tong hop cau kho lop 10 tren toan quoc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (504.77 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO

CÁ

C

BÀ

I TOÁN KHĨ TRONG TUY

Ể

N SINH L

Ớ

P 10 TRÊN

TỒN QU

ỐC TRONG NHIỀU NĂM QUA

LIÊN HỆ :0976978545
Bài 1: (HẢI DƯƠNG)

Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:

3 + 3 + 3 ≤

+ + + + + +

x y z

x x yz y y zx z z xy

HD:

Từ

(

)

2 2

x− yz ≥ ⇔0 x +yz≥2x yz (*) Dấu “=” khi x2 = yz

Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) ≥x(y+ +z) 2x yz

Suy ra 3x+yz≥ x(y+ +z) 2x yz = x ( y + z ) (Áp dụng (*))

x x

x 3x yz x ( x y z )

x 3x yz x y z

+ + ≥ + + ⇒ ≤

+ + + + (1)

Tương tự ta có: y y

y+ 3y+zx ≤ x+ y+ z (2),

z z

z+ 3z+xy ≤ x+ y+ z (3)

Từ (1), (2), (3) ta có x y z 1

x+ 3x+yz +y+ 3y+zx +z+ 3z+xy ≤
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

Bài 2 :(ĐAKLAK )

(

)

(

)

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2
2

, , 4 3 7.

1 1 3 3

4 3 4 4 2. . 2. . 3 3 4 3

4 2 4 2

1 3

2 3 7 7, , ,

2 2

x y z x y z yz x y

x y z yz x y x x y y z z y y

x y z y x y z

+ + − − − ≥ −

 

+ + − − − = − + + − + + − + − −

   

 

= − + −  + −  − ≥ − ∀ ∈

   

Cho lµ ba sè thùc tuú ý. Chøng minh:
Ta cã:

Bài 3: (TỈNH NINH BÌNH)

Cho ba số x, y, z thỏa mãn x, y, z

[

1: 3

]

x + y + z 3

 ∈ −



 =

 . Chứng minh rằng:

2 2 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

HD :
Vì x,y,z∈

[ ]

−1;3

1 3

( 1)( 1)( 1) 0

1 3

(3 )(3 )(3 ) 0

1 3

x

x y z

y

x y z

z

− ≤ ≤

 + + + ≥




⇒ − ≤ ≤ ⇒  −

− − ≥


− ≤ ≤


1 0

2( ) 2

27 9( ) 3( ) 0

xyz xy yz xz x y z

xy yz xz
x y z xy yz xz xyz

+ + + + + + + ≥



⇒ − + + + ⇒ + + ≥ −

+ + − ≥



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2( ) 2 ( ) 2

x y z xy yz xz x y z x y z x y z

⇒ + + + + + ≥ + + − ⇒ + + ≥ + + −

2 2 2 2 2 2 2

3 2 x y z x y z 11

⇒ + ≥ + + ⇒ + + ≤

Cách2:.Khơng giảm tính tổng qt, đặt x = max

{

x,y,z

}

⇒ 3 = x + y + z ≤ 3x nên 1≤ x ≤3

⇒ 2 ( x -1 ) . (x - 3) ≤ 0 (1)

Lại có: x2 + y2 + z2 ≤ x2 + y2 + z2 + 2(y +1) (z+1) = x2 + ( y + z )2 + 2 ( y + z ) + 2
= x2 + ( 3 - x )2 + 2 ( 3- x) + 2 = 2 x2 - 8x + 17 = 2 ( x -1 ) . (x - 3) + 11 (2)

Từ (1) và (2) suy ra x2 + y2 + z2 ≤ 11
Dấu đẳng thức xảy ra x = max

{

x,y,z

}

( x -1 ) . (x - 3) = 0

(y +1) (z+1) = 0 ⇒ Không xảy ra dấu đẳng thức
x + y + z = 3

Bài 4 :(SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH)
Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25

4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 5 2 5 2 5

a b c

Q

b c a

= + +

− − −

HD :
Do a, b, c > 25

4 (*) nên suy ra: 2 a− >5 0, 2 b− >5 0, 2 c− >5 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:

2 5 2

2 5

a

b a

b− + − ≥ (1)

2 5 2

2 5

b

c b

c− + − ≥ (2)

2 5 2

2 5

c

a c

a− + − ≥ (3)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vậy Min Q = 15 ⇔ = = =a b c 25
Bài 5 : (BÌNHĐỊNH)

2
x 2x 2011
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

− +

(với x 0≠ )

HD: * MinA =2010 x = 2011.
2011⇔

* Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)

(

)

− + ≠

 

− ⋅ + ⋅  − ≠

 

 − ⋅ ⋅ + + −

 

 

 −  + ≥ ⇔ ⇔ =

 

 

2
2

x 2x 2011

A = với x 0

1 1 1

= 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (với t = 0)

x x x

1 1 1

= 2011 t 2 t 1

2011 2011 2011

1 2010 2010 1

= 2011 t daáu"=" t = x 2011 ; thoõa x

2011 2011 2011  2011 ≠0

* Vaäy MinA =2010 x = 2011.
2011⇔

* Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9)

(

)

(

)

( )

(

)

− + ≠

⇒ = − + ⇔ − + − =

2
2

2 2 2

x 2x 2011

A = với x 0

A.x x 2x 2011 A 1 x 2x 2011 0 * coi đây là phương trình ẩn x
2011

Từ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1)
2

− ⇔ ⇔

Nếu A 1 0 thì (*) ln là phương trình bậc hai đối với ẩn x.− ≠

x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm.

(

)

⇔ ∆ ≥ ⇔ + − ≥

 

 − − − 

⇔ ≥  ⇔ = = = ≠ 

−

 − 

 

0 1 2011 A 1 0

2010 b 1 1

A dấu "=" (*) có nghiệm kép x = 2010 2011 ; thõa x 0 (2)

2011 a A 1 1

2011
So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trị nhỏ nhất của A mà:
Bài 6:( THANH HÓA)

Cho các số dương x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức >2

+
+
+
+

+ x y

z
z

x
y
z

y
x

HD :Áp dụng BĐT Cosi ta có :

x
x

z
y
x
x

z
y
z

y + + +

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

z

y
x
y
z
x
y
y
z
y
x
y
z
x
y
z
x
+
+
≥
+
=>
+
+
=
+
+
≤
+ 2
2
2

1
1
.
z
y
x
z
x
y
z
z
z
y
x
z
x
y
z
x
y
+
+
≥
+
=>
+
+
=
+
+

≤
+ 2
2
2
1
1
.

Cộng vế với vế ta có : 2( ) =2

+
+
+
+
≥
+
+
+
+

+ x y z

z
y
x
x
y
z
z
x

y
z
y
x

dấu bằng xảy ra

y+ z = x

x+ z = y  x + y + z = 0
y+ x = z

Vì x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra .

=> >2

+
+
+
+

+ y x

z
z
x
y
z
y
x

với mọi x, y , z > 0 (Đpcm )

Bài 7 :( BẮC GIANG)

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn:

(

)

(

)

3 3 2 2 2 2 3 3

3 4 4 0

x +y − xy x +y + x y x+y − x y = .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.

HD: Đặt a = x+y = M; b = xy; 2

a ≥ b Từ giả thiết có:

3 2 2 2 3

3 3 6 4 4

a − ab− a b+ b + ab − b = 2 2

2 2

( 2 )( 2 3 ) 0

2 3 0

a b

a b a ab b b

a ab b b

=


− − + − = ⇔ 

− + − =



+) Nếu a =2b

Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y)2 ≥4xy nên (x+y)2 ≥2(x+y) ⇒M = + ≥x y 2;" "= khi x: = =y 1.

