Tap chi nhom huu han lop hai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.15 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009

2-NHÓM HỮU HẠN LỚP HAI, SINH BỞI HAI PHẦN TỬ
VỚI NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ LÀ CYCLIC

THE FINITE CLASS TWO 2-GROUPS GENERATED BY TWO ELEMENTS
WITH A CYCLIC COMMUTATOR SUBGROUP

Nguyễn Viết Đức

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT

Bài toán phân loại theo quan hệ đẳng cấu các p-nhóm hữu hạn với nhóm con giao
hốn tử là cyclic đã được nghiên cứu bởi Ying Cheng [1], [2] và R.J.Miech [4]… Mục đich của
bài báo là phân loại các 2-nhóm G lớp hai được sinh bởi hai phần tử và nhóm con giao hốn tử
[G,G] là tuần hồn thành các lớp khơng đẳng cấu với nhau.

ABSTRACT

The isomorphism problem for finite p-groups with cyclic commutator subgroup has been
researched by Ying Cheng [1], [2] and R.J.Miech [4]. This paper presents the complete
classification of the finite nilpotent 2-groups G of class two, where G is generated by two
elements and the commutator subgroup of G is cyclic.

1.Giới thiệu và kết quả chính

Trong bài báo này, chúng tơi phân loại các 2-nhóm có lớp luỹ linh bằng 2, được

sinh bởi 2 phần tử và có nhóm con giao hốn tử là cyclic theo quan hệ đẳng cấu. Các
khái niệm cơ bản và cơng thức về giao hốn tử chúng tơi sử dụng trong các tài liệu [3],
[5]. Chúng sẽ ta bắtđầu bởi việc mơ tả các nhóm ta đang xét theo phần tử sinh và quan
hệ cơ bản.

Định lý 1.Cho G là một 2-nhóm khơng aben hữu hạn được sinh bởi hai phần tử và giả

sử G có nhóm con giao hốn tử [G,G] là cyclic lớp 2 ([G,G] Z(G)). Khi đó G có cặp 
phần tử sinh {x,y} sao cho các quan hệ định nghĩa của nhóm là:

trong đó R, S là các số nguy ên , nguyên tố cùng nhau với 2 và a, b, c, r, s là các số 
nguyên thoả mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > 0 , 0 ≤ r, s ≤ c .

Đảo lại cho trước một tập hợp các tham số {a, b, c, r, s, R, S } thoả các điều kiện này 
thì có một nhóm G với nhóm con giao hốn tử [G,G] là cyclic, lớp hai được định nghĩa 
bởi các quan hệ trên

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009

[R2r, S2s ] = < x, y / >.

Chúng ta có kết quả chính như sau:

Định lý 2. Giả sử G là một 2-nhóm hữu hạn lớp 2, với nhóm con giao hoán tử là cyclic

như trong Định lý 1. Lúc đó.

a) Nếu s+a-b ≤ r ≤ c thì G đẳng cấu với [0, 2s

b) Nếu s < r < s+a-b thì G đẳng cấu với [2

]. 
r

, 2s
c) Nếu r ≤ s thì G đẳng cấu với [2

]. 
r

2.Chứng minh Định lý 1 và phương pháp phân loại

, 0].

Chứng minh Định lý 1.Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc chứng minh Bổ đề sau:

Bổ đề 1. Nếu G là một nhóm luỹ linh lớp 2 thì với bất kỳ x, y G, ta có:

a) [ , ]= .

b) [ , ]= .

Chứng minh:

a) Ta có: [x2,y] =[x, y][x, y, x][x, y] =[x, y]2 , suy ra [x3, y] =[x2, y] [x2, y, x] [x, y]= [x, 
y]3

Qui nạp ta có [x
.

α, y]= [x, y]α , suy ra [xα, y2

]= [xα, y] [xα, y] [xα, y, y] = [x, y]2α. Tương tự
quy nạp ta có: [xα, yβ ]= [x, y]αβ

b)[

.

, ] = [ [ ]

= [ [ ]

= [
= [

= .

Bây giờ giả sử G là một nhóm có nhóm con giao hốn tử G2 = [G,G] là cyclic.

Do G sinh bởi 2 phần tử , nên ta có thể giả sử G/G2 = <G2x> < G× 2y> , với <G2x> cấp

2a , < G2y> cấp 2b

Đặt z = [x, y] . Giả sử G
và a ≥ b.

2 = <z> có cấp 2c. Ta có G2 , G2 , nên tồn

tại R, S, r, s sao cho . Do G2 Z(G), nên [z, x] = [z,y] = 
1. Cuối cùng áp dụng Bổ đề 1 , ta có 1= [ [x,

. Do đó a .

Đảo lại với một nhóm G được xác định bởi phần tử sinh và quan hệ ở trên ta dể
dàng kiểm chứng được [G,G] là cyclic và [G,G] Z(G).Vậy Định lý 1 đã được chứng
minh.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009

81
Định lý phân loại.Cho G = <x , y> được định nghĩa bởi [R2r,

S2s ] và G’ = < x’ , y’ > 
được định nghĩa bởi [R’ ]. Giả sử là một ánh xạ từ G’ lên G được xác định 
bởi:

(x’ = , (y’ =

Ký hiệu = . Khi đó là đẳng cấu nếu và chỉ nếu
(

và R’ , = S

Để chứng minh Định lý này ta cần Bổ đề sau:

Bổđề 2. Cho G là một nhóm nhưtrong Định lý 1. Khi đó với bất kỳ số nguyên ,

ta có

( = , ( = .

Chứng minh.Ta chỉ cần chứng minh( = với mọi n c . Ta có:

( = =

= = .

( =

.

Tương tự bằng qui nạp ta chứng minh được

( = . Do n , nên ta có điều cần chứng

minh.

Chứng minh định lý phân loại . Với s, t Z(G), ta có [At, Bs] = [A,B] với mọi A, B G.
Do đó áp dụng Bổ đề 1 Ta có [ x’ , y’ = [(x , (y ] =

[ (*)

((x = ([ x’, y’ ]

=

([ x’ , y’ = (1)

((x = (

= (theo Bổ đề 2)

= (2)

Từ (1) và (2) ta có đẳng thức .

Tương tự ta chứngminh đượcđẳng thức còn lại.

Từ (*) , do ( sinh của [G,G]. Vậy Định lý

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009

3.Chứng minh định lý chính

Chúng ta sẽ áp dụngĐịnh lý phân loạiđể chứng minh Định lý chính. Trước hết
do (R,2) = 1, suy ra (R, 2a) = 1, nên tồn tại Z, sao cho R+ 2a=1 R = 1- 2a.
Cũng vậy, do (S, 2) = 1, suy ra (S, 2b) = 1, nên tồn tại Z, sao cho S+ 2b=1 S
= 1- 2b

x’=
. Đặt

, y’ = ,

ta có = , do R = 1- 2a, S = 1- 2b và (R, 2) = 1, (S, 2) = 1, nên ( , 2) = 1 và
G’= [2r, 2s]. Do đó G [2r, 2s

Bây giờ xét trường hợp s+a-b ≤ r ≤ c. Đặt x’=
].

, y’ = y , với = .

Ta có và = = =1. Do đó G [0, 2s

Cuối cùng xét trường hợp r ≤ s. Đặt x’ = x, y’ =
].

, với và

= .

Ta có và = = =1. Do đó G [2r, 0]. Kết thúc chứng minh
Định lý chính.

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

[1] Ying Cheng. On finite p-groups wwith cyclic commutator subgroup. Arch.Math.Soc.
Noitice 79T A229 ISS A509-196(1979).