Giai bai toan bang cach lap phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (514.84 KB, 41 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

mục lục

phần 1: mở đầu 2

1. Lý do chọn đề tai 2

2. Mục đích nghiên cứu 2

3. NhiƯm vơ nghiªn cøu 3

4. Phạn vi và đối tợng nghiờn cu 3

5. Phơng pháp nghiên cứu 3

phần II: nội dung 4

Chơng I: Cơ sở lí luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu 4

Chơng II: Các biện pháp s phạm cần thực hiện để gúp phn

nâng cao chất lợng dạy học giải bài toán bằng cách lập phơng trì 5

Biện pháp 1: Điều tra thùc nghiƯm 5

BiƯn ph¸p 2: Híng dÉn cơ thĨ các bớc Giải bài toán bằng cách lập ph

-ơng trình” thơng qua các dạng bài cụ thể và cỏc bi tp ngh. 5

(Giải pháp) s phạm cần thực hiện 31

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm 33

1. Mc đích thực nghiệm 33

2. Néi dung thùc nghiƯm 33

3. KÕt quả thực nghiệm 38

phần iii: kết luận 41

tài liệu tham kh¶o 42

Phần i: mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đối với học sinh lớp 8 việc vận dụng kiến thức để giải bài toán bằng
cách lập phương trình cịn nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất
lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để lập phương trình của bài tốn.
Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em, bởi lẽ từ trước đến nay các
em chỉ quen giải những dạng tốn về tính giá trị của biểu thức hoặc giải những
phương trình cho sẵn. Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn chế,
các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề tốn, suy luận, tìm mối liên hệ
giữa các đại lượng, yếu tố trong bài tốn nên khơng lập được phương trình.
Hơn nữa đây là dạng toán hết sức mới lạ, các em mới được học nên chưa quen
với dạng toán tự mình làm ra phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả
học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn
nhưng khi áp dụng giải khơng được.

2.Mục đích

Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài tốn bằng cách lập

phương trình và tạo niềm tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh
giải bài toán bằng cách lập phương trình. Giúp cho thầy và trị trong dạy và
học đạt được kết quả cao .Giúp cho học sinh có hứng thú học và u thích mơn
Tốn.

3. Nhiệm vụ

-Nghiên cứu lí luận về giải bài tốn bằng cách lập phương trình.

- Xây dựng hệ thống bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình với
các phương pháp giải thích hợp cho từng dạng bài.

- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tốn bằng cách
lập phương trình trong giảng dạy.

- Đề xuất bài học kinh nghiệm trong quỏ trỡnh nghiờn cứu.
4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu.

Đề tài này tôi thực hiện tại trờng THCS Thanh Xá - Thanh Ba – Phú
Thọ đối với học sinh khối 8

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Khảo sát thực tiển

- Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Nghiên cứu tài liệu(SGK-Sách tham khảo – Tạp chí tốn học)
- Vận dụng thực hành trong giảng dạy

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>



PhÇn II: Néi dung

Ch ơng I : cơ sở lí luận và thực tiễn
có liên quan đến đề tài nghiên cứu
I.Cơ sở lớ luận.

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc
chìa khố vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa
học, kinh tế, Quân sự… trong cuộc sống .

Tốn học là một mơn học giữ vai trị quan trọng trong suốt bậc học, là
một mơn học khó, địi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nổ lực rất lớn để
chiếm lỉnh những tri thức cho mình. Chương trình tốn rất rộng, các em được
lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.
Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải
biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại
toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng
bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.

Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải
tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó
phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm
nâng cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết.

II. Cơ sở thực tiễn

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

quả giáo dục qua từng năm được sẽ được nâng lên rõ rệt. Từ suy nghĩ đó tơi
tiếp tục hồn thiện đề tài mà trước đây tơi đã thực hiện.

Ch ơng II : Các biện pháp s phạm cần thực hiện để góp phần

nâng cao chất lợng dạy học giải bài tốn bằng cách lập phơng trình
1. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

- Tìm hiểu lịng say mê đối với mơn tốn của học sinh khối 8, 9

- Kiểm tra kiến thức và kỹ năng cơ bản giải dạng bài tập Giải bài toán
bằng cách lập phơng trình của học sinh khối lớp 8.

2. Bin phỏp 2: Hớng dẫn cụ thể các bớc Giải bài tốn bằng cách lập ph“ 
-ơng trình” thơng qua các dạng bài cụ thể và các bài tập đề nghị.

I - CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG
TRÌNH

Trước hết phải cho các em nắm được lược đồ để “Giải bài tốn bằng
cách lập phương trình”

Bước 1 : Lập phương trình gồm các cơng việc :

- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số (Nếu có)
- Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để biểu thị các đại lượng
khác, diễn giải các bộ phận hình thành phương trình .

- Nhờ sự liên quan giữa các đại lưọng, căn cứ vào đề bài, mà lập phương
trình.

Bước 2 : Giải phương trình. Tùy theo từng dạng phương trình mà chọn
cách giải thích thích hợp và ngắn gọn.

Bước 3 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý so sánh với điều

kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp khơng,có thể thử lại kết quả đó với cả nội
dung bài tốn (Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đôi khi thiếu chặt chẽ) sau đó trả
lời (có kèm theo đơn vị ).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

chưa biết làm ẩn số – tùy theo từng bài toán) Xác định đơn vị đo và điều kiện
của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn.

II- PHÂN TÍCH BÀI TỐN :

- Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên
phải phân ra từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công
thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài. Ở lớp 8 các em thường gặp các
loại bài như :

*Loại toán :

1- Bài toán về chuyển động.

2- Bài toán liên quan đến số học và hình học.Thêm và bớt đối dượng
3- Bài tập năng suất lao động.

4- Bài tốn về cơng việc làm chung và làm riêng.
5- Bài tốn có nội dung vật lý - hóa học.

6- Bài tốn về tỷ lệ, chia phần.

Khi bắt tay vào giải bài tập, một u cầu khơng kém phần quan trọng, đó
là phải đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài
là các em đã hiểu được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết được đại lượng
nào đã biết, đại lượng nào chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng.

Cần hướng dẫn cho các em như tóm tắt đề bài như thế nào để làm tốn,
ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lên được dạng tổng quát của
phương trình thì các em sẽ lập phương trình được dễ dàng. Đến đây coi như đã
giải quyết được một phần lớn bài tốn rồi.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cịn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song
cũng cần phải biết được nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương
trình bài tốn, ta giải dễ dàng hơn.

Muốn lập được phương trình bài tốn khơng bị sai thì một u cầu quan
trọng nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ giũa các
đối tượng và đặc biệt phải biết liên hệ với thực tế.

a) Bài toán về chuyển động.

Ở chương trình lớp 8 thường gặp các bài tốn về dạng chuyển động ở
dạng đơn giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng
đường… hoặc chuyển động trên dòng nước.

Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức
liên quan, đơn vị các đại lượng.

Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng
đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức S= v.t. Từ
đó suy ra:

v =

t ; 
s
t =

v

Hoặc đối với chuyển động trên sơng có dịng nước chảy.
Thì : Vxi = VRiêng + V dòng nước

Vngược = VRiêng - V dòng nước

* Ta xét bài toán sau : Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết
3giờ 30’; ô tơ đi hết 2giờ 30’ phút. Tính qng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn
hơn vận tốc xe máy là 20km/h.

Đối với bài tốn chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ta vẽ sơ
đồ minh họa thì học sinh dễ hình dung bài tốn hơn

Tóm tắt:

Đoạn đường AB

t1 = 3h30’

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

t2 = 2h30’

V2 lớn hơn V1 là 20km/h (V2 – V1 = 20)
Tính quãng đường AB=?

- Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy)

- Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian.
- Các số liệu đã biết:

+ Thời gian xe máy đi : 3 h30’
+ Thời gian ô tô đi :2h 30’
+ Hiệu hai vận tốc : 20 km/h
- Số liệu chưa biết:

Vxe máy? Vôto â? SAB ?

* Cần lưu ý : Hai chuyển động này trên cùng một quãng đường không
đổi. Quan hệ giữa các đại lượng s, v, t được biểu diễn bởi công thức: s = v.t.
Quan hệ giữa v và t là hai đại lượng tỷ lệ nghịch.

Như vậy ở bài tốn này có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài
đoạn AB, nên có thể chọn x (km) là chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > 0

Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua các đại lượng đã biết.
Vận tốc xe máy : 3,5

x

(km/h)
Vận tốc ôtô : 2,5

x

(km/h)

Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng(V2 – V1 = 20)
2,5 3,5 20

x - x =

- Giải phương trình trên ta được x = 175. Giá trị này của x phù hợp với
điều kiện trên. Vậy ta trả lời ngay được chiều dài đoạn AB là 175km.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô
là ẩn.

- Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0
Thì vận tốc ơtơ là x + 20 (km/h)

- Vì qng đường AB khơng đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách
(quãng đường xe máy đi hoặc của ơtơ đi).

- Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)
Giải phương trình trên ta được: x = 50.

Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài toán :
Vận tốc xe máy là 50 km/h.

Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài tốn u cầu tìm qng
đường nên khi có vận tốc rồi ra phải tìm qng đường.

- Trong bước chọn kết quả thích hợp và trả lời, cần hướng dẫn học sinh
đối chiếu với điều kiện của ẩn, yêu cầu của đề bài. Chẳng hạn như bài toán

trên, ẩn chọn là vận tốc của xe máy, sau khi tìm được tích bằng 50, thì khơng
thể trả lời bài toán là vận tốc xe máy là 50 km/h, mà phải trả lời về chiều dài
đoạn đường AB mà đề bài địi hỏi.

Tóm lại : Khi giảng dạng tốn chuyển động, trong bài có nhiều đại
lượng chưa biết, nên ở bước lập phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các
đại lượng chưa biết làm ẩn.

Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu cần phải tìm là
ẩn. Nhằm tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả.

Song thực tế khơng phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng
phải tìm là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

b) Bài toán liên quan đến số học và hình học.Thêm, bớt đối tượng

- Ở chương trình đại số lớp 8 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số
tự nhiên có hai chữ số,ba chữ số đây cũng là loại toán tương đối khó đối với
các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho
các em nắm được một số kiến thức liên quan.

- Cách viết số trong hệ thập phân.( số có hai chữ số ab, ba chữ số abc)
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…[
mỗi đơn vị của hàng này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) mỗi đơn vị của hàng liền sau
nó (hoặc liền trước nó) 10lần. Chẳng hạn, số có ba chữ số abc bằng :

100a 10b c

abc= + +

trong đó b, c là các số tự nhiên từ 0 đến 9, riêng a từ 1 đến 9(điều
kiện của các chữ số)

Ví dụ 1 : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16,
nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị.
Tìm số đã cho.

Học sinh phải nắm được :

- Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số).

- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào?
(Tổng 2 chữ số là 16).

- Vị trí các chữ số thay đổi thế nào?

- Số mới so với số ban đầu thay đổi ra sao?

- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số
hàng đơn vị).

- Đến đây ta dễ dàng giải bài tốn, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số
ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị; ở đây tùy ý lựa chọn ẩn là chữ
số hàng chục (hoặc chữ số hàng đơn vị).

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Điều kiện của x ? (x N, 0 < x < 10).
Chữ số hàng đơn vị là : 16 – x

Số đã cho được biết 10x + 16 - x = 9x + 16

Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết.
10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x

Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình :
(160 – 9x) – (9x + 16) = 18

- Giải phương trình ta được x = 7 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy chữ số hàng chục là 7.

Chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9.
Số cần tìm là 79.

Ví dụ 2: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị.Nếu
tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng 12 .Tìm
phân số ban đầu.(SGK tập 2-Trang 25)

Để giải quyết bài toán này học sinh phải biết:
-Dạng tổng quát của phân số ? ab(a , b∈Z , b ≠0)

-Mẫu số quan hệ với tử số như thế nào?(Mẫu = 2. tử)

-Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì phân số mới viết như thế
nào ?

-Phân số sau có giá trị là bao nhiêu ?
-Để tìm phân số ta đi tìm gì ?

Chú ý: Nếu tăng (+), giảm (-)

-Đến đây học sinh dể dàng giải quyết bài toán này

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Phân số ban đầu được viết là a+3a

Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì phân số mới viết

a+2
a+5

Phân số sau có giá trị là 12 nên ta có phương trình

a+2
a+5 =

1
2

Giải phương trình trên ta được a = 1 (Thỏa mãn điều kiện bài tốn)
Vậy phân số cần tìm là : 14

*Ví dụ 3:Số lượng trong thùng thứ nhất gấp đôi lượng dầu trong thùng
thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ nhất 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số
dầu trong hai thùng bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu?
Tóm tắt:

Lúc đầu : - Số dầu thùng I bằng 2 lần số dầu thùng II
- Bớt thùng I đi 75lít.

- Thêm vào thùng II là 35 lít.

Lúc sau : - Số dầu thùng I bằng số dầu thùng II.

Tìm lúc đầu : Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít)

- Tiếp theo hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi sau :

+ Bài tốn có mấy đối tượng tham gia? (2 đối tượng - là 2 thùng dầu).
+ Quan hệ hai đối tượng này lúc đầu như thế nào?

(Số dầu T1 = 2T2)

+ Hai đối tượng này thay đổi thế nào? (Thùng I bớt 75lít, thùng II thêm
35lít).

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

+ Số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết.

Ở đây cần phải ghi rõ cho học sinh thấy được là bài tốn u cầu tìm số
dầu mỗi thùng lúc đầu, có nghĩa là 2 đối tượng đầu chưa biết phải đi tìm, nên
ta có thể chọn số lít dầu thùng thứ nhất hoặc số lít dầu thùng thứ hai lúc đầu là
ẩn.

- Số chọn số lít dầu thùng thứ II lúc đầu là x (lit).

- Điều kiện của ẩn? (x > 0) (Vì số lít dầu phải là số dương).

- Biểu thị đại lượng khác qua ẩn? Số dầu thùng thứ I lúc đầu là 2x(lít).
Chú ý : Thêm (+), bớt (-).

- Số dầu thùng I khi bớt 75 lít ? (2x – 75)
- Số lit dầu thùng II khi thêm 35 lit ? (x + 35)

- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng lúc sau là (số lit dầu 2 thùng

bằng nhau) ta lập phương trình.

x + 35 = 2x –75 (1)

- Khi đã lập được phương trình rồi, cơng việc giải phương trình khơng
phải là khó, song cũng cần phải hướng dẫn cho các em thực hiện các phép biến
đổi, giải theo các bước đã được học.

Sau khi giải xong, tìm được giá trị của ẩn, một điều cần thiết là phải đối
chiếu với điều kiện đã đặt cho ẩn ở trên để trả lời bài toán.

- Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ xem cịn có thể giải
theo cách nào nữa? Học sinh thấy ngay là ta có thể chọn số dầu thùng 1 lúc đầu
là ẩn.

