<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG</b>

<b>TRƯỜNG THPT CHÍ LINH</b> <b>ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012</b>_{Môn Thi : TOÁN ; Khối :D}
Lần thứ hai

<i>Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.</i>
Đề gồm 01 trang

<b>---Câu I </b><i>( 2,0 điểm)</i> Cho hàm số <i>y</i>=<i>x −</i>2

<i>x −</i>1 có đồ thị ( C )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.

2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ).Viết phương trình tiếp tuyến của
( C ), biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đó bằng

√

2 .

<b>Câu II</b> ( 2,0 điểm)

1. Giải phương trình cos<i>x</i>+cos 3<i>x</i>=1+

_√

2 sin(2<i>x</i>+<i>π</i>
4) .
2. Giải phương trình 3

√

6<i>x</i>+2=8<i>x</i>3<i>₋</i>₄<i>_{x −}</i>₂ _.
<b>Câu III</b> (1,0 điểm ) Tính tích phân <i>I</i>=

∫

1
3
1 3

√

<i>x − x</i>3

<i>x</i>4 dx .

<b>Câu IV</b> (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và BCD là các tam giác đều cạnh
a, góc giữa AD và mặt phẳng ( ABC ) bằng 450_{. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a}
và góc giữa hai mặt phẳng ( ABD ) và ( ABC ).

<b>Câu V</b> (1,0 điểm) Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức <i>P</i>= <i>x</i>

√

1<i>− x</i>+
<i>y</i>

√

1<i>− y</i> .

<b>Câu VIa</b> ( 2,0 điểm)

1. Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A( 1; 1) và đường thẳng d: x - y + 1 = 0. Tìm tọa
độ điểm B thuộc d sao cho đường thẳng đi qua hai điểm A, B tạo với d một góc 450_.

2. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) và đường thẳng (d) có phương trình là

2 2 2

( ) : (<i>S</i> <i>x</i>1) <i>y</i> (<i>z</i>2) 9_{, (d):} <i>x</i>

1=

<i>y −</i>1
2 =

<i>z</i>

<i>−</i>2 . Viết phương trình mặt phẳng (P)
vng góc với đường thẳng (d) và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường trịn có bán kính
bằng 2.

<b>Câu VIIa</b> (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: |<i>z −</i>1|=1 và (1+<i>i</i>)(<i>z −</i>1) có phần ảo bằng
1.

<b>---h</b>

<b>ết---Họ và tên thí sinh……….số báo danh………</b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KHỐI D</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

I.1

( 1,0 đ) 1. Tập xác định:

¿
¿<i>D</i>=<i>R</i>{1

¿
2. Sự biến thiên của hàm số:

* Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số. Tiệm cận của đồ thị hàm số.
lim

<i>x → ±∞y</i>
= lim

<i>x→ ±∞</i>

<i>x −</i>2

<i>x −</i>1=<i>x →± ∞</i>lim
1<i>−</i>2

<i>x</i>

1<i>−</i>1
<i>x</i>

=1<i>⇒</i> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm
tiệm cận ngang.

<i>x →</i>1+¿<i>x −</i>2

<i>x −</i>1=<i>− ∞;x→</i>lim1<i>−y</i>
=lim

<i>x →</i>1<i>−</i>

<i>x −</i>2

<i>x −</i>1=+<i>∞⇒</i>

<i>x →</i>1+¿

<i>y</i>=lim
¿
lim

¿

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x =
1 làm tiệm cận đứng.

<b>0,25</b>

* Lập bảng biến thiên:
Có

<i>x −</i>1¿2
¿
¿

<i>y '</i>=1
¿

, y’ không xác định tại x = 1

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Hàm số khơng có cực trị

<b>0,25</b>

Bảng biến thiên:

<b>0,25</b>

3. Đồ thị:

Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại (2;0),
( C ) cắt trục Oy tại (0; 2)

Đồ thị ( C ) nhận I(1; 1) làm tâm

đối xứng <b>0,25</b>

I.2 Giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ) là I( 1; 1 ).

4

2

-2

1

O 1
I

x
y

 

1

1

+

-

+ +

+

1
-

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

( 1,0 đ)

Gọi <i>M</i>(<i>x</i>₀<i>,x</i>0<i>−</i>2

<i>x</i>0<i>−</i>1

)<i>∈</i>(<i>C</i>)<i>,</i>(<i>x</i>₀<i>≠</i>1) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với (C). Khi
đó phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là:

<i>x</i>0<i>−</i>1¿
2

¿

<i>x</i>0<i>−</i>1¿

2

<i>y</i>+<i>x</i>₀2<i>−</i>4<i>x</i>₀+2=0
¿

<i>y</i>=1
¿

(d)

