Chuyen Ha Noi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (262.87 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PTC_1011QĐ_01
Đ I H C QU C GIA HÀẠ Ọ Ố

N IỘ

TRƯỜNG Đ I H C KHTNẠ Ọ

KỲ THI TUY N SINH L P 10- THPT CHUYÊNỂ Ớ
Năm h c 2010- 2011ọ

Mơn thi: TỐN- Vịng I

Câu I

1) Gi i h phả ệ ương trình






=
+

+
.
2

23
12

8
3

2
2

y
x

xy
y

x

2) Gi i phả ương trình

.
1
8
3
1
2
4
3

2x+ + x2 − x + = + x3 +
Câu II

1) Tìm t t c các s nguyên không âm (x, y) tho mãn đ ng th cấ ả ố ả ẳ ứ

(

1+x2

)(

1+ y2

)

+4xy+2

(

x+ y

)(

1+xy

)

=25.

2) V i m i s th c a, ta g i ph n nguyên c a s a là s nguyên l n nh t khôngớ ỗ ố ự ọ ầ ủ ố ố ớ ấ
vượt quá a và ký hi u là [a]. Ch ng minh r ng v i m i n nguyên dệ ứ ằ ớ ọ ương ta
ln có.

(

n

)

n
n

n

n =









+
+
+

1
1
...

3
.
2

7
2
.
1

3 2

Câu III

Cho đường trịn (O) v i đớ ường kính AB = 2R. Trên đường th ng ti p xúc v iẳ ế ớ
đương tròn (O) t i A ta l y đi m C sao cho góc ạ ấ ể ACB=300. G i H là giao đi m th haiọ ể ứ
c a đủ ường thăng BC v i đớ ường trịn (O).

1) Tính đ dài độ ương th ng AC, BC và kho ng cách t A đ n đẳ ả ừ ế ương th ng BCẳ
theo R.

2) V i m i đi m M trên đo n th ng AC, đớ ỗ ể ạ ẳ ường th ng BM c t đẳ ắ ường tròn (O
t i đi m N (khác B). Ch ng minh r ng b n đi m C, M, N, H n m trên cùngạ ể ứ ằ ố ể ằ

m t độ ường trịn và tâm đường trịn đó ln ch y trên m t đạ ộ ường th ng cẳ ố
đ nh khi M thay đ i trên đo n th ng AC.ị ổ ạ ẳ

Câu IV

V i a,b là các s th c tho mãn đ ng th c ớ ố ự ả ẳ ứ

4
9
)
1
)(
1

( +a +b = , hãy tìm giá tr nhị ỏ
nh t c a bi u th c ấ ủ ể ứ P= 1+a4 + 1+b4 .

--- H t ---ế
HD giải đề MễN TOÁN (Vũng 1)

Th i gian làm bài: 120 phút (Không k th i gian phát đ )ờ ể ờ ề
Câu I

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>





=
+
=

+
+
.
2
23
12
8
3
2
2
2
2
y
x
xy
y
x

4) Gi i phả ương trình

.
1
8
3
1
2
4
3
1

2x+ + x2 − x+ = + x3 +
H

íng dÉn

1) Cộng cả hai phơng trình ta đợc (2x+3y)2=25

Ta cã hai hÖ







=

+

=

+

2

5

3

2

2
2

y

x

y

x

Vµ







=

+

−

=

+

2

5

3

2

2
2

y

x

y

x

Giai ra ta đợc PT có 4 nghim 1,-1;

13
7
;
13
7

2) ĐKXĐ
2
1

x

Đặt 2x+1=a(a≥0); 4x2 −2x+1=b(b>0)

Ta cã (1-b)(a-3) =0
b=1 th×

2
1
;
0 2
1 = x =

x ;a=3 th× x3 =4

Câu II

3) Tìm t t c các s nguyên không âm (x, y) tho mãn đ ng th cấ ả ố ả ẳ ứ

(

1+x2

)(

1+ y2

)

+4xy+2

(

x+ y

)(

1+xy

)

=25.

4) V i m i s th c a, ta g i ph n nguyên c a s a là s nguyên l n nh t khôngớ ỗ ố ự ọ ầ ủ ố ố ớ ấ
vượt quá a và ký hi u là [a]. Ch ng minh r ng v i m i n nguyên dệ ứ ằ ớ ọ ương ta
ln có.

(

n

)

n
n
n
n =







+
+
+
+
+
1
1
...
3
.
2
7
2
.
1
3 2
H
 íng dÉn
1)Ph¸ ngc

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

25
)
1
)(
1
(
25
)
1

(
25
)
(
1
2
)
1
(
.
25
1
2
4
1
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
⇔
=
+
+
+

⇔
=
+
+
+
+
+
+
⇔
=
+
+
+
+
+
+
y
x
y
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
xy
y
x

xy
y
x

vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có (x;y)=(0;4);(4;0)

2) xét 1( )

1
1
1
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1 2
2
N
k
k

k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
∈
+
+
−
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+

Thay k lần lợt từ 1 đến n ta có

(

)

n

=









+

=









+

−

+

=













+

1 ...

3 .

2

7

2 .

1

3

2
(®pcm)
Câu III

c a đủ ường thăng BC v i đớ ường trịn (O).

3) Tính đ dài độ ương th ng AC, BC và kho ng cách t A đ n đẳ ả ừ ế ương th ng BC theoẳ
R.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

đường trịn và tâm đường trịn đó luôn ch y trên m t đạ ộ ường th ng c đ nh khi Mẳ ố ị
thay đ i trên đo n th ng AC.ổ ạ ẳ

H

íng dÉn

N
C

A B

1)BC=4R;AC=2 3R;AH=R 3

2) Ta cã ∠HNA=∠HAB =300 nên C+NHC=1800 nên tứ giác CMNH nội tiếp

tõm ng tròn ngoại tiếp thuộc trung trực HC cố định

Câu IV

V i a,b là các s th c tho mãn đ ng th c ớ ố ự ả ẳ ứ

4
9
)
1
)(
1

H

ớng dẫn

áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 d·y

1
;
2

a vµ 1; 4 ta cã

2

1 "

:"

);

1 (

17

4

1 )

4 (

)

