<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG TAM GIÁC

Cho tam giác ABC với các điểm O, I, H, G,O1, O2,, O3,, O9 lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm, trọng tâm, tâm đường trịn bàng
tiếp góc A, B, C và tâm đường tròn Ơ le của tam giác ABC. Gọi R, r, ra, rb, r c là
bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, đường tròn bàng tiếp góc <i>A, B, C của</i>
<i>tam giác ABC.</i>

1. Hệ thức Ơ le: <i>OI</i>2 <i>R</i>2 2<i>Rr</i>_.

2. Định lý Steward: Nếu đường thẳng AD chia cạnh BC của tam giác ABC thành
những đoạn BD = m, CD = n, AD = d thì <i>ad</i>2 <i>mb</i>2<i>nc</i>2 <i>amn</i>_.

3. Định lý Leibniz: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với điểm M bất kỳ ta
có: <i>MA</i>2<i>MB</i>2<i>MC</i>23<i>MG</i>2<i>GA</i>2<i>GB</i>2<i>GC</i>2_.

4. <i>OO</i>12<i>R</i>2 2<i>Rr OOa</i>, 22 <i>R</i>2 2<i>Rr OOb</i>, 32 <i>R</i>2 2<i>Rrc</i>_.

Cm: Gọi A’ là giao của đường tròn (O) với O1A. Ta chứng minh được <i>O A</i>1 '<i>BA</i>'
Ta có phương tích của điểm O1 với đường tròn tâm O là

2 2

1 1 . 1 ' 1 . ' .2 .sin ₂ 2

sin
2

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>r</i> <i>A</i>

<i>O O</i> <i>R</i> <i>O A O A</i> <i>O A BA</i> <i>R</i> <i>Rr</i>

<i>A</i>

    

, suy ra <i>O O</i>1 2 <i>R</i>22<i>Rra</i>_.

5.

2
2

1

16

( )( ).

<i>R</i>

<i>O I</i> <i>p b p c</i>

<i>bc</i>

  

Cm: Gọi A’ là giao của đường tròn (O) với O1A. Ta chứng minh được

1 ' ' '

<i>O A</i> <i>IA</i> <i>A C</i>_{. Suy ra:}

2 2 2

1 2 ' 2.2 sin ₂<i>A</i> 1 16 sin ₂<i>A</i>
<i>O I</i>  <i>A C</i>  <i>R</i>  <i>O I</i>  <i>R</i>

2 2 2 2 2

2 2 4 16

8 (1 cos ) 8 1 ( )( ) ( )( )

2

<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>R</i> <i>R</i>

<i>R</i> <i>A</i> <i>R</i> <i>a c b a b c</i> <i>p b p c</i>

<i>bc</i> <i>bc</i> <i>bc</i>

 _ _ 

             

 

 

6.

2 2 <i>abc</i>

<i>OI</i> <i>R</i>

<i>a b c</i>

 

  _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2 2 ₂ 2 _{2 .} 2 ₂ 2

4

<i>S</i> <i>abc</i> <i>abc</i>

<i>OI</i> <i>R</i> <i>Rr R</i> <i>R</i> <i>R</i> <i>R</i> <i>R</i>

<i>p</i> <i>Rp</i> <i>a b c</i>

       

  _.

7.

2 2 2

2 2

9

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>OG</i> <i>R</i>   

.

Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác AOA’ ta có:

2 2 2

'. . ' '. '. . '

<i>AA OG</i> <i>GA OA</i> <i>GA OA</i>  <i>AA GA GA</i> _.

Suy ra:

2
<i>OG</i> 

2 2

2 . ' '. _. _'

'

<i>GA OA</i> <i>GA OA</i>

<i>OG</i> <i>GA GA</i>

<i>AA</i>



 

.

Mà

2

2 2 2 2

' '

4

<i>a</i>
<i>OA</i> <i>OC</i>  <i>CA</i> <i>R</i> 

và

2 2 2

2 2

'

3 3 2 4

<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>GA</i> <i>AA</i>   

nên:

2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 2 2

3 3 4 9 4 9

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>OG</i>  <i>R</i>  <i>R</i>      <i>R</i>   

   

    _.

Lại có <i>OG</i> 2<i>O G</i>9 _,<i>GH</i> 2<i>OG</i>_{, OH = 3OG,} 9

3
2

<i>O O</i> <i>OG</i>

nên từ (7) ta có

2 2 2 2 2

9

1

(9 )

36

<i>O G</i>  <i>R</i>  <i>a</i>  <i>b</i>  <i>c</i>
,

2 4₍₉ 2 2 2 2₎

9

<i>GH</i>  <i>R</i>  <i>a</i>  <i>b</i>  <i>c</i>
,

2 ₉ 2 2 2 2

<i>OH</i>  <i>R</i>  <i>a</i>  <i>b</i>  <i>c</i> _,

2 2 2 2 2

9

1

(9 )

4

<i>O O</i>  <i>R</i>  <i>a</i>  <i>b</i>  <i>c</i>
.

