cac bai toan lien quan den tri tuyet doi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (184.81 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI TẬP :MÔN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

NHỮNG NỘI DUNG CỤ THỂ MÔN TOÁN

PHẦN:PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Nhóm sinh viên thực hiện:
1.Nguyễn Thu Trang (K58D)
2.Nguyễn Thị Xuân (K58D)
3.Vũ Thị Vụ (K58D)

4.Lê Thị Vân (K58D)

I/TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Để giải phương trình và bất phương trình có chứa dấu GTTĐ thì phương pháp giải chung là
phải phá dấu GTTĐ.

Ta có thể khử dấu GTTĐ bằng cách xét dấu biểu thức bên trong dấu GTTĐ,như vậy ta chia miền
xác định của phương trình thành nhiều khoảng nhỏ,trên mỗi khoảng ta giải phương trình không
chứa dấu GTTĐ.

Khi giải và biện luận phương trình ta cần giải quyết 3 vấn đề sau:
-Điều kiện có nghiệm của phương trình là gì?

-Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
-Nghiệm số bằng bao nhiêu?

II.Hai bất đẳng thức quan trọng có chứa dấu GTTĐ.
1. a b  a b a b ( ,a b R )

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>





2 2 2

)

( )

)
:

( )

2. , , :
*)

a b a b

a b a a b b

ab a b luôn đúng
a b a b

co

a a b b a b b a b

a b a b

với a b ctùy ý

a b a b

a b c a b c

   

    

 

   

         

   

  

    

III/CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1.Phương trình và Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:phương pháp biến đổi 
tương đương

¿|A|=|B|⇔ A=±B

¿|A|=B⇔

B≥0

A=B2

⇔

¿
¿

A≥0

A=B

[

A<0

A=−B

¿
¿
¿[

¿ {¿ ¿ ¿
¿

¿
¿

A≥0

A<B

[

A<0
−A<B

¿
¿[ ⇔

B>0

A2

<B2

¿
¿|A|>B⇔

[A<−B

[A>B [ ⇔

¿
¿

A≥0

A>B

[

A<0
−A>B

¿[ ⇔

¿
¿|A|<|B|⇔A2

<B2

⇔ (A−B) (A+B) <0

¿|A|<B⇔−B<A<B⇔ [

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Một số ví dụ :

Ví dụ 1: Giải phương trình:

x

+|

x

−

1 |=

1

Giải

x

+|

x

−

1 |=

1

1−x2≥0

x−1=± (1−x2)

⇔

−1≤x≤1

[ x−1=1−x2

[ x−1=−1+ x2 [

⇔

−1≤x≤1

[ x=0 ∨ x=1

[ x=1 ∨ x=−2 [

⇔

[ x=1

[ x =0 [

⇔|x −1|=1−x2

⇔ { ¿ ¿ ¿

Vậy x=1; x= 0.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

|x−

6 |=|x

−

5 x+

9 |

Giải

|x−

6 |=|x

−

5 x+

9 |

⇔

¿

[

x

−6=

x

−5

x

+9

[

x

−6=−

x

+5

x

−9

[

¿

⇔

¿

[

x

=1

[

x

=3

[

¿ ¿

Vậy: x= 1; x= 3.

*Lời bình:

Chú ý khi chưa xác định được 2 vế cùng không âm thì phương trình trước không tương đương
với phương trình sau,khi tìm được nghiệm phải có bước thử lại.

Ví dụ 3:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>









2
2

2
4
3

3 1 2

3

2

8

0

x
x

x






 











 



Thay x=-2 vào phương trình đầu ta thấy thỏa mãn,vậy x=-2 là nghiệm.

Thay x=
4

3 vào phương trình đầu ta thấy không thỏa mãn,vậy x= 
4

3không là nghiệm.

) 3 4 2

b x  x

Bình phương 2 vế:









2 2

3
1
2

3 4 2

9 24 16 4 4

2 7 3 0

x
x

x x

x x x x

x x




  

     

   


 


Thử 2 trường hợp đều là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 4: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0

Giải
|x2 – 2x +m|+x=0

¿
−x≥0

x2−2x+m=±x

⇔
¿

x≤0

[x2−3x+m=0 (1)

[x2−x+m=0 (2) [

Ta có Δ1=9−4m

⇔|x2−2 x+m|=−x

⇔ {¿ ¿ ¿

Biện luận

m

≤

0 x

=

3 −

√

9 −

4 m

2 ∨

x

=

1 −

√

1 −

4 m

2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:

1 )

.

|x

−

2 x−

3 |<

3 x−

3

2 )