Bằng cách lý luận trình tự theo các bước như trên, các em sẽ lập được
phương trình bài tốn :

x - 75 = 12 x + 35 (2)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Chắc chắn là giải phương trình (1) dễ dàng hơn phương trình (2) bởi vì
khi giải phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai vế của phương trình
rồi khử mẫu, điều này cũng gây lúng túng cho các em.

Từ đó cần chốt lại cho học sinh là ta nên chọn số lít dầu thùng II lúc đầu
là ẩn, vì nếu chọn số dầu thùng I lúc đầu là ẩn thì lập phương trình có dạng
phân số, ta giải khó khăn hơn.

Tóm lại : Nếu hai đối tượng quan hệ với nhau lúc đầu bởi đối tượng này
gấp mấy lần đối tượng kia thì ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng nào là

ẩn để bớt khó khăn khi giải phương trình.

Nếu gặp bài tốn liên quan đến số người, số con… thì điều kiện của ẩn :
“nguyên dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn đó cịn kèm theo điều kiện gì
thêm mà nội dung thực tế bài tốn cho.

c)Bài tập năng suất lao động.

*Ví dụ 1: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lơ hàng, theo đó
mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân
xưởng đã may 120 áo trong mỗi ngày. Do đó, phân xưởng khơng chỉ hồn
thành trước kế hoạch 9 ngày mà còn may thêm 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân
xưởng phải may bao nhiêu áo? (SGK Toán lớp 8 - trang 28).

Phân tích:

Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày ( đã biết), Tổng
số áo may và số ngày may (chưa biết): Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện.
Chúng ta có quan hệ:

Số áo may trong một ngày x Số ngày may = Tổng số áo may.
Ta chọn ẩn là trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số ngày
may theo kế hoạch. Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ
giữa các đại lượng trong bài toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh
điền vào bảng)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Theo kế hoạch 90 x 90x

Đã thực hiện 120 x - 9 120(x - 9)

Từ đó, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch
được biểu thị bởi phương trình:

120(x - 9) = 90x + 60.

d)Bài tốn về cơng việc làm chung và làm riêng.

Đối với bài tốn “làm chung - làm riêng một cơng việc” giáo viên cần cung
cấp cho học sinh một kiến thức liên quan như :

- Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc
là 1 đơn vị công việc biểu thị bởi số 1.

- Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian.
A : Khối lượng công việc
Ta có cơng thức A = nt ; Trong đó n : Năng suất làm việc

t : Thời gian làm việc
- Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.

- Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hoàn thành, khối lượng
cơng việc để vận dụng vào từng bài tốn cụ thể.

Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài
toán.

Xét các bài tốn sau :

*Ví dụ 1: (Bài tốn SGK / 79 – ĐS lớp 8)
Hai vòi cùng chảy 44

5 giờ đầy bể. mỗi giờ vòi 1 chảy bằng 1
1

2 lượng

nước vòi 2.Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể ?

- Trước hết phân tích bài tốn để nắm được những nội dung sau :
+ Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể.

+ Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

+ Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vịi, thời gian hồn thành
của mỗi vòi.

+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hồn thành cơng việc của mỗi
vịi).

- Bài tốn u cầu tìm thời gian mỗi vịi chảy riêng để đầy bể.
Ta tùy ý chọn ẩn là thời gian vòi 1 chảy hoặc vòi 2 chảy đầy bể.
Giả sử nếu gọi thời gian vịi 2 chảy một mình đầy bể là x (h)
Điều kiện của x ( x >

4
4

5h = 
24

5 h)

- Bài toán cho mối quan hệ năng suất của hai vịi chảy.
Nên tìm :

+ Năng suất của vòi 1 chảy là?

1
x (bể)

+ Năng suất vòi 2 chảy là ?

3
2x (bể)

+ Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ :

24 5

1 : =

5 24 (bể)

Ta có phương trình :

1
x +

3
2x =

24

Đây là dạng phương trình có ẩn mẫu, ta vận dụng các bước để giải
phương trình trên, ta được x = 12. Vậy thời gian vịi hai chảy một mình đầy bể
là 12 giờ.

- Nhưng làm sao để tính được thời gian chảy một mình của một vịi thì

ta tìm năng suất của vịi 1 là :

2.12 = 18 (bể)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

-Đối vơi các bài tốn có nội dung lí hóa thì học sinh ít gặp nhưng khi
vấp phải thì các em cũng gặp khong ít khó khăn như khơng nắm được các cong
thức lí- hóa.Chưa hiêu cách viết tỉ lệ phần trăm…Chính vì vậy giáo viên hưóng
dẫn học sinh nhớ lại các cơng thức này.Chẳng hạn như:

*Ví dụ 1: Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168kJ để đun nóng hai
khối nước hơn kém nhau 1kg thì khối nước nhỏ nóng hơn khối nước lớn 20C.
Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm mấy độ?.

Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các cơng thức, định luật của vật lý,
hóa học liên quan đến những đại lượng có trong đề tốn.

Cơng thức nào là liên quan?

Cơng thức tính nhiệt lượng là : Q = cm (t2 - t1)
- Trong đó Q là nhiệt lượng

- Nhiệt dung riêng của nước là: c =4,2 kJ/kg.độ.
- khối lượng của nước là m

- Nhiệt độ được tăng thêm là t2 - t1

suy ra khối lượng của nước là (2 1)

Q
m

c t t
=

-,
Từ đó ta có thể gợi ý cho học sinh

-Giả sử khối nước nhỏ được đun nóng x độ(x > 0).

-Như vậy khối lượng nước nhỏ la øbao nhiêu ? (2 1)

Q
m

c t t

168

4,2.x(kg) ,

- khối nước lớn được đun nóng kém hơn khối nước nhỏû 20C nên khối lượng

của khối nước lớn được tính như thế nào?

168

4,2(x- 2)(kg)

-Đến đây phương trình được lập là gì?

168

4,2.x+1 =

168
4,2(x- 2)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Vì x > 0 nên ta loại nghiệm âm.

Vậy khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C.

(Để giải bài tốn này, có thể đặt ẩn là khối lượng khối nước nhỏ).

*Ví dụ 2: Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha
thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20%
muối ?(SGK tốn 8 tập hai -Trang34)

-Với bài toán này học sinh phải nắm được cơng thức hóa học nào ?
C% = 100

ct

dd

m

m %

-Trong đó C% là nồng độ phần trăm của dung dịch
-mct là khối lượng chất tan

-mdd là khối lượng dung dịch (mdd = khối lượng chất tan + khối lượng dung
mơi)

-Đến đây ta có thể gợi ý học sinh giải bài toán này:
- Gọi x(g) là khối lượng nước cần thêm vào (x > 0)

- Khối lượng dung dịch sau khi thêm thay đổi như thế nào ? 200 + x
- Khối lượng chất tan (Khối lượng muối ) có thay đổi khơng ?

- Nồng độ dung dịch sau khi thêm được tính bằng mấy ? C% =

.100
200x %
-Sau khi thêm nước nồng độ dung dịch là 20% muối thì ta có phương trình
gì ?

.100

200x % = 20%
- Giải tìm x = 50 (Thỏa mãn điều kiện)
- Vậy lượng nước cần thêm vào là 50g.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

cơng thức,đơn vị của đại lương đó .Chọn ẩn, đặt điều kiện phù hợp để thuận
tiện cho việc lập và giải phương trình.

g) Bài tốn về tỷ lệ, chia phần.

