<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>MỤC LỤC</b>

<b>PHẦN I: MỞ ĐẦU</b>

<b>1/ Lý do chọn đề tài:</b>

Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ
thông tin như hiện nay, một xã hội thơng tin đang hình thành và phát triển
trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo
trước những thời cơ, thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì
giáo dục và đào tạo ln đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào
<i>tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài”</i> mà Đảng, Nhà nước đã
đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10
của Quốc hội”.

Những năm gần đây, cùng với việc thay bộ sách giáo khoa mới và việc sử
dụng phương pháp tích cực nhằm phát huy trí lực học sinh một cách chủ
động, sáng tạo, thực hiện cuộc vận động “Hai không” với bốn nội dung…, do
đó địi hỏi mỗi thầy cơ giáo cần phải ngày càng tự hồn thiện mình để phù
hợp với nhu cầu đổi mới.

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội
kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì mơn tốn là
mơn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

thức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng
nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương
pháp cơ bản của q trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua các ví dụ
cụ thể, việc phân tích đó là khơng q phức tạp và không quá ba nhân tử.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực
hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng
như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ
năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng
cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải
khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.

Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi của xã hội, chất
lượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh nghiệm
dạy và học tốn, tơi xin mạnh dạn lựa chọn đề tài<b> “ Dạy học các phương</b>
<b>pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS ” với hy vọng đóng</b>
góp một phần nhỏ bé cơng sức của mình về việc dạy học theo phương pháp
mới, giúp học sinh khơng bỡ ngỡ khi gặp các dạng tốn phân tích đa thức
thành nhân tử, giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ mơn tốn nói
chung và các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng.

<b>2/ Mục đích nghiên cứu:</b>

<b> Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc Trung học cơ sở.</b>

Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận
dụng tốt dạng tốn này.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh
hoạt, tự mình tìm ra kiến thức mới, khơng những tìm ra phương pháp làm
tốn ở dạng cơ bản, các phương pháp thơng thường mà cịn phải dùng một số
phương pháp khó hơn.

Rèn luyện cho học sinh với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ mơn
tốn và giải được các dạng bài tập mà cần phải thơng qua phân tích đa thức
thành nhân tử , nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.

Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức
vào thực tiễn cuộc sống.

<b>3/ Nhiệm vụ nghiên cứu:</b>

- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận
dụng tốt dạng tốn này.

- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử
- Phát huy khả năng suy luận, phán đốn và tính linh hoạt của học sinh
- Thấy được vai trị của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải
tốn từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.

- Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc Trung học cơ sở.

- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức
vào thực tiễn cuộc sống.

Tìm hiểu nội dung dạy học về các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.

- Tìm hiểu ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải
các bài tốn có liên quan.

-Tìm hiểu mạch kiến thức về phần đại số mà các em đã được học từ lớp 7.
Điều tra thực trạng: Điều tra việc nắm kiến thức của học sinh về phần
phân tích đa thức thành nhân tử.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

phân tích đa thức thành nhân tử để tìm hướng khắc phục, tìm ra những
phương pháp phù hợp giúp nâng cao chất lượng giảng dạy.

<b>4/ Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:</b>

Khi viết đề tài này tôi đã nghiên cứu tại trường THCS Đan Hà - Huyện
Hạ Hòa- Tỉnh Phú Thọ.

Phạm vi là học sinh lớp 8B của toàn trường.
<b>5/ Phương pháp nghiên cứu:</b>

<b>+) Phương pháp nghiên cứu lý luận:</b>

- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Tốn, các tài
liệu có liên quan đến đề tài.

- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành
nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở
như: + Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9

+ Sách giáo viên 7, 8, 9.

+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên
và học sinh.

<b>+) Phương pháp điều tra, phỏng vấn:</b>

- Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong q trình xây dựng,
hồn thiện đề tài.

<b>+) Phương pháp thực nghiệm sư phạm:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>PHẦN II: NỘI DUNG</b>

<b>Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn</b>
<b>1. Cơ sở lí luận </b>

Trong bối cảnh đổi mới Giáo dục nói chung, Giáo dục THCS nói riêng
thì đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu bắt buộc mang tính tất yếu khách quan.
Nghị quyết TW 2 (Khóa VIII) khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp
giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp
tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến
và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh”.

Luật giáo dục điều 28 khoản 2 đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ
thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

Trong qúa trình giảng dạy bộ mơn Tốn ở trường THCS đây là một trong
những nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau
và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định. Song việc thực hiện được
kết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố. Trong việc dạy và học bộ
mơn Tốn giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính

sáng tạo và linh hoạt tự tìm tịi ra kiến thức mới, và khơng chỉ với các phương
pháp cơ bản, thơng thường mà cịn phải hình thành lên một số phương pháp
khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng
thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng
Tốn khó. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới
cách dạy và học.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

có kỹ năng giải các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài
toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm
được điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ
bản về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

<b>2. Cơ sở thực tiễn: </b>

<b> Qua thực tế giảng dạy giảng dạy bộ mơn tốn 8 kết hợp với dự giờ các </b>
giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi
chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo
khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùng mẫu, tìm
tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các
phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu
tỉ...vì để giải được các dạng tốn đó thì cần phải có kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử.

Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận
thấy: Khi gặp các dạng bài tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức
khơng cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích... các em gặp rất
nhiều lúng túng.

Ví dụ 1: (Trong tiết 25: Luyện Tập (Tốn 8 tập 1)) Khi giáo viên đưa
bài tập. Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: <i>x</i>2<i>−</i>xy<i>− x</i>+<i>y</i>

<i>x</i>2+xy<i>− x − y</i>

Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít học
sinh giơ tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi.

GV đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm như thế nào?
HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử...

Sau khi gợi ý, nhiều học sinh đã đưa ra lời giải tuy nhiên bên cạnh đó
vẫn còn tồn tại nhiều lời giải như sau:

<i>x</i>2<i>−</i>xy<i>− x</i>+<i>y</i>

<i>x</i>2+xy<i>− x − y</i> =

<i>x</i>(<i>x − y −</i>1)+<i>y</i>

<i>x</i>(<i>x</i>+<i>y −</i>1)<i>− y</i> (lời giải sai- phân thức chưa được rút

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc
dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)

Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số 8 )giáo viên đưa bài tập. Giải các phương
trình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử.

a. x(2x - 7) – 4x + 14 = 0
b. x2_{– 5x + 6 = 0}

Vì để giải được các bài tốn trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đa

thức thành nhân tử một cách thành thạo.

Nhưng ngay đối với việc giải các bài tốn về phân tích đa thức thành
nhân tử thơng thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn. Do
các em có thể quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp
lý. Các em mới chỉ biết vân dụng từng phương pháp riêng lẻ vào giải các bài
toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải
các bài tốn khó với u cầu cao hơn.

Ví dụ 3: (trong tiết 11: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp nhóm hạng tử) giáo viên đưa bài tập:

- Phân tích đa thức x2_{– xy + x – y thành nhân tử. Đa số học sinh thực}
hiện đư ợc, nhưng khi đưa bài tập sau: phân tích đa thức x2_{– y}2_{+ 4x – 4 thành}
nhân tử, nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:

x2_{– y}2_{+ 4x – 4 = (x}2_{– y}2_{)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) đây là}
lời giải sai, hay bài tốn sau: phân tích đa thức x3_{– x + 3x}2_{y + 3xy}2_{+ y}3_{– y}
thành nhân tử. nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:

x3_{– x + 3x}2_{y + 3xy}2_{+ y}3_{– y = (x}3_{– x )+ (3x}2_{y + 3xy}2)_{+ (y}3_{– y)}

= x(x2_{- 1) + 3xy(x + y) + y(y}2_{- 1) (đa thức khơng phân tích được- đây là}
<i>lời giải sai)</i>

Khi đứng trước bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử các em
chưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thế
nào, áp dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp và trong q trình phân
tích các em cịn gặp nhiều sai sót trong lời giải cũng như cách trình bày.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau.
(2x - 1)2_{– (x + 3)}2

= 4x2_{– 4x – 1 – x}2_{– 6x – 9}

= 3x2_{– 10x – 10 ....(đây là lời giải sai)}

Học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưng
chưa đúng phương pháp: lời giải đúng

(2x - 1)2_{– (x + 3)}2_{= [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]}
= (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3)

= (x - 4)(3x + 2)

Phân tích đa thức x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y thành nhân tử. Một số học sinh}
đưa ra lới giải sau.

<i><b> </b></i>x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2_{– 4y}2_{) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)}
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả sai)

Phân tích đa thức 15x2_y2_{– 9x}3_{y + 3x}2_{y thành nhân tử. Một số học}
sinh đưa ra lới giải sau.

<i>(Lời giải sai): 15x</i>2_y2_{– 9x}3_{y + 3x}2_y

= 3x2_{y.5y - 3x}2_{y.3x+ 3x}2_y

= 3x2_{y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)}

Trong chương trình sgk Tốn 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các
hạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽ
gặp khó khăn trong quả trình giải.

Ví dụ 5 :Bài 52a. phân tích đa thức x2_{– 3x + 2 thành nhân tử.}

Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân
tích. SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó
đa thức dễ dàng được phân tích tiếp. Vậy với các đa thức khác, có dạng tương
tự ta làm như thế nào?

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

khoa chưa đề cập đến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát, nhưng thực
tế trong q trình giải tốn, học sinh lại gặp rất nhiều bài tập dạng này (như đã
đề cập ở ví dụ trên)

Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường THCS Đàn Hà về bộ mơn
Tốn tơi đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về “các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

Câu 1: Em có thích học bộ mơn Tốn khơng? Chỉ có một số học sinh
trả lời là có, vì học Tốn rất bổ ích và thú vị. Bên cạch đó cịn rất nhiều học
sinh trả lời khơng thích học Tốn vì học Tốn khó ...

Câu 2: Em có thích chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử không” ?
Với câu hỏi này đa số học sinh trả lời là có. Vì chun đề này rất thú vị có thể
áp dụng vào nhiều bài tốn thực tiễn.

Ví dụ 6: Tính nhanh. a. 37,5.6.5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5

= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)

= 375 – 75 = 300

b. 452_{+ 40}2_{– 15}2_{+ 80.45}
= (45 + 40 )2_{– 15}2_{= 85}2_{– 15}2

= (85+ 15)(85 - 15)= 100.70 = 7000

Như vậy qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu cũng như dự giờ các đồng
nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đã đánh giá và rút ra một số thực trạng như
trên trong việc dạy và học của giáo viên và học sinh trường THCS Đan Hà.