(*)

+) Nếu 2 2

2 3 0

a −ab+ b − b= 2 2 2 2

2 3 0 2 ( 3) 0

a −ab+ b − b= ⇔ b − +a b+a = (1)

Giả sử ∆ =(1) có nghiệm b thoả mãn b

4
a

≤ thì

2 4

a+ ≤ a 2

2 6 0 1 7; ( : 0)

a a a Do a

⇔ − − ≥ ⇔ ≥ + > và

2 2 3

( 3) 8 0 ... ( 3 2 2)( 3 2 2) 0

2 2 1

a+ − a ≥ ⇔ ⇔ + +a a a+ − a ≥ ⇔ ≥a

−

Vậy a ≥ +1 7 (**)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4x2 3x 1 2011
4x

= − + + .

HD: Cách 1: 2 1 2 1 2 1

4 3 2011 4 4 1 2010 (2 1) ( ) 2010

4 4 4

M x x x x x x x

x x x

= − + + = − + + + + = − + + +

Vì 2

(2x−1) ≥0 và x > 0 1 0
4x

⇒ > , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x +

1
4x

1 1

2 . 2. 1

4 2

x
x

≥ = =

 M = 2 1

(2 1) ( ) 2010
4

x x

x

− + + + ≥ 0 + 1 + 2010 = 2011

 M≥ 2011 ; Dấu “=” xảy ra 2

1
2
1

2 1 0 2

1 1 1

4 4 2

0
0 1
2
0
x
x
x

x x x

x
x
x
x
x

 =

 = 

− =
 

 
 = ⇔ = ⇔ =
  
  
>
>
  
  = −

 
>


⇔ x = 1
2

Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x =

1
2
Cách 2:

2 2 2

2
2

1 1 1 1 1

4 3 2011 3 2010

4 4 8 8 4

1 1 1 1

3 2010

2 8 8 4

M x x x x x

x x x

M x x

x x
 
= − + + =  − + + + + + +
 
 
=  −  + + + + +
 

Áp dụng cô si cho ba số

x
x
x
8
1
,
8
1
,

2 ta có

4
3
8
1
.
8
1
.
3
8
1
8
1
3 2

2 + + ≥ =

x
x
x
x
x

x Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2

mà 0
2
1 ≥






 −x Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2

Vậy 2010 2011

4
1
4
3

0+ + + =

≥

M

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M = 1

Bài 9 :( NAM ĐỊNH)

2 1 3 1

   

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

HD :

2 3 2

2
2

1 1 1 1 1 1

3 x 2 x 3 x x 2 x x 1

x x x x x x

1 1 1

3 x 2 x 1 (vì x 1 nên x 0) (2)

x x x

 − <  − ⇔  −  + <  −  + + 

         

         

   

⇔  + <  + +  > − >

   

Đặt x 1 t thì x2 12 t2 2

x x

+ = + = − , ta có (2) ⇔2t2− − > ⇔ −3t 2 0

(

t 2 2t 1

)(

+ >

)

0 (3)
Vì x 1 nên x 1

(

)

2 0 x2 1 2x x 1 2 hay t 2

> − > ⇔ + > ⇔ + > > => (3) đúng . Vậy ta có đpcm

Bài 10:( VĨNH PHÚC)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãnđiều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = ab bc ca

c ab+ + a+bc+ b ca+ .

HD:

Có:

(

)

1 .

a b c+ + = ⇒ = + +c a b c c=ac bc c+ +

⇒ 2

( ) ( )

c+ab=ac bc c+ + +ab=a c b+ +c b c+ = (c+a c)( +b)
⇒

( )( ) 2

a b

ab ab c a c b

c ab c a c b

+ +

= ≤

+ + +

Tương tự: ( )( )

( )( )

a bc a b a c
b ca b c b a

+ = + +

( )( ) 2

b c

bc bc a b a c

a bc a b a c

+ +

⇒ = ≤

+ + +

( )( ) 2

c a

ca ca b c b a

b ca b c b a

+ +

= ≤

+ + +

 P≤

a b b c c a

c+a+c b+ +a b+ +a+c+b c+ +b+a =

a c c b b a

+ + + + +

+ + + = 3

Dấu “=” xảy ra khi 1

3
a= = =b c

Từ đó giá trị lớn nhất của P là 3

2 đạt được khi và chỉ khi

1
3
a= = =b c

Bài 11:( HẢI DƯƠNG)

Cho ba số x y z, , thoả mãn 0<x y z, , ≤1 và x+ + =y z 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A =

2 2 2

(x 1) (y 1) (z 1)

z x y

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

HD:

Do x, y, z ≤ 1đặt a = 1 – x ≥ 0, b = 1- y ≥ 0, c = 1- z ≥ 0 và a + b + c = 1
suy ra z = 1– x + 1- y = a + b, y = 1– x + 1- z = a + c, x = 1- z + 1- y = c + b
Khi đó A =

2 2 2

a b c

a+b+b c+ +c a+

Với m, n ≥ 0 thì

(

m− n

)

2 ≥ ⇔ + ≥0 m n 2 mn (*) Dấu “=” khi m = n
Áp dụng (*) ta có:

2 2 2

a a b a a b a a b

2 . a

a b 4 a b 4 a b 4

+ + +

+ ≥ ⇔ + ≥

+ + +

a a b

a b 4

⇔ ≥ −

Tương tự ta có:

b b c

b c 4

+
≥ −

+ ;

c c a

c a 4

+
≥ −
+

Suy ra:

2 2 2

a b c

a+b+b c+ +c a+

a b c
2

+ +

≥ =1

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

3 suy ra x = y = z =
2
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 1

2 khi x = y = z =
2
3

Bài 12:( HƯNG YÊN)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2

4( 1) 3 2 1

y= − x − + +x x− với-1 < x < 1

HD:

(

)

y = −4 x − + +x 1 3 2x−1 với-1< x < 1

(

)

y 4x 4x 1 3 2 1 3

(2 1) 3 2 1 3

9 3

(2 1) 3 2 1

4 4

x

x x

= − − + + − −

= − − + − −

 

= − − − − + −

 

3 3 3

2 1

2 4 4

x

 

= − − −  − ≤ −

 

Vậy ymax =
3
4

−

Khi và chỉ khi 2 1 3
2
x− − = 0
* 5

x= (loại )
* 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cho biểu thức:

(

)(

)

2 2

2 6 12 24 3 18 36

P=xy x− y+ + x − x+ y + y + . Chứng minhP luôn dương
với mọi giá trị x y; ∈

HD:

(

)(

) (

)

P= x −2x y +6y +12 x −2x +3 y +6y 12+

(

)(

) (

)

x 2x y 6y 12 3 y 6y 12

= − + + + + +

(

)(

)

y 6y 12 x 2x 3

= + + − +

(

)

(

)

y 3 3 x 1 2 0 x, y

   

=  + +   − + > ∀ ∈
Vậy P luôn dương với mọi giá trị x, y∈ .
Bài 14: (

PHÚ TH

Ọ)

Cho x, y là các số thực thỏa mãnđiều kiện: x−1−y y = y−1−x x
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 +3xy−2y2 −8y+5

HD :
từ GT ta có x−1− y−1= y y−x x

giả sử x>y>1 thì VT>0; VP<0 vơ lí

giải sử 1<x<y thì VT<0;VP>0 vơ lí suy x= y
Do đó S=2

(

x−2

)

2− ≥ −3 3 dấu “=” xảy ra khi x=2
Vậy minS=-3 khi x=y=2

Bài 15 :( TUYÊN QUANG)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y– 4 = 0 (1)

HD: (1) ⇔(x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y– 4) = 0

⇔(x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0

⇔ (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2)

Vì - (x + y)2 ≤ 0 với mọi x, y nên: (y - 1)(y + 4) ≤ 0 ⇔ -4 ≤ y ≤ 1
Vì y nguyên nên y ∈

{

− − − −4; 3; 2; 1; 0; 1

}

Thay các giá trị nguyên của y vào (2) ta tìmđược các cặp nghiệm nguyên (x; y) của PT đã
cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1).

