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✶✳✶


❚❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❚❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✤è✐ ✈ỵ✐ x ❧➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝â ❞↕♥❣
f (x) = ax2 + bx + c✱

tr♦♥❣ ✤â a, b, c ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ợ a = 0

Pữỡ tr ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❞↕♥❣
ax2 + bx + c = 0✱

tr♦♥❣ ✤â x ❧➔ ➞♥ ✈➔ a, b, c ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ✈ỵ✐ a = 0✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❧➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♠ët
tr♦♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣ s❛✉

✹


f ( x) > 0 ,

f ( x) < 0 ,

f ( x) ≤ 0,

f ( x) ≥ 0 ,

tr♦♥❣ ✤â f (x) ❧➔ ♠ët t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳
✶✳✷


◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐

❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐
f (x) = ax2 + bx + c = 0.

❚❛ ❝â

✭✶✳✶✮

c
b
f ( x) = 0 ⇔ x2 + x = −
a
a
b
b2
b2
c
2
⇔x +2 x+ 2 = 2 −
2a
4a
4a
a
2
2
b − 4ac
b
.
=

⇔ x+
2a
4a2
✣➦t ∆ = b2 − 4ac✱ ❦❤✐ ✤â ∆ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜✐➺t t❤ù❝ ừ ữỡ tr r
ã

< 0 t ữỡ tr ổ

ã

= 0 t ữỡ tr ✭✶✳✶✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣ x = − 2ba ✳

•

◆➳✉ ∆ > 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t
√
−b + ∆
,
x1 =
2a

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✶✳

√
−b − ∆
x2 =
✳
2a

❚❛ ❝â


•

◆➳✉ b ❧➔ sè ❝❤➤♥✱ t❤➻ t❛ ✤➦t b = 2b′✱ ∆′ = b′2 − ac✳ ❑❤✐ ✤â✱ ∆ = 4∆′ ✈➔

•

◆➳✉ ac < 0✱ t❤➻ ∆
♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳

√
−b′ + ∆′
x1 =
,
2a
> 0✳

√
−b′ − ∆′
x2 =
✳
2a

❉♦ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❧✉ỉ♥ ❝â ❤❛✐

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè

✺



Pữỡ

t trữớ ủ ừ số a

ã a = 0✱ t❤➻ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ♥❤➜t
c
bx + c = 0 ⇔ x = − ✳
b
• a = 0 t t ữợ s
ữợ



ữợ

t trữớ ủ ừ õ ự t số

ữợ

ừ ữỡ tr t t❤❛♠ sè ✤â✳

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✶✳

●✐↔✐ ✈➔ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ t❤❡♦ t❤❛♠ sè m
(m − 1)x2 − 2mx + m + 2 = 0.

▲í✐ ❣✐↔✐✳

✭✶✳✷✮


◆➳✉ m − 1 = 0 ⇔ m = 1✱ t❤➻ ✭✶✳✷✮ trð t❤➔♥❤
3
− 2x + 3 = 0 ⇔ x = ✳
2

◆➳✉ m − 1 = 0 ⇔ m = 1✱ t❤➻ t❛ ❝â

∆′ = m2 − (m − 1)(m + 2) = 2 − m.

• ◆➳✉ ∆′ < 0 ⇔ 2 −m < 0 ⇔ m > 2✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✳
• ◆➳✉ ∆′ = 0 ⇔ 2 − m = 0 ⇔ m = 2✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠
❦➨♣ x1 = x2 = 2✳
• ◆➳✉ ∆′ > 0 ⇔ 2 − m > 0 ⇔ m > 2✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ❝â ❤❛✐

♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳

√
m+ 2−m
x1 =
,
m−1

√
m− 2−m
x2 =
✳
m−1
✷

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳


❇✐➺♥ ❧✉➟♥ t❤❡♦ t❤❛♠ sè ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
f (x) = ax2 + bx + c = 0.
✻


♣

❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳

◆➳✉ a = 0✱ t❤➻ bx + c = 0✳ ❉♦ ✤â✱

• ◆➳✉ b = 0 ✈➔ c = 0 t ữỡ tr ổ
ã b = 0 ✈➔ c = 0✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ✈ỉ số

c
ã b = 0 t ữỡ tr õ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t x = − ✳
b

♣

❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✳

◆➳✉ a = 0✱ t❤➻

• f (x) = 0 ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∆ < 0✳
• f (x) = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∆ ≥ 0✳
• f (x) = 0 ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∆ > 0✳
• f (x) = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∆ = 0✳
❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✷✳


❈❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
mx2 + (2m + 3)x + m + 5 = 0.