1 (

17

2
4

2
2

+

≥

a

+

⇔

a

+

≥

a

+

Dau

=

⇔

a

=

a

1
;
2

b vµ 1; 4 ta cã

2

1 "

:"

);

1 (

17

4

1 )

4 (

)

1 (

17

2
2

+

≥

b

+

⇔

b

+

≥

b

+

Dau

=

⇔

b

=

b

Tõ (1)&(2) ta cã (*)

17
8
2
2 + +

a b

P Mặt khác Từ GT ta cã

4

5 =

+

b

ab

a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2
1

:"
;

2
1
4

5
)
(

2
1
)
(

2
3

2
4
1
4
1

2
2
2

2
2
2
2

=
=
⇔
=
≥

+
⇔
=
+
+
≥
+
+
⇔












≥
+

b
a
Dau

b
a
ab

b
a
b

a
ab

b
a

b
b

a
a

Thay Vµo (*) ta cã

2
17
17

8
2
1

=
+
≥

P V©y

Min

(

P

)

=

2

17 ⇔

a

=

b

=

2

1

PTC_1011QĐ_02
Đ I H C QU C GIA HÀẠ Ọ Ố

N IỘ

TRƯỜNG Đ I H C KHTNẠ Ọ

KỲ THI TUY N SINH L P 10- THPT CHUYÊNỂ Ớ
Năm h c 2010- 2011ọ

Mơn thi: TỐN- Vịng II

Câu I

1) Gi i phả ương trình
4
1
3

3+ + =

+ x

x

2) Gi i h phả ệ ương trình

(

)(

)





=
−
+
+

=
+
+

.
11
2

26
2

5 2 2

y
x
y
x
x

xy
y

x
Câu II

1) Tìm t t c các s nguyên dấ ả ố ương n đ ể n2 +391 là s chính phố ương.

2) Gi s x, y, z là nh ng s th c dả ử ữ ố ự ương tho mãn đi u ki n ả ề ệ x+ y+z =1. 
Ch ng minh r ng ứ ằ

.
1
1

2 2 2

≥
+

+
+

xy
y
x
z
xy
Câu III

Cho tam giác ABC có ba góc nh n và M là đi m n m trong tam giác. Kí hi u H làọ ể ằ ệ
hình chi u c a M trên c nh BC và P, Q, E, F l n lế ủ ạ ầ ượt là hình chi u c a H trên cácế ủ

đường th ng MB, MC, AB, AC. Gi s b n đi m P, Q, E, F th ng hàng.ẳ ả ử ố ể ẳ

1) Ch ng minh r ng M là tr c tâm c a tam giác ABC.ứ ằ ự ủ
2) Ch ng minh r ng BEFC là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trong dãy s g m 2010 s th c khác 0 đố ồ ố ự ượ ắc s p x p theo th t ế ứ ự a1,a2,...,a2010,
ta đánh d u t t c các s âm và t t c các s mà t ng c a nó v i m t s liên ti p li nấ ấ ả ố ấ ả ố ổ ủ ớ ộ ố ế ề
ngay sau nó là m t s dộ ố ương. (Ví d v i dãy s -8,-4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các sụ ớ ố ố
được đánh d u là ấ a2 =−4,a3 =4,a4 =−1,a5 =2).

Ch ng minh r ng n u trong dãy s đã cho có ít nh t m t s dứ ằ ế ố ấ ộ ố ương thì t ng c aổ ủ
t t c các s đấ ả ố ược đánh d u là m t s dấ ộ ố ương.

--- H t ---ế
HD giải đề thi MễN TỐN (Vũng 2)

Th i gian làm bài: 150 phút (Khơng k th i gian phát đ )ờ ể ờ ề
Câu I

5) Gi i phả ương trình
4
1
3

3+ + =

+ x

x

6) Gi i h phả ệ ương trình

(

)(

)





=
−
+
+

=
+
+

.
11
2

26
2

5 2 2

y
x
y
x
x

xy
y

x
H

íng dÉn

1) x=1 xÐt x< 1 VT<4; x>1 VT>4

(

)(

)

 + − − =

=
+
+
⇔






=
−
−
+

=
+
+
⇔





=
−
+

=
+
+

)
2
(
22
2

2
4
6

)
1
(
26
2

2
5
11
2

26
2

2
5
.
11
2

26
2

2
5

2
2

2
2
2

y
xy
x

x

xy
y

x
y

xy
x
x

xy
y

x
y

x
y
x
x

xy
y

x

Céng (1) vµ (2) ta cã PT

3 x

+

2 x

−

16 =

0

(

3 x

+

8 )(

x

2 )

=

0

Với

3
8

=

x thay vào PT(1) vô nghiệm

Vi x=2 thay vào PT(1) ta đợc y=1 hoặc y=-3
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)=(2;1);(2-3)

Câu II

5) Tìm t t c các s nguyên dấ ả ố ương n đ ể n2 +391 là s chính phố ương.

6) Gi s x, y, z là nh ng s th c dả ử ữ ố ự ương tho mãn đi u ki n ả ề ệ x+ y+z =1. 
Ch ng minh r ng ứ ằ

.
1
1

2 2 2

≥
+

+
+

xy
y

x
z
xy
H

íng dÉn

1)ta có n2 +391 là số chính phơng nên n2 +391=k2 (k∈N)
391

)
)(
(

391 2

2 + =k ⇔ n−k n+k =−

n mµ 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)

Ta cã n-k<n+k nªn

n-k -391 -1 -23 -17

n+k 1 391 17 23

n -195( lo¹i) 195 -3(loai) 3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2) xy z x y xy
xy

y
x
z

xy

+
≥
+

+
+
⇔

≥
+

+
+

1
2

2
.

