chuyen de MTBT danh cho THCS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (590.01 KB, 78 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN MỞ ĐẦU

HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG MTBT Casio fx -500MS ĐỂ HỖ TRỢ GIẢI
TỐN

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Cùng với việc đổi mới PPDH nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học và kích
thích ham muốn học hỏi tìm tịi khám phá trong học tập và áp dụng vào trong thực
tế cuộc sống, việc hướng dẫn học sinh THCS nói riêng và học sinh nói chung sử
dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính tốn là việc làm cần thiết trong dạy học. Do
tính hữu dụng và thiết thực của MTBT và điều kiện kinh tế xã hội cho phép, hoạt
động ngoai khố tốn học nói chung và ngoại khố MTBT nói riêng trong các nhà
trường nhằm mục đích :

- Mở rộng và nâng cao phần tri thức về MTBT của học sinh đã được học ở
tiểu học

- Phát triển tư duy thuật tốn ở HS, hợp lí hố và tối ưu hoá các thao tác,
hỗ trợ đoán nhận kết quả bằng các phép thử, để kiểm tra nhanh kết quả
tính tốn theo hướng hình thành các phẩm chất của người lao động có kĩ
năng tính tốn.

- Tạo ra mơi trường và điều kiện cho hoạt động ngoại khoá toán phong phú
ở bậc học THCS và THPT

Nhờ có MTBT mà nhiều vấn đề được coi là khó đối với chương trình mơn tốn đã
được giảm nhẹ đi rất nhiều. Ví dụ như:

-B tốn phân tích một số ra thừa số ngun tố, tìm ƯCLN,BCNN, việc
tính giá trị của các biểu thức số,tính tỉ số phần trăm…. ở lớp 6

-Bài tốn tính giá trị các liên phân số, tính giá tri của biểu thức đại số,bài
toán thống kê… ở lớp 7

-Bài tốn tìm dư trong phép chia đa thức,thuật tốn hoocner,tìm nghiệm
của phương trình,tính tốn các tỉ số cũng như các độ dài doạn thẳng trong hình đồng
dạng….ở lớp 8

-Bài tốn giải phương trình bậc hai, giải hệ phương trình, giải tam giác
vuông,căn bậc n…..ở lớp 9

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Xuất phát từ những mục đích ý nghĩa nêu trên từ nhiều năm nay thông qua các
tiết ôn tập, các bài thực hành, các buổi ngoại khố, ơn thi…tơi đã nghiên cứu học hỏi để
tìm ra những phương pháp hướng dẫn HS sử dụng MTBT hỗ trợ tính tốn một cách có
hiệu quả phục vụ cho học tập.

II.Mục đích nghiên cứu đề tài

Đề tài này nghiên cứu với một mục đích duy nhất là nhằm trang bị cho HS những kĩ
năng cơ bản cần thiết để các em có thể sử dụng thành thạo MTBT hỗ trợ cho việc học
tập của bản thân.

III.Phạm vi áp dụng:

Đề tài này được áp dụng vào việc hỗ trợ tính tốn cho giảng dạy mơn tốn nói riêng và
một số mơn khoa học tự nhiên nói chung, đây cũng là một tài liệu để các đồng nghiệp
cùng tham khảo trong bồi dưỡng HS.

IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

1. Sơ lược về cách sử dụng MTBT

2. Hướng dẫn HS giải tốn đại số và hình học khi sử dụng MTBT loại fx-500MS; fx

-570MS ở các lớp 6, 7, 8, 9.

3. Một số dạng toán hay sử dụng MTBT để tính tốn
V. TỔ CHỨC THỰC HIỆN NGHIÊN CỨU:

1.Thời gian:

Tthời gian hướng dẫn HS cách sử dụng MTBT lấy trong trong quĩ thời gian dành
cho hoạt động ngoài giờ lên lớp đã nêu trong biên chế năm học

2.Cách thức thực hiện:

Khi hướng dẫn HS sử dụng MTBT, GV cần phải đảm bảovừa mô tả trên bảng
đồng thời vừa làm mầu trên máy để HS tiếp thu nhanh và chính xác việc sử dung
MTBT vào giải tốn.

PHẦN NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I. CƠ SỞ LÍ LUẬN

Trong thực tế khi giảng dạy cho HS một số các bài tốn địi hỏi phải có kĩ năng tính
tốn hoặc suy luận ở mức độ cao và yêu hoàn thành trong khn khổ thời gian hạn hẹp
thì phần lớn HS thường có tâm lí căng thẳng hoặc khơng có hứng thú học tập, bởi lí do
là các em ngại tính toán ( chẳng hạn kết quả của phép toán x5=35 => x=?). Vì vậy để

giúp HS tính tốn nhanh và đơn giản hơn và đỡ lãng phí tốn thời gian đồng thời kích

thích sự tập trung cao độ của HS vào việc giải toán ta nên hướng dẫn HS cách sử dụng
MTBT hỗ trợ các hoạt động tính tốn trong khi học.

II. NỘI DUNG CHI TIẾT

A.Sơ lược về máy tính CASIO fx- 500MS; fx- 570MS
1.Giới thiệu một số các phím ghi trên máy tính

a . Các phím chung

 ON mở máy

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 OF tắt máy

 Replay di chuyển con trỏ

 …. Các phím ghi số

 +, -, , , = các phép tính cơ bản
 DEL: xố kí tự vừa ghi lầm

 INS: ghi chèn thêm kí tự

b. Các phím nhớ

 RCL gọi số nhớ
 Sto gán số nhớ

 M+ cộng thêm vào số nhớ

 M- trừ bớt đi ở số nhớ

 M số nhớ có cộng thêm hay trừ bớt đi do ấn M+, M-

 A, B, C, D, E, F, X, Y các ô ghi số nhớ

 Ans gọi lại kết quả vừa tính (do ấn dấu =, StoA,StoB…, M+, M- )

 CLR menu xoá:Scl( xoá thống kê),Mode(mode),All(chỉnh máy,reset lại)
 ; dấu cách hai biểu thức

c.Các phím đặc biệt

 Shift thay đổi(vị trí) ấn kèm khi sử dụng các phím có chữ màu vàng ghi phía

trên các phím nổi

 MODE chọn mode (chương trình)
 ( ; ) mở ngoặc, đóng ngoặc

 EXP nhân với luỹ thừa của 10
 π số pi

 0’’’, 0’’’ nhập số đo độ phút giây

 ALPHA ấn trước khi gọi các phím chữ màu đỏ
 DRG ⊳ đổi đơn vị giữa độ, rađian, grad
 Rnđ làm trịn giá trị

d. Các phím hàm

 Sin sin
 Cos cosin
 Tan tang
 Sin-1 arcsin
 Tan-1 arctang
 Cos-1 arccos

 10x hàm mũ cơ số 10
 √❑ căn bậc hai

 3

√❑ căn bậc ba

 x2 bình phương

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 x3 lập phương

 ENG, ENG chuyển ra dạng a x 10x, giảm n, tăng n
 a ❑b c , d/c ghi hỗn số, phân số

 x-1 nghịch đảo
 x! giai thừa

 mũ

 x

√❑ cxăn bậc x

 % phần trăm

 Ran# số ngẫu nhiên

e. Phím thống kê

 DT, , nhập dữ liệu, cách tần số, cách hai biến.
 S.SUM gọi menu( thực đơn-bảng chọn)

∑

X2 ,

∑

X ….

 S.SVA gọi menu( thực đơn-bảng chọn) X , X δ n ….
Chú ý khi sử dụng MTBT

 ấn nhẹ nhàng bàn phím bằng các đầu ngón tay ở mỗi lần ấn phím, khơng được

đùng các vật khác để ấn phím

 Tất máy: ấn phím Shift đồng thời với phím OF
 Mở máy ấn phím ON

 Các phím chữ vàng được ấn sau Shift
 Các phím chữ đỏ được ấn sau ALPHA

2.Các mode

- ấn MODE một lần hiện menu

COMP tính tốn bình thường, các hàm
SD thống kê một biến

REC

- ấn MODE 2 lần hiện menu
EQN chọn 1

Muốn chọn giải phương trình chọn ⊳ chọn 2 nếu giải phương trình bậc hai một ẩn
số, chọn 3 nếu giải phương trình bậc ba một ẩn số

Muốn chọn giải hệ phương trình chọn 2 nếu giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, chọn
3 nếu giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn số

ấn MODE 3 lần hiện menu:

Deg: 1 chọn đơn vị đo góc là độ
Rad: 2 chọn đơn vị đo góc là rađian
Gra: 3 chọn đơn vị đo góc là grat
Ấn MODE 4 lần hiện menu:

Fix: 1 chọn số chữ số ở phàn thập phân
Sci: chọn hiện số dạng a. 10x

; ,

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Norm: chọn hiện số dạng thường
ấn MODE 5 lần hiện menu:

Disp:1: ấn tiếp

ad/c 1 chỉ ghi phân số và hỗn số

d/c 2 chỉ ghi phân số.

B.HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG MT ĐỂ TÍNH TỐN
5.4-Tìm ƯCLN của các số? (Ta sử dụng thuật toán Ơclide)
Nhận xét:

Nếu a không chia hết cho b, giả sử a = b.q + r

gọi d là ƯCLN của a và b, thế thì ta có a = d.a’; b = d.b’
thay vào (1) ta được d.a’= d.b’.q + r

hay d.a’ = d.(b’.q) + r

theo tính chất chia hết của một tổng thì r cũng chia hết cho d.
thế nên ƯCLN (a;b) = ƯCLN(b;r).

Dựa vào nhận xét trên ta lập quy trình tìm ƯCLN(a;b) như sau:

a SHIFT STO A :

b SHIFT STO B :

ALPHA A abc ALPHA B  SHIFT abc

-Nếu kết quả là phân số

m

n thì B:n = (được kết quả là ƯCLN(a,b))

-Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách

Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức A – c.B → D
Bài toán trở về tìm ƯCLN(B,D).

Ta nhập vào máy biểu thức:

ALPHA B abc ALPHA D  SHIFT abc

-Nếu kết quả là phân số

p

q thì D:q = (được kết quả là ƯCLN(a,b))

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cứ tiếp tục làm như vậy đến khi kết quả của dòng lệnh dạng

ALPHA A abc ALPHA B  SHIFT abc

là một phân số thì chia mẫu cho mẫu sẽ được ƯCLN.

VD1: Tìm ƯCLN(44 505; 25 413)
Cách làm:

44505 SHIFT STO A :

25413 SHIFT STO B :

ALPHA A abc ALPHA B  SHIFT abc

Kết quả máy báo là một phân số

m

n =

345
197
Khi đó ta lấy mẫu số của phân số

A

B chia cho mẫu của phân số
m

n

tức là B:n ( ALPHA B 197  129)

Vậy ƯCLN(44 505; 25 413) = 129.
VD2: Tìm ƯCLN(4 107 530669; 4 104 184 169)
Cách làm:

4107530669 SHIFT STO A :

4104184169 SHIFT STO B :

ALPHA A abc ALPHA B  SHIFT abc

Kết quả máy báo là một số thập phân 1,000815387

Ta đi tìm số dư: A – 1.B → A

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA B abc ALPHA A  SHIFT abc

Kết quả máy báo là một số thập phân 1226,410928. (lấy phần nguyên là 1226)

Ta lại đi tìm số dư: B – 1226.A → B

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA A abc ALPHA B  SHIFT abc

Kết quả máy báo là một số thập phân 2,43351908. (lấy phần nguyên là 2)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA B abc ALPHA A  SHIFT abc

Kết quả máy báo là một phân số

m

n =

14177
6146
Khi đó ta lấy mẫu số của phân số

B

Achia cho mẫu của phân số
m

n

tức là A:n ( ALPHA A 6146  97)

Vậy ƯCLN(4 107 530 669; 4 104 184 169) = 97

1.Đối với lớp 6

Trong chương trình tốn lớp 6 có rất nhiều bài tốn cần có sự hỗ trợ tính tốn của máy
tính và trong PPCT có hẳn một số tiết ghi rõ cần có sự trợ giúp của máy tính cầm tay
như tiết 93, 94, 105, 106.

1.1 Phép cộng và phép nhân số tự nhiên

ví dụ: Tính

a, 3214 765
b, 765 + 5342
c, 3245 4976
d, 3456 +25473

khi ấn số để ghi lên màn hình ta ấn lần lượt như các số ghi trên giấy
a, 3214 765 và ấn = ta có kết quả 2458710

b, 765 + 5342 và ấn = ta có kết quả 6107

c, 3245 4976 và ấn = ta có kết quả 16147120
d, 3456 +25473 và ấn = ta có kết quả 28929

cần chú ý máy tính khoa học trong đó có máy tính casio fx 500 MS là máy tính có tính

ưu tiên, tức là máy đọc cả biểu thức rồi áp dụng thứ tự thực hiện phép tính như học sinh
đã được học để tính tốn riêng dấu nhân trước dấu ngoặc thì có thể bỏ qua.

ví dụ: 77 (234 +542) thì có thể ghi trên máy như sau77(234 +542)

1.2 Phép trừ và phép chia số tự nhiên

ví dụ: Tính :
a, 329 - 134
b, 497 - 154
c, 87912 : 132
d, 15210 : 234

Hướng dẫn cách tính:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b, ấn 497 – 154 và ấn = ta có kết quả 343
c, ấn 87912 132 và ấn = ta được kết quả 666
d, ấn 15210 234 và ấn = ta được kết quả 65

1.3.Phép tính hỗn hợp :

VD : Tính :

a, 315 – 387 : 9 + 476 : 17. 59
b, ( 49407 – 3816 ) : ( 114 + 53 )

Chú ý: Dờu nhân đặt trước dấu ngoặc có thể bỏ qua, tuy nhiên cần phân biệt:

Phép nhân tắt ưu tiên hơn phép nhân thường Phép nhân tắt ưư tiên hơn phép chia
VD: 76ì(45+36)=76(45+36)

36ữ3ì(4+2)=72
36÷3(4+2)=72

1.4. Phép chia có số dư:

a. Tìm số dư của phép chia A cho B (A,B Z, B ≠ 0)?
bằng A – B Phần nguyên của (A ÷ B)

Cách làm: a SHIFT STO A :

b SHIFT STO B :

Lập biểu thức: A : B =

Lấy phần nguyên c (số ngun lớn nhất khơng vượt q số đó) của kết quả thì đó chính
là thương của phép chia A cho B.

Sau đó lập biểu thức: A – c.B =

Kết quả này là số dư của phép chia.

VD: Tìm thương và dư của phép chia (320+1) cho (215+1)?
Cách làm:

3 ^ 20  1 SHIFT STO A :

2 ^ 15  1 SHIFT STO B :

ALPHA A  ALPHA B  (106 404,9682) → thương là 106 404.

ALPHA A - 106404 ALPHA B  (31 726) → sốdư là 31 726.

VD : Tìm số dư của phép chia 9124565217 123456
Ta có : 9124565217 123456 = 73909,……….

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài tập tự giải: Tìm số dư trong các phép chia sau:

1)9124565217 cho 123456 2)987896854 cho 698521

b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:
 Phương pháp:

Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)

- Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu
khi chia cho B.

- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu
cịn nữa tính liên tiếp như vậy.

VD1: Tìm dư trong phép chia
2345678901234 4567

B1: 234567890 4567 dư 2203
B2: 22031234 4567 dư 26

Ta có: 2345678901234 4567 = ( 234567890 104 + 2201234) 4567

⇒ (2203 104 + 26) 4567 = 482,379……..

(2203 104 + 26) - 4567 482 = 1732
Vậy dư là 1732

VD 2: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.

Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567. KQ số dư là 26.

