KSCL HSGToan 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (111.98 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Năm học 2011 – 2012 Thời gian 120 phút

Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì



n5

 

n6 6



n với n .

b, CMR với n  thì: n5 n30. c, Tìm số tự nhiên n để phân số

13
2

n
n



 tối giản.

Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, 4a b2 2



a2b2 c2



b, x5 + x + 1 c,



x1

 

x2

 

x3

 

x4



1

Bài 3: (3đ) Giải phương trình: a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0

b, 2 2 2

1 1 1 1

4 3 8 15 12 35 9

x  x x  x x  x  c,









4 4

2 3 1

x  x 

Bài 4: (3,5đ)a/ Tìm đa thức dư trong phép chia 1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2
b/ Giải bài tốn bằng cách lập phương trình: Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu

tiên người ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra
1

3 số táo cịn lại 
và lấy thêm ra 4 quả. Cuối cùng trong giỏ cịn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao
nhiêu quả?

Bài 5: (4,5đ)Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của
C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng:

a, AB.AE + AD.AF = AC2 b, FCE ABC.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN

Bài Phần Nội dung Điểm

Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30

= n(n – 1) + 30 + 12n  6n





30 6



1 3



3 3 1

30
30 3

n n k

n n

n n n

n

   

 



 

      

 

 



 n = 1; 3; 6; 10; 15; 30

CMR: với n  thì: n5 n30

Ta có 30 = 2.3.5

n5 n n n



4 1







n1

 

n n1





n21



n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích



n1

 

n n 1 6



ta chứng minh n5 n n n



21

 

n2 1 5



Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k  1 hoặc n = 5k  2

1, Nếu n = 5k thì n5 n5

2, Nếu n = 5k  1 thì n21 5  n5 n5

3, Nếu n = 5k  2 thì n21 5  n5 n5

1,5

13 15

2 2

n

n n



 

  tối giản 



15;n 2



1

 n – 2 3 và n – 2 5

3 2
3 5

n k

 


 

 

















 













 



2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

4
2

2 2

a b a b c

ab a b c

ab a b c ab a b c

c a b a b c

a b c a b c c a b c a b

  

   

      

   

    

   

        

b x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1

= x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



 





 



















2 2
2 2
2 2
2 2

1 4 2 3 1

5 4 5 6 1

5 5 1 5 5 1 1

5 5 1 1 5 5

x x x x

     
     
   
         
       
1
3
a

x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0





4 30 2 1 0

x x x x

     



3 1



30



2 1



0

x x x x

     



1





2 1



30



2 1



0

x x x x x x

       



x2 x 1

 

x2 x 30



0

     

2 30 0 ì 2 1 1 3 0

2 4

x x v x x x  

            

 

6 5 30 0

x x x

    



 



0 6
5
x
x x
x


     



Vậy S  



6;5



2 2 2

1 1 1 1

4 3 8 15 12 35 9

x  x x  x x  x 

2 2 2

1 1 1 1

3 3 5 3 15 7 5 35 9

x x x x x x x x x

   

        



 



1 1 1 1

1 3 3 5 5 7 9

x x x x x x

   

     

ĐKXĐ: x1; 3; 5; 7  

Phương trình trên có thể viết:

1 1 1 1 1 1 1 1

2 x 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 9

     
     
     
       
     
 



 



1 1 1 1 6 1

2 x 1 x 7 9 2 x 1 x 7 9

 
     
   
 



 







2
2
2 2

1 7 27 8 20 0

8 16 36 4 6

x x x x

x x x

       

      

4 6 2

4 6 10

x x
x x
  
 
   
  

  (TM ĐKXĐ)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10









2 3 1

x  x 

Đặt x - 3 = t ⇒ x - 2 = t - 1

Phương trình đã cho tương đương với:



1t



4t4 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>





4 3 2 4

3 2

4 6 4 1 1

2 2 3 2 0

t t t t t

t t t t

      

    









2 1 2 0

0 3

1 2

t t t t

t x

    

 

 

   

 

 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = 2 và x = 3

Đa thức chia là đa thức bậc hai nên đa thức dư chỉ có thể có bậc
cao nhất là một (có dạng ax + b).

Gọi thương của đa thức là Q(x) thì ta có đẳng thức:
x2010 + x20 + x19 + x + 1 = (1 - x2).Q(x) + (ax + b) (*)
Để tìm a, b trong đa thức dư ta cần:

- Cho x = 1 ta được a + b = 5 (1)
- Cho x = -1 ta được - a + b = 1 (2)
Suy ra b = 3, a = 2

Vậy đa thức dư phải tìm là: 2x + 3

1,5

Gọi x ( quả) là số táo trong giỏ lúc đầu



x *



+ Lấy ra lần thứ nhất ta được 2 5

x



(quả)

Số táo còn lại trong giỏ là: 2 5

x



(quả)

+ Lấy ra lần thứ hai ta được:

1 17

5 4

3 2 6 3

x x

 

   

 

  (quả)

Số táo lấy ra cả hai lần là:

17 2 2
5

2 6 3 3 3

x x x

    

(quả)

Số quả táo còn lại là:

2 2 2

3 3 3 3

x x

x    

  (quả)

Theo đề ta có phương trình:

12 38

3 3

x

   

(TMĐK)
Vậy số táo lúc đầu là: 38 quả.

Vẽ

hình 0,75

a Kẻ BH AC H



AC



Xét ABH và ACE có:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

BAH chung

Vậy ABH ACE (g - g)

. .

AB AH

AB AE AC AH

AC AE

   

(1)
Xét CBH và ACF có:

BCH CAF (hai góc so le trong có BC//AD)

CHB AFC  900

Vậy CBH ACF (g - g)

. .

BC CH

BC AF AC AC

AC AF

   

(2)

0,75

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:
AB.AE + BC.AF = AC.AH + AC.CH

= AC.(AH + CH) = AC.AC = AC2

0,75

Ta có: ABC ECF (cùng bù với BAD) (1)

Xét CFD và CEB có:

CFD CEB  900
EBC CDF

Vậy CFD CEB (g - g)

CF CD AB CF CE

CE BC BC AB BC

    

(2)

Từ (1) và (2)  FCE ABC (c - g - c)

1,5

* Phân tích:

Giả sử hình thoi ABCD dựng được. Lấy K thuộc đoạn IC sao
cho IK = IB. Do đó ABK dựng được đo

 0 0  0

1 1

15 ; 45 ;
2

A   K  5

2 2

AC BD

AK   

(cm).
Do đó D, C dựng được.

* Cách dựng:

- Dựng ABK có AK =

2 (cm); A15 ;0 K 45 ;0

- Dựng D đối xứng với B qua AK
- Dựng C đối xứng với A qua BD.

- Nối BC, DC suy ra hình thoi ABCD cần dựng.

0,75

* Chứng minh:

Dễ chứng minh ABCD là hình thoi thỏa mãn các điều kiện đề
bài

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6></div>

KSCL HSGToan 8



 









 

 

 

























 









 





 















<sub></sub>

<sub></sub>



 













 

 

 





 

 

 





 



































<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>