Quach dinh Bao 20 bai toan phan loai vao 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (192.06 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ BÀI TỐN HAY VÀ KHĨ
Bài 1.

Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
1

3  3  3 

     

x y z

x x yz y y zx z z xy
Hướng dẫn :

Từ





x yz  0 x yz 2x yz

(*) Dấu “=” khi x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz 
Suy ra 3x yz  x(y z) 2x yz   x ( y z) (Áp dụng (*))

x x

x 3x yz x ( x y z)

x 3x yz x y z

      

    (1)

Tương tự ta có:

y
y

y 3y zx  x  y z (2),

z z

z 3z xy  x y z (3)

Từ (1), (2), (3) ta có

x y z

1
x 3x yz y 3y zx z 3z xy 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

Bài 2.









2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2
2

, , 4 3 7.

1 1 3 3

4 3 4 4 2. . 2. . 3 3 4 3

4 2 4 2

1 3

2 3 7 7, , ,

2 2

x y z x y z yz x y

x y z yz x y x x y y z z y y

x y z y x y z

     

 

                

   

 

           

 

    

Cho lµ ba sè thùc tuú ý. Chøng minh:
Ta cã:

Bài 3. Cho ba số x, y, z thỏa mãn





x, y, z 1: 3
x + y + z 3
  








 . Chứng minh rằng:x + y + z2 2 2 11

Hướng dẫn :

Vì x , y , z∈[−1;3]

1 3

( 1)( 1)( 1) 0

1 3

(3 )(3 )(3 ) 0

1 3

x

x y z

y

x y z

z
  


   




     

   


  


1 0

2( ) 2

27 9( ) 3( ) 0

xyz xy yz xz x y z

xy yz xz

x y z xy yz xz xyz

       



     

       

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 2 2 2( ) 2 2 2 2 ( )2 2 2 2 2

x y z xy yz xz x y z x y z x y z

                

2 2 2 2 2 2 2

3 2 x y z x y z 11

        

Bài 4.

Cho các số a, b, c đều lớn hơn
25

4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 5 2 5 2 5

a b c

Q

b c a

  

   .

Hướng dẫn :
Do a, b, c >

4 (*) nên suy ra: 2 a 5 0 , 2 b 5 0 , 2 c 5 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:

2 5 2

2 5

a

b a

b    (1)

2 5 2

2 5

b

c b

c     (2)

2 5 2

2 5

c a c

a    (3)

Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q5.3 15 .
Dấu “=” xẩy ra  a b c  25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15  a b c  25

Bài 5.

2
2

x 2x 2011
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

 

(với x 0 )
H

ướng dẫn :





 


 

      

 

 

     

 

 

 

     

 

 

2
2

x 2x 2011

A = với x 0
x

1 1 1

= 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (với t = 0)

x x x

1 1 1

= 2011 t 2 t 1

2011 2011 2011

1 2010 2010 1

= 2011 t daáu"=" t = x 2011 ; thoõa x

2011 2011 2011 2011

 



 

 0

2010

Vậy MinA = x = 2011.
2011

Bài 6.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n.
Nếu n có 1, 2, 3 chữ số thì n + S(n) < 1000 + 9 + 9 + 9 < 2011

nếu n có 5 chữ số trở lên thì n + S(n) > 10000 > 2011

Vậy n có 4 chữ số : n abcd do n < 2011 nên a = 1 hoặc a = 2

TH1: a = 2 ta có nếu b 0 hoặc c 0 thì n + S(n) > 2011 VL

Nên b = 0 và c = 0 khi đó : 200d 2 d 2011   Vơ lý vì VT chẵn cịn VP lẻ.

TH2: a = 1, nếu b < 9 thì n + S(n) < 1900 + 1+ 3.9 < 2011
Nên b = 9, khi đó : (1900 + 10c + d) + 1 + 9 + c + d = 2011
Hay 11c + 2d = 101. do d 9 nên 101 = 11c + 2d  11c + 18

83
c

 

nên c = 8 hoặc c = 9

nếu c = 8 thì 11.8 + 2d = 101  d = 13/2 vô lý.
vậy c = 9  d = 1

thử lại : 1991 + 1 + 9 + 9 + 1 = 2011 thoả mãn. Vậy n = 2011

Bài 7.

