VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỚI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
• Gọi O, O’ là tâm của hai đường tròn. Đường thẳng OO’ gọi là đường nối tâm,
đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm. Đường nối tâm là trục đối xứng của hình
gờm hai đường tròn (O) và (O’).
• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nới tâm.
• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi
qua trung điểm của dây chung.
• Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có R  r > Vị trí tương đối giữa hai đường tròn
ứng với hệ thức giữa R, r và OO’ được cho theo bảng sau:
Vị trí tương đối của hai đường
tròn (O; R) và (O’; r)

Số điểm chung

Hệ thức giữa OO’ với R và r

Hai đường tròn cắt nhau

2 điểm chung

R – r < OO’ < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc nhau
- Tiếp xúc ngoài
- Tiếp xúc trong
Hai đường tròn không giao
nhau
- Ở ngoài nhau
- Ở trong nhau

1 điểm chung

OO’ = R + r
OO’ = R – r

0 điểm chung

OO’ > R + r
OO’ < R - r

• Trên hình 18, các đường tròn d1 , d 2 là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn
(O) và (O’), các đường thẳng m1 , m2 là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn
(O) và (O’).
m1

d1

O'

O

d2

O'

O

m2

Ví dụ 12: Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung ngoài của
hai đường tròn có tiếp điểm với đường tròn (O) ở M với đường tròn (O’) ở N, tiếp tuyến

chung của hai đường tròn tại A cắt MN tại I


a) Chứng minh tam giác MAN và OIO’ là các tam giác vuông
b) Xác minh vị trí tương đối của đường thẳng MN với đường tròn đường kinh (OO’)
Giải:
a) IM và IA là hai tiếp
tuyến của đường tròn
(O), ta có IA = IM.
IN và IA là hai tiếp
tuyến của đường tròn
(O’), ta có: IA = IN.
Suy ra IM = IA = IN, do
đó tam giác MAN là tam
giác vuông ở A. Theo
tính chất hai tiếp tuyến
của một đường tròn cắt

M
I
N
O

I' A

O'

nhau , ta lại có: IO và IO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù MIA và
NIA , do đó IA ⊥ IO ' . Vậy tam giác OIO’ vuông ở I.
b) Gọi I’ là trung điểm của OO’ ta có I 'I = I'O = I'O' nên I’I là bán kính đường tròn

đường kính OO’. OM ⊥ MN và O ' N ⊥ MN nên OM // O’N, suy ra tứ giác
OMNO’ là hình thang, I’I là đường trung bình của hình thang OMNO’ nên
I’I//OM, suy ra I ' I ⊥ MN
Đường thẳng MN vuông góc với bán kính I’I tại I nên đường thẳng MN là tiếp
tuyến của đường tròn (I’).

Ví dụ 13: Hai đường tròn ( O1;6,5cm ) và ( O2 ;7,5cm ) giao nhau tại A và B. Tính độ dài
đoạn nối tâm O1O2 biết AB = 12cm.
Giải:
Ta có O1O2 ⊥ AB tại H nên HA = HB = 6cm
Tam giác AO2 H vuông ở H, ta có:
O2 H 2 = O2 A2 − AH 2 = 7,52 − 62 = 56,25 − 36 = 20,25

Suy ra O2 H = 4,5cm


A
A

O2

H

H

O2

O1

O1


B

B

Tam giác AO1H vuông ở H, ta có:
O1H 2 = O1 A2 − AH 2 = 6,52 − 62 = 42,25 − 36 = 6,25

Suy ra O1H = 2,5cm
- Nếu O1 ,O 2 thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB thì
O1O2 = O1H + HO2 = 2,5 + 4,5 = 7 ( cm )

- Nếu O1 , O2 thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB thì:
O1O2 = O2 H − O1H = 4,5 − 2,5 = 2 ( cm )

Trả lời: Độ dài đoạn nối tâm O1O2 là 7cm hoặc 2cm
Bài tập
93. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính OA.
Qua A vẽ dây cung AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) ở M. Chứng minh:
a) Đường tròn (O’) và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau;
b) O’M song song với OC;
c) M là trung điểm của AC và OM song song với BC
Giải:

C

a) OO’ = OA – O’A. Đường tròn
tâm O và đường tròn tâm O’
tiếp xúc trong tại A.


