Tich phan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (214.54 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TÍCH PHÂN
A. Kiến thức cần nhớ

1. Bảng các nguyên hàm
 2. Định nghĩa tích phân

( ) ( ) ( ) ( )

b

b
a
a

f x dxF x F b F a



(F x( ) là một nguyên hàm của f x( ))

Chú ý:

1) Trường hợp ab, ta quy ước ( ) 0
a

a

f x dx



2) Trường hợp ab, ta quy ước ( ) ( )

b a

a b

f x dx  f x dx



3) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

b b b

a a a

f x dx f t dt f u du F b F a



3. Tính chất của tích phân.

1) . ( ) . ( )

b b

a a

k f x dxk f x dx



(k là hằng số);

2) [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx



;

3) ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx



(a c b)

4. Phương pháp tính tích phân

Tính tích phân ( )
b

a

I 



f x dx.
a) PP đổi biến số

* Dạng 1: B1. Đặt x( )t dx( ).t dt.

Khi xa thì tt1, khi xb thì tt2.
B2.

1
( ) ( ).

t
b

a t

I 



f x dx



g t dt.
* Dạng 2: B1. Đặt uu x( )duu x( ).dx.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

B2.

( )

( ) ( ).

u b
b

a u a

I 



f x dx



g u du.
b) PP tích phân từng phần

. ( . ) .

b b

b
a

a a

u dv u v  v du



B. BÀI TẬP

I. Sử dụng định nghĩa, tính chất
Tính các tích phân sau:

(x4).dx



3 2

dx
x



3) (2sinx 3cos ).x dx







2
2
1

x dx





2
3
1

x
dx
x




(x sin ).x dx







2
1

dx
x



2
2
1

1
(1 ).

x dx

x




4
2
0

tan x dx.





10)

2 3

2
1

x
dx
x





11)

0 9

dx
x  x



12)

2 2

sin .cos
dx

x x





13)

8
3
1

x dx





14)

0 2

x x

e e
dx






15)

2
4

2
6

3 cot
.
cos

x
dx
x







16)

3 4

( x  x x dx)



17)

cos .x dx





18)

3
4

2
6

1 sin
.
sin

x
dx
x







19)

6 2

4
.

3 x dx





20)

2
2
4

sin
dx

x





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

5
1

(2x1) .dx



1 2

3 3

0 1

x
dx
x




tan .x dx





2
0

4 .

x x dx



cos 3 .x dx





cot .x dx





7) 2

. .
x
e x dx



cos( ).
4
x dx









6
sin
0

.cos .

x

e x dx





10) 2

. x
x e dx



11)

2
3
0

sin x.cos .x dx





12)

1 ln
e

x
dx
x




13)

x

e
dx
x



14)

1 4 sin .cos .x x dx






Bài 2. Tính:

3
2(11 5 )

dx
x







4
2

0 4

x
dx
x 



2
2
1

6 1

3 1

x

dx

x x


 



1
2
0

4 5

x

dx

x x



 



20
0

(1 )
x x dx



3 2 3

(1 )

x x dx



1
x xdx



1
3
0

. 1 .
x x dx



1 2

0 2

x
dx
x 



10)

2
3
0

8 4 . x dx



11)

0 3 2

dx
x




12)

2 1

x dx
x



13)

2
3
0

3 2

x

dx
x






14)

2
0

1.
x x  dx



15)

2 3

1.
x x  dx



16)

3 2

1 .

x x dx



17)

3 2

x x  dx



18)

3 2

1 .

x x dx



19)

5 3

1 .

x x dx



20)

2
4

1 ( 1)

dx
x x 



21)

8
3
1

dx
xx

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

22)

1 5 3

2
0

2
1

x x

dx
x






23)

2
2

1
1

x
dx
x






24)

1 1

dx
x x



25)

3
2

2
1

1
dx
x x



26)

ln 2

0 5

x
dx
e 



27)

0 1

x
dx
e 



28)

.
1
x

x

e dx
e 



29)

.
1
x
x
e dx
e


 



30)

1
2
0

x x
dx
e e



31)

.
x

x e
e  dx



32)

ln 4

ln 3 4

x x

dx
e  e



33)

1
2

2
1

x
e

dx
x



34)

2ln 2

ln 2 1

x

dx
e 



35)

ln 2

x
e  dx



36)

ln 2

0 x 1

dx
e 



37)

1 ln
e

x
dx
x




38)

sin(ln )
e

x
dx
x



39)

2
2
0

cos

sin 5sin 6

x

dx

x x



 



40)

cos
1 sin

x
dx
x







41)

sin
1 3cos

x
dx
x







42)

2
3
6

cos
sin

x
dx
x





43)

3
2

2
6

cos

sin

x
dx
x





44)

3
4

3
2

cos
sin

x
dx
x







45)

2
5
0

cos x dx.





