ON VAO 10 HE PHUONG TRINH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (122.84 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (06 tiết)
I. MỤC TIÊU:

- HS nắm vững các dạng tốn về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa các nghiệm;
về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Rèn luyện kỷ năng giải các bài tốn có tham số m và các điều kiện của nghiệm, Giải các hệ phương trình
- Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai ln ln có nghiệm và biết tìm các hệ thức giữa các
nghiệm độc lập đối với m

II. NỘI DUNG:

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Hệ phương trình bậc nhất một ẩn:
Có daïng:

( )

'

( ')

ax by c

d

a x b y c

d















(I)

Các cách giải:
*) Phương pháp đồ thị:

- Heä (I) vô nghiệm <=> (d) // (d’) <=>

'

a

b

a



b

- Hệ (I) có một nghiệm duy nhất <=> (d) caét (d’) <=>

'

a

b

c

a



b



c

- Hệ (I) có vô số nghiệm <=> (d)  (d’) <=>

'

a

b

c

a



b



c

*) Giải bằng đại số:

- Phương pháp thế

- Phương pháp cộng đại số

2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a

 0)
Các cách giải phương trình bậc hai một ẩn:
a) Cơng thức nghiệm:  = b2 – 4ac





> 0



phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =

-b +

2a



; x2 =

-b -

2a







= 0



phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

b

2a







< 0



phương trình vô nghiệm

b) Cơng thức nghiệm thu gọn: ’ = b’2 – ac





’ > 0



phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =



-b' +

'

a

; x2 =



-b' -

'

a





’ = 0



phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =



b'

a





’ < 0



phương trình vô nghiệm

c) Nhẩm theo hệ số a, b, c:

- Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a

 0) coù a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 =

c

a

- Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a

 0) coù a - b + c = 0 thì x1 = - 1; x2 = -

c

a

2. Định lý Vi ét:

a) Nếu p.trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x

1; x2 thì tổng và tích các nghiệm đó là:

S = x1 + x2 =

-b

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b) Nếu hai số x1; x2 có S = x1 + x2 và P = x1.x2 thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

x2 – Sx + P = 0

3. C.minh một phương trình bậc hai ln ln có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
- Bước 1: Lập



- Bước 2: Biến đổi



về dạng:



= A2



0 với mọi m

hoặc



= A2 + k > 0 với mọi m

4. Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó ta tiến hành: 
 Lập



 Phương trình có nghiệm khi

 

0. Từ đó suy ra điều kiện của m
 Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2

 Biến đổi đề bài thành một dãy các phép tính có chứa tổng và tích
 Thay S và P vào suy ra giá trị của m

 Đối chiếu điều kiện và kết luận

5. Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m
 Khử m từ S và P ta sẽ được hệ thức cần tìm
6. Một số hệ thức khác: Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có:

- Hai nghiệm trái dấu



a.c < 0 hoặc

0 P

 









- Hai nghiệm đều dương



0 S > 0

P > 0

 











- Hai nghiệm đều âm



0 S < 0

P > 0

 











- Một số công thức cần lưu ý: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2;

(x1 - x2 )2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2; x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1.x2(x1 + x2)

B. LUYỆN TẬP:

Hoạt động Nội dung

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)

2(

1) 3(

2) 5(

) 17

4(

3) (

2)

2 6

x

y

x y

x

y

x



















 





3

1

4

2

3

1

4 x y

x

y











 







2

3

4

1

6

4 x y

x

























2(

1) 3(

2) 5(

) 17

4(

3) (

2)

2 6

x

y

x y

x

y

x



















 





2 2 3

6 5

5

17

3

8

9

4

12

2 2 6

8 x

y

x

y

x

y

x

y

x

x y



























  







Giải ra ta được: (x; y) = (11; -3)

3

1

3

4

2

9

12

6

4

2

3

4

3

4

16

12

16

1

4 x y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y





































 







Giải ta được (x; y) = (

10

4 ;

7 

)

2

3

7

2

14

3

4

11

2

12

11

2

12

1

6

4 x y

x

y

x y

x

y

x

y





















































Giải ra ta được (x; y) = (2; 5)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2

10 (1

)

0 ax

ay

a x y

















a) Giải hệ phương trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm

2

4

10

3

0 x

y

x y















Giải ra ta được (x; y) = (-1; 3)