❚➻♠ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ m ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✸✮ t❤ä❛ ♠➣♥
✶✳ ❱ỉ ♥❣❤✐➺♠❀
✷✳ ❈â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣❀
✸✳ ❈â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

❚❛ ❝â

❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳ ◆➳✉ m = 0✱ t❤➻ t❛ ❝â
(1.3) ⇔ 3x + 5 = 0✳

❉♦ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✳ ◆➳✉ m = 0✱ t❤➻ t❛ ❝â
∆′ = (2m + 3)2 − 4m(m + 5).
✼

✭✶✳✸✮


◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝â

(1.3)

⇔ ∆′ < 0

✈ỉ ♥❣❤✐➺♠


⇔ (2m + 3)2 − 4m(m + 5) < 0
9
⇔ −8m + 9 < 0 ⇔ m > .
8

❍ì♥ ♥ú❛✱
✭✶✳✸✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣

⇔ ∆′ = 0 ⇔ m =

✭✶✳✸✮ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t

9
✳
8

⇔ ∆′ > 0 ⇔ m <

9
✳
8

❑➳t ❧✉➟♥✿
✭✶✳✸✮ ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠

•

✭✶✳✸✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣


•

✭✶✳✸✮ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✸✳

⇔m>

9
❀
8

•

⇔m=

9
❀
8

⇔m=0

✈➔

m<

9
✳
8


❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

(x + 1)(x + 3) + m(x + 2)(x + 4) = 0
❧✉ỉ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t❤ü❝ ✈ỵ✐ ♠å✐
▲í✐ ❣✐↔✐✳

✷

✭✶✳✹✮

m ∈ R✳

❚❛ ❝â

(1.4) ⇔ x2 + 4x + 3 + mx2 + 6mx + 8m = 0

⇔ (m + 1)x2 + 2(3m + 2)x + 8m + 3 = 0.

ã

rữớ ủ

m = 1

t ữỡ tr ✭✶✳✹✮ trð t❤➔♥❤

−2x − 5 = 0 ⇔ x =

−5
✳

2

• ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✳ ◆➳✉ mm = −1✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.4) ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

❜➟❝ ❤❛✐ ❝â ❜✐➺t t❤ù❝

∆ = (3m + 2)2 − (m + 1)(8m + 3)
= m2 + m + 1

=

1
m+
2

2

+
✽

3
> 0.
4


❉♦ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.4) ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳
◆❤÷ ữỡ tr ổ õ ợ ồ m ∈ R✳

✷


✶✳✸ ✣à♥❤ ❧➼ ❱✐➧t❡
◆➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ax2 + bx + c = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠✱ t❤➻ ừ
ữỡ tr ổ ữủ t ữợ

b
x2 =
✳
2a

√
−b + ∆
,
x1 =
2a

❑❤✐ ✤â✱

√
√
−b + ∆ −b − ∆ −b
x1 + x2 =
+
=
;
2a
2a
a
√
√
c

−b + ∆ −b − ∆ b2 − ∆
.
=
=
.
x1 x2 =
2a
2a
4a2
a

❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳✶✳ ◆➳✉ x1, x2 ❧➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐
ax2 + bx + c = 0,

t❤➻ t❛ ❝â
S = x1 + x2 =

−b
,
a

c
P = x1 x2 = .
a

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳✶✳ ◆➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ax2 + bx + c = 0 t❤ä❛ ♠➣♥
c
• a + b + c = 0✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ x1 = 1 ✈➔ x2 = .

