chuyen de phuong phap toa do trong khong gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (377.56 KB, 21 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. ⃗AB=(x

B− xA, yB− yA, zB− zA)
2. AB=|⃗AB|=

√

(

xB− xA

)

2+

(

yB− yA

)

2+

(

zB− zA

)

3 . ⃗a±b=⃗

(

a1± b1, a2± b2, a3± b3

)

4 . k .⃗a=

(

ka1,ka2,ka3

)

5 . |⃗a|=

√

a12+a22+a32
6 . ⃗a=⃗b⇔

{

a1=b1
a2=b2
a3=b3
7 . a⃗.⃗b=a1.b1+a2.b2+a3.b3
8 . a⃗//b⃗⇔⃗a=k.b⃗⇔⃗a∧b=⃗⃗ 0⇔a1

b1
=a2

b2
=a3

b3
9 . ⃗a⊥b⃗⇔⃗a.⃗b=0⇔a1.b1+a2.b2+a3.b3=0
10 . ⃗a∧⃗b=

(|

a2 a3

b2 b3

|

,

|

a3 a1
b3 b1

|

,

|

a1 a2
b1 b2

|)

11 . ⃗a ,⃗b ,⃗c đồng phẳng ⇔

(

⃗a∧⃗b

)

.⃗c=0
12. a ,⃗ b ,⃗ c⃗ không đồng phẳng ⇔

(

⃗a∧⃗b

)

.⃗c ≠0
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1

M

(

x −kxB
1− k ,

y −kyB
1−k ,

z −kzB
1− k

)

14. M là trung điểm AB

M

(

xA+xB

2 ,

yA+yB

2 ,

zA+zB

)

15. G là trọng tâm tam giác ABC
G

(

xA+xB+xC

3 ,

yA+yB+yC

3 ,

zA+zB+zC

3 ,

)

16. Véctơ đơn vị : ⃗e1=(1,0,0);⃗e2=(0,1,0);⃗e3=(0,0,1)
17. M(x ,0,0)∈Ox; N(0, y ,0)∈Oy; K(0,0, z)∈Oz
18. M(x , y ,0)∈Oxy; N(0, y , z)∈Oyz; K(x ,0, z)∈Oxz
19. SΔABC=

|

⃗AB∧⃗AC

|=

1
2

√

a1

2
+a2

2
+a3

20. VABCD=1

|

(⃗AB∧⃗AC).⃗AD

|

21. VABCD .A❑B❑C❑D❑=

|

(⃗AB∧⃗AD).⃗AA

❑

|

2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

 A,B,C laø ba đỉnh tam giác  [




AC
,

AB ] ≠ 0⃗

 SABC = 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 Đường cao AH = 2 .SΔABC

 Shbh =




AC]
,
[AB

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng
 ABCD là hbh  ⃗AB=⃗DC
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

 [ AB→ ,AC→ ]. AD→ ≠ 0
 Vtd = 61

¿[AB
→

,AC]
→

. AD→ ∨¿

Đường cao AH của tứ diện ABCD
V=1

3SBCD. AH  AH=
3V

SBCD

 Thể tích hình hộp :

VABCD .A❑B❑C❑D❑=

|

[

⃗AB;⃗AD

]

.⃗AA
❑

|

Dạng4:Hình chiếu của điểm M
 1. H là hình chiếu của M trên mp

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vng góc mp : ta có ⃗ad=⃗nα

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

 Viết phương trình mp qua M và vng góc với (d): ta có ⃗nα=⃗ad

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

Dạng 5 : Điểm đối xứng

1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp



 Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)
 H là trung điểm của MM/

2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:

 Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)

H là trung điểm của MM/

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

1: Viết tọa độ của các vectơ say đây: a 2i j

  

  ; b7i 8k; c 9k

 

 ; d 3i 4 j 5k

   

  

2: Cho ba vect¬ →a = ( 2;1 ; 0 ), b→ = ( 1; -1; 2) , →c = (2 ; 2; -1 ).

a) Tìm tọa độ của vectơ : →u = 4 →a - 2 b→ + 3 →c b) Chứng minh rằng 3 vectơ →a , b→ , →c
không đồng phẳng .

c) H·y biĨu diĨn vect¬ w→ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ →a , b→ , →c .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4: Cho: a 2; 5;3 , b 0;2; 1 , c 1;7;2

  

    

. Tìm tọa độ của vectơ: a)

4 3

d a b c

   

  

b) e a 4b 2c

   

  

5: Tìm tọa độ của vectơ x


, biÕt r»ng:

a) a x 0

  

  vµ a



1; 2;1





 

b) a x 4a

  

  vµ a



0; 2;1





 

c) a 2x b

  

  vµ a



5; 4; 1





 

, b



2; 5;3 .





 

6:Cho ba điểm không thẳng hàng: A(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).B  C   Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC.

7:Cho bốn diểm không đồng phẳng : A(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2). B C  D   Hãy tìm tọa độ trọng tâm
G của tứ diện ABCD.

8:Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M:

a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ:

Ox, Oy, Oz.

9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:

a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.

10:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh
còn lại.