2

10 (1

)

0 ax

ay

a x y

















<=>

2

10 2 (1

)

2

0 ax

ay

a

a x

ay

















Trừ hai PT theo vế, ta được: [a – 2a(1 – a)].x = -10
<=> (2a2 – a).x = -10 (1)

Phương trình 91) có nghiệm <=> (2a2 – a)

 0

1 0;

2 a





Vậy với

1 0;

2 a



a



thì hệ p.trình đã cho có nghiệm
Bài 3: Xác định giá trị của a, b để hệ phương

trình

4 5 10

3 7 4

ax y b
x by a

  
  







có nghiệm x = 4; y = 3.

Vì x = 4; y = 3 là nghiệm của hệ PT đã cho, nên thay vào ta được
hệ PT:

4 12 5

10

4

5

22 12 3

7 4

4

3

5 a

b

a

b

a

b

















 







Giải ra ta được a =

27

1

2 ;

2

32 b

8 



Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 7x2 -12x + 5 = 0;

1

2

1 x







c) x2 - 2(1+

√

3

)x + 2

√

3

= 0
d) x2 - (

√

2 +

√

3 ¿

x +

√

6

= 0

a) 7x2 -12x + 5 = 0 (a = 7; b = -12; c = 5)

Ta thaáy a + b + c = 7 + (- 12) + 5 = 0
Vậy nghiệm phương trình x1 = 1; x2 =

5

7

1

2

1 x







(1)

ÑK: x  0; x  -1

(1) <=> x2 + (x + 1)2 = -2x(x + 1) <=> 4x2 + 4x + 1 = 0

Giải ra ta được x1 = x2 =

1

2 

c) x2 - 2(1+

√

3

)x + 2

√

3

= 0

(a = 1; b = - 2(1+

√

3

); b’ = - (1+

√

3

); c = 2

√

3

’ = b’2 – ac = [- (1+

√

3

)]2 - 2

√

3

= 4 > 0 =>  ' 2
x1 = 3 +

√

3

; x2 =

√

3

- 1

Bài 5: Giải các phương trình sau:

1

10 9 0

2 x















 

















;

b) (x2 – 6x + 9)2 + x2 – 6x – 3 = 0

x

 

8 2

x



7 

x

 

8 2

x



7 

4

d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) =

9

2

a) Đặt t =

1

2 x



, ta có phương trình t2 – 10t + 9 = 0

Giải ra ta được t1 = 1; t2 = 9

- Với t1 = 1 thì

1

2 x



= 1 => x =

1

2

- Với t2 = 9 thì

1

2 x



= 9 => x = 8

1

2

b) Đặt t = x2 – 6x + 9 ta có phương trình t2 + t - 12 = 0

Giải ra ta được t1 = 3; t2 = -4

- Với t1 = 3 thì x2 – 6x + 9 = 3 => x1 =...; x2 = ...

- Với t2 = -4 thì x2 – 6x + 9 = -4 => x3 =...; x4 = ...

Kết luận:

x

 

8 2

x



7 

x

 

8 2

x



7 

4

(ñk: x  -7)

2 2

( x 7 1) ( x 7 1) 4

      

7 1

7 1 4

x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x

 

7 1

< 0 <=> x + 7 < 1 <=> x < -6

Do đó -7



x < -6, ta có:

x

  

7 1

x

  

7 1 4

<=> 0 = 2 => phương trình vô nghiệm

x

 

7 1

 0 <=> x + 7  1 <=> x  -6

ta coù:

x

  

7 1

x

 

7 1 4





x



7 2



<=> x = -3
Vậy phương trình có nghiệm là x = -3.

d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) =

9

2

<=> 16.(8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16.

9

2

<=> (8x + 7)2.(8x + 6).(8x + 8) = 72

Đặt t = 8x + 7, ta coù PT:

t2.(t – 1)(t + 1) = 72 <=> t4 – t2 – 72 = 0

Giải ra ta được t =  3, khi đó x1 =

1

5 ;

2 x

4 



Bài 6: Cho phương trình
x2 + (2a – 5)x – 3b = 0

Xác định a; b để phương trình có hai
nghiệm là x1 = 2; x2 = -3

Thay x1 = 2; x2 = -3 lần lượt vào phương trình, ta được:

4

3

6

3

6

3

24

2 a

b

a

b















Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x2 –

2(m + 1)x + 2m – 3 luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi m  R.

Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 3 = 0

’ = [-(m+1)]2 – 2m + 3 = m2 + 4 > 0 với mọi m

Điều này chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
với mọi m  R.

Bài 8: Cho phương trình:
(m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (m

 1)
a) Chứng tỏ rằng phương trình ln ln có
hai hai nghiệm phân biệt với mọi m  1
b) Không giải phương trình, hãy xác định giá
trị của m để tích hai nghiệm bằng 3. Từ đó

tính tổng hai nghiệm ấy.

a) Phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0

’ = (-m)2 – (m – 1)(m + 1) = m2 – m2 + 1 = 1 > 0 với mọi m.
Điều này chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
với mọi m  1.

b) Theo hệ thức viet, ta có:

1 2

2

1 .

1 m

x

m

x x

m

























theo đề bài x1.x2 = 3 ta suy ra

1

3

1 m







<=> m = 2
Với m = 2, ta lại có x1 + x2 = 4

Bài 9: Cho phương trình

x2 + (k – 1)x – k = 0

a) Xác định k để phương trình có nghiệm
kép. Tìm nghiệm kép đó.

b) Xác định k để phương trình có hai
nghiệm đều dương

a)  = (k – 1)2 + 4k =...= (k + 1)2

Phương trình có nghiệm kép <=>  = 0 <=> k = -1
Khi đó nghiệm kép là: x1 = x2 = 1

b) Theo hệ thức Viet, ta có:

1 2

(

1)

.

x

k

x x

k















Phương trình có hai nghiệm đều dương <=>
2

1 2

0 (

1)

0 (

1) 0

1 0

0 .

0 k

x

k

x x

k



 















 

 













 



Baøi 10: Cho phương trình:
2x2 – 3mx – 2 = 0

a) CMR rằng với mọi giá trị của m thì
phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

a)  = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > 0 với mọi m

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương

trình. Tìm giá trị của m để S = x12 + x22 đạt

giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

c) Tính 3 3

1 2
1 1

x x theo m

b) Theo hệ thức Viet, ta có:

1 2

3

2 .

1 m

x

x x

















Khi đó S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2 x1. x2

3 (

)

2 m

+ 2  2
Daáu “=” xaûy ra khi

3 (

)

2 m

= 0 <=> m = 0
Vaäy min S = 2 khi m = 0

c) Ta coù:

3 3 3 2

1 2 1 2 1 2 1 2

3 3 3 3

1 2 1 2 1 2

( ) 3 ( )

1 1 9 (3 4)

....

( . ) ( . ) 8

x x x x x x x x m m

x x x x x x

     

    

Bài 11: Cho phương trình

x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

a) Giải phương trình với m = 4

b) Chứng minh rằng phương trình ln
có nghiệm với mọi m

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai
nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Xác định giá trị của m sao cho phương
trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị
tuyệt đối và trái dấu nhau.

a) Khi m = 4, giải ra ta được nghiệm PT:
x1 = 3 2 2 ; x2 = 3 2 2

b) ’ = (m – 1)2 – (m – 3) =...= m2 – 3m + 4
=

3

7 (

)

0

2

4 m







với mọi m

Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m

c) Theo hệ thức Viet, ta có:

1 2

2(

1)

.

3 x

m

x x

m











 



Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 +

x2 - 2 x1.x2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) = 4

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và
trái dấu nhau khi và chỉ khi:

1 2

' 0

3 0

3 .

0

1 2(

1) 0

1

0 m

x x

m

x

 

































Bài 12: Cho phương trình:

x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5

b) Chứng minh rằng phương trình ln có hai
nghiệm phân biệt với mọi m

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái
dấu

d) Chứng minh rằng biểu thức

S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc

vào m

a) Giải ra ta được x1 =

6 

35

; x2 =

6 

35

b) ’ = (m + 1)2 – (m – 4) =...= m2 + m + 5
=

1

19 (

)

0

2

4 m





với mọi m

Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m
c) phương trình có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0
<=> m – 4 < 0 <=> m < 4

d) Theo hệ thức Viet, ta có:

1 2

2(

1)

.