Bài 16 : (ĐỒNG NAI)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

HD :

(

) (

)

(

)

(

) (

)(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

x
x
x
x
x
x
x
nên
x
x
v́
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
∀
≥
+
−
+
−
⇒
≥
−
+
≥
−
>
+
−
+
=
−
+
+
=

+
−
+
+
−
+
+
=
+
−
+
−
,
0
1
2
2
2
0
1
1
0
1
0
1
1
1
2
1
1

1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
3
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
4
2
3

Bài 17 :( THÁI BÌNH)

Cho a,b,c là các số thực khơng âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

(

) (

)

3 3

a 1 b 1 c 1

− + − + − ≥ −

Câu Nội dung Điểm

Đặt x = a- 1; y = b - 1; z = c– 1

Đ/K x ≥ -1 ; y ≥- 1; z ≥ - 1

⇒ x + y + z = 0

và VT = x3 + y3 +z3 = 3xyz
Câu V(0,5đ): HN

Giải phương trình: 2 1 2 1 1 3 2

(2 2 1)

4 4 2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 5( 2điểm - Sn La)

Tỡm số tự nhiên n biết n+S(n) = 2011, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n.

Câu 5.

Ta có n+S(n) = 2011

+Nếu n là số có 3 chữ số thì S(n) ≤ 27 => n ≥1984 Vơ lí
Gọi n là số có 4 chữ số : abcd

Nên theo đầu bài: abcd+ a + b + c + d = 2011

 1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 2011

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta có 1≤a≤2 vì nếu a ≥3 thì VP > 3003 > 2011 vơ lí

• Với a = 2 => 101b +11c + 2d = 9 vơ lí

• Với a = 1 => 101b +11c + 2d = 1010 nên 8≤b≤9
b = 8 => 11c + 2d = 202 vơ lí => b =9

=> 11c + 2d = 101 => 8≤c≤9

Nếu c = 8 => 2d = 13 vơ lí vì 2d là số chẵn => c = 9 => 2d = 2=>d=1

Vậy số n cần tìm là 1991

Bài 5.(0,5 điểm-Thái Bình)

Cho a, b, clà các sốkhông âmthoả mãn: a + b + c = 1006.
Chứng minh rằng:

2 2 2

2012

(b c) (c a) (a b)

2012a 2012b 2012c 2.

2 2 2 ≤

− − −

+ + + + +

BG:

Ta có:

(

)

(

)

(

)

2 2 2

b c b c b c

2012a 2012a bc 2012a

2 2 2

− + +

+ = + − ≤ + (vì bc≥ 0)

⇒

(

)

(

)

2 2

b c 1006 a

2012a 2012a

2 2

− −

+ ≤ +

⇒

(

)

(

)

2 2

b c 1006 a

2012a

2 2

− +

+ ≤

⇒

(

)

b c 1006 a

2012a

2 2

− +

+ ≤ dấu = xảy ra ⇔ bc 0

a b c 1006

=


 + + =


Tương tự:

(

)

c a 1006 b

2012b

2 2

− +

+ ≤

(

)

c b 1006 c

2012c

2 2

− +

+ ≤ Vậy:

(

)

(

)

(

)

b c c a a b 3.1006 a b c

2012a 2012b 2012c

2 2 2 2

− − − + + +

+ + + + + ≤

⇒

(

)

(

)

(

)

2 2 2

b c c a a b 4.1006

2012a 2012b 2012c 2012 2

2 2 2 2

− − −

+ + + + + ≤ =

Dấu = xảy ra⇔ a b c 1006

ab bc ca 0

+ + =


 = = =


(Khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1006 và hai số bằng 0).

Bài 5: (1,0 điểm- BìnhĐịnh)

2
2
x 2x 2011
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

− +

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)

(

)

− + ≠

 

− ⋅ + ⋅  − ≠

 

 − ⋅ ⋅ + + −

 

 

 −  + ≥ ⇔ ⇔ =

 

 

2
2

x 2x 2011

A = với x 0

1 1 1

= 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (với t = 0)

x x x

1 1 1

= 2011 t 2 t 1

2011 2011 2011

1 2010 2010 1

= 2011 t daáu"=" t = x 2011 ; tho

2011 2011 2011 2011

 ≠ 

 

 õa x 0

* Vaäy MinA =2010 x = 2011.
2011⇔

*Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9)

(

)

(

)

( )

(

)

2
2

2 2

x 2x 2011

A = với x 0

A.x x 2x 2011

A 1 x 2x 2011 0 * coi đây là phương trình ẩn x

− + ≠

⇒ = − +

⇔ − + − =

2011
Từ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1)

− ⇔ ⇔

Nếu A 1 0 thì (*) ln là phương trình bậc hai đối với ẩn x.− ≠

x toàn tại khi phương trình (*) có nghiệm.

(

)

1 2011 A 1 0

2010 b 1 1

A daáu "=" (*) có nghiệm kép x = 2010 2011 ; thõa x 0 (2)

2011 a A 1 1

2011

⇔ ∆ ≥

⇔ + − ≥

 

 − − − 

⇔ ≥  ⇔ = = = ≠ 

−

 − 

 

So saùnh (1) và (2) thì1 không phải là giá trị nhỏ nhất của A mà:
* MinA =2010 x = 2011.

2011⇔

NĂM HỌC 2009-2010
Bài 5: (1,25đ) Huế

Một cái phễu có hình trên dạng hình nón đỉnh S, bán kính đáy R =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 5: Hà Tĩnh

Các số a,b,c∈

[ ]

−1;4 thoả mãnđiều kiện a+2b+3c≤4

chứng minh bất đẳng thức: a2 +2b2 +3c2 ≤36

Đẳng thức xảy ra khi no?

Bài 5: Do -1a,b,c4
Nên a +1≥ 0
a - 4 ≤ 0

Suy ra: (a+1)( a -4) ≤ 0 ⇒ a2 ≤3.a +4

Tương tự ta có b2 ≤ 3b +4

⇒ 2.b2 ≤ 6 b + 8

3.c2 ≤ 9c +12

Suy ra: a2+2.b2+3.c2 ≤3.a +4+6 b + 8+9c +12

a2+2.b2+3.c2≤ 36

(v× a +2b+3c ≤ 4).
Câu 5: (1,0 điểm) BÌNHĐỊNH

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

HD:
Bài 5 :

2 2 2

1 1 1

a a ab ab ab

a

b b b

+ −

= = −

+ + + tương tự với 2 phân thức còn lại suy ra

2 2 2

2 2 2 ( 2 2 2)

1 1 1 1 1 1

a b c ab bc ca

a b c

b + c + a = + + − b + c + a ≥

+ + + + + +

2 2 2

3 ( )

2 2 2

ab bc ca

b c c

− + +

Ta có 2

(a b c+ + ) ≥3(ab bc ca+ + ) , thay vào trên có

2 2 2

1 1 1

a b c

b + c + a ≥

+ + + 3 – 9/6 => điều phải chứng minh , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi a = b = c = 1

Bài 5: (1,0điểm) BÌNHĐỊNH

Với mỗi số k nguyên dương, đặt Sk = ( 2 + 1)
k

+ ( 2 - 1)k

Chứng minh rằng: Sm+n + Sm- n = Sm.Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n.