46)

2
0

sin 4
1 cos

x
dx
x







47)

4
3
0

tan x dx.





48)

2
2

sin 2
d
(2 sin )

x

I x

x











Bài 3.Tính:

2
1

1 x dx.





2 2

1 .

x x dx



2 2

4 3 .
x  x dx

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 2

2
2
2

1
.

x

dx
x





3
2
1

dx
x




2 2
3

1
2

(4 )

dx
x




1 2

2 3

0 ( 1)

x
dx
x 



1
2

1 1

x
dx

x x





 

1
4
0

.
1
x dx
x 



10)

1 3

0 1

x dx
x 



11)

2
1

1
dx
x x



12)

ln 2

1.
x
e  dx



13)

ln 5

.
3
x x

x
e e

dx
e






14)

1 2

2 3
0

.
(4 )

x

dx
x




15)

2
1

2
0

ln( 1 )

.
1

x x

dx
x

 





16)

2
1

2
0

.ln( 1 )

.
1

x x x

dx
x

 





III. Tích phân từng phần
Tính các tích phân sau:

1)
2
0

(2x 1).cos .x dx







2) 2

.sin .
x x dx





.sin .
x x dx





4)
2

2
0

.cos .
x x dx





3
2
4

.
sin

x
dx
x





4
2
0

.
cos

x
dx
x





7)
3

2
3

.sin
.
cos
x x

dx
x








sin
.
1 cos

x x

dx
x








2
0

(1 ) x.
x e dx




10)

ln 2

0
. x.
x e dx



11)

2 2
0

( 1) . x.
x e dx



12)

1
2
1

. .x

x e dx





13)
4
1

.
x

e dx



14)

2
0

.cos .
x

e x dx





15)

2
0

.sin .
x

e x dx





16)
2

2
0

.sin .
x

e x dx





17)

1
2
0

.sin ( ).
x

e x dx



18)

4
3
0

.sin 4 .
x

e x dx



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

19)
1

.ln .
e

x x dx



20) 2

.ln .
e

x x dx



21) 2

.ln .
e

x x dx



22) 2
1

( 1) ln

e

x  x xdx



23)

2
1

(3x2).ln .x dx



24)

2
0

.ln(1 ).
x  x dx



25) 2

(1 ln ) .
e

x dx




26) 2

( .ln ) .
e

x x dx



27)

2
2

.ln( 1).
x x dx



28)
2

2
1

ln
.
x

dx
x



29)

cos(ln ).
e

x dx





30)

2
0

sin .ln(1x cos ).x dx







31)

2
3

2
1

1
.

x
dx

x





32)

2
1

2
0

.ln( 1 )

.
1

x x x

dx
x

 





IV. Tích phân dạng ( ) .
b

a

f x dx



.

Cách giải:“Tìm nghiệm - Tách cận - Khử dấu giá trị tuyệt đối”.
Bài 1.Tính:

1 .

x dx







2 .

x dx



1 cos 2
.
2

x
dx

 



2
2
0

.
x x dx



2
2
0

2 3 .
x  x dx



3
2
3

1 .
x dx






2
4
2

1 .

x dx





(x 2 x 2 ).dx



  



2
1

( 2x 1 x) .dx



 



10)

1
2

1
.

x dx

x




11) 2

1 sin x dx.







12)

1 sin 2 .x dx







13)

1 sin .x dx







14)

1 sin .x dx








15)

1 cos
.
2

x
dx

 



16)

1 tan x dx.








17)

sinx dx







18)

cos . sin .x x dx





Bài 2. Cho hàm số 3 2

( ) 3 4 1

f x  x x  x ; 3 2

( ) 2 3 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1. Giải bất phương trình: f x( )g x( ).
2. Tính:

( ) ( ) .

I f x g x dx







 .

