BT PHAN TICH THANH NHAN TU

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (127.41 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN KHAI THÁC

A) . DẠNG 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng pp đặt nhân tử chung:
+ Bài tập :

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3x – 3y

b) 2x2 + 5x3 + x2y

c) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2
d) x(y – 1 ) – y(y – 1)

e) 10x(x – y) – 8y(y – x)

Giaûi:
a) 3x – 3y = 3(x – y)

b) 2x2 + 5x3 + x2y = x2(2 + 5x + y)

c) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 = 7xy( 2x – 3y + 4xy)
d) x(y – 1 ) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y)

e) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2 (x – y)(5x + 4y)

2) Tìm x , bieát :

a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
b) 5x2 = 13x

Giaûi:

a) Ta coù : 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
 ⇔ (x – 2000)(5x – 1) = 0

⇔ x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0
 x – 2000 = 0 ⇔ x = 2000

 5x – 1 = 0 ⇔ 5x = 1 ⇔ x = 15

Vậy x = 2000 hoặc x =

1
2
b) 5x2 = 13x ⇔ 5x2 – 13x = 0

⇔ x(5x – 13 ) = 0

⇔ 5x = 0 hoặc 5x – 13 = 0

 x = 0

 5x – 13 = 0 ⇔ x =

13
5

Vậy x = 0 hoặc x =

3) Chứng minh rằng : 55n+1 – 552 chia hết cho 54 ( Với n là số tự nhiên )
Giải:

Ta coù : 55n+1 – 55 = 55n.55 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54

Mà 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 ( đpcm)

4 ) Tính nhanh

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Giaûi:

a) 15,8 . 35 + 15,8 . 65 = 15,8(35 + 65) = 15,8 . 100 = 1580
b) 1,43 . 141 – 1.43 . 41 = 1,43 ( 141 – 41 ) 1,43 . 100 =143

+ Bài tập tương tự:

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 6x4 – 9x3

b) x2y2z + xy2z2 + x2yz2

c) (x + y ) 3 – x3 – y3

d) 2x(x + 3) + 2(x + 3)
2) Tìm x , biết

a) 5x(x – 2) – x – 2 = 0
b) 4x(x + 1) = 8( x + 1)

c) x(2x + 1) + 1 2 x3 3- = 0
d) x(x – 4) + (x – 4)2 = 0

3) Chứng minh rằng :

a) Bình phương của một số lẻ chia cho 4 thì dư 1
b) Bình phương của một số lẻ chia cho 8thì dư 1

+ Khái qt hóa bài tốn :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = pm+2.q – pm+1.q3 – p2.qn+1+ p.qn+3
+ Đề xuất bài tập tương tự:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x(x – 2y) + 8y(2y – x )

b) 3x(x + 7)2 – 11x2(x + 7 + 9(x + 7)

c) -16a4b6 – 24a5b5 – 9a6b4

d) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3

B) . DẠNG 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng pp dùng hằng đẳng thức
 + Bài tập :

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x2 + 6x + 9

b) 10x – 25 – x2

c) (a + b)3 + (a – b)3

d) (a + b)3 – (a – b)3

e) x3 + 27

f) 81x2 – 64y2

g) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
 Giaûi:

a) x2 + 6x + 9 = x2+ 2 .x . 3 + 32 = (x + 3)2

b) 10x – 25 – x2 = -( x2 – 2.x.5 + 52) = - (x – 5)2

c) (a + b)3 + (a – b)3= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a – b) + (a – b)2

= 2a[a2 + 2ab + b2 – (a2- b2) + a2 – 2ab + b2 = 2a(a2 + 3b2)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

= ( a + b – a + b) (a2 + 2ab + b2 + a2- b2+ a2 – 2ab + b2 = 2b(3a2+ b2)

e) x3 + 27 = ( x + 3)(x2 – 3x + 9)

f) 81x2 – 64y2 = (9x)2 – (8y)2 = (9x + 8y)(9x – 8y)

g) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.(2x).y2 + y3 = (2x + y)3
2) Tìm x , biết :

a) x2 – 25 = 0

b) x2 – 4x + 4 = 0

Giaûi :
a) x2 – 25 = 0

⇔ ( x – 5 )(x + 5) = 0 ⇔

x=5

¿
x=−5

¿
¿
¿
¿
b) x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ x2 – 2.2x + 22 = 0

⇔ (x – 2)2 = 0

⇔ x – 2 = 0

⇔ x = 2

3) CMR hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
Giải:

Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2a – 1 vaø 2a + 1 ( a laø số nguyên ) . Hiệu các
bình phương của chúng là: ( 2a + 1)2 – (2a – 1)2.