-Với bài tốn này học sinh gặp khó khăn khi biểu diễn tỉ lệ giữa đại
lưọng này và đại lượng khác,đại lượng này với các đại lượng còn lại. Ta xét
bài tốn sau

*Ví dụ 1: Một cơng trường giao cho các đội công nhân sữa một đoạn
đường như sau

Đội 1 nhận 10m và

10phần còn lại

Đội 2 nhận 20m và

10phần còn lại

Đội 3 nhận 30 m và

10phần còn lại

Cứ chia như vậy cho dến đội cuối cùng thì hết và phần đất của mỗi đội đều
bằng nhau. Tính số đội tham gia sửa đường và chiều dài toàn bộ đoạn đường
phải sửa.

Để giải bài tốn thì học sinh phải trả lời được các câu hỏi sau

-Bài toán gồm những đại lượng nào ?(Chiều dài đoạn đường,Số đội tham

gia,đoạn đường mỗi đội thực hiện,

10phần còn lại của các đội)

-Đại lượng nào đã biết ? tính đại lương nào ?

-Ta chọn ẩn x (m) là chiều dài đoạn đường phải làm(x > 60)

-1

10phần còn lại của đội 1 là bao nhiêu ? 
1

10(x - 10) = 0,1(x - 10) mét

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

-1

10phần còn lại của đội 2 là bao nhiêu ? 
1

10( 0,9x – 9 – 20 )=0,1( 0,9x–9 – 20 )

-Đoạn đường đội 2 phải thực hiện ?20 +0,1( 0,9x–9 – 20 ) = 0,09x +17,1
mét

-Vì đoạn đường hai đội phải nhận bằng nhau ,ta có phương trình ?
0,1x + 9 = 0,09x +17,1

-Giải x = 810
-Trả lời

Chú ý :Bài toán hỏi hai đại lượng là số đội tham gia sửa đường và chiều
dài toàn bộ đoạn đường phải sửa.do vậy ta phải tính thêm

Số đội tham gia sửa đường = (Tổng chiều dài ): (Chiều dài của mỗi đội)
-Ngồi ra bài tốn có thể chọn ẩn là số đội tham gia sửa đường

III- MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH VỀ CÁC DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP
ĐỀ NGHỊ

Trong phần soạn một số bài tốn điển hình của từng loại, bản thân tơi
khơng có tham vọng gì lớn chỉ mong đó là tài liệu tham khảo các em học sinh
luyện tập thêm. Do đó, bản thân tơi cũng đúc rút từ các sách do quý thầy giáo ,
quý cô giáo đi trước đã dày công nghiên cứu để biên soạn và viết lại. Mong
q thầy cơ và các em học sinh vui lịng góp ý.

*Loại 1 : Bài tốn về chuyển động

Ví dụ 1 :Nhà Hịa và nhà Bình cùng nằm trên đường quốc lộ cách nhau
7km. Nếu Hịa và Bình đi xe đạp cùng một lúc và ngược chiều thì sau 14 giờ
họ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của Hòa bằng 34
vận tốc của Bình.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Trong

1

x giờ, Bình đi được 1 x4 (km).

Hòa đi được

1 3. x

4 4 (km)

Ta có phương trình : 1 x4 +

1 3. x

4 4 =7

Giải ra được : Þ

7 1x. = 7 x = 16

4 4

3x = 16. = 123

4 4

Thử lại :

1 3

16. + 12. = 12

4 4

Vậy vận tốc của Hòa là 12 (km/h), của Bình là 16 (km/h).

Ví dụ 2 : Hai ôtô vận tải khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến
thành phố B cách nhau 120km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km
một giờ, nên đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.

Lời giải :

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là : x km/h (với x > 10). Vận tốc của xe thứ

hai là (x – 10) km/h. Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là

120

x giờ, xe thứ

hai đi từ A đến B mất

120
-10

x giờ, và như vậy lâu hơn 1giờ. Ta có phương

trình :

120

x + 1 = 
120

-10
x

Hay : 120 (x – 10) + x (x – 10) = 120x
x2 – 10x – 1200 = 0

(x -40)(x -30 ) = 0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Vì x > 10 nên ta loại nghiệm âm.
Thử lại :

120

40 = 3( giờ) ; 120 430 = (giờ)

3 + 1 = 4 (giờ)

Vận tốc của xe thứ nhất là 40 (km/h). Vận tốc của xe thứ hai là
30(km/h).

Bài tập đề nghị :

1- Một người đi xe máy từ A đến B vận tốc 40 km/h. Đi được 15phút, người
đó gặp một ơto từ B đến,vận tốc 50km/h. Ôâto đến A nghỉ 15phút rồi trở về B
và gặp người đi xe máy cách B là 20 km. Tính quảng đường AB

2-Một xà lan xi dịng từ A đến B mất 2,5 giờ và ngược dòng từ B đến A mất
4 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 3 km/h, tính khoảng cách AB

3- Hai bến tàu thủy A và B cách nhau 48 km. Một tàu thủy đi từ A đến B rồi
trở lại A ngay mất 5 giờ tất cả. Biết vận tốc của dòng nước là 4 (km/h). Tính
vận tốc của tàu thủy khi nước đứng im.

4-Một ngời đi xe đạp dự định đi hết quang đờng AB với vận tốc 10km / h . Sau
khi đi đợc nửa quãng đờng với vận tốc dự định ngời ấy nghỉ 30 phút .Vì muốn

đến B kịp giờ nên ngời ấy phỉ đi với vận tốc 15 km / h trên qng đờng cịn lại
.Tính qng đờng AB

5- Một ơ tô và một xe đạp chuyển động đi t 2 đầu một quãng đờng sau 3h thì
gặp nhau .Nếu đi cùng chiều và suất phát tại một địa điểm ,sau 1h hai xe cách
nhau 28 km .Tính vận tốc xe đạp và ô tô ?

6-Một máy bay hành khách bay 1800 dặm ( 1 dặm = 1,6 Km) mất 3h khi thuận
gió ,nhng lúc quay về ,do ngợc gió , phải mất 4h .Hỏi tốc độ máy bay ,và tốc
độ gió ,giả sử máy bay bay với vận tốc không đổi .

7-Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một quãng đờng sau 3h thì
gặp nhau .Nếu đi cùng chiều và suất phát tại một địa điểm ,sau 1h hai xe cách
nhau 28 km .Tính vận tốc xe đạp và ơ tơ ,biết đoạn đờng đó dài 156km

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ví dụ 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 7
và nếu ta viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn số đã
cho là 27 đơn vị.

Giải :Gọi số đã cho là xy, trong đó x, y là số tự nhiên và 1 < x < 9, 0 < y < 9
và

xy=10x y+ .

Theo giả thiết thì x + y = 7. Số được viết theo thứ tự ngược lại là
. yx=10y x+

Theo đầu bài ta có hai phương trình : x + y = 7 và 10y + x – (10x + y) =
27

Suy ra: x + y = 7 và y –x = 8
Suy y = 5. và x = 7 - 5 = 2.

Giá trị này thõa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại : 52 - 25 = 27

Vậy số phải tìm là 25.

Ví dụ 2: Một tam giác có cạnh huyền bằng 25cm và tổng hai cạnh góc
vng bằng 35cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc vng.

Giải : Gọi x (cm)

là độ dài một cạnh góc vng, x > 0. Cạnh góc vng kia dài 35 - x (cm). Theo
định lý Pitago ta có phương trình :

x2 + (35 - x)2 = 252
hay x2 + 1225 - 70x + x2 = 625

x2 - 35x - 300 = 0
(x -20)(x -15) = 0

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Vậy độ dài hai cạnh góc vng lần lượt là 20cm và 15cm.