Từ những thực trạng tôi vừa nêu trên theo tôi chủ yếu do các nguyên
nhân sau.

<b>* Nguyên nhân khách quan:</b>

Trường THCS Đan Hà là một trường đóng trên địa bàn là một xã miền
núi, đời sống nhân dân vẫn cịn khó khăn vì thế các gia đình chưa có sự đầu tư
và quan tâm đến việc học tập của con cái, phong trào học tập chưa sôi nổi.

Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của
con em mình như theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Mơn Tốn là mơn học khó, khơ khan để học tốt bộ mơn tốn địi hỏi học
sinh phải có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện.

Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính tốn, thiếu kĩ năng quan sát nhận xét,
biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp

dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay
lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự
học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,
khơng biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương
pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.

Giáo viên chưa hình thành cho học sinh hệ thống các phương pháp.
<b> </b>

<b> Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm</b>
<b>nâng cao chất lượng dạy học</b>

<b>1. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm</b>

Tìm hiểu sự ham mê học tốn của học sinh khối 8.

Kiểm tra kiến thức và kỹ năng làm bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử.
<b>2. Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới </b>

Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.

Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
* Đối với học sinh yếu, nhận thức chậm : Củng cố kiến thức cơ bản

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b> * Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng </b>
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.

Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
Tìm tịi những cách giải hay, khai thác bài toán.

Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
<b>*Đối với học sinh khá, giỏi</b><i><b>:</b></i> Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương pháp)
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác.

+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
+ Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)

+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức.
+ Phương pháp hệ số bất định.

+ Phương pháp xét giá trị riêng.

Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào
trình độ nhận thức của học sinh. Tơi khơng có tham vọng đi sâu nghiên cứu
tất cả các phương pháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản
( Phương pháp Đặt nhân tử chung, Phương pháp Dùng hằng đẳng thức,
Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử, Phối hợp nhiều phương pháp) và thêm hai
phương pháp nâng cao (Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử,
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử). Các phương pháp cịn lại chỉ
mang tính chất giới thiệu.

<b>3. Biện pháp 3: Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức</b>
<b>thành nhân tử</b>

<b>3.1 Định nghĩa : </b><i><b>Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi</b></i>

<i><b>Đa thức đó thành một tích của những đa thức</b></i>

<b>3.2 Các phương pháp </b>

<b>3.2.1 Các phương pháp cơ bản</b>

<b>3.2.1.1 Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).

Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)

<i>* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):</i>
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các
hạng tử.

- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất
cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.

<b>b. Ví dụ.</b>

<b>Ví dụ 1 : Phân tích Đa thức 15x</b>2_y2_{– 9x}3_{y + 3x}2_y3_{thành nhân tử.}

<i><b>Giải:</b></i> 15x2_y2_{– 9x}3_{y + 3x}2_y3

= 3x<b>2_{y.5y - 3x}2_{y.3x+ 3x}2_y.y</b>2_{= 3x}<b>2_{y ( 5y - 3x + y}</b>2 ₎

<b>Ví dụ 2: Phân tích đa thức 14x</b>2_{y – 21xy}2_{+ 28x}2_y2_{thành nhân tử.}

<i><b>Giải</b>: 14x</i>2_{y – 21xy}2_{+ 28x}2_y2

= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy)

<i><b>Phân tích ví dụ. </b></i> <i>- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví</i>
dụ 1.1 là: 15; 9; 3 và ƯCLN(15, 9, 3) = 3. Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3

- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1 là: x2_y2_{; x}3_{y ; x}2_y3_{. Lũy}
thừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhất của x
là 2 và của y là 1. Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x<b>2_y</b>

Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1 là: 3 x<b>2_y</b>

<b>Ví dụ 3</b><i><b>:</b></i> Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.

Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác định
nhân tử chung. Giái viên có thể đưa gợi ý:

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

(Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác định
được )

- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất
hiện nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 2 được giải như sau:

<i><b>Giải:</b></i> 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y))
= 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y

= 2(x – y)(5x + 4y)

<b>Ví dụ 4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử </b>
<i><b>Giải:</b></i> 2x (y - z ) + 5y (z - y )

= 2x(y -z ) - 5y(y -z )
= (y- z)(2x - 5y)

<i><b>Chú ý:</b></i> <i>Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các</i>
<i>hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A))</i>

<b> + Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp.</b>

<b>Ví dụ 1 : Phân tích đa thức 15x</b>2_y2_{– 9x}3_{y + 3x}2_{y thành nhân tử.}
<i>Lời giải sai: 15x</i>2_y2_{– 9x}3_{y + 3x}2_{y = 3x}2_{y.5y - 3x}2_{y.3x+ 3x}2_y

= 3x2_{y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)}

Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử cịn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ
sót số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x2_{y thì hạng tử}
thứ 3 trong ngoặc cịn lại là số 0)

<i>Lời giải đúng: 15x</i>2_y2_{– 9x}3_{y + 3x}2_y

= 3x2_{y.5y - 3x}2_{y.3x+ 3x}2_{y.1 = 3x}2_{y ( 5y - 3x + 1}₎
<b> Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)</b>2_{thành nhân tử.}

<i><b> </b>Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)</i>2_{= 9x(x – y) + 10(x – y)}2_{(đổi dấu sai )}
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Thực hiện đổi dấu sai: (y – x)2_{= - (x – y)}2_{nên dẫn đến :}
9x(x – y) – 10(y – x)2_{= 9x(x – y) + 10(x – y)}2_{là sai}
- Ta có: ( x – y )2 _{= (y – x )}2_{nên 9x(x – y) – 10(y – x)}2_{= 9x(x – y) – 10(x – y)}2

<i>Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)</i>2_{= 9x(x – y) – 10(x – y)}2
= (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)

<i><b> + Chú ý: Bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau: A</b><b>2</b><b>_{= (-A)}</b><b>2</b></i>
<i><b>(Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn của hai Đa thức đối nhau thì bằng nhau)</b></i>

<b>c. Bài tập áp dụng. </b>

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 21x2_{y - 27y}3_{b) 7x(x - 1) – 4x(x - 1)}
c) x(x + y) – 5xy(y - x) d) x2_{+ 7x}3_{+ x}2_y

e) ₅2 x(y - 1) - ₅2 y(1 - y) f) 3x2_{(2z - y) - 21x(y - 2z)}2

g) 2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y)

Bài 2: Tính nhanh:

a) 85.12,9 + 5.3.12,9 b) 52.143 – 52.39 – 8.26
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

a) 15.91,5 + 150.0,85 b) x(x-1) – y(1 – x) tại x = 2001 ; y = 1999
c) x2_{+ xy + x tại x = 77; y = 22 d) x(x-y) + y(y-x) tại x = 53; y = 3}
<b> Bài 4: Tìm x, biết:</b>

a) 5x(x-2012) – x + 2012 = 0

b) x3_{– 15x = 0 c) x + 7x}2_{= 0}
d) x + 3 = (x + 3)2 _{e) x}3_{+ x = 0}
Bài 5: Chứng minh tính chia hết:

a) Chứng minh dằng : 57n + 1_{– 57}n_{chia hết cho 56 (với n là số tự nhiên)}
b) Chứng minh dằng : n2_{(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi}
số nguyên n.

<b>3.2.1.2 Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

1. A2_{+ 2AB + B}2_{= (A + B)}2
2. A2_{– 2AB + B}2_{= (A – B)}2
3. A2_{– B}2_{= (A – B)(A + B)}

4. A3_{+ 3A}2_{B + 3AB}2_{+ B}3_{= (A + B)}3
5. A3_{– 3A}2_{B + 3AB}2_{– B}3_{= (A – B)}3
6. A3_{+ B}3_{= (A + B)(A}2_{– AB + B}2₎
7. A3_{– B}3_{= (A – B)(A}2_{+ AB + B}2₎

<b>b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử</b>

Ví dụ 1: 16x2_{+ 8xy + y}2_{= (4x}2_{) + 2.4x.y + y}2_{= (4x + y)}2
Ví dụ 2: 9x2_{- 12x + 4 = (3x)}2_{- 2.3x.2 + 2}2_{= (3x - 2)}2

Ví dụ 3: a. (x - y)2_{– (x}_{+ y)}2_{= [(x - y) – (x + y)].[(x - y) + (x + y)]}
= (x - y – x - y)(x - y + x + y)

= (- 2y).2x = - 4xy
b. 9x2_{- 4 = (3x)}2_{- 2}2_{= (3x-2)(3x+2)}
c. 16x2_{- 9(x + y)}2_{= (4x)}2_{- [3(x + y)]}2

= (x - 3y)(7x + y)

Ví dụ 4: 8x3_{- 12x}2_{y + 6xy}2_{- y}3_{= (2x)}3_{- 3.(2x)}2_{y + 3.2x.y}2_{- y}3
= (2x - y)3

Ví dụ 5: 27 + 27x + 9x2_{+ x}3_{= 3}3_{+ 3.3}2_{.x +3.3.x}2_{+ x}3_{= (3 + x)}3
Ví dụ 6: 27x3_{+ y}3_{= (3x)}3_{+ y}3_{= (3x + y)(9x}2_{– 3xy + y}2₎

Ví dụ 7: 1 - 8x3_y6_{= 1}3_{– (2xy}2₎3_{= (1 – 2xy}2_)[12_{+ 1. 2xy}2_{+ (2xy}2₎2_]
= (1 – 2xy2_{)(1 + 2xy}2_{+ 4x}2_y4₎

+ <i><b>Khai thác ví dụ</b>: Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh</i>
cách nhận dạng và vận dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong q
trình phân tích đa thức thành nhân tử. Khi gặp bài tốn phân tích đa thức
thành nhân tử mà:

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức)
mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa
được về dạng hiệu hai bình phương (A2_{– B}2_{) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ}
(3) (Ví dụ 3)

- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có
thể phân tích đưa về dạng) lập phương (A3_{và B}3_{hoặc A}3_{và -B}3_{) hai hạng tử}
cịn lại có thể phân tích đưa về dạng 3.A2_{.B + 3.A.B}2_{(hoặc - 3.A}2_{.B +}
3.A.B2_{) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5) (Ví dụ 4; 5)}

- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc
hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa
được về dạng lập phương (A3_{và B}3_{) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc}
(7). (Ví dụ 6; 7)