Ta thấy ( 2a + 1)2 – (2a – 1)2. = (2a + 1 + 2a – 1 )(2a + 1 -2a + 1)

= 4a.2 = 8a 8

4)Tính nhẩm:

c) 732 – 272

d) 372 – 132

e) 20022 – 22

Giaûi:

a) 732 – 272 = ( 73 + 27) (73 – 27) = 100 . 46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 – 13 )(37 + 13) = 24 . 50 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000 . 2004 = 4008000
+ Bài tập tương tự:

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) ( a + b + c)3 – a3 – b3 – c3

b) 8(x + y + z)3 – (x + y)3 – (y + z)3 – (z – x)3

c) 8x3 – 27

d) – x3 + 9x2 – 27x + 27

2) Tìm x , biết :

a) 4x2 – 49 = 0

b) x2 + 36 = 0

3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có : (4n + 3)2 – 25  8
4) Tính nhanh giá trị của biểu thức sau với a = 1982

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ Khái qt hóa bài tốn :

- Chứng minh hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
- CMR hiệu các bình phương của hai số chẳnû liên tiếp thì chia hết cho 16

+ Đề xuất bài tập tương tự:

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) ( 3x – 2y)2 – (2x + y)2

b) 27x3 – 0,001

c) [4abcd + (a2 + b2)(c2 + d2)]2 – 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2

d) x6 + 2x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + 1

2) Chứng minh rằng biểu thức : 4x(x + y) ( x + y + z)(x + y) y2z2 luôn luôn

không âm với mọi giá trị của x , y và z

C) . DẠNG 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
+ Bài tập :

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x2 + 4x – y2 + 4

b) 3x2 + 6xy + + 3y2 – 3z2

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt - t2

d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Giaûi:

a) x2 + 4x – y2 + 4 = x2 +2.x.2 + 22 – y2

= (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + + 3y2 – 3z2 = 3[(x2 + 2xy + y2) – z2]

= 3[(x + y)2 – z2] = 3(x + y + t)(x + y – z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt - t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 - 2zt + t2)

= (x – y)2 – (z – t)2 = (x – y + z – t )(x – y – z + t)

d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

+ Cách 1: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện NTC y –
z

x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = x2(y – z) + y2z – y2x + z2x – z2y

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2- z2)

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)

= (y – z)[x(x – y) – z(x – y)]
= (y – z )(x – y)(x – z)
+ Caùch 2:Taùch z – x = -[(y – z) + (x –y)]

x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = x2(y – z) – y2[(y – x) + (x – y)] + z2(x – y)

= (y – z)(x2 - y2) – (x – y)(y2 – z2)

= (y – z)(x + y)(x – y) – (x – y)(y + z)(y – z)
= (y – z)(x – y)(x + y – y – z )

= (y – z)(x – y)(x – z)

2) Tìm x , biết :

a) x(x – 2) + x – 2 = 0
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) x(x – 2) + x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc x +1 = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -1

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 ⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x – 1 = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 1
+ Bài tập tương tự:

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x3 + 3x2y+ x + 3xy2 + y + y3

b) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3

c) 27x3 + 27x2 + 9x + 1 + + 
1
3

d) x2y + xy2 – x – y

e) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
2) Tìm x , bieát :

a) x2 – 6x + 8 = 0

b) 9x2 + 6x – 8 = 0

c) x3 + x2 + x + 1 = 0

d) x3 - x2 - x + 1 = 0
+ Khái quát hóa bài tốn :

