TIEP TUYEN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (228.61 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾ

N KH

Ả

O SÁT HÀM S

Ố

---

VẤN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ

Định lý : Đạo hàm của hàm số y f(x)= tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến 
với đồ thị tại điểm M(x ; yo o =f(xo)): k f '(x )= o

yêu cầu bài tốn Phương trình tiếp tuyến 
Tiếp tuyến tại M(x ; y ) (C)o o ∈

y f '(x ).(x x ) y

=

o

−

o

+

o (1)

'( )

o

k

=

f x

:hệ số góc 
Tiếp tuyến có

hệ số góc k cho trước _Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm
_Giải pt :

f

'( )

x

o

= ⇒

k

x

o

⇒

y

o
_Áp Dụng (1)

Tiếp tuyến song song

với đường thẳng (d) cho trước :

y

=

k x

d

+

b

_Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm
_Giải pt : f x'( )o =kd ⇒ xo ⇒ yo

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến vng góc

với đường thẳng (d) trước :

y

=

k x

d

+

b

_Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm
_Giải pt : '( ) 1

d

o o o

f x x y

k

= − ⇒ ⇒

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến đi qua điểm

( ;A A) ( )

A x y ∉ C cho trước

_Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm 
tt tại M là ( )Δ : (1)

_ ( )Δ qua A: thay tọa độ A vào
(1)⇒ xo ⇒ yo ⇒ PTTT

Lưu ý : hai đt : 1 1 vng góc với nhau

2 2

y k x c
y k x c

= +

⎧

⎨ = +

⎩

⇔

k k

.

= −

1

song song

⇔

k

=

k

2 Với

k k

,

2 là hệ số góc
VD1: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại M(2;3)

Lời giải: Ta có : y' 3x= 2 −3

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VD2: Cho (C) y = x3 – 3x + 1. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến song song với (d): y = 9x – 4.

Lời giải : Ta có hệ số góc của đường thẳng d là 9.
Gọi M(x ;y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm

Hệ số góc tiếp tuyến tại M là y'

( )

x0 =3x20 −3

Tiếp tuyến song song với (d) ⇔ y'

( )

x0 = ⇔9 3x20 − = ⇔3 9 x0 = ±2

+ Với x0 = 2 ⇒ y0 = 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y – 3 = 9(x – 2) = 9x–15
+ Với x0 = –2 ⇒ y0 = –1 ⇒Phương trình tiếp tuyến : y +1= 9(x–2)= 9x +17
VD 3 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C) .

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất 
Giải : gọi M(x0; y0) ∈

( )

C là tiếp điểm

Hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = f’(x0) = 3 6 0 9
2

0 + x −

x

Ta có 3

(

)

2 12 12 suy ra

0 + − ≥−

= x

k kMIN = −12 khi x0 = – 1 ⇔ M(–1; 16)
Phương trình tiếp tuyến : y – 16 = – 12.(x + 1)

VD 4 : y = x3 + mx2 + 1 (Cm)

Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tiếp với (Cm) tại B và C vng góc nhau.

Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm (d) và (Cm) : x3 + mx2 + 1 = – x + 1

x.(x2 + mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x2 + mx + 1 .

⇔

(d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

⇔

g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

( )

⎢⎣
⎡

−
<
>
⇔

⎩
⎨
⎧

≠
=

>
−
=
Δ
⇔

2
2
0

1
0

0
4

m
m
g

m
g

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

⎩
⎨
⎧

=
=

−
=
+
=
⇒

C
B

x
x
P

m
x

x
S

Tiếp tuyến tại B và C vng góc ⇔ f ′

( ) ( )

xC f ′ xB = −1

(

) (

)

. 3 2 . 3 2 1

B C B C

x x x m x m

⇔ + + = −

(

)

[

9 +

6 +

4

]

=

−

1 ⇔

x

B

x

C

x

B

x

C

m

x

B

x

C

m

( )

[

9 6 4

]

1
1 + − + 2 = −

⇔ m m m

⇔

2 m

=

10 ⇔

m

=

±

5

(thỏa điều kiện)
VD 5 : Cho hàm số y = x3 −3x2 +m. (1)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Giải 
Với x0 =1⇒ y0 = m−2 M(1 ; m – 2) .

Tiếp tuyến tại M là d: (3 6 0)( 0) 2
2

0 − − + −

= x x x x m

y

⇒ d: y = -3x + m + 2.

