De thi HSG Toan 678

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.96 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trêng THCS

Động Đạt I

Tæ KH Tù nhiên

---***--- thi HC SINH GII CP TRNG
mụn toỏn lp 6

Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1

(4 điểm)

:

a) Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố. Chứng tỏ rằng: 8p+1 là hợp số.

b) Chứng tỏ rằng: A=3+3

+3

+

+3

chia hết cho 13.

Bài 2

(6 điểm)

: So sánh:

a) 5

vµ 124

;

b)

23. 3535 2323

A= ; B=

35.2323 2322

và

3535
C=

3534

.

Bài 3

(4 điểm)

:

a) Tìm số tự nhiªn a sao cho a+7 chia hÕt cho a+1.

b) Chøng tá r»ng:

1 1 1 1

A= ... 1

1.2 2.3 3.4   50.51

.

Bài 4

(4 điểm)

: Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng. Cứ qua

hai điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Hỏi vẽ đợc tất cả bao nhiêu đờng thẳng

từ 2012 điểm đó?

Bài 5

(2 điểm)

: Không quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số

nguyªn x biÕt r»ng:





2009 2010 2011

. 2012 3 6036

2010 2011 2009 x x

 

   

.

---

Hết

---Họ và tên:

Lớp

: . . . .

Đáp án và biểu điểm chấm đề thi H C SINH GI I C P

Ọ

Ỏ

Ấ

TR

ƯỜ

NG mụn Toỏn 6

Bài ý Đáp án Biểu điểm

1 a Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố. Chứng tỏ rằng: 8p+1 là

hợp số. 2điểm

Vì p, 8p-1 là các số nguyên tố nên p3.
Với p=3 thì 8p+1=8.3+1=25 là hợp sè

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Víi p>3, xÐt tÝch A=(8p-1)8p(8p+1) 3

8p+13 mµ 8p+1>3 nên 8p +1 là hợp số.

0,5đ
0,5đ
b Chứng tỏ rằng: A=3+32+33+…+399 chia hÕt cho 13. 2®iĨm

A=3+32+33+…+399=(3+32+33)+(34+35+36)+…+(397+398+399)

=3(1+3+32)+34(1+3+32)+…+397(1+3+32)

=3.13+34.13+…+397.13

A13

0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
2 a So sánh:

5

30

và 124

10 2điểm

Ta có : 530=53.10=1253

Mà 125>124
Nên 1253>12410

Hay 530>12410

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b

So sánh:

23. 3535 2323

A= ; B=

35.2323 2322

và

3535
C=

3534

4điểm

Ta có : A=

23.35.101
1
35.23.101 ;

2323 2322 1 1

1 1

2322 2322 2322



   

3535 3534 1 1

1 1

3534 3534 3534

Vì 2322<3534 nên

1 1

23223534B>C>1

Vậy A<B<C.

1,0đ
1,0đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ

3 a Tìm số tự nhiên a sao cho a+7 chia hÕt cho a+1 2®iĨm

a+7 =(a+1)+6a+16a+1

Do a  nên a+1 , bởi vậy a+1 phải là các ớc nguyên
d-ơng của 6.

Mà các ớc nguyên dơng của 6 là : {1;2;3;6}
Nên a+1=1a=0, . . .

Vậy a

0;1;2;5

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

3 b

Chøng tá r»ng

:

1 1 1 1

A= ... 1

1.2 2.3 3.4   50.51

.

2®iĨm

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A= ... ...

1.2 2.3 3.4   50.51 1 2 2 3 3 4       50 51

1 50

A=1- 1

51 51 

1,0đ
1.0đ
4 Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng. Cứ

qua hai điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Hỏi vẽ đợc tất cả
bao nhiêu đờng thẳng từ 2012 điểm đó?

4®iĨm

Chia các điểm đã cho thành 2 nhóm: Nhóm thứ nhất gồm 12
điểm thẳng hàng, nhóm thứ 2 gồm 2000 điểm cịn lại trong đó
khơng có 3 điểm nào thẳng hàng.