.

|

1 −

4 x|≥

2 x+

1

Giải

1 )

.

|x

−

2 x−

3 |<

3 x−

3

⇔

x2−2 x−3≥0

x2−2 x−3<3 x−3

[

x2−2 x −3<0

−x2+2 x+3< 3 x−3

¿[ ⇔

¿
¿

x2

−2 x−3≥0

x2−5 x <0
¿

[

x2−2 x −3<0

−x2

−x+ 6<0

¿[ ⇔

¿
¿

x≤−1∨ x≥3

0< x <5
¿

[

¿ [ {¿ ¿ ¿

Vậy: 2< x< 5

2 )

.

|

1 −

4 x

|≥

2 x

+

1

⇔

1−4 x≥0

1−4 x≥2 x+1

[

1−4 x<0

−1+4 x≥2 x+1

¿[ ⇔

¿
¿

x≤ 1

x≤0

[

x> 1

x≥1

¿[ {¿ ¿¿

Vậy x0 hoặc x1

Ví dụ 6: Giải và biện luận theo a bất phương trình:

2 2 2 3

x  x a x  x a

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) 0 (2 5 )( 2 ) 0

5
0

( )
2

2 5 0

2
2 0

2 5 0 2

2 0 0

x x a x x a x x a x x a x x x a

x
I
x x
x a
x a
x
x x
II

x a x

x a
               
 
 



   
 
   
 

 
   

   

  

    
 



 


 Trường hợp 1:

2 0 0 ( ) 0 ;( ) 2

a a I x II x a

         

.Vậy nghiệm hệ là

5
0
2
2
x
x a


 





 Trường hợp 2:

5 5 5

0 2 0 ( ) 2 ;( ) 0

2 4 2

a a I a x II x

             

.Vậy nghiệm hệ

là
5
2
2
0
a x
x

  






Trường hợp 3:



5 5

2 ( ) ;( ) 5

2 4 2

x

a a I VN II

x a



     
  

 .Vậy nghiệm hệ là

0
5
2
2
x
x a



  

*Lời bình:

Phương pháp biến đổi tương đương này được sử dụng khá nhiều và ta phải chú ý đến điều kiện
cuả nó ,chú ý phương trình nào là tương đương, phương trình nào là hệ quả .

2.Phương pháp đặt ẩn số phụ

Phương pháp này được sử dụng khi biểu thức ngoài dấu GTTĐ biểu diễn qua biểu thức 
trong dấu GTTĐ.

Ví dụ 7: Giải phương trình: (|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Đặt t= |x| với t≥0

PT: (t+ 1)2 = 4t + 9

2 2 8 0 4

2 ( )
t
t t
t loại
 
     


Với t= 4 thì |x|= 4 ⇔x=±4

Vậy x= 4; x= – 4
Ví dụ 8

Tìm m để phương trình:

 

2 2 1 2 0 1

x  x m x  m 

có nghiệm.

Giải:Đặt t x 1 0 ta có t2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 (2).

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm t0

 Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0 P 0 m21 0  m1.

 Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm t1  0 t2  P0 m21 0   1 m1.

 Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm

2
2
1 2

2 3 2 3

3 3

3 4 0

1 2 3

, 0 0 1 0 1 .

1 3
0 0
0
m
m
m

t t P m m

m

S m
m
 
 


  
 

 
 

            
 

    
  



Đáp sớ:
2 3
1
3
m
  

Ví dụ 9: Cho phương trình :

2 2 1

x  x m  x

a) Giải phương trình với m=0.

b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành

1 (*)

t m t

a) Với m = 0 ta có

2 2

3 5
0

0 0 1 5 2

1 5 2

1 1 0 1 5

t x

t t

t

t t t t t

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm

phân biệt. 2 2

0 0

(*)

1 1 0

t t

t m t t t m

 

 

   

      

  .Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi
và chỉ khi mỗi phương trình t2 – t + m – 1 = 0 và t2 + t + m – 1 = 0 có hai nghiệm không âm phân

biệt. Nhưng phương trình t2 + t + m – 1 = 0 không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –1<0).