Bài tập tự giải: Tìm số dư của các phép chia:

a) 983637955 cho 9604325 b)903566896235 cho 37869.

c)1234567890987654321 : 123456
1.5. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên :

a, Tính : 52 ; 34 ; 210

b, Cho biết chữ số cí cùng của: 72005

Giải:

a, ấn 5 x2 = 25

ấn 3 ^ 4 = 81
ấn 2 ^ 10 = 1024
b, ta có : 74 = A1

⇒ (74)2005 = A1 501 7 = B1 7 = C7

Vậy 72005 có chữ số tận cùng là 7
1.6.Phép đồng dư:

* Phép đồng dư:

+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho m ( m khác 0) có cùng số dư ta nói a
đồng dư với b theo modunm ký hiệu a b (modunm)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a b (mod )m  b a (mod )m

a b (mod );m b c (mod )m  a c (mod )m

a b (mod );m c d (mod )m  a c b d   (mod )m

a b (mod );m c d (mod )m   ac bd (mod )m

a b (mod )m  an bn(mod )m

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19
Giải:





6 2 3

12 144 11(mod19)

12 12 11 1(mod19)

 

  

Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Giải: Biết 376 = 62 . 6 + 4 Ta có:

4 2

12 3

48 4

2004 841(mod1975)

2004 841 231(mod1975)
2004 231 416(mod1975)
2004 416 536(mod1975)


 

 

  Vậy

60
62

62.3 3

62.6 2

62.6 4

2004 416.536 1776(mod1975)
2004 1776.841 516(mod1975)
2004 513 1171(mod1975)
2004 1171 591(mod1975)
2004  591.231 246(mod1975)

 

 
 

 

VD3: Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246
7≡1(mod3) ⇒ (7−1)⋮3

26≡2(mod 8) ⇒ (26−2)⋮8
a ≡b(modm) ⇒ (a − b)⋮m

áp dụng: Tìm số dư của phép chia mà số bị chia được cho bằng dạng luỹ thừa quá lớn

a ≡m(modp)
b ≡ n(modp)

}

⇒a × b=m×n(modp)
ac

=mc(modp)

VD4: Tìm dư của phép chia :
272002 : 13

Ta có :

27 1 ( mod 13 )

⇒ 272002 12002 (mod 13) 1 ( mod 13 )

Vậy 272002 : 13 dư 1

Bài tập thực hành: Tìm số dư của phép chia:

a)138 cho 27 b)2514 cho 65 c)197838 cho 3878.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

* Khi sử dụng máy tính cần chú ý: khi thực hiện phép tính mà máy hiện kết quả là một
số đủ 10 chữ số ( số nguyên ) thì phải lưu ý đó có thể là 10 chữ số của phần nguyên còn
phần lẻ thập phân bị làm tròn số.

1.7.Dấu hiệu chia hết:

Cho A N
- A⋮2⇔A chẵn

A⋮6⇔
A⋮2
A⋮3

¿{

- A ⋮ 4 ⇔ số tạo bởi 2 chữ số tận cùng ⋮ 4
- A ⋮ 25 ⇔ số tạo bởi hai chữ số tận cùng ⋮ 25
- A ⋮ 8 ⇔ số tạo bởi ba chữ số tận cùng ⋮ 8
- A ⋮ 125 ⇔ số tạo bởi ba chữ số tận cùng ⋮ 125
- A ⋮ 3 ⇔ tổng các chữ số của A ⋮ 3

- A ⋮ 9 ⇔ tổng các chữ số của A ⋮ 9

1.8. Ước và bội:

a-Tìm ước của một số?

Cơ sở: Chia a cho các số không vượt quá a.

Quy trình:

1 → A
a  A → B
A + 1 → A

Gán 1 vào ơ nhớ A.

Dịng lệnh 1. B là một biến chứa.
Dòng lệnh 2. A là một biến chạy.
# SHIFT # 

... Lặp 2 DL trên, ấn dấu



và quan sát rồi
chọn các kết quả nguyên – đó là Ước.

VD:Tìm tất cả các ước của 60?

1 → A
60 A → B

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

# SHIFT # 












Được 30 là một ước.
Được 20 là một ước.
Được 15 là một ước.
Được 12 là một ước.
Được 10 là một ước.
Được 6 là một ước.
Được 5 là một ước.
Được 4 là một ước.
Được 3 là một ước.
Được 2 là một ước.
Được 1 là một ước.
Bấm  đến khi A = 60 thì dừng lại.

Ho c có th ặ ể đọc k t qu nh sau:ế ả ư
1 → A

60 A → B
A + 1 → A

Được 60 và 1 là 2 ước.
# SHIFT # 






Được 30 và 2 là 2 ước.
Được 20 và 3 là 2 ước.
Được 15 và 4 là 2 ước.
Được 12 và 5 là 2 ước.
Được 10 và 6 là 2 ước.

(các dấu  ở đây là của các kết quả nguyên)

Vậy Ư(60) =



      1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60    



Để tìm ước hoặc bội của một số ta ghi số vào máy và chỉnh theo hướng dẫn ⇒ Kết
quả

VD : giả sử A = Ư(120) . Các khẳng định nào sau đây là đúng :
a ,7∈A ;

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

ấn 120 1 = Kết quả : 120 ( đúng )

Chỉnh lại thành 120 2 = Kết quả : 60 ( đúng )
Chỉnh lại thành 120 3 = Kết quả : 40 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 4 = Kết quả : 30 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 5 = Kết quả : 24 ( đúng)
Chỉnh li thành 120 6 = Kết quả : 20 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 7 = Kết quả : 17,1429 ( sai)
Chỉnh lại thành 120 8 = Kết quả :15 ( đúng)

Chỉnh lại thành 120 9 = Kết quả : 13,3333 ( sai)
Chỉnh lại thành 120 10 = Kết quả : 12 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 11 = Kết quả : 10,909 ( sai)
Chỉnh lại thành 120 12 = Kết quả : 10 ( đúng)
Ta thấy : 10,909 < 11 nên ngừng ấn

Vậy kết quả là Ư(120) = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 69 }

Kết quả trả lời câu hỏi ở đầu bài : a, sai b, đúng c, sai

1.9. Số nguyên tố:

5.5-Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số?

Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số nguyên tố nếu nó khơng chia hết
cho mọi số ngun tố khơng vượt quá a”

Xuất phát từ cơ sở đó, ta lập 1 quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem số a
có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn a hay không!

Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ (trừ số 2), thế nên ta dùng phép chia a cho
các số lẻ không vượt quá a.

Cách làm:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2. Lấy phần nguyên b của kết quả.

3. Lấy số lẻ lớn nhất c khơng vượt q b.
4. Lập quy trình

c → A
a  A → B
A – 2 → A

Gán số lẻ c vào ơ nhớ A làm biến chạy.
Dịng lệnh 1. B là một biến chứa.

Dòng lệnh 2. A là một biến chạy.
# SHIFT # 

... Lặp 2 DL trên, ấn dấu



và quan sát đến
khi A = 1 thì dừng.

5. Trong quá trình ấn  :

- Nếu tồn tại kq nguyên thì khẳng định a là hợp số.

- Nếu khơng tồn tại kq ngun nào thì khẳng định a là số nguyên tố.

VD1: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số?

1. Tính 8191 được 90,50414355

2. Lấy phần nguyên được 90.

3. Lấy số lẻ lớn nhất khơng vượt q nó là 89.

4. Lập quy trình:
89 → A

8191  A → B
A – 2 → A

# SHIFT # 

...

5. Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191
là số nguyên tố.

VD2: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số?

1. Tính 99873 được 316,0268976.

2. Lấy phần nguyên được 316.

3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 315.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

99 873  A → B
A – 2 → A

# SHIFT # 

...

5. Quan sát màn hình thấy có kết quả ngun là 441, cho nên khẳng định 99

873 là hợp số.

Ví dụ: Số 647 có là số nguyên tố ?
Chia 647 cho các số nguyên tố 29

Nếu 647 ⋮ cho các số đó ⇒ 647 là số nguyên tố
* chia số A cho các số nguyên tố P sao cho P2 A

Nếu A ⋮ P ⇒ A là số nguyên tố

1.10. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố :
Nhận xét: Các số nguyên tố đều là số lẻ (trừ số 2)

Cách làm:

TH1: Nếu số a có ước nguyên tố là 2, 3 (Dựa vào dấu hiệu chia hết để nhận biết).
Ta thực hiện theo quy trình:

a → C

2 → A (hoặc 3 → A)
C : A → B

B : A → C
# SHIFT #




Máy báo kq nguyên → ta nghi 2 (hoặc 3)là một SNT.

Các kq vẫn là số nguyên thì mỗi lần như thế ta nhận
được 1 TSNT là 2 (hoặc 3).

Tìm hết các TSNT là 2 hoặc 3 thì ta phân tích thương
cịn lại dựa vào trường hợp dưới đây

VD1: Phân tích 64 ra thừa số ngun tố?

Mơ tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả

64 → C
2 → A
C : A → B

Gán
Gán

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

B : A → C
# SHIFT #






Kq là số nguyên 16. Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 8. Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 4. Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 2. Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 1. Ghi TSNT 2

Vậy 64 = 26

VD2:Phân tích 540 ra thừa số ngun tố?

Mơ tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả

540 → C
2 → A
C : A → B
B : A → C
3 → A
C : A → B
B : A → C
C : A → B

Gán
Gán

Kq là số nguyên 270. Ghi TSNT 2

Kq là số nguyên 135. Ghi TSNT 2

Nhận thấy 135  2 nhưng 135 3 ta gán:

Kq là số nguyên 45. Ghi TSNT 3

Kq là số nguyên 15. Ghi TSNT 3

Kq là số nguyên 5. Ghi TSNT 3

Thương là B = 5 là 1 TSNT.
Vậy 540 = 22335

TH2: Nếu a là số không chứa TSNT 2 hoặc 3. Quy trình được minh hoạ qua các VD
sau đây.

VD3:Phân tích 385 ra thừa số ngun tố?

Mơ tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả

385 → C
3 → A
C : A → B
A + 2 → A

# SHIFT #

Gán
Gán

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

 Kq là số nguyên 77.

Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 5



/ B:A → C
A + 2 → A
# SHIFT #

 

Kq là số nguyên 11.

Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 7



/ C:A → B
A + 2 → A
# SHIFT #

  

Kq là số nguyên 1. (quá trình kết thúc)

Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 11

Vậy 385 = 5.7.11.

VD3: Phân tích 85 085 ra th a s ngun t ?ừ ố ố

Mơ tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả

85085 → C

3 → A
C : A → B
A + 2 → A

# SHIFT #

 

(2 lần dấu  )

Gán
Gán

Lập dòng lệnh 1
Lập dòng lệnh 2
Lặp 2 DL trên.

Kq là số nguyên 17 017.

Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 5



/ B:A → C
A + 2 → A
# SHIFT #



</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 7



/ C:A → B
A + 2 → A
# SHIFT #

   Kq là số nguyên 221.

Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 11



/ B:A → C
A + 2 → A
# SHIFT #



Kq là số nguyên 17.

Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 13



/ C:A → B
A + 2 → A
# SHIFT #




Kq là số nguyên 1. (Dừng lại ở đây)

Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 17

Vậy 85 085 = 5.7.11.13.17

VD : Phân tích số 1800 ra thừa số nguyên tố
1800 : 2 = 900 ( Ư là 2 )

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1.11. Ướ số chung – Bội số chung; ƯCLN - BCNN:

Cho A, B N
Ta có : AB=a

b ( trong đó a, b là các số trong phân số tối giản của phân số
A

B )

ƯCLN(A;B) = A : a
BCNN(A;B) = A b

Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản

A a

B b

Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531

Hướng dẫn: Ghi vào màn hình :

2419580247

3802197531 và ấn =, màn hình hiện 
7
11
UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321

BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình)

Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dịng biểu thức xố số 2 để chỉ còn 419580247 . 11

Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717
Ví dụ 2: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438

Giải: Ấn 9474372  40096920 = ta được : 6987 29570.

UCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356.
Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c)

Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438).
Thực hiện như trên ta tìm được:

UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678
Bài tập tự giải:

Bài 1: Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.
a) Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.

b) Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510.

c) Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2.
Bài 2:Tìm ƯCLN và BCNN của 2 số: 75125232 và 175429800

Đáp số: ƯCLN = 412776; BCNN =31928223600

Bài 3: Tìm ƯCLN và BCNN của hai số
a) a = 30220015 và b = 7503021930
b) a = 1408884 và b = 7401274
c) a = 24614205 và b = 10719433

d) a = 7 070 344 269 và b = 9 427 125 692

Bài 4: Cho a = 123456789; b = 987654321

a. Tìm ƯCLN(a,b) b. Tìm số dư trong phép chia BCNN(a,b) cho 11

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

a) Tìm ước số chung lớn nhất của ba số A, B, C.

b) Tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số A, B, C với kết quả đúng chính xác.
KQ: ƯCLN(A,B,C) = 9917. BCNN(A,B,C) = 10091262238024

Bài 6: Cho ba số: A = 1193984; B = 157993 và C = 38743.
a) Tìm ước số chung lớn nhất của ba số A, B, C.

b) Tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số A, B, C với kết quả đúng chính xác.
HD: D = ƯCLN(A, B) = 583; ƯCLN(A, B, C) = ƯCLN(D, C) = 53;

E= BCNN(A;B)= UCLNA × B

(A ; B) = 323 569664

BCNN(A, B, C) = BCNN(E, C) = 236.529.424.384

1.12.Số nguyên:

a.Tập hợp số nguyên-phép cộng-phép trừ:

VD : Viết -3 : ta bấm nhhư sau
(-) 3 = kết quả là : -3

VD : Tính

a,475 + 2345 + 7643
b,-7654 + (-678) + (-3167)
c,-4328 + 7689

d,6758 – (-234) + 567 – 456

Trên vở ghi như thế nào thì qui trình ấn phím trên MT thực hiện đúng như vậy sẽ có
KQ cuối cùng

b.Phép nhân :

VD : Tính:

a ,456×478

b ,236×987

c , −345×578
d , −532×825
e ,461×(−655)

Trên vở ghi như thế nào thì qui trình ấn phím trên MT thực hiện đúng như vậy sẽ có
KQ cuối cùng

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

a.Khái niệm-các phép tính

dùng phím ab/c và d/c ( shift ab/c ) để thực hiện các phép tính về phân số và hỗn số.

VD : Rút gọn 221323

Ta bấm : 2 2 1 ab/c 3 2 3 = , kết quả là : 13
19

( Ta có thể áp dụng phần này để giải bài toán ƯCLN và BCNN của phần 1.11 mục
trước )

Đổi các số ra phân số : ghi các số vào màn hình bấm dấu = ,
sau đố ta ấn SHIFT ab/c

VD1: Tính giá trị của biểu thức. (Tính chính xác đến 0,000001)
a. A =

0,8:(4

5.1,25)
0,64− 1

25
+

(1,08− 2
25):

4
7
(65

9−3
1
4). 2

2
17

+(1,2. 0,5): 4

5 (ĐS:
1
2

3)

b. B =

1 1
7 2 3 90

0,3(4) 1,(62) :14 :

11 0,8(5) 11



 

(ĐS:

106
315)

VD2: Tìm x. (Tính chính xác đến 0,0001)
a.

4 6 (2,3 5 : 6, 25).7 1

5 : :1,3 8, 4. . 6 1

7 x 7 8.0, 0125 6,9 14

   

  

  



 

  (x = -20,384)

1 3 1

4 : 0,003 0,3 .1

2 20 2 : 62 17,81: 0,0137 1301

1 1 3 1 20

3 2,65 .4 : 1,88 2 .