Qua các điểm ở nhóm thứ nhất vẽ đợc chỉ 1 đt

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Qua 2000 điểm ở nhóm thứ 2 vẽ đợc

2000.1999

1999000

2  ®t

Vẽ các đt đi qua 1điểm của nhóm 1 với 1 điểm của nhóm 2 ta
đợc 12.2000=24000đt

Vậy vẽ đợc tất cả là: 1+1999000+24000=2023001đt.

1,0đ
1,0đ
0,5đ
5 Không quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số

nguyªn x biÕt r»ng:





2009 2010 2011

. 2012 3 6036

2010 2011 2009 x x

 

  

.

2điểm

Đặt A=

2009 2010 2011 1 1 2

1 1 1

2010 2011 2009    2010  2011  2009

=

1 1 1 1

2009 2010 2009 2011

   

    

   

A>3 hay A-3>0

Do đó: A(x-2012)>3(x-2012)(A-3)(x-2012)>0
x-2012>0

x>2012.

Vậy các số nguyên cần tìm là các số nguyên2013.

0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ

0,25đ
0,25đ

Trờng THCS

NG T I

Tổ KH Tự nhiªn

---***---đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
mơn tốn lớp 7

Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1

(4 điểm)

:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 sè: 2

n+2

-1 vµ 2

+1

cã mét vµ chØ một số chia hết cho 3.

Bài 2

(3 điểm)

:

T×m x, y, z biÕt:

1 1 2

x y z

x y z

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Tính giá trị của biÓu thøc: A=

1 1 1 1

...

2 3 4 2012

2011 2010 2009 1

...

1 2 3 2012

   

.

b) Chøng minh r»ng:

1 1 1 1

3 1 ... 6

2 3 4 63

     

.

Bài 4

(4 điểm)

: Cho tam giác đều ABC, các đờng cao AH, BK cắt nhau tại

điểm G. Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG, AH, BC lần lợt tại

các điểm M, N, P. Chứng minh rng: KM=NP.

Bài 5

(3 điểm)

:

a) Tìm một nghiƯm cđa ®a thøc P(x)=x

+ax

+bx+c. BiÕt r»ng ®a thøc

cã nghiƯm và

1
a+2b+4c=

-2

.

b) Tìm các giá trị x, y thỏa m·n:





2012
2011

2x 25  3y5 0

---

HÕt

---Hä vµ tªn:

………

Líp

: . . . .

Đáp án và biểu điểm chấm đề thI H C SINH GI I C P

TR

NG mụn Toỏn 7

Bài ý Đáp án Biểu

điểm

1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 số:

2n+2-1 và 2n+1 có một và chØ mét sè chia hÕt cho 3. 4®iĨm

XÐt tỉng cđa 2 sè: (2n+2-1)+(2n+1)= 2n+2+2n=2n(22+1)=5.2n

kh«ng chia hÕt cho 3   n

cả hai số 2n+2-1và 2n+1không thể cùng chia hết cho3(1)

Xét tÝch (2n+2-1).(2n+1)=4n+3.2n-1

Ta cã: 41(mod3) 4n+11(mod3) 4n+1-10 (mod3)

3.2n0(mod3)

VËy (2n+2-1).(2n+1) chia hết cho 3 n (2)

Đpcm.

1,5đ
0,5đ

1,5đ
0,5đ
2

Tìm x, y, z biÕt: 1 1 2

x y z

x y z
z y  x z  x y    

(víi x, y, z ≠0).

3®iĨm

Tõ 1 1 2

x y z

z y  x z  x y 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



1 1 2 2( ) 2

x y z x y z

z y x z x y x y z

 

   

       

nªn: x+y+z=1/2.

Từ đó ta có : x+y=1/2-z; x+z=1/2-y; y+z=1/2-x

Thay vào ta tìm đợc x=y=1/2 ; z=-1/2.

1,0đ
1,0đ

3 a

Tính giá trị của biểu thức: A=

1 1 1 1

...

2 3 4 2012

2011 2010 2009 1

...

1 2 3 2012

   

2®iĨm

Ta cã:

2011 2010 2009 1

...

1  2  3  2012

2010 2009 2008 1 2012

1 1 1 ... 1

2 3 4 2011 2012

       

         

       

2012 2012 2012 2012

...