V. Tích phân dạng ( )
( )
b

a
P x

dx
Q x



Tính các tích phân sau:

2 1

1
x

dx
x






1 2

0 1

x
dx

x



1 2

3 2

x x

dx
x

 





3 2

2 3 1

x x

dx
x

 





2 3

0 2 1

x

dx
x  x



(x 2)(x 3)dx





 

1
2

1 4

dx
x







0
2

1 4 3

dx

x x





 

5
2
3

3 2

x

dx

x x



 



10)

1
4
2

0 1

x
dx
x 



11)

2
2
1

dx
x x



12)

1
2

0 2

dx
x  x



13)

1
2
0

4 11

5 6

x

dx

x x



 



14)

5
2
4

3 7
5 6

x

dx

x x



 



15)

3
0

2
( 1)

x
dx
x



16)

0 (2 1)

x
dx
x



17)

3
2

2 4 5

dx
x  x



18)

1
2
0

1
3 2

I dx

x x



 



19)

1
2
0

4 5
3 2

x

I dx

x x




 



20)

1 2

2
0

3 10

2 9

x x

dx

x x

 



21)

1 3 2

2
0

2 10 1

2 9

x x x

dx

x x

  

 



VI. Lượng giác.

Bài 1. Tính:

cos 5 .cos .x x dx





sin 2 .cos 3 .x x dx





sin .sin 4 .x x dx





4) 2

sin x dx.





2
4
0

cos 2 .x dx





4
4
0

sin x dx.



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2
2
0

cos x.cos 4 .x dx





2
3
0

cos x.sin 2 .x dx





2 3

sin x.cos x dx.





10)

cos
1 cos

x
dx
x







11)

3
2

cos
cos 1

x
dx
x







12)

4 4

cos 2 .(sinx x cos x dx).







13)

sin
1 cos

x
dx
x







14)

4
4
0

tan x dx.





15)

2 3

sin 2 .(1 sinx x) .dx







16)

3 3

(sin x cos x dx).







17)

4
4
0cos

dx
x





18)

3
3
0

sin x dx.





19)

3
4

2
0

sin
cos

x
dx
x





20)

sin 3
1 cos

x
dx
x







21)

3
2

4 sin
cos 1

x
dx
x







22)

sin cos
sin cos

x x

dx

x x








23)

2
0

cos
11 7 sin cos

x

dx

x x



 



24)

0 cos

dx
x





25)

0 2 cos

dx
x







26)

2
6

sin

cos

x
dx
x





27)

0 2 sin

dx
x







28)

01 sin cos

dx

x x



 



29)

01 sin 2

dx
x







30) 2

.sin .cos .
x x x dx





Bài 2.

2 2

cos .cos 2 .

I x x dx







;

2 2

sin .cos 2 .

J x x dx






1. Tính IJ và IJ . 2. TínhI vàJ.

VII. Chứng minh

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức:

2
2
1

2 1

5 1 2

x
dx
x

 





3 cot 1

12 3

x
dx
x



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1
2

2000
0

2 1

dx
x



 





4) 2

1



e dxx e
5)

1
(1 )

4
x x dx



2
0

(1 )

27
x x dx



3 sin 1

4 2

x
dx
x







 8)

2 3

6 4 8

dx
x x

  

 



Bài 2.Chứng minh:

2 2

0 0

(sin ). (cos ).

f x dx f x dx

 





Bài 3.Chứng minh:

0 0

. (sin ). (sin ).
2

x f x dx f x dx

  





. Áp dụng tính:

2
0

.sin
1 cos
x x

dx
x







Bài 4.Chứng minh nếu f x( ) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn
[a a; ] (a0) thì

( ). 2 ( ).

a a

a

f x dx f x dx







. Áp dụng:

1 1

cos cos

1 0

. 2 .

x x

e dx e dx







Bài 5.Chứng minh nếu f x( ) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn

[a a; ] (a0) thì ( ). 0
a

a

f x dx







. Áp dụng:

6 7

sin . 0

x x dx









Bài 6.Chứng minh nếu f x( ) là hàm số lẻ thì ( ). ( ).

x x

a a

f t dt f t dt








Bài 7.Chứng minh:

1) sin . (cos ). 0
a

a

x f x dx







2) 2 2

cos . ( ). 2 cos . ( ).

a a

a

x f x dx x f x dx





</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

1 1

0 0

(1 ) . (1 ) .

m n n m

x x dx x x dx



4) cosmx.cosnx dx. sinmx.sinnx dx m. ( n) 0

 

 

  



2 2

0 0

(tan ). (cot ).

f x dx f x dx

 





0 0

( ). ( ).

b b

f x dx f bx dx



3 2

0 0

. ( ). . ( ). ( 0)
2

a a

x f x dx x f x dx a



VIII. Bài tập tổng hợp
Bài 1. Tính các tích phân sau:

2
sin
0

(e x x).cos .x dx







1
2
0

(e xsinx dx)



