc
¿
u = 1
v = 3

¿{
¿
* víi

¿
u = 3
v = 1

¿{

¿

th×

¿
x + y = 3
xy - 1 = 1

¿{
¿

Û

¿
x + y = 3
xy = 2

¿{
¿

Û (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2)

* Víi
¿
u = 1
v = 3

¿{
¿

th×

¿
x + y = 1
xy - 1 = 3

¿{
¿

Û

¿
x + y = 1
xy = 4

{

nên x , y là 2 nghiệm của PT : t2_{- t + 4 = 0 cã}_D_{< 0}_ị_{vô nghiệm}_ị_{hệ vô nghiệm trong trờng hợp này .}

à Nếu

u + v = <i>−</i> 4
u . v = 3

¿{
¿

th× ta cã

¿
u = -3
v = -1

¿{
¿

hc
¿
u = -1
v = -3

¿{
¿
* Víi

¿
u = -3
v = -1

¿{
¿

ta cã

¿
x + y = -3
xy - 1 = -1

¿{

¿

Û

¿
x + y = -3
xy = 0

¿{
¿

Û (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3)

* Víi
¿
u = -1
v = -3

¿{
¿

ta cã

¿
x + y = -1
xy - 1 = -3

¿{
¿

Û

¿
x + y = -1
xy = -2

¿{
¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2

1
1

P

D
N

M
c

b

a
I

E D

C

B

A

N

M

c

b

a
I

C
B

A

<b>B</b>
<b> i 5:à </b>

Ta cã: BD.CE = 2BI.CI

1

. (1)

2

<i>BI CI</i>
<i>BD CE</i>

ị

Trong tam giác BEC ta có BI là phân giác của <i>B</i> :

<i>CI</i> <i>BC</i>

<i>EI</i> <i>BE</i>

ị

Theo tinh chÊt tØ lÖ thøc

<i>CI</i> <i>BC</i>

<i>CI EI</i> <i>BC BE</i>

Þ 

 

Hay

<i>CI</i> <i>BC</i>

<i>CE</i> <i>BC BE</i> _{(2) mµ}

<i>BE</i> <i>CB</i> <i>a</i> <i>BE</i> <i>a</i>

<i>AE</i> <i>CA</i> <i>b</i> Û <i>c BE</i> <i>b</i>

ac

b.BE ac a.BE BE

b a

Þ   Û 

 _(*)

Thay (*) vào (2) ta đợc:

<i>CI</i> <i>a</i> <i>a b</i>

<i>ac</i>

<i>CE</i> <i>_a</i> <i>a b c</i>

<i>a b</i>



 

 


 ₍₃₎

T¬ng tù trong tam giác ABD ta có AI là phân giác cña <i>A</i>:

(4)

<i>BI</i> <i>AB</i> <i>BI</i> <i>AB</i> <i>BI</i> <i>c</i>

<i>ID</i> <i>AD</i> <i>BI CI</i> <i>AB AD</i> <i>BD</i> <i>c AD</i>

Þ  Þ  Û  Þ

   

<i>ab</i>
<i>AD</i>

<i>a c</i>



 _(2*)

Thay (2*) vào (4) ta đợc:

<i>BI</i> <i>c</i> <i>a c</i>

<i>ab</i>

<i>BD</i> <i>_c</i> <i>a b c</i>

<i>a c</i>



 

 


 ₍₅₎

Thay (3) và (5) vào (1) ta đợc:

2 2 2 2

1

. 2 2 2 2 2 2 2

2

<i>a b</i> <i>a c</i>

<i>a</i> <i>ab</i> <i>ac</i> <i>bc a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>ac</i> <i>bc</i>

<i>a b c a b c</i>

 

 Û         

   

2 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

Vậy tam giác ABC vuông tại A
<b>Câu 6: Trên cạnh PM lấy ®iÓm D sao cho PD = PM </b>

Ta cã: <i>M</i> <i>M</i> 1<i>M</i> 2 <i>D</i> 1<i>M</i> 2 <i>N M</i> 2<i>M</i> 2

(Vì <i>D</i>1_{là góc ngồi của tam giác MND). Do đó:}<i>M</i> <i>N</i>2<i>M</i> 2
Theo bài ra: <i>M</i> <i>N</i>2<i>P</i> Suy ra <i>P M</i>  2

Do đó ta có: D<i>MNP</i>D<i>DNM g g</i>( . )

<i>MN</i> <i>NP</i>

<i>DN</i> <i>MN</i>

Þ 

đặt NP = a: MP b: MN = c: Với a,b,c <i>N</i>
Ta có:

2 ₍ _{) (1)}

<i>c</i> <i>a</i>

<i>c</i> <i>a a b</i>

<i>a b</i> <i>c</i> Þ 

Do các cạnh của tam giác MNP là ba số tự nhiên liên tiếp và a > b nên a – b = 1 hc a – b = 2
NÕu: a – b = 1 th× a – c = 2

Tõ (1) ta cã:

2 2 ₂

<i>c</i> <i>a</i> ị <i>c</i> <i>c</i> _{(vì a = c + 2)}

2

( 1) 2

1 1

<i>c</i>
<i>c c</i>

<i>c</i>



Þ  _{ Û }

 

 Û <i>c</i>2
Nếu: a – b = 2 thì a – c = 1 khi đó ta có

(1)

2 ₂₍ ₁₎ ₍ _{2) 2} 2

1 2

<i>c</i>

<i>c</i> <i>c</i> <i>c c</i>

<i>c</i>



Û   Û  _{ Û }

 

 _{(Lo¹i). VËy MN = 2: MP = 3: NP = 4}
Bµi 7:

a. Ta cã:

 0 C  0 C  

AMI 90 ; BNI 90 AMI BNI (1)

2 2

    Þ 

Ta l¹i cã:

 0 A B  3600 (1800 C) 0 C

AIB 180 90 (2)

2 2 2

  

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Từ (3) và giả thiết suy ra: DAIB DAMI DBNI Þ

AM IN

AM.BN IM.IN

IM BNÞ  ₍₃₎

Mà tam giác CMN cân tại C suy ra: IM=IN (4) (vì CI là đờng cao đồng thời là trung tuyến)
Từ (3) và (4) suy ra: <i>AM BN</i>. <i>IM</i>2 <i>IN</i>2

b. Ta cã: D<i>AIB</i>D<i>AMI</i>

2
2

AI AB AI AB.AM AM

AI AB.AM

AM AI AB.AC AB.AC AC

Þ  Þ  Û  

Hay

2

AI b AM

bc c




(5). T¬ng tù: DAIB DBNI

2

IB a CN

ca a



Þ 

(6)

Trong tan giác vuông MIC (<i>I</i> 900) ị IC2 CM2 MI2 ; Mà <i>AM BN</i>. <i>IM</i>2(c/m câu a)

2 ₍ ₎2 _. ₍ ₎₍ _{) (} ₎₍ ₎ _.

<i>IC</i> <i>CA AM</i> <i>AM BN</i> <i>CA AM CA AM</i> <i>b AM a BN</i> <i>AM BN</i>

Þ        

(Vì CM = CN c/m trên) ị <i>IC</i>2 <i>ab a AM b BN</i> .  .
2

IC BN AM

1

ab a b

Þ   

(7)

Cộng hai vế của (5); (6) và (7) ta đợc:

2 2 2

IA IB IC

1

bc  ca  ab 

<b>C©u 8: (2 ®) </b>

a. Điều kiện x ạ 0 . Phơng trình đã cho tơng đơng với

3



_





_





_



_









2
2

x 16
10
9 x

x 4

-

3 x

Đặt t =

-x 4

3 x _Þ_t2₌



2
2

x 16 8
-

9 x 3_{. P}_{hương trình}_{trë thµnh :}

 

 

 

 

2 8

3 t 10t

3 _Û_3t2_{– 10t + 8 = 0}

Û t = 2 hc t = 4/3 * víi t = 2 th×

-x 4

3 x_{= 2}_Û_x2_{- 6x - 12 = 0}_Û_{x =}3 21 
* Víi t = 4/3 th×

-x 4

3 x₌

4

3 _Û_x2_{- 4x - 12 = 0}_Û_{x = 6 ; x = - 2}

Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là : x = 6 ; x = - 2 ; x = 3 21 

b. PT :

2

x

+ x + 1 - x = 9 - 4 2

4 _Û

√

(

x
2 + 1

)

2

- x =

√

(2

_√

2 - 1)2

Û

|

x

2+ 1

|

- x = 2

√

2 - 1

· NÕu

x

1

2 _³₀_Û_x_³_–_{2 , PT trên trở thành x + 2}_{– 2x = 4}

√

2 _{– 2}

Û x = 4 - 4

_√

2 thỏa mãn x ³ – 2 nên x = 4 – 4

_√

2 là nghiệm của phơng trình đã cho .

· NÕu

x

1

2 _{< 0}_Û_{x < 2}_{, PT trên trở thành}_{( x + 2) – 2x = 4}

√

2 _{– 2}
Û – 3x = 4

_√

2 Û x = – 4

_√

2 /3 , kh«ng thỏa mÃn x < 2 nên loại

</div>

<!--links-->