1

M
1
1

A

O'

O

B


b) AOC cân ở O, ta có A1 = C1 AO ' M cân ở O’, ta có A1 = M 1 . Do đó O’M //
OC
c) O’M // OC mà O’A = O’O nên M là trung điểm AC.
OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC.
94. Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ đường tròn (O1 ) đi qua A tiếp xúc với BC tại B.
Vẽ đường tròn (O2 ) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh:
a) Đường tròn (O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc với nhau;
b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 )
Giải:
a) AO1C cân ở O1 , ta có A1 = B1
AO2C cân ở O2 , ta có A2 = C1

Mà B1 = 90o − B2 , C1 = 90o − C2 ,
do đó A1 + A2 = B1 + C1


(

= 180o − B2 + C2

)

O2

= 180o − 90o = 90o
Suy ra

A
2

O1

O1 AB + BAC + CAO2 = 90o + 90o

Nên ba điểm O1 , A, O2 thẳng hàng.

1

1

1

2

B


O1O2 = O1 A + AO2

Vậy hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc ngoài ở A
b) O1 AM = O1BM ( c.c.c )
suy ra O1 AM = O2 BM = 90o hay O1O2 ⊥ AM tại A

2

M

C


Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 )
95. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B. Biết OAO ' = 90o , R =
6cm và R’=4,5cm.
a) Tính OO’, AB
b) Gọi P là trung điểm của OO’, qua A kẻ cát tuyến vuông góc với AP cắt đường tròn
(O) ở C, cắt đường tròn (O’) ở D. So sánh AC, AD và AB
Giải:
a) Tam giác OAO’ vuông tại A:
OO '2 = OA2 + O ' A2 = 62 + 4,52

C
M

36 + 20,25 = 56,25

A

N

Suy ra OO’ = 7,5cm

D

OO’ cắt AB ở H, ta có:

OO ' ⊥ AB tại H và HA =

1
AB
2

Trong tam giác vuông OAO’ ta
lại có:

O

P

H

B

AO.AO ' = AH .OO '
Suy ra 1 AH =

AO. AO ' 6.4,5
=

= 3,6 ( cm )
OO '
7,5

Do đó AB = 2 AH = 7,2cm
b) Kẻ OM ⊥ AC , O ' N ⊥ AD
Ta có MA = MC =

1
1
AC và NA = ND =
2
AD

Dễ thấy A là trung điểm của MN nên MA = NA. Suy ra AC = AD.
MOA = OAP (hai góc so le trong )

O'


APO cân ở P, ta có OAP = AOP , do đó MOA = AOP
AOM = AOH (cạnh huyền – góc nhọn ), ta có MA = AH suy ra AC = AB
Vậy AC = AD = AB.
96. Cho hai đường tròn (O1;17cm) và ( O2 ;10cm ) . AB là một tiếp tuyến chung ngoài của
hai đường tròn có tiếp điểm với đường tròn ( O1 ) ở A, với đường tròn ( O2 ) ở B. Đường
thẳng AB cắt đường nối tâm O1O2 ở C. Tính độ dài các đoạn CO1 , CO2 biết O1O2 = 21cm
Giải:
Đặt O1C = x, O2C = y , ta có x − y = O1O2 = 21cm
Do O2 B / / O1 A vì cùng