<b>0,25</b>

Vì

<i>x</i>0<i>−</i>1¿2+<i>x</i>02<i>−</i>4<i>x</i>0+2
1<i>−</i>¿

¿

<i>x</i>0<i>−</i>1¿
4

¿
1+¿

√¿
¿

<i>d</i>(<i>I ,</i>(<i>d</i>))=

_√

2<i>⇔</i>¿

<i>x</i>0<i>−</i>1¿4
¿

<i>x</i>₀<i>−</i>1¿4
1<i>− x</i>0¿

2
=1+¿
1+¿

√¿
<i>⇔</i>

|

2<i>−</i>2<i>x</i>0|

¿

<b>0,25</b>

Đặt <i>x</i>0<i>−</i>1¿
2

<i>t</i>=¿ ( đk: t > 0 ) pt có dạng:

<i>t</i>2<i>−</i>2<i>t</i>+1=0<i>⇔t</i>=1(<i>t</i>/<i>m</i>)

<b>0,25</b>

Với

<i>x</i>0<i>−</i>1¿
2

=1<i>⇔</i>
¿

<i>x</i>₀=0
¿

<i>x</i>0=2
¿
¿
¿
¿

<i>t</i>=1<i>⇒</i>¿

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là:

<i>x − y</i>+2=0
¿

<i>x − y −</i>2=0
¿
¿
¿
¿

<b>0,25</b>

II.1

(1,0 đ) cos<i>x</i>

+cos 3<i>x</i>=1+

_√

2 sin(2<i>x</i>+<i>π</i>

4)  2cos 2 cos<i>x</i> <i>x</i> 1 sin 2<i>x</i>cos 2<i>x</i> <b>0,25</b>
2

2cos 2 cos<i>x</i> <i>x</i> sin 2<i>x</i> 2cos <i>x</i> 2cos (cos 2<i>x</i> <i>x</i> sin<i>x</i> cos ) 0<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2cos (cos sin )(cos sin 1) 0 cos cos( ) 2 cos( ) 1 0

4 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>   <i>x</i>  

       _   _ 

 

<b>0,25</b>
<i>⇔</i>

cos<i>x</i>=0
¿
cos(<i>x −π</i>

4)=0
¿

cos(<i>x</i>+<i>π</i>

4)=
1

√

2
¿

<i>x</i>=<i>π</i>
2+<i>kπ</i>

¿

<i>x</i>=3<i>π</i>
4 +<i>mπ</i>

¿

<i>x</i>=<i>l</i>2<i>π</i>
¿

<i>x</i>=<i>−π</i>
2+<i>l</i>2<i>π</i>

¿
(<i>k , l, m∈Z</i>)

¿
<i>⇔</i>¿

¿

¿
¿

<b>0,25</b>

II.2
( 1,0đ)

Đặt <i>y</i>=

√

36<i>x</i>+2<i>⇔y</i>3=6<i>x</i>+2 ta có hệ:

¿

<i>y</i>=8<i>x</i>3<i>₋</i>₄<i>_{x −}</i>₂₍₁₎

<i>y</i>3=6<i>x</i>+2(2)
¿{

¿

<b>0,25</b>

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: <i>y</i>3

+<i>y</i>=8<i>x</i>3+2<i>x</i>

<i>_⇔</i>2<i>x</i>¿3+2<i>x</i>

<i>y</i>3+<i>y</i>=¿ (*)

<b>0,25</b>

Xét hàm <i>f</i>(<i>t</i>)=<i>t</i>3+<i>t</i> có: <i>f '</i>(<i>t</i>)=3<i>t</i>2+1>0<i>∀t⇒f</i>(<i>t</i>) đồng biến <i>∀t</i>

Từ (*) có: <i>f</i>(<i>y</i>)=<i>f</i>(2<i>x</i>)<i>⇔</i> <i>y</i>=2<i>x</i> <i>_⇔</i>6<i>x</i>+2=8<i>x</i>3 <b>0,25</b>