<i><b> + Chú ý</b>: Đơi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng đẳng thức</i>
<b>Ví dụ : Phân tích đa thức - x4_y2_{+ 8x}2_{y - 16 thành nhân tử:}</b>

Giải: - x4_y2_{- 8x}2_{y - 16 = - (x}4_y2_{- 8x}2_{y + 16)}
= - [(x2_y)2_{- 2.x}2_{y.4 + 4}2_{] = - (x}2_{y - 4)}2
<b> c. Bài tập áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.</b>

<b>Bài 1. a) x</b>2_{+ 12x + 36 b) 100x – 2500 – x}2
<b>Bài 2. a) x</b>2_{+ 9y}2_{– 6xy b) 14x – 49 – x}2
<b>Bài 3. a) 121x</b>2_{– 25} _{b) (7x + 1)}2_{- (2x + 1)}2
Bài 4. a) 49x3₊ 1

27 b) x3 -
1

8 c) (a + b)3 – (a - b)3
<b>Bài 5. x</b>3_{+ y}3_{+ z}3_{– 3xyz}

Hướng dẫn: áp dụng bài 31 (sgk – tr 16) ta có:
x3_{+ y}3_{= (x + y)}3_{– 3xy(x + y)}

Do đó : x3_{+ y}3_{+ z}3_{– 3xyz = [(x + y)}3_{+ z}3_{] + [-3xy(x + y) - 3xyz]}

= (x + y + z)[(x + y)2_{– z(x + y) + z}2_{] – 3xy(x + y +z)}
= (x + y + z)(x2_{+ y}2_{+ x}2_{– xy – xz -zy)}

<b>Bài 6: Tìm x .biết:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

b) x2_{– x +} 1

4 = 0 d)x

2_{– 10x = - 25}

<b>3.2.1.3 Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử</b>

<b> a. Phương pháp: Lựa chọn các hạng tử </b><i><b>“thích hợp”</b></i> để thành lập nhóm
nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc
<i>là dùng hằng đẳng thức. </i>

<b> b.Ví Dụ: </b>

<b> Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: </b>
<b>Ví dụ 1</b><i><b>:</b></i> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2_{– xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)}
b) xy - 5y + 2x – 10 c) 2xy + z +2x +yz

<i><b>Giải: </b></i>a. Cách 1: nhóm (x2_{– xy) và (x – y)}
x2_{– xy + x – y = (x}2_{– xy) + (x – y)}

= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
<i> Cách 2: nhóm (x</i>2_{+ x) và (– xy – y )}

x2_{– xy + x – y = (x}2_{+ x) - ( xy + y )}

= x(x + 1) - y(x + 1)= (x + 1)(x - y)
b. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10)

= y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2)
c. Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz)

Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) <i>(đa thức không thể phân tích</i>
<i>được)</i>

<i> Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz)</i>
Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)

= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

a) x2_{– 2x + 1 – 9y}2_{b) x}2_{+ 4x – y}2_{+ 4}

<i><b>Giải</b>: a) x</i>2_{– 4x + 4 – 9y}2_{= (x}2_{– 2x + 1) – (3y)}2
= (x – 1)2_{– (3y)}2

= (x – 1 – 3y)(x – 1 + 3y)
b) Cách 1. Nhóm: (x2_{+ 4x) và – (y}2_{- 4 ) ta có}
x2_{+ 4x – y}2_{+ 4 = (x}2_{+ 4x) - (y}2_{- 4 )}

= x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức khơng thể phân
<i>tích tiếp)</i>

Cách 2. Nhóm x2_{+ 4x + 4) – y}2_{ta có}
x2_{+ 4x – y}2_{+ 4 = (x}2_{+ 4x + 4) – y}2

= (x + 2)2_{– y}2

= (x + 2 – y)(x + 2 +y)
<b> Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: </b>

<b>Ví dụ 3</b><i><b>:</b></i> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y}

b) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

<i><b>Giải</b>: a) Cách 1: Nhóm (x</i>2_{– 2x) và (- 4y}2_{- 4y) ta có}
x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2_{– 2x) – (4y}2_{+ 4y)}

= x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức khơng phân tích tiếp được)
Cách 2: Nhóm (x2_{– 4y}2_{) và ( - 2x - 4y ) ta có}

x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2_{– 4y}2_{) - ( 2x + 4y )}
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
b) Cách 1: Nhóm (x3 _{– x) và (3x}2_{y + 3xy}2_{) và (y}3 _{– y )}
Ta có x3 _{– x + 3x}2_{y + 3xy}2_{+ y}3 _{– y}

= (x3 _{– x) + (3x}2_{y + 3xy}2_{) + (y}3 _{– y )}
= x(x2_{- 1) +3xy(x + y) + y(y}2_{- 1)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Cách 2: Nhóm (x3 _{+ 3x}2_{y + 3xy}2_{+ y}3_{) và (- x - y) ta có}

x3 _{– x + 3x}2_{y + 3xy}2_{+ y}3 _{– y = (x}3 _{+ 3x}2_{y + 3xy}2_{+ y}3_{) – (x + y)}
<b> </b> <b> = (x + y)</b>3_{– ( x + y) = (x + y)[(x + y)}2_{- 1]}

= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)

<i><b> Khai thác ví dụ:</b></i>

Qua các ví dụ trên ta có thể rút ra nhận xét: ở ví dụ 1 a,b nếu ta nhóm
các hạng tử 1 với 2, 3 với 4 hoặc 1 với 3 và 2 với 4 ta đều có thể phân tích
được đa thức thành nhân tử. Nhưng nếu ta nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử
thứ 4 thì đa thức khơng thể phân tích dược. Tương tự ở trường hợp (1.c) nếu
ta nhóm hạng tử 1 với 2 và 3 với 4 thì đa thức khơng thể phân tích được, đa
thức chỉ có thể phân tích được khi ta nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2 và
thứ 3 với thứ 4. Tương tự như thế đối với các ví dụ cịn lại.

Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm một cách
hợp lý các hạng tử, Việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đa thức
thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà chỉ dựa vào kinh
nghiệm trong q trình giải tốn và dựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài tốn.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

<i> + Mỗi nhóm đều phân tích được.</i>

<i> + Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình</i>
<i>phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. </i>

<i><b> Chú ý:</b></i> Trong q trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng
tử sau khi nhóm.

ở ví dụ 3a: Phân tích đa thức x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y thành nhân tử. Học}

sinh có thể đưa ra lời giải sau.

<i><b> </b>Lời giải sai: x</i>2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2_{– 4y}2_{) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)}
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) <i>(sai từ</i>
<i>trên)</i>

= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Nhóm x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2_{– 4y}2_{) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng}
<i>tử ở ngoặc thứ hai sau khi nhóm)</i>

<i><b> </b></i>Ta có: x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2_{– 4y}2_{) – (2x + 4y ) nên}
<i>Lời giải đúng: x</i>2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2_{– 4y}2_{) - (2x + 4y )}
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

<i><b>* Lưu ý</b>: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình</i>
<i>phân tích thành nhân tử phải được tiếp tục nếu khơng thực hiện được nữa, thì</i>
<i>cách nhóm đó đã sai hoặc có thể bị nhầm dấu trong q trình nhóm, phải</i>
<i>thực hiện lại. (Ví dụ 1c. Cách1 ; Ví dụ 2b cách 1; Ví dụ 3a cách 1)</i>

<b>c. Bài tập áp dụng.</b>

Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x2_{– 3x – y}2_{– 3y b) x}2_{– 4xy + 4y}2_{– z}2
c) 3x2_{– 3xy – 7x + 7y d) xz + yz – 11(x + y)}

e) a3_{– a}2_{x – ay + xy f) xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz}
g) x2 _{+ 16x – y}2_{+ 16 h) x}2_{– 6xy + 9y}2_–z2_{+ 6zt –9 t}2

i) 5x2 _{+ 10xy + 5y}2_{– 5z}2_{k) 2x}3_{– 5x}2_{+ 2x – 5}
<b>Bài 2 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức </b>

<b> A = x</b>2_{– 2xy – 9z}2 _{+ y}2 _{tại x = 6; y = -4; z = 30}
B = 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2_{+ 48 tại x = 0,5}

<b> Bài 3 Tìm x ; biết</b>

a) x(x - 15) + x - 15 = 0 b) 5x(x - 5) – x + 5 = 0

Trong quá trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta khơng
thể chỉ vận từng phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều bài tốn để phân tích
được cần phải có sự phối hợp giữa các phương pháp. Vì vậy ngồi 3 phương
pháp đã nêu ở trên, trong chương trình SGK tốn 8 cịn giới thiệu thêm một
phương pháp nữa, đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp
nhiều phương pháp.

<b>3.2.1.4 Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng
<i>tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài</i>
toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.

Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.

- Dùng hằng đẳng thức nếu có.

- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là
hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các

hạng tử.

<b>b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử</b>

<b>Ví dụ 1 : 5xy</b>2_{- 20xy + 20x = 5x( y}2_{- 4y + 4)}_{(Đặt nhân tử chung)}
= 5x (y - 2 )2 _{(Dùng hằng đẳng thức}₎
<b>Ví dụ 2: 3x</b>2_{+ 6x + 3 – 3y}2_{= 3(x}2_{+ 2x + 1 – y}2₎_{(Đặt nhân tử chung)}
= 3[(x2_{+2 x + 1) – y}2_]_{(Nhóm các hạng tử)}

= 3[(x + 1)2_{– y}2_]_{(Dùng hằng đẳng thức)}
= 3(x + 1 - y)(x + 1 + y)

<b>Ví dụ 3:</b> 3x – 3y – x2_{+ 2xy – y}2

= (3x – 3y) – (x2_{- 2xy + y}2₎_{(Nhóm các hạng tử)}
= 3(x - y) – (x - y)2 _{(Dùng hằng đẳng thức)}
= (x - y)[3 – (x - y)] (Đặt nhân tử chung)

= (x - y)(3 – x + y)

<b>Ví dụ 4: </b> 7x5_y2_{- 14x}4_y2_{- 7x}3_y4_{- 14x}3_y3_{z - 7x}3_y2_z2_{+ 7x}3_y2

= 7x3_y2_(x2_{- 2x - y}2_{- 2yz - z}2_{+ 1)} _{(Đặt nhân tử chung)}
= 7x3_y2_[(x2_{- 2x +1) - (y}2_{+ 2yz + z}2_)]_{(Nhóm các hạng tử)}

= 7x3_y2_{[(x - 1)}2_{- (y + z)}2_]_{(Dùng hằng đẳng thức)}
= 7x3_y2_{(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)}

Ví dụ 5: 5x3_{y - 10x}2_{y - 5xy}3_{- 10axy}2_{- 5a}2_{xy +5xy}

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

=5xy









2 2

x 1 y a

 _ _ _ 

  _{(Dùng hằng đẳng thức)}

=5xy



x 1

 

 y a

 

   x 1

 

 y a



 ₍_{Dùnghằngđẳng thức)}
= 5xy( x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )

<i><b>Ví dụ 6:</b></i> Phân tích đa thức A = (x + y + z)3_{– x}3_{– y}3_{– z}3_{thành nhân tử.}
<i>(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1); </i>

Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa
chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.