8.

2

2 2 2₍ 2 2 2₎

3 9

<i>p</i>

<i>IG</i> <i>r</i>   <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.

Cm: Áp dụng định lý Leibniz ta có <i>IA</i>2<i>IB</i>2<i>IC</i>2 3<i>IG</i>2 <i>GA</i>2<i>GB</i>2<i>GC</i>2

2 2 2 2 2 4 2 2 2

3 ( ) ( ) ( ) 3 ( )

9 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>r</i> <i>p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i> <i>IG</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

          



2

2 2 2₍ 2 2 2₎

3 9

<i>p</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

9.

2

2 2 2 2 2

1

( ) 2

( ).

3 9

<i>a</i>

<i>p a</i>

<i>O G</i> <i>r</i>    <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Cm: Áp dụng định lý Leibniz ta có

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 3 1

<i>O A</i> <i>O B</i> <i>O C</i>  <i>O G</i> <i>GA</i> <i>GB</i> <i>GC</i> _.
Suy ra:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

( ) ( ) 3 ( )

3

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>r</i> <i>p</i> <i>r</i> <i>p c</i> <i>r</i> <i>p b</i> <i>O G</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

 _  _ _ _  _ _ _  _ _ _ _

      _.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

3 3 2 ( )

3
<i>a</i>

<i>O G</i> <i>r</i> <i>p</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>ap</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

          

2 2 2 2 2 2

3 ( ) ( )

3
<i>a</i>

<i>r</i> <i>a p</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

     



2

2 2 2 2 2

1

( ) 2

( ).

3 9

<i>a</i>

<i>p a</i>

<i>O G</i> <i>r</i>    <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
10. <i>O H</i>1 2 3<i>ra</i>24<i>R</i>2 (<i>p a</i> )2 4<i>Rra</i>_.

Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác O1OH ta có:

2 2 2

1 1 1

. . . . .

<i>OH O G</i> <i>O O GH O H OG OH GH OG</i>  _.

Suy ra

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 6 2

2 2

3 ( ) ( ) 6 ( ) 2( 2 )

3 3

3 4 4 ( )

(theo (4), (7), (9)).

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>O H</i> <i>O G</i> <i>OG</i> <i>O O</i>

<i>r</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>p a</i> <i>R</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>R</i> <i>Rr</i>

<i>r</i> <i>R</i> <i>Rr</i> <i>p a</i>

  

           

    

11.

2
2

1 2

16

( ).

<i>R</i>

<i>O O</i> <i>p p c</i>

<i>bc</i>

 

Cm: Có

1 2 1 2

0 _os 4 sin 2 4 os 2

s 90

2
2

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>r</i> <i>r</i> <i>r</i> <i>r</i> <i>A B</i> <i>C</i>

<i>O O</i> <i>O C O C</i> <i>R</i> <i>Rc</i>

<i>C</i>

<i>C</i> <i>_c</i>

<i>in</i>

  

     

 



 

 

(vì <i>a</i> 4 sin cos cos ,2 2 2 <i>b</i> 4 sin cos cos2 2 2

<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>C</i>

<i>r</i>  <i>R</i> <i>r</i>  <i>R</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 16 . os <i>C</i>₂ 8 (1 cos ) 8 (1 <i>b</i> ₂<i>a</i> <i>c</i> ) 16<i>R</i> ( ).

<i>O O</i> <i>R c</i> <i>R</i> <i>C</i> <i>R</i> <i>p p c</i>

<i>ab</i> <i>bc</i>

 

      

12. <i>IH</i>24<i>R</i>2 <i>p</i>23<i>r</i>2 4<i>Rr</i>.

Cm: Áp dụng định lý Stewart cho tam giác IOH ta có:

2 2 2

. . . . .

<i>OH IG</i> <i>OI HG IH OG OH OG HG</i> 

Suy ra:

2 2 2 1 2 2 2

3 3 9

<i>IG</i>  <i>OI</i>  <i>IH</i>  <i>OH</i> 2 3 2 2 2 2 2

3

<i>IH</i> <i>IG</i> <i>OI</i> <i>OH</i>

   

.
Từ (1), (7), (8) ta có:

2 ₃ 2 2 2₍ 2 2 2_{) 2} 2 ₄ ₆ 2 2₍ 2 2 2₎

3 3

<i>IH</i>  <i>r</i>  <i>p</i>  <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  <i>R</i>  <i>Rr</i> <i>R</i>  <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

2 2 2

4<i>R</i> <i>p</i> 3<i>r</i> 4<i>Rr</i>

    _.

13.

2 2

9 (₂ )

<i>R</i>
<i>O I</i>   <i>r</i>

.

Cm: Vì O9 là trung điểm của OH nên theo công thức đường trung tuyến trong tam
giác IOH ta có:

2 2 2

2

9 <i>IO</i> ₂<i>IH</i> <i>OH</i>₄

<i>IO</i>   

.