<i>⇔</i>8<i>x</i>3<i>₋</i>₆<i>_{x −}</i>₂₌₀<i>_⇔</i>

<i>x</i>=<i>−</i>1
2
¿

<i>x</i>=1
¿
¿
¿
¿
¿

.Vậy pt có 2 nghiệm là

<i>x</i>=<i>−</i>1

2

¿

<i>x</i>=1

¿

¿
¿
¿

<b>0,25</b>

III

(1,0 đ)  <i>_I</i>₌

_∫

1
3
1 3

√

<i>x − x</i>3

<i>x</i>4 dx=

∫

1
3
1

√

3 1

<i>x</i>2<i>−</i>1

<i>x</i>3 dx <b>_0,25</b>

Đặt <i>t</i>=

√

3 1

<i>x</i>2<i>−</i>1<i>⇔t</i>
3

= 1

<i>x</i>2<i>−</i>1<i>⇔</i>3<i>t</i>
2_dt

=<i>−</i>2

<i>x</i>3 dx <i>⇒</i>

dx

<i>x</i>3=<i>−</i>

3
2<i>t</i>

2_dt

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Khi đó:
3

√

<i>x</i>12<i>−</i>1

<i>x</i>3 dx=<i>−</i>

3<i>t</i>3
2 dt

; Đ ổi cận: <i>x</i>=1

3<i>⇒t</i>=2<i>; x</i>=1<i>⇒t</i>=0 <b>0,25</b>

Khi đó
3<i>t</i>3

2 dt=
3
8<i>t</i>

4

∨¿02=6

<i>I</i>=

∫

0
2

¿

<b>0,25</b>
Câu IV

( 1,0 đ)

Gọi H là trung điểm của BC.

Do <i>Δ</i>ABC và <i>Δ</i>BCD đều cạnh a nên

AH=DH=<i>a</i>

√

3

2 và

( ) ( ) ( )

<i>BC</i>  <i>AHD</i>  <i>ABC</i>  <i>AHD</i>
Kẻ DK<i>⊥</i>AH<i>⇒</i>DK<i>⊥</i>(ABC)

<i>⇒</i> _góc<i>_DAK</i> ₄₅0

 _,<i>DAH</i> 450

<i>DAK</i>

  _{vng cân tại K;}

<i>DAH</i>

 _{vuông cân tại H}
<i>K</i> <i>H</i>

  <i>_⇒</i> _DH (ABC)

<b>0,25</b>

Diện tích tam giác ABC là:

2
0
1 3
sin 60
2 4
<i>ABC</i>

<i>a</i>

<i>S</i>  <i>ABAC</i> 

Thể tích khối tứ diện ABCD là

2 3

1 1 3 3

. . .

3 <i>ABC</i> 3 2 4 8

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i>  <i>DH S</i>  

<b>0,25</b>
Kẻ HE<i>⊥</i>AB<i>⇒</i>DE<i>⊥</i>AB . Vậy góc giữa 2 mp ( ABD) và ( ABC) là góc giữa hai

đường thẳng DE và HE và bằng góc<i>DEH</i>

<b>0,25</b>
Gọi CF là đường cao xuất phát từ C của tam giác đều ABC cạnh a nên có

CF=<i>a</i>

√

3

2 , HE=
1

2CF=

<i>a</i>

√

3

4 nên

 

tan<i>DEH</i> <i>DH</i> 2 <i>DEH</i> arctan 2

<i>HE</i>

   

Vậy góc giữa hai mp ( DAB) và (ABC) là góc <i>DEH</i>₌arctan 2

<b>0,25</b>

Do
¿

<i>x , y</i>>0

<i>x</i>+<i>y</i>=1
¿{

¿

nên đặt

¿

<i>x</i>=sin2<i>t</i>
<i>y</i>=cos2<i>t</i>

¿{
¿

với <i>t∈</i>(0<i>;π</i>

2)

Tacó:

sin<i>t</i>+cos<i>t</i>¿3<i>−</i>3 sin<i>t</i>cos<i>t</i>(sin<i>t</i>+cos<i>t</i>)
¿

¿

<i>P</i>=sin
2<i>_t</i>
cos<i>t</i> +

cos2<i>_t</i>
sin<i>t</i> =

sin3<i>_t</i>

+cos3<i>t</i>
sin<i>t</i>cos<i>t</i> =¿

<b>0,25</b>

Đặt <i>u</i>=sin<i>t</i>+cos<i>t</i>=

_√

2 sin(<i>t</i>+<i>π</i>

4) , có: sin<i>t</i>cos<i>t</i>=<i>u</i>
2

<i>−</i>1
2
Do 0<<i>t</i><<i>π</i>

2<i>⇒</i>

<i>π</i>

4<<i>t</i>+

<i>π</i>

4<
3<i>π</i>

4 <i>⇒</i>

√

2

2 <sin(<i>t</i>+

<i>π</i>

4)<i>≤</i>1<i>⇒</i>1<<i>u ≤</i>

√

2 <b>0,25</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

V

(1,0 đ) Khi đó: <i>P</i>=

<i>−u</i>3+3<i>u</i>

<i>u</i>2<i>₋</i>₁ với 1<<i>u ≤</i>

√

2
Có

<i>u</i>2<i>−</i>1¿2
¿
¿

<i>P'</i>=<i>−</i>(<i>u</i>

4

+3)

¿

P ln nghịch biến với 1<<i>u ≤</i>

√

2

<b>0,25</b>

<i>⇒P</i>min=<i>P</i>(

√

2)=

√

2 tại <i>u</i>=

√

2<i>⇒</i>sin(<i>t</i>+

<i>π</i>

4)=1<i>⇔t</i>=

<i>π</i>

4+<i>k</i>2<i>π</i>(<i>k∈Z</i>)
<i>⇒x</i>=<i>y</i>=1

2 . Vậy <i>P</i>min=

√

2<i>⇔x</i>=<i>y</i>=
1

2 <b>0,25</b>

VIa.1
(1,0đ)

Đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2) có VTCP ⃗<i>u</i>(1<i>;</i>1) nên có ptts
¿

<i>x</i>=<i>t</i>

<i>y</i>=1+<i>t</i>

(<i>t∈R</i>)
¿{

¿
.