- d cắt trục Ox tại A: 0 = −3xA +m+2 ⇔ xA = m3+ 2 ⇒ A⎜⎛ +⎝m3 2 ; 0⎟⎠⎞

- d cắt trục Oy tại B : yB = m+2⇒ B(0; m+2)

- OAB 2

3 1 3 2

S | OA || OB | | OA||OB | 3 2 3 (

2 2 2 3

m

m m

= ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ +2) =9

⎢
⎣
⎡

−
=
=
⇔

⎢
⎣

⎡

−
=
+

=
+
⇔

5
1
3

2
3
2

m
m
m

m

Bài Tập :

Bài 1 : Cho hàm số có đồ thị là ( C ) .Tìm hệ số góc và viết pttt với (C)
tại điểm

( )

y = f x

o
M
a) (C) :

2 3 3

x x
y

x

+ +
=

− với Mo∈(C)có hồnh độ xo =2

b) (C) : y = x3+ +x 1 với Mo( 2; 9) ( )− − ∈ C

c) (C) : y= x4 −2x2 +5 với Mo∈(C)có tung độ

y

o

=

8

d) (C) : o

2
, M
1

x
y

x

+
=

− − là giao điểm của (C) và Oy
e) (C) :

3 2

, M
3

x x
y

x

− +
=

− là giao điểm của (C) và Ox

f) (C) : y = x3 −2x+2, Molà giao điểm của (C) với đt

y

=

2

g) (C) : y = 2x3 −x,với Mo∈(C)là giao điểm của (C) và Oy
h) (C) : y = 2x4 −5x2 +3 với Mo∈(C)là giao điểm của (C) và Ox 
k) (C) : y= 3x 42x 3+− tại điểm M(1; -7) (TN – THPT – 2007)

Bài 2 : Cho hàm số

y

x

3 2

x

−

=

+

( C ),viết pttt với đths :

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 3 : Cho hàm số y = x3 −3x2 + ( C ),viết pttt với đths :
b) Tại Mo∈(C)có hồnh độ

x

o

= −

2

c) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm A(2;0)
Bài 4 : Viết pttt với (C) trong các trường hợp sau :

x 2x 1
y

x 1

+ −
=

− ,

x
2,

biết tiếp tuyến vng góc với đường phân giác thứ nhất
của hệ trục Oxy. (ĐH Nông Nghiệp – 98)

(ĐS : y = − +x 1 và y = − +x 9)

b) y = − +x3 3 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −9x 1+

c) y = x3−3x biết tiếp tuyến đó vng góc với đt y 1
3

= x (ĐH An Ninh – 
01)

(ĐS : y = − +3x 1)
d)

2x 7x 7
y

x 2

− +
=

− ,biết tiếp tuyến song song với đt (d): y x 4= +

(ĐH Luật – 99) (ĐS : y = −x 3)
e)

2 3

x

y = − x + x−1, biết tiếp tuyến đó qua K(0; 1)−
f)

2 3 1
,
2

x x

y

x

− +

− biết tiếp tuyến song song với đt y = 2x+3

Bài 5 :cho (C) :

2
x 4x
y

x 1
−
=

− , tìm pttt với (C) trong các trường hợp sau :

a) Tiếp xúc với (C) tại A(2; 4)− b) Song song với ( ) :d1 y =13x+1

c) Vuông góc với 2

1
( ) :

d y = − x d)Vẽ từ M(1;5)

Bài 6 :cho (C) :

y x

=

−

3x

+

2

a) Lập pttt với (C) tại điểm có hòanh độ xo = −3

b) Lập pttt của (C) qua i.A(2; 2)− ii.B(0;3)

c) Lập pttt với (C) biết tt vuông góc với đường thẳng 1 19
9

y = − x+

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 7 : cho (C) y x 21.

x

−
=

+ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến :

a) Qua gốc tọa độ O b) Qua điểm A(2;1)

Bài 8 : cho (C) : y = − +x3 3x2−5x+2.
0

Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó :
a) Song song với đt : 2x+ − =y 3

b) Vng góc với đt : x−29y + =2 0

Bài 9 :

2
2
2

x
y

x

−1

. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :

a) Tại điểm có hồnh độ xo =1

b) Song song với đt 8x 9y 1 0− + =
c)Vng góc với đt 25x 24y 2 0+ − =

Bài 10 : cho (C) : y = x3+4x2 +4x+ và điểm A (C)∈ với xA = −1.

Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến qua A
Bài 11 (Khối B – 2004) :cho (C) :

2 3

x

y = − x + x có đồ thị là ( C ). Viết pttt

với ( C ) tại điểm uốn. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 12 : m 3 2

1 m

(C ) : y x x

3 2

= − +1

3.Gọi M là điểm thuộc

(

C

m

)

có hồnh độ bằng

1 −

. Tìm m để tiếp tuyến của

(C )

m tại điểm M song song với đt

5 x

− =

y

0

Lưu ý :

Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hịanh độ giao điểm 
của chúng có nghiệm kép

Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Bài 14: (C) : y x 31.

x

−
=

+ Viết pttt với ( C ) biết :

a) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy b) Tại K có hồnh độ bằng -2
c) Tiếp tuyến song song với đt y = 4x+2 d) Vuông góc với đt 4x+ − =y 3 0

Bài 15: Cho hàm số: y = − +x3 3x2 −4 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ là x = 12.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng

( )

d : y = 3x+2010.

Bài 16: Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 2x + 3 có hệ số góc 
nhỏ nhất .

Bài 17: Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

−

x3 + 3x + 2 có hệ số góc lớn 
nhất.