Phân tích đa thức thành nhân tử : pm + 2 q – pm + 1 q3 – p2 qn + 1 + pq n + 3
+ Đề xuất bài tập:

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b)
b) x(x + 1)2 + x(x – 5) – 5(x + 1)2

c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
d) x3z + x2yz – x2z2 – xyz2

2) Tìm tất cả các giá trị của x , y sao cho: xy + 1 = x + y

3) Phân tích đa thức thành nhân tử rồi tính giá trị của đa thức với x = 5,1 ; y =
3,1 của đa thức : x2 – xy – 3x + 3y

D) . DẠNG 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều pp
+ Bài tập :

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a3 + b3 + c3 – 3abc

b) (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3
Giải:
a) •° Caùch 1:

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc

= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc

= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b) c + c2] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac –bc + c2 – 3ab

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

• ° Cách 2:

a3 + b3 + c3 – 3abc =

a3 + a2b + a2c + b3 + ab2 + b2c + c3 + ac2 + bc2 – a2b – abc - a2c – ac2 – abc –b2c – abc – bc2

= a2(a + b + c) + b2(b + a + c) + c2(c + a + b) – ab(a + b + c) – ac((a + c + b) – bc(b + a + c)

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
b) • ° Cách 1:

Đặt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c, thì a + b + c = 0
Khi đó theo câu a ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc = 0

Hay a3 + b3 + c3 = 3abc

Vaäy (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)

•° Cách 2:

Để ý rằng (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3

Vaø (y – z) = (y – x) + (x – z )

Do đó : (x – y)3 + (y –z )3 + (z – x)3 = [(y – x) + (x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3

= (y – x)3 +3(y – x)(x –z)[( y – x) + (x –z)]+ (x – z)3 – (x –z )3 – (y – x)3

= 3(x – y)(y – z)(z – x)

° Cách 3: Khai triển các hằng đẳng thức rồi sử dụng pp đặt thừa số chung
(x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + y3 – 3y2z + 3yz2 – z3 + z3

– 3z2x + 3zx2 – x3

= - 3x2y + 3xy2 – 3y2z + 3yz2 – 3z2x + 3zx2

= 3(-x2y + xy2 – y2z + yz2 – z2x + zx2)

= 3[-xy(x – y) – z2(x – y) + z(x – y)(x + y)]

= 3(x – y)( - xy – z2 + xz + yz)

= 3(x – y)[y(z – x) – z(z – x)]
= 3(x – y)(z – x)(y –z )

2) Phân tích đa thức sau thành NT bằng pp tách các hạng tử: x3 – 7x – 6 
Giải:

° Cách 1: Tách số hạng -7x thành –x – 6x , ta có :
x3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6

= (x3 – x) – (6x + 6)

= x(x + 1)(x – 1) – 6(x + 1)
= (x + 1)(x2 – x – 6)

Để tiếp tục phân tích đa thức x2 – x – 6 thành nhân tử , ta lại tách số

hạng – 6 thành – 2 – 4 . Khi đó :

x3 – 7x – 6 = (x + 1)(x2 – x – 2 – 4 )

= (x + 1)[(x + 2)(x – 2) – (x + 2)]
= (x + 1)(x + 2)(x – 3)

° Caùch 2 : Tách số hạng – 7x thành – 4x – 3x, ta coù:
x3 – 7x – 6 = x3 – 4x – 3x – 6

= x( x + 2)(x – 2) – 3(x + 2)
= (x + 2)(x2 – 2x – 3)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

x3 – 7x – 6 =(x + 2)(x2 – 1 – 2x – 2)

= (x + 2)[(x – 1)(x + 1) – 2( x + 1)]
= (x + 2)(x + 1)(x – 3 )

° Cách 3: Tách số hạng – 6 = 8 – 14 , Ta coù:
x3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14

= (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7(x + 2)

= (x + 2)(x2 – 2x – 3)

Tieáp tục tách số hạng – 3 thành + 1 – 4 , Ta coù :
x3 – 7x – 6 = (x + 2)(x2 – 2x + 1 – 4 )

= (x + 2)[(x – 1)2 – 22]

