<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TỔNG QUAT</b>
<b>Bài 1: Cmr với mọi a, b, c thì các pt sau ln có nghiệm:</b>

a) (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) =0
b) c(x-a)(x-b) +a (x-b)(x-c) + b(x-c)(x-a) =0
<b>Bài 2: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác Cmr</b>
a) Pt b2_x2_{+ (b}2_+c2_-a2_{)x +c}2_{= 0 vơ nghiệm}

b) Nếu abc thì pt bx2 + (b+c+a)x +9c = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi tam giác đều

<b>Bài 3: Cho pt x</b>3_–(2a+1)x2_+(a2_{+2a-b)x +b-a}2_=0.

a) Cmr nếu b>0 thì pt có ít nhất hai nghiệm phân biệt
b) Khi nào thì Pt chỉ có đúng hai nghiệm phân biệt.

<b>Bài 4: Cho hai pt x</b>2_{+ bx +c =0 (1) và x}2_{+ dx +e =0 (2) có nghiệm chung khác 0.}

Cmr (c-e)2_{=( b-d)(cd – be)}

<b>Bài 5: Cho hai ptb2 . Cmr ln có một pt có nghiệm</b>

<b>Bài 6: Cho Cho hai ptb2 ax</b>2_{+ 2bx +c =0 (1) và dx}2_{+2ex +f =0 (2) cùng vô nghiệm.}

Cmr ptb2 (a+d)x2_{+ 2(b+e)x + c+f =0 vô nghiệm.}

<b>Bài 7: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a</b>2_+b2_+c2_{<1. Cmr một trong ba pt sau có nghiệm:}

ax2_{-x = b-1 (1) ; bx}2_{-x = c -1 (2) và cx}2_{-x = a -1 (3)}

<b>Bài 8: Cho hai ptb2 ax</b>2_{+ bx +c =0 (1) và cx}2_{+ dx + a =0 (2) . Cmr nếu pt (1) có hai}

nghiệm thì pt (2) cũng có hai nghiệm và tổng các bình phương của bốn nghiệm pt không
nhỏ hơn 4.

<b>Bài 9: Cho ptb2 ax</b>2_{+ bx +c =0 (1). Cmr điều kiện cần và đủ để pt có hai nghiệm tỷ số k}

(k khác 0) khi và chỉ khi (k+1)2_{ac = kb}2_.

<b>Bài 10: Cho pt ax</b>2_{+ bx +c =0 ( a, b, c ngun).}

Cmr nếu pt khơng thể có nghiệm dạng m + k 1995 với m, k nguyên.

<b>Bài 11: Cho b, c,e,f là các số nguyên và x</b>2_{+ bx +c =0 (1) và x}2_{+ex +f =0 (2) có nghiệm}

chung khơng phải là số nguyên. Cmr b = e và c =f

<b>Bài 12: Cho m là một nghiệm của pt x</b>2_{+ bx +c = 0. Cmr m}2_{< 1 + b}2_+c2_.

<b>Bài 13: Cho số nguyên tố abc. Cmr pt ax</b>2_{+ bx +c =0 khơng có nghiệm hữu tỷ.}

<b>Bài 14: Cho pt f(x) = ax</b>2_{+ bx +c = 0 Cmr pt có nghiệm nếu:}

a)
2

4
<i>b c</i>

<i>a</i>  <i>a</i> _{b) có một số k mà a.f(k) < 0}

c) 5a + 2c = b d) có hai số k và q sao cho f(k).f(q) < 0

e) a(a +2b +4c) < 0 f) 5a +3b + 2c = 0

<b>Bài 15: Cho pt ax</b>2_{+ bx +c =0 ( a, b, c nguyên). Cmr nếu x = m + k} ₂_{là một nghiệm}

của pt thì x = m - k 2_{cũng là nghiệm của pt.(m, n là các số nguyên)}
<b>Bài 16*: </b>

2

1 2

2 2

1 2 1 2

1 2

1

ax - 0 ã nghiƯm ,

2

1 1

×m Min ( ) ( )

<i><b>Cho pt x</b></i> <i><b>c</b></i> <i><b>x x</b></i>

<i><b>T</b></i> <i><b>G</b></i> <i><b>x</b></i> <i><b>x</b></i> <i><b>x</b></i> <i><b>x</b></i>

<i><b>x</b></i> <i><b>x</b></i>

 

     

<b>Bài 17**: Tìm đa thức b2 f(x) = ax</b>2_{+ bx +c}







  

8

2



2

áa m·n f(x) 1 íi x

1,1

µ

2

ín nhÊt

3

<i><b>th</b></i>

<i><b>v</b></i>

<i><b>v</b></i>

<i><b>a</b></i>

<i><b>b l</b></i>

<b>Bài 18*: Cho hai pt x</b>2_{+ bx +1 = 0 và x}2_{+ cx + 2 = 0 có nghiệm chung. Tìm Min /a/ +/b/}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a) Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2.

