10 Chuyen de hinh cau

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (413.71 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUN ðỀ: HÌNH CẤU 
Chun đề gồm 02 phần:

Hình cầu trong hình học khơng gian tổng hợp 
Hình cầu trong hình học giải tích khơng gian

CHỦ ðỀ 1: HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 
A. Lý thuyết cơ bản:

1. Phương trình mặt cầu: 
1.1. Phương trình mặt cầu:

Loại 1: mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình (S): (x a− )2+(y b− )2+(z−c)2 =R2

Loại 2: với a2+b2+c2− >d 0, phương trình : x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+ =d 0 là phương trình 
mặt cầu cótâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2+b2+c2−d .

1.2. Một số dạng tốn viết phương trình mặt cầu:

ðể viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): (x a− )2+(y b− )2+(z−c)2=R2

Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA.

Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

– Tâm I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB: ; ;

2 2 2

A B A B A B

I I I

x x y y z z

x = + y = + z = + .

– Bán kính R = IA =

AB
.

Dạng 4: (S) ñi qua bốn ñiểm A, B, C, D(mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+ =d 0 (*).

– Thay lần lượt toạ ñộ của các ñiểm A, B, C, D vào (*), ta ñược 4 phương trình. 
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S).

Dạng 5: (S) ñi qua ba ñiểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:

Giải tương tự như dạng 4.

Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:

– Xác định tâm J và bán kính R′ của mặt cầu (T).

– Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). 
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngồi)

2. Vị trí tương ñối giữa hai mặt cầu mặt cầu

Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2).

• I I1 2 < R1−R2 ⇔ (S1), (S2) trong nhau • I I1 2 >R1+R2 ⇔ (S1), (S2) ngồi nhau

• I I1 2 = R1−R2 ⇔ (S1), (S2) tiếp xúc trong • I I1 2 =R1+R2⇔ (S1), (S2) tiếp xúc ngồi

• R1−R2 <I I1 2<R1+R2 ⇔ (S1), (S2) cắt nhau theo một ñường tròn.

B. Các dạng bài tập cơ bản 
Loại 1: Viết phương trình mặt cầu 
Có hai cách:

1. Tìm tọa độ tâm và bán kính, sử dụng phương trình (1) 
2. Tìm các hệ số a,b,c,d của phương trình (2)

Bài: (DB KB 06). Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x− +y 2z+ =5 0 và các ñiểm
(0; 0; 4), (2; 0; 0)

A B

a) Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng AB trên mp(P)

b) Viết phương trình mặt cầu ñi qua O,A,B và tiếp xúc với (P)

Bài (DB KD 08). Trong không gian Oxyz cho mp( ) : 2α x− +y 2z+ =1 0và ñường thẳng

1 1

:x y z

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a) Tìm tọa độ giao ñiểm của d với ( )α ; tính sin của góc giữa d với ( )α

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )α và (Oxy)
Bài (KD-2011 CTNC). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng ∆ : 1 3

2 4 1

x− y− z

= = và

mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1
và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Bài (DB KA 08). Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x+3y−3z+ =1 0, ñường 1: 3 5

2 9 1

x y z

d − = = + và

3 ñiểm (4; 0;3), ( 1; 1;3), (3; 2; 6)A B − − C

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn có bán kính lớn
nhất.

Bài (KD 08). Trong khơng gian Oxyz cho 4 ñiểm (3;3; 0), (3; 0;3), (0;3;3), (3;3;3)A B C D

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D

b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài (CðKTKT KA 04). Trong không gian Oxyz cho 4 ñiểm (2; 2; 6), (4; 0; 0), (4; 4; 0), (0; 4; 0)S A B C

a) Chứng minh hình chóp SABCO là hình chóp tứ giác ñều
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài (KD-04). Cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0. Viết phương trình
mặt cầu đi qua A,B,C và có tâm thuộc (P). ðS: (x−1)2+y2+(z−1)2=1 
Bài : Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d: 1 0

2 0

x z

y

+ − =


 − =

 và cắt mặt phẳng (P): 
y-z=0 theo thiết diện là ñường trịn lớn có bán kính bằng 4. ðS:

2 2 2

(x+1) +(y−2) +(z−2) =16

Bài (KD-08). Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm (3;3; 0), (3; 0;3), (0;3;3), (3;3;3)A B C D