Bài tập đề nghị :

1- Nhà trường dự định làm một sân tập thể dục hình chữ nhật diện tích
350m2. Tính kích thước của sân biết rằng nếu giảm chiều dài 10m và tăng
chiều rộng lên 4m thì diện tích vẫn khơng đổi.

2- Trong một tam giác vng, đường cao thuộc cạnh huyền dài 12cm và
chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài cạnh huyền.

3- Một hình chữ nhật có diện tích là 56 cm ❑2 . Nếu bớt chiều dài đi 1cm và tăng 
chiêu rộng lên 1cm thì diện tích khơng đổi . Tính chiều dài mỗi cạnh

4-

Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 . Nếu lấy số lớn chia
cho số bé thì đợc thơng là 2 và số d là 124

5-Một hội chợ đợc tổ chức ,vé vào cửa đợc bán ra với giá 1,5 đô la cho trẻ em
và 4 đô la dành cho ngời lớn ,trong một ngày ,có 2200 ngời khách tham quan
hội chợ và ngời ta thu đợc 5050 đơ la . Hỏi có bao nhiêu ngời lớn và bao

nhiêu trẻ em tham quan hội chợ trong ngày đó ?

6-Một số có hai chữ số tổng của chúng bằng 7,khi đảo thứ tự hai chữ số đó
cho nhau thì số đã cho tăng lên 27. tìm số đó .

7-Một cơng ty cây xanh nọ đặt hàng tại một vờn ơm .Lần thứ 1 họ đặt 13 bụi
cây và 4 cây đơn , tổng giá tiền là 487 đô la . Lần thứ 2 họ đặt 6 bụi cây và 2 cây
đơn ,tổng giá tiền là 232 đô la . hố đơn nhận đợc khơng liệt kê đơn giá từng loại
.Hỏi giá tiền mỗi bụi cây và giá mỗi cây ?

8-Nhà Minh có một mảnh vờn trồng Da . Vờn đợc đánh thành nhiều luống .

Minh tính rằng nếu tăng thêm 5 luống ,nhng mỗi luống trồng ít đi 2

cây thi số cây tồn vờn sẽ ít đi 10 cây .Nếu giảm đi 3 luống nhng mỗi luống
trồng tăng thêm 4 cây thi số cây toàn vờn sẽ tăng thêm 30 cây . Hỏi vờn nhà
Minh trông đợc bao nhiêu cây Da

9-Chữ số hàng chục của một số có hai chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2.
Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau sẽ đợc một số băng 2/3 chữ số ban đầu
Tìm số có hai chữ số ban đầu đó .

10-Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m .Tính diện tích của thửa ruộng
đó ,biết rằng nếu chiều dài tăng 15m và chiều rộng giảm đi 15m thì diện tích giảm
đi 450 m2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Chú ý : Năng suất lao động là kết quả làm được, như vậy năng suất lao động
trội = mức quy định + tăng năng suất.

Ví dụ : Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy. Trong
tháng sau, tổ I vượt mức 10%, tổ II vượt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất được
448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi
tiết máy?

Phân tích : Cần phải xác định năng suất của mỗi tổ trong tháng đầu, nên
ta có thể đặt hai ẩn, mỗi ẩn tương ứng là năng suất của mỗi tổ. Nhưng vì biết
năng suất chung của hai tổ là 400 chi tiết máy, do đó có thể chỉ cần một ẩn số.
Giả sử gọi năng suất của tổ I (trong tháng đầu) là x thì năng suất của tổ II là

400- x. Tiếp theo có thể dựa vào năng suất của mỗi tổ trong tháng sau để lập

phương trình, hoặc có thể dựa vào phần tăng năng suất của mỗi tổ để đi đến

một phương trình khác.

Giải : Cách 1 : Gọi x là số chi tiết máy tổ I sản xuất trong tháng đầu, x nguyên
dương, như vậy tổ 2 sản xuất (400 – x) chi tiết máy.

Trong tháng sau, tổ I làm được so với tháng đầu là :
100% + 10% = 110%

Tổ II làm được so với tháng đầu là :
100% + 15% = 115%

Tháng sau số chi tiết máy mà cả hai tổ làm được là:

110 115(400 ) 448

100 100

x+ - x =

Giải phương trình trên :

110x + 115 (400 – x) = 44.800
- 5x = - 1.200
x = 240
Thử lại:

110.240

= 264

100 ;

115.160

184

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ II sản xuất
được 400 – 240 = 160 chi tiết máy.

Cách 2 : Phần đặt ẩn số như cách 1.

Trong tháng sau, cả hai tổ đã tăng năng suất là :
448 - 400 = 48 (chi tiết máy)

Như vậy ta có phương trình :

10 15(400 ) 48

100 100

x+ - x =

Giải phương trình trên :

10x + 15 (400 – x) = 4.800
- 5x = - 1200
x = 240

Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất
được 400 – 240 = 160 chi tiết máy.

Bài tập đề nghị :

1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn
phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xưởng A
tăng năng suất 20%, còn phân xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A
sản xuất được nhiều hơn phân xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch
mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm?

2- Một đội cơng nhân hồn thành một công việc với mức 420 ngày công
thợ. Hãy tính số cơng nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số
ngày để hồn thành cơng việc sẽ giảm đi 7 ngày công.

3-Hai công nhân l m một số dụng cụ nhà nhau trong cùng một thơì gian
nh nhau .Ngời thứ nhất mỗi giơ làm tăng 2 dụng cụ nên hồn thành cơng việc
trớc 2h . Ngời thứ 2 mỗi giờ l m tăng 4 dụng cụ nên hồn thành cơng việcà
trớc 3h và làm thêm đợc 6 chiếc .Tính số dụng cụ mà mỗi công nhân phải làm

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu sẽ làm xong cơng việc đó ?
*Loại 4 : Bài toỏn về cụng việc làm chung, làm riờng

Chú ý : Nếu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày...) để làm xong một cơng
việc thì trong 1 đơn vị thời gian ấy sẽ làm được 1n cơng việc.

Ví dụ 1 : Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ
làm xong cơng trình. Nếu làm riêng thì đội I phải làm lâu hơn đội II là 5 ngày.
Hỏi mỗi đội làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ xong cơng trình.

Giải : Gọi x là số ngày mà đội I phải làm một mình để hồn thành cơng
trình. Như vậy đội II làm riêng phải mất x - 5 ngày. Điều kiện x > 5. Mỗi ngày

đội I làm được

x cơng trình, đội II làm được 
1

x- cơng trình và cả hai đội

làm chung được 61 cơng trình. Ta có phương trình :
1
x +

1
5
x- = 61

Giải phương trình trên :

6(x - 5) + 6x = x(x - 5)
x2 - 17x + 30 = 0
(x - 15)(x - 2) = 0

Phương trình có nghiệm là x1 = 15, x2 = 2
Vì x > 5 nên ta chỉ lấy nghiệm x = 15

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Giải : Gọi x và y là số giờ mà mỗi vòi nước chảy một mình để đầy bể, x và y

dương và tính bằng giờ. Như vậy, sau 1 giờ mỗi vòi chảy được

xvà 1y bể, cả

hai vòi chảy được

12 bể. Theo đề bài ta có hai phương trình :

1 1 1

x+ =y và

4 6 2

x+ =y

Giải được : x =20 và y = 30

Mà x = 20, từ đó y = 30 thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại đúng.Vậy
mỗi vịi nếu chảy riêng thì lần lượt phải mất 20 giờ và 30 giờ mới đầy bể.
Bài tập đề nghị :

1- Hai cần cẩu làm chung thì hồn thành cơng việc sau 7giờ 30 phút.
Nếu cần cẩu thứ nhất làm riêng trong 5 giờ và cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp
tục trong 1 giờ 40 phút thì mới được một nửa cơng việc. Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi cần cẩu phải làm trong bao lâu để xong công việc?.