Bài 18: Cho hàm số (C) :y = 2x 1x 1−− , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

tiếp tuyến cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho sao cho OA = 4OB.
Bài 19 (Khối A – 2009): Cho hàm số y 2x 2

x 3

+
=

+ (1)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại
gốc tọa độ O.

Bài 20 (Khối D – 2010): Cho hàm số : y = − − +x4 x2 6.Viết phương trình tiếp

tuyến của (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 16 x−1

Bài 21 : m

(

)

m 1 x m
(C ): y

x m

− +

− . Định m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm có hoành

độ x0 = 4 song song với đường phân giác thứ 2 của hệ trục tọa độ. ( m = 2)
Bài 22 : Cho hàm số (C) :y = x 4x 1−− , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến tạo với đường thẳng (D1) : y = −2x 2013+ góc 450

HD : 1 2

1 2

k k

tanα

1 k .k
−
=

− ta có k = 3 sau đó viết tiếp tuyến

Bài 23 : Cho hàm số (C) : , Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho

3 2

y x= −3x +2

ΔOAB
OB

S =

Bài 24 : Cho hàm số (C) :y = 2x 2x 1−+ , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến :

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b/ Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân (ĐS : y = − −x 1, y= − +x )
Bài 25 : Cho hàm số (C) :y = x 22x+ ,

a/ Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng
(ĐS : )

y 4x 3= + M( 1, 3)− −

b/ Khoảng cách từ I ( 2, 2)− đến tiếp tuyến bằng 2

HD : Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (d) : ax + by + c = 0

(

)

M M

2 2

a.x

b.y

c

d M,(d)

a +b

+

=

Bài 26 : Cho hàm số (C) : , Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn

3 2

y x= −3x +2

OB 9.OA=
 (Đs : y 9x 7= + , y 9x 25= − )

Bài 27 : Cho hàm số (Cm) :

(

)

3 2

y x= −2x + m 1 x 2m− +

a/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (Cm) tại điểm có hồnh độ x = 1 song song
với đường thẳng y 3x 12= + .

b/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (Cm) có hệ số góc nhỏ nhất vng góc với

đường thẳng

( )

Δ : y 2x 1= + . (ĐS : m 11
6

= )

Bài 28 (TN – THPT – 2008) : . Viết pttt với (C) tại điểm có
hồnh độ x0 = –2

(C): y x= −2x2

Bài 29 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị: y 2x1
x

− , biết

a. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng −2. ĐS: y = −2x+8, y = −2x
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0.

ĐS: 1 27, 1

2 4 2

y = − x+ y = − x−7
4

c. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (Δ): 9x−2y +1=0

ĐS: y = −29 x+329 ,y = −92 x+8

Bài 30 : Lập phương trình tiếp tuyến cả đồ thị (C): y 2x 13

x

+
=

+ tại những điểm

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 31 : Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) : y x 22

x

+
=

− , biết (d) đi

qua điểm A( 6;5). − ĐS: y = − x−1, y = − +4 2x 7

Bài 32 : Cho hàm số . Tìm m để tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tạiđiểm có hồnh độ bằng 1 đi qua điểm A(2; 1).

3 2

y x= −(m 1)x− +(3m 1)x m 2+ + −

−

ĐS: m = 2. −

Bài 33 : Gọi (C) là đồ thị của hàm số y f(x)= = x 3x 1+−

Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết
phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M. ĐS: y = 4x + 21

Bài 34 : Cho hàm số

4 2

x x

y f(x) 2

4 2

= = + + (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với (D): y = 2x−2.
ĐS: y 2x= + 34

Bài 35 : Cho hàm số

3
2
2x

y x 4

= − + + x 2 , g− ọi đồ thị của hàm số là (C) 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất
ĐS: y = 92x−1225

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2;9) ĐS: y = −8x + 25
Bài 36 : Gọi (C) là đồ thị của hàm số

3
2
x

y f(x) x 2x

3 1

= = − + +

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Đs: y = 2x+1

b) Viết pttt của (C) vng góc với đường thẳng y= − +x5 2
ĐS: y 5x= +83

hoặc y = 5x – 8

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục
tung lần lượt tại A,B sao cho tam giác OAB vng cân (O là góc tọa độ)

</div>

TIEP TUYEN

<i><b>CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN </b></i>

<i><b>ĐẾ</b></i>

<i><b>N KH</b></i>

<i><b>Ả</b></i>

<i><b>O SÁT HÀM S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>--- </b></i>

y f '(x ).(x x ) y

=

−

+

'( )

<i>k</i>

=

<i>f x</i>

<i>f</i>

'( )

<i>x</i>

= ⇒

<i>k</i>

<i>x</i>

⇒

<i>y</i>

<i>y</i>

=

<i>k x</i>

+

<i>b</i>

<i>y</i>

=

<i>k x</i>

+

<i>b</i>

⇔

<i>k k</i>

.

= −

1

⇔

<i>k</i>

=

<i>k</i>

<i>k k</i>

,

( )

( )

( )

(

)

⇔

⇔

( )

( ) ( )

(

) (

)

(

)

[

9

+

6

+

+

4

]

=

−

1

⇔

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

( )