Do <i>B∈d⇒B</i>(<i>t ;</i>1+<i>t</i>)

<b>0,25</b>

Có ⃗_AB=(<i>_{t −}</i>₁<i>_;t</i>₎<i>_⇒</i>⃗_{AB .}<i>_u</i>_⃗₌₂<i>_{t −}</i>₁

Theo giả thiết có góc giữa đường thẳng AB và d bằng 450

<i>u</i>

⃗_AB<i>_,</i>_¿⃗
cos¿=

|

⃗AB .⃗<i>u</i>

|

|

⃗_AB

_|

_._|<i>_u</i>_⃗_|
<i>⇒</i>cos(AB<i>,d</i>)=¿

<b>0,25</b>

<i>⇒</i>cos(AB<i>,d</i>)= |2<i>t −</i>1|

√

2<i>t</i>2<i>−</i>2<i>t</i>+1.

√

2=

1

√

2
<i>⇔</i>|2<i>t −</i>1|=

√

2<i>t</i>2<i>−</i>2<i>t</i>+1

<b>0,25</b>
<i>⇔</i>2<i>t</i>2<i>−</i>2<i>t</i>=0<i>⇔</i>

<i>t</i>=0
¿

<i>t</i>=1
¿

<i>B</i>(0<i>;</i>1)
¿

<i>B</i>(1<i>;</i>2)
¿
¿
¿
<i>⇒</i>¿

¿
¿
¿

<b>0,25</b>

(S) có tâm I( 1; 0; -2) có bán kính R = 3, đường thẳng d có VTCP ⃗<i>u</i>=(1<i>;</i>2<i>;−</i>2)

(P) vng góc với d nên VTPT của (P) là ⃗<i>n</i>=(1<i>;</i>2<i>;−</i>2) <b>0,25</b>
Giả sử (P) có phương trình : <i>x</i>+2<i>y −</i>2<i>z</i>+<i>D</i>=0

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

VIa.2
( 1,0đ)

<i>−</i>2¿2
¿

12+22+¿

√¿
<i>⇔</i>|5+_¿<i>D</i>|

<i>⇔</i>|5+<i>D</i>|=3

√

5 <b>0,25</b>

<i>⇔</i>
5+<i>D</i>=3

√

5

¿
5+<i>D</i>=<i>−</i>3

√

5

¿

<i>D</i>=3

√

5<i>−</i>5
¿

<i>D</i>=<i>−</i>3

√

5<i>−</i>5
¿
¿
¿
<i>⇔</i>¿

¿
¿
¿

Vậy có hai mp thỏa mãn đề bài là:

(<i>P</i>):<i>x</i>+2<i>y −</i>2<i>z</i>+3

√

5<i>−</i>5=0
¿

(<i>P</i>):<i>x</i>+2<i>y −</i>2<i>z −</i>3

_√

5<i>−</i>5=0
¿

¿
¿
¿

<b>0,25</b>

VIIa
(1,0đ)

Gọi <i>z</i>=<i>x</i>+yi(<i>x , y∈R</i>)<i>⇒z</i>=<i>x −</i>yi
Ta có: <i>x −</i>1¿2+<i>y</i>2=1(1)

|<i>z −</i>1|=1<i>⇔</i>¿

<b>0,25</b>
Vì (1+<i>i</i>)(<i>z −</i>1)=(<i>x</i>+<i>y −</i>1)+(<i>x − y −</i>1)<i>i</i> có phần ảo bằng 1 nên x – y – 1 = 1 <b>0,25</b>
<i>⇔x −</i>1=<i>y</i>+1(2)

Thay (2) vào (1) có: <i>y</i>+1¿2+<i>y</i>2=1<i>⇔</i>2<i>y</i>2+2<i>y</i>=0
¿

<b>0,25</b>

<i>⇔</i>

<i>y</i>=0
¿

<i>y</i>=<i>−</i>1
¿
¿
¿
¿
¿

Với <i>y</i>=0<i>⇒x</i>=2<i>⇒z</i>=2
Với <i>y</i>=<i>−</i>1<i>⇒x</i>=1<i>⇒z</i>=1<i>−i</i>

Vậy có 2 số phức là z = 2 và z = 1 - i

</div>

<!--links-->