2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mương. Nếu để mỗi đội làm riêng
cả con mương thì tính ra cả hai đội sẽ mất tất cả 25 ngày mới xong. Nếu góp
sức làm chung thì cả hai đội chỉ mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội
phải mất bao lâu để đào xong mương ?

3- Hai vòi nước cùng chảy vào bể khơng có nước, sau

11
12
2

giờ thì đầy
bể. Nếu chảy riêng thì vịi thứ nhất sẽ đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi
mỗi vòi chảy y b trong bao lõu?.

4-Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể nớc cạn ,sau 4 4

5 h thì đầy

bể .Nếu lúc đâu chỉ mở vòi thứ nhất ,sau 9h thì mở vòi thứ 2 thì sau 6

5 h nữa
mới đầy bể . Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ 2 thì sau bao lâu sẽ đầy bể

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ví dụ 2 : Lấy 40g chất lỏng thứ nhất trộn lẫn với 30g chất lỏng thứ hai
có khối lượng riêng nhỏ hơn 100kg/m3 ta được một hỗn hợp có khối lượng
riêng là 350kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Phân tích : Công thức khối lượng riêng:

M
D

V
=

(kg/m3)

Chú ý khi trộn hai chất lỏng có khối lượng riêng khác nhau thì khối
lượng riêng của hỗn hợp cũng sẽ khác nhưng thể tích của mỗi hỗn hợp thì bao
giờ cũng bằng tổng thể tích của hai chất lỏng đem trộn mà cơng thức tính thể
tích: V=M

D .

Giải :

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m3) thì khối lượng
riêng của chất lỏng thứ hai là (x - 100) kg/m3. Điều kiện x > 100.

So sánh thể tích của hai chất lỏng

0.04
x và

0.03
100

x- với thể tích của hỗn

hợp:

0,04 0,03 0,07

350 350

+ =

Ta đi đến phương trình :

0.04
x +

0.03
100
x- =

0,07
350

Nhân hai vế với 100 và thay

7 1

350=50 ta được phương trình:

4 3 1

100 50

x+x- =

50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100)
x2 - 450x + 20000 = 0

(x - 400)(x - 50) = 0

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Vậy khối lượng riêng của hai chất lỏng là 400kg/m3 và 300kg/m3.
Bài tập đề nghị :

1- Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại I chứa 30% axit,
loại II chứa 50% axit. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit thì cần phải
trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại?

2- Một hợp kim đồng và nhơm nặng 11,250kg, có thể tích là 3,500dm3.
Tính khối lượng của đồng và nhơm có trong hợp kim, biết rằng khối
lượng riêng của đồng là 8,9g/cm3; của nhơm là 2,6g/cm3.

*Loại 6 : Bài tốn về tỉ lệ, về chia phần

*Ví dụ 1: Bà An gửi vào qũy tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi
tháng là a%(a là một số cho trước) và lãi tháng này đựơc tính gộp vào vốn cho
tháng sau.

a) Hãy viết biểu thức biểu thị :

+Số tiền lãi sau tháng thứ nhất

+Số tiền ( cả gócc lẫn lãi ) có được sau tháng thứ nhất.
+Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.

b)Nếu lãi suất là 1,2%(tức a = 1,2) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là
48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm?

Lời giải:

a)Với x nghìn là tiền tiếi kiệm và lãi suất là a% ta có

+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là x 100a (nghìn đồng)
+ Số tiền ( cả gócc lẫn lãi ) có được sau tháng thứ nhất.

x + x 100a (nghìn đồng)

+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

b) Nếu lãi suất là 1,2% và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn
đồng

ta có phương trình

x 100a + (x + x. 1001,2 ) 1001,2 = 48,288
Giải phương trình trên ta được x =2000

X = 2000 nghìn đồng ứng với lúc đầu bà An gửi 2 triệu đồng
Bài tập đề nghị :

1- Hai lớp 9A1 và 9A2 được mua tất cả thảy 380 tập giấy và được phân

phối đều cho hai lớp theo tỷ lệ

10. Hỏi mỗi lớp mua được bao nhiêu tập giấy.

2- Một đội thanh niên xung phong theo kế hoạch phải đào 40 m3 đất.

Nhưng khi bất đầu làm đợi được bổ sung thêm 5 người nên mỗi người giảm
được định mức 0,4m3 đất. Hỏi đội cĩ bao nhiêu người?

3- Hội trường có 320 chỗ ngồi. Số người đến dự là 420 người, do đó
phải xếp để mỗi dãy thêm 4 ghế và phải đặt thêm một dãy ghế nữa mới đủ. Hỏi
hội trường lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.

4- Một ngời gởi tiết kiệm ngân hàng ở hai nơi. Một nơi có lãi suất 9% và một
nơi có lãi suất 11% một năm.Số tiền anh ta có là 12000.000đ, trong năm đầu
anh ta nhận đợc 1180.000đ tiền lãi . Hỏi anh ta gởi mỗi nơi bao nhiêu .
IV - BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :

Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài tốn “Giải tốn
bằng cách lập hệ phương trình” với thời lượng lên lớp chính khóa (2tiết) là
rất khó.Do đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:

1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tơi đó là giáo
viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống câu hỏi phù hợp, các bài tập
trắc nghiệm, tự luận phù hợp.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

truyền tải thông tin đến học sinh nhanh nhất bản thân tôi soạn một số bài tập
trắc nghiệm nhỏ để các em thực hiện.

Ví dụ: Để ơn tập cho phần “Đường lối chung để giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình” tơi soạn một bài tập như sau: Sắp xếp các bước
sau theo cách hợp lý để chỉ ra “Đường lối chung để giải bài toán bằng cách lập
hệ phương trình”

c- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài, mà lập phương
trình

e- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số.

a - Nhận định kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt
ra cho ẩn xem có thích hợp khơng, sau đó trả lời (có kèm theo đơn vị).

d- Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để biểu thị các số liệu khác,
diễn giải các bộ phận hình thành phương trình.

h - Lập phương trình gồm các cơng việc :

b - Giải phương trình .Tùy theo từng dạng phương trình mà chọn cách

giải thích thích hợp và ngắn gọn.”

3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có nhóm trưởng (Học
sinh có học lực khá ,có uy tín với các bạn ).Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập
“mẫu”mà giáo viên đã giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà
giáo viên đưa ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài giải của mình (có
thuyết trình). Các thành viên cịn lại của lớp có thể đặt câu hỏi nhóm giải bài.
(nếu câu hỏi hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi các em)

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Ch

ơng III : Thực nghiệm s phạm
1. Mục đích thực nghiệm.

- Kiểm tra tính hiệu quả của đề tai mà mình nghiên cứu.

- Tìm ra những u, nhợc điểm của đề tài mà mình nghiên cứu từ đó tìm ra
những biện pháp cơ bản và tối u nhằm khắc phục và hoàn thiện đề tài ngày một
có chất lợng cao hơn.

2. Néi dung thùc nghiƯm.

TiÕt 50: Giải bài toán bằng cách
lập phơng trình

I. Mục tiêu bài gi¶ng:

- Kiến thức: - HS hiểu cách chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
- Biết cách biểu diễn một đại lợng cha biết thông qua biểu thức chứa ẩn. Tự
hình thành các bớc giải bài tốn bằng cách lập phơng trình.

