chuyen de HINH OXY ban 15

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (355.75 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Nhóm kỹ năng:

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TAM GIÁC

Đặt vấn đề:

Trong những năm qua, nội dung thi đại học cao đẳng, khối lượng kiến thức liên quan
đến chuyên đề “Hình học Oxy” nói chung và phương trình đường thẳng nói riêng, chiếm
một tỉ lệ lớn.

Đa phần các nội dung thi xoay quanh vấn đề tam giác và các bài toán liên quan, điều
này, cùng với việc hạn chế về kỹ năng cũng đã tác động đến khả năng nắm bắt kiến thức của
các em học sinh.

Học chuyên đề này như thế nào? Vận dụng ra sao? Thuật tốn chung, có xây 
dựng được khơng?

Chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề này, nhằm làm sáng tỏ các nội dung đã đề cập
trên!

Kỹ năng 1: XỬ LÝ CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC 
Chúng ta xét các bài toán cơ sở sau:

Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A

( )

1;1 trong các trường hợp:
a) Δ // :d x y+ - =3 0 b) Δ^d: 2x y+ - =1 0

Hướng dẫn:

a) Do Δ // :d x y+ - =3 0 nên Δ có dạng Δ :x y m+ + =0.
Mặt khác do Δ đi qua A

( )

1;1 Û + + = Û1 1 m 0 m= -2 .

Vậy Δ :x y+ - =2 0.

b) Do Δ^d: 2x y+ - =1 0 nên Δ có dạng Δ :x-2y m+ =0.
Mặt khác do Δ đi qua A

( )

1;1 Û - + = Û1 2 m 0 m=1 .

Vậy Δ :x-2y+ =1 0.

Bài toán 2: Cho điểm A

( )

1;1 và đường thẳng Δ :x y+ + =2 0

a) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của A lên Δ .
b) Xác định tọa độ điểm A/ là điểm đối xứng với A qua Δ .
Hướng dẫn:

a) Gọi H t

(

; 2- - Ỵt

)

Δ. Ta có AH = - - -

(

t 1; 3 t

)

Đường thẳng Δ có 1 vectơ chỉ phương là u= -

(

1;1

)

.
H là hình chiếu vng góc của A lên Δ

(

) (

)

(

)

. 0 1 3 0 1 1; 1

AH u t t t H

Û  = Û - + - - = Û = - Þ
-b) Điểm A/ là điểm đối xứng với A qua Δ

H

Û là trung điểm

(

)

/ 2 2 3 / 3; 3

A A

H H A

A

x x

x x x x

AA A

+
ì

ï ì = - =

-ï ï

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

-Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 
a) d1 và d2 lần lượt là các đường cao của tam giác ABC.
Hướng dẫn:

Đường thẳng AC đi qua A

( )

1;0 và vuông góc
với d1 nên có 1 vectơ pháp là vectơ chỉ

phương của d1: u1= -

(

1;1

)

(

) (

)

: 1 1 1 0 0 1 0

AC - x- + y- = Û - + + =x y
Lúc đó, tọa độ C là nghiệm của hpt:

(

)

1 0 2

2; 3

2 1 0 3

x y x

C

x y y

- + + = =

-ì ì

Û Þ

-í - + = í =

-ỵ ỵ

Tương tự, Đường thẳng AB đi qua A

( )

1;0 và
vng góc với d2 nên có 1 vectơ pháp là
vectơ chỉ phương của d2: u2 =

( )

1;2 .