2 3 4 2012

    

1 1 1 1

2012. ...

2 3 4 2012

 

      

 

Khi đó ta có: A=

1 1 1 1

... 1

2 3 4 2012

1 1 1 1 2012

2012. ...

2 3 4 2012

   

 
   
 
 
0,5®

0,5®
0,5®
0,5®
b

Chøng minh r»ng:

1 1 1 1

3 1 ... 6

2 3 4 63

 

.

4điểm

Đặt S=

1 1 1 1

1 ...

2 3 4 63

   

Ta cã: S=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 6 7 8 9 10 16

       

           

       

       

1 1 1 1 1 1 1

... ...

17 18 32 33 34 64 64

   

         

    >

1 1 1 1 1 1 1

.2 .2 .4 .8 .16 .32

2 4 8 16 32 64  64=

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 64

     
=3
31
3
64 
L¹i cã:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

S=1+ ...

2 3 4 5 6 7 8 9 15

     

         

     

     

1 1 1 1 1 1

... ...

16 17 31 32 33 63

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

<1+

1 1 1 1 1

.2 .4 .8 .16 .32 1 1 1 1 1 1 6

2 4 8 16 32       

VËy suy ra ®pcm.

4 Cho tam giác đều ABC, các đờng cao AH, BK cắt nhau tại
điểm G. Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG,
AH, BC lần lợt tại các điểm M, N, P. Chng minh rng:
KM=NP.

4điểm

0,5đ

Ta thấy CG là tia phân giác cđa gãc C ACG 30  0

Vì K, H là trung điểm của AC, BC nên KH//AB và ΔCHK đều.

HKB 90  0 600 300

Do KP là phân giác của HKB nên: BKP 15  0, từ đó CKP 75  0.
Ta có MCK 30  0,CKP 75  0KMC 75  0nên ΔCMK cân tại C

CK=CM.

Ta cã AK=CM(=CK) ;KAN MCP ( 30 )   0 ;
  0

AKN CMP ( 105 ) 

VËy ΔAKN=ΔCMP(g.cg)

KN=MP hay KM+MN=MN+NP

Từ ú suy ra: KM=NP. pcm.

0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

5 a Tìm một nghiệm của ®a thøc P(x)=x3+ax2+bx+c. BiÕt r»ng
®a thøc cã nghiƯm vµ

1
a+2b+4c=

-2

1điểm

Ta có giả thiết:

1
a+2b+4c=

-2
1

+a+2b+4c=0
2

Chia c hai v ca đẳng thức trên cho 4 ta đợc:

1 1 1

+ a+ b+c=0

8 4 2

3 2

1 1 1 1

0 ( ) 0

2 2 a 2b c P 2

   

         
  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Vậy x=

2chính là một nghiệm của đa thức.

Tìm các giá trị x, y thỏa mÃn:



2012
2011

2x 25  3y5 0 2®iĨm

Ta cã :





2012
2011

2x 25  0 x; 3y5  0 y

Nªn : 2x-25=0 và 3y+5=0

x=12,5 và y=-5/3

1,0đ
0,5đ
0,5đ

Trờng THCS

ng t I

Tổ KH Tù nhiªn

---***---đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
mơn tốn lp 8

Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1

(6 điểm)

:

a) Cho m là một số nguyên dơng. HÃy tìm các chữ số x và y (x0) sao

cho số

A=xy5 100m(m+5)

là số chính phơng.

b) Cho a+b+c=0 và a

+b

+c

=14.Tính giá trị của biểu thức B=a

+b

+c

Bài 2

(3 điểm)

: Cho biÓu thøc A=

4 2

2 1

x x x

x

  


Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

Bài 3

(4 điểm)

: Một bể có hai vịi nớc. Một vịi lấy nớc vào có vận tốc gấp ba

lần vịi tháo nớc ra. Nếu ta mở cả hai vịi khi bể khơng có nớc thì sau 2 giờ

bể đầy. Hỏi vịi tháo nớc ra đặt ở độ cao bao nhiêu so với độ cao của bể biết

rằng nếu mở một mình vịi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?

Bài 4

(5 điểm)

: Cho hình thoi ABCD có cạnh a và

A 60  0

. Một đờng thẳng

bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N.

a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị khơng đổi.