Cho phương trình ( ẩn x ): x2 



2m3



x m 0. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương
trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức x12 x22 có giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn :

Cho phương trình ( ẩn x ) x2 



2m3



x m 0. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của

phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức x12 x22có giá trị nhỏ nhất.

Phương trình x2 



2m3



x m 0 1

 

là phương trình bậc hai, có:





2 2 2 2 9 2 5

– 2m 3 4. 4 12 9 4 4 8 9 4 2 4 2 1

4 4

m m m m m m m m  m m 

 

                      

   





2 5





4 1 4 1 5 0

m m

 

         

  với mọi m. Suy ra phương trình

 

1 ln có hai

nghiệm phân biệt vói mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi et, ta được:

1 2
1 2

2 3

S x x m

P x x m

   




 











2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2

5 9

2 2m 3 2 4 12 9 2 4 10 9 4

2 4

5 25 11 5 11 5 11 11

4 2. . 4 4

4 16 16 4 16 4 4 4

x x x x x x m m m m m m m m

m m m m

 

                  

 

 

     

                 

      

Dấu “=” xảy ra khi

5 5

4 4

m   m

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là x12 x22 là 
11

4 khi

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 8.

Cho các số dơng x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức:

√

x
y+z+

√

y
x+z+

√

z
x+y>2

Hướng dẫn :

Cho các số dơng x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức :

√

x
y+z+

√

y
x+z+

√

z
x+y>2

Áp dơng B§T Cosi ta cã :

√

y+z
x . 1≤

y+z
x +1

2 =

x+y+z
2x =>

√

x
y+z≥

2x
x+y+z

√

x+z

y .1≤
x+z

y +1

2 =

x+y+z
2y =>

√

y
x+z≥

2y
x+y+z

√

y+x
z . 1≤

y+x

z +1

2 =

x+y+z
2z =>

√

z
y+x≥

2z
x+y+z

Céng vÕ víi vÕ ta cã :

√

x
y+z+

√

y
x+z+

√

z
y+x≥

2(x+y+z)

x+y+z =2 dÊu b»ng x¶y ra

y+ z = x

x+ z = y  x + y + z = 0
y+ x = z

V× x, y ,z > 0 nªn x + y + z > 0 vËy dấu bằng không thể xảy ra .
=>

x

y+z+

y
x+z+

z

y+x>2 víi mäi x, y , z > 0 ( Đpcm )

Bi 9.

Cho hai số thực dơng x, y tho¶ m·n:









3 3 3 2 2 4 2 2 4 3 3 0

x y  xy x y  x y x y  x y 
.
T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.

Hng dn :

Đặt a = x+y = M; b = xy; a2 4b Tõ gi¶ thiÕt cã:

3 2 2 2 3

3 3 6 4 4

a  ab a b b  ab  b =

2 2

( 2 )( 2 3 ) 0

2 3 0

a b
a b a ab b b

a ab b b




      

   


+) NÕu a =2b

Th×: x+y = 2xy. Mà (x+y)2 4xy nên (x+y)2 2(x y )

2;" " : 1.
M x y khi x y

       (*)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gi¶ sư  (1) có nghiệm b thoả mÃn b

4
a

thì b=

2 4

a a


2 2 6 0 1 7;( : 0)

a a a Do a

        vµ

2 2 3

( 3) 8 0 ... ( 3 2 2)( 3 2 2) 0

2 2 1
a  a    a  a a  a   a


VËy a  1 7 (**)

Tõ (*) vµ (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1.

Bài 10.