(

) (

)

: 1 1 2 0 0 2 1 0

AC x- + y- = Û +x y- =
Lúc đó, tọa độ C là nghiệm của hpt:

(

)

1 0 3

3; 2

2 1 0 2

x y x

B

x y y

+ + = =

-ì ì

Û Þ

-í + - = í =

ỵ ỵ

d2

d1

C
B

A

b) d1 và d2 lần lượt là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Hướng dẫn:

Gọi M m m

(

;2 + Î1

)

d2 là trung điểm AB và

(

; 1

)

B b b- - Ỵd .
Do M là trung điểm AB

1
1

2 2

1 5

2 1

2 2 3

5 2
;
3 3

A B

M

A B

M

x x b

m

x m

y y b

y m b

B

+ + ì

ì = ì = =

-ï

ï ï

ï ï ï

Ûí Ûí Þí

-ï = ï + = ï =

-ù ù ù

ợ ợ ợ

ổ ử

ị ỗ- ữ

ố ứ

Tng t, Gọi N n n

(

;- - Ỵ1

)

d1 là trung điểm AC
và C c c

(

;2 + Ỵ1

)

d2 .

Do N là trung điểm AC

N
M

A

B C

d1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 
1

2 1

2 1 2 2 3

1
2
4

11 19

3 ;

11 3 3

3
c

n c n

c c n

n
n
C
c
+
ì =
ï ì - = 
-ï
Ûí Ûí
+ ỵ + =
-ï- - =
ïỵ
ì =
-ùù ổ ử
ịớ ị ỗ- - ữ
ố ứ

ù =
-ïỵ
Nhận xét:

Bài tốn trên cịn nhiều cách giải khác, nhưng cách giải này giúp chúng ta được 
nhiều vấn đề hơn và giải nhanh hơn!

c) d1 và d2 lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác ABC.
Hướng dẫn:

Gọi H h h

(

;2 + Î1

)

d2. Ta có

(

1;2 1

)

AH = h- h+



Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là

( )

1;2
u = .

H là hình chiếu vng góc của A lên Δ

(

) (

)

(

)

. 0 1 3 0

1 1; 1

AH u t t

t H

Û = Û - + - - =
Û = - Þ

- 

b) Điểm A/ là điểm đối xứng với A qua Δ
H

Û là trung điểm

(

)

/
/
/
/
/
/
2
2
2 3
3; 3
2 3
A A

H
A A
H
H A
A
H A
A
x x
x
AA
y y
y

x x x

A

y y y

+
ì
=
ïï
Û í +
ï =
ïỵ
= - =
-ỡù
ớ ị
-= - =

-ùợ
K
H
A2
A1

d2 d1

C
B

A

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 
Hướng dẫn:

Bước 1: Lập phương trình AC qua A và
vng góc với d1.

{ }

d AC C

ị ầ =

Bc 2: Gi M thuc d2 v B thuộc d1. Áp
dụng công thức trung điểm.

d2

d1

C
B

A
M

e) d1 là đường cao và d2 là đường phân giác trong của tam giác ABC.
Hướng dẫn:

Bước 1: Lập phương trình AC qua A và
vng góc với d1.

{ }

d AC C

ị ầ =

Bc 2: Ly i xng A qua d2 được điểm
1

A .

+ Lập phương trỡnh CA1ịCA1ầd1 =

{ }

B

A

B C

d1
d2

e) d1 l ng trung tuyn và d2 là đường phân giác trong của tam giác ABC.
Hướng dẫn:

Bước 1: Gọi M thuộc d1 và B thuộc d2. Áp
dụng công thức trung điểm.

Bước 2: Lấy đối xứng A qua d2 được điểm
1

A .

+ Lp phng trỡnh BA1ị BA1ầd1 =

{ }

C

A1
H
M

A

B C

d1 d2

f) d2 là đường cao và d1 là đường trung tuyến của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh B.
Hướng dẫn:

Bước 1: d1Çd2 =

{ }

B

Bước 2: Lập phương trình AC qua A và
vng gúc vi d2.

{ }

d AC M

ị ầ =

Do M là trung điểm của AC nên dễ dàng suy
ra C.

d2

d1

B

A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 
Hướng dẫn:

Bước 1: d1Çd2 =

{ }

B

Bước 2: Lập phương trình AC qua A và 
vng góc với d1.

Bước 3: Lấy đối xứng A qua d2 được điểm
1

A .