4 x

m

x x

m











 



Khi đó: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1)

= x1 + x2 - 2 x1.x2 = 2m + 2 – 2m + 8 = 10

Điều này chứng tỏ biểu thức

S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m

Bài 13: Cho phương trình:

(2m – 1) x2 – 2(m + 4) x + 5m + 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = - 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

a) Giải ra ta được x = 1

b) Ta coù: ’ = (m + 4)2 – (2m – 1).(5m + 2) =...
= -(9m2 - 9m – 18)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2 1 0

' 0 (9 9 18) 0

1 1

2 2

( 1)( 2) 0 1 2

m
a

m m

m m m

 

 




 

     

 

 

 

 

  

      

 

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 1: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m 1

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai
nghiệm của phương trình

c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức:

x

1

x

+

x

+

5

2 =

0

HD: a) Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0.

b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 =

m−

m

+

1 1

= 5 ⇒ m =

3 2

Khi đó: x1 + x2 =

m−

2 m

1

= 6

c) x1 + x2 =

2 m

m−

1

=

m−

2 m

1

– 1 + 1 =

2m-(m-1)

+1=

m+1

+1=

m-1

x1.x2 + 1

Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + 1 = 0

d)

x

+

x

+

5

2 =

0 ⇔

2(x12 + x22) + 5x1x2 = 0

⇔

2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = 0

⇔

2(x1 + x2)2 + x1x2 = 0

⇔

2.

4 m

(

m−

1 )

+

m

+

1 m −

1

= 0

⇔

9m2 = 1

⇔

m =

±

1

3

Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tính x12 + x22 theo m

c) Tìm m sao cho x12 + x22 = 12

HD:a) Ta coù



’ = (m + 1) 2 – m2 + 4m – 5 = 6m – 4

Phương trình có nghiệm khi



’



0



m



2

3

b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1); P = x1. x2 = m2 – 4m + 5

x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12

<=> 4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12 <=> 2m2 + 16m – 6 = 12

<=> m2 + 8m – 9 = 0 <=> m

1 = 1; m2 = -9 (loại)
Bài 3: Cho phương trình x2 + 2 mx – m2 + m – 1 = 0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m. Xác định dấu của các nghiệm
b) Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

HD: a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 và c = – m2 + m – 1 = -(m -

1

2

)2 -

3

4

< 0

nên ac < 0 với mọi m. Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu 
b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = - 2m; P = x1.x2 = – m2 + m – 1

x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2= 4m2 – 2m + 2

= (m -

1

2

)2 +

7

4 

7

4

với mọi m.Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x
22 là

7

4

khi m =

1

2

Bài 4 : Cho phương trình: x2 - 2x - m2 - 4 = 0

a- Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.

b- Tìm m sao cho phương trính nghiệm x = - 2 và tính nghiệm kia.
c- Tìm m sao cho : + ) x12 + x22 = 20

+) x1 = -2x2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 5 : Cho phương trình: x2 - 2(m+1)x + m2 + 2 = 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm số .

b) Với giá trị nào của m thì hai nghiệm số x1 và x2 của phương trình nghiệm đúng hệ thức x1 - x2 = 4

Baøi 6 : Cho phương trình : x2 + 3x + 2 - m = 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm là 3 .
b) Giải phương trình (1) khi m = 6 .

c) Xác định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình ( 1) thỏa mãn hệ thức:x12 + x22 = 3.

d) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu .
Bài 7 : Cho phương trình có ẩn số x ( m là tham số ). x2 - mx + m - 1 = 0

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1;x2 với mọi m. Tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và

giá trị của m tương ứng .
b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2

+) Chứng minh A = m2 - 8m + 8.
+) Tìm m sao cho A = 8

+) Tìm gia trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng .
RÚT KINH NGHIỆM :

</div>

ON VAO 10 HE PHUONG TRINH

( )

'

'

'

( ')

<i>ax by c</i>

<i>d</i>

<i>a x b y c</i>

<i>d</i>















'

'

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>



<i>b</i>

'

'

'

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>

'

'

'

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>





-b +

2a



-b -

2a







b

2a













-b' +

'

a



-b' -

'

a







b'

a





<i>c</i>

<i>a</i>