20 5 25 8

x
     
 
   
 
   
    
   
   
   

    

  (x=

6)

b.Bài toán về tỉ lệ xích

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1.14.Góc :

Số đo góc-các phép tính

Ta ấn MODE MODE MODE rồi ấn 1 ( DEG )

Và dùng phím o ” để ghi độ phút giây và SHIFT o ” để chuyển phần lẻ thập phân ra

phút giây
VD : tính :

a ,45055'39 +32 rSup \{ size 8\{0\} \} 11'21−34040'11 \} \{\} # b, 30 rSup \{ size 8\{0\} \} 27 ' 15×8
c ,155021'45 div 13 rSup \{ size 8\{0\} \} 12 ' 30

Kết quả:

a ,43026'49 \} \{\} # b, 243 rSup \{ size 8\{0\} \} 38 ' \{\} # c, 11 rSup \{ size 8\{0\} \} 45 ' 44 , 86

Tính thời gian để 1 người đi hết quãng đường 100 km với vận tốc 17,5 km/h
100 : 17,5 = 5h42’51’43”

Tính vận tốc di chuyển của một người biết trong 5h42’51” người đó đi hết quãng đường

100 km

100 : 5h42’51” = 17,5km/h

LỚP 7
I. Số hữu tỉ – Số thực

1. Tập hợp các số hữư tỉ – các phép tính

Nếu mơí chỉnh máy ( shift CLR ALL ) thỉ máy sẽ sử dụng dấu ( ) để làm dấu ngăn
cách giữa phần nguyên và phần thập phân ; dấu (, )là dấu ngăn cách của các lớp ở phần
nguyên

VD : Tính :

(

6−2
3+

5
17

)

−

(

8
11 +4−

)

+4×

(

6
7−

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Kết quả : 16678

1001 Ghi chú nếu ghi vào máy 4 ab/c 3 2 thì kết quả sẽ là của phép
tính 43×2 vì dấu phân số được ưu tiên trước

Nếu ghi 3 ab/c 5 ^ 4 thì kết quả sẽ là của phép tính 3

54 vì phép luỹ thừa được ưu tiên

VD : tính 7-3 ghi ra màn hình như sau 7 ^ (-) 3

Bài tập áp dụng : tính 5×10−3×10−6

2.Số thập phân hữu hạn-số thập phân vơ hạn tuần hồn
Ví dụ 1: Đổi các số TPVHTH sau ra phân số:

 

6 2
0, 6

9 3

 





231 77
0, 231

999 333

 

 

18 7
0,3 18 0,3

990 22

  





345
6,12 345 6,12

99900

 

Ví dụ 2: Nếu F = 0,4818181... là số thập phân vơ hạn tuần hồn với chu kỳ là 81.
Khi F được viết lại dưới dạng phân số thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?

Giải

Ta có: F = 0,4818181... =

 

81 53
0, 4 81 0, 4

990 110

  

Vậy khi đó mẫu số lớn hơn tử là: 110 - 53 = 57

VÝ dô 3:Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).
Giải

Ta đặt 3,15(321) = a

Hay : 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có : 99900 a = 315006
Vậy

315006 52501
99900 16650

a 

Đáp số:

52501
16650 
Khi thực hành ta chỉ thực hiện phép tính như sau cho nhanh:

315321 315 315006 52501
99900 99900 16650



 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

VD4: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321)

Giải: Đặt 3,15(321) = a.

Hay 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có
999000a = 315006
Vậy a=315006999000=52501

16650

VD tự giải: : phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau
a) 0,123123123123……… (là phân số 123999 )

b) 4,3535353535………( là 4 + 3599 )

c) 2,45736736736…………. = 2,45(736) = 2 + 45100+736

99900=

245491
99900
Ví dụ 5: Viết các bước chứng tỏ :

A = 2230,20072007 . ..+223

0,020072007 . ..+
223

0,0020072007. . . là một số tự nhiên và tính giá
trị của A

Giải:

Đặt A1= 0,20072007...  10000 A1 = 2007,20072007... = 2007 + A1

 9999 A1= 2007  A1=

2007
9999
Tương tự, A2 =

1
A ;

10 3 1

A A

100



 1 2 3

1 1 1 9999 99990 999900

A 223. 223.

A A A 2007 2007 2007

   
        
 
 
111
223.9999. 123321
2007
 

Tính trên máy Vậy A = 123321 là một số tự nhiên
Bài tập tự giải

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

 





4 2 4

0,8 : 1, 25 1,08 :

5 25 7 1, 2.0,5 :

1 1 2 5

0,64 6, 5 3 .2

25 4 17

A
   
 
   
   
  
 
   

  ĐS:: A =

53
27



B = 26 :

[

2,53 :(x0,2(0,8−+0,11,2))+6(,3484 :,06(28−,5733,−8125)x,154 )

]

+23:
4

21 ĐS: B =

26
1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

C = [0,(5)x0,(2)]:(313:
33
25)−(

2
5x2

1
3):

3 ĐS: C =

293
450


Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
1 3 3 1 3 4

2 4 7 3 7 5
7 3 2 3 5 3

:
8 5 9 5 6 4

A
 
     
  
     
     

 
     
  
     
     

2 0 3 0 2 0 3 0

3 0 3 0

sin 35 .cos 20 15 40 . 25

sin 42 : 0,5cot 20
4
tg tg
B
g



Bài 3 - Tính giá trị của biểu thức(chỉ ghi kết quả):

A 321930 291945 2171954 3041975

2 2 2 2

(x 5y)(x 5y) 5x y 5x y

x y x 5xy x 5xy

 

   

   

    

Với x = 0,987654321; y = 0,123456789
C =

0,8:

(

5−1,25

)

0,64− 1

25
+

(

1,08− 2
25

)

4
7

(

9−3
1
4

)

. 2

2
17

+(1,2x0,5):4
5

D = 182x
1+1

3+
1
9+

1
27
4−4

7+
4
49 −
4
343
:
2+2

3+
2
9+

2
27
1−1

7+
1
49 −
1
343

x91919191
80808080
E = [0,(5)x0,(2)]:(31

3:
33
25)−(

2
5x2

1
3):

4
3
d) S = 0, 5

(2008)+
5
0,0(2008)+

0,00(2008)

Bài 4:Cho số tự nhiên A =

2 2 2

0,19981998...0, 019981998...0, 0019981998....

Số nào sau đây là ước nguyên tố của số đã cho: 2; 3; 5; 7 ; 11.

Bài 5: Tìm x biết:
a)

(

21 .22+
1
22 . 23+

23 .24+. ..+
1
28 . 29+

29 . 30

)

. 140+1,08 :[0,3(0,3−1)]=11

b) 15,2 . 0,25−48,51:14,7

3,145x −2,006 =¿

(

13
44 −
2
11−

5
66:2
1
2

)

. 1

1
5
3,2+0,8(5,5−3,25)

KQ x =

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính

1 1
4 2 3 60
0, 2(3) 1,(45) :12 :

11 0,6(3) 19

A



  

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức

2 3

2 2 2

x xy z

P xyz

xy y z z

 

 

 

a) x=1; y=2; z=3.
b) ‘x=

1
3; y=

2
2

3; z= -5
c) ‘x=1,2(3); y=

1, 234
2,131



; z=

2 3
5

 
Bài 3:

Tính giá rị của các biểu thức:
a) A = 1+3+5+...+49

b) B = 1-24+34-44+...+494-504.

1 1 1 1 1

1 ...

2! 3! 4! 49! 50!

C     

d) D 40 38 36... 4 2

3.Tìm chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy

Hướng dẫn:

Một số hữu tỉ (ví dụ 10.4 , 100 hay 601/700) có đặc điểm là khi viết theo dạng thập
phân (hay theo bất kỳ cơ số nào khác) hoặc là có hữu hạn chữ số (ở đây là 10.4 hay
100) hay vơ hạn tuần hồn. Trong trường hợp cụ thể này:

601 / 700 = 0.85 857142 857142 857142 857142 857142 85 ...

Chu kỳ của số hữu tỉ này là nhóm chữ số 857142 (anh viết cách ra cho các bạn dễ theo
dõi). Các bạn nhận thấy quy luật, bắt đầu từ chữ số thứ 3 sau dấu chấm thập phân
(decimal point, tương đương dấu phẩy thập phân theo cách viết ở Việt Nam) thì chữ số
thứ 6k là 1, thứ 6k+1 là 4, thứ 6k+2 là 2 .... trong đó k là một số nguyên nào đó. Vậy
nếu ta xác định được số dư của 5^2007 khi chia cho 6 thì sẽ xác định được chữ số cần
tìm.

Chú ý rằng:

5^2007 mod 6 ≡ (-1)^2007 mod 6 ≡ -1 mod 6
Vậy chữ số cần tìm là 7

Nếu bạn nào chưa quen làm toán với các đồng dư thức thì có thể dễ dàng thu được kết
quả trên bằng cách sử dụng khai triển lũy thừa bậc n của tổng 2 số:

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

trong đó 6k là tổng tất cả các số hạng của khai triển trên, trừ số hạng cuối cùng
(-1)^2007 = -1

- Tại sao một số hữu tỉ viết dưới dạng thập phân có vơ hạn chữ số lại nhất thiết phải
tuần hồn?

- Có tồn tại một số vơ tỉ mà khi viết dưới dạng thập phân có các chữ số tuần hồn theo
một quy luật nào đó?

Ngun lý:

-Bằng cách sử dụng MT ta có thể thể tìm được chu kì tuần hồn của phép chia a cho b
(giả sử chu kì có k chữ số)

-Nếu n = k.p + m thì chữ số cần tìm chính là chữ số thứ m trong chu kì.

VD1:

a) Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 19
b) Khi ta chia 1 cho 49. Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào?
c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy trong phép chia 5 cho 61
d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17

Giải

a) Ta có

250000 17
13157
19  19

Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 ÷ 19

Ấn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:
89473684 (khơng lấy số thập phân cuối cùng vì có thể máy đã làm trịn )
Ta tính tiếp 17 – 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 × 108

Tính tiếp 4 ì 108 ữ 19 = 2.105263158 × 109

Ta được 9 số tiếp theo là : 210526315

4 × 108 – 19 × 210526315 × 1017 = 1.5 × 1016
1,5 × 1016÷ 19 = 7.894736842 × 1018

Suy ra 9 số tiếp theo nữa là : 789473684

Vậy : 18

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Kết luận
17

19 là số thập phân vơ hạn tuần hồn có chu kì là 18 chữ số .
Để thỏa đề bài , ta cần tìm số dư khi chia 132007 cho 18

Số dư khi chia 132007 cho 18 chính là số có thứ tự trong chu kì gồm 18 chữ số thập 
phân.

Ta coù : 13 (13 ) 1 1(mod18)
)

18
(mod
1
13

669
669

3
2007




Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tìm là số đứng ở vị trí đầu tiên trong chu
kì gồm 18 chữ số thập phân .

Kết quả : số 8

b) (Trích Đề Thi HSG giải tốn trên náy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải
dương)

Khi ta chia 1 cho 49. Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào?

Giải:

1 chia cho 49 ta được số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ gồm 42 chữ số 0,
(020408163265306122448979591836734693877551) vậy chữ số 2005 ứng với chữ
số dư khi chia 2005 cho 42; 2005 = 47.42+31 do đó chữ số 2005 ứng với chữ số thứ
31 là chữ số 7

Câu c, d làm tương tự

VD2 : Tính chứ số lẻ thập phân thứ 105 của 1713
Ta có : 17 : 13 = 1,307592308

Thực ra là 1,307692307692…. Là số có chu kì (307692)
mặt khác 105 3 ( mod 6 )

⇒ chữ số thứ 105 trong phần thập phân của phép chia 17 : 13 là số 2

VD3 : n∈N nhỏ nhất sao cho n có ba chữ số, biết n121 có 5 chữ số đầu đều là chữ

số 3

Ta khơng thể dùng máy tính bỏ túi để tính n121 với n có 3 chữ số

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

1 00121 = 1

1 01121 = 3,333309764 ...

⇒ n= 101

3. Làm trịn số :

Máy có hai cách làm trịn số :

- Làm tròn số để đọc ( máy vẫn lưu trong bộ nhớ đến 12 chữ số để tính tốn cho các bài
toán sau ) ở NỏM hay FIX n

- Làm trịn và giữ ln kết quả số đã làm trịn cho các bài tính sau ở FIX và RAD
VD : 17 13 = 1,307692308( trên màn hình )

Trong bộ nhớ máy vẫn lưu kết quả : 1,30769230769
( máy vẫn lưu 12 chữ số và chỉ 12 chữ số )

Nếu muốn làm trịn số thì ấn MODE MODE MODE MODE 1 và chọn làm tròn
số từ 0 đến 9

Nếu Ans 13 thì kết quả vẫn là 17

Nếu cho FIX 4 và ấn tiếp SHIFT RAD thì máy hiện lên kết quả 1,3077 và giữ kết quả
này trong bộ nhớ ( chỉ có 4 chữ số ở phần thập phân đã làm tròn )

⇒ Ans 13 = 17,0001

VD3: Tìm chữ số thứ 2009 sau dấu phẩy của phép chia 1 cho 23.
Giải

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Vậy

là một số thập phân vơ hạn tuần hồn có chu kì gồm 22 chữ số.
Lại có: 2009 = 22.91 + 7

Vậy chữ số cần tìm là: 2

Một điều cần lưu ý khi lấy kết quả:

-Thơng thường máy tính cho ta kết quả đến chữ số thập phân thứ 9 song lấy đến chữ số
nào? Bạn có thể lấy đến chữ số tùy ý sao cho khi thực hiện việc tìm dư thì kết quả phải
khác 0. Nếu khơng thì khơng tiếp tục được.

-Cần chú ý khi kết quả ở phần thập phân được lặp lại - Tức là việc xác định chu kì. Nếu
khơng thì mất thời gian (Tuy nhiên, nếu không chú ý ta sẽ làm cho bài toán trở nên
phức tạp)

4. Số vơ tỉ-khái niệm về căn bậc hai :

VD : Tính :

¿
√289=17
√15129=123

√

5,4756=2,34

√

225361=
15
19
5. Các bài toán liên quan đến tính chất dãy tỉ số bằng nhau
6. Tính giá trị của biểu thức đại số.

VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x – 2006 tại

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

d) x = 10,,1234523456 ;

Cách làm:

*Gán 1 vào ô nhớ X: 1 SHIFT STO X .

Nhập biểu thức đã cho vào máy: 20 ALPHA X x2  11 ALPHA X  2006 

(Ghi kết quả là -1 997)
*Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: 2 SHIFT STO X .

Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn  để nhận kết quả.

(Ghi kết quả là -1 904)
Làm tương tự với các trường hợp khác ta sẽ thu được kết quả một cách nhanh chóng,

chính xác. (ĐS: c,

1
1995



; d, -2006,899966).
VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y - 2

3 y3 tại:
a) x = 2; y = -3.

b) x = −43 ; y = -2 37
c) x =

√

2+√7

5 y =

2,35
2,69
Cách làm:

Gán 2 vào ô nhớ X: 2 SHIFT STO X .
Gán -3 vào ô nhớ Y: 3 SHIFT STO Y .

Nhập biểu thức đã cho vào máy như sau:

ALPHA X ^ 3  3 ALPHA X ALPHA Y x2  2 ALPHA X x2 ALPHA Y  2

b
c

a 3 ALPHA Y ^ 3 

(Ghi kết quả là - 4 )
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

3
4



</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

3
2



SHIFT STO Y .

Rồi dùng phím # # để tìm lại biểu thức, ấn  để nhận kết quả.

(Ghi kết quả là 25,12975279)
Làm tương tự với trường hợp c)

(Ghi kết quả là -2,736023521)

Nhận xét: Sau mỗi lần ấn dấu  ta phải nhớ ấn tổ hợp phím SHIFT abc

để đổi kết quả
ra phân số (nếu được).

Chú ý: đối với MT casiofx 570MS ta có thể nhập biểu thsc rồi sử dụng chức năng

CALC để tính tốn đối với mỗi giá trị cho trước của biến

7. Tính giá trị của biểu thức số có quy luật.
VD1:Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = 1+2+3+...+49+50.

Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50, có quy
luật là số sau lớn hơn số liền trước 1 đơn vị. Ta phải lập một quy trình cho máy để sau
một số lần ấn dấu  ta thu được kết quả của biểu thức.

1 → A
2 → B
A + B → A
B + 1 → B

Gán 1 vào ô nhớ A. (A là biến chứa).

Gán 2 vào ô nhớ B. (B là biến chạy).
Dòng lệnh 1

Dòng lệnh 2
# SHIFT # 

...

Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu  đến khi
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn  và đọc kq :(1 
275)

b) B =

1 1 1 1 1

...

1 2 3   49 50 ?

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

1 → A
2 → B

A + B1 → A
B + 1 → B

Gán 1 vào ô nhớ A
Gán 2 vào ơ nhớ B
Dịng lệnh 1

Dịng lệnh 2

# SHIFT # 

...

Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu  đến khi
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn  và đọc kết quả.

(KQ: 4,499205338)
c) C =

1 1 1 1 1 1 1

...

1 2  3  4   48  49 50 ?

Nhận xét: Ta thấy biểu thức trên là một dãy các phép toán + và - xen kẽ các phân
số với tử số không đổi, mẫu là các căn bậc hai của các số tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50.
Nếu mẫu là CBH của STN lẻ thì dấu là +, cịn mẫu là CBH của STN chẵn thì dấu là -.
Ta cũng phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu  ta thu được kết

quả của biểu thức. Cách lập tương tự như VD2, song ta phải chú ý đến dấu của từng số
hạng.

1 → A
2 → B

A + (-1)B+1 1

B → A

B + 1 → B

Gán 1 vào ô nhớ A
Gán 2 vào ô nhớ B
Dòng lệnh 1

Dòng lệnh 2

# SHIFT # 

...

Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu  đến khi
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn  và đọc kết quả.

(KQ:0,534541474)
8. DẠNG TOÁN THỐNG KÊ

Thống kê 1 biến ( SD )

* Dùng vào chương trình thống kê1 biến .

* Trước khi bắt đầu phải ấn (Scl) để xóa nhớ thống kê .
* Nhập dữ liệu ấn :

< dữ liệu x >
MOD

E

1
MOD

E SHIFT CL

R

1 =

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

* Nhập dữ liệu xong thì gọi kết quả như sau :

Giá trị Ấn

x2
x

n
x

n

n-1

Muốn tính phương sai n2 thì khi giá trị n hiện lên ta ấn thêm
Ví dụ 1 : Tính n-1 , n , x và x2 với số liệu :

55, 54 , 51, 55, 53, 53, 54, 52 .

Vào mode SD rồi ấn : (Scl)

( xóa bài thống kê cũ )
Ấn tiếp 55

(Khi ấn màn hình chỉ hiện tổng tần số n mà thôi )

Ấn tiếp 54 51 55 53 54 52
* Tính độ lệch tiêu chuẩn theo n - 1 ( n-1 = 1.407885953)

Ấn

* Tìm độ lệch tiêu chuẩn theo n ( n = 1.316956719 )
Ấn

* Tìm số trung bình ( x = 53.375 )
Ấn

* Tìm tổng tần số ( n = 8 )
Ấn

* Tìm tổng x = 427

Ấn

* Tìm tổng x2 = 22805

SHIFT S.SUM 1
SHIFT S.SUM 2
SHIFT S.SUM 3
SHIFT S.VAR 1

SHIFT S.VAR 2

SHIFT S.VAR 3 =

SHIFT S.VAR 2 =

SHIFT S.VAR 1 =

SHIFT S.SUM 2 =

SHIFT S.SUM 3 =

SHIFT S.VAR 3

x2 =

SHIFT CL
R

1 =

DT

n = SD

1
DT

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ấn

Chú ý khi nhập dữ liệu :

* Ấn là nhập dữ liệu 2 lần .
* Nếu số liệu 110 có tần số là 10 ta nhập :

110 10

* Không cần nhập đúng thứ tự số liệu .

* Bất kỳ lúc nào ta cũng có thể xem lại dữ liệu nhập bằng phím

theo thứ tự dữ liệu nhập . Nếu dùng khi nhập dữ liệu thì khi xem lại : dữ
liệu hiện một lần kèm theo số thứ tự , số dữ liệu của thứ tự này đọc được ở tần số ( Freq
) .

* Ta có thể chỉnh sửa dữ liệu hay tần số bằng cách gọi dữ liệu ( hay tần số) đó lên
nhập số liệu mới và ấn , giá trị mới sẽ thay thế giá trị cũ .

* Nếu ta ấn thay thì số liệu trên màn hình sẽ nhập vào như là một dữ

liệu mới thêm vào cuối bài thống kê ( chứ không phải sửa dữ liệu cũ ) .

* Có thể xóa một dữ liệu bằng cách cho dữ liệu ấy hiện lên rồi ấn
. Các dữ liệu còn lại sẽ đánh dồn số thứ tự lại .

* Dữ liệu được lưu trong bộ nhớ . Thông báo " Data Ful "( dữ liệu đầy ) hiện lên
và ta không nhập được nữa . Khi ấy ấn màn hình hiện lên :

* Ấn nếu không định nhập nữa .

* Ấn nếu muốn tiếp tục nhập ( nhưng dữ liệu không hiện hoặc chỉnh được
nữa ) .

Để xóa số liệu vừa nhập , ấn

Ví dụ 2 : Điểm tổng kết toán của từng em trong một tổ được ghi lại trong bảng dưới đây
:

Tổ 1,7 2,4 3,5 4,6 5,2 5,3 5,4 6,1 6,3 7,6 8,8 9,1
a). Tính số trung bình điểm X tổng kết từng tổ .

b). Tính phương sai n2 và độ lệch tiêu chuẩn n đối với từng tổ .
SHIFT S.SUM 1 =

DT DT

SHIFT ; DT

 

SHIFT ;

DT =

SHIFT CL

Edit OFF 
ESC

2
1

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Ấn (Scl)
1,7

2,4

. . .

8,7
9,1

Ấn tiếp

Kết quả : X = 5,5

Kết quả : n = 2,2

( Độ lệch tiêu chuẩn )

Ấn tiếp Kết quả : n2 = 4,855 (Phương sai )

Bài tập áp dụng :

Ví dụ 1 :Gọi chương trình thống kê SD

Ấn MODE hai lần 1 (SD) .Màn hình hiện chữ SD

Xóa bài thống kê SHIFT CLR 1 (Scl) = AC

Điểm các môn học của một học sinh lớp 7 được cho ở bảng sau :

a) Hãy nhập dữ liệu từ bảng trên vào máy tính
Chỉnh sửa dữ liệu bằng cách

- Sửa điểm Lí thành 7,5
- Xóa điểm 4 của môn Sinh

- Thêm điểm môn Giáo dục công dân là 8

Giải : DT ấn bằng phím M+

a) Ấn 8 DT 7 DT 9 DT 6 DT 5 DT 4 DT 8.5 DT 6.5 DT
b) Sửa điểm Lí thành 7,5

Dùng phím di chuyển đến

Và ấn 7.5 =

- Xóa điểm 4 của môn Sinh

SHIFT S.VAR 2 =

MOD
E

1
MOD

E

SHIFT CL
R

1 =

DT
DT
DT
DT

SHIFT S.VAR 1 =
AC

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Dùng phím ‚ để di chuyển đến

Rồi ấn SHIFT CL

- Thêm điểm môn Giáo dục công dân là 8
Ấn DT 8

† Xóa tồn bộ bài thống kê vừa nhập SHIFT CLR 1 (Scl) = AC

† Thốt khỏi chương trình thống kê SHIFT CLR 2 (Mode)
= = hoặc ấn MODE 1

Ví dụ 2: Một xạ thủ thi bắn súng.Kết quả số lần bắn và điểm số được ghi như sau

Tính :

a) Tổng số lần bắn b) Tổng số điểm
c) Số điểm trung bình cho mỗi lần bắn

Giải :

Gọi chương trình thống kê SD

Ấn MODE hai lần 1 (màn hình hiện SD )
Xóa bài thống kê cũ

Ấn SHIFT CLR 1 (Scl) = AC

Nhập dữ liệu

4 SHIFT ; 8 DT

5 SHIFT ; 14 DT
6 SHIFT ; 3 DT

7 SHIFT ; 12 DT

8 SHIFT ; 9 DT

9 SHIFT ; 13 DT

Máy hiện Tổng số lần bắn n = 59

Tìm tổng số điểm , Ấn SHIFT S.SUM 2 (

∑

x ) =

Kết quả Tổng số điểm 393

Tìm số trung bình Ấn SHIFT S.VAR 1 ( ¯x ) =

Kết quả : Điểm trung bình là 6.66

(Muốn tìm lại Tổng số lần bắn thì ấn SHIFT S.SUM 3 (n) = )
Ghi chú : Muốn tính thêm độ lệch tiêu chuẩn và phương sai, ta thực hiện như sau :
Sau khi đã nhập xong dữ liệu , ấn

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Phương sai : Ấn tiếp x2 = Kết quả : σ2n = 3.1393

BÀI TẬP
Bài 1 : Cho bảng sau

Hãy :

a) Nhập dữ liệu từ bảng vào máy tính
b) Chỉnh sửa dữ liệu bằng cách :
- Thêm giá trị

2
3

7 vào bảng dữ liệu

- Xóa giá trị - 5 và 0,1
- Sửa 2,4 thành 5

- Thoát khỏi chương trình thống kê

Bài 2 : Sản lượng lúa ( đơn vị tạ ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích
được trình bày trong bảng tần số sau :

a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng ĐS: x = 22.
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn ĐS : S2 1,54;x n 1, 24
Bài 3 : Cho số liệu :

Số liệu 173 52 81 37

Tần số 3 7 4 5

Tìm số trung bình x , phương sai σ2x .

9. Toán tăng trưởng %. Lãi kép và niên hạn
a.Bài toán về dân số.

VD: Hiện nay, dân số 1 quốc gia là a người, tỷ lệ tăng dân số mỗi năm là m%. Hỏi sau
n năm nữa thì số dân của quốc gia đó là bao nhiêu người?

Giải:

Sau 1 năm, dân số quốc gia đó là A1 = a + a.m = a(1+m)

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

...

Sau n năm, dân số quốc gia đó là

Áp dụng:

a) Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm 2010, dân số nước
ta sẽ là bao nhiêu người. Biết tỷ lệ tăng dân số trung bình là 1,2% /năm.

b) Nếu năm 2020 dân số nước ta có khoảng 100 triệu người, hãy tính tỷ lệ tăng
ds bình qn mỗi năm?

Áp dụng CT trên ta có A2010 = 76,3.(1+1,2%)9 = 84,94721606 (triệu người)

Cũng từ Ct trên suy ra a 1

n
n A

m 

→

19 100 1

76,3

m 

= 1,4%.

b.Bài toán lãi suất ngân hàng.

VD1: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng). Biết lãi suất hàng
tháng là m%. Hỏi sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?

Giải:

Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m).

Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là:

a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] =

[(1+m) -1]
[(1+m)-1]

a

[(1+m) -1]
m

a

Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là:
T2=

[(1+m) -1]
m

a

[(1+m) -1]
m

a

.m =

[(1+m) -1]
m

a

(1+m)
Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là:

Áp dụng:

Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 USD. Biết lãi suất hàng
tháng là 0,35%. Hỏi sau 1 năm, người ấy có bao nhiêu tiền?

Ta áp dụng công thức trên với a = 100, m = 0,35% = 0,0035, n = 12. ta được:
T12 =

100

[(1+0,0035) -1]

0,0035 (1+0,0035)
= 1227,653435 1227,7 USD

VD2:

An = a(1+m)n

Tn =

[(1+m) -1]
m

a

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Một người muốn sau 1 năm phải có số tiền là 20 triệu đồng để mua xe. Hỏi người
đó phải gửi vào ngân hàng 1 khoản tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu. Biết lãi suất
tiết kiệm là 0,27% / tháng.

Áp dụng công thức với T = 20; m = 0,27% = 0,0027; n = 12. ta suy ra:

a = 1 637 639,629 đồng
Bài tập áp dụng

Bài 1:

Dân số Hà Nội sau 2 năm tăng từ 2 000 000 người lên 2 048 288 người, Tính
xem hàng năm, trung bình dân số Hà Nội tăng bao nhiêu phần trăm? (1,2%)
Bài 2:

Dân số nước A hiện nay là 80 triệu người, tỷ lệ tăng dân số bình qn hàng năm
là 1,25%. Tính dân số của nước đó sau 20 năm?

Hướng dẫn:

Cơng thức tính dân số sau n năm là (102 562 979)

Nhận xét:

Hai bài toán về dân số và gửi tiền tiết kiệm là cùng 1 dạng – toán tăng trưởng. Ở
đó, học sinh phải vận dụng các kiến thức tốn học để thiết lập cơng thức tính tốn.
MTĐT BT chỉ giúp chúng ta tính tốn chính xác nhất các kết quả mà số liệu thường rất
to và lẻ.

LỚP 8

Các bài tốn về đa thức
Ví dụ: Tính

  


  

5 4 2
3 2

3x 2x 3x x
A

4x x 3x 5 khi x = 1,816

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans
Ấn phím: 1 . 8165 

2 2

( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 3 Ans x   Ans 1 ) ( 4 Ans ^ 3 Ans x 3 Ans 5 ) 
KQ: 1.498465582

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X
Aán phím: 1. 8165 SHIFT STO X

2 2

( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x   ALPHA X 1) ( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x 3 ALPHA X 5 )     

Kết quả: 1.498465582

Dạng 1: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

a. Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) cho (x-a).

Cơ sở: Giả sửf(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) là thương và r là số dư]
Thế thì f(a) = g(a).(a-a) + r

Suy ra f(a) = o + r hay rf a( )

Nghĩa là: Để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất (x-a) ta chỉ
việc tính giá trị của đa thức tại a. Cịn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner với
quy trình ấn như VD2 sau.

VD1: Tím số dư của phép chia đa thức f(x) = x14-x9-x5+x4+x2+x-723 cho (x-1,624)
Cách làm: 1,624 → X

Nhập biểu thức x14-x9-x5+x4+x2+x-723 (chữ là X) rồi ấn  Kết quả: 85,921

VD2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = x3 -5x2+11x-19 cho (x-2)?.

Mơ hình sơ đồ Hoocner:

Quy trình:
1 → A

1 x A + (-5) = SHIFT abc (Ghi kết quả -3)
x A + 11 = SHIFT abc (Ghi kết quả 5)
x A +(-19)= SHIFT abc (Ghi kết quả -9)

Vậy thương là 1x2 – 3x + 5, dư là -9
b. Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
Cơ sở:

1. “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x

1, x2 thì nó viết được dưới

dạng ax2 + bx + c = a(x-x

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

2. “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ

p

q thì p là

ước của a0, q là ước của a0”.

3. Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có a1=1 thì nghiệm

hữu tỷ là ước của a0”.

4. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x-a).

VD1:Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3.

Khi đó ta viết được: x2 + x - 6 = 1.(x-2)(x+3)

VD2:Phân tích đa thức f(x) = x3+3x2 -13 x -15 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1.

Khi đó ta viết được: x3+3x2 -13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1).

VD3:Phân tích đa thức f(x) = x3- 5x2 +11 x -10 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2.

Nên ta biết được đa thức x3- 5x2 +11 x -10 chia hết cho (x-2).

Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3- 5x2 +11 x -10 cho (x-2) ta có:

Khi đó bài tốn trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-2).

Quy trình:

2 → X

1 x X   5  SHIFT abc

Ghi -3

x X  11  SHIFT abc

Ghi 5

x X  10  SHIFT abc

Ghi 0
Khi đó ta có f(x) = (x-2)(x2- 3x + 5)

Tam thức bậc hai x2- 3x + 5 vô nghiệm nên khơng phân tích thành nhân tử được nữa.

Vậy x3- 5x2 +11 x -10 = ( x-2)(x2- 3x + 5)

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).

Ta có Ư(60) = {1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:

Gán: -1 → X

Nhập vào máy đa thức:X5 + 5X4 – 3X3–X2 +58X -60 rồi ấn dấu  máy báo kq -112

Gán tiếp: -2 → X / # /  / máy báo kq -108

Gán tiếp: -3 →X/ # /  / máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3). Khi
đó bài tốn trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3).

Quy trình:

-3 → X

1 x X  5  SHIFT abc

Ghi 2

x X  3  SHIFT abc

Ghi -9

x X  1  SHIFT abc

Ghi 26

x X  58  SHIFT abc

Ghi -20

x X  60  SHIFT abc

Ghi 0
Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x4+2x3-9x2+26x-20)

* Ta lại xét đa thức g(x) = x4+2x3-9x2+26x-20

Nghiệm nguyên là ước của 20.

Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {1;2;4;5;10;20}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):

Gán: -1 → X

Nhập vào máy đa thức: x4+2x3-9x2+26x-20 rồi ấn dấu  máy báo kq -96

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Gán tiếp: -4 → X / # /  / máy báo kq -180

Gán tiếp: -5 → X / # /  / máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho
(x+5). Khi đó bài tốn trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).

Quy trình:

-5 → X

1 x X  2  SHIFT abc

Ghi -3

x X   9  SHIFT abc

Ghi 6

x X  26  SHIFT abc

Ghi -4

x X   20  SHIFT abc

Ghi : 0
Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x3-3x2+6x-4)

* Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa thức

h(x) = x3-3x2+6x-4

Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được:

h(x) = (x-1)(x2-2x+4)

Ta thấy đa thức (x2-2x+4) vơ nghiệm nên khơng thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x2-2x+4)

c. Tìm dư trong phép chia

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta ln được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r
là một số (không chứa biến x). Thế



ta được P(

b
a



) = r.

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(

b
a



Ví dụ: Tìm số dư trong phép chia:P=

14 9 5 4 2

x x x x x x 723
x 1,624

     


Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

ALPHA X ^14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5 ALPHA X ^ 4 ALPHA X ^ 2 ALPHA X 723      

Kết quả: r = 85,92136979

Bài tập

Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia

5 3 2

x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319
x 2,318

   



Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho  

4 4 2

P x 5x  4x 3x 50

. Tìm phần dư r1, r2 khi

chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?

Dạng2. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được

P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(

b
a



). Như vậy bài tốn trở về dạng tốn 2.1.

Ví dụ: Xác định tham số

1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để x47x32x 13x a2  

chia hết cho x+6.

- Giải - Số dư









4 3

a ( 6) 7( 6) 2 6   13 6 

 

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: ( ) 6 SHIFT STO X

( ) ( ALPHA X ^

4  7 ALPHA X x3  2 ALPHA X x2  13 ALPHA X ) 

Kết quả: a = -222

1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết

cho x + 3?
-- Giải –

Số dư a2 = -









3 3 17 3 625

     

  => a =









3 3 17 3 625

 

    

 

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

( ) ( 3 ( ( ) 3 )  x 17 ( ( ) 3 )  625 ) 

Kết quả: a = 27,51363298

Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để

P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Dạng. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức

Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7–2x5 – 3x4 + x–1 cho x+ 5.

Giải

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

( ) 5 SHIFT STO M 1 ALPHA M 0 ALPHA M 2

ALPHA M ( ) 3 ALPHA M 0 ALPHA M 0
ALPHA M 1 ALPHA M ( ) 1

      

         

      

(-5) (23)

(-118) (590) (-2950)

(14751) (-73756)

Vậy x7–2x5–3x4+x–1=(x+5)(x6–5x5+23x4–118x3+590x2–2590x+14751) – 73756
Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.

a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.

b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi cia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x)
ra tích các thừa số bậc nhất.

c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.

d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.

Bài 2:

a. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. Biết P(1) = 1; P(2) = 4;

P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
b. Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q.

Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11.
Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).

Bài 3:Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.

a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.

b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một
nghiệm duy nhất.

Bài 4:

a. Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.

1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5

3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e.

Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.
Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).

Bài 5: Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c. Biết

1 7 1 3 1 89
f( ) ;f( ) ;f( )

3 108  2  8 5 500.

Tính giá trị đúng và gần đúng của

2
f( )

3 ?

Bài 6:Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.

a. Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648

b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Bài 7: (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25;

P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:

a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x). b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.

c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.

d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).

Bài 8: a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18;

P(4) = 48. Tính P(2002)?

b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa

thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?
Bài tốn hình học.

VD1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDE theo tỷ số đồng dạng k=1,3.
Tính diện tích tam giác CDE biết diện tích tam giác ABC là 112 cm2?

Giải: Ta có

ABC
CDE

S

k

S  thay số vào ta được

112
1,3

CDE

S  → S

CDE = 66,2722 cm2

VD2: Một hình thang cân có hai đường chéo vng góc với nhau. Đáy nhỏ 13,724 cm;
cạnh bên 21,867 cm. Tính diện tích hình thang?

Lời giải: Vì ABCD là hình thang cân → OA = OB = a; OC = OD = b.
Trong tam giác vuông AOB: 2a2 = 13,7242 → a2 = 13,7242 : 2.

13,724 : 2.

a

Trong tam giác vuông BOC: b 21,8672 a2  21,867213,724 : 2.2

Diện tích hình thang có 2 đường chéo d1, d2 vng góc nhau là

1 2

1
d d
2

S

Mà ABCD cân nên d1 = d2 = a+b →

( )
2

S a b

13,724
21,867

B
D

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>



2 2 2



2
1

13,724 : 2 21,867 13,724 : 2.
2

S  

Xây dựng quy trình bấm máy để có kq chính xác nhất:

13,7242 : 2 → A

A X

21,867  A → B

X + B → C

C2 : 2 = (Kết quả là 429,2460871)
Bài 4:

a) Cho U1 = 144; U2 = 233; Un+2 = Un+1+Un (n2)

a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?

b) Áp dụng quy trình trên để tính U12, U37, U38, U39?
b) Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = Un+2 +2Un+1 -2Un (n2)

a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?

b) Tính số hạng lớn nhất và nhỏ nhất có 10 chữ số?
c) Áp dụng quy trình trên để tính U19,U20, U66, U67, U68?

d) Tính tổng 59 số hạng đầu tiên của dãy (S59)?
Bài 5:

Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:

a) 94 325 (5 2 7 3 11)

b) 323 040 401. (79 2 191 3 271)
Bài 6:

Tìm ƯCLN của :

a) 2 261 và 5 149. (19)

b) 320 – 1 và 230 – 1. (11)

Bài 9:

Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường vng góc với AC tại H. Biết BH=
1,2547 cm, BAC 37 28 '50 ''0 . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD?

Bài 10:

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

* Hạ BH ∟DC → DH = AB = 4 cm.
→ HC = 8-4 = 4 cm

→ BC = 5 cm (Pytago)

* Sin C = 3/5 → C = 36052’12’’

* B = 1800 – C = 14307’48’’

H
A

D C

( SHIFT sin1
3

5  SHIFT 0' ''

)

LỚP 9

GÓC VÀ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC ĐỔI ĐƠN VỊ GIỮA ĐỘ VÀ
RADIAN

1). Đổi độ ra radian :

Dùng công thức

180
d







với α: radian d : độ

Ví dụ : Đổi 33°45' ra radian
Dùng công thức

α= πd
180=

π.33°45'
180

Chọn màn hình D bằng cách ấn MODE bốn lần rồi ấn tiếp 1
( màn hình hiện D )

Ấn tiếp SHIFT



´ 33 0’’’ 45 0’’’ ¸ 180 = 0’’’

Kết quả :



0,5890(radian)
Hoặc dùng chương trình cài sẵn

Chọn màn hình R bằng cách ấn bốn lần MODE rồi ấn 2 ( Màn hình hiện R )
Ấn tiếp 33 0’’’ 45 0’’’ SHIFT DRG„ 1 ( D ) =

Kết quả :  0,5890(radian)

2).Đổi radian ra độ :
Ví dụ 1 : Đổi 2



radian ra độ

Chọn màn hình D bằng cách ấn MODE bốn lần rồi ấn tiếp 1
( màn hình hiện D )

Ấn tiếp ( SHIFT



¸ 2 ) SHIFT DRG„ 2 ( R ) = Kết quả : 90 độ

Ví dụ 2 : Đổi 2.345 radian ra độ

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

134.358603 độ , ấn tiếp 0’’’ Kết quả :134 2130.9"0 '
Bài tập thực hành

Bài 1 : Hãy đổi từ độ sang radian các câu sau :

0
)15

a ; b)80 40 550 ' "

;

c

)180

0 ; d)245 30150 ' "

Bài 2 : Hãy đổi từ radian sang độ , phút , giây các câu sau :

)
6

a 

;

2
)

b 

; c)4.27 ;

13
)

d 

; e)1.35

3) Tính giá trị lượng giác của một góc : 
Ví dụ 1 : Tính

a)sin1000 , cos 789 55310 ' '', tg400 12 ' , cot 34 27 56g 0 ' "

3
sin

2


, cos6


, tan 2


, cotg 5.12 (radian)
Tính : a) Chọn màn hình hiển thị chế độ D

Ấn sin 1000 0’’’ =

Kết quả : sin1000 = - 0,9848

Ấn cos 789 0’’’ 55 0’’’ 31 0’’’ =

Kết quả : cos 789 55310 ' '' 0.34324

Ấn tan 400 0’’’ 12 0’’’ =

Kết quả : tg400 12 ' 0.8451

Ấn 1 ¸ tan 34 0’’’ 27 0’’’ 56 0’’’ =

Hoặc ấn tan 34 0’’’ 27 0’’’ 56 0’’’ = x1

Kết quả : cot 34 27 56g 0 ' " 1.4569

b) Chọn màn hình hiển thị chế độ R

Ấn sin ( 3 SHIFT  ¸ 2 ) = Kết quả : -1

Ấn cos ( SHIFT  ¸ 6 ) = Kết quả : 0.5

Ấn tan ( SHIFT  ¸ 2 ) = Kết quả : Math ERROR

(Không xác định )

Ấn tan 5.12 = x1

= Kết quả : - 0.4318

Ví dụ 2 : Cho α là góc tù với sin 0, 4123 .Tìm cos , tg

Chọn chế độ D

Ấn (- ) cos SHIFT sin 0.4123 =
Kết quả : cos α = - 0.9110

( Dấu - ghi bằng phím (- ) , phải thêm dấu trừ - trước biểu thức trên màn hình vì ta
biết cos α < 0)

Ấn „ để đưa con trỏ lên dòng biểu thức và ấn (- ) tan , ta có màn hình
-tan sin−1 0.4123 và ấn = Kết quả tg α = - 0.4526

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Giải : Chọn chế độ D

Ấn 180 0’’’ - SHIFT s in 0.4123 và ấn =
Ta có 155.6506 , ấn tiếp 0’’’ Kết quả :  155 39 2.160 ' "
Ví dụ 4 : Cho sin 0, 4 , cos 0,7 (  , đều nhọn)

Tìm sin(2α+3β)

Giải : sin−1 ghi bằng SHIFT sin
cos1

ghi bằng SHIFT cos

Ghi vào màn hình : sin(2sin 0.4 3cos 0.7)1  1 và ấn =

Kết quả : sin(23 )  0.0676

Ví dụ 5 : Biết

1
2 4

tg 

, tính
1 cos
1 sin





Giải : Ta dùng A thay cho 

Ấn ALPHA A ALPHA = (dấu = màu đỏ ) 2 SHIFT tan 1

b c

a 4 ALPHA : (dấu : màu đỏ ) ( 1 + cos ALPHA A ) ¸ 
( 1 - sin ALPHA A ) = = ab c/

Kết quả :

1 cos 5

1 sin 9









Bài tập thực hành :
Bài 1 : Tính

a)sin( 250 )  , cos 67 51010 ' ''

, tg34,7 , cot ( 88 00 56 )g  0 ' "

7
sin

3


, cos( 6)


,
3.9
tan
12


, cotg 3,784 (radian)

Bài 2 : Cho α là góc nhọn với tan 1,714 .
Tìm cos ĐS :0.5039 ; sin ĐS :0.8637 
Bài 3 : Biết

2
cos

2 3




, tính 2

tan s
tan 2
ìn
 



 ĐS :- 0.09695

Bài 4 : Tính sin

α −cos3α

, biết

3
cos 2

5
 

Ghi chú : sin32x phải được ghi là (sin(2x))3 .ĐS :- 0.6261

BÀI TẬP

1. ( cos 70

1. ( cos 7000 + cos 50 + cos 5000 ) ( cos 310 ) ( cos 31000 + cos 290 + cos 29000 ) + ( cos 40 ) + ( cos 4000 + cos 160 + cos 16000 ) ( cos 320 ) ( cos 32000 - cos - cos

360

36000 ) )

2. sin 240cos 60−sin 60sin 660

sin 210cos 390−sin 390cos 210 ; ; 3. 3.

sin 200cos 100+cos 1600cos 1000
sin 210cos 90+cos 1590cos 990

4. cos 200cos 30−cos 870cos 270

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

6. sin 20

6. sin 200 0 cos 50cos 5000 sin 60 sin 6000 cos 10 cos 1000 ; ; 7. sin7. sin4 4 π

8 + cos + cos4 4
3π

8 + sin + sin4 4
5π

8 + cos + cos44
7π

8. sin 10

8. sin 100 0 sin 30sin 3000 sin 50 sin 5000 sin 70 sin 7000 ; ; 9 . 9 . sin 20sin 200 0 sin 40sin 4000 sin 60 sin 6000 sin 80 sin 8000

10. tg 9

10. tg 900 + tg 15 + tg 1500 - tg 27 - tg 2700 - ctg 27 - ctg 2700 + ctg 9 + ctg 900 + ctg 15 + ctg 1500

11.

11. sin 200sin 400sin 600sin 800

sin 100sin300sin 500sin 700 ; ; 12. 12.

cos 700cos 100

+cos 800cos 200
cos 690cos 90

+cos 810cos 210

13.

13. cos670cos 70−cos 830cos 230

cos1280cos 680−cos380cos 220 ; 14. ; 14.

sin 220cos 80+cos 1580cos 980
sin 230cos 70+cos 1570cos 970

15. cos

15. cos 33π cos cos 332π cos cos 334π cos cos 338π cos cos 1633π ; ;
16. cos

16. cos 312π cos cos 314π cos cos 318π cos cos 1631π cos cos 3231π
17. tg 20

17. tg 2000 cos cos -1-1 20 2000 tg 40 tg 4000 cos cos -1-1 40 4000 tg 60 tg 6000 cos cos -1-1 60 6000 tg 80 tg 8000 cos cos -1-1 80 8000

18. sin 10

18. sin 1000 sin 20 sin 2000 sin 30 sin 3000 sin 40 sin 4000 sin 50 sin 5000 sin 60 sin 6000 sin 70 sin 7000 sin 80 sin 8000

19. cos

19. cos 15π cos cos 152π cos cos 153π cos cos 154π cos cos 155π cos cos 156π cos cos 157π
20. cos

20. cos 15π cos cos 152π cos cos 153π . . . cos . . . cos 1215π cos cos 1315π cos cos 1415π
21. Cho tgx = 2,324 . Tính A =

21. Cho tgx = 2,324 . Tính A = 8 cos3x −2 sin3x+cosx
2cosx −sin3x

+sin2x

22. Cho sin x = 0,32167 ( 0 < x < 90

22. Cho sin x = 0,32167 ( 0 < x < 900 0 ) . Tính A = cos) . Tính A = cos22 x - 2 sin x - sin x - 2 sin x - sin3 3 x x

23. Cho sin x =

23. Cho sin x = 35 ( 0 < x < 90 ( 0 < x < 900 0 ) . Tính B = ) . Tính B = 2 cos2x+5 sin 2x+3 tg2x

√

5 tg22x+6 cotg2x

24. Cho cos x = 0,7651 ( 0 < x < 90

24. Cho cos x = 0,7651 ( 0 < x < 900 0 ) . Tính C = ) . Tính C = cos3x −sin2−2
cosx+sin2x

25. Biết sin

25. Biết sin α = 0,3456 ( 0 < = 0,3456 ( 0 < α < 90 < 900 0 ) . Tính M = ) . Tính M = cos
3α.(1

+sin3α)+tg2α
(cos3α

+sin3α).cotg3α

26. Biết cos

26. Biết cos22 α = 0,5678 ( 0 < ( 0 < α < 90 < 900 0 ) . Tính N =) . Tính N =
sin2α(1+cos3α)+cos2α(1+sin3α)

(1+tg2α) (1+cotg3α)

√

1+cos4α

27. Biết tg

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Tính K =

Tính K = tg

2α(1

+cos3α)+cotg2α(1+sin3α)
(sin3α

+cos3α)(1+sinα+cosα)

Chuyên đề 6 : TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
1)Phương pháp 1 : Dùng phương pháp lặp .