Bài 5 (1,5điểm)NAMĐỊNH

1) Giải hệ phương trình:

2 2 2

2 0

( 1) 1

x y xy

x y x y xy

+ − =




+ − = − +



2) Chứng minh rằng với mọi x ta ln có: (2x+1) x2 − + >x 1 (2x−1) x2+ +x 1

Bµi 5:

a)1) Giải hệ phương trình:

(

)

2
2 2

2 0(1)

1 1(2)
x y xy

x y x y xy

+ − =




+ − = − +



(1) <=> x + y =2xy thay vào (2) ta được : 2xy - x2y2 =

<=>xy(2-xy) =
Đặt t =xy(2-xy) ĐK: 2 t 0

=> t = <=> t2 = 2 - t => tìm được t => tìm được xy => thay vào (1) tìm được x+y =>

x = y =1

(

2x+1

)

x2 −x+1>

(

2x−1

)

x2+x+1(I) Lập luận cho 2 biểu thức dưới dấu căn luôn dương với
mọi x(Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức thứ 1 và 2)

Nhân 2 v ca I ln lt vi v

ta được 2 B§T : (2x+1)(x2-x+1) > (2x-1) (II)

(2x+1) >(2x-1)(x2+x+1) (III)

Céng tõng vÕ cđa II vµ III vµ khai triĨn rót gän ta được: > x2-1

TH1: vi 1 x -1 => VT > 0 , VP <0 BĐT luôn đúng

TH2:với x>1 , x< -1 => 2 vế khơng âm bình phương 2 vế ta được
x4+x2+1> x4-2x2 +1 <=>x2> -2x2 luôn đúng với mọi x>1 , x< -1

VËy víi mäi x ta lu«n cã:

(

2x+1

)

x2 −x+1>

(

2x−1

)

x2 +x+1

2 2

x y − xy+
( 2) 2
xy xy− +
2 t−

x − +x x2+ +x 1

4 2

+ +

x x

4 2

+ +

x x

1
x + +x

≥ ≥

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 4 :(1điểm) HẢI PHÒNG

Cho 361 số tự nhiên a , a , a ,..., a1 2 3 361 thoả mãnđiều kiện

1 2 3 361

1 1 1 1

... 37

a + a + a + + a =

Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.

Câu 7(2 điểm):TPHCM

Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2.

Câu 7: Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2.
Ta có: a3 + b3 > 0 ⇒ a3 >–b3⇒ a >– b⇒ a + b > 0 (1)

(a– b)2(a + b)≥ 0⇒ (a2– b2)(a– b)≥ 0⇒ a3 + b3– ab(a + b)≥ 0

⇒ a3 + b3≥ ab(a + b)⇒ 3(a3 + b3)≥ 3ab(a + b)

⇒ 4(a3 + b3)≥ (a + b)3⇒ 8≥ (a + b)3⇒ a + b≤ 2 (2)
Từ (1) và (2)⇒ 0 < a + b ≤ 2.

Bài 5(0,5 điểm) THÁI BÌNH

Giải phương trình: 2 1 2 1 1



3 2



2 2 1

4 4 2

x   x   x x   x x
Bài 5: ĐK : 2x3+ x2 + 2x + 1≥ 0

( x2 + 1) ( 2x + 1)
0

≥

Mµ x2+ 1 > 0 vËy x 1
2

−

≥ .

Ta cã vÕ tr¸i =

2 1 1 2 1 1 2 1 1

4 2 4 2 4 2

x − + x+  = x − + + =x x − + +x

  ( v× x

1
2

−

≥ )

Bài 5.(0,5 điểm)THÁI BÌNH

Giải phương trình: 1 1 3 1 1

x 2x 3 4x 3 5x 6

 

+ =  + 

−  − − .

Bài 5 (1,0 điểm) THANH HÓA
Cho số thực m, n, p thỏa mãn :

2 2 3

1
2
m
n +np+p = − .

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p.
Bài 4. ( 1,5 điểm )ĐÀ NẲNG

Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm3. Sau đó người ta rót
nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ cịn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước
cịn lại trong ly.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

và đi qua D . Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này . Chứng minh rằng điểm E
nằm trên đường tròn (O)

Câu V : (1 điểm) HẢIDƯƠNG

Cho x, y thỏa mãn: x 2 y+ − =3 y 2 x+ − 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x= 2 +2xy 2y− 2 +2y 10+ .
Câu IV: (1đ)

Từ x, y thoả mãn : x+ −2 y3 = y+ −2 x3. Điều kiện x ≥ -2 ; y ≥ -2
+ Nêú x > y thì x+ >2 y+2 và x3 > y3 ⇒ - y3 > - x3

⇒ 3 3

2 2

x+ − y > y+ −x ( Mâu thuẫn) . Vậy x > y loại
+ Nêú x < y thì x+ <2 y+2 và x3 < y3 ⇒ - y3 < - x3

⇒ 3 3

2 2

x+ − y < y+ −x ( Mâu thuẫn) . Vậy x < y loại
+ Nếu x = y thì x+ =2 y+2 và x3 = y3 ⇒ - y3 = - x3

⇒ 3 3

2 2

x+ − y = y+ −x thoả mãn.
Vậy x = y thì x+ −2 y3 = y+ −2 x3

Thay y = x vào biểu thức B ta được B = x2 + 2x + 10 =

(

x+1

)

2 + ≥9 9
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 9 Khi x + 1 = 0⇔ x = -1⇒ y = -1
Câu 5:(1,0 điểm) HẢI DƯƠNG

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtcủa biểu thức: A = 62 4x

x 1

−
+

Bài 5: HÀ GIANG (1,0điểm) Tính giá trị biểu thức:
P = 2 0 2 0 2 0 2 0

sin 15 +sin 25 +sin 65 +sin 75
Bài 5:(1 điểm) BÌNH THUẬN

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có chiều cao h = 12 cm và bán kính
đường trịnđáy r = 9 cm.

Câu 5: (1đ) Long An

Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: 1 1 1

2
b+ =c

Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2)

Câu 7: (0,5điểm) BẮC NINHCho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lợt là bán kínhđờng trịn
ngoại tiếp tam giác ABD, ABC, a làđộ dài cạnh của hình thoi. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 4

R +r = a
Câu VI:(0,5 điểm) BẮC GIANG

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz - 16 0
x+ +y z =

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Câu VI:(0,5 điểm) BẮC GIANG

Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy +y2- x2y2 = 0
Bài 5:(1,0 điểm) ĐĂK LĂK

Gọi x , x1 2 là hai nghiệm của phương trình: x2+2(m 1)x+ +2m2 +9m+ =7 0

(m là tham số).

Chứng minh rằng : 1 2

1 2
7(x x )

x x 18

+ − ≤

Bài 5:(1,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

Cho x, y >0 và x+ ≤y 1Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 21 2 1

x y xy

= +

+
Bài 5: (1, 0điểm)HƯNG YÊN

Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a2 +

1
4 +
b

a = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2009.

Bài V(0,5 điểm)H NI

Gii phng trỡnh:

2 1 2 1 1 3 2

2 2 1

4 4 2

x   x   x x   x x

* PT⇔ x − + x+  = ( x+ )(x + =) x+ (x + )
2

2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1

4 2 2 2

Vế phải đóng vai trị là căn bậc hai số học của 1 số nên phải có VP≥0
Nhưng do (x2+ >1) 0 ∀ ∈x nên VP≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥0 x 1 0 x −1

2 2

Với điều kiện đó: x+  = + = +x x
2

1 1 1

2 2 2

( )
( )
( )

( )

⇔ − + + = + +

⇔ + + = + +

⇔ + = + +

−

+ = =

⇔ ⇔

=
+ =

 

 

 

 

 

 

   

   

   

 



Thoả mÃn điều kiện

* T x x x x

x x x x

x x x

x x

x
x

P 2 1 1 1 2 1

4 2 2

1 1

2 2 1

4 2

1 1 2 1

2 2

1 0 1

2 2

2 1 1 0

Tập nghiệm: S=

{ }

−1 0;
2

Bài 5 NINH BÌNH 2003-2004

Giải phương trình: x4– 8x2 + x + 12 = 0.
Hướng dẫn:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Câu 4. (1,5 điểm) NINH BÌNH 2004-2005

1. Chứng minh rằng a4 +b4 ≥a b ab3 + 3 vớimọi a, b.

2.Tìm nghiệm nguyêncủa phương trình: (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2.
Hướng dẫn:

Câu 4:
1.