11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại ®iÓm M.

a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.

13 . Cho ba vect¬ a



1; 1;1 ,



b



4;0; 1 ,



 

    c



3; 2; 1 .





 

T×m:

2 2 2 2

) . ; ) . ; ) ;

a  a b c b a b c   c a b b c c a   

   

2 2 2

) 3 2 . ; ) 4 . 5

d a a b b c b   e a c b   c

  .

14. Tính góc giữa hai vectơ a

và b


: a a)



4;3;1 ,



b



1;2;3



 

  









) 2;5; 4 , 6;0; 3 .

b a  b  

15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).

16. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a b c, ,



trong mỗi trờng hợp sau đây:
a a)



1; 1;1 ,



b



0;1; 2 ,



c



4;2;3



  

   

b a)



4;3; 4 ,



b



2; 1; 2 ,



c



1;2;1



  

   













) 4; 2;5 , 3;1;3 , 2;0;1

c a  b c

d a)



3;1; 2 ,



b



1;1;1 ,



c



2; 2;1 .



  

     

17. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ABC.

c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đờng cao của ABC hạ từ đỉnh
A.

e) TÝnh c¸c gãc cđa ABC.

18. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

19. Cho  ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B.

20.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.

c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD.

21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo.

c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .

22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).

a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .

c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D .

23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)

a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các góc A,B,C .
c) Tính diện tích tam giác ABC

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.

Vectơ pháp tuyến của mp :

⃗

n ≠ ⃗0 là véctơ pháp tuyến của  ⇔ ⃗n 

2.

Cặp véctơ chỉ phương của mp : 

⃗

a ⃗b là cặp vtcp của  ⇔ ⃗a , ⃗b cùng // 
 3 Quan hệ giữa vtpt n⃗ và cặp vtcp a⃗,b⃗: n⃗ = [a⃗,b⃗]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n
⃗

= (A;B;C)
 A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n⃗ = (A; B; C)

5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : xa+y
b+

z
c=1
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:

1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) :

° αcaétβ⇔A1:B1:C1≠ A2:B2:C2

° α//β⇔ A1
A2

=B1
B2

=C1
C2

≠ D1
D2
° α ≡ β⇔ A1

A2

=B1

B2
=C1

C2
=D1

D2
ª α⊥β⇔A1A2+B1B2+C1C2=0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

d(M,α)=

|

Axo+ Byo+ Czo+ D

|

√

A2+B2+C2

9.Goùc giữa hai mặt phẳng :

¿⃗n1.n⃗2∨ ¿

|

⃗n1

|

n⃗2|
cos(α , β)=¿

2.CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1:Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Caëp vtcp: 

AB,AC °

α

¿⟨quaA(hayBhayC)

⟨vtpt⃗n=[AB
→

, AC→ ]

Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°

α

¿⟨qua M trung điểm AB

⟨vtpt⃗❑n =AB→

Dạng 3:Mặt phẳng  qua M và  d (hoặc AB)

α

¿ ⟨qua M

⟨Vì α⊥(d) nên vtpt❑⃗n=→a

d.. . .(⃗AB)
Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0

α

¿ ⟨qua M

⟨Vì α // β neân vtpt ⃗nα=⃗nβ

Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/ ) 
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mp chứa (d) nên ⃗ad=⃗aα
Mp song song (d/) nên ⃗ad❑=⃗bα
■ Vtpt ⃗n=

[

⃗ad,⃗ad❑

]

Daïng 6Mp  qua M,N vaø   : 
■ Mp qua M,N neân ⃗MN=⃗aα
■ Mp mp neân ⃗nβ=⃗bα
°

α

¿ ⟨qua M(hay N)

⟨vtpt⃗n=[MN
→

,⃗nβ]

Dạng 7Mp  chứa (d) và đi qua 
■ Mp chứa d nên ⃗ad=⃗aα

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

qua A

vtptn=[a

d,AM]

3.BI TP P DNG

Bài toán 1 . Phơng trình mặt phẳng

Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n

biết
a, M 3;1;1 , n





 



1;1;2



⃗

b, M



2;7; 0 , n







3; 0;1



⃗

c, M 4; 1; 2 , n



 







0;1;3



⃗

d, M 2;1; 2 , n











1; 0; 0



⃗

e, M 3; 4;5 , n









1; 3; 7 



⃗

f, M 10;1;9 , n







7;10;1

Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực cña AB biÕt:

a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)

1 1

A ; 1; 0 , B 1; ;5

2 2

   

 

   

    c,

2 1 1

A 1; ; , B 3; ;1

3 2 3

   



   

  

Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng

đi qua điểm M và song song với mặt phẳng

 

 biÕt:

a, M 2;1;5 ,



   

  Oxy



b, M



1;1; 0 ,

  

 :x 2y  z 100
c, M 1; 2;1 ,





  

 : 2x y 3  0 d, M 3;6; 5 ,





  

 : x z 10

Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là a(2;1; 2); (3; 2; 1)b 

⃗ ⃗

Bµi 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và

a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.

c) Song song với các trục 0y, 0z.

Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :

a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y.

c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z.

Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ ⃗n vng góc với hai véc tơ a(6; 1;3); (3; 2;1) b

⃗ ⃗

Bµi 8 : T×m mét VTPT cđa mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là ⃗a(2,7,2); ⃗b(3,2,4)

Bµi 9 : LËp phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :

a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận n(2,3,4); làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song víi (Q): x+2y+z+4=0.

Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ
độ.

B

µi 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,

(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).

Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:

a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là a

3;2;1

và b

3;0;1

b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x.

Bài 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .

a) ViÕt phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).

b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD.

Bài 14: Viết phơng trình tổng quát của (P)

a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .

b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,

d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)

Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
M(x o ;yo ;zo) có vtcp ⃗a = (a1;a2;a3)

(d):
x=xo+a1t
y=yo+a2t
z=zo+a3t

;t∈R

¿{ {

2.Phương trình chính tắc của (d)
(d): x − xo

a1 =
y − yo

a2 =
z-z0

a3

3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp  1 và  2

(d):

A1x+B1y+C1z+D1= 0
A2x+B2y+C2z+D2= 0

¿{

Véctơ chỉ phương ⃗a=

(|

B1 C1
B2 C2

|

,

|

C1 A1
C2 A2

|

,

|

A1 B1
A2 B2

|)

4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

(d) qua M coù vtcp ⃗ad ; (d’) qua N có vtcp ⃗ad❑

d chéo d’ ⇔ [ ⃗ad , ⃗ad❑ ].

MN→ ≠ 0 (không đồng phẳng)

d,d’ đồng phẳng ⇔ [ ⃗ad , ⃗ad❑ ].

MN→ = 0

d,d’ caét nhau ⇔ [ ⃗ad , ⃗ad❑ ] ⃗0 vaø [ ⃗ad , ⃗a
d❑ ].

MN→ =0

d,d’ song song nhau ⇔ { ⃗ad // a⃗d❑ vaø M∉(d❑) }

d,d’ trùng nhau ⇔ { ⃗ad // a⃗d❑ và M∈(d❑) }
5.Khoảng cách :

Cho (d) qua M coù vtcp ⃗ad ; (d’) qua N coù vtcp ⃗ad❑

Kc t

ừ đ iểm đến đường thẳng:
AM

⃗
ad;¿⃗

¿
¿
¿ ¿

d(A , d)=¿

Kc giữa 2 đường thẳng :

¿[ ⃗ad;⃗ad❑]∨¿

¿[ ⃗ad;⃗ad❑].⃗MN∨¿

d(d ; d❑)=¿

6.Goùc : (d) coù vtcp ⃗ad ;  ’ coù vtcp ⃗ad❑ ; ( ) có vtpt n
⃗

Góc giữa 2 đường thẳng :

¿⃗ad.⃗ad❑∨ ¿

|

⃗ad|.

|

⃗ad❑

|

cos(d,d')=¿

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Góc giữa đ ường vaø m : ặt

¿⃗ad.n∨⃗ ¿

|

⃗ad|.|⃗n|
sin(d,α)=¿

2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
(d)

{

quaA¿(hayB)

Vtcp⃗ad=⃗AB

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( )

(d)

¿ ⟨quaA

⟨Vì (d) // (Δ) nên vtcp ⃗ad=⃗aΔ

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vng góc mp

(d)

¿ ⟨quaA

⟨Vì (d)⊥(α) nên vtcp ⃗ad=⃗nα

Dạng4:PT d’ hình chiếu của d lên  : d = /   

 Viết pt mp chứa (d) và vng góc mp
(β)

{

quaM∈(d)
(β)⊃(d)⇒⃗ad=⃗aβ

(β)⊥(α)⇒⃗nα=⃗bβ
⇒⃗nβ=[⃗ad;⃗nα]

ª (d❑)

{

(α)

(β)

Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A và vng góc (d1),(d2)

(d)

¿
¿

⟨quaA
⃗

ad1, \{a⃗
⟨vtcp⃗a=[¿¿d2]

¿ ¿

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :

+ Tìm ⃗ad = [ ⃗a d1, ⃗a d2]

+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)
 d = 

Dạng 7: PT qua A và d caét d1,d2 : d =   

với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)

Daïng 8: PT d // và cắt d 1,d2 : d =  1   2

với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 

Dạng 9: PT d qua A và  d 1, caét d2 : d = AB

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d =   

với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P)

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) v nhn a(3; 2;3)

làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)

Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng

( ) : - 3P x y2 - 6 0 z  và các mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng

tr×nh:

(d):

x=−t

y=2+2t

z=1+2t

, t∈R

¿{ {

Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :

(d):
x=−t
y=2+2t
z=1+2t
, t∈R

¿{ {

vµ (P): x+y+z+1=0

Tìm phơng trình của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vng góc với đờng
thẳng (D)

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng
thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng chứa tam giác đó

Bài6:Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt
phẳng (P) trong các trờng hợp sau:

a) ( ) : P x2y3 - 4 0z  b)

 

P x: 2y3z1 0 .

Bài 7:Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đờng

th¼ng () cho bëi :

 

2 2

: 3 t

x t

y t R

z t

 



   

  

 .

