De Toan HSG tinh Vinh phuc 2012 co dap an

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (467.81 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
————————————

Câu 1 (3,0 điểm).

 

3
2

1 3 3

x
f x

x x



  1. Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

1 2 2010 2011

...

2012 2012 2012 2012

Af  f   f  f  

       

2 1 1 2 2

x x x x x

P

x x x x x x x x

   

  

    2. Cho biểu thức

xTìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm).



x y;





x y



3 



x y  6



Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn .

Câu 3 (1,5 điểm).

, , ,

a b c dCho là các số thực thỏa mãn điều kiện:

2012

abc bcd cda dab a b c d       



a2 1

 

b2 1

 

c2 1

 

d2 1



2012

    

Chứng minh rằng: .
Câu 4 (3,0 điểm).

  

O1 , O2



 

O

 

X

  

O1 , O2



  

O1 , O2



 

O M M1, 2

 

O1

 

O A A, ' AM1

 

O1 N1 AM2



O2



N Cho ba đường tròn và (kí hiệu chỉ đường trịn có tâm là điểm X). Giả sử tiếp xúc ngoài với

nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xúc trong với tại . Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt
đường tròn lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm , đường thẳng cắt
lại đường tròn tại điểm .

1 1 2 2

M N N M OA N N1 21. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và đường thẳng vuông góc với

đường thẳng .

PQ

 

O PQ AI P AM1 M2 PM1, QM2 AI PM, 1QM22. Kẻ đường kính của đường trịn

sao cho vng góc với (điểm nằm trên cung không chứa điểm ). Chứng minh rằng nếu khơng
song song thì các đường thẳng và đồng quy.

Câu 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh,
đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm
của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đơi một khác màu.

—Hết—

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN
———————————

I. LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm tồn bài tính đến 0,5 và khơng làm trịn.

- Với bài hình học nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm

1 1 1,5 điểm
1

x y  f x

 

 f y

 

1Nhận xét. Nếu thì .

 





 













3
3
3 3
3 3
1
1
1 1
x
x

f x f y f x

x x x x



    

   

Thật vậy, ta có

0,5

 

















3
3
3 3
3 3
1
1 1
1 1
x
x

f x f y f x f x

x x x x



      

    suy ra .

1 1

2 2

f  

  Vậy, nhận xét được chứng minh. Ta có .

0,5

Theo nhận xét trên ta có:

1 2011 2 2010

...

2012 2012 2012 2012

1005 1007 1006 1

1005 1005,5

2012 2012 2012 2

A f f f f

f f f f

         
          
       
   
        
    

       
 
       
 
0,5

2 1,5 điểm
0, 1

x x Điều kiện: . Khi đó ta có
2
1
x
P
x x



  Rút gọn biểu thức ta được

0,5





2 0

Px P x P   x P  0 x 2 0 P0 x



P 1



2 4P P





     

Ta có , ta coi đây là phương trình bậc hai của .

Nếu vơ lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có





2 2 4 4

3 6 1 0 2 1 1

3 3

P P P P P

           

0,5



P1



Do P nguyên nên bằng 0 hoặc 1



P1



2  0 P 1 x1

+) Nếu không thỏa mãn.





2 1 2 2 2 0 0

P

P P x x x

P




          



 +) Nếu không thỏa mãn

Vậy khơng có giá trị nào của x thỏa mãn.

0,5

2 1,5 điểm

6 ( 6) 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

{1; 2}

x

  Nếu phương trình vơ nghiệm. Do đó 
1

x Với thay vào phương trình ban đầu ta được:



y 1



3 (y 5)2



y 3





y2 5y 8



0 y 3

         



x y;



(1; 3)

suy ra
phương trình có nghiệm .

0,5

x Với thay vào phương trình ban đầu ta được:



y 2



3 (y 4)2 y3 5y2 4y 8 0

        y1

phương trình này vơ nghiệm
do .



x y;



(1; 3)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm .

0,5

3 1,5 điểm





2012 abc bcd cda dab a b c d      

Ta có:



 





ab 1 c d cd 1 a b



     

0,5



ab 1





a b





cd 1





c d



   

      

    0,5



a b2 2 a2 b2 1

 

c d2 2 c2 d2 1

 

a2 1

 

b2 1

 

c2 1

 

d2 1



           



a2 1

 

b2 1

 

c2 1

 

d2 1



2012

    

Suy ra

0,5
4

S

N

2

N

1

I

O

2

O

1

M

2

M

1

O

Q

P

A'

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1 2,0 điểm

1. 1 2. 2

AM AN AM AN AI  AN N1 2 AM M2 1+) Ta có đồng dạng với

0,5

    0

1 2 2 1 1 1 2 2 1 180

AN N AM M  M N N AM M  M N N M1 1 2 2suy ra hay tứ giác

nội tiếp. 0,5

 

1 2 2 1

AN N AM M  1

1
2 AOM


AOM O 



1
1

180

AOM

M AO 

+) Ta có và tam

giác cân tại nên 0,5

  0

1 2 1 90 1 2.

AN N M AO  OAN N Do đó ta được 0,5

2 1,0 điểm

S PM1QM2Gọi là giao điểm của và .

2 2

, ,

O O M O I2 OP  IO M2 2 POM 2 O IM2 2 O2OPM2 OO IM2 2 OPM 2

, ,

P I M Q I M, , 1Ta có thẳng hàng và song song với (1). Mặt khác tam giác
cân tại , tam giác cân tại và kết hợp với (1) ta được suy ra thẳng hàng. Tương
tự ta có thẳng hàng.

0,5

PQ

 

O   0

1 2 90

PM Q PM Q  Do là đường kính của đường trịn suy ra 
I

 SPQ AI S AI PM QM, 1, 2 là trực tâm của tam giác suy ra đi qua hay ba

đường thẳng đồng quy.

0,5

5 1,0 điểm

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

thành một tam giác cân.

Do đó khi tơ 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra hai khả
năng sau:

+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có
màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân.

+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng

màu và tạo thành một tam giác cân.

Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh
được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu.

</div>

De Toan HSG tinh Vinh phuc 2012 co dap an

 





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



 

 

 



  



 

 

  



  



 

 

 

 





 

 

 

 





 













 

 

 

























































<sub></sub>

<sub></sub>