= (x + 2)(x + 1)(x – 3)

3) Dùng phương pháp đặt ẩn phụ , phân tích đa thức thành nhân tử:

a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

b) 4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2
Giải:

Đặt: x2 + x + 1 = y , ta coù x2 + x + 2 = y + 1 . Ta coù:

(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12

= y2 + y – 12

= y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3)

= (y – 3)(y + 4)
Thay x2 + x + 1 = y , ta được :

(x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5)

= [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5)

= (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5)

b)4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2

= 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2

= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2

Đặt : x2 + xy + xz = m , ta coù :

4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4m(m + yz) + y2z2

= 4m2 + 4myz + y2z2 = (2m + yz)2

Thay m = x2 + xy + xz , ta được :

(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
4) Dùng phương pháp hệ số bất định để :

a) PTĐT x3 – 19x – 30 thành tích hai đa thức bậc nhất và bậc hai

b) Phân tích đa thức x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 
Giải:

a) Kết quả cần phải tìm có dạng :

(x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac

Ta phaûi tìm bộ số a , b , c thỏa mãn:

x3 – 19x – 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vì a, c Z và tích ac = -30, do đó a, c

{±1;±2;±3;±5;±6;±10;±15;±30

Và a = 2 , c = -15 , Khi đó b = -2 thỏa mãn hệ thức trên .

Đó là bộ số phải tìm, tức là : x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)

b) Dể thấy rằng ± 1 khơng là nghiệm của đa thức nên đa thức khơng

có nghiệm ngun , cũng khơng có nghiệm hữu tỉ .

Như vậy nếu đa thức đã cho phân tích được thành thừa số thì phải
có dạng

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Suy ra :

¿
a+c=6

ac+b+d=7

da+bc=6

bd=1

¿{ { {

Từ hệ này ta tìm được a = b = d = 1 , c = 5
Vậy x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = ( x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)

5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x + 1
Giải:

° Caùch 1

x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 + x + 1

= x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)

° Caùch 2 :

x5 + x + 1 = x5 – x2 + x2 + x + 1

= x2(x3 – 1) + 1(x2 + x + 1)

= x2(x – 1)(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[(x2(x – 1) + 1]

= (x2 + x + 1)[x3 – x2 + 1)

6)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 8x + 12
Giải:

° Caùch 1: x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x + 12

= (x2 – 2x) – (6x – 12)

= x(x – 2) – 6(x – 2)
= (x – 2)(x – 6)

° Caùch 2 : x2 – 8x + 12 = (x2 – 8x + 16) – 4

= (x – 4)2 - 22

= (x – 4 + 2)(x – 4 – 2 )
= (x – 2 )(x – 6)

° Caùch 3 : x2 – 8x + 12 = x2 – 36 – 8x + 48

= (x2 – 36) – (8x – 48)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

= (x – 6)(x – 2)

° Caùch 4 : x2 – 8x + 12 = x2 – 4 – 8x + 16

= (x2 – 4) – (8x – 16)

= (x + 2)(x – 2) – 8(x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 8)

= (x – 2)(x – 6)

° Caùch 5: x2 – 8x + 12 = x2 – 4x + 4 – 4x + 8

= (x2 – 4x + 4) – (4x – 8)

= (x – 2)2 – 4(x – 2)

= (x – 2)(x – 2 – 4)
= (x – 2)(x – 6)

° Caùch 6: x2 – 8x + 12 = x2 – 12x + 36 + 4x – 24

= (x2 – 12x + 36) + (4x – 24)

= (x – 6)2 + 4(x – 6)

= (x – 6)(x – 6 + 4)
= (x – 6)(x – 2)

7)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 4xy + 3y2
Giải:

° Caùch 1: x2 + 4xy + 3y2 = x2 + xy + 3xy + + 3y2

= (x2 + xy) + (3xy + + 3y2)

= x(x + y) + 3y(x + y)

= (x + y)(x + 3y)

° Caùch 2 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 4xy + 4y2 – y2

= (x2 + 4xy + 4y2) – y2

= (x + 2y)2 – y2

= (x + 2y + y)(x + 2y – y)
= (x + 3y)(x + y)