a
−c
• a − b + c = 0✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ x1 = −1 ✈➔ x2 =
.
a

❚r→✐ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❤❛✐ sè ❝â tê♥❣ ❜➥♥❣ S ✈➔ t➼❝❤ ❜➡♥❣ P ✳ ◆➳✉ t❛ ❣å✐ ♠ët sè
❧➔ x✱ t❤➻ sè ❦✐❛ ❧➔ S − x✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
x(S − x) = P ⇔ x2 − Sx + P = 0✳
✾


ữ số tr tỗ t ❧➔ S 2 − 4P ≥ 0✳ ◆❤í ✤â✱ t❛ t❤✉
✤÷đ❝ ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳✷✳ ◆➳✉ ❤❛✐ sè ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣ S ✈➔ ❝â t➼❝❤ ❜➡♥❣ P

t❤ä❛ ♠➣♥

S 2 − 4P ≥ 0✱ t❤➻ ❤❛✐ sè ✤â ❧➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 −Sx + P = 0✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝â
❍❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞÷ì♥❣ ❧➔ ∆ ≥ 0, P > 0, S > 0✳
• ❍❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ➙♠ ❧➔ ∆ ≥ 0, P > 0, S < 0✳
• ❍❛✐ ♥❣❤✐➺♠ tr→✐ ❞➜✉ ❧➔ P < 0
ử ữỡ tr
ã

õ


x 2 − 5 x + m = 0.

✭✶✳✺✮

✶✳ ◆➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❜➡♥❣ ✷✱ t➻♠ m ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝á♥ ❧↕✐❀
✷✳ ◆➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❜➡♥❣ ✼✱ t➻♠ m ✈➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

✶✳ ❚❤❛② x1 = 2 ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮ t❛ ❝â
4 − 10 + m = 0,

❦➨♦ t❤❡♦ m = 6✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ❱✐➧t❡ t❤➻
x1 x2 =

m
= m✳
1

❉♦ ✤â✱ x2 = m2 = 3✳
✷✳ ❇ð✐ ✈➻ ✈❛✐ trá ❝õ❛ x1 ✈➔ x2 ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉ ♥➯♥ t❛ ❣✐↔ sû x1 > x2✳ ❑❤✐ ✤â✱
t❤❡♦ ❜➔✐ r❛ x1 − x2 = 7 ✈➔ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ❱✐➧t❡ t❛ ❝â x1 + x2 = 5, x1x2 = m✳
●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

 x1 − x2 = 7
x1 + x2 = 5

x1 x2 = m



 x1 = 6
⇔ x2 = − 1

m = − 6.

✶✵


❉♦ ✤â x1 = 6, x2 = −1, m = −6✳
❱➼ ❞ư ✶✳✸✳✷✳

✷

●å✐ x1 , x2 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
(m − 1)x2 − 2mx + m − 4 = 0.

✭✶✳✻✮

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ A = 3(x1 + x2 ) + 2x1 x2 − 8 ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝
✈➔♦ ❣✐→ trà ❝õ❛ m✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✻✮ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ x1 , x2 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
m−1=0
∆′ ≥ 0

⇔
⇔
⇔


❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ❱✐➧t❡ t❛ ❝â
x1 + x2 =

t❤❛② ✈➔♦ A t❛ ❝â

m=1
m2 − (m − 1)(m − 4) ≥ 0
m=1
5m − 4 ≥ 0
m=1
4
m≥ .
5

2m
,
m−1

x 1 x2 =

✭✶✳✼✮

m−4
✱
m−1

A = 3(x1 + x2 ) + 2x1 x2 − 8
2m
m−4
=3

+2
−8
m−1
m−1
6m + 2m − 8 − 8(m − 1)
= 0.
=
m−1
5
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ A = 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ m = 1 ✈➔ m ≥ ✳ ❉♦ õ A ổ ử tở
4
tr ừ m


ữ ỵ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ t❤❛♠ sè ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❝â
❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❞ü❛ ✈➔♦ ❤➺ t❤ù❝ ❱✐➧t❡ rót t số t tờ
t ớ õ ỗ t ❝→❝ ✈➳ t❛ s➩ ✤÷đ❝ ♠ët ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝❤ù❛
♥❣❤✐➺♠ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤❛♠ sè✳
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳✸✳

❱➼ ❞ư ✶✳✸✳✸✳

❈❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
x2 − (2m + 1)x + m2 + 2 = 0.