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD?

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

vịng trịn là một đồng xu màu đen. Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu mu

en t cnh nhau.

---

Hết

---Họ và tên:

Lớp

: . . . .

Đáp án và biểu điểm chấm đề THI H C SINH GI I C P

Ọ

Ỏ

TR

NG mụn Toỏn 8

Bài ý Đáp án Biểu

điểm

1 a Cho m là một số nguyên dơng. HÃy tìm các chữ số x và y
(x0) sao cho số A=xy5 100m(m+5) là số chính phơng.

3điểm

Số A=xy5 100m(m+5) (m nguyên dơng) là số chính phơng
vàchia hết cho 5 nên có dạng: A=(10t+5)2=100t2+100t+25 với t

.

T ú suy ra : 100t2+100t+25=100x+10y+5+100m2+500m (1)

Do đó 10y+5-25 phải chia hết cho 100,

suy ra y=2, thay vào (1) ta đợc t2+t=m2+5m+x (2)

Đặt t=m+v, thay vào (2) ta đợc : (m+v)2+m+v= m2+5m+x

2m(2-v)=v2+v-x. Đẳng thức xảy ra với m bất kỳ khi và chỉ

khi v=2 và x=v2+v=6.

Vậy các chữ phải tìm là : x=6; y=2.

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
b Cho a+b+c=0 vµ a2+b2+c2=14. Tính giá trị của biĨu thøc

B=a4+b4+c4 3®iĨm

Ta cã a2+b2+c2=14( a2+b2+c2)2=142

a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=196

 a4+b4+c4 =196-2(a2b2+a2c2+b2c2)

Lại có: a+b+c=0( a+b+c)2=0

a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0

14+2(ab+bc+ac)=0 (vì a2+b2+c2=14)

ab+bc+ac=-7

(ab+bc+ac)2=49

a2b2+a2c2+b2c2 +2abc(a+b+c)=49

a2b2+a2c2+b2c2=49 (vì a+b+c=0)

Khi ú B=196-2. 49=98

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2

Cho biểu thức A=

4 2

2 1

x x x

x

  


Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta cã: A=







 











2 2 2

4 2

3 3 2

1 1

2 1

1 1 1 1

x x x x

x x

x x x

x x x x x

   

 
  

 

    

=

2 1 1

1 1

x x

x

x x

 

 

  (víi x-1)

Do x ngun nên để A ngun thì x+1 phải là ớc của 1.
Suy ra: x=0; x=-2 (tm)

1,0®
1,0®
1,0®
3 Mét bể có hai vòi nớc. Một vòi lấy nớc vào cã vËn tèc gÊp

ba lần vòi tháo nớc ra. Nếu ta mở cả hai vịi khi bể khơng 
có nớc thì sau 2 giờ bể đầy. Hỏi vịi tháo nớc ra đặt ở độ cao
bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình 
vịi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?

4 ®iiĨm

Trong1h vịi thứ nhất chảy đợc vào bể:

2
3(bĨ)

Vịi thứ hai chảy ra trong 1h đợc:

2
9(bÓ)

Khi mức nớc đã ở trên độ cao đặt vịi chảy ra thì trong 1h hai
vòi mở cùng một lúc đợc :

2 2 4

3 9 9 (bĨ)

Gọi x(h) là thời gian vịi thứ nhất chảy một mình cho đến khi
n-ớc bắt đầu chảy ra đợc. Trong thời gian này vòi thứ nhất chảy
đợc

3x(bĨ).

Sau x giờ đó hai vịi cùng mở trong thời gian là: 2-x (giờ)
Ta có phơng trình:

2 4

(2 ) 1

3x9  x 

Giải đợc x=1/2 giờ.

Vậy độ cao của vòi tháo nớc ra so với độ cao của bể nớc là :

1 3 1

:
2 2 3

0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®

Cho hình thoi ABCD có cạnh a và A 60  0. Một đờng thẳng
bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và
N.

a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi.
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD?