5 3

(x 3x x) cos .x dx



 



2 2

0( 3 2)

dx
x  x



1
2

2 2

2
2

1 3

( )

dx
x  x



1
2
0

( )

x
e dx
x 




3
2

2 1

dx
x 



3
6

tan
.

cos 2

x
dx
x





cos . sin .x x dx





10)
2

1 1

( )

ln ln

e

dx
x x



11)

sin
.
3x 1

x
dx









12)

ln( 3 1)

ln 2

x
e dx







13)

1 sin
(1 cos ) x

x
dx
x e







14) ln( 2 2).

a

x x b dx



 



15)

1
2

1
cos .ln

x

x dx

x









16)

1
3
0

3
1

dx
x




17)

2
0

cos
.
1 cos

x
dx
x







18) 2

sin .cos .
x x x dx



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

19)

2
2
0

cos .

x x dx





20)

2
2

sin
.
cos 3

x
dx
x







21)

4
4

tan
.
cos 2

x
dx
x





22)

1 sin
1 cos

x

x
e dx
x







23)

ln(1 tan ).x dx







24)

2
0

ln(1 )
1

x
dx
x





25)

1 4

6
0

1
1

x
dx
x





26)

3 2

4 x
dx
x




27)

0 ( 1) 1

dx
x x  x



28)

11 1

xdx
x

 



29)

(4 3)

2 3 1

x dx
x


 



30)

4 2

sin .

cos (tan 2 tan 5)

x dx

x x x



  



31)

4 2

3 1

x

dx

x x



 



32)

2 3
2
5

1
4

dx
x x 



33)

sin .sin 2 .cos 5
1

x

x x x

dx
e



 



34)

sin 2 sin
1 3cos

x x

dx
x








35)

2sin 2 sin
6 cos 2

x x

dx
x








36)

1
3 1
0

x

I 



e dx

37)

1 2

0 4

x
dx
x 



38) 2

1 ln d

e

x

x x

  

  

 



39)

3
2

4 2

cos

cos 3cos 3

x

dx

x x



 



40)

2
4

tan
cos 1 cos

x

dx

x x







41)

3
1

dx
x x



42)

4
0

sin 2
1 cos

x
dx
x







43)





1 3 3

4
1
3

x x

I dx

x






44)

4
2

tan
cos 2

x

I dx

x







45)

3
0

sin
(sin 3 cos )

x

dx

x x







46)

2 sin

2 cos cos
2

x

x x e dx



  

 

 



47)

2 2

3
4

2tan

cos d

x

e x

x x x

x x



 

 

    

  

 



Bài 2. a) Tính:

4
4
0

tan n . ( )
n

I x dx n



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) Tìm x0 sao cho

2
2
0

1
( 2)

x t

t e
dt

t 



c) Giải PT: 2

sin 2 . 1 cos . 0
x

t  t dt



Bài 3.

2
6

sin

.
sin 3 cos

x

I dx

x x








;

2
6

cos

.
sin 3 cos

x

J dx

x x








a. Tính IJ và I3J .

b. TínhI,J,

3
2

cos 2
.
cos 3 sin

x

K dx

x x









Bài 4.

2
2

sin
2 cos 3sin

x

I dx

x x









2
2

cos
2 cos 3sin

x

J dx

x x









a) Tính 9I4J và IJ

b) TínhI vàJ.
Bài 5.

5.1. Tính:

1) 2

(1 cos ) x dx



2) 1

(1x)(1 2 ) x dx



3
2

1
1
x

dx
x






(1x e dx2) 2x
5.2. Tính:

1
3 2 xdx



(1 x)sin cosx xdx







3
2
0

x  x dx



ln(1 )

x x dx



Bài 6.

3/00.

1
2
0

1
3 2

I dx

x x



 



1 2 2

1
( 3 2)

J dx

x x



 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a) Tìm



g x dx( ) b)

( )
1
x
g x

I dx

e










2) ( ) sin 2 2
(2 sin )

x
h x

x




a) TìmA,B sao cho ( ) cos 2 cos
(2 sin ) 2 sin

A x B x

h x

x x

 

 

( )
I h x dx








9/00. 1)

1
3
0

3
1

I dx

x






2) CMR với m n,  , mn: cosmxcosnxdx sinmxsinnxdx 0

 

 

 



11/00.

1 sin
1 cos

x

I e dx

x










2/01.