Vậy phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm phân biệt.
3.PHƯƠNG PHÁP XÉT KHOẢNG:

Ví dụ 10 :

Đây là phương trình

 

2 4 3 1

x  x  x 

Giải:

+ Lập bảng xét dấu

x - 0 1 2 +

x  x x2 x 0 x x2

 0 x2 x x2 x

2x 4 4-2x 4-2x 4-2x 0 2x-4

của(1) x2 3x 4

 

2 4

x x

   x2 3x4 x2 x 4

. Từ đó ta có 3 trường hợp:

 Trường hợp 1:
0

1 2

x
x




  

 ta có:

2 2 3 5

(1) 3 4 3 3 1 0

x x x x x 

         

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2 2 1 5

(1) 4 3 1 0

x x x x x  

          

. Ta thấy

1 5
2

x 

thỏa mãn.
 Trường hợp 3: x > 2 ta có

2 2 1 29

(1) 4 3 7 0

x x x x x  

         

. Ta thấy

1 29
2

x 

thỏa mãn.

Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm

1 5
2
1 29

x
x

  




  



 .

4.PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:

Phương pháp này thường sử dụng phương pháp này khi có tham số đứng độc lập.

Ví dụ11:

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :x x 2 m.

Hướng dẫn: Vẽ đồ thị hai hàm số

2 ;

y x x  y m

Số nghiệm của phương trình chính là sớ giao điểm phân biệt của đường thẳng y=m,
2

 

y x x

2
2

2 2

  



  

  




x x voi x

y x x

x x voi x

y=m là đường thẳng song song hoặc trùng với ox,cắt oy tại tọa độ =m.

Nếu
1

0
m
m
 





</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Nếu
1

0
m
m
 





phương trình có 2 nghiệmO

Nếu 0<m<1 thì phương trình có 3 nghiệm.

5.PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Ví dụ 12:

Cho bất phương trình:

2 4 3 2 2

x  x  mx

Tìm m sao cho (*) đúng với mọi xR.

Đặt

( ) 4 3 2

f x x  x  mx

đây là hàm bậc 2 ,có giá trị nhỏ nhất.Do đó:
f x( ) 2 moi x R ;min ( ) 2.f x 
Ta tìm minf(x) và tìm m sao cho minf(x)>2.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>









2
1
2

2
1
2
2
1

1 1 1 1

( ) 2(2 ) 3 1 3

( )

( ) 2(2 ) 3 1 3

' ( ) 2( 2 ) 0 ; 2
' ( ) 2( 2 ) 0 ; 2

(2 ) ( 4 1)

min ( ) min (1); (3); (2 )
min 2 ;6 ; 4 1
min ( ) min

f x x m x khi x hoac x

f x

f x x m x khi x

f x x m x m

f x x m x m

f m m m

ta co

f x f f f m

m m m m

f x f

      


     


     
     
   
 
   















2 2
2
1
2
2
(1); (3)
min 2 ; 6
:

min ( ) min ( ) min 2 ;6 ; 4 1

2 2

min ( ) 2 6 2

4 1 2
1

1 1 3

4 3 0
f

m m

do do

f x f x m m m m

vay

m

f x m

m m
m
m m
m m

    
 

   
   

 


     

   


IV. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP VÀ ĐỀ THI TUYỂN SINH :
ĐỀ BÀI

1.Một số bài luyện tập
Bài1

Giải các pt,bpt sau:
3

2 2

) 1 1
) 3 2 1

a x x x

b x x x x

   

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Baì2:Giải và biện luận:

2 2

) 2

) 1 2 1

a x x a x x

b x x x m

    

     

2.Một số bài thi tuyển sinh

Bài 1: Giải phương trình : 6−4x−x

= 5

|

sin y

x .cos
y
x

|

(Đại học Giao thông Hà Nội – 1998)
Bài 2 : Giải và biện luận phương trình: x2

+3x+2k|x−1|=0
(Đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội – 1994)

Bài 3: Giải phương trình : π|sin√x|=|cosx|

( Đại học Tài chính kế toán Hà Nội – 1996)

Bài 4: Giải bất phương trình :

|

x2−2x−3

|

≥5.(x−3)
( Đại học văn hóa Hà Nội – 2000)

Bài 5 : Giải phương trình : 4

√

x+2=|x+1|+4
(Đại học công đoàn – 1997)

Bài 6: Giải phương trình : sin4x

−cos4x=|sinx|+|cosx|
(Đại học Nông nghiệp I – 1996)

Bài 7 : Giải phương trình : |a+b|

1+|a+b|≤

|a|+|b|

1+|a|+|b|∀a , b

(Đại học Nông nghiệp I – 1999)

Bài 8 : Giải phương trình :

1+cos2x

¿+

|

log32−log1/3sin2x

|

log1/3¿

(Đại học Sư phạm I Hà Nội – 1991)

Bài 9 : Giải phương trình :

√

2−

|

log2x

|

>log2x
(Đại học Sư phạm I Hà Nội – 1992)

