Toan vao 10 Binh Dinh 0708

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (147.33 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Năm học 2007 – 2008

Thời gian làm bài 120 phút
Ngày thi: 25/7/2007

Câu 1: (2,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức: A = 5+

√

5
1+

√5

.
b) Chứng minh đẳng thức:

√a

√

a −

√

b−

√

b

√

a+

√

b−

2b

a −b=1 với a 0, b 0 và a b.
Câu 2: (1,5 điểm).

Giải phương trình: x23x108 0 .
Câu 3: (2,0 điểm).

Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120 km và ngược dòng 120 km, thời gian cả đi và về hết
11 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là
2 km/giờ.

Câu 4: (3,5 điểm).

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với

B và M không trùng với C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vng góc kẻ từ M đến AB
và AC, O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng:

a) Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường trịn.
b) Tứ giác OPHQ là hình gì?

c) Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5: (1,0 điểm).

Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:
2a2+3b2

2a3+3b3+

2b2+3a2

2b3+3a3≤
4
a+b .

---Hết---Họ và tên thí sinh: . . . SBD :. . .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

---Câu 1: (2,0 điểm).

a) Ta có A = 5+

√

5
1+

√

5 =

√

√

5+1)

√

5 (0,5

điểm).

√

5 . (0,5 điểm).

b) Với a 0, b 0 và a b ta có:

√

a

√

a −

√

b−

√

b

√

a+

√

b−

2b
a −b=

√

a

(

√

a+

√

b

)

−

√

b

(

√

a −

√

b

)

−2b

a −b (0,25 điểm).
= a+

√

ab−

√

ab+b −2b

a −b (0,25 điểm).

= a− ba− b (0,25 điểm).

= 1 (đpcm). (0,25 điểm).

Câu 2: (1,5 điểm).

Giải phương trình: x23x108 0 ( a = 1, b = 3, c = –108 )

 = 32 – 4. 1. (–108) = 9 + 432 = 441 (0,25 điểm).
21

441


 (0,25 điểm).

Vậy phương trình có hai nghiệm:

9
2
21
3
1 



x
(0,5 điểm).
12
2
21
3

2 





x
(0,5 điểm).
Chú ý:

- Nếu học sinh khơng tính  nhưng tính nghiệm đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Đối với nghiệm x1, nếu học sinh sinh mới viết được 2

21
3
1



x

còn kết quả x1= 9 chưa tính
hoặc tính sai thì phần này cho 0,25 điểm. Tương tự đối với nghiệm x2, nếu học sinh sinh mới
viết được 2

21
3
2



x

còn kết quả x2 12 chưa tính hoặc tính sai thì cho 0,25 điểm phần

này.

Câu 3: (2,0 điểm).

Gọi vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là x km/giờ (0,25 điểm).

(điều kiện x >2) (0,25 điểm).

Thời gian của ca nơ lúc xi dịng là: 120

x+2 giờ (0,25 điểm).
Thời gian của ca nơ lúc ngược dịng là: 120

x −2 giờ (0,25 điểm).
Theo bài ra ta có phương trình:

120
x+2 +

120

x −2 = 11 (1) (0,25

điểm).

Biến đổi phương trình (1) về phương trình:
x2 x

11  240  44 0 (2) (0,25 điểm).
Giải phương trình (2) được 2 nghiệm x1 = 22, x2 = −112 (0,25 điểm).

Đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận:

Vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là 22 km/giờ. ( 0,25 điểm).
Chú ý: Nếu học sinh không đặt điều kiện x > 2 hoặc đặt điều kiện sai thì trừ điểm phần này và

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 4: (3,5 điểm).

B M H C

P Q

0
60

- Hình vẽ đúng (0,5 điểm).

(Chỉ cần vẽ được tam giác đều ABC, đường cao AH, xác định được điểm M, điểm O và vẽ được
MP AB, MQ AC). Tùy theo yêu cầu về tính bằng nhau, tính vng góc của các đoạn
thẳng mà cho điểm tối đa 0,5 hoặc cho 0,25.