4
4
0

sin

I xdx







1
2
0

sin ( )
x

J 



e x dx

3/01. CMR:

3 cot 1

12 3

x
dx
x









6/01. 1) CM bất đẳng thức:

1
2

2000
0

2 1

dx
dx

x



 





sin cos
sin cos

x x

I dx

x x











9/01.

ln(1 tan )

I x dx



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

9/02.
2

2 2 2

( , )

x

I 



f x a b x dx.
1)

1 2

2 3

0 (4 )

x

I dx

x






2 2

4 3

J 



x  x dx

3/03.

2
4

4 2

sin

cos (tan 2 tan 5)
x

I dx

x x x






 



*4/03.

1 4

6
0

1
1

x

I dx

x







*5/03.

2
0

ln(1 )
1

x

I dx

x







*7/03.

2 3
2
5

1
4

I dx

x x






TQ: I 



f x dx( )

+ f x( )x ax2b hoặc

( ) ax b

f x

x


 . Đặt t ax2b
+

1
( )

( )

f x

mx n ax bx c


   . Đặt

mx n
t
 

12/03.

2
2
0

I 



x x dx

1/04. Tìmx sao cho

2
2
0

1
( 2)

x t

t e
dt

t 



4/04. Giải phương trình: 2
0

sin 2 1 cos 0
x

t  tdt



5/04.

4 2

3 1

x

dx

x x



 



7/04.

11 1

x

I dx

x


 



4 3
2 3 1

x

J dx

x



 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

TQ: I P x( ) dx
ax b c


 



. Đặt u ax b c
4/05.

2 2

ln( )

I x x a dx







 

5/05.

1 sin
(1 cos ) x

x

I dx

x e










7/05.

sin 2 sin
1 3cos

x x

I dx

x










2 sin 2 sin
6 cos 2

x x

J dx

x











TQ: sin 2 sin

cos

a x b x

I dx

c d x







. Đặt u cdcosx

1/06.

1
2
0

4 5
3 2

x

I dx

x x




 



2/06.

1
3 1
0

x

I 



e dx

*3/06.

1 2

0 4

x

I dx

x






4/06. 2

ln
1 ln
e

x

I x dx

x x

 

   



 



5/06.

3
2

4 2

cos

cos 3cos 3

x

I dx

x x





 



2/07.

2
2

sin
2 cos 3sin

x

I dx

x x









2
2

cos
2 cos 3sin

x

J dx

x x









a) Tính 9I4J và IJ b) Tính I vàJ.
3/07.

2
4

tan
cos 1 cos

x

I dx

x x







</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

3/08. a)

3
1

1
1

I dx

x x







. b)

4
0

sin 2
1 cos

x

I dx

x








*4/08.





1 3 3

4
1
3

x x

I dx

x





5/08.

2 2

3
4

2 tan
cos

x

e x

I x x dx

x x



 

 

 

     

 

 



6/08.

2 sin

2 cos cos
2

x

I x x e dx



 

   

 



7/08.

4
2

tan
cos 2

x

I dx

x







. TQ: Dạng (tan )
cos 2

f x

dx
x



hoặc (tan )

sin 2

f x

dx
x



1/09.

sin

(sin 3 cos )

x

I dx

x x









Bài 7.
7.1. Tính:



2 .3 .5 dx 2x 3x x 2)



(2x1) d20 x 3) sin d
1 3cos

x x
x




x(1x)100dx 5)
2

ln ln(ln )
d
e

e

x x

x
x





6) 1 d

1 2 x x



2 d

x
x

e
x

e 



3 2

2 d

x  x x x



1
d

1 x

x  x



10)

1 ln
d
e

x
x
x




7.2. Tính các tích phân sau:

1
d
1 x
x



2
0

1
d
4

x
x




3) 2

ln
d
(ln 1)
e

x

x
x x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

ln 2 2

d
1
x

x
e

x
e 



d
1 1
x

x

x 



3
3
1

1
dx
xx



1
2

2
0

1 ln1 d
1
1

x x
x
x







1
2
0

1 d

3 2 x
x  x



1 3

2
0

d
1
x x
x 



10)

1 3

d
1
x

x
x



11)

ln 5

ln 3

2 3

x x x

e  e 



12)

2 4

2
0

d
1
x

x
x 



13)

3 d

3 1 3

x x

x x




  



14)

2 2

2
0

4 11d

4 5

x x x

x x

 



15)

1 3

2
0

2 1

x x

x  x



16)