❚➻♠ m ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ x1 , x2 t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ t❤ù❝
✶✶

✭✶✳✽✮



3x1 x2 − 5(x1 + x2 ) + 7 = 0.
▲í✐ ❣✐↔✐✳

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✽✮ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ x1, x2 ❧➔
∆′ ≥ 0 ⇔ (2m + 1)2 − 4(m2 + 2) ≥ 0

⇔ 4 m 2 + 4m + 2 − 4 m 2 − 8 ≥ 0

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ❱✐➧t❡ t❛ ❝â

⇔ 4m − 7 ≥ 0
7
⇔m≥ .
4

x 1 + x 2 = 2 m + 1,

✭✶✳✾✮
x 1 x 2 = m 2 + 2✳

❍ì♥ ♥ú❛✱ tø ❣✐↔ t❤✐➳t 3x1x2 − 5(x1 + x2) + 7 = 0✱ t❛ s✉② r❛
3(m2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0

⇔ 3m2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0

⇔ 3m2 − 10m + 8 = 0
m=2
(t❤ä❛ ♠➣♥(1.9))
4

⇔
(❦❤ỉ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥(1.9)).
m=
3

❱➼ ❞ư ✶✳✸✳✹✳

●å✐ x1, x2 ❧➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
2 x 2 + 5x − 6 = 0 .

❍➣② t❤✐➳t ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔
y1 =

1
,
x1 + 1

y2 =

✷

✭✶✳✶✵✮

1
✳
x2 + 1

❉♦ x1, x2 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✵✮ ♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼
❱✐➧t❡ t❛ ❝â


▲í✐ ❣✐↔✐✳

5
x1 + x2 = − ,
2

6
x 1 x2 = − = − 3 ✳
2

✶✷


1
1
+
x1 + 1 x2 + 1
x1 + x2 + 2
1
=
= .
x1 x2 + x1 + x2 + 1 9
1
1
P = y1 y2 =
.
x1 + 1 x2 + 1
2
1
=− .

=
x1 x2 + x1 + x2 + 1
9

S = y1 + y2 =

◆❤÷ ✈➟②✱ y1 , y2 ❧➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

2
1
X 2 − X − = 0.
9
9
2
❉♦ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝➛♥ ❧➟♣ ❧➔ 9X − X − 2 = 0✳

✶✳✹ ✣à♥❤ ❧➼ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐
✣à♥❤ ❧➼ t❤✉➟♥ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐
❈❤♦ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐
f (x) = ax2 + bx + c✱

✈ỵ✐ a = 0✱ ∆ = b2 − 4ac✳ ❑❤✐ ✤â✱
• ◆➳✉ ∆ < 0✱ t❤➻ af (x) > 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ R✳
• ◆➳✉ ∆ = 0✱ t❤➻
af (x) > 0 ✈ỵ✐ x = −

b
❤♦➦❝ af (x) ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ R✳
2a


• ◆➳✉ ∆ > 0✱ t❤➻ t❛♠ t❤ù❝ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ x1 < x2 ✳ ❚❛ ❝â
af (x) > 0 ⇔

x < x1
x > x2

af (x) < 0 ⇔ x1 < x < x2 .

❇↔♥❣ ①➨t ❞➜✉
✶✸

✷


x

−∞

∆>0

x1

❝ị♥❣ ❞➜✉

❱➼ ❞ư ✶✳✹✳✶✳

tr→✐ ❞➜✉

0


a

x2
0

a

❝ị♥❣ ❞➜✉

+∞

a

●✐↔✐ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉

✭✶✳✶✶✮

6x2 + 11x + 4 ≥ 0.
▲í✐ ❣✐↔✐✳

✣➦t f (x) = 6x2 + 11x + 4✱ t❛ ❝â



f ( x) = 0 ⇔ 


x=−

4

3

1
x=− .
2

❇↔♥❣ ①➨t ❞➜✉ ❝õ❛ f (x) ♥❤÷ s❛✉
x
f ( x)

−1
2

−4
3

−∞
+

−

0

0

+∞
+

◆❤÷ ✈➟②✱ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔
❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✷✳


4 1
− ,−
3 2

✳

❚➻♠ m ✤➸ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠
mx2 − (m + 1)x + 2m > 0.