(

)

(

)

4 4 3 3

2 2 2

a b a b ab

a b a ab b 0

+ ≥ +

⇔ − + + ≥

2. (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2

⇔ (xy – 2y)2 + (y2– 2x)2 = 0

y 0
xy 2y 0

x 2

y 2x 0

y 2x

 =

− =

  =

⇔ ⇔

− =

  =



Do đó có các nghiệm: (0; 0); (2; 2); (2; -2)
Câu 5: (1,0 điểm) NINH BÌNH 2005-2006

Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

P 1 1

x y

 

= −  − 

  

Câu 5:

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1

P 1 1 1

x y x y x y

1 1 2 1

P 1

x y xy x y

2
P 1

 

= −  − = − − +

  

 

= − +  + +

 

= +

Ta có: x+y=1 suy ra: x2+y2 +2xy 1 *=

( )

Mặt khác 2xy x≤ 2 +y2 (**)

Từ (*) và (**) suy ra xy 1

≤ Do đó: P 1 2 1 8 9
xy

= + ≥ + = Dấu bằng xảy ra khi x=y=0,5.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9 khi x = y = 0,5

Bài 6: (1,5đ) NINH BÌNH 2006-2007

Tìm x, y nguyên thoả mãn phương trình x + x² + x³ = 4y + 4y²
Bài 6.

x + x² + x³ = 4y + 4y² ⇔(x + 1)(x²+1) = (1 + 2y)² (1)
Đặt (x + 1; x² + 1) = d (d∈ N*)

Ta có x + 1  d ⇒ x² + x d ⇒ (x² + x)– (x² + 1)  d ⇒ x– 1  d

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Từ (2) và (3) ta có d = 1 (4)

(

)(

)

2 2

x 1 m

Tõ (1) vµ (4) (m;n Z)

x 1 n

n x 1 n x 1

Tõ x 1 n n x n x 1 hc

n x 1 n x 1

x 0 4y 4y 0 y 0 hc y = -1

+ =


⇒ ∈

+ =


− = − = −

 

+ = ⇔ − + = ⇔  

+ = + = −

 

⇒ = ⇒ + = ⇒ =

Bài 5: (1 đ) NINH BèNH 2007-2008

Tỡm cỏc s hu tỉ x và y sao cho 12 3− + y 3 = x 3
Bài 5

12 3− + y 3 = x 3 ⇔ x − y = 2− 3

( )

x y *

x y 2 xy 2 3 * *

 >

⇔ 

+ − = −



( )

( )1

(

)

* * ⇔ + − =x y 2 2 xy − 3 ⇒ x y 2+ − =4xy 3 4 3xy+ − ⇒ 3xyhữu tỉ
Đặt 3xy= m với m ∈Q thay vào (1) ta có: x y 2 2 m 3

⇔ + − = −

(

)

3 x

2m 3 0 xy

3 2

x y 2 2m 3 4

3 x y 2 0 x y 2 1

y
2

 =

 

− = =

  

⇔ + − = − ⇒ ⇔ ⇔

+ − =

  + =  =



(vì theo (*) thì x > y)

Câu 5:(1,5 điểm)

1. Cho A= 326 15 3+ + 326 15 3− . Chứng minh rằng A = 4.
2. Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng

3 3 3

x y z

xy yz xz

y + z + x ≥ + + .

3. Tìm a∈ N để phương trình x2– a2x + a + 1 = 0 có nghiệm ngun.
Câu 5: 3) Ta có:

Để phương trình có nghiệm ngun thì delta phải là số chính phương.

Đặt: với k là số nguyên. Kết hợp với điều kiện a là số tự nhiên ta có:
Kiểm tra với a= 2 ta có delta bằng 4 (thỏa mãn)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Mặt khác

Do đó:

Giữa hai số chính phương liên tiếp khơng có số chính phương nào nên khơng là
số chính phương khi a>2.

KL: a = 2.

Bài 5:(1, 0 điểm) HƯNG YÊN 2009-2010

Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a2 +

1
4 +
b

a = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2009.
Bài 5: Từ 2a2 +

4
b

+ 12

a = 4⇔ (ab)
2

= - 8a4 + 16a2– 4 = 4– 8(a4– 2a2 +1)≤ 4
 -2≤ ab ≤ 2

 2007≤ S ≤ 2011

 MinS = 2007 ⇔ ab = -2 và a2 = 1⇔ a = ± 1 , b = 2
Câu 4: (1,0 điểm) HẢI PHÒNG

Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình:

2x2 + 2(m+1)x + m2 +4m +3 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x x1 22x12x2

Bài 5: (1 điểm)BC GIANG

Tỡm nghim nguyờn của phương trình

xy2 + 3y2- x = 108

Câu 5 (1điểm ) HẢI DƯƠNG 2007-2008

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho các điểm A(-1;2), B(2;3)và C(M;0). Tìm m sao cho
chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

Bài 5(0,5đ) HÀ NỘI 2007-2008

Cho đường thẳng y = (m– 1)x + 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng đó
là lớn nhất.

Câu 8(0,5đ) BẮC NINH 2007-2008

Cho phương trình ax2 + bx +c = 0 với các hệ số nguyên. Chứng minh rằng biệt số ∆ không
thể bằng 2006, 2007.

Câu 5(0,5đ) THÁI BÌNH 2007-2008

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Cho phương trìnhẩn x: (x2 + ax + b)(x2 +bx +a) = 0 với a,b khác 0 và

2
1
b
1
a

1 + =
Chứng minh rằng : phương trình trên ln có nghiệm.

Bài 4:(1 điểm) HÀ NỘI 1994-1995
Tìm mđể hệ phương trình sau có nghiệm






−
+
+

=
+
−
−

0
5
2

0
6
)
3
2
(
2
2

m
x
x

x
m
x

Bài 5 ( 1điểm)HẢI DƯƠNG 2006-2007
Tìm mđể giá trị lớn nhất của biểu thức 22

1
x m
x

+ bằng 2

Bài 5 ( 1điểm) HÀ NỘI 2006-2007

Cho hai số dương x, y thỏa mãn x+ y=2. Chứng minh rằng :x y x2 2

(

2+y2

)

≤2
Bài 5(1 điểm) HẢI DƯƠNG 2005-2006

Gọi y1và y2 là hai nghiệm của phương trình y2

+ 3y +1 = 0. Tìm p và q sao cho phương
trình x2

+ px + q = 0 có hai nghiệm là :x1=y
2

1 + 2 y2và x2=y
2

2+ 2 y1

Bài 5:(1 Đ) HẢI DƯƠNG 2005-2006

Gọi x x x x1, 2, 3, 4 là tất cả các nghiệm của phương trình:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 1. Tính: x x x x1 2 3 4
Bài 4 ( 1 điểm) HẢI DƯƠNG 2004-2005

Xác định a, b ,c thỏa mãn 2
3

5 2
3 2

x

x x

− =

− − 2 1 ( 1)2

a b c

x− +x+ + x+

Bài 4( 1điểm) HẢI DƯƠNG 2004-2005
Tính giá trị của biểu thức A = 5 3

4 2

4 3 9

3 11

x x x

x x

− − +

+ + với 2

1
1 4

x
x + +x =

Bài 5 ( 1 điểm) HẢI DƯƠNG 2003-2004
Tìm số nguyên m để m2+ +m 23 là số hữu tỉ.
Bài 5( 1 điểm) HẢI DƯƠNG 2003-2004

Chứng minh rằng (m+2)(m+3)(m+4)(m+5) là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m
Bài 4( 1điểm) HẢI DƯƠNG 2002-2003

Tìm số ngun lớn nhất khơng vượt q ( 7 + 4 3)7

(

7 4 3+

)

7 = +(2 3)14

và áp dụng BĐT

n n n

a b a b

2 2

+ +

  ≤

 

 

Bài 4( 1điểm) HẢI DƯƠNG 2002-2003

Xácđịnh số hữu tỉ a, b, c sao cho : (x + a) (x2

+ bx + c) = x3

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

cmr 5 - 2 là nghiệm của PT: y2

+ 6y +7 = 2

y, từ đó phân tích đa thức: y

+ 6y2

+ 7y– 2
thành nhân t.