- Kỹ năng: - Vận dụng để gỉai một số bài toán bậc nhất
- Thái độ: T duy lơ gíc - Phơng pháp trình bày

II. ph ơng tiện thực hiện
- GV: Bài soạn.bảng phụ
- HS: bảng nhóm, đọc trớc bài

- Nắm chắc các bớc giải bài tốn bằng cách lập phơng trình
- Dạy học nờu v gii quyt vn

III. Tiến trình bài d¹y

Hoạt động củaGV và HS Nội dung ghi bảng
1- Tổ chức:

Líp 8A: Líp 8B:
2- Kiểm tra:

Lồng vào bài mới
3- Bài mới

* HĐ1:Giới thiƯu bµi míi

GV: Cho HS đọc bài tốn cổ " Vừa gà
vừa chó…"

- GV: ở tiểu học ta đã biết cách giải bài
toán cổ này bằng phơng pháp giả thiết
tạm liệu ta có cách khác để giải bài

tốn này khơng? Tiết này ta sẽ nghiên
cứu.

* HĐ2: Biểu diễn một đại lợng bởi 
biểu thức chứa ẩn

1) Biểu diễn một đại l ợng bởi biểu 
thức cha n

- GV cho HS làm VD1
- HS trả lời các câu hỏi:

- Quóng ng m ụ tụ i c trong 5 h
là?

- Quãng đờng mà ô tô đi đợc trong 10 h
là?

- Thời gian để ô tô đi đợc quãng đờng

1) Biểu diễn một đại l ợng bởi biểu 
thức chứa ẩn

* VÝ dô 1:

Gọi x km/h là vận tốc của ơ tơ khi đó:
- Qng đờng mà ô tô đi đợc trong 5
h là 5x (km)

- Quãng đờng mà ô tô đi đợc trong 10

h là 10x (km)

- Thời gian để ô tô đi đợc quãng đờng
100 km là

100

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

100 km lµ ?
* VÝ dơ 2:

Mẫu số của phân số lớn hơn tử số của
nó là 3 đơn vị. Nếu gọi x ( x z , x 0)

lµ mÉu số thì tử số là

- HS làm bài tập ?1 vµ ?2 theo nhãm.

- GV gọi đại diện các nhúm tr li.

* HĐ3:Ví dụ về giải bài toán bằng 
cách lập phơng trình

- GV: cho HS lm li bi tốn cổ hoặc
tóm tắt bài tốn sau đó nêu (gt) , (kl)
bài tốn

- GV: híng dÉn HS lµm theo tõng bíc
sau:

+ Gäi x ( x  z , 0 < x < 36) lµ sè gµ

H·y biểu diễn theo x:
- Số chó

+ Dùng (gt) tổng chân gà và chó là 100
thit lp phng trỡnh

- GV: Qua việc giải bài toán trên em
hÃy nêu cách giẩi bài toán bằng cách
lập phơng trình?

4- Củng cố:

- GV: Cho HS lµm bµi tËp ?3
5- H íng dÉn vỊ nhµ

- HS làm các bài tập: 34, 35, 36
sgk/25,26

- Nghiên cứu tiếp cách giẩi bài toán
bằng cách lập phơng trình.

Mu số của phân số lớn hơn tử số của
nó là 3 đơn vị. Nếu gọi x ( x z , x

0) là mẫu số thì tử số là x – 3.
*?1

a) Quãng đờng Tiến chạy đợc trong x
phút nếu vận tốc trung bình là 180 m/
phút là: 180.x (m)

b) Vận tốc trung bình của Tiến tính
theo ( km/h) nếu trong x phút Tiến
chạy đợc quãng đờng là 4500 m là:

4,5.60

x ( km/h) 15 x 20

* ?2

Gọi x là số tự nhiên có 2 chữ số, biểu
thức biểu thị số tự nhiên có đợc bằng
cỏch:

a) Viết thêm chữ số 5 vào bên trái số
x lµ:

500+x

b) ViÕt thêm chữ số 5 vào bên phải số
x là:

10x + 5

2) VÝ dô về giải bài toán bằng cách

lập ph ơng trình

Gäi x ( x  z , 0 < x < 36) lµ sè gµ

Do tỉng sè gµ là 36 con nên số chó
là: 36 - x ( con)

Số chân gà là: 2x

Số chân chó là: 4( 36 - x)

Tổng số chân gà và chân chó là 100
nên ta có phơng trình: 2x + 4(36 - x)
= 100

 2x + 144 - 4x = 100
 2x = 44

 x = 22 thoả mÃn điều kiện của ẩn
Vậy số gà là 22 và số chó là 14

Cách giẩi bài toán bằng cách lập ph - 
ơng trình?

B1: Lập phơng tr×nh

- Chọn ẩn số, đặt điều kiện thích hợp
cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo

ẩn và các đại lợng đã biết.

- Lập phơng trình biểu thị mối quan
hệ giữa các đại lợng

B2: Gi¶i phơng trình

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

********************************

Tiết 51: Giải bài toán bằng cách 
lập phơng trình

I. Mục tiêu bài giảng:

- Kin thc: - HS hiểu cách chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
- Biết cách biểu diễn một đại lợng cha biết thông qua biểu thức chứa ẩn. Tự
hình thành các bớc giải bài tốn bằng cách lập phơng trình.

- Kỹ năng: - Vận dụng để gỉai một số bài toán bậc nhất
- Rèn kỹ năng trình bày, lập luận chặt chẽ.

- Thái độ: T duy lơ gíc - Phơng pháp trình bày
II.ph ơng tiện thực hiện:

- GV: Bài soạn.bảng phụ
- HS: bảng nhóm, đọc trớc bài

- Nắm chắc các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình
- Dạy học đặt và giải quyt vn .

III. Tiến trình bài dạy

Hot ng ca GV và HS Nội dung ghi bảng
1- Tổ chức:

Líp 8A: Lớp 8B:
2- Kiểm tra:

Nêu các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng
trình ?

3- Bài mới:

* HĐ1: Phân tích bài toán
1) Ví dụ:

- GV cho HS nêu (gt) và (kl) của bài toán
- Nêu các đại lợng đã biết và cha biết của bài
toán

- Biểu diễn các đại lợng cha bit trong bi toỏn
vo bng sau:

- HS thảo lụân nhóm và điền vào bảng phụ.
Vận tốc

(km/h) Thời gianđi (h) ờng đi (km)QuÃng

đ-Xe máy 35 x 35.x

Ô tô 45

x-
2

5 45 - (x- 
2
5)
- GV: Cho HS các nhóm nhận xét và hỏi: Tại
sao phải đổi 24 phút ra gi?

- GV: Lu ý HS trong khi giải bài toán bằng cách
lập phơng trình có những điều không ghi trong

Ví dụ:

Giải

- Goị x (km/h) là vận tốc của
xe máy

( x >
2
5)

- Trong thời gian đó xe máy
đi đợc quãng ng l 35x
(km).

- Vì ô tô xuất phát sau xe

máy 24 phút =

5giờ nên ôtô

i trong thời gian là: x -
2
5(h)
và đi đợc quãng đờng là: 45

-(x-
2

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

gt nhng ta phải suy luận mới có thể biểu diễn
các đại lợng cha biết hoặc thiết lập đợc phơng
trình ví dụ nh: Quãng đờng bằng vận tốc nhân
thời gian hoặc gà có 2 chân, chó có 4 chân,
hoặc tổng quãng đờng đi của 2 chuyển động khi
đi đến điểm gặp nhau là bằng quãng đờng…
- GV: Với bẳng lập nh trên theo bài ra ta có
ph-ơng trình nào?