° Caùch 3 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – y2 + 4xy + 4y2

= (x2 – y2) + ( 4xy + 4y2)

= (x + y)(x – y) + 4y(x + y)
= (x + y)(x – y + 4y)

= (x + y)(x + 3y)

° Caùch 4 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – 9y2 + 4xy + 12y2

= (x2 – 9y2) + (4xy + 12y2)

= (x + 3y)(x – 3y) + 4y(x + 3y)
= (x + 3y)(x – 3y + 4y)

= (x + 3y)(x + y)

° Caùch 5 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 2xy + y2 + 2xy + 2y2

= (x2 + 2xy + y2) + (2xy + 2y2)

= (x + y)2 + 2y(x + y)

= (x + y)(x + y + 2y)
= (x + y)( x + 3y)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

= (x2 + 6xy + 9y2) – (2xy + 6y2)

= (x + 3y)2 – 2y(x + 3y)

= (x + 3y)(x + 3y – 2y)
= (x + 3y)(x + y)

° Caùch 7 : x2 + 4xy + 3y2 = 4x2 + 4xy – 3x2 + 3y2

= (4x2 + 4xy) – (3x2 – 3y2)

= 4x(x + y) – 3(x + y)(x – y)
= (x + y)(4x – 3x + 3y)
= (x + y)(x + 3y)

8) PTĐTNT: a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2)
Giaûi:

° Caùch 1: a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2)

= a3(b2 – c2) + b3[(c2 – b2) – (a2 – b2) ] + c3(a2 – b2)

= a3(b2 – c2) + b3(c2 – b2) – b3(a2 – b2) + c3(a2 – b2)

= (b2 – c2)(a3 – b3) – (a2 – b2)(b3 – c3)

= (b + c)(b – c)(a – b)(a2 + ab + b2) – (a + b)(a – b)(b – c)(b2 + bc + c2)

= (a – b)(b – c)[(b + c)(a2 + ab + b2) – (a + b)( b2 + bc + c2)]

= (a – b)(b – c)(a2b + ab2 + b3 + a2c + abc + b2c – ab2 – abc – ac2 – b3 – b2c – bc2

= (a – b)(b – c)(a2b + a2c – bc2 – ac2)

= (a – b)(b – c)[b(a2 – c2) + ac(a – c)]

= (a – b)(b – c)[b(a – c)(a + c) + ac(a – c)]
= (a – b)(b – c)(a – c)(ab + bc + ac)

° Caùch 2 : M = a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2)

Xem M là đa thức biến a , khi a = b thì M = 0 nên M  a – b . Do vai trò của

a , b , c giống nhau khi ta hoán vị vòng quanh nên M  b – c , M  c – a

Ta coù : M = (a – b)(b – c)(c – a)(ab + bc + ca). P
Cho a = - 1 , b = -1 , c = 0 ta coù P = -1

Do đó : a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) = (a – b)(b – c)(a – c)(ab + bc + ca)
9)Tìm x , biết :

a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0

b) 5x(x – 3) + 3 – x = 0

Giaûi:

a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0 ⇔ [(2x – 1) + (x +3)][ (2x – 1) - (x +3) = 0

⇔ ( 2x – 1 + x +3)( 2x – 1 – x – 3 ) = 0

⇔ (3x + 2)(x – 4 ) = 0

⇔

3x+2=0

¿
x −4=0

¿
¿
¿
¿

⇔

x=−3

x=4

¿
¿
¿
¿

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0 ⇔

x −3=0

5x −1=0

¿
¿
¿
¿

⇔

x=3
¿
x=1

¿
¿

¿
¿
10)Tìm x , biết :

d) (5 – 2x)(2x + 7) = 4x2 – 25

e) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0

f) 4(2x + 7) – 9(x + 3)2 = 0

g) (5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2
Giaûi

a) (5 – 2x)(2x + 7) – 4x2 + 25 = 0

⇔ (5 – 2x)(2x + 7) – (5 – 2x)(5 + 2x) = 0
⇔ (5 – 2x)( 2x + 7 – 5 – 2x ) = 0

⇔ (5 – 2x).2 = 0

⇔ 5 – 2x = 0

⇔ x = 2

5
b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0

⇔ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) + ( x + 3)(x – 9) = 0 
⇔ (x + 3)( x2 – 3x + 9 + x – 9) = 0

