CUNG CHỨA GÓC
•

Cho đoạn thẳng AB, quỹ tích ( tập hợp ) các điểm M sao cho góc
bằng

•

α

khơng đởi

(0

o

< α < 180o )

·AMB

360o − 2α

là hai cung tròn có số đo
α
với nhau qua AB (được gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB).
Cách giải bài toán quỹ tích:

có số đo
đối xứng

Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn quỹ tính chất T là một hình nào đó,

ta phải chứng minh hai thành phần:
-

Phần thuận: mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Từ đó rút ra kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

Ví dụ 21: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M chuyển động trên nửa
đường tròn đó. Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Tìm quỹ tích các điểm N.
Giải:
•

Phần tḥn: Trên cùng mợt nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tia

Ax ⊥ AB

, trên tia Ax lấy điểm
AB1 = AB

sao cho
Tam giác

AB1 = AB

ANB1

·
MAB


)

và tam giác BMA có:

;

·NAB = MBA
·
1

B1

(vì cùng phụ với góc


AN = BM (gt)
Do đó
Mà

∆ANB1 = ∆BMA

(c-g-c). suy ra

·ANB = BMA
·
1

·AMB = 90o

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)), nên

AB1
N thuộc đường tròn đường kính

·ANB = 90o
1

. Vậy điểm

Giới hạn: Vì điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O) nên:
-

Khi M trùng B thì N trùng với A
Khi M trùng với A thì tia AM trùng với tia Ax, khi đó BM = BA, vì thế điểm N
B1
trùng với

Vậy điểm N chạy trên nửa đường tròn (O’) có đường kính
•

AB1

AB1

Phần đảo: Trên nửa đường tròn (O’) đường kính
lấy điển N’ tùy ý. Tia AN’
cắt nửa đường tròn (O) đường kính AB ở M’, Ta có:

·AN ' B = 90o
1
·AM ' B = 90o


(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))

· ' AB = M
· ' BA
N
1

(cùng phụ với góc

·N 'AB

),

AB1 = AB

Do đó

∆AM 'B = ∆B1 N ' A

(cạnh huyền - góc nhọn), suy ra BM’ = AN’

Kết luận: Quỹ tích các điểm N là nửa đường tròn (O’) đường kính

AB1


·
xOy

=α

Ví dụ 22: Cho góc nhọn
, hai điểm P và Q nằm trong góc đó. Hãy tìm trên
cạnh Ox điểm M sao cho phân giác của góc PMQ vuông góc với Oy.
Giải:
•

Phân tích: Giả sử đã dựng được điểm M thỏa mãn các yêu cầu của đề bài, trong
·
·
·
PMQ
OMP
1 = OMP
đó tia phân giác MH của góc
vuông góc với Ox, ta có

(

·
·
·
·
·
PMQ
= PMP
+ PMQ
= 2 OMP
+ PMH

1
1

)

=

·
2OMH
= 2 ( 90o − α ) = 180o − 2α

Điểm M phải thỏa mãn hai điều kiện:
-

M thuộc tia Ox
M thuộc cung chứa góc

180o − 2α
đoạn

PQ
1

dựng trên

.

Vậy M là giao điểm của tia
Ox với cũng chứa góc nói
trên.

•
-

Cách dựng:
P1
Dựng đới xứng với P
qua Ox
Dựng cung chứa góc

180o − 2α

•

trên nửa mặt
PQ
1
phẳng bờ
khơng
chứa điểm O, cắt tia Ox ở M.
Chứng minh:

Theo cách dựng điểm M thuộc tia Ox. Ta có:


·
·
OMP
1 = OMP
·
PMQ


Kẻ phân giác góc

cắt Oy ở H, ta có

(

·
·
PMH
= HMQ

. Do đó

)

1 ·
1·
1
·
·
OMH
= PMP
+ PMQ
= PMQ
= ( 180o − 2α ) = 90o − α
1
1
2
2

2

Trong tam giác OMH có
Suy ra
•

·
MHO
= 90o

, hay

·
·
MOH
+ OMH
= α + 90o − α = 90o

MH ⊥ Oy
180o − 2α

PQ
1

Biện luận: Cung chứa góc
vẽ trên đoạn thẳng cố định
bao giờ
cững dựng được và chỉ cắt tia Ox tại một điểm M duy nhất. Bài toán luôn luôn
dựng được và chỉ có một nghiệm hình.