A

vuông góc với AB nên:
CO1 O1 A
=
CO2 O2 B

B

C
O1

O2

x 17
Suy ra
=
y 10
x − y 17 − 10 7
=
=
y
10
10

Hay

Hay

21.10

21 7
= 30 ( cm )
= , do đó y =
y 10
7

Từ đó, tìm được x = 51cm
97. Cho tứ giác ABCD. Biết rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ADC tiếp xúc
nhau. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và CBD cũng tiếp xúc
nhau.
Giải:
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( O1 ) nội tiếp tam giác ABC và tiếp điểm
của đường tròn ( O2 ) nội tiếp ACD với cạnh AC, ta có:
AE =

AB + AC − BC
2


Và AF =

AD + AC − CD
2

Vì đường tròn ( O1 ) tiếp xúc với đường tròn ( O2 ) nên

E  F , tức AE = AF, từ đó ta có:

B


AB + AC - BC = AD + AC – CD
O1

Suy ra AB – AD = BC – CD

(1)
A

Gọi I và K lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp
tam giác ABD và tam giác BCD với cạnh BD, ta có:
BI =

BA + BD − AD
;
2

(2)

BC + BD − CD
2

(3)

BK =

C

E

O2


D

Từ (1), (2) và (3), ta có BI + BK , tức I  K . Vậy hai đường tròn nội tiếp tam giác ABD
và tam giác BCD tiếp xúc với nhau.
98. Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng tiếp xúc với
đường tròn ( O1 ) ở B, tiếp xúc với đường tròn ( O2 ) ở C. Biết AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính độ dài đoạn BC
b) Tính bán kính của các đường ( O1 ) và ( O2 )
Giải:
a) Qua A kẻ tiếp tuyến chung với
hai đường tròn (O1 ) và ( O2 )
cắt BC ở M, ta có:
MA = MB = MC

O2
A

Do đó tam giác ABC vuông ở A.

O1

Khi đó:
BC 2 = AB2 + AC 2 = 82 + 62 = 100

K

E
C


M

B


Suy ra BC = 10cm
b) Hai tam giác cân O2 AC và MBA có O2 AC = MAB (vì cùng phụ với góc nhọn
MAC ) do đó O2 AC

Suy ra O2 A =

AC O2 A
=
AB MA

MAB (g-g), ta có:

AC.MA 8.5
2
=
= 6 ( cm )
AB
6
3

Tương tự O1 AB

MAC (g-g), ta có O1 A = 3.

3

(cm)
4

Cách khác: kẻ O1K ⊥ AB, O2 F ⊥ AC . Ta có:
KA = KB = 3cm, FA = FC = 4cm
BC BA
, do đó
=
CO2 CF

BCA

CO2 F (g-g), suy ra

CO2 =

BC.CF 10.4
2
=
= 6. ( cm )
AB
6
3

CBA

BO1K ( g − g ) , suy ra

O1B =


BC.O1K 10.3
3
=
= 3. ( cm )
CA
8
4

BC CA
, do đó
=
BO1 O1K

99. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A. Đường nối tâm OO’ cắt đường
tròn (O) ở B, cắt đường tròn (O’) ở C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường
tròn ( D  ( O ) , E  ( O ') )
Gọi M là giao điểm cùa hai đường thẳng BD và CE. Chứng minnh:
a) Góc EMD = 90o
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đưởng tròn (O) và (O’);
c) MB.MD = ME. MC
Giải:


a) Góc AOD là góc ngoài
ở đỉnh O của tam giác
cân BOD, ta có

M

AOD = 2 BOD hay

1
OBD = AOD
2

D

1
Tương tự O ' CE = EO ' A
2

B

O

Do OD // O’E vì cùng
vuông góc với DE nên

I

A

E

O'

C

AOD + AO ' C = 180o

Suy ra MBC + MCB =


(

)

1
1
AOD + AO ' E = .180o = 90o
2
2

b) Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì có D = M = E = 90o . Gọi I là giao điểm hai
đường chéo của hình chữ nhật , ta có: IA = ID