2 2 2 2 2

áp dngj BĐT Bunhiacopsky cho 2 dÃy x ; y vµ 1; 1 ta cã

y
x
y
x
y

x
y

x + )≥( + ) ⇒ 2( + ) ≥ +

(

2 2 2 2 2 2

Nªn xy+z + 2x2 +2y2 ≥ xy+z +x+ y ta ph¶i chøng minh

)
(
2
2

1
2

1
1

2 z xy xy z z z xy z xy x y xy dung

z
z
xy

xy
z
z
xy
xy

z
z

xy
xy

y
x
z
xy

≥
+
⇔
≥

−
⇔
≥

−
⇔
+
+

≥
+
⇔

+
≥
+
⇔

+
≥

−
+
+
⇔

+
≥
+
+
+

Dêu “=” x¶y ra khi

2

1 z

y

x

=

−

Câu III

Cho tam giác ABC có ba góc nh n và M là đi m n m trong tam giác. Kí hi u H làọ ể ằ ệ
hình chi u c a M trên c nh BC và P, Q, E, F l n lế ủ ạ ầ ượt là hình chi u c a H trên cácế ủ
đường th ng MB, MC, AB, AC. Gi s b n đi m P, Q, E, F th ng hàng.ẳ ả ử ố ể ẳ

3) Ch ng minh r ng M là tr c tâm c a tam giác ABC.ứ ằ ự ủ

4) Ch ng minh r ng BEFC là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế

H

ớng dẫn

Q
E

F
M

H
B

C
A

1)Vì t giác BEPH nội tiếp nên EHB=EPB(1) vì E;P;Q thẳng hàng nên

EPB

MPQ

=

(2). Vì t giác MQHP néi tiÕp nªn ∠MPQ =∠MHQ (3) Ta cã

MHC

∆ vuông tại H có HQMC suy ra MCH =MHQ(4) tõ (1); (2) ; (3) ;(4) ta

có ∠EHB=∠MCH ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà HE ⊥ AB⇔CM AB(*)

Tơng tự BM AC(**)

từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC

2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta cã

0; 90

90 ∠ =

∠AEH AFH nên tứ giác AEHF nội tiếp đờng kính AH nên

AHE

AFE

=

∠

( nội tiếp chắn cung AE) mà

EBH

=

AHE

( cùng phơ ∠BHE

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VËy

∠

AFE

=

∠

EBH

mµ

∠

AFE

+

EFC

=

180

EBH

+

EFC

=

180

Nên tứ giác BEFC nội tiÕp

Câu IV

Trong dãy s g m 2010 s th c khác 0 đố ồ ố ự ượ ắc s p x p theo th t ế ứ ự a1,a2,...,a2010,

ta đánh d u t t c các s âm và t t c các s mà t ng c a nó v i m tấ ấ ả ố ấ ả ố ổ ủ ớ ộ sè số liên
ti p li n ngay sau nó là m t s dế ề ộ ố ương. (Ví d v i dãy s -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3,...,-ụ ớ ố
2005 thì các s đố ược đánh d u là ấ a2 =−4,a3 =4,a4 =−1,a5 =2).

Ch ng minh r ng n u trong dãy s đã cho có ít nh t m t s dứ ằ ế ố ấ ộ ố ương thì t ng c aổ ủ
t t c các s đấ ả ố ược đánh d u là m t s dấ ộ ố ương.

H

íng dÉn

Xét các số đợc đánh dấu a1;a2;a3... an (nN;n<2010)

-Nếu dÃy có tất cả các số dơng thì ta cã ®pcm

-Nếu có số âm đợc đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng ( Giá trị
tuyệt đối số số tổng các dơng lớn hơn GTTĐ số âm) vì số âm cộng với số liền
sau nó ra kết quả là số dơng suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu
suy ra tổng ln là só dơng

PTC_1011QĐ_03
B GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỘ Ụ Ạ

TRƯỜNG ĐHSP HÀ N IỘ

KỲ THI TUY N SINH L P 10- THPT CHUYÊNỂ Ớ
Năm h c 2010- 2011ọ

Mơn thi: TỐN- Vịng I

Câu 1:

4 3 2

2 7 6 2

3 1 (4 1) 4 29 78

2 1 6 6 3 12 36

x x x x x x

A x

x x x x x x

� � + �� − − − � �� + + �

=�−� − �� � �� �

+ + − − + −

� ��

� �

1. Rút g n bi u th c Aọ ể ứ

2. Tìm t t các giá tr nguyên c a x đ bi u th c A có giá tr nguyênấ ị ủ ể ể ứ ị
Câu 2:

Cho hai đường th ng ẳ

(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2. Khi m thay đ i, hãy ch ng minh đi m I luôn thu c đổ ứ ể ộ ường th ng c đ nh.ẳ ố ị
Câu 3 :

Gi s cho b ba s th c (x;y;z) tho mãn h ả ử ộ ố ự ả ệ







=

+

−

+

=

+

)

2 (

0

10

7 )

1 (

1 z

z

xy

z

y

x

1. Ch ng minh xứ 2 + y2 = -z2 + 12z – 19

2. Tìm t t c b s x,y,z sao cho xấ ả ộ ố 2 + y2 = 17
Câu 4 :

Cho hình vng ABCD có đ dài b ng c nh a. Trong hình vuông đo l y đi m Kộ ằ ạ ấ ể
sao cho tam giác ABK đ u. Các đề ường th ng BK và AD c t nhau P.ẳ ắ ở

1. Tính đ dài KC theo aộ

2. Trên AD l y I sao cho ấ . 3

a

DI = CI c t BP H. ắ ở
Ch ng minh CHDP là n i ti p.ứ ộ ế

3. G i M và L l n lọ ầ ượt là trung đi m CP và KD. Ch ng minh LM = ể ứ
2

a
Câu 5:

Gi i phả ương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2

--- H t ---ế
Giải đề thi tuyển sinh

Vµo khèi trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)

Câu 1:

4 3 2

2 7 6 2

3 1 (4 1) 4 29 78

2 1 6 6 3 12 36

x x x x x x

A x

x x x x x x

� � + �� − − − � �� + + �

=� −� − �� � �� �

+ + − − + −

� ��

� �

1. Rót gän biĨu thøc A

2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

XÐt 3 (15)
3
15
3
3
15
)
3
(
3
3
)
2
(
3

2 Z x U

x
x

x

A ∈ ⇔ + ∈

+
−
=
+
−
+
=
+
−
=

x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15

x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12

2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2

A 2 3 4 9 -6 -1 0 1

Vậy

x

{

18 ;

8 ;

6 ;

4 ;

2 ;

0 ;

2 ;

12 }

thì A nguyên

Câu 2:

Cho hai ng thẳng

(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1

(d2): y = m2x + m - 2 Víi m lµ tham sè

1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m

2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I ln thuộc đờng thẳng cố định.