b) Cmr









 

_

_









2

1 2 1 2

2

3

1

2

<i><b>x</b></i>

<i><b>x</b></i>

<i><b>x x</b></i>

<b>Bài 20: Cho pt x</b>2_{– 6x + 1 = 0 có hai nghiệm x}

1 và x2. Đặt Sn = x1n + x2n

a) Cmr Sn chẵn b) Tìm dư khi chia Sn cho 5 c) Cmr S6k+3 khơng chính phương

<b>Bài 21: Giả sử m, k là hai nghiệm của pt x</b>2_{+ ax +b = 0}

thỏa mãn (m2_+k)(k2_{+m) = m}2_{+ k}2_{+ m}2_k2_{. Cmr a}3_{+ b}2_{– 3ab – 3b = 0.}

<b>Bài 22: Cho pt ax</b>2_{+ bx +c = 0 có hai nghiệm x}

1 và x2. Đặt Sn = x1n + x2n.

a) Cmr a Sn + b Sn-1+ c Sn-2 = 0

b) Tính (1 3)5(1 3)5

<b>Bài 23*: Cho pt x</b>2_{- bx +1 = 0 có hai nghiệm x}

1 và x2. Đặt Sn = x1n + x2n.

a) Tính S7 = x17 + x27. theo b

b) Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số ngun nhận số

7 2 7 5 _{µ nghiƯm}

5 2 <i><b>l</b></i>
  

<b>Bài 24*: Cho hai số dương a,b và pt x</b>3_{– x}2_{+ 3ax – b = 0 có ba nghiệm.}

Cmr

3

3 27 28 ( ªn tt DHSP 2001 - 2002)

<i><b>a</b></i>

<i><b>b</b></i> <i><b>chuy</b></i>

<i><b>b</b></i>  

<b>Bài 25: Cho pt: x</b>2_{+ px + q =0 có một nghiệm gấp k lần một nghiệm của pt x}2_{+mx +h =0.}

Cmr (q –k2_h)2_{– k(p-km)(khp – qm) = 0}

<b>Bài 26**: Tìm đa thức b2 f(x) = ax</b>2_{+ bx +c}





áa m·n f(x) 1 íi x

0,1

µ

ín nhÊt

<i><b>th</b></i>



<i><b>v</b></i>

 

<i><b>v b l</b></i>

<b>Bài 27**: Cho đa thức b2 f(x) = ax</b>2_{+ bx +c thỏa mãn:}

a<b v

a+b+c

( ) 0 . ìm giá trị nhỏ nhất cña

b-a

<i><b>f x</b></i>   <i><b>x R</b></i> <i><b>T</b></i>

<b>Bài 28: Cho f(x)= x</b>2_{+ px + q với p, q là các số nguyên}

a) Cmr f(f(x) +x) = f(x).f(x+1).

b) Cmr ln tìm được số k sao cho f(k) = f(1994).f(1995)

<b>Bài 29**: Cho hai pt x</b>2_{+ ax +1 = 0 và x}2_{+ bx +2 = 0 có nghiệm chung.}

Tìm giá trị nhỏ nhất của M = /a/ +/b/

<b>Bài 30: Cho ba pt x</b>2_{+ ax + bc = 0 (1); x}2_{+ bx + ac = 0 (2); x}2_{+ cx + ab = 0 (3)}

Cmr nếu pt (1) và (2) có đúng một nghiệm chung thì hai nghiệm còn lại của hai pt này là
các nghiệm của pt (3).

<b> Bài 31**: a) chứng minh rằng </b>3

2_{không thể biểu diễn được dưới dạng p + q} 2
b) Biết 3

2_{là nghiệm của pt ax}2_{+ bx + c = 0 ( với a, b, c là các số hữu tỷ).Tìm a,b,c}

<b>Bài 32*: Cho x</b>1, x2 là các nghiệm của pt x2 -3x + 1 =0. Đặt Sn = x1n + x2n – 2.

a) Cmr Sn  Z với mọi n N, n>1

b) Tìm n để Sn là một số chính phương.

<b>Bài 33 Cho pt x</b>2_{–bx + a +1 = 0 có hai nghhiệm x}

1 và x2 nguyên. Cmr a2 + b2 là hợp số.

<b>Bài 34*: Cho pt x</b>2_{–bx +1 = 0 ( b}__{N) có hai nghhiệm x}

1 và x2 nguyên.Đặt Sn = x1n + x2n.

Tìm giá trị nhỏ nhất của b để Sn chia hết cho 25.

<b>Bài 35*: Cho pt x</b>2_{+ bx -1 = 0 ( b nguyên tố) có hai nghhiệm x}

1 và x2 nguyên.

</div>

<!--links-->