Với phương trình f(x) = 0 , ta biến đổi tương đương để có :
x = g (x)

Chọn giá trị x1 và tính

x2 = g(x1)

x3 = g(x2)

...
xn = g(xn-1)

Nếu dãy số { xn } hội tụ thì sau một số hữu hạn bước ta tìm đựơc giá trị gần đúng

của nghiệm phương trình f(x) =0 và ta dừng lại ở xi với độ chính xác tuỳ ý .
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x −√6x −1=0

Giải : Biến đổi x = g(x) = 6

√x+1

Ấn một số dương ( ví dụ ấn 3 ) rồi ghi vào màn hình
và ấn . . . cho đến khi 2 kết quả liên tiếp (gần giống) nhau.

ĐS : x = 2,1347

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x +ln x = 0

Giả

i : Biến đổi x = g(x) = e- x

Chọn một số bất kỳ (ví dụ ấn 3 ) rồi ghi lên màn hình biểu thức e-Ansbằng

cách ấn

và ấn . . . cho đến khi 2 kết quả liên tiếp (gần) giống nhau.
ĐS : x = 0,5671

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình cosx - tgx = 0

Giải : Biến đổi x = g(x) = arctg(cosx)

Đưa vào màn hình chế độ bằng cách ấn

Chọn một số bất kỳ (ví dụ ấn 2 = ) rồi ghi lên màn hình biểu thức

và ấn . . . cho đến khi 2 kết quả liên tiếp (gần) giống nhau.
ĐS : x = 0,6662

Ví dụ 4 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x - cotgx = 0

Giải : Biến đổi x = g(x) = 1/tgx  tgx = 1/ x  x = arctg (1/x) = g(x)

Đưa vào màn hình chế độ bằng cách ấn

= 6 x

√❑ Ans
+1

=
= =

SHIFT ex= ( -) Ans

=
= =

R MODE MODE MODE 2

tan-1 cos Ans
=

= =

R MODE MODE MODE 2

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Chọn một số bất kỳ (ví dụ ấn 2= ) rồi ghi lên màn hình biểu thức

và ấn . . . cho đến khi 2 kết quả liên tiếp (gần) giống nhau.
ĐS : x = 0,8603

Ví dụ 5 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x - cosx = 0  x = cosx

Đưa vào màn hình chế độ bằng cách ấn

Chọn một số bất kỳ (ví dụ ấn 1 = ) rồi ghi lên màn hình biểu thức

và ấn . . . cho đến khi 2 kết quả liên tiếp (gần) giống nhau.
ĐS : x = 0,73908

Ví dụ 6 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x - √x = 1  x = √x +1

Chọn một số bất kỳ (ví dụ ấn 2= ) rồi ghi lên màn hình biểu thức

và ấn . . . cho đến khi 2 kết quả liên tiếp (gần) giống nhau.
ĐS : x = 2,61803

Bài tập áp dụng :

1). Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình : a). x - √x -1 = 0

Giải : Đặt x = √x + 1 chọn x1 = 3

Ấn nhiều lần phím : √❑ Ans + 1 = = ... = Kết quả : 2,613033989
b). x3 + 5x -1 = 0

Giải : Đặt : x = 1− x3

5 chọn x1 = 0,5

Ấn nhiều lần phím 1−Ans5 3^ = = ... =
c). 2x+3x+4x =10x

Giải : Đặt : x = g(x) = log() chọn x1 = 2

Ấn nhiều lần phím log ( 2^Ans +3^Ans +4^Ans) = = ... =

Kết quả : 0,90990766
2). Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình sau :

a). x - 4

√x = 2 ĐS : x = 3,35321

b). x - 3

√x = 2 ĐS : x = 10,1663

c). x - 8

√x = 1 ĐS : x = 2,0970

2). Phương pháp 2 : Dùng đạo hàm kết hợp với phép lặp . g(x) = x - f 'f(x)
(x)

Ví dụ 1 : Tìm 1 nghiệm ( gần đúng ) của phương trình : x7 - 19x2 - 52 = 0

Chọn g(x) = x - x

- 19x2 - 52
d/dx(x7 - 19x - 52,x)

Chọn một số bất kỳ (ví dụ ấn 5 = ) rồi ghi lên màn hình biểu thức:
Ans - Ans7^−19 Ans2^−52

d/dx(x7^−19x2^−52,Ans)

=
= =

R MODE MODE MODE 2
cos Ans
=

= =

√❑ Ans +1

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

và ấn . . . cho đến khi 2 kết quả liên tiếp (gần) giống nhau.
ĐS : x = 2

Ví dụ 2 : Tìm 1 nghiệm ( gần đúng ) của phương trình : 3x + 4x + 5x - 11x = 0

Chọn một số bất kỳ (ví dụ ấn 2= ) rồi ghi lên màn hình biểu thức

Ans - ( 3^Ans+4^Ans+5^Ans - 11^Ans) d/dx(3^x+4^x+5^x-11^x,Ans)

và ấn . . . cho đến khi 2 kết quả liên tiếp (gần) giống nhau.
ĐS : x = 1,088001722

3).Phương pháp 3 : Dùng lệnh Sovle .

Giống như tìm 1 nghiệm thực gần đúng của phương trình f(x) = 0 với các hệ số đặt
trước ẩn X thay đổi được .

Ví dụ 1 : Tìm 1 nghiệm gần đúng của phương trình .

Acos3x - 4x - 1 = 0 ( chọn đơn vị đo góc là radian )
Ghi vào màn hình Acos(3X) - 4x - 1 = 0 ( dấu = màu đỏ )

Ấn

Màn hình hiện

Ấn 2 ( nhập A = 2 )
Màn hình hiện

Ấn

Kết quả : X = 0,179352718
Ấn

Ấn 3 ( nhập A = 3 )
Ấn

Kết quả : X = 0, 268905188
Nếu phương trình khơng có nghiệm thực máy hiện :

Can't SOLVE ( không giải được ) 
Ví dụ 2 : Tìm 1 nghiệm gần đúng của phương trình x5 - x +0,2 = 0

Ghi vào màn hình x^5 - x +0,2 = 0 ( dấu = màu đỏ )
Ấn

Màn hình hiện
Ấn 1
Ấn

Kết quả : X = 0,942086865
Ấn

Màn hình hiện
Ấn -1
Ấn

=
= =

SHIFT SOLVE

A ?
=

X ?
SHIFT SOLVE

SHIFT SOLVE A ?

= X ?

SHIFT SOLVE

X ?
=

SHIFT SOLVE
SHIFT SOLVE

X ?

= X ?

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Kết quả : X = - 1, 0447617
Ấn

Màn hình hiện
Ấn 0,5
Ấn

Kết quả : X = 0, 2000322589
Chú ý : Cũng có một số phương trình có nghiệm thực nhưng lệnh

không giải được ( hiện Can't Solve )

Dạng tìm số theo điều kiện cho trước

Bài 1:Tìm số tự nhiên bé nhất mà lập phương số đó có 4 chữ số cuối bên phải đều là
chữ số 3. Nêu quy trình bấm phím.

Trong các số từ 0 đến 9, chỉ có 73 = 343 (có chữ số cuối là số 3.

0 Shift STO A, Alpha A, Alpha =, Alpha A +1, Alpha :, (10 Alpha A +7)3, bấm phím =

9 lần, chỉ thấy 773 có 2 chữ số cuối đều là chữ số 3.

0 Shift STO A, Alpha A, Alpha =, Alpha A +1, Alpha :, (100 Alpha A + 77)3, bấm

phím = 9 lần, chỉ có A = 4, tức là 4773 có 3 chữ số cuối là 3.

0 Shift STO A, Alpha A, Alpha =, Alpha A +1, Alpha :, (1000 Alpha A + 477)3, bấm

phím = 9 lần, chỉ có A = 6, tức là 64773 2.717200533 10 11, số này đã vượt quá 10 chữ

số thập phân, máy làm tròn đến hàng trăm, để tìm 4 chữ số cuối đầy đủ, ta ấn phím

Ans - 2.7172005 10 3333.

Vậy: số nguyên dương nhỏ nhất thỏa điều kiện là 6477.

Bài 2:Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có ba chữ số abc sao cho abc a3 b3 c3

   . Có cịn 
số ngun dương nào thỏa mãn điều kiện trên nữa không ? Nêu sơ lược cách tìm.

Giải: 100 Alpha A + 10 Alpha B + Alpha X - (Alpha A3 + Alpha B3 + Alpha X3),

CALC, bấm giá trị A là 1, B là 0, X là 0, =, =, bấm giá trị A là 1, B là 0, X là 1, =, = ,...
cho đến khi X nhận giá trị 9, xem kết quả của biểu thức 100A+10B+X-(A3+B3+X3) xem

có bằng 0 ?

A là 1, B là 1, X là 0, =, =, bấm giá trị A là 1, B là 0, X là 1, =, = ,... cho đến khi X nhận
giá trị 9.

.... cho đến khi B = 5 và X = 3, thì biểu thức bằng 0.

Thực hiện tiếp ta chỉ tìm được thêm 3 số nữa thỏa điều kiện bài toán.

Cách 2: 100 Alpha A + 10 Alpha B + Alpha X - (Alpha A3 + Alpha B3 + Alpha X3)

Alpha = 0. Dùng chức năng SOLVE, chọn A=1, B=0, X=0 (giá trị đầu), Shift SOLVE,
lặp lại nhiều lần, thay X =1, 2, ..., 9, rồi A=1, B=1, X=0, ... cho đến khi phương tr×nh
có nghiệm ngun, tìm được số nhỏ nhất là 153.

SHIFT SOLVE

X ?

= X ?

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Bài 3: Tìm 11 s t nhiên liên ti p có t ng các bình phố ự ế ổ ương c a chúng l m t sủ à ộ ố
chính phương nh h n 10000.ỏ ơ

Cách giải Kết quả

Gọi 11 số tự nhiên liên tiếp là: n-5, n-4, n-3, n-2, n-1,
n, n+1, n+2, n+3, n+ 4, n+5. (n≥5).

Ta có: S = (n-5)2 + (n-4)2 + (n-3)2 + (n-2)2 + (n-1)2 +

n2 + (n+1)2 + (n+2)2 + (n+3)2 + (n+ 4)2+ (n+5)2 = 11n2

+ 110 = 11(n2 + 10).

S là số chính phương khi và chỉ khi n2 +10 = q.11,

với q là số chính phương.Ghi vào màn hình:
D = D + 1 : A = (D2 + 10) ÷ 11 , CALC D=5

Ta chọn được D = 23.Vậy n = 23. S2 = 772. Dãy số là:

u1 = 18, u2 = 19, u3 = 20,

u4 = 21, u5 = 22, u6 = 23,

u7 = 24, u8 = 25, u9 = 26,

u10 = 27, u11 = 28.

Bài 4 : Tìm hai số nguyên dương x bé nhất sao cho khi lập phương mỗi số đó ta được
một số có 2 chữ số đầu (bên phải) và 2 chữ số cuối (bên trái) đều bằng 4, nghĩa là

3 44...44

x  . Nêu qui trình bấm phím.

Giải : Trong các số từ 0 đến 9, chỉ có 43 = 64 (có chữ số cuối là 4)

0 Shift STO A, Alpha A, Alpha =, Alpha A + 1, Alpha :, (10 Alpha A + 4)3, bấm 9 lần

phím = , chỉ có 143 và 643 là có 2 chữ số cuối là 4.

0 Shift STO A, Alpha A, Alpha =, Alpha A + 1, Alpha :, (100 Alpha A + 14)3, bấm 9

lần phím = , khơng tìm được số nào lập phương có 2 chữ số đầu là 4.

0 Shift STO A, Alpha A, Alpha =, Alpha A + 1, Alpha :, (100 Alpha A + 64)3, bấm 9

lần phím = , tìm được số 764 lập phương có 2 chữ số đầu đều là 4 và 2 chữ số cuối đều
là 2.

Bài 5: Cho 4 số nguyên nếu cộng 3 số bất kì ta được các số là 180, 197, 208, 222. Tìm
số lớn nhất trong các số đó.

Bài 6: Tìm số có 4 chữ số abcd biết rằng số 2155abcd9 là một số chính phương.

Bài 7: Tìm các số tự nhiên x1, x2, ..., x8 thỏa mãn





1 2 3 4 5 6 7 8 6 8

x x x x x x x x = x x
.

Bài 8: Tìm 2 số tự nhiên a, b với a lớn nhất có 3 chữ số và thỏa mãn :
a3 + a2 - ab - b2 = 0.

Bài 9:Giá trị x và y nguyên sao cho :

1 3 4

x y  .

Bài 10: Số P=

17712 81

ab

.Tìm a,b biết a+b=13
b) Số Q=15 26849cd .Tìm c,d biết c2+d2=58

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Bài 11:Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho
7

Bài 12:Thay các chữ a, b, c bằng các chữ số thích hợp trong biểu thức sau: a.
481abc abc: 1481 b.Tìm các số a, b, c để a5bcd 7850

Bài 13: Biết rằng số 80a1a2a3a4a5a6a73 là lập phương của một số tự nhiên. Hãy tìm các

chữ số a1;a2 ;a3; a4;a5 ;a6;a7.

Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số

cuối đều bằng 7 tức là n3 = 777....7777. 
Bài 15

a) Cho x,y,z,t là các số .Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất có dạng A= 2x3y4z5t mà
Achia hết cho 29

b. Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất có dạng D=2x3yz6t với 0 x, y, z, t 9; x, y, z,
t N, biết D chia hết cho 29.

Bài 16: Biết số có dạng N = 1235679x4y chia hết cho 24. Tìm tất các số N ( giá trị
của các chữ số x và y).

Bài 17: Tìm 9 cặp 2 số tự nhiên nhỏ nhất ( kí hiệu a và b, trong đó a là số lớn b là số
nhỏ) có tổng là bội của 2004 và thương là 5.

Bài 18: 1. Tìm tất cả các số mà khi bình phương sẽ có tận cùng là 3 chữ số 4.
2. Có hay khơng các số mà khi bình phương sẽ có tận cùng là 4 chữ số 4.

Bài 19: Có bao nhiêu số tự nhiên m là số của số

N=1890.1930.1945.1954.1969.1975.2004 nhưng không chia hết cho 900.

Bài 20: Tìm một số gồm 3 chữ số dạng xyz biết tổng của 3 chữ số bằng kết quả của
phép chia 1000 cho xyz .

Bài 21: Tìm tất cả các số dạng 34x5y chia hết cho 36.

Bài 22:Tìm số có 3 chữ số abc biết rằng số 62abc64 là một số chính phương

Bài 23: Tìm các chữ số a ; b ; c ; d để có : acd b2 = 47424

Bài 24:Tìm số nhỏ nhất có dạng D = 2x3 yz 6t với 0 t , z , y , x ≤9 ; x,y,z,t là các số tự
nhiên và D chia hết cho 29.

Bài 25: Tìm tất cả các số tự nhiên có dạng 9abc = 94 + a4 + b4 + c4

Bài 26: Tìm tất cả các số tự nhiên có dạng:1ab = a3+b3+1 Với các số nguyên a,b 0

a £ 9 , 0 £ b £ 9

Bài 27: Tìm tất cả các số tự nhiên có dạng 4ab = 43+ a3+b3 .Với các số nguyên a,b 0

£ a £ 9 , 0 £ b Ê 9

B

à i 28:Tìm tất cả các số tự nhiên có dạng bxyz = 84 + x4 + x4 + z4 .

B

à i 29.Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 70573, 57829 và 52213 cho a ta
đ-ợc cùng một số d.

Gi

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

5616 đều chia hết cho a, mà a là số tự nhiên lớn nhất nên a chính là
ƯCLN(12744,5616)=216. Vậy a=216

Bài 30. Tìm số tự nhiên bé nhất mà lập phương số đó có 4 chữ số cuối bên phải đều là
chữ số 3. Nêu quy trình bấm phím.