<i>Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)</i>3_{= A}3_{+ B}3_{+ 3AB(A + B)}
<i>Suy ra hệ quả sau: A</i>3_{+ B}3_{= (A + B)}3_{– 3AB(A + B).}

<i><b>Giải</b>: A = (x + y + z)</i>3_{– x}3_{– y}3_{– z}3_{= [(x + y) + z]}3_{– x}3_{– y}3_{– z}3

= (x + y)3_{+ z}3_{+ 3z(x + y)(x + y + z) – x}3_–y3_{– z}3
= [(x + y)3_{– x}3_{– y}3_{] + 3z(x + y)(x + y + z)}
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2₎
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2₎

= 3(x + y)(y + z)(x + z)

<i><b>Khai thác ví dụ :</b></i>

Quan sát ví dụ 1; 2 ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử chung
ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đó nhóm
các hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức. Ví dụ 3 ta
thấy các hạng tử khơng có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất và hạng tử
thứ hai có nhân tử chung, 3 hạng tử cịn lại có dạng hằng đẳng thức, vì vậy
chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp đó tiến hành phân
tích từng nhóm (bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức)
xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp. Các ví dụ cịn lại làm
tương tự.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

nhất định nào. Các phương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trường
hợp, từng bài toán cụ thể.

<i><b> Lưu ý :</b> Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức đó</i>
<i>một cách triệt để.</i>

<i><b>Ví dụ7:</b></i> Phân tích đa thức x4_{– 9x}3_{+ x}2_{– 9x thành nhân tử.}
<b> Học sinh có thể đưa ra các lời giải sau:</b>

1). x4_{– 9x}3_{+ x}2_{– 9x = x(x}3_{– 9x}2_{+ x – 9) (phân tích chưa triệt để)}
2). x4_{– 9x}3_{+ x}2_{– 9x = (x}4_{– 9x}3_{) + (x}2_{– 9x)}

= x3_{(x – 9) + x(x – 9)}

= (x – 9)(x3_{+ x) (phân tích chưa triệt để)}
<i> Cả hai lời giải trên đên chưa hoàn chỉnh </i>

<i><b>Lời giải đúng</b>: x</i>4_{– 9x}3_{+ x}2_{– 9x = x(x}3_{– 9x}2_{+ x – 9)}

= x[(x3_{– 9x}2_{) + (x – 9)] = x[x}2_{(x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x}2_{+ 1)}
<b>c. Bài tập áp dụng.</b>

Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x4_{+ 4x}3_{+ 4x}2 _b)x3_{– 6x}2_{+ 9x}

c) 7x2_{– 14xy + 7y}2_{– 28z}2_{d) x}3_{+ 2x}2_{y + xy}2_{– 9x}

e) x4_{- 2x}2_{f) x}3_{– 5x + 3x}2_{y + 3xy}2_{+ y}3_{– 5 y}
g) 5x2_{+ 5xy – 3x – 3y h) 20z}2_{– 5x}2_{– 10xy – 5y}2

Bài 2 Tìm x .biết :

a) 5x(x - 2) = x – 2 b) 2(x + 4) – x2_{– 4x = 0}
c) 9x3_- 1

4 x = 0 d) (2x2 - 1) – (3x + 4)2 = 0
e) x2_{(x - 3) + 21 – 7x = 0}

<b> Bài 3: Tính nhanh :</b>
a) A= x2₊ 1

2 x +
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

a ) (5n + 2)2_{– 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.}

b ) n3_{– n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.}

Trong chương trình sách giáo khoa Tốn 8 hiện hành chỉ giới thiệu bốn
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: <i>Đặt nhân tử chung, dùng</i>
<i>hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp. Tuy</i>
nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay bốn phương
pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25). Sách giáo
khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm
<i>và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để</i>
giải. Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng
rãi trong thực hành giải toán.

<b> 3.2.2 Các phương pháp khác (nâng cao)</b>

<b>3.2.2.1 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa</b>
thức bậc hai ax2_{+ bx + c).}

<b>a. Phương pháp:</b>

<b> - Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức</b>
xuất hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức.

<b>b. Ví dụ: </b>

<b> Ví dụ 1: Phân tích đa thức x</b>2_{- 6x + 8 thành nhân tử.}

Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử khơng có nhân tử chung, cũng
khơng có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng khơng thể
nhóm các hạng tử. Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta
cần phải có cách biến đổi khác. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều

hạng tử hơn bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành 2 hay
nhiều hạng tử.

<i><b>Giải: </b></i> Cách 1: (tách hạng tử bậc 2: <i><b>x</b><b>2</b></i>

)
<b>x2 - 6x + 8 = 3x2</b> - 6x - 2x<b>2</b> + 8

= 3x(x - 2) - 2(x2_{- 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4)}

Cách 2: (tách hạng tử bậc 1: <i><b>- 6x</b></i>)

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Cách 3: (tách đồng thời hạng tử bậc nhất và hạng tử tư do:)
x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 4x + 4 - 2x + 4}

= (x - 2)2_{- 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)}

Cách 4: (tách hạng tử tự do:)

x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 6x + 9 - 1= (x - 3)}2_{- 1 = (x - 2)(x - 4)}

x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 4 - 6x + 12= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)}
x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 16 - 6x + 24= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)}
<b>Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x</b>2_{– 8x + 4 thành nhân tử.}

<i> Gợi ý ba cách phân tích (chú ý có nhiều cách phân tích)</i>

<i><b>Giải:</b></i><b> Cách 1 (tách hạng tử bậc hai</b><i><b> : 3x</b><b>2</b>₎</i>

<b>3x2</b>_{– 8x + 4 = 4x}<b>2</b>_{– 8x + 4 – x}<b>2</b>_{=(2x – 2)}2_{– x}2

= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2)

<i>Cách 2(tách hạng tử bậc nhất:<b> – 8x</b>) </i>
3x2_{– 8x + 4 = 3x}2_{– 6x – 2x + 4}

= 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
<i>Cách 3 (tách hạng tử tử do<b> : 4</b>) </i>
3x2_{– 8x + 4 = 3x}2_{– 12 – 8x + 16}

= 3(x2_{– 2}2_{) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)}
= (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2)

<i><b> Nhận xét</b>: Từ ví dụ trên (2), ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:</i>
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (Ví dụ 2 cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất
hiện nhân tử chung x – 2. (ví dụ 3 cách 2)

- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. (ví dụ 2 cách 3)

<i>Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất</i>
<i>hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,</i>
<i>nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Nhận xét: Trong các cách giải trên, ở cả hai ví dụ ta thấy cách 2 là đơn</b>
giản và dễ làm nhất. Ở đây ta đã tách hạng tử bậc nhất - 8x (ví dụ 2) thành 2
hạng tử - 6x và - 2x. Trong đa thức 3x2_{– 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số}
hạng là: 3, – 6, –2, 4 các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trước

và tỷ lệ nhau

6 4

3 2




 hay (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8, nhờ đó xuất
hiện thừa số chung (x - 2).

<b>Phân tích: - Trong đa thức 3x</b><i>2_{– 8x + 4 có a = 3, b = – 8, c = 4}</i>

Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b

(ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8)

<i><b>Tổng quát</b>: </i>

Để phân tích đa thức dạng <i><b>ax</b><b>2</b><b>_{+ bx + c}</b>_{thành nhân tử ta đưa về dạng}</i>
<i><b>ax</b><b>2</b><b>_{+ b1x + b2x + c}</b>_{bằng cách tách hạng tử}<b>_bx</b></i>_thành<i><b>_{b1x + b2x}</b></i>_{sao cho}

<i>b</i>1

<i>a</i> =

<i>c</i>

<i>b</i>2 hay<i><b>b1b2 = ac</b></i>

<i><b> Trong thực hành ta làm như sau:</b></i>

<i>Bước 1: Lập tích <b>ac</b></i>.

<i>Bước 2: Phân tích <b>ac</b></i> thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
<i>Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng <b>b</b></i>.

<i><b> Áp dụng</b>: </i>

Phân tích đa thức: – 6x2_{+ 7x – 2 thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7)}
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2

<i>Bước 1: <b>ac = </b></i>(–6).(–2) = 12

<i>Bước 2: <b>ac = </b></i>(–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
<i>Bước 3: <b>b </b>= 7 = 4 + 3</i>

Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

= (3x – 2)(–2x + 1)

<b>Chú ý: Đa thức dạng ax</b><i>2_{+ bxy + cy}2_{khi phân tích cách làm tương tự như đa}</i>

<i>thức bậc 2 một biến</i>

<b>Ví dụ:3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x</b>2_{- 7xy + 3y}2
<b>Giải</b>

Cách 1: 4x2_{- 7xy + 3y}2_{= 4x}2_{- 4xy - 3xy + 3y}2

= 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)

Cách 2: 4x2_{- 7xy + 3y}2_{= 4x}2_{- 8xy + 4y}2_{+ xy - y}2

= 4(x2_{- 2xy + y}2_{) + y(x - y)}

= 4(x - y)2_{+ y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)}
<i>Đa thức bậc hai ax2_{+ bx + c khơng phân tích thành tích các nhân tử}</i>

<i>trong phạm vi số hữu tỷ. Nếu:</i>

<i>- Khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số ngun bằng mọi cách khơng có 2</i>
<i>thừa số nào có tổng bằng b.</i>

<b>Ví dụ: đa thức x</b>2_{+ 4x + 6 có a = 1; b = 6}
=> a.c = 6 = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3)

khơng có 2 thừa số nào có tổng bằng b = 4.

- Hoặc sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x2_{- k) thì k khơng phải là}
bình phương của một số hữu tỷ.