Bài 4( 1 điểm)HI DNG 2001-2002

Tỡm cỏc cp s nguyờn (a;b) thỏa mãn phương trình 3 a + 7 b = 3200
Bài 4 ( 1điểm) HẢI DƯƠNG 98-99

Cho a>0 , b > 0 và a + b = 2. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1 42)(1 42)

a b

− −

Bài 4 ( 1điểm) HẢI DƯƠNG 98-99

Cho a ≤1 vàb ≤1,a b+ = 3. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2

1−a + 1−b

Bài 5(1 điểm) HẢI DƯƠNG 95-96

Ch a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh

2 2 2 2 2 2 2

3( )

a +b + b + +c c +a ≤ a b c+ +

Bµi 5. HẢI DƯƠNG 96-97

T×m k lín nhÊt tháa m·n (x2+ x)( x2+ 11x + 30) +7 ≥ k víi mäi x.

Câu 5(0,5đ) VĨNH PHÚC 2003-2004

Cho a, b thỏa mãn

(

a2+ −1 a

)(

b2+ −1 b

)

=1. Tính a+b.

Bài V (1đ) BẮC GIANG 2000
Chứng minh rằng phương trình :

ax2 + bx + c = 0 ( a≠ 0) có nghim nu 2 +4
a
c
a

b

Bài 5 (1đ)) BC GIANG 2001

Chøng minh: 8

24
1
...
3
1
2
1

1+ + + + >

Bµi 5 :BẮC GIANG 2002

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

2x2 + 4x = 19 -3y2

Bài 5 (1 đ) BẮC GIANG 2005
Cho hệ phương trình





+
=
+

=
−
+
+

1
2

1
1

a
y

x

a
y

x

(a là tham số)
Tìm giá trị a nguyên để hệ có nghiệm

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Cho a, b là các số thực thoả mãn





=
−

11
3

2
3

b
a
b

ab
a

Tính giá trị của biểu thức P= a2 + b2
Câu 5 (1đ)đ) BẮC GIANG 2007

Chứng minh rằng :

2
2005
2006

1
.

.
.
3
4

1
2

3
1
2

<
+

+
+

Câu 5 (1đ) BẮC GIANG 2008

Cho tam giác ABC có a, b, c và x, y, z lần lượt có độ dài các cạnh BC, CA, AB và các đường
phân giác của góc A, B, C.

Chứng minh :

c
b
a
z
y
x

1
1
1
1

1+ + > + +

Câu 4:(1điểm) BẮC NINH

Tìm x; y nguyên dương để biểu thức (x2- 2) chia hết cho biểu thức (xy + 2).
Page: 23

đáp án cho câu 4:

Tõ x2– 2 chia hÕt cho xy +2 suy ra, y(x2– 2) chia hÕt cho xy+2,=> x(xy+2)-2(x+y) chia hÕt

cho xy+2 =>2(x+y) chia hết cho xy+2
Đặt 2(x+y)= k(xy+2);

vi k=1 => 2(x+y)=xy+2 => (x-2)(y-2)=2 =>(x,y)=(3,4) hoặc(4,3);
với k>=1 thì x+y>= xy+2  (x-1)(y-1)+1<=0 , PT ko có nghiệm dương
Câu 4:(1điểm) BẮC NINH

Cho 5<x10 và x+ 10x =k. Tính giá trị của biểu thức:

5
10

5 2

x

x
x

A theo k.

Câu 5 ( 1 điểm): BC NINH 2007

tìm giá trị của x, y thoả mÃn x2 + xy +y2 =3(x+y-1)

Câu 5 (1 điểm): BC NINH 2008

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác vi a<=b<=c.
Chng minh (a+b+c)2 <=9bc.

Bài 5 (1đ)

Tìm giá trị của m để phương trình x− 1−x2 =m có nghiệm duy nhất.

Bài 5: ( 1 điểm ) QUẢNG NGÃI 2008

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Chứng minh : 4 30123 4 10043 5 4 40163 2 0

1 1 1

x − + −x x −x + − −x x −x − + − + −x x x x > , ∀ ≠ ±x 1

Bài 5 : (1,0điểm)

Chứng minh : 4 30123 4 10043 5 4 40163 2

1 1 1

x − + −x x −x + − −x x −x − + − + −x x x x > , ∀ ≠ ±x 1

(

)

(

)

(

) (

)(

)

4 3 3 3 2 2

1 1 1 1 1 1 1

x − + − =x x x x− + − = −x x x + = x − x − +x

(

) (

)

(

) (

)(

)

4 3 3 3 2 2

1 1 1 1 1 1 1

x + − − =x x x x+ − + = +x x x − = x − x + +x

(

)

(

) (

)

(

)

5 4 3 2 4 2 4 2

1 1 1 1 1 1

x − + − + − =x x x x x x− +x x− + − = −x x x + +x

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

) (

)

4 3 4 3 5 4 3 2

2 2

2 4 2

2 4 2 4 2

3012 1004 4016

1 1 1

3012 1 1004 1 4016 1

1 1

2008 4014 2008 4016 4016

1 1

2008. 1 2008

1 1 1

x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x x

x

x x x x x

− − =

− + − + − − − + − + −

+ + − − + − +

− + +

+ + − − =

− + +

−

− + + + +

Maø 4 2

1 0

x + + > ∀x x Suy ra : 420082 0

1
x + +x >

Suy ra điều phải chứng minh .

Bài 5(1 điểm):THÁI BÌNH 2000-2001

Cho P(x) = 3x3+ax2+b. Tìm giá trị của a và b để P(2000) = P(-2000) = 0
Bài 5(0,5 điểm): THÁI BÌNH 2003-2004

Tìm các cặp số (x;y) thoả mãn: (x2+1)( x2+ y2) = 4x2y
Câu5: (0,5điểm) THÁI BÌNH 2005-2006

Tìm x, y thoả mãn : 4x− y2 − y+ 2 = 4x2 + y
Bµi5:

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

8 2 1

2 2 5 ( 2 ) 3 ( 2 )

4 4

1 5

5 ( ) 3 ( ) ( )

4 4

x x y y

x x y y x x y y x x y y

x y x y x y

+ +  

+ + = =  + + + − + 

 

=  + + −  ≥ +

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Cho các số dương x, y, z thoả mãn x+y+z =1. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

2x + x y + 2 y + 2 y + y z + 2z + 2z + z x + 2x 5
Bài 5: (0,5 điểm)THI BèNH 2006-2007

Gii bt phương trình: 3

1 3 4 2 1 0

x− + − +x x x ≤ x +
Bµi 5:

{

}

1 3 ( 2 2 ) 2 ( 2)

2 2 ( 1)(3 ) 2 2 2; / 1 3

A x x x x B B

A x x A S x x

⇔ = − + − ≤ − + = ⇒ ≥

= + − − ≤ + ⇒ ≤ ⇒ = ≤ ≤

Bµi 5: (1 ®iĨm) THÁI BÌNH 2007-2008

Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện: x+y = 2. Chứng minh: x2y2(x2+ y2)≤ 2

Câu 5:(1 điểm) VĨNH PHÚC2000-2001

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện : a2 + b2 +c2 = 1
Chứng minh rằng: a + b + c + ab + bc + ca ≤ 1+ 3

---Câu 5:(1 điểm) VĨNH PHÚC 2001-2002

Biết rằng: y2+yz+z2
=1-2
3x2

Chứng minh rằng : − 2≤x+y+z≤ 2
câu 5: (0,75 điểm):VĨNH PHÚC 2004-2005

Cho a, b là các số dương thoả mãn điều kiện a+b=2ab. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu
thức B=

1
2

1
1

2
1

−
+
+
−
+

b
b
a

Câu 5 (0,75 điểm): VĨNH PHÚC 2004-2005
Giả sử

(

a2 +1−a

)(

b2 +1−b

)

Hãy tính tổng của a+b

Câu 5 :VĨNH PHÚC 2007-2008

Giải hệ phương trình :

2 2

(x y) (x y) 3 xy 1

x y x 2y 3

 + − + − = −



 + + + = +


Câu 8: VĨNH PHÚC 2008-2009

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 5:(1,0 điểm) ĐĂC LẮC 2003-2004

Chứng minh rằng : Nếu abc = 1 thì a b c 1

ab+ +a 1+bc+ +b 1+ac+ +c 1=
Bài 4:(1,0 điểm) ) ĐĂC LẮC 2004-2005

Chứng minh rằng : Nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì phương trình :

2 2 2

2 c a c

x 1 x 0

b b b

       

+ +    −    +   =

 

  vô nghiệm .