ớ

ã
ã





t trữớ ủ s

rữớ ❤đ♣ ✶✳ ◆➳✉ m = 0✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✷✮ trð t❤➔♥❤
−x > 0 ⇔ x < 0.

❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✳ ◆➳✉ m = 0✱ t❤➻ ✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✷✮ ❧➔ t❛♠
t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝â
∆ = (m + 1)2 − 4m.2m = −7m2 + 2m + 1;
∆ = 0 ⇔ −7m2 + 2m + 1 = 0 ⇔ m1,2

❚❛ ❝â ❜↔♥❣ ①➨t ❞➜✉

✶✹

√
1±2 2
.
=
7


m −∞
a
∆

−

√
1−2 2
7
|

−

0

+

−

0


+

√
1+2 2
7
|

|

+

0

0

+∞
+

−

❚ø ❜↔♥❣ ①➨t ❞➜✉ t❛ ❝â
◦

◦

◦

◦

√

1−2 2
❑❤✐ m ≤
t❛ s✉② r❛ a < 0 ✈➔ ∆ ≤ 0✱ ❦➨♦ t❤❡♦ f (x) ≤ 0 ✈ỵ✐
7
♠å✐ x ∈ R✳ ❉♦ ✤â✱ ✭✶✳✶✷✮ ✈æ ♥❣❤✐➺♠✳
√
1−2 2
❑❤✐
< m < 0 t❛ s✉② r❛ a < 0 ✈➔ ∆ > 0✱ s✉② r❛ ✭✶✳✶✷✮ ❝â t➟♣
7
♥❣❤✐➺♠ S = (x1 , x2 )✳
√
1+2 2
❑❤✐ 0 < m <
t❛ s✉② r❛ a > 0 ✈➔ ∆ > 0✳ ❉♦ ✤â✱ ✭✶✳✶✷✮ ❝â t➟♣
7
♥❣❤✐➺♠ S = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞)✳
√
1+2 2
< m < +∞ t❛ s✉② r❛ a > 0 ✈➔ ∆ ≤ 0✱ ❦➨♦ t❤❡♦ f (x) > 0
❑❤✐
7
✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ R✳ ❙✉② r❛ ✭✶✳✶✷✮ ❝â t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ S = R


12 2
ữ ợ m >
t t ữỡ tr õ
7




ú ỵ õ t t♦→♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t➻♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❜➜t
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✱ tù❝ ❧➔ t➻♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸

mx2 − (m + 1)x + 2m < 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ R✳

✣à♥❤ ❧➼ ✤↔♦ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐
❈❤♦ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ f (x) = ax2 + bx + c ✈➔ sè t❤ü❝ α✳ ❑❤✐ ✤â✱
• ◆➳✉ af (α) < 0 t❤➻ f (x) ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t x1 , x2 t❤ä❛ ♠➣♥
x 1 < α < x2 .
✶✺


• ◆➳✉ af (α) > 0 t❤➻ f (x) ✈æ ♥❣❤✐➺♠ ❤♦➦❝ ❝â ♥❣❤✐➺♠ x1 ≤ x2 ❦❤✐
α ∈ (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞)✳
❱➼ ❞ư ✶✳✹✳✸✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❧✉ỉ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ R✳

f (x) = (5α4 + 3)x2 − (α8 + 6α4 − 3)x + α8 − 4α4 − 9 = 0.