<b>Ví dụ: x</b>2_{+ 4x + 6 = (x}2_{+ 4x + 4) + 2 = (x + 2)}2_{+ 2 = (x + 2)}2_{- (- 2);}
(-2) không phải là bình phương của một số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x2_{+ 4x + 6}
khơng phân tích được thành tích.

<i><b> Lưu ý:</b> Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số</i>
<i>tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp</i>
<i>nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử</i>
<i>chung.</i>

<i><b>Ví dụ .4:</b></i> Phân tích đa thức sau ra thừa số : n3_{– 7n + 6}

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1)
= (n – 1)[n(n + 1) – 6]
= (n – 1)(n2_{+ n – 6)}

= (n – 1)(n2_{– 2n + 3n – 6)}
= (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2))
= (n – 1)(n – 2)(n + 3)

<i><b>Ví dụ 5:</b></i> Phân tích đa thức x4_{– 30x}2_{+ 31x – 30 thành nhân tử.}
Ta có cách tách như sau: x4_{– 30x}2_{+ 31x – 30 = x}4_{+ x – 30x}2_{+ 30x – 30}

<i><b> Giải</b>: x</i>4_{– 30x}2_{+ 31x – 30 = x}4_{+ x – 30x}2_{+ 30x – 30}
= x(x3_{+ 1) – 30(x}2_{– x + 1)}

= x(x + 1)(x2_{– x + 1) – 30(x}2_{– x + 1)}
= (x2_{– x + 1)(x}2_{+ x – 30) = (x}2_{– x + 1)(x – 5)(x + 6)}

<b> c. Bài tập áp dụng</b>

* Phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài 1: a) x2_{- 6x + 5} _{b) x}2_{+ x – 10} _{c) x}2_{+ 7x + 8}
d) x2_{– 14x + 1 e) 6x}2_{– 11x + 3 f) 9x}2_{+ 12x – 5}
Bài 2 : a) 2x2_{ 3xy + 27y}2_{b) 2x}2_{– 5xy + 3y}2_.

Bài 3 : a) x2_{(y  z) + y}2_{(z  x) + z}2_{(x  y).}
b) xy(x + y)  yz(y + z) + xz(x  z) ;

c) x(y2_{+ z}2_{) + y(z}2_{+ x}2_{) + z(x}2_{+ y}2_{) + 2xyz ;}

d) (x + y)(x2_{ y}2_{) + (y + z)(y}2_{ z}2_{) + (z + x)(z}2_{ x}2_{) ;}
e)x3_{(y  z) + y}3_{(z  x) + z}3_{(x  y) ;}

f)x3_{(z  y}2_{) + y}3_{(x  z}2_{) + z}3_{(y  z}2_{) + xyz(xyz  1).}

<b>Bài 4) a) x</b>3_{– 4x + 3 ;} _{b) x}3_{+ 7x – 6 ;} _{(áp dụng ví dụ 4)}
<b>3.2.2.2 Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử</b>
<b>a. Phương pháp: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<b>b. Ví dụ: </b>

<i><b> Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức</b></i>
<i><b> Ví dụ 1:</b></i> Phân tích đa thức x<b>4_{+ x}2_{+ 1 thành nhân tử.}</b>

Cách 1: thêm bớt hạng tử x<b>2</b>_{(làm xuất hiện hằng đẳng thức)}

Ta có x4_{+ x}<b>2</b>_{+ 1 = (x}4_{+ 2x}2_{+ 1) – x}2

= (x2_{+ 1)}2_{– x}2_{= (x}2_{– x + 1)(x}2_{+ x + 1)}

Cách 2: Thêm bớt hạng tử x<b>3</b> <i>_{(làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử}</i>

<i>chung )</i>

x4_{+ x}2_{+ 1 = (x}4_{– x}<b>3_{+ x}</b>2_{) + (x}<b>3</b>_{+ 1)}

= x2_(x2_{– x + 1) + (x + 1)(x}2_{– x + 1)}
= (x2_{– x + 1)(x}2_{+ x + 1).}

x4_{+ x}2_{+ 1 = (x}4_{+ x}3_{+ x}2_{) – (x}3_{– 1)}

= x2_(x2_{+ x + 1) + (x – 1)(x}2_{+ x + 1)= (x}2_{– x + 1)(x}2_{+ x + 1).}
Cách 3: Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)

<i><b>Giải</b>: x</i>4_{+ x}2_{+ 1 = x}4_{– x + x}2_{+ x + 1}
= (x4_{– x) + (x}2_{+ x + 1)}

= x(x – 1)(x2_{+ x + 1) + (x}2_{+ x + 1) = (x}2_{– x + 1)(x}2_{+ x + 1).}

<i><b>Ví dụ.2:</b></i><b> Phân tích đa thức x5_{+ x}4_{+ 1 thành nhân tử.}</b>

<i> Cách 1: Thêm x</i>3_{và bớt x}3 <i>_{(làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử}</i>
<i>chung)</i>

<i><b>Giải</b>: x</i>5_{+ x}4_{+ 1 = x}5_{+ x}4_{+ x}3_{– x}3_{+ 1}
= (x5_{+ x}4_{+ x}3_{) - (x}3_{- 1)}

= x3_(x2_{+ x + 1) - ( x - 1 )(x}2_{+ x + 1)}
= (x2_{+ x + 1)(x}3_{– x + 1 )}

= (x2_{+ x + 1)(x}2_{– x + 1)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<i> Gợi ý: ta nhận thấy: x</i>4_{= (x}2₎2_{và 4 = 2}2_{để xuất hiện hằng đẳng thức bình}
phương của một tổng, ta cần thêm 2.x2_{.2 = 4x}2_{vậy cần bớt 4x}2_{để giá trị của}
đa thức không đổi. <i><b> Giải</b>: </i>

<b> x</b>4_{+ 4 = x}4_{+ 4x}2_{+ 4 – 4x}2_{= (x}2_{+ 2)}2_{– (2x)}2_{= (x}2_{+ 2 – 2x)( x}2_{+ 2 + 2x)}
<i><b>Khai thác bài toán</b>:</i>

Thay “4” thành “ 64y4_{”, ta có bài tốn: x}4_{+ 64y}4
<i>Hướng dẫn giải: </i>

Thêm 16x2_y2_{và bớt 16x}2_y2 _{: (làm xuất hiện hằng đẳng thức)}
x4_{+ 64y}4_{= (x}4_{+ 16x}2_y2_{+ 64y}4_{) – 16x}2_y2

= (x2_{+ 8y}2₎2_{– (4xy)}2_{= (x}2_{+ 8y}2_{– 4xy)(x}2_{+ 8y}2_{+ 4xy)}
Thay x4 _{thành 4x}4_{và 4 thành 81 ta có bài toán : 4x}4 _{+ 81}

<i>Hướng dẫn giải: Thêm 2. 2x</i>2_{.9 = 36x}2_{và bớt 36x}2
4x4 _{+ 81 = 4x}4_{+ 36x}2_{+ 81 - 36x}2

_{= ( 2x}2_{+ 9)}2_{- (6x)}2

= (2x2_{+ 9 - 6x)(2x}2 _{+ 9 + 6x)}

<b>Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung</b>

<i><b>Ví dụ 4:</b></i> Phân tích đa thức x5_{+ x}4_{+ 1 thành nhân tử.}

Thêm x3_{, x}2_{, x và bớt x}3_{, x}2_{, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung)}

<i><b>Giải:</b></i><b> x</b>5_{+ x}4_{+ 1 = x}5_{+ x}4_{+ x}3_{– x}3_{+ x}2_{– x}2_{+ x – x + 1}

= (x5_{+ x}4_{+ x}3_{) + (– x}3_{– x}2_{– x ) + (x}2_{+ x + 1)}
= x3_(x2_{+ x + 1) – x(x}2_{+ x + 1) + (x}2_{+ x + 1)}
= (x2_{+ x + 1)(x}3_{– x + 1 )}

<b>Ví dụ 5. Phân tích đa thức x</b>5_{+ x  1 thành nhân tử}
<i>Giải: Cách 1. Thêm x</i>4_{, x}3_{, x}2_{và bớt x}4_{, x}3_{, x}2

x5_{+ x  1 = x}5_{ x}4_{+ x}3_{+ x}4_{ x}3_{+ x}2_{ x}2_{+ x  1}

= x3_(x2_{ x + 1)  x}2_(x2_{ x + 1)  (x}2_{ x + 1)}
= (x2_{ x + 1)(x}3_{ x}2_{ 1).}

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

x5_{+ x  1 = x}5_{+ x}2_{ x}2_{+ x  1 = x}2_(x3_{+ 1)  (x}2_{ x + 1)}

= (x2_{ x + 1)[x}2_{(x + 1)  1] = (x}2_{ x + 1)(x}3_{ x}2_{ 1).}
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x7_{+ x}2_{+1 thành nhân tử.}

<i><b> Giải :</b></i> x7_{+ x}2_{+1= x}7 _{- x + x}2_{+ x + 1}
= x(x6_{- 1) + (x}2_{+ x + 1)}

= x(x3_{- 1)(x}3_{+ 1) +(x}2_{+ x + 1)}

= x(x3 _{+1)(x -1)(x}2_{+ x + 1) + (x}2 _{+ x + 1)}
= (x2 _{+ x + 1)(x}5 _{- x}4_{- x}2_{+ 1)}

<i><b>Chú ý</b>: Các đa thức có dạng x4_{+ x}2_{+ 1, x}5_{+ x + 1, x}5_{+ x}4_{+ 1, x}7_{+ x}5_{+ 1,}</i>

<i>….; tổng quát những đa thức dạng x3m+2_{+ x}3n+1_{+ 1 hoặc x}3_{– 1, x}6_{– 1 đều có}</i>

<i>chứa nhân tử <b>x</b><b>2</b><b>_{+ x + 1.}</b></i>

<b>c)</b> <b>Bài tập áp dụng Phân tích đa thức thành nhân tử: </b>

Bài 1 : a) 9x4_{+ 1 ;} _{b) 16x}4_{+ y}4_{; c)25x}4_{– 324}
<b>Bài 2 a) x</b>5_{+ x}4_{+ 1 ;} _{b) x}5_{+ x + 1 ;} _{c) x}8_{+ x}7_{+ 1}
Bài 3 a) x5_{ x}4_{- 1 ;} _{b) x}7_{+ x}5_{+ 1 ;} _{c) x}8_{+ x}4_{+ 1.}

<b>3.2.2.3 Phương pháp 7: Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến số)</b>
<b>a) Phưong pháp: </b>

Đặt ẩn phụ, đổi biến của đa thức đã cho thành đa thức mới có bậc nhỏ hơn
và đơn giản hơn. Thực hiện phân tích đa thức theo các phương pháp cơ bản.

