DE THI HSG TOAN 9 MY AN 1112
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.22 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ Đề thi đề xuất học sinh giỏi cấp Huyện. Năm học 2011 - 2012</b>
<b>TRƯỜNG THCS MỸ AN Mơn : Tốn 9 ( Thời gian 150 phút )</b>
<b>ĐỀ</b>
<b>Bài 1. ( 4,0 điểm )</b>
a) Cho a = 111…11 ( có n số 1 )
và b = 100….05 ( có n – 1 số 0 )
Chứng minh rằng: ab + 1 là số chính phương.
b) Cho Un = 111…11555…55 ( có n số 1 và n số 5 ).
Chứng minh rằng: Un + 1 là số chính phương.
<b>Bài 2</b>. <b>( 3,0 điểm )</b>
Chứng minh rằng: 42n + 2<sub> – 1 chia hết cho 15 với mọi n.</sub>
<b>Bài 3. ( 4,0 điểm )</b>
Giải phương trình:
4
2 4 2
2 2 2
1 1
3 3 2 5
3 1
<i>( x</i> <i>)</i>
<i>( x</i> <i>)</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>( x</i> <i>)</i> <i>( x</i> <i>)</i>
<b>Bài 4. ( 3,0 điểm )</b>
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
CMR :
<i>a</i>
<i>b c a</i> <sub> +</sub>
<i>b</i>
<i>a c a</i> <sub>+</sub>
<i>c</i>
<i>a b c</i> <sub> 3</sub>
<b>Bài 5. (3,0 điểm).</b>
Cho hình chữ nhật ABCD . Đường thẳng vng góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB , AD
lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng: <i>BE CF</i>. <i>DF CE</i>. <i>AC EF</i>.
<b>Bài 6. (3,0 điểm).</b>
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P
đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ?
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài Đáp án Điểm
Bài 1
4,0 đ
Câu a
a) Ta có: b = 100…0 + 5 ( có n số 0 )
hay b = 10n<sub> + 5 = 999…99 + 6 ( có n số 9 )</sub>
b = 9.111….1 + 6 ( có n số 1 )
Do đó: b = 9a + 6
Vậy ab + 1 = a( 9a + 6 ) + 1 = 9a2<sub> + 6a + 1 = ( 3a + 1 )</sub>2<sub> ( đpcm )</sub>
1,0 đ
1,0 đ
Câu b
b) Ta có:
Un = 111.111555…55 = 111…11000…000 + 555….555
= 111….11.10n<sub> + 5.111…11</sub>
Đặt a = 111…111 ( n số 1 ). Khi đó:
Un = 10n.a + 5a = ( 9a + 1 ).a + 5a = 9a2 + 6a
Do đó:
Un + 1 = 9a2 + 6a + 1 = ( 3a + 1 )2 ( đpcm )
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2
3.0 đ
Đặt A = 42n + 2<sub> – 1 </sub>
Với n = 0 thì A chia hết cho 15
Giả sử A đúng với n = k, tức là: A = 42k + 2<sub> – 1 chia hết cho 15</sub>
Ta chứng minh A đúng với n = k + 1 hay A = 42( k + 1 ) + 2<sub> – 1 chia hết cho 15</sub>
Thật vậy: A = 16.42k + 2<sub> – 1 = 15.4</sub>2k + 2 <sub> + ( 4</sub>2k + 2<sub> – 1 )</sub>
Vì 15.42k + 2 <sub> chia hết cho 15 và 4</sub>2k + 2<sub> – 1 chia hết cho 15 theo giả thiết quy nạp.</sub>
Do đó A = 42( k + 1 ) + 2<sub> – 1 chia hết cho 15</sub>
Vậy A = 42n + 2<sub> – 1 chia hết cho 15</sub>
=> đpcm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3
4.0 đ
Điều kiện:
1
3
<i>x</i>
<i>x</i>
Đặt a =(x-1)2<sub> ; b = x</sub>2<sub> - 3</sub>
Phương trình
4
2 4 2
2 2 2
1 1
3 3 2 5
3 1
<i>( x</i> <i>)</i>
<i>( x</i> <i>)</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>( x</i> <i>)</i> <i>( x</i> <i>)</i>
<sub> trở thành:</sub>
2
4
2
2 2 4 2 2
4 2
2 2 2
1
2
1 1 1
1 2
1 1
<i>a</i>
<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>( a b</i> <i>)</i>
<i>Ta có : </i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a b</i>
Dấu = xãy ra khi
2 <sub>1</sub>
1
<i>a b</i>
<i>b</i>
khi đó x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
0,5 đ
0,5 đ
2,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 4
3.0đ
Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x , y ,z > 0
Khi đó ta có : 2 , 2 , 2
<i>z y</i> <i>x z</i> <i>y x</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
Do đó :
<i>a</i>
<i>b c a</i> <sub> +</sub>
<i>b</i>
<i>a c a</i> <sub>+</sub>
<i>c</i>
<i>a b c</i> <sub>= </sub>
1
2
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i>
<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
=
1 1
(2 2 2) 3
2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>y</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i>
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z <sub> a = b = c</sub>
1,0 đ
0,5 đ
Bài 5
3,0 đ F
E
D
C
B
A
Theo định lí Talet ta có : ,
<i>BE</i> <i>CE DF</i> <i>CF</i>
<i>AE</i> <i>EF AF</i> <i>EF</i> <sub> </sub>
Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được : 1
<i>BE</i> <i>DF</i>
<i>AE</i> <i>AF</i> <sub> </sub>
Nhân 2 vế với AE.AF được: BE.AF + DF.AE = AE.AF = AC.EF
( bằng 2SAEF )
<i>BE CF EF</i>. . <i>DF CE EF</i>. . <i>AC EF</i>. <sub> </sub>
Hay <i>BE CF</i>. <i>DF CE</i>. <i>AC EF</i>. <sub> </sub>
0,5đ
0,5đ
1,0đ
1,0 đ
Bài 6
3.0đ
Gọi a,b,c là độ dài các cạnh đối diện A,B,C và ha,hb,hc là các đường
cao tương ứng
Giả sử : <i>a b c</i> <sub>, khi đó </sub><i>ha</i> <i>hb</i> <i>hc</i>
Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB
=> 2SABC =a.PH + b.PK + c.PI a(PH + PK + PI)
=> PH + PK + PI
2<i>S<sub>ABC</sub></i>
<i>a</i>
= ha
Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ nhất khi P<sub>A</sub>
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
<i><b>* Ghi chú</b></i>: Mọi cách giải khác nếu đúng đều đạt điểm tối đa.
P
I
H
K
C
B
</div>
<!--links-->