Bài8: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:

(d):

x=1+t

y=3−t

z=2+t

, t∈R

¿{ {

(P): x-y+z+3=0 b)

(d):

x=12+4t

y=9+t

z=1+t

, t∈R

¿{ {

(P): y+4z+17=0

Bài 9: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
(d):x −1

2 =

y
1=

z+2
−3 .

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

(

d1

)

:
x −2

1 =

y −1

2 =

z −1
1

(

d2

)

:
x=1+2t

y=t+2
z=−1+3t
(t∈R)

¿{ {
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).

Bài 11: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

(

d1

)

:
x=−7+3t

y=4−2t
z=4+3t

¿{ {

(

d2

)

:
x=1+t1
y=−9+2t1
z=−12− t1

(

t,t1∈R

)

¿{ {

a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.

b) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung của (d1),(d2) .

III.MẶT CẦU

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R

S(I,R):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1)

S(I,R):x2

+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 (2)
( vớia2+b2+c2− d>0 )

 Tâm I(a ; b ; c) và R=

√

a2+b2+c2− d
2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho (S):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2
vaø  : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp :

 d > R : (S)  = 

 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp )

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp : ta có ⃗ad=⃗nα

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

 d < R :  cắt (S) theo đường trịn có pt

(S):(x −a)2+(y −b)2+ (z − c)2=R2
α : Ax+By+Cz+D=0

¿{

*Tìm bán kính r và tâm H của đường trịn:
+ bán kính r=

√

R2−d2(I , α)

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I treân mp)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

d:

x=xo+a1t

y=yo+a2t

z=zo+a3t

{ {

(1) vaø

(S):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,

+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

2.CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A

ª S(I,R):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB

 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp

(S)

⟨Pt mặt cầu tâm I

⟨R = d(I,α)=

|

A.xI+B.yI+C.zI+D

|

√

A2+B2+C2
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Duøng (2) S(I,R):x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

S(I,R):x2

+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 (2)
A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)

I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)

Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A

Tiếp diện  của mc(S) taïi A :  qua A, vtpt \{n⃗=IA→

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Trong các phơng trình sau đây ,phơng trình nào là phơng trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ tâm
và bán kính của nó ,biết:

a) (S):x2+y2+z2−2x −4 y+6z+2=0 b) (S):x2+y2+z2−2x+4 y −2z+9=0
c) (S):3x2+3y2+3z2−6x+3y −9z+3=0 d)

(S):− x2− y2− z2

+4x+2y −5z −7=0
e) (S):2x2+y2+z2− x+y 2=0

Bài 2: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng tr×nh:

(

Sm

)

:x2+y2+z2−4 mx−2 my−6z+m2+4m=0

a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình:

(

Sm

)

:x2+y2+z2−4 mx−2m2y+8m2−5=0

a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .

b) Tìm quĩ tích tâm của họ (Sm) khi m thay đổi.

c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) ln đi qua.

Bµi 4: Cho hä mặt cong (Sm) có phơng trình:

(

Sm

)

:x2+y2+z22xsinm2ycosm3=0

a) Tỡm iu kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .

b) CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.

c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m0) ,cắt (C) tại T, S , đờng
thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .

Bµi 5: LËp phơng trình mặt cầu (S) ,biết :

a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4. b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm

I(3;-2;-1).

c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x. d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3),
B(3;2;-7)

Bài 6: Cho 3 đờng thẳng (d1),(d2), (d3) có phơng trình :

(

d1

)

:
x −2

3 =

y+2

4 =

z −1

1 ,

(

d2

)

:
x −7

1 =

y −3

2 =

z −9

−1 ,

(

d3

)

:
x+1

3 =

y+3
−2 =

z −2
−1

a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả hai đờng thẳng (d1),(d2) và song song với đờng thẳng (d3).

b) Giả sử (d)∩

(

d1

)

={A} , (d)∩

(

d2

)

={B} .Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB.

Bài 7: Cho 2 đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình :

(

d1

)

:
x=2+t
y=1−t
z=2t
t∈R

¿{ {

(

d2

)

:x −7

1 =

y −3

2 =

z −9
−1
a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau.

b) Viết phơng trình đờng vng góc chung của (d1) và (d2).

c) Lập phơng trình mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vng góc chung của (d1) và (d2).

d) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d1) và (d2).
Bài 8: Viết phơng trình mặt cu (S) bit :

a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.

b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).

Bài 9: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn ®iĨm A(1;0;1),
B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).

a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ din ABCD.

Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.

b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vng góc với cạnh 0A. Gọi K là
giao điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.

c) ViÕt phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) (HKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao
cho PQ và KM cắt nhau.

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vng góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vng góc chung của AC và BD.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.

Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).

a) (HVNHTPHCM-99):Vit phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vng góc BC .Tìm toạ
độ của điểm H.

b) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A n mt phng
(BCD).

c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a) Lập phơng trình các mặt của hình chóp. b) Lập phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình
chóp .

c) Tính thể tích hình chóp SABCD

Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).

a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ trng tõm G ca t
din.

c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.