Cho hình vng ABCD. Qua điểm A vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC tại E và cắt đường
thẳng CD tại F. Chứng minh rằng: 1

ΑΒ2=
1
AΕ2+

1
ΑF2

Hướng dẫn :

Chứng minh : 1
ΑΒ2=

1
AΕ2+

1
ΑF2

Qua A, dựng đường thẳng vng góc với AF, đường
thẳng này cắt đường thẳng CD tại M

Ta có: Tứ giác AECM nội tiếp ( vì ∠ EAM = ∠ ECM =
900)

⇒ ∠ AME = ∠ ACE = 450

⇒ Tam giác AME vuông cân tại A ⇒ AE = AM
Δ AMF vuông tại A có AD là đường cao, nên :
1

ΑD2=
1
AM2+

1
ΑF2

Vì : AD = AB (cạnh hình vng) ; AM = AE (cmt)
Vậy: 1

ΑΒ2=
1

AΕ2+

1
ΑF2

Bài 11. Quãng đường AB dài 120 km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B.
Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nên xe máy thứ nhất đến B
trước xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn :

Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h), ĐK: x > 0
vận tốc của xe thứ nhất là x + 10 (km/h)
Theo bài ra ta có pt:

120 120
1
10

x  x  ó x2 + 10x – 1200 = 0
=> x1 = 30 (t/m) x2 = - 40 (loại)

vậy vận tốc của xe thứ nhất là 40km/h, của xe thứ hai là 30km/h

Bài 12.Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 1

M 4x 3x 2011

   

.
Hướng dẫn :

D
M

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2 1 2 1 2 1

4 3 2011 4 4 1 2010 (2 1) ( ) 2010

4 4 4

M x x x x x x x

x x x

              

Vì (2x1)2 0 và x > 0 
1

0
4x

 

, Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x +
1
4x

1 1

2 . 2. 1

4 2

x
x

  

 M =

2 1

(2 1) ( ) 2010
4

x x

x

   

 0 + 1 + 2010 = 2011

 M  2011 ; Dấu “=” xảy ra 

1
2
1

2 1 0 2

1 1 1

4 4 2

0 1

2
0

x

x x x

x

x
x

x
x





 




 

 



 

      



  

  




  

 

 

 




  x =

1
2

Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x =
1

Bài 13.

Chứng minh rằng : Với mọi

2 3

1 1

x 1, ta luôn có 3 x 2 x

x x

   

      

   .

Hướng dẫn :

Với mọi

2 3

1 1

x 1, ta ln có 3 x 2 x

x x

   

      

    (1)

2 3 2

2
2

1 1 1 1 1 1

3 x 2 x 3 x x 2 x x 1

x x x x x x

1 1 1

3 x 2 x 1 (vì x 1 nên x 0) (2)

x x x

           

         

           

           

   

           

   

Đặt

2 2

1 1

x t thì x t 2

x x

    

, ta có (2)  2t2 3t 2 0  



t 2 2t 1

 





0 (3)

Vì





2 2 1

x 1 nên x 1 0 x 1 2x x 2 hay t 2

         

=> (3) đúng . Vậy ta có
đpcm

Bài 14.

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P =

ab bc ca

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Hướng dẫn :

Có: a b c   1 c



a b c c ac bc c 



.    2

 c ab ac bc c    2ab a c b (  )c b c(  )= (c a c b )(  )

 ( )( ) 2

a b

ab ab c a c b

c ab c a c b



 

 

  

Tương tự:

( )( )

a bc a b a c

b ca b c b a

   

( )( ) 2

b c

bc bc a b a c

a bc a b a c



 

  

  

( )( ) 2

c a

ca ca b c b a

b ca b c b a



 

 

  

 P  2

a b b c c a

c a c b a b a c b c b a          

= 2

a c c b b a
a c c b b a

  

 

  

=
3
2

Dấu “=” xảy ra khi

1
3

a b c  

Từ đó giá trị lớn nhất của P là

2 đạt được khi và chỉ khi

1
3

a b c  

Bài 15 :

Cho ba số x y z, , thoả mãn 0x y z, , 1 và x y z  2. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: A =

2 2 2

(x 1) (y 1) (z 1)

z x y

  