Bài 10 : Giải phương trình : |x−5|−x2+7x−9≥0
(Đại học Dân lập Thăng Long - 1998)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 1 : Điều kiện :

{

x ≠0
sin y

x.cos
y
x ≠0

Ta có: VT=6−4x−x2=10−(x+2)2≤10
VP=

|

sin2y

x

|

. 10

|

sin2y

x

|

≥10

⇒VT=VP⇔VT=VP=10⟺

{

x=−2

y=π

2+kπ

Bài 3: Ta có : π|sin√x|≥ π0

=1≥

|

cosx

|

⇒π|sin√x|

=1=|cosx|⇔

{

sin

√

x=0

|cosx|=1⇔

{

x=k2π2

x=lπ ⇔

{

x=k2π2

l=k2π ∀k∈N ,l∈Z

Nếu k ≠0⇒π= l

k2∈Q⇒Vơ lí⇒k=0⇒x=0

Bài 4:

|

x2−2x−3

|

≥5.(x−3)⇔

|

(x−3) (x+1)

|

≥5.(x−3)
Với x < 3 : bpt luôn đúng.

Với ≥3 : Bpt⇔(x−3) (x+1)≥5.(x−3)⇔x ≥4
Vậy nghiệm của bpt là :

[

x<3

x ≥4

Bài 5: Xét:−2≤ x←1:

pt⇔4

√

x+2=3−x⇔16(x+2)=(3−x)2⇔x2−22x−23=0⇔

[

x=−1(loại)

x=23(loại)

Xét x ≥−1:

pt⇔4

√

x+2=x+5⇔16(x+2)=(x+5)2⇔x2−6x−7=0⇔

[

x=−1

x=7

Vậy bpt có 2 nghiệm x = - 1 và x = 7.
Bài 6: pt⇔sin2x−cos2x=|sinx|+|cosx|

Ta có: VP≥|sinx|2+0≥sin2x−cos2x
⇒pt⇔

{

|

sinx

|

=sin2x

cosx=0 ⇔x=

π

2+kπ

Bài 7: Bđt⇔|a+b|+|a+b|

(

|a|+|b|

)

≤|a|+|b|+|a+b|

(

|a|+|b|

)

⇔|a+b|≤|a|+|b|⇒đúng .

Dấu “=” xảy ra khi : ab ≥0

Bài 8: Ta thấy : 2 cos2x.2 sin2x=sin22x ≤1⇒log3

(

2cos2x

)

+log3

(

2 sin2x

)

≤0

Bpt⇔

|

log3

(

2 cos2x

)

|

|

log3

(

2 sin2x

)

|

<1
. ⇔

|

log3

(

2sin2x

)

−log3

(

2 cos2x

)

|

<1⇔

|

log3❑

|

<1
⇒−1<log3tan2x<1⇔1

3≤tan

x ≤3

. ⇔x∈

(

−π

3 +kπ ;−

π

6+kπ

)

∪

(

π

6+kπ ;

π

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 9 : Điều kiện :

|

log2x

|

<2
TH1: −2≤log2x<0⟺1

4≤ x<1

⟹Bpt⟺

√

2+log2x>log2x

Mà

√

2+log2x ≥0>log2x⟹Nghiệm của bpt làx∈

[

4;1

)

TH2: 0≤log2x ≤2⟺1≤ x ≤4(¿)

⟹Bpt⟺

√

2−log2x>log2x⟺2−log2x>log2
2

x⟺−2<log2x<1

Kết hợp với (*) ta được: 0≤log2x<1⟺1≤ x<2

Vậy bpt có nghiệm : x∈

[

</div>

cac bai toan lien quan den tri tuyet doi

<b> BÀI TẬP :MÔN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC </b>

<i> NHỮNG NỘI DUNG CỤ THỂ MÔN TOÁN</i>

<b> PHẦN:PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH </b>

<b> CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI</b>





<i>x</i>

+|

<i>x</i>

−

1

|=

1

<i>x</i>

+|

<i>x</i>

−

1

|=

1

|x−

6

|=|x

−

5

<i>x+</i>

9

|

|x−

6

|=|x

−

5

<i>x+</i>

9

|

⇔

¿

[

<i>x</i>

−6=

<i>x</i>

<sub>−5</sub>

<i><sub>x</sub></i>

<sub>+9</sub>

[

<i>x</i>

−6=−

<i>x</i>

+5

<i>x</i>

−9

[

¿

⇔

¿

[

<i>x</i>

=1

[

<i>x</i>

=3

[

¿ ¿









3

1 2

3

2

8

0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