Bài tập lun tỉng hỵp

Bài 1: Viết phương trình chính tắc đường thẳng  biết qua M



1;2;5



và song song với hai mặt

phẳng

 

P :3x y  5z 8 0 và

 

Q :2x y z  1 0 ĐS :

1 2 5

4 7 5

x y z

  

 

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng biết đi qua A (2;1;3) và cắt cả 2 đường thẳng

1 2 1

1 1 1

x y z

  

 và 2

2 3 1

1 2 1

x y z

  

 ĐS :

1 4

2 4 5

x y z

  

 

Bài 3: Viết phương trình tham số đường thẳng  biết vng góc với mặt phẳng (P) : x y z   4 0

và  cắt cả 2 đường thẳng

1
2
: 3
1 2

x t
y t
z t
 


   
  
 và

2
2 3
: 1
x t
y t
z t
 


   
 

 ĐS :

4
: 3
2
x t
y t
z t

 


   
  


Bài 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) : 2x y z   6 0

và cắt cả 2 đường thẳng

: 3 2

5
x t
y t
z t
 


   
  

 và

: 5 3 '

1 3 '

x t
y t
z t



   
  

 ĐS :

1 6

: 3 23

5 11
x t
y t
z t
 


   

  


Bài 5: Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua A(1; 2;3) đồng thờivng góc với d1 và cắt

d2 biết

6 2

: 1 4

x t

d y t

z t
 


 

  

 , 2

1 2 3

2 1 1

x y z

d     

 ĐS :

1 6

: 3 23

5 11
x t
y t
z t
 


   
  


Bài 6: Viết phương trình tham số đường thẳng biết  đi quaA



3; 2; 1 



;  vng góc và cắt đường

thẳng

: 4 5

1 2

x t

d y t

z t
 


 

  

 ĐS :

3
: 2
1 2
x t
y t
z t
 


   

  


Bài 6: Cho mặt phẳng (P) : x3y 5z 6 0 và đường thẳng

2 1 7

1 2 1

x y z

d     

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A ,  nằm trong (P) và  d ĐS :

14 13

: 25 6

x t

y t

z t

Hình chiếu Đối xøng

Bài 1 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A



3;1;0



qua

2 3

: 1

4 5

x t

d y t

z t

 



 


  

 ĐS : A' 1;3;2





Bài 2 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A



1; 3;6



qua

 

P :2x y  2z 4 0 ĐS :A' 5; 1;2







Bài 3 Cho A



 5;0;14



và mặt phẳng

 

P :3x y  7z 5 0 . Tìm tọa độ điểm H thuộc

 

P sao cho AH

nhỏ nhất ĐS :H



1;2;0



Bài 4 ChoA



0; 7;13



và đường thẳng

1 3 4

2 1 4

x y z

d     

 . Tìm tọa độ điểm H thuộc d sao cho AH

nhỏ nhất ĐS :H



 3; 5;12



Bài 5 Cho A



3;1;1 ,



B



7;3;9



và mặt phẳng

 

P x y z:    3 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc

 

P sao

cho MA MB

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

nhỏ nhất ĐS :H



0; 3;0



Bài 6 Viết phương trình hình chiếu d’ của đường thẳng

1 2 5

3 4 3

x y z

d     

 trên

 

P x y z:    5 0

Gãc Khoảng cách

Bi 1 Lập phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng

 

Q :2x y  5z0một góc 600
ĐS :

 

P x1 : 3y0 ;

 

P2 :3x y 0
Bài 2 Lập phương trình mp(P) đi qua M



0;3;0 ,



N



1; 1;1



và tạo với mặt phẳng

 

Q x y z:    5 0
một góc  với

1
cos

 

Bài 3* Lập phương trình mp(P) đi qua M



1; 1;3 ,



N



1;0;4



và tạo với mặt phẳng

 

Q x: 2y z  5 0

một góc nhỏ nhất . ĐS :

 

P y z:   4 0

KHOẢNG CÁCH

Bài 2 : Tìm m để khoảng cách từ A (1; 4 ;3) đến mặt phẳng (P) : x + (m –1)y + (3m –7)z +3 = 0 bằng 6
ĐS : m = 3 ; m =

465
191
Bài 3 : Cho 2 mặt phẳng (P) : 8x + 4y – z +1 = 0 và (Q): 16x + 8y – 2z + 9 = 0.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 4 : Cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y + z – 5 = 0 và đường thẳng

1 5 2

3 1 8

x y z

  

 

a) Chứng minh rằng (P) //  b) Tính khoảng cách giữa (P) và 

Bài 5 : Tìm M thuộc đường thẳng

5 2

: 1

x t

y t

z t

 


   

  

 sao cho khoảng cách từ M đến (P): x + 2y –2z + 9 = 0 bằng
6 ĐS : M



1;2; 1 ;



M



 35;21;17



07D ) Cho A



1; 4;2



, B



1;2; 4



và đường thẳng

1 2

1 1 2

x y z

  



a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của OAB và vng góc với mặt phẳng (OAB)
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho MA2MB2 nhỏ nhất.