 

Hướng dẫn :

Do x, y, z  1 đặt a = 1 – x  0, b = 1- y  0, c = 1- z  0 và a + b + c = 1

suy ra z = 1 – x + 1- y = a + b, y = 1 – x + 1- z = a + c, x = 1- z + 1- y = c + b
Khi đó A =

2 2 2

a b c

a b b c c a    

Với m, n  0 thì





m n  0 m n 2 mn 

(*) Dấu “=” khi m = n
Áp dụng (*) ta có:

2 2 2

a a b a a b a a b

2 . a

a b 4 a b 4 a b 4

  

    

  

a a b

a b 4



  



Tương tự ta có:
2

b b c

b c 4


 

 ;

c c a

c a 4


 


Suy ra:

2 2 2

a b c

a b b c c a    

a b c
2
 


</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

3 suy ra x = y = z =

2
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

2 khi x = y = z = 
2
3

Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y4(x2 x1) 3 2 x1 với -1 < x < 1

Hướng dẫn :





y 4 x   x 1 3 2x 1

với -1< x < 1





2
2

y 4x 4x 1 3 2 1 3

(2 1) 3 2 1 3

9 3

(2 1) 3 2 1

4 4
x
x x
x x
      
    
 
      
 
2

3 3 3

2 1

2 4 4

x

 

      

 

Vậy ymax =

3
4


Khi và chỉ khi

3
2 1

2
x 

= 0
*
5
4
x
(loại )
*
1
4
x

(thoả mãn các điều kiện )
Bài 17. Giải

hệ phương trình :

2 2

2 2 2 2

x y - xy - 2 = 0
x + y = x y







KÕt luËn hÖ cã hai
nghiÖm:



( 2 ; 2);( 2 ; 2)



Bài 18.

+ Cã

2 2 2 0 1

2
xy
x y xy

xy



    



+ Gi¶i hƯ

2 2
2
2
0
1 1
1
1
1
x
xy
y
x
x y
x
x

 


 


, Vô nghiệm
+ Giải hÖ

2 2
2
2
0
2 2
2
4
4
4
x
xy

y x y

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Cho biểu thức:



 



2 2

2 6 12 24 3 18 36

P xy x  y  x  x y  y 

. Chứng minh P luôn dương với

mọi giá trị x y;  .

Hướng dẫn :



 











P x  2x y 6y 12 x  2x 3 y 6y 12



 







2 2 2

x 2x y 6y 12 3 y 6y 12

      



y2 6y 12 x

 

2 2x 3



    



y 3



2 3



x 1



2 2 0 x, y

   

       

    

Vậy P luôn dương với mọi giá trị x, y  .

Bài 19.

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn: x3y3 3xy x



2y2



4x y x y2 2   4x y3 30.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.

Hướng dẫn :
ta có

 









  





 









 

  











 

  

2 2 3

3 3 2 2

3 2 3 2 2 3

3 2 3 2

3 3 2

2 2 2

3 3 4 4 4 0

3 3 3 3 2 0

2 0

x y x xy y xy x xy y xy xy

x x xxy xy y y xy y xy xy x xy y xy xy

x xy y xy xy x y xy

x y xy x xy y xy x xy y xy xy

y x

Taco x xy y xy x xy y xy xy x xy

      

     

           

     

       

 

          

 



         

 









2
2

( ) 0

2 4

2 0 2 2 2( ) 2

y

y xy xy

x y

x y a x y xy xy x y x y x y

 

   

 

 



               

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 20.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0
Hướng dẫn :

Bài giải: (1)  (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0
 (x+ y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0

 (y - 1)(y + 4) = - (x+ y)2 (2)

Vì - (x+ y)2  0 với mọi x, y nên: (y - 1)(y + 4)  0  -4  y  1
Vì y nguyên nên y 



4; 3; 2; 1; 0; 1  



Thay các giá trị nguyên của y vào (2) ta tìm được các cặp nghiệm nguyên (x; y) của PT đã
cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1).

</div>