H
 íng dÉn 
1.Gi¶i hƯ






+
−
+
−
=

+
+
−
=
⇔






+
−
−
+
+
−
−
=
+
+
−
=
⇔







−
+
+
+
−
=
+
+
−
=
⇔




−
+
=
+
−
=
+
⇔




−
+
=

=
+
−
−
−
+
+
⇔




−
+
=
−
+
+
=
1
2
3
1
)
1
(
1
2
2
1

)
1
(
2
1
)
1
(
1
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
0
2
1
2
)
1
2
(
2
1

2
)
1
2
(
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
y
m
m

x
m
m
m
m
m
m
y
m
m
x
m
m
m
m
y
m
m
x
m
x
m
y
m
x
m
m
x
m
y

m
x
m
m
x
m
m
x
m
y
m
x
m
y

ta đựợc  

+
−
+
−
+
+
−
1
2
3
;
1
)

1
(
2
2
2 m
m
m
m
m
I

2.ta cã x

m

m
m

y =− −

+
+
+
+
−
= 3
1
)
1
(

)
1
(
3
2
2

Vởy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố nh

Câu 3 :

Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) tho¶ m·n hƯ







=

+

−

+

=

+

)

2 (

0

10

7 )

1 (

1 z

z

xy

z

y

x

1. Chøng minh x2 + y2 = -z2 + 12z 19

2. Tìm tất cả bé sè x,y,z sao cho x2 + y2 = 17

H

íng dÉn

1.Tõ (1) ta cã x-y=z-1⇔x2-2xy+y2=1-2z+z2 ⇔ x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*)

Tõ (2) ta cã xy=-z2+7z-10 thay vµo (*)

ta cã x2 + y2 =2(=-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1 ⇔ x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (®pcm)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

HƯ cã 2
nghiƯm

(x,y,z)=(-1;4;6);(-4;1;6)

C©u 4 :

Cho hình vng ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vng đo lấy điểm K
sao cho tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P.

1. Tính độ dài KC theo a

2. Trªn AD lÊy I sao cho . 3

a

DI = CI c¾t BP ë H.

Chøng minh CHDP lµ néi tiÕp.

3.Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =

2
a

Q
H

N
L

C
B
A

H

íng dÉn













=

−

=







=

−

=

⇔







=

+

=

⇔







=

+

=

⇔







=

−

+

=

⇔







=

+

−

=

−

1

4

1

0 )

1 )(

4 (

5

0

8

10

2

5

0

17 )

5 (

5

17

5

2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1.KỴ KQ ⊥ BC trong tam gÝac vu«ng BQK cã BK=a; KBQ=300 nên

2
a
KQ= áp
dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có

2
3
4
2
2
2

2 KQ a a a

BK

BQ= − = − = nªn

2 )

3

2 (

2

3 −

=

−

=

−

=

BC

BQ

a

CQ

áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta cã

2
3
4
10
4
3
4
)
3
4
7
( 2
2
2

2 + = − + =

= CQ KQ a a a

KC

2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a;

3
3
a

DI = nªn

3
3
=
=
∠
DC
DI
DCI

Tg nªn ∠

DCI=300 theo GT ta cã ∠KBC=300 suy ra ∠DPH=300 (So le)

Vëy ∠DPH=∠DCH =300 nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuéc cung

chøa gãc 300 dùng trªn DH hay tứ giác CHDP nội tiếp

3. Kẻ KE AB thì HA=HB và KE//AP xét tam giác ABP có HA=HB; KH//AP nên
KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và

2 a

LN

=

; MN//KP;

2 a

MN

=

Vởy tam giác MNL cân tại N có MNL =ABK =600 (cạnh tơng ứng //) Nên tam

gớc MNL u suy ra

2 a

LM

=

( đpcm)

Câu 5: Giải phơng tr×nh : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*)

H

ớng dẫn

Đặt x2 -5x + 1-=a; x2 - 4=b th× a-b=-5(x-1) suy ra

25
)
(
)
1
(

2 a b

x− = −




=
=
⇔
=
−
−
⇔
=
+
−
−
⇔
=
+
−
⇔
+
−
=
⇔
−

=
⇔
a
b
b
a
b
a
b
a
b
ab
ab
a
b
ab
a
b
ab
a
ab
b
a
ab
6
6
0
)
6
)(

6
(
0
6
36
6
0
6
37
6
6
12
6
25
25
)
(
6
(*)
2
2
2
2
2
2
2

NÕu th× a=6b ta cã PT








−
−
=
+
−
=
⇔
=
−
+
⇔
=
−
+
⇔
−
=
+
−
2
21
1
2
21
1

0
5
0
25
5
5
24
6
1

5 2 2 2

2
x
x
x
x
x
x
x
x
x

NÕu b=6a ta cã PT





−

=
+
=
⇔
=
+
−
⇔
=
+
−
⇔
−
=
+
−
7
3
7
3
0
2
6
0
10
30
5
4
6
30

6 2 2 2 2

x
x
x
x
x
x
x
x
x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

7

3 ;

7

3 ;

2

21

1 ;

2

21

1

4
3

=

+

=

−

=

+

−

=

x

PTC_1011QĐ_04
B GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỘ Ụ Ạ

TRƯỜNG ĐHSP HÀ N IỘ

KỲ THI TUY N SINH L P 10- THPT CHUYÊNỂ Ớ
Năm h c 2010- 2011ọ

Mơn thi: TỐN- Vịng II

Câu 1:

1.Gi s a và b là hai s dả ử ố ương khác nhau và tho mãn ả a−b= 1−b2 − 1−a2
Ch ng minh r ng ứ ằ a2 +b2 =1

2.Ch ng minh r ng s ứ ằ ố 20092+20092.20102+20102 là s nguyên dố ương
Câu 2:

Gi s 4 s th c a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và tho mãn hai đi u ki n sau ả ử ố ự ả ề ệ

i) Phương trình x2 −2cx−5d =0 có 2 nghiêm a và b

ii) Phương trình x2 −2ax−5b=0 có 2 nghiêm c và d
Ch ng minh r ng:ứ ằ

1. a – c = c – b = d - a

2. a + b + c + d = 30

Câu 3 Gi s m và n là nh ng s nguyên dả ử ữ ố ương v i n>1 .Đ t ớ ặ S =m2n2 −4m+4n
Ch ng minh r ng:ứ ằ

1. N u m>n thì ế

(

mn

−

2

)

<

n

S

<

m

n

2. N u S là s chính phế ố ương thì m=n

Câu 4 Cho tam gíac ABC v i AB>AC ,AB >BC.Trên c nh AB c a tam giác l y ớ ạ ủ ấ
các đi m M và N sao cho BC=BM và AC=ANể

1.Ch ng minh đi m N thu c đo n th ng BMứ ể ộ ạ ẳ

2.Qua M và N ta k đẻ ường th ng MP song song v i BC và NQ song song ẳ ớ
v i CA ớ

(

P

∈

CA

;

Q

∈

CB

)

.Ch ng minh CP=CQ.ứ

3.Cho góc ACB = 900 , góc CAB = 300 và AB = a .
Tính di n tích tam giác MCN theo a.ệ

Câu 5

Trên b ng đen vi t ba s ả ế ố

2

1 ;

2 ;

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

M i l n ch i ta xố hai s nào đó trong ba s trên b ng ,gi s là a và b r i vi t vào 2ỗ ầ ơ ố ố ả ả ử ồ ế
v trí v a xố hai s m i ị ừ ố ớ

2
b
a+

và

b

a−

đ ng th i gi nguyên s còn l i .Nh v y sauồ ờ ữ ố ạ ư ậ
m i l n ch i trên b ng luôn có ba s .Ch ng minh r ng dù ta có ch i bao nhiêu l n điỗ ầ ơ ả ố ứ ằ ơ ầ
chăng n a thì trên b ng khơng đ ng th i có ba s ữ ả ồ ờ ố ; 2;1 2

2
2

1 +

--- H t ---ế

Giải đề thi tuyển sinh

Vµo khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)

Câu 1:

1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mÃn

2 1

1 b a

b

a = − − −

Chøng minh r»ng a2 +b2 =1

2.Chøng minh r»ng sè 20092 +20092.20102 +20102 lµ sè nguyên dơng
H

ớng dẫn

1. từ GT ;( )

1
1

)
)(
(

1
1

2
2

2
2
2

2 a b

a
b

b
a
b
a
a

b
b
a
a

b
b

a ≠

−
+

−

+
−
=

−
+
−

−
=

−
−
−
=
−

suy ra a+b= 1−b2 + 1−a2

ta có hệ 1

1
1
1

1 2 2

2
2

=
+

+

=
+

b
a
a
b

b
a

a
b

b
a

a

b

b
a

2 Đặt a= 2009 ta cã 20092 +20092.20102+20102 =

Z
a

a
a

a2+ 2.( +1)2 +( +1)2 = 2.( +1)2 +2 ( +1)+1 = ( 2+ +1)2 = 2 + +1∈

C©u 2:

Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau

iii) Phơng trình x2 −2cx−5d =0 có 2 nghiêm a v b

iv) Phơng trình x2 2ax5b=0 có 2 nghiêm c và d

Chứng minh r»ng

1. a-c=c-b=d-a
2. a+b+c+d=30

H

íng dÉn

1. V× a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có

=
+

)
2
(
5

)
1
(
2

d
ab

c
b
a

Vì a,b lµ nghiƯm PT (1) theo Vi-Ðt ta cã

=
+

)
4
(
5

)

3
(
2
b
cd

a
d
c

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên a2 2ca5d =0a25d =50(5)

c là nghiệm PT(1) nên c2 2ca5b=0c2 5b=50(6)

từ (5) và (6) ta có

)
(

30
:

;
15

0
150
)
(
5

)
(
100
)
(
5
2
)
(
100
)
(

5 2 2

2
2

dpcm
d

c
b
a
d
a
c
a
ma
c

a

c
a
c

a
c

a
ac
c

a
d

b
c

a

=
+
+
+

+
=
+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 .Đặt S =m2n2 −4m+4n

Chøng minh r»ng:

1.NÕu m>n th×

(

mn

−

2

)

<

n

S

<

m

n

4
2.Nếu S là số chính phơng thì m=n

H

íng dÉn

1.ta chøng minh

(

mn2 −2

)

2 <n2(m2n2 −4m+4n) <m2n4

B»ng cách xét hiệu

(

)

1
:
;
0
4

4
4

)
4
4
(

3
3

2
4

2
2

4
2

2
2
2
2
2

>
<

n
vi
n

n
mn

n
m
mn

n
m
H

n
m
n

m

n
mn

H

Mặt khác n2(m2n2 4m+4n) m2n4 =4n2(mn)>0

vì n>1; m>n
2.Ta chøng minh

(

mn −2

)

2 < S <

(

mn +2

)

xÐt S=(mn-1)2 thì m2n2 4m+4n= m2n2 2mn+14n4m2mn=1

không tồn tại m,n vì vế phải chẵn

Xét S=(mn+1)2 thì m2n2 4m+4n=m2n2 +2mn+14n4m+2mn=1

không tồn tại m,n vì vế phải chẵn

T đó ta có S=m2n2 thì m2n2−4m+4n=m2n2 ⇔4n−4m=0 suy ra m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy

c¸c ®iĨm M vµ N sao cho BC=BM vµ AC=AN
1.Chøng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM

2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song
với CA

(

P

∈

CA

;

Q

∈

CB

)

.Chứng minh CP=CQ.

3.Cho gãc ACB=900 , gãc CAB=300 vµ AB= a .

TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MCN theo a.

H

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Q
N

B C

1. Ta cã BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy NBM

2. Ta có . (1)

AB
MB
AC
PC
MB

AB
PC

AC = ⇒ =

. (2)

AB
NA
BC
QC
NA

AB
QC

BC = =

Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm)
3.Nếu ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a .thì

2
3
;

a
AC
a

BC = =

ta có MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC=

2
)
1
3
( a

Kẻ CH AB thì

4
3
:

4
3
.