Bài 6 : Cho đường thẳng

2 1 4

1 1 3

x y z

  

 và 2 mặt phẳng (P): 3x y 5z10 0 , (Q):

5x y  3z 8 0

Tìm điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3 lần khoảng cách từ M đến (Q).

ĐS :





59 28 113

1;2;7 ; ; ;

29 29 29

M M 

 

Bài 7 : Tìm M thuộc đường thẳng

4
:

3 1 1

x y z

  

 sao cho M cách đều điểm A



1; 1;0



và

mặt phẳng (P) : 8x y 4z 4 0 ĐS :





1021 13 13

1; 1;1 ; ; ;

265 265 265

M  M  

 

Bài 8 : Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A( 1; –2; 2) và B(–1; 6 ; 4) biết khoảng cách
từ M (3 ;2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng 11

Bài 9 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa

1 1 2

2 1 5

x y z

d     

sao cho khoảng cách từ A(5; 1; 6)

đến (α) lớn nhất. ĐS : 2x y z   1 0

Bài 10 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ biết A’( 7; 4 ; 1) , B( 2 ; 4; 4) , C(6 ; 2 ; 2) và trung điểm 
của B’C’ là điểm M ( 8 ; 4 ; 0) . Tính khoảng cách từ C’ đến đường thẳng AB. Đáp số :

195
14
Bài 11 : Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng

 

P : 3x y z   8 0 sao cho MAMB MC biết

A1 ; 3 ; 0 , B2; 1 ; 5 , C2 ; 1 ;  1 ĐS : M



4;2;2



VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau :

a) 1

5 1 5

2 1 1

x y z

  

  và 2

5 1 5

2 1 1

x y z

  

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

b)
3
1 2
: 1
x t
y t
z t
 



   
  

 và 4

3 1

1 2 1

x y z

  

c)
5
1 2
: 1
x t
y t
z t
 


   
  

 và

6 3

: 1 2

2
x t
y t
z t
 


   
  


Bài 2: Cho hai đường thẳng 1

7 3 9

( ) :

1 2 1

x y z

d     

 , 2

3 1 1

( ) :

7 2 3

x y z

d     



a) Chứng minh rằng (d1) chéo (d2).

b) Lập phương trình đường vng góc chung của (d1) và (d2).

c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

d) Viết phương trình mặt phẳng(P) song song với (d1) và (d2), (P) cách đều (d1),(d2)

Bài 3: Cho hai đường thẳng: (d1):

3 2
1
5
x t
y t

z t
 


 

  

 và (d

2):

3 3 1

2 1 1

x y z

 

 

a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) song song nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d1) và (d2). ĐS : (): y z+4=0

c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). ĐS : d(d1,d2)= 3

d) Viết phương trình đường thẳng biết song song với (d1) ; cách đều (d1),(d2) và 

 



Bài 4: Chứng minh rằng hai đường thẳng

(d):x −1

2 =

y+2
−3 =

z −5
4 ;(d '):
x=3t+7

y=2t+2
z=−2t+1

¿{ {
cùng nằm trong một mặt phẳng. Lập phương trình mặt phẳng đó.
Bài 5: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) với

 

1
9
2
3
1
7
:

1






 y z

x
d

và

 

1
2
1
7
3
:
2






 y z

x

d

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.

b) Tìm A d 1; B d 2 sao cho AB nhỏ nhất.

Bài 6: Cho hai đường thẳng (d1), (d2) với

 

1
1
2
1
1
2
:
1





 y z

x

d

 

123





2
1

:
2 R
t
z
t
y
t
x
d 













a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng (P) chứa (d1), (d2)

c) Tính góc giữa (d1) và (d2)

viết phơng trình mặt cầu

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A



2; 4;0 ,



B



1;1;4 ,



C



3;1;0



và tâm I nằm trên mặt

phẳng (P): x y z   3 0

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P): 2x +2y + z+3=0 tại
M( 3; 1; 1).

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(4;4;4), B(3;3; 1), C(1;5; 5), D(1;1;1).

Bài 4: Cho

 

P1 : 3x4y 3 0,

 

P2 : 2x2y z 39 0 ; (d)

0
1
x t
y
z















. Viết phương trình mặt cầu có
tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với

   

P1 , P2 .

ĐS:

  







2 2 2

1 : 191 1 12996

S x y  z 

;

  







2 2 2

1 : 11 1 36

S x y  z 

Bài 5: Cho hình hộpABCD A B C D. 1 1 1 1 với A



1;2; 4



, C



3;0;6



, B1



 2;5;3



và D1



0;1; 1



Tìm tọa độ các đỉnh A B1; . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B và tiếp xúc với



ADD A1 1



Bài 6: Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm đi qua điểm A



2;4; 1



,B



0; 2;1



và tâm I thuộc

đường thẳng

 

1 2

: 2

x t

d y t

z t

 



 

  

 ĐS:

  











2 2 2

: 3 1 2 19

S x  y  z 

Bài 7: Cho (P): x 2y 2z 5 0 và các điểm A(0, 0, 4) ; B(0, 2, 0) . Viết phương trình mặt cầu đi qua

O, A, B và tiếp xúc với mp (P)

ĐS:

 

S :x2y2z2 4x 2y 4z0 và

 

2 2 2 19

: 2 4 0

S x y z  x y z

Bài 8: Cho đường thẳng (d) (d):

1 2

3 1 1

x y z

 

và mặt phẳng (P): 2xy 2z2 0 . Viết phương
trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng (d), tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có bán kính bằng 1.

ĐS:

  











 

2 2 2

1 2

8 9 1

: 2 3 1 1; : 1

5 5 5

S x  y  z  S x  y  z  

     

Bài 9: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vng góc chung của

 

d1 và

 

d2 biết

 

d1 : 
2
4

x t

y t
z







 

 ,

 

d2 : 
'

3 '

x t

y t

z





 

 

 ĐS:













2 2 2

2 1 2 4

x  y  z 

Bài 10: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P): 2x + y 2z+ 8 = 0 tại A



1; 2;2



và khoảng
cách từ tâm I của mặt cầu đển điểmB



 2;3;0



bằng 5

Bài 11: Cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu
có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) ti M(1;-1;-1).

mặt cầu và điểm

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

a) Chng minh rằng điểm A nằm ngoài mặt cầu (S)

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu

 

S sao cho khoảng cách MA

 đạt giá trị lớn nhất ĐS M



10; 2;5



 đạt giá trị lớn nhất ĐS M



 2;4; 1



Bài 2: Cho mặt cầu (S): x2y2z2 4x y  2z1 0 và điểmM



1;6;4



a) Chứng minh rằng điểm M nằm ngoài mặt cầu (S)

b) Viết phương trình đường thẳng biết  cắt mặt cầu

 

S tại hai điểm phân biệt A , B sao cho

MA MB lớn nhất

Hướng dẫn Gọi I là tâm của mặt cầu (S) . H là trung điểm của AB .

• MA MB MA MA AB    2MA2AH 2MH 2MI. VậyMA MB lớn nhất  H I hay đi

qua M và I

ĐS

 

1 2

: 6 13

4 6

x t

y t

z t

 



   

  

Bài 3: Cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x2y 8z18 0 và điểmM



2;1;5



a) Chứng minh rằng điểm M nằm trong mặt cầu (S)

b) Viết phương trình đường thẳng biết  cắt mặt cầu

 

S tại hai điểm phân biệt A , B sao cho

MA MB lớn nhất

c) Viết phương trình đường thẳng biết  cắt mặt cầu

 

S tại hai điểm phân biệt A , B sao choMA MB

nhỏ nhất đồng thời  vng góc với

3 7 1

1 5 2

x y z

d     



Hướng dẫn Gọi I là tâm của mặt cầu (S) . H là trung điểm của AB . Ta có MA MB AB 

b) MA MB lớn nhất  AB là đường kính hay đi qua M và I . ĐS

 

: 1 2

x t

y t

z t

 




   

  


c) MA MB AB2AH 2 AI2 IH2 2 AI2 IM2 . MA MB min   IM

ĐS

 

2 9

: 1

5 7

x t

y t

z t

 



   



mặt cầu và mặt phẳng

Loại I. Mặt cầu không cắt MP

Bi 1(H Thủy Lợi cơ sở II 00-01)

Cho mặt cầu (S): x2y2z2 6x4y 2z 5 0 và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 11=0. Tìm điểm M
trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

ĐS : M



2; 4; 1 



Bài 2. Cho mặt cầu(S) :

2 2 2 2 8 8 0

x y z  x z  và mặt phẳng (P) : 4x3y 31 0

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) :

 lớn nhất ĐS : M



3; 3;4



 nhỏ nhất ĐS : M



5; 3;4



Loại II. Mặt cầu tiếp xúc MP

Bi 1. Cho mặt cầu (S) :

2 2 2 2 2 7 0

x y z  x y 

a) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M( 3;2;2)

b) Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các giao điểm của (S) và  biết  đi qua A



1;3;1



,



0; 1;2



B 

c) Tiếp diện song song với mp ( ) : 2x 2y z 0

Bài 2. Cho mặt phẳng (P) : 3x + 4y –12z + m2–7m = 0 và mặt cầu





2 2

( ) : (S x1)  y 2 z 1

Tìm m để (P) tiếp xúc với (S) . Với m tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm M của (P) và (S) .

ĐS. m = − 1 , m = 8 và

16 22 12

; ;

13 13 13

H 

 

Bài 3. CMR (P): 2x y 2z12 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm I ( 1 ; − 1 ; 0 ) bán kính MI với



2; 1;4



M  

. Tìm tọa độ tiếp điểm ? ĐS:

7 2 10

; ;

3 3 3

H  

 

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua M(0;0;5), N( 1;0;3) và (P) tiếp xúc với mặt

cầu









2 2

( ) :S x  y1  z2 9

( ĐS . (P) : 2x2y z  5 0 ; (P) : 8x y 4z 20 0 )

Lo¹i I. Mặt cầu cắt MP

Bi 1. Chng minh rằng mp

 

P :8x y  4z10 0 cắt mặt cầu

 

S x: 2y2z2 2x 2y4z19 0
theo một đường tròn (C ) . Xác định tâm H và bán kính r của đường trịn (C )

ĐS .