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D

b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

ðS: x2+y2+z2+3x−3y−3z=0 
Bài (KB-05). Trong khơng gian Oxyz cho hình lăng trụ ñứng ABCA B C1 1 1 với (0; 3; 0), (4; 0; 0),A − B

1
(0;3; 0), (4; 0; 4)

C B . Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mp BCC B( 1 1)

ðS: 2 ( 3)2 2 576
25

x + y− +z =

Bài (Cð KTKTI-04). Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm (2; 2; 6), (4; 0; 0), (4; 4; 0), (0; 4; 0)S A B C

a) Chứng minh rằng hình chóp SABCO là hình chóp tứ giác đều
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

ðS: ( 2)2 ( 2)2 ( 7)2 121

3 9

x− + y− + z− =

Bài: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 và các ñiểm A(0;0;4), B(2;0;0). Viết
phương trình mặt cầu đi qua O,A,B và tiếp xúc với (P). ðS: (x−1)2+(y−1)2+(z−2)2 =6
Bài: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d: 1 0

1 0

x y z

+ + + =


 − + − =

 và tiếp xúc với hai

mp (P): x+2y+2z+3=0 và (Q): x+2y+2z+7=0. ðS: ( 3)2 ( 1)2 ( 3)2 4
9

x− + y+ + z+ =

Bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;3;-1) và cắt ñường thẳng d: 5 4 3 20 0

3 4 8 0

x y z

− + + =



 − + − =

 tại hai ñiểm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài: Cho ñiểm I(1;2;-2), ñường thẳng d: 2 5 0
3 0

x y

y z

− − =


 − + =

 và mp(P): 2x+2y+z+5=0. Viết phương trình

mặt cầu (S), tâm I sao cho (P) cắt (S) theo ñường trịn giao tuyến có chu vi bằng 8π

Loại 2: Các bài tốn liên quan đến tiếp diện của mặt cầu

Bài (TN 05). Trong không gian cho mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x+2y+4z− =3 0 và hai ñường thẳng

1 2

2 2 0 1

: , :

2 0 1 1 1

x y x y z

d d

x z

+ − =

 −

= =



− =

 . Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S), biết rằng nó song song

với d1 và d2.

Bài: Lập phương trình mặt phẳng chứa ñường thẳng : 8 11 8 30 0

2 0

x y z

d

x y z

− + − =



 − − =

 và tiếp xúc với mặt cầu

(S): x2+y2+z2+2x−6y+4z−15=0

ðS: (P): 3x-4y+2z-10=0, (P): 2x-3y+4z-10=0

Bài: (DB KD 03). Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2P x+2y+ −z m2−3m=0 và mặt cầu

2 2 2

( ) : (S x−1) +(y+1) +(z−1) =9. Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m vừa tìm được hãy
xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm của (S) và (P)

Bài (DB KB 07). Trong không gian Oxyz cho các ñiểm (2; 0; 0), (0; 3; 6)A B − .

a) chứng minh rằng mp P

( )

:x+2y− =9 0tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO. Tìm tọa dộ tiếp
điểm.

b) Viết phương trình mp(Q) chứa A,M và cắt các trục Oy,Oz tại các ñiểm tương ứng B, C sao cho
3

OABC

V =

Loại 3: Các bài tốn về vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng với hình cầu 
Bài (KD-08). Trong khơng gian Oxyz cho 4 ñiểm (3;3; 0), (3; 0;3), (0;3;3), (3;3;3)A B C D

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D

b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

ðS: x2+y2+z2+3x−3y−3z=0
Bài: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt cầu: 2 2 2 2 2 2

1 2

( ) :S x +y +z −2z=0, (S ) :x +y +z −4z=0.
a) Chứng minh: (S1) và (S2) cắt nhau

b) Gọi (S) là đường trịn giao tuyến của (S1) và (S2). Xác định tâm và tính bán kính của (S).

Bài: Tìm điểm A trên mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x+2z− =2 0 sao cho khoảng cách từ A ñến mp(P):
2 - 2x y+ + =z 6 0là lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài: (KB 07). Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2−2x+4y+2z− =3 0và mặt phẳng

( )

P : 2x− +y 2z−14=0

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa Ox và cắt (S) theo đường trịn có bán kính bằng 3
b) Tìm tọa ñộ M thuộc mc(S) sao cho khoảng cách từ M ñến (P) lớn nhất.