⇔ (x + 3)(x2 – 2x) = 0

⇔ x(x – 2)(x + 3) = 0

⇔

x=0

¿
x −2=0

¿
x+3=0

¿
¿
¿
¿

⇔

x=0

¿
x=2

¿
x=−3

¿
¿
¿

c) 4(2x + 7)2 – 9(x + 3)2 = 0

⇔ [2(2x + 7)]2 – [3(x + 3)]2 = 0
⇔ (4x + 14)2 – (3x + 9)2 = 0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

⇔

7x+23=0

¿
x+5=0

¿
¿
¿
¿

⇔

x=−23

¿
x=−5

¿
¿
¿
¿

d) (5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2

⇔ (5x2 + 3x – 2 )2 - (4x2 – 3x – 2 )2 = 0

⇔ (5x2 + 3x – 2 + 4x2 – 3x – 2)( 5x2 + 3x – 2 – 4x2 + 3x + 2) = 0

⇔ (9x2 – 4 )(x2 + 6x) = 0
⇔ (3x – 2 )(3x + 2)x(x + 6) = 0

⇔

3x+2=0

3x −2=0

¿
x=0

¿
x+6=0

¿
¿

⇔

x=−2

¿
x=2

¿
x=0

¿
x=−6

¿
¿
¿
¿

11)Chứng minhrằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n Z
Giải:

Ta coù : n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)

° Với mọi n Z , khi chia n cho 2 xảy ra hai trường hợp :
+ TH1: n 2 , khi đó tích n(n – 1)(n + 1)  2

+ TH2:n 2 dư 1 , khi đó n – 1  2 nên tích: n(n – 1)(n + 1)  2

° Với mọi n Z , khi chia n cho 3 xảy ra ba trường hợp:

+ TH1: n  3 , khi đó tích n(n – 1)(n + 1)  3

+ TH 2 : n chia cho 3 dư 1 , khi đó n – 1 chia hết cho 3 nên tích 3

+ TH 3: n chia cho 3 dư 2 , khi đó n + 1 chia hết cho 3 nên tích 3

Vậy trong mọi trường hợp n3 – n chia hết cho 2 và 3 .

Do 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau .
Suy ra : n3 – n chia heát cho 2 x 3 = 6

12) Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc 
Giải:

° Caùch 1 : a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ (a + b)3 = (- c)3
⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

° Caùch 2 : a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ - ab(a + b) = abc

⇒ - a2b – ab2 = abc

Tương tự: - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

⇒ 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c)
⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

° Caùch 3 : a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ - c2(a + b) = c3

⇒ -a2c – bc2 = c3

Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3

Do đó : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3

⇒ - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3

⇒ -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
13)Tính nhanh :

a)x2 + 1

2x+
1

16 vơi x = 49,75
b)x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93 , y = 6

Giaûi:

a) x2 + 1

2 x+
1

16 = x2 + 2.
1
4 x+

(

1
4

)

(

x+1

)

= (x + 0,25)2

Với x = 48,75 thì (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500
+ Khái quát hóa bài tốn :

1) Phân tích đa thức x3m + 2 + x3n + 1 + 1 ( m ,n N ) thành nhân tử

2) Cho đa thức : B = a4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2

a) Phân tích B thành bốn nhân tử bậc nhất

b) CMR nếu a , b , c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì b < 0
3) CMR với mọi số nguyên n thì số A = n3(n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 105
+ Đề xuất bài tập :

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x5 – x4 – x3 – x2 – x – 2

b) x8 + x6 + x4 + x2 + 1

c) x8 + x7 + 1

d) x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng pp đặt ẩn phụ
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15

b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15

d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6

3) PTĐT sau thành nhân tử bằng pùp thêm , bớt hoặc tách các hạng tử:

a) bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)

b) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

</div>