5 2 2

; ;

3 3 3

H  

  và r4

Bài 2. Cho bốn điểm A(1; 0 ; 2 ), B(1; 1 ; 0) , C(0 ; 0; 1) , D(1 ; 1 ; 1)
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.

ĐS .

 

S x: 2y2z2 3x y z  0

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC. ĐS .

1
1; ;1

H 

 

Bài 3. Cho

 

P :5x3y z 0 , ( ) : 2Q x y z   3 0 và  :

2 3 3

1 1 2

x y z

 

  . Viết phương trình

mặt cầu (S)biết (S) có tâm I là giao điểm của (P) và ; đồng thời mp ̣(Q) cắt mặt cầu (S) theo một đường 
trịn có chu vi là 2

ĐS .









2 2

( ) : (S x1)  y2  z1 4

Bài 4. Cho mặt cầu S: x2y2z2 2x2y2z 22 0 và đường thẳng  :

1 3 1

3 8 1

x y z

 

  .

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

ĐS

 

P : 3x y z  1 0

Bài 5. (ĐH Lâm Nghiệp 01-02) Cho đường thẳng

 

1 2

1 2 1

x y z

d    

 và mặt phẳng (P): 2x y  2z

 2=0

Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d), tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2
và mặt cầu

cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường trịn có bán kính bằng 3

mặt cầu và đờng thẳng

loại I: Mặt cầu không cắt đờng thẳng

Bài 1. Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x2y 6z 3 0 và đường thẳng

 

: 4

5 5

x t

d y t

z t

 




 


  



a) Chứng minh rằng (S) khơng cắt (d) .

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d)

 đạt giá trị lớn nhất ĐS M



 2; 3;4



 đạt giá trị lớn nhất ĐS M



4;1;2



loại iI: Mặt cầu tiếp xúc đờng thẳng

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu ( )S biết (S) có tâm I là giao điểm của mặt phẳng

 

P :5x 7y 2z1 0

và đường thẳng

 

: 6 2

x t

d y t

z t

 



 

  

 đồng thời mặt cầu ( )S tiếp xúc với đường thẳng

 

4 3

: 5 5

3 4

x t

y t

z t

 



   

  

 ĐS





2 2

( ) : (S x 3)  y 2 z 9

Bài 1. Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 4x 2y2z19 0 và đường thẳng

 

: 5 3

7 2

x t

d y t

z t

 



 


  

 . Viết

phương trình tiếp tuyến  của mặt cầu (S) tạiM



2; 3;2



,  d ĐS

 

: 3 3

2 4

x t

y t

z t

 



   

  


Bài 2. Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x2y 8z 9 0và mặt phẳng

 

P : 3x 5y z  1 0. Viết
phương trình tiếp tuyến  của mặt cầu (S) tạiM



3;1;3



, //

 

P

ĐS

 

3 3

: 1 5

3 16

x t

y t

z t

 



   

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 3. Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x 2y 7 0 và đường thẳng

 

: 1 3

1 4

x t

d y t

z t

 



 

  

 . Viết phương

trình tiếp tuyến  của mặt cầu (S) biết tiếp tuyến qua A



6;0;3



,  d

Hướng dẫn Giả sử M x y z



; ;



là tiếp điểm củavà mặt cầu (S) . Gọi I là tâm của mặt cầu (S) 
•  là tiếp tuyến của mặt cầu (S)  MAIA MA IA.  0 x2y2z2 7x y  3z6

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

• M(S) x2y2z2 2x 2y7
•  d AM d x y z   3 0

ĐS

 

6 3

3 4

x t

y t

z t

 



  

  






6 4

: 3

x t

y t

z t

 



  

  


loại Iii: Mặt cầu cắt đờng thẳng

Bài 1. Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 6x 4y 4z12 0 và đường thẳng

 

: 1 3

1 4

x t

d y t

z t

 



 

  



Chứng minh rằng (S) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B . Tính diện tích tam giác IAB .

ĐS . A



1; 2;5 ,



B



3;4; 3



Bài 2. Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x 4y8z 35 0 và đường thẳng

 

: 2

x t

d y t

z t

 



 


  



a) Chứng minh rằng (S) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B .

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn nhất

ĐS . M



 5; 2; 6 



Bài 3. Cho điểm I( 1; 4 ; 1) và đường thẳng

 

3 3

: 3 4

x t

d y t

z t

 



 

  


a) Xỏc định hỡnh chiếu vuụng gúc H của I trờn đờng thẳng

 

d ĐS . H



3;3;1



b) Viếtphương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (S) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B thoả mãn AB

= 8 ĐS .









2 2

</div>

chuyen de phuong phap toa do trong khong gian

<b>I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN</b>

<b>1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<sub>√</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

√

{

(|

|

|

|

|

|)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

|

|=

√

|

|

|

|

<b>2.CÁC DẠNG TOÁN</b>

|

[

]

|

<b>3.BÀI TẬP ÁP DỤNG</b>





































