Bài: (KA 09). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P : 2x−2y− − =z 4 0và mặt cầu

( )

2 2 2

: 2 4 6 11 0

S x +y +z − x− y− z− = . Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn.
Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

Bài (DB KA 08). Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x+3y−3z+ =1 0, ñường 1: 3 5

2 9 1

x y z

d − = = + và

3 ñiểm (4; 0;3), ( 1; 1;3), (3; 2; 6)A B − − C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một ñường trịn có bán kính lớn

nhất.

Loại 4: Về bài tốn hình cấu có tham số

Bài : Cho họ (Sm) xác định như sau: x2+y2+z2−4mx−2my−6z+m2+4m=0

a) Tìm m để (Sm) là phương trình của một mặt cầu.

b) Chứng minh các tâm Im của mặt cầu (Sm) luôn nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh ( với các giá trị

của m tìm được ở câu a)

Bài : Cho họ (Sm) xác ñịnh như sau: x2+y2+z2−2 sinx α−2ycosα− =3 0. Chứng minh rằng tâm Iαcủa

(Sα)luôn nằm trên một ñường tròn cố ñịnh (

α

biến thiên sao cho (Sα)là mặt cầu).

Bài : Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng : 2 2 1 0

2 2 4 0

x y z

d

x y z

− − + =



 + − − =

 và mặt cầu (S):

2 2 2

4 6 0

x +y +z + x− y+m= . Tìm m để d cắt (S) tại hai ñiểm M, N sao cho MN=8.

ðS: m=-12 
Bài: (DB KD 03). Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2P x+2y+ −z m2−3m=0 và mặt cầu

2 2 2

( ) : (S x−1) +(y+1) +(z−1) =9. Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m vừa tìm ñược hãy
xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm của (S) và (P)

CHỦ ðỀ 2: HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP 
A. Lý thuyết cơ bản

1. ðịnh nghĩa

•••• Mặt cầu: S O R( ; )=

{

M OM =R

}

•••• Khối cầu: V O R( ; )=

{

M OM ≤R

}

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; R) v mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).

• Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường trịn nằm trên (P), có tâm H và bán kính

2 2

r= R −d .

• Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp ñiểm H. ((P) ñgl tiếp diện của (S))

• Nếu d > R thì (P) và (S) khơng có điểm chung.

Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O đgl mặt phẳng kính, đường trịn giao tuyến có bán kính bằng R đgl 
đường trịn lớn.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) v ñường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆).

• Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

• Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)).

• Nếu d > R thì ∆ v (S) khơng có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp

Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp 
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều

nằm trên mặt cầu

Tất cả các mặt của hình đa diện ñều
tiếp xúc với mặt cầu

Hình trụ Hai đường trịn đáy của hình trụ nằm
trên mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với các mặt ñáy và
mọi ñường sinh của hình trụ

Hình nĩn Mặt cầu ñi qua ñỉnh và đường trịn
đáy của hình nón

Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đường sinh của hình nón

5. Xc định tm mặt cầu ngoại tiếp khối ña diện

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

• Cch 2: ðể xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

– Xác ñịnh trục ∆ của ñy (∆ là đường thẳng vuơng góc với đáy tại tâm

đường trịn ngoại tiếp đa giác ñáy).

– Xác ñịnh mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.

– Giao ñiểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích

Cầu Trụ Nón

Diện tích 2

S = πR

2
xq

S = πRh

2
tp xq đáy

S =S + S

xq

S =πRl

tp xq đáy

S =S +S

Thể tích 4 3

V = πR 2

V =πR h 1 2

V = πR h

B. Các dạng bài tập:

Loại 1: Các bài toán về hình cầu

Bài: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB=a. Biết SA=2a và SA⊥(ABC).
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC.

Chứng minh:

a) A,B,C,S cùng nằm trên một mặt cầu. Xác ñịnh tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
b) Các điểm A,B,C,H,K cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó.

Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA⊥(ABCD) và AB=SA=a. Gọi (P) là mặt
phẳng qua A và vuông góc với SC, (P) lần lượt cắt SB,SC,SD tại H, I và K. Chứng minh các ñiểm

A,B,C,D,H,I,K cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Bài : (KD-03). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau có giao tuyến là ∆. Trên ∆ lấy hai
ñiểm A và B sao cho AB=a. Trong mp(P) lấy ñiểm C, trong mp(Q) lấy ñiểm D sao cho AC và BD cùng
vng góc với ∆. Giả sử AC=BD=AB. Chứng minh 4 ñiểm A,B,C,D nằm trên một mặt cầu và tìm bán
kính của mặt cầu đó.

Bài (Cð KTCN-06). Trong mp(P) cho hình vng ABCD. Trên đường thẳng Ax vng góc với (P) lấy
ñiểm S bất kỳ. Dựng mp(Q) qua A và vng góc với SC. Mp(Q) cắt SB,SC,SD lần lượt tại B’,C’,D’.
Chứng minh rằng các ñiểm A,B,C,D,A’,B’,C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu cố ñịnh.

Bài: Cho hình cầu (S) tâm O bán kính R=5cm. Tam giác ABC với 3 cạnh BC=13cm, CA=14cm, 
AB=15cm, trong đó cả 3 cạnh cùng tiếp xúc với mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm O ñến mp(ABC).
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng và SB vng góc với (ABCD). Lấy điểm M trên SA (

M khác S,A). Giả sử (BCM)∩SD=N. Chứng minh sáu ñiểm A,B,C,D,M,N không cùng nằm trên một
mặt cầu.

Bài : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Có một hình cầu đi qua A

và tiếp xúc với SB, SD tại các trung ñiểm của chúng. Xác ñịnh tâm O của hình cầu và bán kính của hình
cầu theo a.

Loại 2: Hình cầu nội và ngoại tiếp hình chóp 
1. Hình cầu ngoại tiếp:

2. Hình cầu nội tiếp:

3. ðiều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp. Khi đó 
xác định tâm của hình cầu ngoại tiếp ta thực hiện các bước:

Xác ñịnh tâm của đường trịn ngoại tiếp đáy 
Dựng đường thẳng ∆ qua I và vng góc với đáy 
Vẽ mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên bất kì 
Giao ñiểm O của ∆ và (P) là tâm của mặt cầu.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài : Xác ñịnh tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có SA, SB,SC vng góc với nhau
từng đơi một và SA=a,SB=b,SC=c.

Bài : Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, SB=2a. Xác ñịnh tâm và tính thể tích khối
cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác ñều nằm trên mp
vng góc với mp(ABCD). Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài : Cho tứ diện ABCD. Biết AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c

a) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

b) Chứng minh có một mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của tứ diện.

Bài : Cho hình chóp lục giác ñều S.ABCDEF cạnh ñáy bằng a, góc của mặt bên và đáy bằng α. Tìm bán
kính hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.

Bài : Cho hình chóp S.ABC trong đó đáy là tam giác vng ABC đỉnh A. Giả sử SA vng góc với đáy.
Biết AB=c, AC=b, SA=a.

a) Xác định tâm I và tính bán kính R của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Chứng minh: A, G, I thẳng hàng.
Bài :

a) Giả sử R là bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp tam giác S.ABC. Chứng minh: 3
tp

V
r

S

= , ở đây V,

Stp tương ứng là thể tích và diện tích tồn phần của hình chóp.

b) Áp dụng: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,SB,SC đơi một vng góc với nhau và

SA=SB=SC=a. Tìm bán kính hình cầu nội tiếp

Bài : Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh ñối bằng nhau: AB=CD; AC=BD, AD=BC. Chứng minh: tâm
hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp của tứ diện trùng nhau.

Bài: (KB 2010). Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và

(ABC) bằng 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1: Cho ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối vng góc với nhau. Chứng minh: trung điểm của các
cạnh và các đường vng góc chung của các cặp cạnh ñối diện nằm trên một mặt cầu.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có 4 chiều cao kẻ từ 4 ñỉnh là h h h h1, 2, 3, 4. Gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ
diện. Chứng minh:

1 2 3 4

1 1 1 1 1

h +h +h +h = r

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vng

góc với đáy, SA=a. Tìm bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp. (2 2)

a

r= −

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’

lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SA, SB, SC, SD.

a) Chứng minh: các ñiểm A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ thuộc cùng mặt cầu (S).
b) Tìm bán kính mặt cầu (S).

ðS: 10