Bài 31:Tim số tự nhiên nhất biết rằng khi chia số đó cho 4 thì dư 1, cho 5 thì dư 2, cho
6 thì dư 3, cho 7 thì dư 4, cho 8 thì dư 5, cho 9 thỡ dư 6, cho 10 thì dư 7, cho 11 thì dư
8, cho 12 thì dư 9, cho 13 thì dư 10, cho 14 thì dư 11, cho 15 thì dư 12

Bài 32: Tìm các số a , b, c, d, biết 3a . bcd = 4464

Bài 33: Tìm các số a , b, c, d, biết a5 . bcd = 8055

Bài 34:Tìm tất cả các số tự nhiên có dạng: N 12345 6x ychia hết cho 24.

Bài 35: Tìm số nguyên x biết nếu nhân số đó với 12 rồi cộng thêm 0,5 số đó thì được
bình phương số đó cộng với 21

Bài 36.Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 17 thì dư 2 và khi chia
cho 29 thì dư 5. Đáp số :1000000335

Bài 37: Tìm số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất có 9 chữ số mà khi chia cho 5;7;9;11 thì số
dư lần lượt là 3;4;5;6.

Bài 38: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:1 2 3 4x y z chia hết cho 7.

Giải:

- Số lớn nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải có dạng:
19293 4z với z {0, 1, 2,...,8, 9}

lần lượt thử với z = 9; 8; 7; 6; 5... đến z = 5, ta có:
1929354  7 = (275622)

Vậy số lớn nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 là 1929354, thương là 275622
- Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải có dạng:

10203 4z với z {0, 1, 2,...,8, 9}

lần lượt thử với z = 0; 1; 2; 3... đến z = 3, ta có:
1020334  7 = (145762)

Vậy số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 là 1020334, thương là 145762

Bài 39:Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:1 2 3 4x y z chia hết cho
13.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Bài 40:(Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004)

Tìm tất cả các số n dạng: N 1235679 4x y chia hết cho 24.

H.Dẫn:

- Vì N  24 ị N  3 ; N  8 ị (37 + x + y)  3 ; x y4  8. ị y chỉ có thể là 0; 2; 4 ; 6 ; 8.

Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1)  3 và x y4  8, ta có:

N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840

Bài 41: Tìm các số khi bình phơng sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay khơng các số
khi bình phương có tận cùng là bốn chữ số 4 ?

H.Dẫn:

- Chữ số cuối cùng của x2 là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên 
máy bình phương của số: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68,
78, 88, 98

ta chỉ có các số: 12, 62, 38, 88

khi bình phương có tận cùng là hai chữ số 4.
- Tính trên máy bình phương của các số:

12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938
88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta được: 462, 962, 38, 538 khi bình phơng có tận cùng là 444.

* Tương tự cách làm trên, ta có kết luận: khơng có N nào để N2 kết thúc bởi 4444.
Bài 42: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn:

1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị
2) Là số chính phương.

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

- Gọi số cần tìm là: n a a a a a a 1 2 3 4 5 6 .

- Đặt x a a a 1 2 3. Khi ấy a a a4 5 6  x 1 và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2

hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.

Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai thừa số của
vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số cịn lại của vế trái.

Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số:n = 183184 ; 328329 ; 528529 ;
715716.

Bài 43: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393
cũng như 655 đều có số dư là 210.

H.Dẫn:

- Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 ị x -210 chia hết cho 393

x = 655.q2 + 210 vậy x -210 chia hết cho 655

vậy x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
vậy x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210

- Từ gt 10000 < x < 15000 ị 10000 < 1965k + 210 < 15000hay 9790 < 1965k < 14790 ị
5£ k < 8.

Tính trên máy:

Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000

Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 =13965.Vậy các số phải tìm là:10035, 12000,
13965

Bài 44: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.

Giải:

- Vì các số 5, 7, 9 đơi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z sao
cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

ị 30 + xyz chia hết cho 315. Vì 30 £ 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các bội

của 315 trong khoảng (30 ; 1029):

- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285
- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600

- Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915
Vậy ta có đáp số sau:

x y z

2 8 5

6 0 0

9 1 5

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1). Hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn :

Ấn MODE MODE 1 3 để vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn.
Ta ln ln đưa hệ phương trình về dạng

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d

  





  


   


rồi mới nhập hệ số lần lượt vào máy

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

4 5 9 0
2 5 3 7 0

2 6 9 0

x y z

y z

   




   


   

 Ta đưa về dạng :

4 5 9

2 5 3 7

2 6 9

x y z

y z

  




  


  



rồi nhập hệ số

Giải :

Gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn như sau
Ấn MODE MODE 1 (EQN) 3

Ấn tiếp 1 = (-) 4 = 5 = 9 =

2 = 5 = (-) 3 = (-) 7 =
0 = (-) 2 = 6 = (-) 9 =
Kết quả : x = 4.5192 ấn tiếp SHIFT ab c/

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Kết quả

235
252

x

, ấn = y = -5.1346
ấn tiếp SHIFT ab c/

Kết quả

267
52

y

ấn = z = - 3.215 ấn tiếp SHIFT ab c/

Kết quả

167
452

z
Để thoát khỏi chương trình giải hệ phương trình , ta ấn

SHIFT MODE 2 = =

Bài tập thực hành 
Bài 1 :

Giải các hệ phương trình sau

a)
1

5 2 0

4 5 7 9 0
3

4 5 0

x y z

x y z

x y z


   


    


    

 ĐS :

190
59
13
59
42
59
x
y
z















b)

5 4 6 7

2 3 10

3 2

z y x

y x z

x z y

  



   

   

 ĐS :

65
12
23
24
13
3
x
y
z













c)





2 3 1

3
3
5 3

2 5 7

x y z

x z

x y z


  



  


   



 ĐS :

4.0551
2.5224
2.4978
x
y
z





 


Bài 2 : Văn phòng bán vé xem vòng loại bóng đá World Cup có bán ba loại vé hạng 1
, hạng 2 và hạng 3 .

Ngày thứ nhất bán được 1500 vé hạng 1 , 1890 vé hạng 2 , 2010 vé hạng 3 ,
tương ứng với số tiền bán được là 259200 bảng Anh

Ngày thứ hai bán được 1350 vé hạng 1 , 1983 vé hạng 2 , 2115 vé hạng 3 , tương
ứng với số tiền bán được là 256440 bảng Anh

Ngày thứ hai bán được 1023 vé hạng 1 , 995 vé hạng 2 , 1879 vé hạng 3 , tương
ứng với số tiền bán được là 173310 bảng Anh .

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

ĐS : Hạng 1 : 70 bảng Anh / vé
Hạng 2 : 55 bảng Anh / vé

Hạng 3 : 25 bảng Anh / vé

2).Phương trình có chứa căn bậc hai :

Một số phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai cũng có thể tìm được nghiệm
(gần đúng ) bằng lệnh SOLVE

Ví dụ 1 : Giải phương trình √2x −3=x −3

Ấn ( 2 ALPHA X - 3 ) - ALPHA X + 3
ấn tiếp SHIFT SOLVE

Máy hỏi X ? ấn 2 = SHIFT SOLVE
Kết quả X = 6

Ví dụ 2 : Giải phương trình 2x23x 2  x 2

Ấn ( 2 ALPHA X x2

+ 3 ALPHA X - 2 ) - ALPHA X + 2 , ấn
tiếp SHIFT SOLVE

Máy hỏi X ? ấn 1 = SHIFT SOLVE Kết quả X = 3
Ấn tiếp = Máy hỏi X ? ấn (-) 2 SHIFT SOLVE
Kết quả X = - 2

Bài tập thực hành

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

) 4 3 2

a x  x ĐS : x = 7.87298

) 3 2 4

b x  x ĐS :

13
4

x

) 4 3 3 6

c  x  x ĐS : x = -1.09457

Bài 2 : Giải các phương trình sau :

) 2 4

a x  x x ĐS : x = 2.57143

) 5 3 2 3 1

b x  x  x ĐS :

1
4

x

)2541

cxxx

 ĐS : x = - 4.20101

3). Phương trình bậc 3 :

Ví dụ 1 : Giải phương trình bậc 3 sau 2x3x2 8x 4 0
Gọi chương trình giải phương trình bậc 3

Ấn MODE ba lần 1 (EQN) „ 3
Máy hỏi a ? ấn 2 =

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Kết quả:
1
2
3
2
2
0.5
x

x
x





 


Nếu ấn tiếp ab c/

thì 3
1
2

x 

Ví dụ 2 : Giải phương trình bậc 3 sau

3 2 3 15

2 5 0

2
2

x  x  x 

Làm tương tự như trên , ta thấy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm thực là
x = 3.5355 ( hai nghiệm còn lại đều là số ảo ( có chữ i ), khơng nhận ) .

· Để thốt khỏi chương trình giải phương trình bậc 3, ta ấn
MODE 1

Ví dụ 3 : Giải phương trình bậc 3 sau x3+13x2+35x −49=0
Nhập vào các hệ số là a = 1 , b = 13 , c = 35 , d = ─ 49

Máy Casio fx -500MS và fx-570MS cho nghiệm : x1=1 , x2=−7 ( nghiệm kép )
Bài tập thực hành

Giải các phương trình bậc 3 sau (chỉ tìm các nghiệm thực)

a) x3x2 3x 3 0 ĐS :

1
2
3
1.7320
1.7320
1
x
x
x


 


 

b)

3 2 3 1

3 0

2 2

x x  x 

ĐS :
1
2
3
0.7071
0.7071
0.5773
x
x
x





 


c) 3x32x2 x14 0 ĐS : x = - 2
d)

3 15 2 18 27 0

2 2

x  x  x 

ĐS :
1
2,3
1.5
3
x
x





4). Phương trình trùng phương :

Phương trình trùng phương là phương trình bậc bốn dạng :

4 2 0

ax bx  c ( a¹ 0)

Ví dụ : x411x228 0 (1)

Đặt tx2 > 0:(1) • t2 11t280

Vào chương trình giải phương trình bậc 2 :
Nhập a = 1 , b = -11, c = 28

Ta được hai nghiệm : t1 7,t2 4

Với t = 7

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Với t = 4
2
2
x
x


  


Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm .

Bài tập thực hành

Giải các phương trình sau :

4 2

)2 80 288 0

a x  x   ĐS : x = 2 ; x= -2 ;x = 6 ; x = -6

4 64 2 162

)2 0

49 49

b x  x  

ĐS :
9
7
x
;
9
7
x

5).Hệ phương trình bậc 2 hai ẩn :

Máy khơng có chương trình để giải hệ phương trình này nhưng nếu đưa về một ẩn
được thì cũng có thể tìm nghiệm

Ví dụ : Giải hệ phương trình

2 3 2 2 3 16 0

2 6 0

x y x y xy

x y
      

   

Giải :

Từ phương trình thứ hai tính y theo x : y = 2x- 6 , thay vào phương trình thứ nhất và rút
gọn , ta được :7x2 50x86 0

Ấn MODE ba lần 1 „ 2 ( để giải phương trình bậc 2 )
Nhập 7 = (-) 50 = 86 = Kết quả x14.2565

ấn tiếp = Kết quả x2 2.8863

Ta được hai nghiệm : x14.2565,x2 2.8863

Bài tập thực hành

Giải các hệ phương trình sau :

2 2

3 3 5 2 2 9

)

x y xy x y

a

x y xy

     


  

 ĐS:

3.1172
0.9430
x
y




 và
0.9430
3.1172
x
y






2 2
2 2

4 4 2 12

)

2 2 8 7

x y xy

b

x y x y xy

   




    



 ĐS:

0.7260
1.4014

x
y




 ;
1.4014
0.7260
x
y





 
1.1384
1.0513
x
y




 ;
1.0513
1.1384
x
y







6.Giải phương trình bậc lớn hơn ba :

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :x4 3x32x2 5x 8 0

Ấn ALPHA X ^ 4 - 3 ALPHA X ^ 3 + 2 ALPHA X x2

- 5 ALPHA X + 8
Ấn tiếp SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá trị ban đầu để dò
nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính tốn giây lát ) . Kết quả : x
= 1.48917

Ta tìm thêm có nghiệm thực nào nữa hay không ?

Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ấn 3 = SHIFT SOLVE
( đợi máy tính tốn giây lát ) .

Kết quả : x = 2.48289

Ta có thể cho giá trị ban đầu lớn hơn hoặc nhỏ hơn nghiệm vừa tìm được để dị nghiệm
( đối với phương trình này có thể cho giá trị ban đầu là 100 hoặc -100 , các phương
trình khác nếu cho giá trị ban đầu là số lớn thì máy tính sẽ lâu hơn hoặc sẽ báo ngồi
khả năng tính tốn)

Kết luận :ta tìm được 2 hai nghiệm thực như trên ,về mặt lý thuyết phương trình có thể

có tối đa là 4 nghiệm thực phân biệt .Tuy nhiên với 2 nghiệm vừa tìm được ta có thể
dùng Hoocne đưa phương trình trên về dạng tích rồi kiểm tra xem có thêm nghiệm thực
nào nữa hay khơng .Vì đã kiểm tra bằng Hoocne nên ta kết luận ngay phương trình đã
cho chỉ có 2 nghiệm thực mà thơi .

Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :x9 2x7 x4 5x3 x 12 0

     

Ấn ALPHA X ^ 9 - 2 ALPHA X ^ 7 + ALPHA X ^ 4 + 5 ALPHA X ^ 3 - 12
Ấn tiếp SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá trị ban đầu để dò
nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính tốn giây lát ) . Kết quả : x
= 1.26857

Ta tìm thêm có nghiệm thực nào nữa hay không ?

Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ấn 10 = SHIFT SOLVE (đợi
máy tính tốn giây lát ) .

Kết quả : x = 1.26857

Đối với bài trên do bậc cao nên chỉ dò nghiệm bằng cách cho giá trị ban đầu khác
nhau .Ta cũng khơng biết phương trình có cịn thêm nghiệm thực nào nữa hay khơng .
Ta chỉ có thể kiểm tra bằng chương trình Maple hoặc Mathematica trên máy vi tính
.Tuy nhiên với máy tính bỏ túi fx-570MS có thể tìm ra hầu hết nghiệm thực nếu ta biết
chọn giá trị ban đầu phù hợp .

Ví dụ 3 : Giải phương trình sau :x60x20 x128x94x15 0
Giải tương tự như trên , ta tìm được hai nghiệm là x = 1.011458 ,
x = - 1.05918

Bài tập thực hành

Giải các phương trình sau :

4 3 2

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

12 9 7 2

b)x  4x  2x 8x  3x 4 0 ĐS :x1.10352,x=1.65157

70 45 20 12

c)x  x 5x  10x 4x 25 0 ĐS : x =-1.04758 , x= 1.05221
BÀI TẬP

1

1. .

y+0,3¿2=1
¿
x+y=0,9

¿
x+0,2¿2+¿

¿
¿

;

;22. .

¿
x3

+y3=7
x3y3=−8

¿{
¿

;

; 3.3.

¿
x−1

+y−1=5
x−2+y−2=13

¿{
¿

4

4. .

¿
x
y+
y
x=
13
6
x+y=5

¿{
¿

;

; 5. 5.

¿
x − y=1
x3− y3=7

¿{
¿

;

; 66. .

y −1−

1
y+1=

1
x
y2− x −5=0

¿{
¿

7.

¿
y2−xy=−12

x2−xy=28
¿{

;

; 8. 8.

¿
x+y+x

y=9
(x+y)x

y =20

¿{
¿

;

; 9. 9.

¿
x2y+xy2=6
xy+x+y=5

¿{
¿
 
 
10.
10.
¿
x2y3+x3y2

=12
x2y3− x3y2=4

¿{

;

; 11. 11. 3

√

24+√x −

√

35+√x=1

12.

12. 3

√x+34−3

√x −3=1 ;; 13. 13. x2+3x −18+4

√

x2+3x −6=0

14.

√

x2

+32−2

√

4x2+32=3 ;; 15. 15. 
5

√

(5x+2)3−165

√

(5x+2)3

=6

16.

16. x3

√x −4

√

3x2

+4=0 ;; 17. 17. 3√3x −5

√

3 x−1

=2x−1

18.

18. x2

√

x2+20=22 ;; 19. 19. 3 4

√x+2+
3

√x+3

5 =2

20.

