<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b>
<b>THÀNH PHỐ LẠNG SƠN</b>

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ</b>
<b>LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012</b>

<b>Mơn thi: TỐN</b>

Thời gian: 120 phút (<i>không kể thời gian giao đề</i>)
Ngày thi: 17/4/2010

<i>(Đề thi gồm 1 trang, có 5 câu</i>)
<b>Câu 1. (2,5 điểm)</b>

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5_{y – xy}5_{chia hết cho 30;}
b) Giải phương trình x2_{+ y}2_{+ z}2_{= y(x + z).}

<b>Câu 2. (2,5 điểm)</b>

a) Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
A = a(a2_{+ 2b) + b(b}2_{– a)}

b) Cho tam giác có nửa chu vi

a b c
p

2
 


với a, b, c là độ dài ba cạnh.
Chứng minh

1 1 1 1 1 1

2

p a p b p c a b c

 

   _   _

    _.

<b>Câu 3. (1,5 điểm)</b>

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ
địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h
và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ơ tơ ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

<b>Câu 4. (2 điểm)</b>

Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I
vng góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

a) AIM và ABI đồng dạng.

b)

2

AM AI

BN BI

 

 

 

<b>Câu 5. (1,5 điểm)</b>

Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho

1

BE BC

3


, F là
trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính
diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2.

<b> Hết </b>

<i>---Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay.</i>

<i>Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b>
<b>THÀNH PHỐ LẠNG SƠN</b>

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH</b>
<b>LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012</b>
<b>Mơn thi: Tốn</b>

Thời gian: 120 phút (<i>không kể thời gian giao đề</i>)
Ngày thi: 17/4/2010

<b>Câu 1. (2,5 điểm)</b>

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5_{y – xy}5_{chia hết cho 30;}
b) Giải phương trình x2_{+ y}2_{+ z}2_{= xy + yz}

a) x5_{y – xy}5_{= xy(x}4_{– y}4_{) = xy(x}4_{– 1 – y}4_{+ 1)}
= xy(x4_{– 1) – xy(y}4_{– 1)}

Ta có x(x4_{– 1) = x(x – 1)(x + 1)(x}2_{+ 1) chia hết cho 2, 3 và 5}
=> xy(x4_{– 1)}__{30 tương tự xy(y}4_{– 1)}_₃₀

=> x5_{y – xy}5_₃₀

0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
b) x2_{+ y}2_{+ z}2_{= xy + yz <=> 2x}2_{+ 2y}2_+2z2_{– 2xy – 2yz = 0}

<=> (x – y)2_{+ (y – z)}2_{+ x}2_{+ z}2_{= 0}
<=> x – y = y – z = x = z = 0

<=> x = y = z = 0

0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
<b>Câu 2. (2 điểm)</b>

a) Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
A = a(a2_{+ 2b) + b(b}2_{– b)}

b) Cho tam giác có nửa chu vi

a b c
p

2
 


với a, b, c là độ dài ba cạnh.
Chứng minh

1 1 1 1 1 1

2

p a p b p c a b c

 

   _   _

    _.

a) a + b = 1 => a =
1

2 _{+ x, b =}
1

2_{+ y với x + y = 0}

ta có: A = a(a2_{+ 2b) + b(b}2_{– a) = a}3_{+ b}3_{+ ab = a}2_{+ b}2
=

2 2

2 2

1 1 1 1

x y x y

2 2 2 2

   

      

   

   

=> GTNN(A) =
1

2_{<=> x = y = 0 <=> a = b =}
1
2

0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ

Ta có:

1 1 4

p c p b   a
Tương tự

1 1 4

p c p a   b_;

1 1 4

p b p a   c
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều

1 1 1 4 4 4

2

p c p b p a a b c

 

    

 _ _ _ 

 

0,5 đ
0,25 đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<=>

1 1 1 1 1 1

2

p a p b p c a b c

 

   _   _

    

<b>Câu 3. (1,5 điểm)</b>

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ
địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h
và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ơ tơ ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

Gọi thời gian ô tơ đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h)
điều kiện x > 0

=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)
Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)
=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)

Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)
Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)

Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí
cách đều xe đạp và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:
50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x

<=> x =
5

6_{(h) = 50 phút (TMĐK)}

Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy

0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ
<b>Câu 4. (2 điểm)</b>

Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I
vng góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

a) AIM và ABI đồng dạng.

b)

2

AM AI

BN BI

 

 

 

a) MAI IAB  _{(AI là phân giác góc A)}

   0 C

AIM IAM IMC 90
2

   

(t/c góc ngồi )

  1800 C 0 C

IAB IBA 90

2 2



   

(t/c góc ngoài )

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
A

B C

I
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

=> AIM IAB 

=> AIM và ABI đồng dạng. 0,25 đ

b) Chứng minh tương tự có IBN và ABI đồng dạng.

=> AIM và IBN đồng dạng.

=>

AM IM AI

IN BN BI

Có IM = IN do tam giác MCN cân tại C
=>

2

AM AM IM AI

.

BN IN BN BI

 

 _ _

 

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

<b>Câu 5. (1,5 điểm)</b>

Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho

1

BE BC

3


, F là
trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính
diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2.

Ta có SAEF  SABCD – S



ABE  SCEF  SADF



2

ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

1 1 1 5

S – S S S S 20(cm )

6 6 4 12

 

 _   _  

 

Nối FI =>

AIK AFI
AIF AFE

S S AK AI AB AD

. . .

S S AF AE AB DF AD BE 
2
AIK

AIK AFE
AFE

2 3 1 S 1 1

. S S 10(cm )

3 4 2 S 2 2

      

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

<i><b>Chú ý: </b></i>

<i>Học sinh làm theo các cách khác đúng cho điểm tối đa. Trên cơ sở tổng điểm </i>
<i>giám khảo chia điểm từng phần sao cho phù hợp, đảm bảo chính xác, công bằng.</i>

A B

C
D

E

F
K

</div>

<!--links-->