Từ (1), (7), (12) suy ra:

2 2 2 2 2 2

2

9 <i>R</i> 6<i>r</i> 2<i>p</i> 4₄<i>Rr</i> (<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> )

<i>IO</i>       

.

Mà <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2 2(<i>p</i>2  <i>r</i>2  4<i>Rr</i>)nên

2 2

2 2

9

4 4

( )

4 2

<i>R</i> <i>Rr</i> <i>r</i> <i>R</i>

<i>O I</i>      <i>r</i>

.

14.

3 3 3

2 ₄ 2 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>

<i>IH</i> <i>R</i>

<i>a b c</i>

  

 

  _.

Cm: Ta có (<i>a b c HI aHA bHB cHC</i>  )   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

(vì <i>aIA bIB cIC</i>    0_).

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) .

( ) ( ) ( )

<i>a b c</i> <i>IH</i> <i>a HA</i> <i>b HB</i> <i>c HC</i>

<i>ab HA</i> <i>HB</i> <i>c</i> <i>bc HC</i> <i>HB</i> <i>a</i> <i>ac HA</i> <i>HC</i> <i>b</i>

    

 

        

 

2 2 2

(<i>a b c aHA</i>)( <i>bHB</i> <i>cHC</i> ) <i>abc a b c</i>( )

        _mà

2 2 2 2

1

4 4 ....

<i>HA</i>  <i>OA</i>  <i>R</i>  <i>a</i> _{(A1 là trung điểm của BC)}
Nên

2 2 2 3 3 3

(<i>a b c</i>_{ } ) .<i>IH</i> _(<i>a b c</i>_{ } ) 4 <i>R a b c</i>( _{ } ) (_ <i>a</i> _<i>b</i> _<i>c</i> ) _ <i>abc a b c</i>( _{ } )

 



3 3 3

2 ₄ 2 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>

<i>IH</i> <i>R</i>

<i>a b c</i>

  

 

 

15.

2 2 2 3 3 3

2 4

( )( )( )( )

<i>a b c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>

<i>IH</i>

<i>a b c b c a c a b a b c</i> <i>a b c</i>

  

 

          _.

Cm: Theo cm (14) ta có

3 3 3

2 ₄ 2 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>

<i>IH</i> <i>R</i>

<i>a b c</i>

  

 

  _mà

2
2

4 4

4

<i>abc</i>
<i>R</i>

<i>S</i>

 

  

 

2 2 2 ₄ 2 2 2

4 ( )( )( ) ( )( )( )( )

<i>a b c</i> <i>a b c</i>

<i>p p a p b p c</i> <i>b c a c a b a b c a b c</i>

 

          

Suy ra:

2 2 2 3 3 3

2 4

( )( )( )( )

<i>a b c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>

<i>IH</i>

<i>a b c b c a c a b a b c</i> <i>a b c</i>

  

 

          _.

16.

2
2

1 9 ₂ <i>a</i> .

<i>R</i>
<i>O O</i> _ <i>r</i> _

 

Cm: Vì O9 là trung điểm của OH nên theo công thức đường trung tuyến trong tam
giác O1OH ta có

2 2 2

2 1 1

1 9 2<i>O O</i> 2<i>O H</i>₄ <i>OH</i>

<i>O O</i>   

.
Từ các công thức (4), (7), (10) suy ra:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 9

4<i>O O</i> 2(<i>R</i> 2<i>Rr_a</i>) 2(3 <i>r_a</i> 4<i>R</i>  4<i>Rr_a</i>  (<i>p a</i> ) ) 9 <i>R</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

2 ₆ 2 ₄ ₂₍ 2 ₂ 2₎ 2 2 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>R</i> <i>r</i> <i>Rr</i> <i>p</i> <i>pa a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2 ₆ 2 ₄ ₂₍ 2 ₂ 2_{) 2(} 2 2 _{4 )}

<i>a</i> <i>a</i>

<i>R</i> <i>r</i> <i>Rr</i> <i>p</i> <i>pa a</i> <i>p</i> <i>r</i> <i>Rr</i>

        

2 ₆ 2 ₄ ₄ ₂ 2 ₂ 2 ₈

<i>a</i> <i>a</i>

<i>R</i> <i>r</i> <i>Rr</i> <i>pa</i> <i>a</i> <i>r</i> <i>Rr</i>

       _.

 

2

2 2 2

1 9

2 3 2 ( ) 4

2 <i>a</i> <i>a</i>

<i>R</i>

<i>O O</i>   <i>r</i>  <i>Rr</i> <i>a b c</i>  <i>r</i>  <i>Rr</i>

2 2

2 2 2

3 2 (4 )( ) 4 2 2

2 <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> 2

<i>R</i> <i>R</i>

<i>r</i> <i>Rr</i> <i>R r r</i> <i>r r</i> <i>r</i> <i>Rr</i> <i>r</i> <i>Rr</i>

           

Vậy

2
2

1 9 <i>R</i>₂ <i>a</i> .
<i>O O</i> _ <i>r</i> _

 

</div>

<!--links-->