<b>b. Ví dụ:</b>

<b> Ví dụ 1: Phân tích đa thức 9x</b>4 _{- 12x}2_{+ 3 thành nhân tử .}

Giải: đặt x2 _{= y ta được 9y}2_{- 12y + 3 = ( 3y - 1)(3y - 3)}
Vậy: 9x4 _{- 12x}2_{+ 3 = ( 3x}2_{- 1 )(3x}2_{- 3)}

Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x2_{+ 3x)}2_{+ 3(x}2 _{+ 3x) +2 thành nhân tử.}
Giải: đặt x2_{+ 3x = y ta được y}2_{+ 3y + 2 = (y +1)(y+2)}

Vậy: (x2_{+ x)}2_{+ 3(x}2 _{+ x) +2 = ( x}2_{+3 x + 1)( x}2_{+3 x +2)}
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2_{+ x)}2_{+ 4x}2_{+ 4x - 12}

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2)
Tương đương với: (x2_{+ x +6)(x}2_{+ x - 2)}

= (x2_{+ x +6)[x(x + 2) - (x + 2)]}
= (x2_{+ x +6)(x + 2)(x - 1)}

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
Hướng dẫn: Biến đổi đa thức đã cho

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24

= (x3_{+ 7x + 10)(x}3_{+ 7x - 12) - 24 (*)}

Đặt x3_{+ 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24}
= y2_{- 1 - 24 = y}2_{- 25 = (y + 5)(y - 5)}

Theo cách đặt ta có (x3_{+ 7x + 6)(x}3_{+ 7x + 16)}
= (x + 1)(x + 6)(x3_{+ 7x + 16)}

<b> Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :</b>
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

<i><b>Giải</b></i>

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2_{+ 10x)(x}2_{+ 10x + 24) + 128}
Đặt x2_{+ 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :}

(y  12)(y + 12) + 128 = y2_{ 16 = (y + 4)(y  4)}
Theo cách đặt ta có (x2_{+ 10x + 16)(x}2_{+ 10x + 8)}

= (x + 2)(x + 8)(x2_{+ 10x + 8)}

<b> c. Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử.</b>

a) (x2_{+ x)}2_{ 3(x}2_{+ x)  15 ;} _{b) x}2_{+ 2xy + y}2_{ x  y  12 ;}
c) (x2_{+ x + 4)(x}2_{+ x + 6)  12}

;

<b>3.2.2.4 Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm của đa thức</b>
<b> a. Phương pháp: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

- Nếu đa thức f(x) có một nghiệm là a thì đa thức chứa một nhân tử là: (x - a)
- Nếu đa thức f(x)có một nghiệm là <i>_qp</i> thì đa thức chứa một nhân tử là(qx
-p)

Dựa vào đó ta sẽ tách đa thức f(x) sao cho xuất hiên nhân tử (x - a) hoặc (qx - p)
Cách 2: Dựa vào định lý Bơdu

- Đa thức f(x) có nghiệm là a thì f(x) chia hết cho (x - a). Vậy f(x) = (x-a)g(x)
Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (x-a)

- Đa thức f(x) có nghiệm là <i>_qp</i> thì f(x) chia hết cho (qx - p).
Vậy f(x) = (qx-p)g(x)

Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (qx - p).
<i>Cách tìm nghiệm của đa thức</i>

Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy
nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã
biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.

Ví dụ: xét đa thức P = x3_{+ 3x}2_{– 4}

Nếu đa thức P có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử
cịn lại có dạng (x2_{+ bx + c) hay P = (x - a)(x}2_{+ bx + c)}

=> -ac = - 4 vậy a là ước của - 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước
của hạng tử không đổi.(hạng tử tự do)

Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm
của đa thức => đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tìm cách tách các hạng
tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1).

<b>b. Ví dụ:</b>

<b>Ví dụ 1: Phân tích x</b>3_{+ 3x}2_{– 4 thành nhân tử.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

= ( x - 1)(x + 2)2
<b>Chú ý:</b>

<i>- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng khơng thì đa thức có một nghiệm</i>
<i>là 1 (hay chứa nhân tử (x-1))</i>

<i>- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các</i>
<i>hạng tử bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm là (- 1) hay chứa nhân tử ( x + 1).</i>

<b>Ví dụ 2: a. Đa thức:f(x) = x</b>3 _{- 5x}2_{+ 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0}
 _{Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)}
<b>Giải: x</b>3 _{- 5x}2_{+ 8x - 4 = x}3_{– x}2_{– 4x}2_{+ 8x – 4}

= (x3_{– x}2_{) – (4x}2_{- 8x + 4)}
= x2_{(x - 1) – 4(x - 1)}2
= (x - 1)(x2_{– 4x + 4)}
= (x - 1)(x - 2)2

b.Đa thức: f(x) = 5x3_{- 5x}2_{+ 3x + 13 có -5 + 13 = 5 + 3}

 _{Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1).}

Vậy f(x) = ( x + 1).g(x)

ta có:g(x) = (5x3_{- 5x}2_{+ 3x + 13): (x + 1) = (5x}2_{– 10x +13)}
Suy ra: 5x3_{- 5x}2_{+ 3x + 13 = (x + 1)(5x}2_{– 10x +13)}

+ Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun nhưng đa thức có thể có
<i>nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có</i>
<i>dạng</i> <i>_qp</i> <i> trong đó p là ước của hạng tử khơng đổi, q là ước dương của hạng</i>
<i>tử có bậc cao nhất.</i>

<b>Ví dụ 3: phân tích đa thức: 2x3_{- 5x}2_{+ 8x – 3 thành nhân tử.}</b>

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là:(-1), 1, (

1
2


), (

3
2


),(

3

2_{),(- 3),...}

Sau khi kiểm tra ta thấy x = 1₂ là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x –
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân
tử chung ( 2x - 1)

<b> Giải: </b>

Cách 1: 2x3_{- 5x}2_{+ 8x - 3 = 2x}3_{- x}2_{- 4x}2_{+ 2x + 6x - 3}

= x2_{(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)}
= (2x - 1)(x2_{- 2x + 3)}

Cách 2: Áp dụng định lý Bơ du

f( x ) = 2x3_{– 5x}2_{+ 8x – 3 có một nhgiệm là :} 1
2 .
Vậy f ( x ) = ( 2x – 1 )g(x).

g(x ) = ( 2x3_{– 5x}2_{+ 8x – 3) : ( 2x – 1 ) = x}2_{– 2x + 3.}
Suy ra f ( x ) = (2x – 1 ) ( x2_{– 2x + 3 ).}

<b>Ví dụ 4: </b>

<b> Phân tích đa thức f ( x ) = 5x</b>3_{– 15x}2_{– 32x – 12 thành nhân tử.}
Giải:

f(x) = 5x3_{– 15x}2_{– 32x – 12 có một nghiệm là -1 ( -1 là ước của12.)}
f( x) = ( x + 1).g(x).

g(x) = (5x3_{–15 x}2_{– 32x –12 ):( x +1) = 5x}2_{–20x –1.}
 f(x ) = (x +1)(5x2 – 20x –1).

<b>b. Bài tập:</b>

<b> Phân tích đa thức thành nhân tử:</b>

a) x3_{– 5x + 4 ;} _{b) x}3_{+ 17x – 16 ;} _{c) x}3_{– 5x + 8x – 4 ;}
d) x3_{– 9x}2_{+ 6x + 16 ;} _{e) x}3_{+ 9x}2_{+ 6x – 16 ;} _{g) x}3_{– x}2_{+ x – 2 ;}
h) x3_{+ 6x}2_{– x – 30 ;} _{i) x}3_{– 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).}

<b>3.2.2.5 Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định</b>
<b>a. Phương pháp: </b>

Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa
thức bậc nhất,một đa thức bậc hai rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa
thức này với hệ số của đa thức kia.

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

x4_{- 6x}3_{+ 12x}2_{- 14x + 3}

Các hệ số  1;  3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên đa
thức khơng có nghiệm ngun.

Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 _{+ ax + b)(x}2_{+ cx + d)}
Phép nhân này cho kết quả:

x4_{+ (b + c)x}3_{+ (ac + b + d)x}2_{+ (ad + bc)x + bd}
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được

6
12
14
3
<i>a c</i>
<i>ac b d</i>
<i>ad bc</i>
<i>bd</i>
 


  


 

 _


Xét bd = 3 với b, d  z; b  { 1;  3}; với b = 3 thì d = 1.
Hệ trên thành:

6
8
14
<i>a c</i>
<i>ac</i>
<i>a bd</i>
 





  


2c = -14 + 6 = - 8 do đó c = - 4; a = - 2

Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2_{- 2x + 3)(x}2 _{- 4x + 1)}

Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải bài toán trên như sau:
x4_{- 6x}3_{+ 12x}2_{- 14x + 3}

= x4_{- 2x}3_{+ 3x}2_{- 4x}3_{+ 8x}2_{- 12x + x}2_{- 2x + 3}
= x2_(x2_{- 2x + 3) - 4x(x}2_{- 2x + 3) + (x}2_{- 2x + 3)}
= (x2_{- 2x + 3)(x}2_{- 4x + 1)}

c.Bài tập;

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4  7x3 + 14x2  7x + 1 ;

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá
trị cụ thể xác định thừa số cịn lại.

<b>b. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</b>
<b>P = x2_{(y - z) + y}2_{(z - x) + z}2_{(x - y)}</b>

Nên thay x bằng y thì P = y2_{(y - z) + y}2_{(z - y) = 0}

Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P
chứa (x – y) thì cũng chứa (y – z) và (z – x).

Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z cịn tích
(x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z

Ta có:x2_{(y - z) + y}2_{(z - x) + z}2_{(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với  x, y, z.}
Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng. ví dụ x = 1, y = 0, z = -1

Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2)
2 = - 2k => k = - 1

Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)
Thật vậy: ta có x2_{(y - z) + y}2_{(z - x) + z}2_{(x - y)}

= x2_{(y - z) + y}2_{(z - y + y- x) + z}2_{(x - y)}
= x2_{(y - z) - y}2_{(y - z) - y}2_{(x - y) + z}2_{(x - y)}
= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y)
= (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z)
<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<b>1. Mục đích thực nghiệm</b>

Kiểm tra hiệu quả của đề tài nghiên cứu

Tìm ra những thiếu sót, khuyết điểm cũng như biện pháp khắc phục để

hoàn thiện đề tài ngày một chất lượng hơn.