Bài 4:(1,0 điểm) ) ĐĂC LẮC 2005-2006

Cho a≥0, b≥0, c≥0 và thoả mãn : a+2b+3c=1.

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm :

2 2

4x 4(2a 1)x 4a 192abc 1 0

4x 4(2b 1)x 4b 96abc 1 0

− + + + + =

Bài 5:(1 điểm) ) ĐĂC LẮC 2006-2007

Chứng minh : 4 30123 4 10043 5 4 40163 2 0 , x 1
x −x + −x 1−x +x − −x 1−x −x +x −x + −x 1> ∀ ≠ ±
Bài 5:(1 điểm) ) ĐĂC LẮC 2007-2008

Chứng minh rằng : 1 1 1 ... 2 1 2 1
5+13+25+ +2008 +2009 < 2
Bài 5:(1, 0 điểm)Hưng yên 2008-2009

Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a2 +

1
4 +
b

a = 4(1)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2009.

Lời giải:

Ta có (1) tương đương với; (a-1/a)2+(a+b/2)2– ab – 2 =0

Suy ra: ab = (a-1/a)2+(a+b/2)2– 2 ≥ -2 (vì (a-1/a)2+(a+b/2)2 ≥ 0)
Dấu“=” xảy ra khi và chỉ khi (a=1;b=2) hoặc (a=-1;b=-2)

Suy ra minS = -2 + 2009 =2007 khi và chỉ khi (a=1;b=2) hoặc (a=-1;b=-2)
Bài 5( 0,5 điểm) Vũng Tàu

Cho a + b , 2a và x là các số nguyên. Chứng minh y = ax2 + bx + 2009 nhận giá trị nguyên.

Bài 5:

Vì a+b, 2a ∈Z => 2(a+b)– 2a∈ Z => 2b∈ Z
Do x ∈ Z nên ta có hai trường hợp:

* Nếu x chẵn => x = 2m (m∈ Z) => y = a.4m2 + 2m.b +2009 = (2a).2m2 +(2b).m +2009

∈Z.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Vậy y = ax2 + bx +2009 nhận giá trị nguyên với đk đầu bài.

Câu 5: (1đ) Long An

Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: 1 1 1

2
b+ =c

Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2)

Câu 5: (1đ)

.1 1 1

b+ =c => 2(b+c)=bc(1)

x2+bx+c=0 (1)
Có ∆1=b

-4c
x2+cx+b=0 (2)
Có ∆2=c

-4b

Cộng ∆1+∆2= b2-4c+ c2-4b = b2+ c2-4(b+c)= b2+ c2-2.2(b+c)= b2+ c2-2bc=(b-c)≥ 0.

(thay2(b+c)=bc )

Vậy trong ∆1;∆2có một biểu thức dương hay ít nhất 1 trong hai phương trình x2+bx+c=0 (1)

; x2+cx+b=0 (2) phi cú nghim:

Câu VI:(0,5đ) Bc Giang 2009-2010

Cho cỏc s dương x,y,z thỏa mãn xyz- 16 0
x+ +y z =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(x+y)(x+z)
Câu VI:(0,5đ) xyz= 16

x+ +y z=>x+y+z=
16
xyz

P=(x+y)(x+z)=x2+xz+xy+yz=x(x+y+z)+yz=x. 16

xyz +yz=

16 16

2 . 8

yz yz

yz + yz = (bđt cosi)
Vây GTNN của P=8

Cõu VI(0,5im) Bắc Giang 2009-2010

Tìm các số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức x2+xy+y2-x2y2=0
Câu VI(0,5điểm)

Tìm các số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức x2+xy+y2-x2y2=0
C1:Đưa về phương trình bậc haiẩn x: (y2- 1)x2- yx - y2 = 0.

C2:Đưa về phương trìnhước số:

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 2

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Bài 5(1,0 điểm): Yên Bái 2009-2010
Tính P = x2 + y2 và Q = x2009 +y2009

Biết rằng: x > 0 , y>0 , 1+x+ y = x + xy+ y
Bài 5(1,0 điểm):

Tính P = 2 2

y

x + và Q = 2009 2009

y

x +

Biết rằng: x > 0, y > 0, 1+x+y= x+ xy+ y (1)
* Vì x > 0, y > 0

(1) <=> 2+2x+2y=2 x+2 xy+2 y

<=> 2.( 1)2 +2( x)2 +2( y)2 =2 1. x+2 x. y+2 1. y

* <=>

(

( 1)2 −2 1. x+( x)2

) (

+ ( x)2 −2 x. y +( y)2

) (

+ ( 1)2−2 1. y +( y)2

)

* <=>

(

1− x

) (

2 + x− y

) (

2 + 1− y

)

2 =0

* <=>







=
−

0
1

0
0
1

y
y
x

x

<=>






=
=
=

1
1

y
y

x

hay x= y=1

Vậy P = Q = 2

Bài 5:(1,0 điểm) Thực hành Cao Nguyên

Cho x, y >0 và x+ ≤y 1Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2 1 2 1
xy

x y

= +

+
Bài 5: Với a>0, b>0; Ta có :

2 2 2 2

a +b ≥2 a b =2ab (Bđt Cô si) 2 2 2

a b 2ab 4ab (a b) 4ab

⇒ + + ≥ ⇒ + ≥

(a b)(a b) a b 4 a a 4 1 1 4

4 (*)

ab ab a b ab ab a b a b a b

+ + +

⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + ≥

+ + +

Áp dụng BĐT (*) với a = 2 2

x +y ; b = 2xy ; ta có:

2 2 2 2 2

1 1 4 4

2xy

x +y + ≥ x +y +2xy =(x+y) (1)

Mặt khác : 2

2 2

1 1 1 4

(x y) 4xy

4xy (x y) xy (x y)

+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

+ + (2)

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

A .

xy 2xy 2xy 2xy 2 xy

x y x y x y

   

⇒ = + = + + = + +

+  +   + 

2 2 2 2

4 1 4 4 1 6

. . 1

2 2

(x y) (x y) (x y) (x y)

 

≥ + =  +  = ≥

+ + +   + 6

[Vì x, y >0 và 2

x+ ≤ ⇒ <y 1 0 (x+y) ≤1]
⇒ minA = 6 khi x = y = 1

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Bài 6 : ( 1,0 điểm) . THANH HểA 2000-2001
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

( 1999) ( 2000) ( 2001)

M  x  x  x

Bài 6 : ( 1,0 điểm) . THANH HểA 2001-2002
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

1998
x  y 

Bài 7 (1điểm): THANH HĨA 2002-2003
Giải phương trình. 4 2

2002 2002

x + x + =

Bài 5 ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2003-2004

Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

P

x y

 

    

  

Bài 5 ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2004-2005
Cho 0 < x < 1

a. CMR : x(1-x)≤ 1
4

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2
2

4 1

(1 )
x

x x




Bài 5 ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2005-2006
Cho a, b là số thực với a+b≠ 0

Chứng minh rằng a2 + b2 +

1
2
ab

a b



  

  

 

Bài 7 ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2006-2007
Chứng minh rằng với a > 0 , ta có :

2
2

5( 1) 11

1 2 2

a a



 



Bài 5 ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2007-2008

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Câu 5: (1điểm) THANH HĨA 2008-2009

Tìm nghiệm dương của phương trình:

(

) (

2008

)

2008

2 2 2009

1+ −x x −1 + + +1 x x −1 =2

Câu 4: (1.5điểm) THANH HÓA 1994-1995

Chướng minh với mọi x, y ta có
A=2x2+ 4y2 + 4xy – 2x +1 ≥ 0

Bài 4(1 điểm):YÊN BÁI 2000-2001

Cho phương trình x2 + mx + m− 2 = 0. Tìm mđể phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho

x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4(2 điểm). YÊN BÁI 2001-2002

Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là thương của phép chia 1000 cho tổng các chữ
số của nó.