IAO = IDO (c.g.c) suy ra IAO = IDO = 90o hay IA ⊥ BC tại A. Vậy MA là
tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
MA2 = MD.MB; MA2 = ME.MC
Suy ra MD.MB = ME.MC
100. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A. Gọi OM và O’M’ là các bán
kính của hai đường tròn OM // O’M’
a) Chứng mịnh rằng đường thẳng MM’ luôn luôn đi qua một điểm cố định S khi các bán
kính OM và OM’ thay đổi.
b) Tính SO và SO’ biết bán kính hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt bằng 5cm và 3cm
c) Tam giác AMM’ là tam giác gì ? vì sao ?
Giải:
a) Gọi S là giao điểm của MM’ với OO’, ta có:


SOM


SO ' M ' nên

SO OM
R
không đổi.
=
=
SO ' O 'M' R '

Vậy điểm S cố định.
b) Từ câu a, ta có:
OS
O'S
=
OM O ' M '
(1)
Qua O’ kẻ đường
thẳng song song với
O
O'
A
MM’ cắt OM ở I.
Ta có:
I
OIO ' OMS nên
M'
OO ' IO
hay
=

OS MO
M
OS OO '
=
OM
OI
(2)
OS
O'S
OO '
=
=
Từ (1) và (2) suy ra:
OM O ' M ' OI
Tứ giác MIO’M’ là hình bình hành nên IM = O’M’ = 3cm,
Suy ra IO = OM – IM = 5- 3 = 2(cm)
Khi đó từ (3) ta được OS = 20cm và O’S = 12 cm

S

(3)

180o − AOM
180o − AO ' M '
c) Ta có OAM =
và M ' AO ' =
, do đó
2
2


MAO + M ' AO ' =

(

360o − AOM + AO ' M '
2

) = 360

o

− 180o
= 90o
2

Từ đó suy ra MAM ' = 90o vậy tam giác AMM’là tam giác vuông ở A
101. Cho hai đường tròn ( O1 ) và (O2 ) tiếp xúc ngoài ở K. AD là một tiếp tuyến chung
ngoài của hai đường tròn ( A  ( O1 ) , D  ( O2 ) ) . Vẽ đường kính AB của đường tròn ( O1 ) .
Chứng minh AB2 = BK .BD
Giải:


Tam giác AKB có trung tuyến KO1 =

1
AB nên AKB = 90o
2

Qua K kẻ tiếp tuyến chung của
hai đường tròn cắt AB ở I, ta có:

IK =

A
I
D

1
AD nên AKD = 90o
2

O1

Suy ra BKA + AKD = 180o , do
đó ba điểm B, K, D thẳng hàng.

O2

K

Tam giác ABD vuông ở A, có
AK ⊥ BD mêm AB2 = BK .BD
102. Cho hai đường tròn
(O1;5cm) và ( O2 ;2cm ) nằm

B

ngoài nhau. Một tiếp tuyến chung ngoài AB của hai đường tròn ( A  ( O1 ) , B  ( O2 ) ) và
một tiếp tuyến chung trong C của hai đường tròn ( C  ( O1 ) , D  ( O2 ) ) . Tính độ dài đoạn
nối tâm O1O2 , biết AB = 1,5CD.
Giải:

Kẻ O2 I ⊥ O1 A và O2 E ⊥ O1C , ta có: O2 I = AB, O2 E = CD
IA = O2 B = 2cm , suy ra

A

IO1 = 3cm

D

CE = O2 D = 2cm , suy ra

I

O1E = 7cm

O1

Đặt CD = x thì O2 E = x

O2

còn lại IO2 = AB = 1,5 x
C

Áp dụng định lý Pi – ta –
go với các tam giác vuông
O1IO2 và O1EO2 , ta có:
O1O2 2 = IO12 + IO2 2 = 32 + (1,5 x )

B


E
2


O1O2 2 = O1E 2 + O2 E 2 = 7 2 + x 2

Suy ra 32 + (1,5 x ) = 7 2 + x 2
2

Giả phương trình này được x 2 = 32 , do đó O1O2 2 = 49 + 32 = 81 nên O1O2 = 9cm