<b>2. Nội dung thực nghiệm:</b>

Hai giáo án dạy thực nghiệm

<b>GIÁO ÁN - TIẾT 11: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ </b>
<b> BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ</b>

<b>I. MỤC TIÊU CỦA BÀI HỌC:</b>

<i><b>- Kiến thức</b></i>: HS biết nhóm các hạng tử thích hợp, phân tích thành nhân tử
trong mỗi nhóm để làm xuất hiện các nhận tử chung của các nhóm.

<i><b>- Kỹ năng</b></i>: Biến đổi chủ yếu với các đa thức có 4 hạng tử khơng qua 2 biến.

<i><b>- Thái độ</b></i>: Giáo dục tính linh hoạt tư duy lôgic.
<b>II. CHUẨN BỊ: GV: Bảng phụ </b>

- HS: Học bài + làm đủ bài tập.
<b>III. TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY:</b>

<b>1) Ơn định tổ chức:(1ph) Lớp 8B Sĩ số </b>
<b>2) Kiểm tra bài cũ ( 9ph)</b>

- HS1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a) x2 _{- 4x+4 b) x}3₊

1

27_{c) (a+b)}2 _{- (a-b)}2

- _{HS2: Trình bày cách tính nhanh giá trị của biểu thức: 52}2_{- 48}2
Đáp án: 1.a) (x-2)2_{hoặc (2-c)}2

b) (x+

1
3_)(x2

-1
3 9

<i>x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>Hoạt động của giáo viên</b> <b>Hoạt động của học sinh, ghi bảng</b>
*HĐ1.<i><b>Hình thành pp PTĐTTNT Bằng</b></i>

<i><b>cách nhóm</b></i>

GV: Em có nhận xét gì về các hạng tử
của đa thức này.

GV: Nếu ta coi biểu thức trên là một đa
thức thì các hạng tử khơng có nhân tử
chung. Nhưng nếu ta coi biểu thức trên
là tổng của 2 đa thức nào đó thì các đa
thức này ntn?

- Vậy nếu ta coi đa thức đã cho là tổng
của 2 đa thức (x2_{- 3x)&(xy - 3y) hoặc là}
tổng của 2 đa thức

(x2_{+ xy) và -3x- 3y thì các hạng tử của}
mỗi đa thức lại có nhân tử chung.
- Em viết đa thức trên thành tổng của 2

đa thức và tiếp tục biến đổi.

- Như vậy bằng cách nhóm các hạng tử
lại với nhau, biến đổi để làm xuất hiện
nhận tử chung của mỗi nhóm ta đã biến
đổi được đa thức đã cho thành nhân tử.
GV: Cách làm trên được gọi PTĐTTNT
bằng P2_{nhóm các hạng tử.}

HS lên bảng trình bày cách 2.

+ Đối với 1 đa thức có thể có nhiều cách
nhóm các hạng tử thích hợp lại với nhua
để làm xuất hiện nhân tử chung của các
nhóm và cuối cùng cho ta cùng 1 kq 
Làm bài tập áp dụng.

<b>HĐ2 </b><i><b>áp dụng giải bài tập</b></i>

<b>1) Ví dụ: PTĐTTNT</b>
x2_{- 3x + xy - 3y}

x2_{- 3x + xy - 3y = (x}2_{- 3x) + (xy - y)}
= x(x - 3) + y(x -3)
= (x- 3)(x + y)
* Ví dụ 2: PTĐTTNT

2xy + 3z + 6y + xz = (2xy + 6y) +
(3z + xz)

= 2y(x + 3) + x(x + 3) = (x + 3)(2y
+ z)

C2: = (2xy + xz)+(3z + 6y)
= x(2y + z) + 3(z + 2y)
= (2y+z)(x+3)

<b>2. áp dụng </b>
<b> </b>

Tính nhanh

15.64 + 25.100 + 36.15 + 60.100
= (15.64 + 6.15) + (25.100 +

60.100)

=15(64 + 36) + 100(25 +
60)=15.100 + 100.85
=1500 + 8500 = 10000

C2:

= 15(64 + 36) + 25.100 + 60.100
= 15.100 + 25.100 + 60.100
=100(15 + 25 + 60) =100.100

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

+ GV: Khi nhóm các hạng tử thành
nhóm phải chú ý nhóm các hạng tử
thích hợp để làm xuất hiện nhân tử
chung của nhóm. Do đó khi nhóm ta có
thể thử nghiệm hoặc nhẩm tính để sao
cho nhóm các số hạng hợp lý nhất.
GV dùng bảng phụ

- Bạn Thái làm: x4_{- 9x}3_{+ x}2_{- 9x}
= x(x3_{- 9x}2_{+ x- 9)}

- Bạn Hà làm: x4_{- 9x}3_{+ x}2_{- 9x}
= (x4_{- 9x}3_{) +(x}2_{- 9x)}
= x3_{(x- 9) + x(x- 9) = (x- 9)(x}3_{+ x)}

Bạn An làm: x4_{- 9x}3_{+ x}2_{- 9x}
= (x4_{+ x}2_{)- (9x}3_{+ 9x)}

= x2_(x2_{+1)- 9x(x}2₊₁₎

= (x2_+1)(x2_{- 9x) = x(x- 9)(x}2₊₁₎
- GV cho HS thảo luận theo nhóm.
- GV: Q trình biến đổi của bạn Thái,

Hà, An, có sai ở chỗ nào không?

- Bạn nào đã làm đến kq cuối cùng, bạn
nào chưa làm đến kq cuối cùng.

<b>* HĐ3: </b><i><b>Tổng kết</b></i>

- - PTĐTTNT là biến đổi đa thức đó
thành 1 tích của các đa thức (có bậc
khác 0). Trong tích đó khơng thể phân
tích tiếp thành nhân tử được nữa.

=10000

- Bạn An đã làm ra kq cuối cùng là
x(x-9)(x2_{+1) vì mỗi nhân tử trong}
tích khơng thể phân tích thành
nhân tử được nữa.

- Ngược lại: Bạn Thái và Hà chưa
làm đến kq cuối cùng và trong các
nhân tử vẫn cịn phân tích được
thành tích.

- _{GV: Chốt lại(ghi bảng)}

<b> 4) Củng cố bài học:( 4ph)</b>
- Làm các bài tập 47, 48/SGK

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

a) xa + xb + ya + yb - za – zb b) a2_{+ 2ab + b}2_{- c}2_{+ 2cd - d}2
2. Tìm y biết:

a) y + y2_{- y}3_{- y}4_{= 0 b) y(2y-7)-4y+14=0}
<b>5) Hướng dẫn về nhà: (1ph)</b>

- Làm các bài tập 49, 50/ SGK.

- BT CMR nếu n là số tự nhiên lẻ thì A = n3_+3n2_{-n-3 chia hết cho 8.}
- BT 31, 32 ,33/Tr6 SBT

<b> GIÁO ÁN - TIẾT 14: LUYỆN TẬP</b>

<b>I. MỤC TIÊU CỦA BÀI HỌC:</b>

<b>- </b><i><b>Kiến thức</b>: + HS được rèn luyện về các phương pháp PTĐTTNT ( Ba </i>
phương pháp cơ bản)

+ HS biết thêm phương pháp " Tách hạng tử" cộng, trừ thêm cùng một số
hoặc cùng 1 hạng tử vào biểu thức.

<i><b>- Kỹ năng</b></i>: PTĐTTNT bằng cách phối hợp các phương pháp.

<i><b>- Thái độ</b></i>: Rèn luyện tính cẩn thận, tư duy sáng tạo.
<b>II. CHUẨN BỊ:- GV: Bảng phụ </b>

- HS: Học bài, làm bài tập về nhà, bảng nhóm.
<b>III.TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY:</b>

<b>1) Ôn định tổ chức( 1ph)</b>

Lớp 8B:
<b>2)Kiểm tra bài cũ: (9ph)</b>

GV: Đưa đề KT từ bảng phụ

- HS1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1. a) xy2 _{- 2xy + x b) x}2 _{- xy+ x – y c) x}2_+3x+2
- HS2: Phân tích ĐTTNT

Bài 2 a) x4_-2x2 _{b) x}2_-4x+3
Đáp án:

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

b) x2_{-xy+x-y =x(x-y)+(x-y)}_=(x-y)(x+1)
Bài 2) a) x4 _{- 2x}2_{= x}2 _(x2_-2)

b) x2_-4x+3=x2_{-4x+4-1=(x+2)}2_-x
=(x-x+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3)

<b>3)Bài mới. (30ph)</b>

<b>Hoạt động của giáo viên</b> <b>Hoạt động của học sinh,ghi bảng</b>
* HĐ1. Tổ chức luyện tập:

<b> Chữa bài 52/Tr24 SGK.</b>
CMR: (5n+2)2_{- 4}_₅__n__Z
- Gọi HS lên bảng chữa

- Dưới lớp học sinh làm bài và theo dõi
bài chữa của bạn.

- GV: Chốt lại: Muốn CM một biểu
thức chia hết cho một số nguyên a nào
đó với mọi giá trị nguyên của biến, ta
phải phân tích biểu thức đó thành nhân
tử. Trong đó có chứa nhân tử a.

<b> Chữa bài 55/Tr25 SGK.</b>
Tìm x biết

a) x3

-1

4_x=0

b) (2x-1)2_-(x+3)2₌₀

c) x2_(x-3)3_{+12- 4x}

GV gọi 3 HS lên bảng chữa?
- HS nhận xét bài làm của bạn.

<i><b>1) Chữa bài 52/Tr24 SGK.</b></i>

CMR: (5n+2)2_{- 4}_₅__n__Z
(5n+2)2_{- 4 =(5n+2)}2_-22

_{=[(5n+2)-2][(5n+2)+2]}
=5n(5n+4)5n là các

số nguyên

<i><b>2) Chữa bài 55/Tr25 SGK.</b></i>

a) x3

-1

4_{x = 0} _x(x2

-1

4_{) = 0}

 _x[x2_-(

1

2₎2_{= 0}
 

x(x-1

2_)(x+

1
2_{) = 0}

x = 0
 

x-1

2_{= 0} _x=

1
2

<b> x+</b>

1

2_{= 0} 

x=-1
2

Vậy x= 0 hoặc x =

1

2_hoặc
x=-1
2

b) (2x-1)2_-(x+3)2 _{= 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

- GV chốt lại:

+ Muốn tìm x khi biểu thức =0. Ta biến

đổi biểu thức về dạng tích các nhân tử.
+ Cho mỗi nhân tử bằng 0 rồi tìm giá trị
biểu thức tương ứng.