- GV trình bày lời giải mẫu.

- HS gii phng trỡnh vừa tìm đợc và trả lời bài
tốn.

- GV cho HS lµm ?4.

- GV đặt câu hỏi để HS điền vo bng nh sau:

V(km/h) S(km) t(h)
Xe

máy 35 S 35S

Ô t« 45 90 - S 90

S



- Căn cứ vào đâu lp phng trỡnh? phng

trình nh thế nào?

- HS đứng tại chỗ trình bày lời giải bài tốn.

- HS nhận xét 2 cách chọn ẩn số
* HĐ2: HS tự giẩi bài tập
2) Chữa bài 37/sgk

- GV: Cho HS c yêu cầu bài rồi điền các số
liệu vào bảng .

- GV chia lớp thành 2 nhóm, yêu cầu các nhóm
lập phơng trình.

Vận tốc

(km/h) gian điThời
(h)

QuÃng 
đ-ờng đi

(km)
Xe máy x

3
1

2 3
1
2 x
Ô tô x+20

2
1
2

(x + 20) 2
1

2
- GV: Cho HS điền vào bảng

Vận tốc

(km/h) gian điThời
(h)
QuÃng 
đ-ờng đi
(km)
Xe máy
2

7x 3
1

2 x

- n lúc 2 xe gặp nhau tổng
quãng đờng đi đợc bằng
quãng đờng Nam định- Hà
nội dài 90 km, nên ta có
ph-ơng trình:

35x + 45 . (x-
2

5) = 90
 35x + 45x - 18 = 90

 80x = 108  x

108 27

80 20
Phù hợp điều kiện bài
Vậy thời gian để 2 xe gặp
nhau là

27
20 (h)

Hay 1h 21 phút kể từ lúc xe
máy khởi hành.

- Gọi s ( km ) lµ qu·ng

đ-ờng từ Hà Nội đến điểm
gặp nhau của 2 xe.

- Thêi gian xe m¸y ®i lµ:
35

S

- Qng đờng Ơ tơ đi là 90

– s

- Thời gian ô tô đi là
90

S

- Xe máy khởi hành trớc ô

tô24/

ta có phơng trình:

90 2

35 45 5

S  S

 

 16 S = 176
 S = 
47,25 km

Thời gian xe máy đi là:
47,25 : 35 = 1, 35 h
Hay 1 h 21 phót.

Bµi 37/sgk

Gäi x ( km/h) lµ vËn tèc cđa

xe m¸y ( x > 0)

Thời gian của xe máy đi hết
quãng đờng AB là:

1
9

2- 6 = 3
1
2 (h)

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Ô tô 2

5 x 2

2 x

* H§3: Tỉng kÕt
4- Cđng cố:

- GV: chốt lại phơng pháp chọn ẩn
- Đặt điều kiện cho ẩn

- Nhắc lại cấc bớc giải bài toán bằng cách lập
phơng trình.

5- H ớng dẫn về nhà

- Làm các bài tập 38, 39 /sgk
- Hớng dẫn:

+ Chọn ẩn số

+ Đặt điều kiện cho phù hợp yêu cầu bài cho và
thực tế.

+ Lp bng v mi quan hệ giữa các đại lợng

Thời gian của ô tô đi hết
quãng đờng AB là:

1
9

2- 7 = 2
1
2 (h)

Vận tốc của ô tô là: x + 20
( km/h)

Quãng đờng của xe máy đi
là: 3

2 x ( km)

Quãng đờng của ô tô đi là:
(x + 20) 2

2 (km)
Ta có phơng trình:

(x + 20) 2
1
2 = 3

1
2
 x = 50 tho¶ m·n

VËy vËn tèc cđa xe máy là:
50 km/h

V quóng ng AB l:
50. 3

2 = 175 km

3. KÕt qu¶ thùc nghiƯm.

Với những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân tôi tự nghiên cứu áp
dụng .Bước đầu tơi thấy có một số kết quả sau:

-Trước khi thực hiện phương pháp này, đầu năm học tôi cho các học
sinh lớp 9B (năm học: 2010-2011) do tôi phụ trách ( gồm 27 em) làm một bài
tốn giải của lớp 8,Tơi ghi lại kết quả theo dõi như sau:

- Điểm 9 ; 10: 01 học sinh.
- Điểm 5; 6;7; 8; 10 học sinh .

- Điểm dưới trung bình: 16 học sinh.

Sau khi thực hiện tôi thấy kết quả của các em nâng lên rõ rệt ở bài làm thứ hai:
- Điểm 9; 10 : 04 học sinh.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

- Điểm dưới trung bình: 6 học sinh.

Tụi tiếp tục ỏp dụng đề tài của mỡnh với học sinh khối 8 kết quả nh sau:
* Kết quả trớc khi áp dụng đề ti:

T l hc sinh
gii

T l hc sinh

khá Ttrung bình l học sinh

Tỉ lệ học sinh
yếu

Tỉ lệ học
sinh kÐm
3hs = 6.3% 10hs = 20.8% 17hs = 35.4% 14hs = 29.2% 4hs = 8.3%

* Kết quả sau khi áp dụng đề tài:
Tỉ l hc

sinh gii

T l hc sinh

khá Ttrung bình l hc sinh

Tỉ lệ học sinh
yếu

Tỉ lệ học
sinh kÐm
5hs= 10.4% 13hs = 27.1% 18hs = 37.5% 10hs = 20.8% 2hs = 4.2%

Ta thấy tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng lên, tỉ lệ học sinh yếu kém đã giảm đi
Đặc biệt phần lớn học sinh đó say mờ giải những bài toỏn bằng cỏch lập
phương trỡnh.

- Các em khơng cịn lúng túng khi lập phương trình nữa.

- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học toán , Từ đó, nó
tạo cho các em tính tự tin độc lập suy nghĩ.

- Trong quá trình giải các bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích,
suy ngẫm, khái quát vấn đề một cách chặt chẽ, các em khơng cịn ngại khó, mà
rất tự tin vào khả năng học tập của mình.

- Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp.
Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn cịn một số ít học sinh
học yếu , lười học, chưa có khả năng tự mình giải được những bài tốn bằng
cách lập phương trình. Đối với các em yếu, đây là một việc thực sự khó khăn.
Một phần cũng là do khả năng học toán của các em cịn hạn chế, mặt khác
dạng tốn này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở các em.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

* Ý kiến đánh giá, nhận xét của tổ chun mơn.

...
...
...
...
...
...
...

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

PhÇn iii: kÕt ln

Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những
năm giảng dạy của bản thân tôi. Phần giải tốn bằng cách lập phương trình
cũng rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình, tơi chỉ đề cập đến một số
dạng đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 8. Tơi cũng chỉ đi sâu
vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp các em có kỹ năng lập phương trình bài
tốn, bởi vì muốn giải được bài tốn bằng cách lập phương trình thì phải lập
được phương trình, có phương trình đúng thì giải phương trình có kết quả

đúng, dẫn đến mới trả lời được điều mà bài tốn địi hỏi.

Nh÷ng biện pháp và việc làm của tơi như đã trình bày ở trên, bước đầu
chưa đạt được kết quả chưa thật tèt đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu
thực hiện tốt tơi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà
ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác , với cách trình bày như trên (nếu
thành cơng) .Tơi thiết nghĩ , chúng ta có thể áp dụng cho một số phần khác
như: Phân tích đa thức thành nhân tử. Chứng minh tam giác đồng dạng ....

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>