+ Lập phng trỡnh BA1ị BA1ầAC=

{ }

C

A1
d2
d1

C
B

A

h) d1 l ng trung tuyn và d2 là đường phân giác trong của tam giác ABC xuất phát từ
đỉnh B.

Hướng dẫn:

Bước 1: d1Çd2 =

{ }

B

Bước 2: Lấy đối xứng A qua d2 được điểm

A .

+ Lập phương trình BA1.

Bước 3: Gọi M thuộc d1 và C thuộc BA1.

Áp dụng công thức trung điểm. A

1
d2

d1

C
B

A

M

Đề thi: (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng

: 4 2 0

d x- y- = , cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x y+ + =3 0 và
trung điểm của cạnh AC là M(1;1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

Hướng dẫn:

Bước 1: Lập phương trình AC qua M và
vuụng gúc vi BH.

{ }

AC d A

ị ầ =

Bc 2: Do M là trung điểm AC nên suy ra 
C.

Bước 3: Lập phương trình BC qua C và song
song vi dị BCầBH =

{ }

B

M
H

A

B

C
d

thi: (Toỏn hc Tuổi trẻ 2010) Cho hai đường thẳng d x y1: + + =1 0, : 2d2 x y- - =1 0.
Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1; 1)- và cắt d d1, 2 tương ứng tại A, B sao cho

2MA MB  + =0.

Hướng dẫn:

Gọi A a a

(

;- - Ỵ1

)

d B b b1,

(

;2 - Ỵ1

)

d2 .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

(

)

1
:

2
x

d t R

x t

=
ỡ

ẻ
ớ = - +
ợ

thi: (Toỏn học Tuổi trẻ 2010) Cho ba đường thẳng d1: 3x y- - =4 0, :d x y2 + - =6 0
và d x3 : - =3 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng ABCD biết rằng A và C thuộc d3, B
thuộc d1 và D thuộc d2.

Hướng dẫn:

Bước 1: Gọi A

( ) ( )

3; ,a C 3;c Ỵd3

Lúc đó, tâm I của hình vng ABCD cú ta

3;
2
a c
Iổỗ + ửữ

ố ứ.

Bc 2: Đường thẳng BD qua I và vng
góc với d3 là Δ : //

2
a c

y= + Ox.

1 8

Δ ;

6 2

a c a c

d Bæ + + + ử

ị ầ = ỗ ữ

ố ứ

v 2 12 ;

2 2

a c a c

d Dỉ - - + ư

Ç = ç ÷

è ø

Bước 3: ABCD là hình vng
I là trung điểm BD

(*)
AC BD

ỡ
ớ =

ợ

Ta cú: 0;

2
a c
IA= ỗổ - ửữ

ố ứ

v
10

;0
6
a c

IB= ỗổ + - ư÷

è ø



Lúc đó (*) trở thành:
8 12

6 2

2 6

a c a c

+ +

-ì + =

ïï

í - +

-ï =

ïỵ

Từ đây giải ra , .a c

d2
d3

d1
y

x

O 3

I

D
A

B

C

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 
Theo giả thiết:

(

)

(

)

2 2 2 2

5 2 3 3 7 2 3

; ;

d A d d B d a b a b a b a b

a b a b

- + - + +

-= Û =

+ +

7 4 5 4 4

7 4 5 4

7 4 5 4 0

a b a b a b

a b a b

a b a b a

- = + =

é é

Û - = + Û ê Û ê

- = - - =

ë ë

* Với a=4b, thay vào (*) ta được d: 4b x

(

) (

+b y-3

)

= Û0 4x y+ + =5 0 (do b¹0).
* Với a=0, thay vào (*) ta được d: b y

(

-3

)

= Û - =0 y 3 0 (do b¹0).

Cách 2: Dựa vào nhận xét hình học.