√

x3+8+

√

4x3+8=6 ; ; 21. 21. (5− x)√5− x+ (x −3)√x −3

√5− x+√x −3 =2

22.

22. √x+1−√9− x=√2x −12 ; ; 23. 23. 1

x −

√

x2− x−
1
x+

√

x2− x

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

24.

24. 
3

√

x4−1
3

√

x2−1−
3

√

x2−1

√x+1 =4 ; ; 25. 25.

√

5+
3

√x+

√

5−√3 x=√3 x

26.

√

x√5 x −

√

5x√x=56 ; ; ;; 27. 27.

√

x2+9−

√

x2−7=2 ; ;

28.

√

10− x2

√

x2+3=5 ;; 29. 29. √x −2+√x −7=√x+5+√x −10 
30.

30.

√

2+√x −5=√15− x

: TÍNH SỐ HẠNG CỦA DÃY FIBONACCI SUY RỘNG
I. DÃY FIBONACCI :

1). Dạng tổng quát : u1 = 1 , u2 = 1 , un+1 = un + un - 1

Số hạng un gọi là số Fibonacci .
2). Quy trình bấm phím :

a). Máy Fx- 570 MS :
Cách 1 :

Quy trình 1 :

Bấm phím 1 1

Và lặp lại dãy phím

Giải thích :

Phím 1 đưa u2 = 1 vào ơ nhớ

Phím 1 cộng u2 = 1 với u1 = 1 được u3 = 2 và

ghi vào ô nhớ

Phím cộng u3 = 2 với u2 = 1

được u4 = u3 + u2 = 3 ghi vào ơ nhớ

Phím cộng u4 = 3 với u3 = 2

trong , được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào ô nhớ

Tiếp tục quy trình trên , ta sử dụng hai ơ nhớ và để lần lượt
tính các giá trị un .

Quy trình 2 :

Bấm phím 1 1

A +

SHIFT STO SHIFT STO B

+ ALPHA A SHIFT STO A

A +

SHIFT STO SHIFT STO B

+ ALPHA B SHIFT STO B

SHIFT STO A

+ SHIFT STO B

B
A
+ ALPHA B SHIFT STO B

B B

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

lặp lại phím

Giải thích : Phím lấy lại quy trình tính
và tính tiếp nhờ phím

Cách 2 : Xử dụng công thức gán giá trị

A = 1 1

B = 1 1

D = 2 2

Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A

b). Máy Calculator trong Windows :

Bấm phím 1

Và lặp lại dãy phím

3). Nghiệm tổng quát :

n n

1

5

1

5 u

2

5 























































Quy trình bấm phím máy Fx-570 MS :

1 5 2 1 5
2 5

Bấm máy hiện X ?

Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các số .

Máy Casio fx - 570MS ta chỉ cần khai báo công thức một lần , sau đó mỗi lần bấm phím
chỉ cần thay X bằng một trong các số tự nhiên từ 1 đến 49 , ta sẽ được các un tương

ứng .

Tính theo cơng thức nghiệm tổng qt ta chỉ được số gần đúng , nếu khơng chú ý
có thể dẫn đến đáp số sai .

Không nhất thiết phải bắt đầu từ hai số hạng đầu là u1=1 và u2=1. Có thể bắt đầu

từ hai số hạng liên tiếp bất kỳ của dãy Fibonacci .

* Tìm số hạng thứ n và tính tổng thứ n

A = 1 1

B = 1 1

C = 2 2 ( Tổng 2 số hạng đầu )

+ MR = M+

 



A
SHIFT STO

B
SHIFT STO

D
SHIFT STO

A
SHIFT STO

B
SHIFT STO

C
SHIFT STO

+ SHIFT STO B

+ ALPHA A SHIFT STO A ALPHA B

 SHIFT COPY

M+

( ( ( + )  ) ^ ALPHA X - ( ( - )

 ) ^ ALPHA X ) 

CALC

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

D = 2 2 ( Biến đếm )
Công thức : D = D + 1 : A = A + B : C = C + A

D = D + 1 : B = B + A : C = C + B

II/- DÃY LUCAS :

1- Dạng tổng quát :

Dãy Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonacci ; các số hạng của nó tuân theo quy
luật : u1 = a , u2 = b ; un+1 = un + un-1 với mọi n  2, trong đó a và b là hai số nào đó .

Với a=b=1 thì trở thành dãy Fibonacci .

2-Quy trình bấm phím : 
Máy Fx - 570 MS :

Cách 1 :

Quy trình 1 : 
Bấm phím

b a

Và lặp lại dãy phím

Quy trình 2 :

b a

lặp lại phím 
Cách 2 : Xử dụng công thức gán giá trị

A = a a

B = b b

D = 2 2

Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A
Áp dụng : Tính u35 = ( 20633239)

Biết u1 = 1 và u2 = 3 , un+1 = un + un-1 ( n  2 )

Gán A = 1 1 SHIFT STO A

B = 3 3 SHIFT STO B

D = 2 2 SHIFT STO D

Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A

III/- DÃY FIBONACCI SUY RỘNG :

1- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :

u1 = a , u2 = b ; un+1 = Mun + Nun-1 với mọi n  2 .

SHIFT STO A + SHIFT STO B

+ ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA B SHIFT STO B

m
D

SHIFT STO

A
SHIFT STO

B
SHIFT STO

D
SHIFT STO

SHIFT STO A + SHIFT STO B

+ ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA B SHIFT STO B

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

* Quy trình sử dụng máy Casio Fx-570 MS :

Cách 1 :

Quy trình 1 : 
Bấm phím

b M N a

Và lặp lại dãy phím

M N

Giải thích :

b M N a

Đưa b = u2 vào ô nhớ , tính u3 = Mu2 + Nu1 và đẩy u3 vào ô nhớ

M N

Tính u4 = Mu3 + Nu2 và đưa vào ô nhớ . Như vậy , ta có u4 trên màn hình và

trong ơ nhớ , cịn trong ơ nhớ là u3.

M N
Ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ

Tiếp tục vòng lặp ta được các số hạng của un+1 = Mun + Nun-1
Quy trình 2 :

Bấm phím

b M N a
M N

M N

lặp lại phím 
Cách 2 :

A = a a

B = b b

x + ALPHA B x SHIFT STO B

SHIFT STO

B
SHIFT STO

x + ALPHA A x SHIFT STO A

x + ALPHA B x SHIFT STO B

x + ALPHA A x SHIFT STO A

x + ALPHA B x SHIFT STO B

 SHIFT COPY

SHIFT STO A x + x SHIFT STO B

ALPHA

x + A x SHIFT STO A

SHIFT STO A x + x SHIFT STO B

A B

SHIFT STO A x + x SHIFT STO B

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

D = 2 2

Công thức : D = D + 1 : A = MB + NA : D = D + 1 : B = MA + NB
* Bài tập áp dụng : Tính u17 = ( 8346193634 )

Với u1 = 2 và u2 = 3 , un+1 = 4 un + un -1 n  2

Gán giá trị : A = 2 2 SHIFT STO A
B = 3 3 SHIFT STO B

D = 2 2 SHIFT STO D

Công thức : D = D + 1 : A = 4B + A : D = D + 1 : B = 4A + B

2- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :

u1 = a , u2 = b ; un+1 = un2 + un-12 với mọi n  2 .

* Quy trình sử dụng máy Casio fx-570 MS :
Cách 1 :

Bấm phím

b a

Và lặp lại dãy phím

Cách 2 :

A = a a

B = b b

D = 2 2

Công thức : D = D + 1 : A = A2 + B2 : D = D + 1 : B = B2 + A2
3- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :

u1 = a , u2 = b ; un+1 = F1 ( un ) +F2 ( un-1 ) với mọi n  2 .
* Quy trình sử dụng máy Casio fx-500 A :

Khai báo b

Tính F1(b) F2(a)

ta được u2= b trong ô nhớ và u3 = F1 ( u2 ) +F2 ( u1 ) = F1 ( b ) +F2 ( a ) trên màn

hình .

Và lặp lại dãy phím :

* Quy trình sử dụng máy Casio fx-570 MS :

Bấm phím

Và lặp lại dãy phím

SHIFT STO A x2 + x2 SHIFT STO B

Min

+ =

X M

SHIFT F2 + F1 MR =

x2 +

SHIFT STO
B
SHIFT STO
ALPHA A

ALPHA B

+ x2 A

D
SHIFT STO

A
SHIFT STO

B
SHIFT STO

D
SHIFT STO

SHIFT STO A F1 + F1(a) SHIFT STO B

SHIFT STO
ALPHA A

+ F A

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

4- Dãy truy hồi tổng quát :

u1 = a , u2 = b ; un+1 =

∑

i=1

k

Fi(ui) với mọi n  k , trong đó u1,u2, ....uk cho trước .

Fi (x) , i = 1....n là các biểu thức toán học của biến số x .

Khi k  3 ta khó có thể sử dụng Casio Fx- 500 A được . Tuy nhiên ta có thể sử

dụng Casio Fx- 570 MS để tính dãy truy hồi tổng quát trên ( với k£ 10 )

Tính dãy Fibonacci bậc 3 : u1 = u2 =1 , u3 = 2 , un+1 = un + un - 1+un-2 với n  3.
Bấm phím : Đưa u2 vào : 1

Đưa u3 vào : 1

Tính u4 : 1

Và lặp lại dãy phím :

Ta được dãy : 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653,....
Cách khác :

Tính dãy Fibonacci bậc 3 : u1 = a ; u2 =b , u3 = c ,

un+1 = Xun + Yun - 1 + Zun-2 với n  3.

Gán giá trị : A = a a SHIFT STO A
B = b b SHIFT STO B
C = c c SHIFT STO C

D = 2 2 SHIFT STO D

Công thức : D = D + 1 : A = XC + YB + ZA :
D = D + 1 : B = XA + YC + ZB :
D = D + 1 : C = XB + YA + ZC :

Bài tập áp dụng :

a). Biết : u1 = 4 , u2 =7 , u3 = 5 , un+1 = 2un - un - 1 + un-2 với n  3.

Gán giá trị : A = 4 4 SHIFT STO A
B = 7 7 SHIFT STO B
C = 5 5 SHIFT STO C

D = 3 3 SHIFT STO D

Công thức : D = D + 1 : A = 2C - B + A :
D = D + 1 : B = 2A - C + B :
D = D + 1 : C = 2B - A + C :
Tính u30 ? u30 = 20929015

b). Biết : u1 = 1 , u2 =2 , u3 = 3 , un = un-1 +2un - 2 + 3un-3 với n  3.

SHIFT STO

A A

SHIFT STO

B B

ALPHA B ALPHA A + SHIFT STO C

ALPHA B ALPHA A + SHIFT STO A

ALPHA C ALPHA B + SHIFT STO B

ALPHA A ALPHA C + SHIFT STO C

(u5
)
(u6
)
(u7
)

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Tính u28 ? u28 = 9524317645
IV/- CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI :

Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất hay , dưới đây là một số tính chất quen
thuộc . Nhiều tính chất có thể mở rộng cho dãy Lucas .

1).Tính chất 1 : um = uk . um+1 - k + uk - 1 . um - k

hay un+m = un - 1.um + un . um + 1
2).Tính chất 2 : u2n+1 = un+1

2
+un

3). Tính chất 3 : u −1¿n −1

n

−un+1un=¿

4). Tính chất 4 : u1 + u3 + u5 + ... + u2n-1 = u2n

5). Tính chất 5 : Với mọi n ta có : Vn := | un+4un-2 - un+2un | = 3

6). Tính chất 6 : Với mọi n : 4un-2u2 - un+2un un+4un-2 | = 3
IV/- BÀI TẬP ÁP DỤNG :

* Áp dụng tính số Fibonacci :

Với u1=1 và u2 = 1 un+1 = un + un - 1 (n  2).Tính u49 ?
*. Áp dụng tính số Lucas :

1). Với u1 = 1 và u2 = 3 ; un+1 = un + un - 1 (n  2)

Tính u35 ?

2) Với u1 = - 3 và u2 = 4 ; un+1 = un + un - 1 (n  2)

Tính u22 ?

3). Với u1 = - 1 và u2 = - 5 ; un+1 = un + un - 1 (n  2)

Tính u6 ?

4). Với u1 = 1 và u2 = - 5 ; un+1 = un + un - 1 (n  2)

Tính u10 ?

5). Với u1 = 8 và u2 = 13 ; un+1 = un + un - 1 (n  2)

Tính u17 ?

6). Với u1 = 144 và u2 = 233 ; un+1 = un + un - 1 (n  2)

Tính u39 ?

* Áp dụng tính số Fibonacci suy rộng :

1). Với u1=2 và u2 =3 , un+1 =4un + un -1 Tính u17 ?

2). Với u1 = 3 và u2 = 2 , un+1 = 2 un + 3 un -1 Tính u21 ?

3). Với u1 = 1 và u2 = 2 , un+1 = 3 un + un -1 Tính u19 ?

4). Với u1 = 2 và u2 = 20 , un+1 = 2 un + un -1 Tính u24 ?

5). Với u1=2 và u2 =3 , un+1 =4un + 5un -1 Tính u15 ?

6). Với u1 = 3 và u2 = 5 , un+1 = 3un - 2un -1 - 2 Tính u33 ?

7). Với u1 = 2 và u2 = 10 , un+1 = 10 un - un -1 Tính u22 ?

8). Với u1 = 1 và u2 = 1 , un+1 = 2un - un -1 + 2 Tính u15 ?

9). Với u1 = u2 =1 , un+1 = un2 + un-12 Tính u

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

1). Cho dãy u1=2 và u2 = 20 , un+1 = 2un + un - 1 ( n  2 )

a). Tính u3 , u4 ,u5 ,u6 ,u7 . b). Viết quy trình bấm phím để tính un .

c). Tính giá trị của u22 , u23 ,u24 ,u25 .

2). Cho dãy số un = (2+√3)

n

−(2−√3)n

2√3

a). Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy .

b). Lập một cơng thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un .

c). Lập một quy trình tính un . d). Tìm các số n để un chia hết cho 3

3). Cho dãy u0 =2 , u1 = 10 , 10un - un - 1 , n = 1, 2, ....

a). Lập một quy trình tính un+1 b). Tính u2 , u3 , u4 , u5 , u6 .

c). Tìm công thức tổng quát của un.

4). Cho dãy u1 = 1 , u2 = 3 ; un+1 = un2+un −2 1 . Tìm số dư của un chia cho 7 .

5). Cho un=

(−1+√5)n−(−1−√5)n

2√5

a). Tính u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .

b). Tìm cơng thức truy hồi tính un+2 theo un+1 và un

c). Viết quy trình bấm phím liên tục tính un .

6). Cho dãy số Un=(5+√7)

n

−(5−√7)n

2√7 vớin=0,1,2,3,. ..

a). Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U0, U1, U2, U3, U4 .

b). Chứng minh rằng Un+2 = 10 Un+1 - 18Un

c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+2 trên máy tính CASIO fx 570 MS

7). Cho dãy số Un=

(

3+√5
2

)

n

(

3−√5
2

)

n

−2,vớin=0,1,2,3,. . .
a). Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U0, U1, U2, U3, U4

b). Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un - 1 .

c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+1 trên máy tính CASIO fx 570 MS

8). Cho dãy số Un=(3+√2)

n−(3−

√2)n

2√2 vớin=1,2,3,. . .

a). Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U1, U2 , U3 , U4 , U5.

b). Chứng minh rằng Un+2 = 6 Un+1 - 7Un

c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+2 trên máy tính CASIO fx 570 MS

9). Cho dãy số Un=

(10+√3)n−(10−√3)n

2√3 vớin=1,2,3,.. .
a). Tính 4 số hạng đầu của dãy số : U1, U2 , U3 , U4 .

b). Lập cơng thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un

c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un rồi tính

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77></div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

</div>

chuyen de MTBT danh cho THCS

<sub>∑</sub>

∑









(

)

(

)

(

 





 





 

 





[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

√

√

∑



































<i>c</i>

)180

√

√





17712 81

<i>ab</i>





√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√