- Nếu hình vẽ khơng phù hợp với bài làm hoặc khơng có hình vẽ: khơng chấm. 
a) Ta có: APM900 (vì MP AB) (1) (0,25 điểm).

AQM900

(vì MQ AC) (2) (0,25 điểm).

AHM 900

 (vì AH là đường cao của tam giác ABC) (3) (0,25 điểm).
Từ (1), (2) và (3) suy ra 3 điểm P, Q, H cùng nhìn đoạn AM dưới một góc vng nên các điểm
A, P, H, M, Q cùng nằm trên đường trịn đường kính AM (0,25 điểm).

Chú ý: Nếu học sinh chỉ viết kết quả APM900, AQM900, AHM900 mà khơng giải thích lý
do thì vẫn cho điểm tối đa, nếu giải thích sai thì ứng với góc nào sẽ khơng cho điểm phần đó.
b) Do Δ AHM vng tại H có HO là trung tuyến nên OH = AM

2 (4)

Tương tự ta cũng có OQ = AM2 (5)

Từ (4) và (5) suy ra OH = OQ ⇒ Δ HOQ cân (6) (0,25

điểm).

Ta lại có HOQ2HAQ (vì góc HAQ là góc nội tiếp và HOQ là góc ở tâm cùng chắn cung

HQ của đường trịn đường kính AM) (7)

 Xét tam giác vng AHC có C600 (do Δ ABC đều) ⇒ HAQ
0

 (8)

Từ (7) và (8) suy ra HOQ600 (9)

Vậy từ (6) và (9) ta suy ra HOQ là tam giác đều (10) (0,25 điểm).

 Tương tự POH cũng là tam giác đều (11) (0,25 điểm).

 Từ (10) và (11) ta thấy tứ giác OPHQ có OP = PH = HQ = QO = OH.

Do đó tứ giác OPHQ là hình thoi. (0,25 điểm).

Chú ý: Nếu học sinh chỉ viết đúng các kết quả (4), (5) rồi suy ra (6) mà không giải thích lý do thì
vẫn cho điểm tối đa nhưng nếu giải thích sai thì khơng cho điểm phần này.

Tương tự, nếu học sinh chỉ viết đúng các kết quả (7), (8) rồi suy ra (9) mà khơng giải thích lý
do thì vẫn cho điểm tối đa nhưng nếu giải thích sai thì khơng cho điểm phần này.

Nếu học sinh chỉ viết kết quả (10) hoặc (11) mà không giải thích thì vẫn cho mỗi kết quả 0,25
điểm như quy định trong hướng dẫn chấm, nếu giải thích sai phần nào thì khơng cho điểm
phần đó.

c) Tứ giác OPHQ là hình thoi nên:
OH PQ và PQ = 2PI = 2.PO

√

2 = PO.

√

3 = AM .

√

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Do đó: PQ có độ dài nhỏ nhất ⇔ AM có độ dài nhỏ nhất . (0,25 điểm).
Mặt khác ta có AM AH nên AM có độ dài nhỏ nhất ⇔ M H

Vậy khi M H thì đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. (0,25 điểm).
Câu 5: (1,0 điểm).

Đặt ab=t . Do a > 0, b > 0 nên t > 0.
Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:

2t2

+3
2t3+3+

2+3t2

2+3t3≤
4

t+1 (0,25 điểm).

⇔ (t + 1)(12t5 + 13t3 + 13t2 + 12) 4(6t6 + 13t3 + 6)
⇔ 12(t6 – t5 – t + 1) – 13t2(t2 – 2t + 1) 0

⇔ 12(t – 1)2(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2(t – 1)2 0

⇔ (t – 1)2[12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2] 0 (*) (0,25 điểm).
Mà:

12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2 = 12t4 + 12t(t – 1)2 + 23t2 + 12 > 0, ∀ t > 0.
Do đó (*) đúng với mọi t > 0.

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b dương. (0,25 điểm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1 ⇔ a = b. (0,25 điểm).

---Hết---Ghi chú:

- Mọi cách giải khác, nếu đúng mà phù hợp với chương trình thì vẫn cho điểm theo số điểm
quy định dành cho từng phần (hay từng câu) trong hướng dẫn chấm này.

</div>