Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT Thái Bình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (318.36 KB, 5 trang )
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 8/12/2020
Thời gian làm bài :150 phút
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Tên : Trương Quang An. Địa chỉ : Tổ 2, hẽm 70/5 Võ Thị Sáu, phường Chánh Lộ,
Thành Phố Quảng Ngãi, Tỉnh Quảng Ngãi. Điện thoại : 0353276871
Câu 1(3,0 điểm). Cho a
1
3
3
1
3
3 9
a.Chứng minh 9a2 2 3a 3 0
b.Tính S 3 3a2 27a4 16a 8
Câu 2(3,0 điểm). Cho đa thức P( x ) x 4 ax 3 bx 2 cx d
thỏa P(1) 5; P(3) 13; P(5) 29 .Tính T P(4) 21P(6)
Câu 3(3,0 điểm).
a.Giải phương trình (1 2 x ) x 2 1 2 x 2 7 x 1 0
( x y )2 y 2 x 4 y 0
b.Giải hệ phương trình
2
2
y( x y) 2 x 2 x 13 y
Câu 4(2,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dương thỏa
ab 1
bc 1
ca 1
3
a2 b2 c2 (a b c)2 4 .Chứng minh
2
2
( a b ) ( b c ) (c a ) 2
Câu 5(3,0 điểm). Cho hình vng ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC
và DB.Gọi M là trung điểm của AB.Trên đoạn thẳng BC lấy điểm N(N khác B,
NB
Câu 6(3,0 điểm).
Cho ( O;R) và E cố định,biết OE=a(0
vng góc của M trên OE.
a.Chứng minh K cố định khi dây AB thay đổi
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích OAMB theo a và R.
Câu 7(1,0 điểm).
Tìm tất cả các số tự nhiên (m,n ) thỏa mãn: 3m-n2+5n=7
Lời giải
1
1
3
Câu 1(3,0 điểm). Cho a
3
3
3 9
a.Chứng minh 9a2 2 3a 3 0
b.Tính S 3 3a2 27a4 16a 8
Lời giải
Tự giải
Câu 2(3,0 điểm). Cho đa thức P( x ) x 4 ax 3 bx 2 cx d
thỏa P(1) 5; P(3) 13; P(5) 29 .Tính T P(4) 21P(6)
Lời giải
Đặt R(x)=P(x)−( x +4)⇒R(x)=P(x)−( x 2 +4)⇒R(x) là đa thức bậc 4
Ta có: R(1)=0,R(3)=0,R(5)=0. Do
đó, R(x)=(x−1)(x−3)(x−5)(x−m)⇒P(x)=(x−1)(x−3)(x−5)(x−m)+ x 2 +4
Vậy T=P(−4)+21.P(6)=(−5).(−7).(−9).(−4−m)+20+21[5.3.1.(6−m)+40]=4010
Câu 3(3,0 điểm).
a.Giải phương trình (1 2 x ) x 2 1 2 x 2 7 x 1 0
( x y )2 y 2 x 4 y 0
b.Giải hệ phương trình
2
2
y( x y) 2 x 2 x 13 y
Lời giải
2
2( x 2 2 y 2 2 xy x 4 y) 0 (1)
Hệ được viết lại dưới dạng 2
2
3
2
x y 2 xy y 2 x 2 x 13 y (2)
Lấy (1) + (2) ta được y((y−1)(y−5)+2xy+ x 2 +4x)=0
Do đó nếu y=0 thì x=-1 ta được nghiệm (x;y)=(-1;0)
nếu (y−1)(y−5)+2xy+ x 2 +4x=0↔ y 2 +2y(x+2)+ x 2 −4x+5=0
Δ′= ( x 2)2 − x 2 −4x+5=9.Đến đây dễ rồi
Câu 4(2,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dương thỏa
ab 1
bc 1
ca 1
3
a2 b2 c2 (a b c)2 4 .Chứng minh
2
2
( a b ) ( b c ) (c a ) 2
Lời giải
Cách 1:Ta có
ab 1
2ab 2
2ab ab bc ca a2 b2 c 2
(a b)2 2(a b)2
2(a b)2
3
(c a)(c b) 3 3
3.