.
.

2 a

a
a

AB
CB
CA
CH

CB
CA
CH

AB = = = =

VËy:

16
)
3
3
(
4

3
.
2

)
1
3
(
.
2
1
.

1 a a a2

CH
MN

SCMN = = = ( đvdt)

Câu 5 Trên bảng đen viết ba số

2

1 ;

2 ;

2

.Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh

Mi ln chi ta xoỏ hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết
vào 2 vị trí vừa xố hai số mới

2
b
a+

vµ

b

a−

đồng thời giữ ngun số cịn lại
.Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng ln có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi
bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng khơng đồng thời có ba số

2
1
;
2
;
2
2

1 +

H

íng dÉn

Ta cã 2 2

2
2

2 a b

b
ab
a

b
a
b

a

+
=

+
−
+
+
+
=




 −
+





</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Nh vËy sau khi xo¸ 2 sè a; b thay bëi hai sè míi

2
b
a+

vµ

b

a−

thì tổng bình
ph-ơng hai số mới khơng đổi nên tổng bình phph-ơng của ba số trên bảng khơng đổi
bng

2

13

2

1

4

2 +

=

mà tổng bình phơng ba số ; 2;1 2

2
2

1 +

lµ

2
13
)
2
2
3
2
8

( + + + ≠ ( ®pcm)

PTC_1011QĐ_05
Đ I H C QU C GIA HÀẠ Ọ Ố

N IỘ

TRƯỜNG ĐH NGO I NGẠ Ữ

KỲ THI TUY N SINH L P 10- THPT CHUYÊNỂ Ớ
Năm h c 2010- 2011ọ

Mơn thi: TỐN

Câu 1 ( 2,0 đi m )ể

Cho bi u th c ể ứ P x 2x : x 1 2 .
9 x

3 x x 3 x x

� �� − �

=�� + − ���� − ��

+ −

� ��

1) Tìm đi u ki n c a x đ P có nghĩa và rút g n P.ề ệ ủ ể ọ

2) Tìm giá tr c a x đ P ị ủ ể 4
3
= −
Câu 2 ( 2,0 đi m )ể

1) Tìm các s nguyên x, y th a mãn xố ỏ 2 + 4x + 1 = y4.

2) Gi i h phả ệ ương trình:

2 2

x xy y 3

x 3(y x) 1

+ + =

+ − = .

Câu 3 ( 2,0 đi m )ể

Cho phương trình n x: (m-10)xẩ 2 + 2(m-10)x + 2 =0

1) Tìm m đ phể ương trình trên có hai nghi m xệ 1; x2.

2) Ch ng minh r ng khi đó ta có: ứ ằ 3 3 2 2
1 2 1 2 1 2
x +x +x x +x x < −4
Câu 4 ( 3,0 đi m )ể

Cho tam giác ABC có ba góc nh n và AB<AC v đọ ẽ ường cao AD và đường phân
giác AO c a tam giác ABC (D, Oủ BC) V đẽ ường tròn tâm O ti m xúc v i AB, AC l nế ớ ầ
lượ ạt t i M và N.

1) Ch ng minh r ng D, O, M, N, A cùng thu c m t đứ ằ ộ ộ ường tròn.

2) Ch ng minh ứ BDM CDNﾷ =ﾷ

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Câu 5 ( 1,0 đi m )ể

Cho a, b, c là các s dố ương th a mãn đi u ki n a+b+c+ab+bc+ca=6. Ch ng minhỏ ề ệ ứ
r ng: ằ a3 b3 c3 2 2 2 3

b + c + a a + +b c

--- H t ---ế

Hớng dẫn giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyờn ngoi ng nm 2010

Câu 1: (2điểm)

Cho biÓu thøc

 − 
−

−




−
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
P 2
3
1
:
9
2
3

1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
2) Tìm giá trị x để

3
4

−
=
P
Híng dÉn

1) §KX§

x

>

0 ;

x

≠

9

;

x

≠

25

5
5
)
3
(
.
)
3
)(
3
(
)
3
(
)
3
(
)
3
(
2
)
1

(
:
)
3
)(
3
(
2
)
3
(
−
=
−
−
−
+
+
=




−
−
−
−





−
+
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
2)

DK

x

P

=

+

=

+

=

+

=

4

0 )

10

3 )(

2 (

0

20

10

6

3

0

20

4

3

4

5

3

4

Câu 2 : ( 2 điểm)

1) Tỡm cỏc s nguyờn x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4

2) Giải hệ phơng trình :





=
−
+
=
+
+
1
)
(
3
3
2
2
2
x
y
x
y
xy
x
Híng dÉn

1) x2 + 4x +1 =y4 ⇔(x+2)2-y4=3⇔(x-y2+2)(x+y2+2)=3












−
=
=
−
=



−
=
=
=
⇔












−
=
+
+
−
=
+
−




=
+
+
=
+
−
⇔
1
1
4
1
1
0
1
2
3
2

3
2
1
2
2
2
2
2
hoacy
y
x
hoacy
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

2)











=
−
=



=
=
⇔



=
+
−
=
⇔



=
−
+
=
⇔





=
+
+
=
⇔




=
−
+
=
+
+
⇔




=
−
+
+
+
=
+

+
⇔




=
−
+
=
+
+
1
2
1
1
0
)
2
)(
1
(
1
0
2
1
3
1
1
3

1
)
)(
(
3
1
)
(
3
3
2
2
2
3
3
3
3
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
y
x
y

x
x
x
y
x
x
y
y
xy
x
y
x
y
x
y
xy
x
x
y
y
xy
x
x
y
xy
x
x
y
x
y

xy
x

HÖ cã 3 nghiÖm (x;y) = (1;1) (-1; -1) ;( -2;1)

Câu 3: ( 2 điểm)

Cho phơng trình Èn x : (m-10)x2+2(m-10)x + 2 =0

1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .

2) Chứng minh rằng khi đó 2

4

2
1
2
2
1
3
2
3

+

x

+

x

+

x

<

x

Hớng dẫn

1) Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì

>

0
10
/
m

(

)

<
>

<

>

>

>

=

=

=

10
12
1
)
11
(
:
;
1
)
11
(
0
1
)
11
(
0
1
)

11
(
1
)
1
10
(
10
2
)
10
(
2
/
2
2
2
/
m
m
m
Hoac
m
m
m
m
m
m

2) với ĐK trên theo Viét ta có

=

=
+
10
2
2
2
.
1
2
1
m
x
x
x
x

Đặt Q=

x

13

+

x

23

+

x

12

x

2

+

x

1

x

22

12
:
;
10

0
10
4
48
0
4
10
8
88
4
10
8
88
10
8
8
)
(
2
)
(
)
(
)
(
3
)
(
2
1

2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
3
1
>
<

<

<
+

<

=

+

=
+

+
=
+
+
+

+
=
+
+
+

=
m
hoac
m
m
m
m
m
Q
m
m
m
x
x
x
x
x
x
Q
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
Q

Thoả mÃn điều kiện

>

0
10
/
m
Câu 4:(3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác
trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với
AB, AC tại M , N

1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn.
2) Chứng minh gócBDM = gócCDN .

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

P Q

K
I

O
D

1) ta có ∠AMO=∠ADO=∠ANO=900 nên 5 điểm A, M.D, O, N thuộc đờng

trịn Tâm O/ đờng kính AO

2) Ta cã ∠ADB=∠ADC=900 (1) mµ ∠ADM=∠ADN (2) ( gãc néi tiÕp chắn 2

cung bằng nhau)
từ (1);(2) ta có ĐPCM

3)Qua I ta kẻ đờng thẳng //BC cắt AB,AC tại P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội
tiếp nên ∠POI=∠PMI; ∠QOI=∠INA mà ∠PMI=∠INA (do tam giác AMN cân tại
A)

Nên ∠POI=∠QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đờng cao vừa là pân giác nên

IP=IQ. áp dụng hệ quả Ta-lét cho 2 tam giác ABK và ACK có PQ//BC

Ta cã BK CK(dpcm)

IQ
CK
OI

OA
IP

BK = = ⇒ =

Cho a , b , c là các số dơng thoả mÃn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6
Chøng minh r»ng: 3

+

≥

a

+

b

+

c

≥

3 a

c

b

a

Híng dÉn

¸p dơng BBĐT

x

+

y

2 xy

dấu = xảy ra khi x=y

Ta cã a2 +b2 ≥2ab;c2 +b2 ≥2cb;c2 +a2 ≥2ca;c2 +1≥2c;a2 +1≥2a;b2 +1≥2b

Nªn 3(a2 +b2 +c2)+3≥ 2(a+b+c+ab+bc+ca)=12 ⇔ a2 +b2 +c2 ≥3

(*)
DÊu “ =” x¶y ra khi a=b=c=1

Mặt khác

;
2
;

2
;

2 2 3 2 3 2

c
ac
a
c
b
bc
c
b
a
ab
b
a

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

T cã

(

)

2 (

2 2 2

)

3
3
3

c

b

a

ca

bc

ab

a

c

b

a

+

≥

+









+

PTC_1011QĐ_06
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ

THÀNH PH HÀ N IỐ Ộ

KỲ THI TUY N SINH L P 10- THPT CHUYÊNỂ Ớ
Năm h c 2010- 2011ọ

Môn thi: TOÁN

Bài 1(2,0 đi m)ể

1) Cho n là s nguyên, ch ng minh ố ứ A=n3 +11n chia h t cho 6ế
2) Tìm t t c các s t nhiên n đ ấ ả ố ự ể B=n4 −3n2 +1 là s nguyên tố ố
Bài 2 (2,0 đi m)ể

Cho phương trình : (m2 +2m+2)x2 −(m2 −2m+2)x−1=0.G i ọ
2
1,x

x là hai nghi mệ
c a phủ ương trình đã cho.

1) Tìm các giá tr c a m đ ị ủ ể 2 2 1 2(2 1 2 1)
2

1 +x = x x x x −

x .

2) Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ể ứ S = x1+x2
Bài 3 (2.0đi m)ể

1) Cho a là s b t kì,ch ng minh r ng: ố ấ ứ ằ 2
2009
2010
2010

2010

>
+

+
a
a

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Cho đường tròn (O;R) và m t đi m M n m ngồi độ ể ằ ường trịn.Đường trịn đường
kính OM c t đắ ường trịn (O;R) t i hai đi m E , F.ạ ể

1) Ch ng minh giao đi m I c a đo n th ng OM v i đứ ể ủ ạ ẳ ớ ường tròn (O;R) là tâm
đường tròn n i ti p tam giác MEF.ộ ế

2) Cho A là m t đi m b t kì c a thu c cung EF ch a đi m M c a độ ể ấ ủ ộ ứ ể ủ ường trịn
đường kính OM (A khác E,F). Đo n th ng OA c t đo n th ng EF t i đi m B. Ch ngạ ẳ ắ ạ ẳ ạ ể ứ
minh OA.OB=R2.

3) Cho bi t OM=2R và N là m t đi m b t kì thu c cung EF ch a đi m I c aế ộ ể ấ ộ ứ ể ủ
đường tròn (O;R) ( N khác E,F). G i d là đọ ường th ng qua F và vng góc v i đẳ ớ ường
th ng EN t i đi m P, d c t đẳ ạ ể ắ ường trịn đường kính OM t i đi m K (K khác F). Haiạ ể
đường th ng FN và KE c t nhau t i đi m Q. ch ng minh r ng:ẳ ắ ạ ể ứ ằ

2
2

3
.

.PK QNQK R

PN + ≤

Bài 5 ( 1,0 đi m)ể

Gi i phả ương trình: x8 −x7 +x5 −x4 +x3−x+1=0

--- H t ---ế
Một số gợi ý đề chuyên Amsterdam, Chu Văn An 23.6.2010
Bài I. (2 điểm)

1) Cho n lµ sè nguyªn, chøng minh A = n3 + 11n chia hÕt cho 6.