TH 1: Đường thẳng d đi qua M và song song với AB

Đường thẳng d đi qua M

(

-2;3

)

và có 1 vectơ chỉ phương AB= -

(

2;8

)

, nên có 1
vectơ pháp là n=

( )

4;1 .

Phương trình d: 4

(

x+2

) (

+ y-3

)

= Û0 4x y+ + =5 0.

TH 2: Đường thẳng d đi qua M và trung điểm I của AB. 
Ta có trung điểm I của AB là: I

( )

4;3 .

Đường thẳng d đi qua M

(

-2;3

)

và có 1 vectơ chỉ phương MI=

( )

6;0 , nên có 1
vectơ pháp là n=

( )

0;1 .

Phương trình d: 0

(

x+2

) (

+ y-3

)

= Û - =0 y 3 0.
Đề thi tương tự:

Đề thi: (Toán học Tuổi trẻ 2010) Lập phương trình đường thẳng d cách điểm A(1;1) một
khoảng bằng 2 và cách B(2;3) một khoảng bằng 4.

Đề thi: (ĐHSPHN2-99) Cho tam giác ABC với các đỉnh ( 6; 3), ( 4;3), (9;2)A - - B - C .
a) Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác góc A của tam giác ABC.
b) Tìm điểm P nằm trên d sao cho tứ giác ABPC là hình thang.

Hướng dẫn:

a) Gọi D x

(

D;yD

)

là chân đường phân giác trong của góc ˆA.

Lúc đó: BD DC BD AB.DC BD AB.DC (*)

AB = AC Þ = AC Þ = AC

 

Ta có: BD=

(

xD+4;yD-3 ,

)

DC=

(

9-xD;2-yD

)

( )

2;6 2 10

AB= Þ AB=



và AC =

(

15;5

)

Þ AC=5 10
Thay vào (*) ta được:

(

)

(

)

2 2

4 9

2 19

5 7 ;

2 19 7 7

3 2

5 7

D D D

x x x

D

y y y

ì + = - ì =

-ï ù

ù ù ị ổ- ử

ớ ớ ỗ ữ

ố ứ

ù - = - ï =

ï ï

ỵ ỵ

I

M

A B

A

d
D

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 
b) Ta gọi P t t

(

; + Î3

)

d.

ABPC là hình thang trong các TH sau:
TH 1: AB cùng phương với CP (1)

Ta có: AB=

( )

2;6 và CP= -

(

t 9;t+1

)

Từ (1) suy ra:

(

)

9 1

14 14;17

2 6

t t

t P

- = + Û = Þ

P
A

C
D

d

TH 2: AC cùng phương với BP (2)
Ta có: AC=

(

15;5

)

và BP= +

(

t 4;t

)

Từ (**) suy ra: 4 1

( )

1;4

15 3

t t

t P

+ = Û = Þ

d
D

C
B

A

P

Kết luận: Vậy có hai điểm P thỏa y.c.b.t là P

(

14;17

)

; P

( )

1;4 .

Đề thi: (ĐHCT-95) Cho A(2; 3), (3; 2)- B - . Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên
đường thẳng : 3d x y- - =8 0, diện tích tam giác ABC bằng 3

2. Xác định tọa độ C?
Hướng dẫn:

Gọi G t t

(

;3 - Ỵ8

)

d. Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:

3 3 5

3 9 19

A B C

G

C G A B

A B C C G A B

G

x x x

x x x x x t

y y y y y y y t

y

+ +
ì =

ï ì = - - =

-ï Û

í + + í = - - =

-ỵ
ï =

ïỵ

(

3 5;9 19

)

C t t

Þ -

-Ta có: AB=

( )

1;1 Þ AB= 2.

Đường thẳng AB qua (2; 3)A - và có 1 vectơ chỉ phương là AB=

( )

1;1 , nên có 1



G

C
B

A

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9></div>

chuyen de HINH OXY ban 15

<b>CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TAM GIÁC</b>

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

) (

)

(

)

( )

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

) (

)

(

)

(

)

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

) (

)

(