✭✶✳✶✸✮

▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ t❤➜② 5α4 + 3 > 0 ♥➯♥ ✭✶✳✶✸✮ ❧➔ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ❳➨t x = 1✱

t❛ s✉② r❛ ✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ R✱ t❛ ❝â
f (1) = (5α4 + 3) − (α8 + 6α4 − 3) + α8 − 4α4 − 9 = −5α4 − 3 < 0✳

❙✉② r❛

af (1) = (5α4 + 3)(−5α4 − 3) = −(5α4 + 3)2 < 0✳

◆❤÷ ✈➟②✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ✤↔♦ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ t❛ s✉② r❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ f (x) = 0 ❧✉æ♥ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ x1 , x2 ✈➔ x1 < 1 < x2 ✳
✷
❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝â ♥❣❤✐➺♠
t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t➼♥❤ ∆ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ∆ ≥ 0✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥✱ ❦❤✐ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ x ♣❤ù❝ t↕♣ t❤➻ t ự 0
s ỗ ❦❤â ❦❤➠♥✳ ❉♦ ✈➟②✱ →♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ✤↔♦ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝
❜➟❝ ❤❛✐ ❦❤✐➳♥ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤÷ tr➯♥ trð ♥➯♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ ❞➵ ❞➔♥❣ ❤ì♥✳
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹✳✶✳

Ð ✈➼ ❞ư tr➯♥✱ t❛ ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ❤➺ sè ❝õ❛ x2 ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤å♥
α s❛♦ ❝❤♦ f (α) < 0 t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ❤➺ sè ❝õ❛
x2 ❝❤÷❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➜✉✱ t❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ❞➜✉ ❝õ❛
❤➺ sè ❝õ❛ x2 ❜➡♥❣ ❝→❝❤ →♣ ❞ư♥❣ ❤➺ q✉↔ rót r❛ tø ✤à♥❤ ❧➼ tr➯♥ ♥❤÷ s❛✉✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✹✳✶✳

❈❤♦ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ f (x) = ax2 + bx + c ✈➔ sè t❤ü❝ α, β

(α < β )✳ ❑❤✐ ✤â✱ f (α)f (β ) < 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f (x) ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥
❜✐➺t x1 < x2 ✈➔ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (α, β )✳
❱➼ ❞ư ✶✳✹✳✹✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❧✉ỉ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♠å✐

sè t❤ü❝ α, β ✳
f (x) = 2x2 − 2(α − β )x − αβ = 0.
✶✻


✭✶✳✶✹✮


▲í✐ ❣✐↔✐✳

❳➨t
f (α − β ) = 2(α − β )2 − 2(α − β )(α − β ) − αβ = −αβ.
f (α) = 2α2 − 2(α − β )α − αβ = αβ.

❚❛ t❤➜② f (α − β )f (α) = −αβ.αβ = −(αβ )2 ≤ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ α, β ∈ R✳
◆❤÷ ✈➟②✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✹✮ ❧✉ỉ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♠å✐ α, β ∈ R✳
✷
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹✳✷✳ ◆➳✉ f (α)f (β ) = 0✱ t❤➻ α ❤♦➦❝ β ❧➔ ♥❣❤✐➺♠✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉
α, β ❧➔ ❤❛✐ sè t❤ä❛ ♠➣♥ f (α)f (β ) ≤ 0✱ t❤➻ ❝â t❤➸ ❦➳t ❧✉➟♥ ♥❣❛② r➡♥❣ f (x)
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❈❤♦ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ f (x) = ax2 + bx + c ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ t❤ü❝ ❧➔ x1 ✈➔
x2 ✱ S = x1 + x2 ❀ α, β ∈ R✳ ✣➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ s♦ s→♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t tự
ợ số tỹ trữợ t t t ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ∆✱ af (α)✱ af (β )✱ S2 ✳
❙♦ s→♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët sè
• af (α) < 0 ⇔ x1 < α < x2 ✳
• af (α) = 0 ⇔ α


❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f (x) = 0✳


 α < x1 ≤ x 2

• af (α) > 0 ⇔ α ∈
/ [ x 1 , x2 ] : 

x1 ≤ x2 < α

❦❤✐ S2 > α
❦❤✐ S2 < α.

❙♦ s→♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤❛✐ sè
✶✼