2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + 1 là số ngun tố

Gỵi ý :

1) A = (n- 1)n(n + 1) + 12n

Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 3 . suy ra điều phải chứng minh

2) B =(n2 – n - 1).(n2 + n - 1)

n2 – n – 1 < n2 + n – 1. để B là số nguyên tố thì n2 – n – 1= 1

suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mÃn

Bài II. (2 điểm)

Cho phơng trình: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho.

1) Tìm các giá trị của m để : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 1)

2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2

Gợi ý :

1) dễ có phơng trình lu«n cã nghiƯm víi mäi m.
Theo vi et :








+
+

−
=

+
+

+
−
=
+

2
2

2
2
1

2
2
2
1

m
m
x
x

m
m

m
m
x

x

thay vào , tìm đợc m

2) S =

2
2

2
2
2
2

+
+

+
−

m
m

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Hoặc dùng phơng pháp đenta

Bài III. (2 điểm)

1) Cho a bÊt k×, chøng minh r»ng:

2010
2010

2010
2
2009
a

a

+ >
+

2) T×m các số nguyên x, y thoả mÃn phơng trình:
y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0

Gợi ý :

1) a2010 +2010=(a2010 +2009)+12 a2010 +2009. Suy rađiều phảI chứng minh

Dấu bằng không xẩy ra.

2. Đặt (x - 1)2 = t 0 phơng trình có dạng : y2 – (t- 1)(t + 1) = 0

Hay (y - t)(y + 1)= - 1. giải theo ớc số

Bài IV( 3 ®iĨm)

Cho đờng trịn (O;R) và một điểm M nằm ngồi đờng trịn . Đ ường trịn
đ-ờng kính OM cắt đđ-ờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F.

1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đờng tròn (O;R) là tâm
của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF.

2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đờng trịn
đ-ờng kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm
B. Chứng minh OA. OB = R2 .

3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của
đ-ờng tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đđ-ờng thẳng qua F và vng góc với
đờng thẳng EN tại điểm P, d cắt đờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K
khác F). Hai đờng thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng:

PN . PK + QN . QK

2 R

Gợi ý : (các bạn tự vẽ hình nhé)

1) Ta dễ có ME, MF là tiếp tuyếncủa đờng trịn (O), từ đó dễ chứng minh

đ-ợc cung EI = cung FI của đờng tròn (O). Dễ dàng chứng minh đđ-ợc EI, FI, MI

là các đờng phân giác của tam giác MEF.

2) Gọi EF cắt OM tại H. Dễ chứng minh đợc : OA.OB = OH.OM = OE2.

3) Ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ΔMEF và ΔMEF đều có cạnh bằng

3
R .

 Sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây để chứng minh FQ
⊥EK.

 Ta cã PN. PK + QN.QK = 2.SKPNQ ≤ KN.QP dÊu b»ng khi KN PQ. (*)

Mà N là trực tâm EKF, nên KN = 2. IH = R (1)

 Ta có ΔKPQ đồng dạng với ΔKEF , nên

2
1
=
=

KE
KP
EF
PQ

⇒PQ =

2
3
R

(2)
Thay (1), (2) vào (*) ta có điều phải chứng minh.

dấu bằng khi KN ⊥ PQ hay N, I trïng nhau

Bµi V. (1 điểm)

Giải phơng trình: x8 x7 + x5 x4 + x3 – x + 1 = 0

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

NÕu x ≥ 1Th× VT = (x8 – x7) + (x5 – x4) + (x3 – x) + 1 ≥ 1 không có nghiệm

Nếu 1> x > 0Thì VT = (x5 – x7) + (x3 – x4) + (1 – x) + x8> 0 kh«ng cã nghiƯm

NÕu x 0 thì VT > 1 không có nghiệm
Vậy pt v« nghiƯm

PTC_1011QĐ_07
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ

THÀNH PH H CHÍ MINHỐ Ồ

KỲ THI TUY N SINH L P 10- THPT CHUYÊNỂ Ớ
Năm h c 2010- 2011ọ

Mơn thi: TỐN

Câu 1 : (4 đi m)ể

1) Gi i h phả ệ ương trình :

1
1
2

5 3

y
x

+ =
+

2) Gi i phả ương trình: (2x2 - x)2 + 2x2 – x – 12 = 0
Câu 2 : (3 đi m)ể

Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2+ 4m – 3 = 0 (x là n s )ẩ ố

Tìm m đ phể ương trình có hai nghi m phân bi t xệ ệ 1, x2 (x1 < x2) th a |xỏ 1| = 2|x2|
Câu 3 : (2 đi m)ể

Thu g n bi u th c: ọ ể ứ 7 5 7 5 3 2 2
7 2 11

A= + + − − −

+
Câu 4 : (4 đi m)ể

Cho tam giác ABC cân t i A n i ti p đạ ộ ế ường trịn (O). G i P là đi m chính gi aọ ể ữ
c a cung nh AC. Hai đủ ỏ ường th ng AP và BC c t nhau t i M. Ch ng minh r ng:ẳ ắ ạ ứ ằ

a) ﾷABP=AMBﾷ

b) MA. MP = BA. BM
Câu 5 : (3 đi m)ể

a) Cho phương trình: 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 (x là n s và m, n là các s nguyên).ẩ ố ố
Gi s phả ử ương trình có các nghi m đ u là s nguyên.ệ ề ố

Ch ng minh r ng: mứ ằ 2 + n2 là h p s .ợ ố

b) Cho hai s dố ương a, b th a mãn: aỏ 100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 . 
Tính P = a2010 + b2010

Câu 6 : (2 đi m)ể

Cho tam giác OAB vuông cân t i O v i OA = OB = 2a. ạ ớ G i (O) là đọ ường trịn tâm
O bán kính a. Tìm đi m M thu c (O) sao cho MA + 2MB đ t giá tr nh nh t.ể ộ ạ ị ỏ ấ

Câu 7 : (2 đi m)ể

Cho a, b là các s dố ương tho aả 2 + 2b2 ≤ 3c2. Ch ng minh ứ 1 2 3

a b+ c.

</div>

Chuyen Ha Noi

(

)(

)

(

)(

)

(

)







=

+

=

+

2

5

3

2

<i><sub>y</sub></i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>







=

+

−

=

+

2

5

3

2

<i><sub>y</sub></i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

=









+

+

=