1d

x x

x




17)

2 3

1d
x x  x



18)

1 3

3 2

d
1

x x

x




19)

3 2

1 d

x x x



20)

ln 5 2

ln 2

d
1
x

x
e

x
e 



21)

2 3

2 cos

d
1 sin

x
x
x







22)

2
1

1 d

1 ln
e

x
x  x



23)

1 cos 2 dx x







24)

1 d

sinx cosx 1 x



 



25)

7
3
0

2
d

1
x

x
x






26)

d
( 1)(2 1)

x

x
x x



27)

2 3
2
5

d
4

x
x x 



28)

2
2
0

sin x xd





29)

2 2

sin cos d
1 cos

x x x
x







30)

2
0

sin 4 d
1 cos

x x
x







7.3. Tính các tích phân sau:

2
2
1

ln(1 )
d
x

x
x





1
2
0

ln( 1)d
x x  x



1
2 2
0

d
x
x e x



d
x
e x



3
2
2

ln(x x x)d



6) 2

1
3
0

d
x
x e x



2 ln(1 )d
e

x x x



8) 2

ln
d
e

x
x
x



4
2
2

ln(x 1)dx

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

10) 2

sin d
x x x





Bài 8. Tính:

1)  

6 2

1 d

1 x

x x



2 2

4 x dx
x




1 d

ln .ln
e

e

x
x x ex



3
2

2
1

log

d
1 3ln
e

x
x

x  x



sin cos 1 d
sin 2 cos 3

x x x

x x



 

 







2 1

1
2

1 x xd

x e x

x


 



4
3
0

sin
d
cos

x x

x
x





 

2
0

1
d

1 1 2

x

x
x


 



1
2
0

2 2d
x x  x x



10)





3ln 2

2
3

1
d
2
x

x
e 



11)

ln 3 2

ln 2

1 2

x

x x

e x

e   e 



12)





2
0

ln 1 1x dx



13)

5 2

1
d

3 1

x

x
x x






14)

1
sin sin d

x x x







15) 2

3 sin

sin .cosx x e. xdx





16)
3

2 2

5 2

1
d
4

x
x  x



17)

6 6

sin 2

d
sin cos

x
x

x x







18)

2 4

sin 4 d
cos tan 1

x x

x x







19)

2
1

d
4 3ln

e

x

x  x



20)

2 2

1 1

x x

x   x 



21)

 

4
0

cos 3
d
1 2 sin

x
x
x







22)
32

2
1

1
d

x x

x




23)

1
4

d
1 2

x
x
x




24)

cos
d
cos 1

x x
x
x







25)

1 2

2
0

d
x

x x

x e
x
xe e






26)

1 ln
d
( ln )

e

x
x
x x x






27)  

tan .ln cos
d
cos

x x

x
x





28)

d
sin 2 2 sin

x

x x



 



29)





cot d
sin sin

x x

x x







30)  

 

2
0

3sin 2 cos d
sin cos

x x x

x x






</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

31)

3 2

ln 2 ln d
e

x x

x
x





32)

2
2
2

0 1

x
x
x




33)

tan

4 d
cos 2

x

x
x

   



 

 



34)

2
4

sin
1

x
x
x x



  



35)

22 1 4 1

dx
x  x



36)

 

2
1

1 d

x
x
x




37)

ln
1d

x
x
x



38)

sin
d
cos 2

x
x
x





39)

2
0

sin

cos sin 3

x x

x x







40)

1 d

x
x
x





41)





5 2 2

4 d

x x x x



 



42)



 





2
0

2 ln 4 d

x x  x x



43)







2 2

1 3 1 d

x

x x x x



   



44)  

2 ln 1

1 d

x

x x x

x

  

   

  

 



45)





2 ln 2 ln

e

x

x  x  x



46)   

4 4 6 6

sin x cos x sin x cos x dx


 



47) sin 2

3 4sin cos2 d
x

x

x x

 



48)

2 2

2
1

4 x d
x
x





49)

2 2

3
1

1 x d
x
x x






50)

2
1

1 1

dx
x x





  

51)

8
2
3

1
1

x

x
x






52)

1 1

1 2 sinx 1 2 cosx dx



  

   

 



53)  

sin
4

sin 2 2 sin cos 2

x x

x x x

   



 

 

  



54)





x 1x2



dx 55) 3 5
sin .cos

dx

x x



56) bln2. Tính

ln10
3

x

x
b

e

I x

e






và tìm

ln 2

</div>