3®iĨm

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

XÐt AMN có BC//AN nên:

MB MC

AB CN (theo ĐL Ta let)

T¬ng tù ta cã:

MC AD
=

CN DN



MB AD

AB DN hay MB. DN=AB.AD

Mà AB=AD =a (do ABCD là hình thoi)

Nờn: MB. DN=AB.AD=a2 có giá trị khơng đổi.

0,5®
0,5®
0,5®
0,5®

ΔABD có AB=AD (gt) ; A 60  0  ΔABD đều

ABD=ADB=60  0  DBM=BDN 120   0(2 gãc kÒ bï) (1)
Theo cmt ta cã MB. DN=a2, BD=a nªn

BM BD

BD DN (2)

Từ (1) và (2) ΔMBD và ΔBDN đồng dạng (c-g-c)

 M =B 1 1

XÐt ΔBMD cã  

1 1

M D 60

(v× DBM 120  0 cmt)

 

1 1

B D 60

  

1 1

B D BKD 180

(§L tỉng 3 gãc của tam giác)

BKD 120 0

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

5 Trờn mt vũng tròn ngời ta đặt 20 đồng xu màu trắng và
một đồng xu màu đen. Biết rằng đối diện với một đồng xu
màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen.
Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.

2®iĨm

Giả sử khơng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau(1) thì
khơng có hai đồng xu trắng đặt cạnh nhau, do đó các đồng xu
trắng phải xếp xen kẽ nên cũng có 20 đồng xu màu đen.
Xét hai đồng xu trắng đen đối diện nhau trên vòng tròn, đồng
xu trắng đợc đánh số 1, đồng xu đen đối diện đánh số 21. Do
các đồng xu trắng đen xếp xen kẽ nên các đồng xu đen mang
số 2, 4, 6, …, 20 lại xảy ra hai đồng xu đen số 20 và số 21 cạnh
nhau, điều này trái với (1). Vậy phải tồn tại hai đồng xu màu
đen đặt cạnh nhau.

0,5®

</div>

De thi HSG Toan 678

<b>Trêng THCS </b>

<b>Động Đạt I</b>

Tæ KH Tù nhiên

<b>Năm học: 2011-2012</b>

Thời gian: 120 phút.

<b>Bài 1</b>

(4 điểm)

:

a) Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố. Chứng tỏ rằng: 8p+1 là hợp số.

b) Chứng tỏ rằng: A=3+3

<sub>+3</sub>

<sub>+</sub>

<sub>+3</sub>

<sub> chia hết cho 13.</sub>

<b>Bài 2</b>

(6 điểm)

: So sánh:

a) 5

<sub> vµ 124</sub>

<sub>;</sub>

b)

<sub> và </sub>

<sub>.</sub>

<b>Bài 3</b>

(4 điểm)

:

a) Tìm số tự nhiªn a sao cho a+7 chia hÕt cho a+1.

b) Chøng tá r»ng:

<sub>.</sub>

<b>Bài 4</b>

(4 điểm)

: Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng. Cứ qua

hai điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Hỏi vẽ đợc tất cả bao nhiêu đờng thẳng

từ 2012 điểm đó?

<b>Bài 5</b>

(2 điểm)

: Không quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số

nguyªn x biÕt r»ng:





<sub>.</sub>

---

<i>Hết</i>

---Họ và tên:

Lớp

: . . . .

<b>Đáp án và biểu điểm chấm đề thi H C SINH GI I C P</b>

<b>Ọ</b>

<b>Ỏ</b>

<b>Ấ</b>

<b>TR</b>

<b>ƯỜ</b>

<b>NG mụn Toỏn 6</b>

<b>5</b>

<b><sub> và 124</sub></b>

<b><sub> và </sub></b>

:

<sub>.</sub>





<b>Trờng THCS </b>

<b>NG T I</b>

Tổ KH Tự nhiªn

<b>Năm học: 2011-2012</b>

Thời gian: 120 phút.

<b>Bài 1</b>

(4 điểm)

:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 sè: 2

<sub>-1 vµ 2</sub>

<sub>+1 </sub>

cã mét vµ chØ một số chia hết cho 3.

<b>Bài 2</b>

(3 điểm)

:

T×m x, y, z biÕt:

a) Tính giá trị của biÓu thøc: A=

.

b) Chøng minh r»ng: