<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> §Ị thi chän häc sinh giái cÊp trêng</b>

lớp 7- năm học 2011- 2012

Môn: <b>Toán</b>

<b> Đề chính thức</b> <i>Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) </i>
<b>Bài 1</b>: Tính giá trị biểu thức:

A =

( )( ) ( )( )

( )

<i>a b</i> <i>x y</i> <i>a y b x</i>
<i>abxy xy ay ab by</i>

     

  

Víi a =

1

3_{; b = -2 ; x =}
3

2_{; y = 1}

<b>Bµi 2</b>: Chøng minh r»ng: NÕu 0 < a1 < a2 < ….. < a9 th×:

1 2 9

3 6 9

....

3

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

  



 

<b>Bài 3</b>: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5,
các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng
của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính
diện tích của mỗi mảnh đất đó.

<b>Bµi 4</b>: Cho 2 biĨu thøc:
A =

4 7

2

<i>x</i>
<i>x</i>



 _{; B =}
2

3 9 2

3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 



a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị ngun

b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.

<b>Bài 5</b>: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự
hai điểm D và E sao cho BD = CE

a) Chøng minh tam gi¸c ADE là tam giác cân.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE

c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vng góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK
d) Chứng minh 3 đờng thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.

<b>§Ị thi chän häc sinh giái cÊp trêng</b>
lớp 7- năm học 2011- 2012

Môn: <b>Toán</b>
<b>Đáp án và thang điểm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>1</b>

A =

( )( ) ( )( )

( )

<i>a b</i> <i>x y</i> <i>a y b x</i>
<i>abxy xy ay ab by</i>

     

  

=

( ) ( ) ( ) ( )

( )

<i>a x y</i> <i>b x y</i> <i>a b x</i> <i>y b x</i>
<i>abxy xy ay ab by</i>

        

  

= ( )

<i>ax ay bx by ab ax by xy</i>
<i>abxy xy ay ab by</i>

       

  

= ( )

<i>ay bx ab xy</i>
<i>abxy xy ay ab by</i>

   

  

=

( )

( )

<i>xy ay ab by</i>
<i>abxy xy ay ab by</i>

   
  
=
1
<i>abxy</i>


Víi a =

1

3_{; b = -2 ; x =}
3

2_{; y = 1 ta đợc: A =}

1

1

1 3

( 2) 1

3 2


   
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
<b>2,5</b>
<b>2</b>

Ta cã: 0 < a1 < a2 < ….. < a9 nªn suy ra:
a1 + a2 + a3 < 3a3 (1)

a4 + a5 + a6 < 3a6 (2)
a7 + a8 + a9 < 3a9 (3)

Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta đợc:
a1 + a2 + ….. + a9 < 3(a3 + a6 + a9)
Vì a1 + a2 + ….. + a9 > 0 nên ta đợc:

1 2 9

3 6 9

....

3

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

  

 
0,25
0,25
0,25
0,75
0,5
<b>2</b>
<b>3</b>

Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C
theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC.

Theo bµi ra ta cã:

4
5
<i>A</i>
<i>B</i>

<i>S</i>

<i>S</i>  _;

7
8
<i>B</i>
<i>C</i>

<i>S</i>

<i>S</i>  _{; d}

A = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m)
Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích
của chóng tØ lƯ thn víi c¸c chiỊu réng. Ta cã:

4
5

<i>A</i> <i>A</i>

<i>B</i> <i>B</i>

<i>S</i> <i>r</i>

<i>S</i>  <i>r</i> _

27
3

4 5 4 5 9

<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>

<i>r</i> <i>r</i> <i>r</i> <i>r</i>

   


 _r_A_{= 12(m) ; r}_B_{= 15(m) = r}_C

Hai h×nh chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên c¸c diƯn tÝch
cđa chóng tØ lƯ thn víi c¸c chiỊu dµi. Ta cã:

7
8

<i>B</i> <i>B</i>

<i>C</i> <i>C</i>

<i>S</i> <i>d</i>

<i>S</i>  <i>d</i> _ _d

B =

7 7.24
21
8 8
<i>C</i>
<i>d</i>

 

(m) = dA
Do đó: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m2)

SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m2)
SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m2)

0,25
0,5
1
0,25
1
0,5
0,5
0,5
<b>4,5</b>
<b>4</b>

a) Ta cã: A =

4 7
2
<i>x</i>
<i>x</i>

 ₌

4( 2) 1 1

4
2 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
 
 

Víi x _{Z th× x - 2}_Z.

Để A nguyên thì

1
2

<i>x</i> _nguyên. _{x - 2 lµ íc cđa 1}

Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đó: x = 3 hoặc x = 1
Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1

0,5
0,25

0,5

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+) B =
2

3 9 2

3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

 ₌

3 ( 3) 2 2

3

3 3

<i>x x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 

 

Víi x _{Z th× x - 3}_Z.

Để B nguyên thì

2
3

<i>x</i> _nguyên. _{x - 3 là ớc của 2}

Ta cã: x - 3 = _{2 hc x - 3 =}_1.

Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2

Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2
b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1

0,5
0,25

0,5
0,5

<b>5</b> A

H K

M

D B C E
O

<b>Chøng minh</b>:

a) _{ABC c©n cã AB = AC nªn:} <i>C</i>  <i>C</i>

Suy ra:  <i>D</i> <i>CE</i>

XÐt _{ABD vµ}_{ACE cã:}

AB = AC (gt)

 <i>_D</i>  <i>_CE</i>

  _{(CM trªn)}

DB = CE (gt)

Do đó _{ABD =}_{ACE (c - g - c)}

 _{AD = AE (2 cạnh tơng ứng). Vậy}_{ADE cân tại A.}

b) XÐt <i>AMD</i>_vµ<i>AME</i>_cã:

MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt)
AM: Cạnh chung

AD = AE (CM trªn)

Do đó <i>AMD</i>₌<i>AME</i>_{(c - c - c)}
 <i>MAD MAE</i>  _.

VËy AM lµ tia phân giác của <i>DAE</i>

c) Vì _{ADE cân tại A (CM câu a)). Nên}<i>ADE</i><i>AED</i>

Xét <i>BHD</i>_và<i>CKE</i>_có:

<i>BDH</i> <i>CEK</i> _(Do<i>ADE</i><i>AED</i>₎

DB = CE (gt)

 <i>BHD</i>₌<i>CKE</i>_{(C¹nh hun- gãc nhän)}

Do đó: BH = CK.

d) Gäi giao ®iĨm cđa BH vµ CK lµ O.
XÐt <i>AHO</i> vµ <i>AKO</i> cã:

OA: C¹nh chung

AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (v× <i>BHD</i>₌<i>CKE</i>₎₎
 <i>AHO</i>₌<i>AKO</i>_{(Cạnh huyền- Cạnh góc vuông)}

Do ú <i>OAH OAK</i> nên AO là tia phân giác của <i>KAH</i> hay AO là

0,5

0,5

1
0,5

1
0,5
0,25

1
0,5
0,25

1
0,25
0,75

<b>8</b>
ABC cã AB = AC.

GT DB = CE (D tia đối của CB; E
tia đối của BC)

a) ADE c©n

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

tia phân giác của <i>DAE</i> .

Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của <i>DAE</i> .

Do ú AO _{AM, suy ra 3 đờng thẳng AM; BH; CK cắt nhau tại}

</div>

<!--links-->