Bài 5(1 điểm): N BÁI 2002-2003

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chi

Bài 5(1 điểm): YÊN BÁI 2003-2004

Chứng minh rằng nếu số có dạng xyz mà chia hết cho 37 thì các số hạng có dạng yzx cũng
chia hết cho 37 a cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia cho 10 dư 9

Bài 4(1,5 điểm). YÊN BÁI 2004-2005

Cho n là số tự nhiên. Tìm nđể phân số n 18

n 3

+ bằng một số tự nhiên

Bài 5(1 điểm). YÊN BÁI 2005-2006

Chứng minh rằng khơng thể có phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với các hệ số a, b, c là
những số nguyên, có biệt thức Δ = 23

Bài 4(2 điểm): YÊN BÁI 2006-2007

Cho ba số a, b, c biết: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc. Chứng minh: a = b = c.
Bài 4: (1đ) KHÁNH HÒA 1998-1999

Giải hệ phương trình: 4 6 1 0

9 4 1 0

x y

y x

 − + =




− + =



</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Cho P 1
1
x
x

+
=

− . Tìm mọi giá trịnguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

Bài 4: (1đ) KHÁNH HÒA 2004-2005

Cho phương trình bậc hai: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (1). Gọi x1, x2 là hai nghiệm số

của phương trình (1). Tính GTLN và GTNN của biểu thức: T = x1+ +x2 5m

Bài 4: (2đ)KHÁNH HỊA 2006-2007
a) Giải phương trình: 6x4– 7x2– 3 = 0.

b) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức: 2x + 7 x 6

2
B

x x

+
=

+ − nhận được giá trị

ngun.

Bài 5:(1 điểm) KHÁNH HỊA 2007-2008

Biết rằng x, y, z là các số thực tHĨAû mãn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = 6
Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2≥ 3

Câu 5: (1 điểm). BÌNHĐỊNH 2008-2009

Cho -1 <x<1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(

)

4 1 3 2x 1

y= − x − + +x −

Câu 7:(1 điểm)BẮC GIANG 2008-2009

Tìm giá trị lớn nhất của A = (2x – x2)(y– 2y2) với 0 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 1

Câu V: (1 điểm) HẢI DƯƠNG 2008-2009

Cho biểu thức : B = (4x5 + 4x4– 5x3 + 5x– 2)2 + 2008.
Tính giá trị của B khi x = 1. 2 1

2 2 1

−
+

Bài 5 : (1 điểm) QUẢNG NGẢI 2008-2009

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bài 5: (1 điểm) THÁI BÌNH 2007-2008

Cho hai số dương x, y thoả mãnđiều kiện: x+y = 2. Chứng minh: x2y2(x2+ y2)≤ 2
Bài 5(0,5 điểm): ) THÁI BÌNH 2008-2009

Cho x > y và x.y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

x y

A

x y

+
=

−

Bài 4 (1,0điểm) NAM ĐỊNH 2005-2006
Giải phương trình : 9x2 +16

= 2 2x+4

+

4 2−x
Bài 4 (1,0điểm) NAM ĐỊNH 2004-2005

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y =

5
x
2
x

6
x
2
x

2
2

+
+

HDBµi4 : ta cã x2 + 2x +5 =

4
)
1
x

( + 2 + ≥ 2

⇒ (2 x2 +2x+5 - 1)(

5
x
2

x2 + + - 2) ≥ 0

⇒2(x2+2x+5) - 5 x2 +2x +5 + 2 ≥0

⇒

5
x

2
x

6
x
2
x

2
2

+
+

+ ≥

2
5

hay y ≥

2
5

.VËy Miny =
2
5

khi x= -1

Bài 5 (1,0điểm) NAM ĐỊNH 2003-2004

Giải phương trình : x2 −2x −3+ x +2 = x2 +3x +2+ x−3 (1)

HD Bài5: (1)⇔ (x+1)(x−3) + x+2 = (x+1)(x+2)+ x −3 ĐKXĐ:x≥3

⇔( x−1−1).( x −3− x+2) = 0

Bài 5(1điểm) NAM ĐỊNH 2002-2003

Tìm tất cả các cặp số (x ; y) nghiệmđúng phương trình :
( 16x4 + 1)( y4 +1) = 16x2y2

HD Bài 5: ( 16x4 + 1)( y4 +1) = 16x2y2 ⇔16x4y4 +16x4 + y4 +1 -16x2y2 = 0

⇔( 16x4y4- 8 x2y2 + 1 )(16 x4– 8 x2y2 + y4) =0

⇔(4 x2y2– 1)(4x2– y2) = 0

Bài5(1đ): NAM ĐỊNH 2000-2001

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

2
3
1
2
1
+ +

(

n 1

)

n
1
...
3
4
1
+
+

+ < 2

HD Bài5:

(

)

(

)






+
−






+
+
=







+
−
=
+
=

+ n 1

1
n
1
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
.
n
1
n

.
n
1
.
n
n
1
n
1
= 





+
−




+
+
1
n
1
n
1
.
1

n
n

1 . Vì





+
+
1
n
n

1 < 1+1 = 2 nên

(

n 1

)

n
1

+ <2. 





+
−
1
n

1
n
1

(1). Ap dụng BĐT (1) với n = 1;2;3;……;n ta cóđpcm

Bài5(1đ): NAM ĐỊNH 1999-2000
Giải phương trình : x2 +x +12 x +1=36

(1)

HD Bài 5 : ĐK x≥−1 ; (1)⇔ x(x +1)+12 x+1=36.Đặt x+1=t ta có x + 1 = t2 ⇒x=
t2-1

Ta có PT (t2-1)t2 +12t =36⇔t4– (t2-12t +36)=0 ⇔t4-

(

t−6

)

2=0⇔( t2- t + 6)( t2 + t -6)=0

Bµi 4: HÀ NỘI 1994-1995

Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn phương trình sau:

5x- 2 x(2+y)+y2 +1=0

Bµi4: : HÀ NỘI 1995-1996

Xét hai phương trình bậc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = 0.

Tìm hệ thức giữa a,b,c là điều kiện cần và đủ để hai phương trinhg trên có một nghiệm chung duy
nhất.

Bµi4: HÀ NỘI 1996-1997

Cho hai bất phương trình : 3mx -2m>x+1 (1)
m-2x<0 (2)

Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng tập hợp nghiệm

Bµi 5: HÀ NỘI 2005-2006

Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện x+y =2. Chng minh : x2y2(x2+y2)

Bài 5(0,5 điểm): H NI 2006-2007

Tìm GTNN của biểu thức A=(x-1)4+(x-3)4+6(x-1)2(x-3)2
Bài 5: H NI 2007-2008

Cho đường thẳng y = (m-1)x+2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới đường thẳng đó lớn nhất.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Giải phương trình x2 +4x +7 =(x+4)

2 +

</div>