BÀI TẬP
155. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn. Trên
tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MB. Tìm quỹ tích các điểm N khi điểm
M chuyển động trên nửa đường tròn (O).
Giải:
* Phần thuận:
Tam giác BMN vuông cân ở M, ta có
·ANB = 45o

Điểm N thuộc cung chứa góc
đoạn AB.
Giới hạn:

45o

dựng trên


Vẽ tia

Ax ⊥ AB

, Ã cắt cung chứa góc

45o

tại

N1


Khi M trùng B thì N trùng với B.
Khi M trùng A thì N trùng với
Vậy N chạy trên cung

¼B
N
1

N1

tḥc cung chứa góc

45o

dựng trên AB.

* Phần đảo:
Lấy điểm N’ trên cung

¼B
N
1

. Nới N’ với A cắt nửa đường tròn (O) ở M’

Bạn đọc hãy chứng minh BM’ = M’N’
Kết luận: Quỹ tích các điểm N là cung

¼B
N

1

tḥc cung chứa góc

45o

vẽ trên AB

156. Cho tam giác ABC vuông ở A. Về phía ngoài của tam giác vẽ hai nửa đường
tròn đường kính AB và AC. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt hai nửa đường tròn nói
trên lần lượt ở D và E. Tìm quỹ tích các trung điểm I của đoạn DE.
Giải:
* Phần thuận:
Tứ giác BCED là hình thang vuông.
Gọi M là trung điểm của BC, ta có

·AIM = 90o

Vậy điểm I thuộc đường tròn đường
kính AM.


Giới hạn: Gọi giao điểm của đường tròn đường kính AM với AB là
O1
O2
dễ thấy
là trung điểm của AB,
là trung điểm của AC.
Điểm I chạy trên cung


¼AO
O
1
2

O1

với AC là

O2

,

của đường tròn đường kính AM.

* Phần đảo:
¼AO
O
1
2

Lấy điểm I’ bất kỳ trên cung
của đường tròn đường kính AB. Qua I’ kẻ cát
tuyến vuông góc với MI’ cắt các nửa đường tròn đường kính AB, AC ở D’ và E’. Bạn
đọc dễ dàng chứng minh được I’ là trung điểm của D’ E’
Kết ḷn: Quỹ tích các điểm I là cung

¼AO
O
1

2

tḥc đường tròn đường kính AM

157. A là điểm trên đường tròn (O; R), tiếp tuyến Ax. Gọi P là một điểm trên Ax. Qua
P kẻ tiếp tuyến PB với đường tròn, PO cắt AB ở I. Tìm tập hợp các điểm I khi P
chuyển động trên Ax.
Giải:
* Phần thuận:
PA và PB là hai tiếp tuyến của
đường tròn (O) cắt nhau ở P nên
OP ⊥ AB
ở I
Như vậy I nhìn OA cố định dưới

90o

một góc
, do đó I chạy trên
đường tròn đường kính OA.
Giới hạn: Vì P chỉ chạy trên tia Ax nên dây cung AB chỉ nằm trên nửa mặt phẳng bờ
là đường thẳng OA. Do đó I chuyển động trên nửa đường tròn đường kính OA thuộc
nửa mặt phẳng chứa điểm P.
*Phần đảo:


Lấy điểm I’ thuộc nửa đường tròn nói trong phần giới hạn đường thẳng OI’ cắt tia Ax
ở P’, AI’ cắt đường tròn (O) ở B’. Bạn đọc hãy chứng minh P’B’ là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
Kết luận: tập hợp các điểm I là nửa đường tròn đường kính OA thuộc nửa mặt phẳng

chứa điểm P bờ là đường thẳng OA ( trừ hai điểm O và A)
158. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm chuyển động trên nửa
CD ⊥ AB
đường tròn đó. Kẻ
. Trên đoạn OC lấy điểm E sao cho OE = CD. Tìm tập
hợp các điểm E.
Giải:
*Phần thuận:
Kẻ
nên

OF ⊥ AB

thì F cố định và OF // CD

·
·
OCD
= EOF

∆OEF = ∆CDO

(hai góc so le trong)

(c-g-c), suy ra

·
·
OEF
= CDO

= 90o

90o

Điểm E nhìn OF cố định dưới góc
nên E thuộc đường tròn đường kính OF.
*Phần đảo:
Trên đường tròn đường kính OF, lấy điểm E’, tia OE’ cắt nửa đường tròn (O) ở C’, kẻ
C ' D ' ⊥ AB
. Bạn đọc hãy chứng minh OE’ = C’D’
Kết luận: Tập hợp các điểm E là đường tròn đường kính OF.
159. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By
vuông góc với AB. Một cát tuyến thay đổi cắt hai tia Ax, By lần lượt ở M và N tạo
thành hình thang AMNB có diện tích không đổi. Gọi E là trung điểm của AB, I là
hình chiếu của điểm E trên MN. Tìm tập hợp các điểm I.


Giải:
*Phần thuận:
Gọi E là trung điểm của AB. Qua E
kẻ đường vuông góc với AB cắt MN
ở F, ta có EF là đường trung bình của
hình thang AMNB nên
EF =

AM + BN
2

không đổi, do đó EF
cố định. Điểm I nhìn EF cố định dưới


90o

góc
nên I nằm trên đường tròn
đường kính EF
Giới hạn: Gọi giao điểm của AF, BF
N1 , M 1
với By, Ax theo thứ tự là
với
đường tròn đường kính EF lần lượt là
I1
I2
và
Khi M trùng với A thì N trùng với
I1
, I trùng với

N1

Khi N trùng với B thì M trùng với
M1
I2
, I trùng với
Vậy I chạy trên cung
* Phần đảo:

I¼
1 FI 2


của đường tròn đường kính EF


I¼
1 FI 2

Trên cung
của đường tròn đường kính EF, lấy điểm I’. Đường thẳng FI’ cắt tia
Ax ở M’, cắt tia By ở N’. Bạn đọc hãy chứng minh diện tích hình thang ABN’M’
không đổi.
Kết luận: Tập hợp các điểm I là cung

I¼
1 FI 2

của đường tròn đường kính EF.

160. Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc
cạnh CD.
Giải:
Phân tích:
Giả sử hình vuông ABCD thỏa mãn các yêu
cầu đề bài đã dựng được. Ta thấy:
·
MCN
= 90o

nên C nằm trên đường tròn
đường kính MN cố định. Gọi giao điểm của
tia CA với đường tròn trên là E, ta có

·
·
¼ = EN
»
MCE
= NCE
= 45o
EM
nên
, suy ra E
là điểm chính giữa của nửa đường tròn
đường kính MN( Khác phía với điểm C qua
MN)
Vậy C là giao điểm của tia AE với đường tròn đường kính MN với cung chứa góc

45o

dựng trên đoạn AN). Từ đó xác định được các đỉnh B và D.

161. Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm điểm E trên đường thẳng AB sao cho E nhìn
AD và BC dưới những góc bằng nhau.
Giải:

Giả sử đã xác định được các điểm E trên
AB thỏa mãn yêu cầu đề bài


·AED = CED
·


Ta có
mà
cân ở C, ta có CE = CD

·AED = CDE
·

(so le trong), suy ra

·
·
CED
= CDE

Vậy C là giao điểm của đường tròn (C; CD) và đường thẳng AB.

do đó

∆CDE