+ Tất cả các giá trị của x tìm được đều
thoả mãn đẳng thức đã cho _{Đó là các}
giá trị cần tìm cuả x.

<b>Chữa bài 54/Tr25</b>

Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3_{+ 2x}2_{y + xy}2_{- 9x}

b) 2x- 2y- x2_{+ 2xy- y}2

- HS nhận xét cách trình bày.

GV: Chốt lại: Ta cần chú ý việc đổi dấu
khi mở dấu ngoặc hoặc đưa vào trong
ngoặc với dấu(-) đẳng thức.

<b>* HĐ3Bài tập( Trắc nghiệm)GV treo </b>
bảng phụ.

1) Kết quả nào trong các kết luận sau là
sai.

A. (x+y)2_{- 4 = (x+y+2)(x+y-2)}
B. 25y2_-9(x+y)2_{= (2y-3x)(8y+3x)}
C. xn+2_-xn_y2 _{= x}n_(x+y)(x-y)

D. 4x2_{+8xy-3x-6y = (x-2y)(4x-3)}
2) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức E= 4x2₊

4x +11 là: A. E = 10 khi x

=-1
2

B. E =11 khi

x=-1

2_{C. E = 9 khi x}
=-1
2

 _{(3x+2)(x-4) = 0}

 _{(3x+2) = 0} 

x=-2
3

(x- 4) = 0  _{x = 4}
c) x2_(x-3)3_{+12- 4x=x}2_{(x-3)+ 4(3-x)}
=x2_{(x-3)- 4(x-3)=(x-3)(x}2_{- 4)}
=(x-3)(x2_-22_{)=(x-3)(x+2)(x-2)=0}
Ta có: (x-3) = 0  _{x = 3}

(x+2) = 0  _{x =-2}
(x-2) = 0  _{x = 2}

<i><b>3)Chữa bài 54Tr/25</b></i>

a) x3_{+ 2 x}2_{y + xy}2_{- 9x}
=x[(x2_+2xy+y2_)-9]
=x[(x+y)2_-32_]

=x[(x+y+3)(x+y-3)]
b) 2x- 2y-x2_{+ 2xy- y}2
_{= 21(x-y)-(x}2_-2xy+x2₎

= 2(x-y)-(x-y)2_{=(x-y)(2- x+y)}

<i><b>4) Bài tập ( Trắc nghiệm)</b></i>

1.

Câu D sai
2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

D. E =-10 khi

x=-1
2

Giá trị nào đúng.

- HS làm việc theo các nhóm.

- Nhóm trưởng báo cáo kq.
<b>4) Củng cố bài học ( 4ph)</b>

- Nhắc lại cách làm, các kiến thức vận dụng để làm các bài tập trên?

- Ngồi các p2_{đặt nhân tử chung, dùng HĐT, nhóm các hạng tử ta còn sử dụng}
các p2_{nào để PTĐTTNT?}

<b>5) Hướng dẫn về nhà:(1ph)</b>
- Làm các bài tập 56, 57, 58 SGK

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

<b>3. Kết quả thực nghiệm : </b>

<b>BÀI TẬP KIỂM TRA</b>
(Thời gian : 45 phút)
<b>Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử</b>

a) x3_{+ 5x}2_{+ x + 5 b) x}2_{+ y}2 _{+ 2xy - x - y}
c) x4_{+ 4x}2_{– 5 d) x}3_{– 6x}2_{+ 11x -6}
<b>Câu 2: Tìm x biết</b>

2(x + 5) - x2_{- 5x = 0}

<b>Câu 3: Chứng tỏ rằng 4x - x</b>2_{- 5 < 0 với mọi x}
<b>KẾT QUẢ KIỂM TRA</b>

(Lớp 8B)

<b>STT</b> <b>Họ v tờn</b> <b>im ST</b>

<b>T</b>

<b>H v tờn</b> <b>im</b>

1 Phạm Thái An <b>8</b> 21 Ngun Thanh Hun <b>6</b>

2 Cao ThÞ Lan Anh <b>8.5</b> 22 Bïi Thanh Hïng <b>4.5</b>

3 Ngun ViƯt Anh <b>7</b> 23 Cao ViƯt Hïng <b>5</b>

4 Cao TrÝ B¶o <b>4.5</b> 24 Phạm Duy Hng <b>4</b>

5 Nguyễn Xuân Duy <b>8.5</b> 25 Lê Thanh Hơng <b>7</b>

6 Khuất Thị Duyên <b>8</b> 26 Đào Ngọc Kiên <b>7</b>

7 Phạm Anh Dũng <b>7</b> 27 Nguyễn Trung Kiên <b>8.5</b>

8 Phạm Tiến Dũng <b>6.5</b> 28 Chu Thị Lơng <b>6</b>

9 Cao Hải Đăng <b>8</b> 29 Nguyễn Thế Quyền <b>9.5</b>

10 Phạm Trờng Giang <b>7</b> 30 Hoàng Hồng Thanh <b>8</b>

11 Bùi ThịThanh H»ng <b>8</b> 31 Ngun Thu Thủ <b>7</b>

12 Hoµng Hµ Thu H»ng <b>4.5</b> 32 Chu ThÞ ThuThủ <b>8</b>

13 Ngun ThÞ Thu Hằng <b>7</b> 33 Phùng Anh Tuấn <b>4</b>

14 Đặng Thị Hoà <b>4.5</b> 34 Ngô Trọng Anh Tuấn <b>3.5</b>

15 Trịnh Đức Hoàng <b>9</b> 35 Nguyễn Đức Tuệ <b>8</b>

16 Nguyễn Khánh Hoàng <b>8</b> 36 Cao Thị Kim Tuyến <b>8</b>

17 Đỗ Quang Huy <b>5.5</b> 37 Ng« Träng Anh Tó <b>9</b>

18 Ngun Quang Huy <b>6.5</b> 38 Ngun Ngäc Tó <b>7</b>

19 Ngun Xu©n Huy <b>4.5</b> 39 Ngun Ngäc Vinh <b>4.5</b>

20 Bïi ThÞ Thanh Hun <b>7.5</b> 40 Bùi Đăng Vợng <b>8.5</b>

<b>THNG Kấ</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

- im t 5 trở lên : 32em/40em ( tỉ lệ : 80%)
- Điểm chưa đạt yêu cầu : 08em/40em ( tỉ lệ : 20%)

<b>* So sánh : </b><i><b>a.Chưa áp dụng giải pháp</b></i>

( Lớp 8 năm học 2010 - 2011)

Thời gian

Đầu học kỳ I đến giữa học kỳ I

TS
HS

Điểm trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)

Chưa áp dụng giải pháp 40 18 45

<i><b>* Nhận xét:</b></i><b> Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích bài toán, các</b>
hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày bài
giải cịn lung tung.

<i><b> b) Áp dụng giải pháp </b></i>

(Lớp 8 năm học 2011 - 2012)

Thời gian

Đầu học kỳ I đến giữa học kỳ I

TS
HS

Điểm trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)

Kết quả áp dụng giải pháp 40 32 80

<i><b>* Nhận xét:</b></i><b> Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản về các hằng</b>
đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng khá tốt các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán, biết nhận xét
đánh giá bài tốn trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý.

<b>PHẦN III : KẾT LUẬN</b>
<b>1. Kết luận</b>

Dạy học là một nghệ thuật, do đó để đạt được kết quả cao trong một giờ
học thì người thầy phải đầu tư nhiều thời gian, với mỗi bài cần có phương
pháp thích hợp riêng để trị tự tìm ra kiến thức bằng chính cơng sức của mình,
như thế các em sẽ nhớ lâu và vận dụng tốt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn
giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK.

<i>Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc</i>
các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận
dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả
năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tịi,
chủ động chiếm lĩnh kiến thức.

<i>Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản,</i>
ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác,
các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề,
tương tự hố vấn đề để việc giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt
hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác
cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách tồn diện
cho q trình tự nghiên cứu của các em.

<i>Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và</i>
vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thơng tin mới có liên quan
trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên.

Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải

liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh
nắm vững chắc hơn về các dạng toán và được rèn luyện về những kĩ năng
phân tích một cách tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải sau
đó biết áp dụng và phát triển nhanh trong các bài tập tổng hợp, kĩ năng vận
dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách đa dạng hơn
trong giải toán. Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư duy
một cách toàn diện, gợi sự say mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích
thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động trong học tập và
trong học toán.

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

năng lực, lương tâm của mỗi thầy cô giáo đang hàng ngày đứng trên bục
giảng.

Đất nước đang cần và đang đặt niềm tin vào sự nghiệp giáo dục.
Chính vì vậy mà mỗi chúng ta, mỗi thầy cô giáo cần làm tốt hơn nữa, thường
xuyên học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy để nâng cao trình độ chun
mơn góp phần đào tạo những thế hệ học trị có đức, có tài, xứng đáng với
niềm tin yêu của Đảng và nhân dân.

<b>2</b>. <b>Kiến nghị:</b>

Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu
quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương
trình của bộ mơn tốn 8 số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu chỉ là 5 tiết (4 tiết
lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Với lượng thời gian trên đề tài khó có thể áp dụng
và đem lại hiệu quả mong muốn.

Vì vậy Tơi xin có một vài kiến nghị sau:

- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức

các chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn
giảng dạy.

- Đối với phòng giáo dục:

+ Tổ chức các chuyên đề về vấn đề nghiên cứu (phân tích các đa thức
thành nhân tử ) để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi các
đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay.

+ Đưa thêm vào chương trình Tự chọn Tốn 8, chun đề “phân tích
đa thức thành nhân tử”.

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

<i>Đan Hà, ngày 10 tháng 7 năm 2012</i>

<b> NGƯỜI VIẾT</b>

<b> Hoàng Quốc Huy</b>

<b>TÀI LIỆU THAM KHẢO</b>

1 - Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS mơn tốn – Bộ
GD&ĐT 2008

2 - Sách GV, SGK, SBT Toán8 THCS - Phan Đức Chính – Tơn Thân
– Nhà xuất bản GD

3 - Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD
4 - Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS mơn Tốn – Nhà
xuất bản GD

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

6 – Phương pháp dạy học đại cương mơn Tốn – Bùi Huy Ngọc- Nhà
xuất bản ĐHSP

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51></div>

<!--links-->