2
2(a b)2
2 2
Cách 2:Từ giả thiết:
2
a 2 b2 c 2 a b c 4 2 a 2 b2 c 2 ab bc ca .Ta có
2P
2ab 2
a b
2
2bc 2
c b
2
2ac 2
a c
2
2P
2ab a 2 b 2 c 2 ab bc ca
a b
2P
a b
2
2
a c b c
2bc a 2 b 2 c 2 ab bc ca
c b
c b
2
2
a c b a
a c
a b
c b
a c b c a c b a b c b a Q
2P 3
2
2
2
a b
c b
a c
2P Q 3 3 3
2
2
2
2ac a 2 b 2 c 2 ab
a c
b c b a
a c
2
a c b c . a c b a . b c b a 3 3 P 3 .
2
2
2
a b
c b
a c
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a 2 b 2 c 2 a b c 2 4
1
a c b c a c b a b c b a a b c
3
2
2
2
a
b
c
b
a
c
Câu 5(3,0 điểm). Cho hình vng ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC
và DB.Gọi M là trung điểm của AB.Trên đoạn thẳng BC lấy điểm N(N khác B,
NB
Lời giải
Ta có MN//AH => ∠BMN=∠BAH (sole trong) mà ∠BAH=∠AHD (phụ với ∠DAH)
=> ∠BMN=∠AHD kết hợp với∠ADH=∠MBN = 90 độ => ΔBMN đồng dạng
BN MB
AB 2
ΔDHA(g-g) =>
<=> BN.DH=AD.MB=
hay 2.BN.DH= AB 2 . Ta có
2
AD DH
2
2
AB
AB
BN OD
BN.DH=
, OB.OD= OD2 =
=> BN.DH=OB.OD <=>
kết hợp
2
2
ON DH
với ∠OBN=∠ODH=45 độ => ΔBNO đồng dạng ΔDOH (c-g-c) => ∠BON=∠OHD
Mặt khác ∠NOH+∠BON+∠DOH = 180 độ
=> ∠NOH=180độ−∠BON−∠DOH= 180 độ - (∠DOH+∠DHO)
= 180 độ - (180 độ - ∠ODH) = 180 độ - 180 độ + 45 độ = 45 độ=> ∠NOH= 45 độ
Câu 6(3,0 điểm).
Cho ( O;R) và E cố định,biết OE=a(0
vng góc của M trên OE.
a.Chứng minh K cố định khi dây AB thay đổi
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích OAMB theo a và R.
Lời giải
a.Gọi {I}=MO∩AB, dễ dàng c/m dc MO vng tới AB tại I. Xét ΔOIE và ΔOHM
có : ∠MOH chung, ∠OIE=∠OHM = 90 độ => ΔOIE đồng dạng ΔOHM (g-g)
2
IO OH
OI .OM R 2
cố định, O cố định, OH cố định => H cố định
OH
OE OM
EO
a
R2 R2
b) SOAMB AI .OM;OM
; AI R 2 IO2 R 2 a2
IO a
2
R
SOAMB .( R 2 a2 ) .Dấu '=' xảy ra <=> I trùng E
a
Câu 7(1,0 điểm).
Tìm tất cả các số tự nhiên (m,n ) thỏa mãn: 3m-n2+5n=7
=>
Lời giải
Ta có 3 -n +5n=7⇔3(3 -1)=n−1)(n−4).Nhận thấy: n−1≡n−4(mod3)
mà VP≡0(mod3)⟹n−1≡0(mod3)⟹VP≡0(mod9) ⟹ 3m−1−1≡0(mod3)
⟹ 3m−1≡1(mod3)⟹ m−1=0. Với m=1 thì n=1 hoặc n=4
Vậy cặp số tự nhiên thỏa mãn là : (m;n)=(1;1) hoặc (m;n)=(1;4)
m
2
m-1
