<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

PHẦN I: ĐẠI SỐ
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN

<b>I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH</b>
<i><b>I/ Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:</b></i>

Dạng tổng quát:

ax by c
a 'x b'y c'

 




 

 _{(với a, b, c, a’, b’, c’}



R và a, b; a, b’ không đồng thời bằng 0)

<i><b>II/ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:</b></i>
<b>1) Phương pháp thế:</b>

- Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ một phương trình của hệ rồi thay vào phương trình cịn lại.
- Bước 2: Giải phương trình một ẩn x (hoặc y).

- Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình cịn lại để suy ra giá trị của ẩn còn lại.
- Bước 4: Kết luận.

<b>2) Phương pháp cộng đại số:</b>

<b>Chú ý:Hệ số của cùng một ẩn</b><i><b>bằng thì trừ, đối thì cộng, khác thì nhân.</b></i>
<b>II. HÀM SỐ y=ax2_(a</b>

_

<b>₀₎</b>

<i><b>I/ Tính chất của hàm số y=ax</b><b>2</b><b>_(a</b><b></b></i>

_

<i><b>_0):</b></i>
<b>1/ TXĐ:</b> x



R

<b>2/ Tính chất biến thiên:</b>

* a>0 thì hàm số y=ax2_{đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0.}

* a<0 thì hàm số y=ax2_{đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0.}
<b>3/ Tính chất về giá trị:</b>

* Nếu a>0 thì ymin= 0



x=0 * Nếu a<0 thì ymax= 0



x=0

<i><b>II/ Đồ thị của hàm số y=ax</b><b>2</b><b>_(a</b><b></b></i>

_

<i><b>_0):</b></i>

<b>1/ Đồ thị của hàm số y=ax_(a2</b>

_

<b>_0):</b>

- Đỉnh O(0;0); - Nhận Oy làm trục đối xứng

- Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh Ox; Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh Ox

<b>2/ Các bước vẽ đồ thị của hàm số y=ax2_(a</b>

_

<b>_0):</b>
- Lập bảng giá trị tương ứng:

x - x1 - x2 0 x2 x1

y=ax2 _y

1 y2 0 y2 y1

- Biểu diễn các điểm có tọa độ (x; y) vừa xác định ở trên lên trên mặt phẳng tọa độ.
- Vẽ (P) đi qua các điểm đó.

<i><b>III/ Quan hệ giữa (P): y=ax</b><b>2</b><b>_(a</b><b></b></i>

_

<i><b>_{0) và đường thẳng (d): y=mx+n:}</b></i>

Phương trình hồnh độ giao điểm của (P): y=ax2_{và đường thẳng (d): y=mx+n là:}

ax2_{= mx+n}

_

_ax2_{- mx-n=0 (*)}

1/(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt _{phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt} _{>0 (hoặc}'>0)

2/(P) tiếp xúc (d)



_{phương trình (*) có nghiệm kép}



=0 (hoặc'=0)

3/(P) và (d) khơng có điểm chung  _{phương trình (*) vơ nghiệm} _{<0 (hoặc}'<0)

<b>III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ</b>

<i><b>I/ Khái niệm ph.t bậc hai một ẩn số (x):</b></i> là ph.trình có dạng: ax2_{+ bx + c = 0 (với a,b,c}

_

_{R và a}

_

₀₎
<i><b>II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:</b></i>

<b>1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax2_{+ bx = 0:}</b>

ax2_{+ bx = 0}

_

_x.(ax+b)=0

_

0

0

0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>b</i>

<i>ax b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>









_





_{ }

_







<b>2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax2_{+ c = 0:}</b>

* Trường hợp a và c cùng dấu: phương trình vô nghiệm

* Trường hợp a và c khác dấu, ta có: ax2_{+ c = 0}

_

2 2

ax

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>_c</i>

<i>x</i>

<i>a</i>



 





















</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>3. Dạng đầy đủ – Dạng ax2_{+ bx + c = 0 (với a, b, c}</b>

_

<b>_{0 :}</b>

- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c.

- Bước 2: Lập  = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 – ac) rồi so sánh với 0

(Trong trường hợp >0 (hoặc '>0) ta tính (hoặc tính ')

- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:

<b>C«ng thøc nghiƯm tổng qt</b> <b>C«ng thøc nghiƯm thu gän</b>

 = b2_{- 4ac}

-NÕu  > 0 : Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt:

<i>x</i>

₁

=

b+

<i></i>

2

<i>a</i>

_;

<i>x</i>

2

=

b

<i></i>

2

<i>a</i>

- Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép :

<i>x</i>

₁

=

<i>x</i>

₂

=

−

<i>b</i>

2

<i>a</i>

- NÕu  < 0 : Phơng trình vô nghiệm

' = b'2_{- ac (víi b’ =}

2

<i>b</i>

2b')

- NÕu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

<i>x</i>

₁

=

<i>b</i>

<i>'</i>

₊



<i></i>

<i>'</i>

<i>a</i>

_;

<i>x</i>

2

=

<i>b</i>

<i>'</i>

<i></i>

<i>'</i>

<i>a</i>

- Nếu ' = 0 : Phơng trình cã nghiÖm kÐp:

<i>x</i>

₁

=

<i>x</i>

₂

=

−

<i>b</i>

<i>'</i>

<i>a</i>

- Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiƯm
<b>* Chú ý:Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)</b>
<i><b>III/ Định lí Vi-ét:</b></i>

<b>1/ Vi-ét thuận: </b>NÕu x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×:

1 2

1

.

2

<i>b</i>

<i>S</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>P x x</i>

<i>a</i>



















_

_





<b>2/ Vi-ét đảo: </b>Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thỡ u,v l nghim ca phơng trình:

x2_{- Sx + P = 0} _{(§iỊu kiƯn:}_S2_{- 4P}_₀₎

<b>3/ Nhẩm nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax2_{+ bx + c = 0 (a}</b>_<b>_0):</b>

*/ NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =

<i>c</i>
<i>a</i>

*/ NÕu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 =

<i>c</i>

<i>a</i>



<b>* Chú ý:NÕu x1, x2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a</b><b>0) th×:</b>

<b>ax2_{+ bx + c = a(x-x}</b>
<b>1)(x-x2)</b>

<i><b>IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai:</b></i>

<b>1/ Phương trình tích:</b>

( ) 0

( ). ( ) 0

( ) 0

<i>A x</i>

<i>A x B x</i>

<i>B x</i>





  

_



<b>2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu:</b>

- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0)

- Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế

- Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2

- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm

<b>3/ Phương trình trùng phương: </b>ax4_{+ bx}2_{+ c = 0 ( a}

_

_{0 )}

+ Đặt : x2_{= t}

_

_{0 , ta có PT đã cho trở thành : at}2_{+ bt + c = 0 (*)}

+ Giải phương trình (*)

+ Chọn các giá trị t thỏa mãn t_{0 thay vào: x}2_{= t}_ _x=



<i>t</i>

+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

<b>4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai:</b>
+ Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có.

+ Giải phương trình ẩn phụ.

+ Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu.
+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>B. BÀI TẬP:</b></i>
I. <i>TRẮC NGHIỆM:</i>

1.Cho hàm soá

<i>y</i>

=

<i>x</i>

2

4

_{và các điểm A(1; 0,25); B(2; 2); C(4; 4). Các điểm thuộc đồ thị hàm số gồm:}

A.chỉ có điểm A. B.hai điểm A và C. C.hai điểm A và B. D.cả ba điểm A
2. Đồ thị hàm số y = ax2_{đi qua điểm A(3; 12). Khi đó a bằng}

A.

4

3

_. _B.

3

4

_. C. 4. _D.

1

4

3. Đồ thị hàm số y = -3x2_{đi qua điểm C(c; -6). Khi đó c bằng}

A. 2. B.  2_. _C. 2_. D.kết quả khác.

<i>4. Đồ thị hàm số y = ax2_{cắt đường thẳng y = - 2x + 3 tại điểm có hồnh độ bằng 1 thì a bằng}</i>

A. 1. B. -1. _C.

₅

_. _D.

_

₅

_.

5.Điểm N(2; -5) thuộc đồ thị hàm số y = mx2_{+ 3 khi m bằng:}

A. – 2. B. 2.

C.

1

2

_. _D.

1

2



6.Đồ thị hàm số y = x2_{đi qua điểm:}

A. ( 0; 1 ). B. ( - 1; 1). C. ( 1; - 1 ). D. (1; 0 ).
7.Hàm số y =

1
2

<i>m</i>

 
 

  x2 đồng biến khi x > 0 nếu:
A. m <

1

2

_. _{B. m >}

1

2

_. _{C. m >}

1

2



. D. m = 0.

8.Phương trình (m + 1)x2_{– 2mx + 1 = 0 là phương trình bậc hai khi:}
A. m = 1. B. m -1. C. m = 0. D. mọi giá trị của m.
9.Phương trình x2_{– 3x + 7 = 0 có biệt thức bằng}

A. 2. B. -19. C. -37. D. 16.

10.Phương trình mx2_{– 4x – 5 = 0 ( m 0) coù nghiệm khi và chỉ khi}

A.

5
m

4



. B.

5
m

4



. C.

4
m

5



. D.

4

m

5



.
11.Phương trình nào sau đây có nghiệm kép ?

A. –x2_{– 4x + 4 = 0.} _{B. x}2_{– 4x – 4 = 0.}

C. x2_{– 4x + 4 = 0.} _{D. cả ba câu trên đều sai.}
12.Phương trình nào sau đây có nghiệm ?

A. x2_{– x + 1 = 0.} _{B. 3x}2_{– x + 8 = 0.}
C. 3x2_{– x – 8 = 0.} _{D. – 3x}2_{– x – 8 = 0.}
13.Cho phương trình 0,1x2_{– 0,6x – 0,8 = 0. Khi đó:}

A. x1 + x2 = 0,6; x1.x2 = 8. B. x1 + x2 = 6; x1.x2 = 0,8.
C. x1 + x2 = 6; x1.x2 = 8. D. x1 + x2 = 6; x1.x2 = - 8.
14.Tổng hai nghiệm của phương trình x2_{– 2x – 7 = 0 laø:}

A. 2. B. – 2. C. 7. D. – 7.

15.Phương trình 2x2_{+ mx – 5 = 0 có tích hai nghiệm là}
A.

5

2_. _B.

m

2 _. _C.

m
2



. D.

5
2



.
16.Nếu p.trình bậc hai ax2_{+ bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1 thì:}

A. a + b + c = 0. B. a – b + c = 0. C. a + b – c = 0. D. a – b – c = 0.
17.Phương trình mx2_{– 3x + 2m + 1 = 0 có một nghiệm x = 2. Khi đó m bằng}

A.6/5. B.-6/5. C.5/6. D.-5/6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

A. x2_{+ 5x + 6 = 0.} _{B. x}2_{– 5x + 6 = 0.}
C. x2_{+ 6x + 5 = 0.} _{D. x}2_{– 6x + 5 = 0.}
19.Cho phương trình x2_{– (a + 1)x + a = 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm là:}

A. x1 = 1; x2 = - a. B. x1= -1; x2 = - a. C. x1 = -1; x2 = a. D. x1 = 1; x2 = a.

20.Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 + x – 1 = 0. Khi đó biểu thức x12 + x22 có giá trị là:

A. 1. B. 3. C. -1. D. -3.

<i><b>II. BAØI TẬP TỰ LUẬN</b></i>

<i><b>*) PHẦN HÀM SỐ</b></i>

<b>Bài 1:</b> Vẽ các đồ thị các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đó
(nếu có).

1) (D): y = 2x + 3 và (P): y = x2 ₃₎ _{(D): y = 3x – 2 và (P): y = x}2

2) (D): y = 2x – 3 và (P): y = – x2

<b>Bài</b>

<b> </b> 2: Cho hàm số y = ax2_{có đồ thị là (P)}

a. Xác định a biết rằng (P) đi qua A (-2; 1).

b. Các điểm M(2; 1) , N(-4; -4) có thuộc (P) không ? Tại sao?

c. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) y = -x + m tiếp xúc với (P) .Vẽ đường thẳng (d) với m vừa tìm được và
xác định toạ độ tiếp điểm .

<b>Bài</b>

<b> </b> 3: Trong cùng 1 hệ trục toạ độ gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2_{và (D) là đồ thị của hàm số y = −x +2}

a. Vẽ (P) và (D)

b. Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và kiểm tra lại kết quả bằng p.pháp đại số .

c. Tìm a, b trong hàm số y = ax+ b , biết rằng đồ thị (d) của hàm số này song song với (D) và cắt (P) tại điểm có
hồnh độ –1

<b>Bài</b>

<b> </b> 4: Cho (P) y =

2

2

1

<i>x</i>



. Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(-2 ; -2 ) và tiếp xúc với (P).
<b>Bài</b>

<b> </b> 5: Cho parapol (P) y = 2

1

x2

a. Trên (P) lấy 2 điểm A và B có hồnh độ lần lượt là 1 và 3 .Hãy viết phương trình đường thẳng AB.

b. Viết phương trình đường trung trực (D) của AB và tìm toạ độ giao điểm của (D) và (P)

<b>Bài</b>

<b> </b> 6: Cho hàm số y = f(x) = ax2

a. Tìm của hàm số biết đồ thị của hàm số đi qua A (-2 ; 8)

b. Một đường thẳng (D) có phương trình y = -2x + 4.Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D)
<b>Bài</b>

<b> </b> 7: Cho hàm số y = (m2_{– 2 ) x}2

a. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A ( 2; 1)

b. Với giá trị m tìm được ở câu a :

+ Chứng tỏ rằng đường thẳng 2x – y – 2 = 0 tiếp xúc với (P) và tính toạ độ tiếp điểm
+Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên [- 4 ; 3]

<b>Bài 8:</b> Cho (P): y = ax2_{và (D): y = 2x – 2.}

a,Tìm a biết (P) đi qua A(2; 2)

b,Chứng minh rằng (D) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
<b>Bài 9:</b> Cho (P): y = ax2

a) Tìm a để (P) qua I(1; –1). Vẽ (P) trong trường hợp này.

b) Gọi A(–2; 0); B(0; –2). Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các giao điểm C, D của đường thẳng

AB và (P) vẽ ở câu a. Tính độ dài CD.

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) ở câu a.

<b>Bài 10:</b> Cho (P): y = –x2_{và đường thẳng (D): y = x + m. Biện luận theo m số giao điểm của (D) và (P). Trong trường}

hợp chúng tiếp xúc hãy tìm tọa độ tiếp điểm.

<b> *) PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH:</b>
<b>Bài 1</b>: Giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

<b>Bài</b>

<b> </b> 2: Cho hệ phương trình :















<i>a</i>

<i>y</i>

<i>ax</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

2

1

a. Giải hệ phương trình khi a = 3 b. Tìm a để hệ phương trình có vơ số nghiệm .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài </b>3<b> </b>: Tìm giá trị a để hệ phương trình :















<i>a</i>

<i>y</i>

<i>ax</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

3

5

2

a. Có một nghiệm duy nhất b. Vơ nghiệm

<b>Bài</b>

<b> </b> 4 : Cho hệ phương trình :















<i>m</i>

<i>y</i>

<i>mx</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

2

1

. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ? hệ có vơ số nghiệm ?
<b>Bài</b>

<b> </b> 5: Cho hệ phương trình :















5

3

1

2

<i>y</i>

<i>mx</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương .
<b>Bài</b>

<b> </b> 6: Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm âm :















2

5

1

6

3

<i>my</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<b> *) PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:</b>

<i>Bài 1/ </i> Giải các phương trình :

a/ x2 _{– 9 = 0 .} _{b/ 5x}2 _{– 180 = 0.} _{c/ (x + 2)}2 _{- 4(x + 5) =0.} _{d/ (x + 1)(x - 2) + x – 3 = 0}
e/ 2x2 _{- 4x = 0} _{g/ 2x}2 _-

√

2

<i>x=</i>

0

_{. h/ (x + 1)}2 _{+ (x - 2)(x + 3) + 5 = 0.}

<i>Bài 2/</i> Sử dụng công thức nghiệm giải các phương trình sau:

a/ 3x2 _{– x – 4 = 0 .} _{b/ 2x}2 _{– x + 1 = 0 .} _{c/ 6y}2 _{– y – 1 = 0 .}

d/ t2 _{- 4t + 4 = 0 .} _{e/ x}2 _{- 10x + 24 = 0 .} _{g/ x}2 _{- 2(}

√

2

₊

1

_{)x + 3 + 2}

√

2

₌

0

_.
<b>Bài 3:</b> Giải các phương trình sau:

1) x2_{– 2x – 6 = 0} _{2) x}2_{– (2 + )x + 2 = 0} _{3) x}2_{– (1 + )x + = 0}

4) 2x4_{– 7x}2_{– 4 = 0} _{5) 2x}4_{+ 5x}2_{+ 2 = 0} _{6) – = 1}

7) + = 2 8) + = 9) + + + =

10) = 11) – =
<b>Bài</b>

<b> </b> 4 : Giải các phương trình sau:

a. x4_–5x2_{+4 = 0} _{b. 2x}4_{+ 7x}2_{+ 3 = 0} _{c. (x}2_+2x)2_–14(x2_{+2x) –15 = 0}

<b>Bài 5:</b> Cho phương trình x2_{– 2(m + 1)x + m}2 _{+ m – 1 = 0}

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m: x1 + x2 ; x1x2 ; x12 + x22
<b>Bài 6:</b> Cho phương trình

<i>x</i>

2

−

4

<i>x</i>

+

2

<i>m</i>

−

<i>m</i>

2

=

0

₍<i>_x</i>_{là ẩn số)}

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

<b>Bài 7:</b> Nếu phương trình bậc hai ẩn x sau: x2_{– 2(2m – 1)x – 4m = 0 có hai nghiệm x}

1; x2 thì hãy tính các đại lượng

sau: (x1 – x2)2 ; x1 – x2 theo m mà khơng được giải phương trình.

<b>Bài 8:</b> Nếu phương trình bậc hai ẩn x sau: x2_{– 2x – 1 = 0 có hai nghiệm x}

1; x2 (x1 < x2) thì hãy tính các đại lượng sau

mà khơng được giải phương trình.

1) x12 + x22 2) + 3) + 4)+ 5) x13 – x23

<b>Bài 9:</b> Tìm m để các phương trình sau:

1) x2_{– 2mx + m}2_{– m – 3 = 0 có hai nghiệm x}

1, x2 thỏa: x12 + x22 = 6

2) x2_{– 2(m + 1)x + m}2_{+ 6m – 5 = 0 có hai nghiệm x}

1, x2 thỏa: x12 + x22 = 20

3) x2_{– 3x – m}2_{+ m + 2 = 0 có hai nghiệm x}

1, x2 thỏa: x13 + x23 = 9
<b>Bài 10:</b> Cho phương trình: x2_{– 2x – m}2_{– 1 = 0}

b) Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm x = – 1. Tính nghiệm kia.

d) Tìm m để: +, x12 + x22 = 14 +, x1 = – 3x2

<b>Bài 11:</b> Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 20, uv = 99 b) u – v = 3, uv = 108 c) u2_{+ v}2_{= 13, uv = – 6}

<b>Bài</b>

<b> </b> 12: Cho phương trình : x2_{– 2(m+1)x + m – 4 = 0 (1)}

a. Giải pt (1) khi m = 1 b. Chứng minh rằng pt (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

<b>Bài</b>

<b> </b> 13: Cho pt : x2_{–2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (1)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Chứng minh B = 4m2_{-10m +1. Với giá trị nào của m thì B đạt GTNN? Tìm GTNN đó của B}

d. Tìm 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 và x2 độc lập với m

<b>Bài</b>

<b> </b> 14: Cho phương trình : x2_{–2(m – 1 )x +m}2_{+2 = 0}

a. Với giá trị nào của m thì pt có 2 nghiệm phân biệt ? b. Tính E = x12 + x22 theo m

c. Tìm m để pt có 2 nghiệm thỗ mãn : x1 – x2 = 4

<b>Bài</b>

<b> </b> 15 : Cho pt x2_{– 2(m +3)x+ m}2_{+3 = 0 (1)}

a. Với giá trị nào của m thì pt(1) có 1 nghiệm là 2.

b. Với giá trị nào thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt? Hai nghiệm này có thể trái dấu được khơng? Tại sao?
c. Với giá tri nào của m thì pt(1) có nghiệm kép ?Tìm mghiệm kép đó .

<b>Bài</b>

<b> </b> 16: Cho pt x2_{– 2x + k – 1= 0. Xác định k để :}

a. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu . b. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu .

<b>Bài</b>

<b> </b> 17: Cho pt x2_{– 7x + 5 = 0. Khơng giải phương trình hãy tính :}

a. Tổng các nghiệm b. Tích các nghiệm

c. Tổng các bình phương các nghiệm d. Tổng lập phương các nghiệm

e. Tổng nghịch đảo các nghiệm g. Tổng bình phương nghịch đảo các nghiệm .

<b>Bài</b>

<b> </b> 18:Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là :

a. 3 và 7 b. 5 và –2 c. 1 -

5

và 1 +

5

<i>Bài 19</i>/ Tìm hai số u và v biết u + v = 5 và u2 _{+ v}2 _{= 13 .}

Bài 20: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ

A đến B với vận tốc gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp nên đã đến B trước người đi xe đạp là 1 giờ. Tính vận tốc mỗi
xe.

<i> Hướng dẫn:</i>Gọi x(km/h) là vận tốc xe đạp: (x > 0); Vận tốc xe máy là 2,5x (km/h)

Quãng đường (Km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

Xe đạp 50 x 50

x

Xe máy 50 2,5x _2,5x50

Phương trình:

50
x _-

50
2,5x₌52

Bài 21: Một ca nơ xi dịng 90 km rồi ngược dịng khúc sơng ấy 36 km. Biết rằng thời gian xi dịng nhiều
hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc ca nơ khi xi dịng nhiều hơn vận tốc ca nơ khi ngược dịng là 6
km/h. Tính vận tốc của ca nơ khi xi dịng, ngược dịng.

<i> Hướng dẫn: </i>Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nô khi xi dịng (x > 6).

Qng đường (Km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

Xuôi dòng 90 x

90

<i>x</i>

Ngược dịng 36 x – 6



36
x 6

Ta có phương trình:

90

<i>x</i>

_-



36

x 6

_{= 2. Giải ra x}₁_{= 15; x}₂_{= 18 (đều nhận)}

Bài 22: Một ô tô đi trên quãng đường dài 520km. Khi đi được 240km thì ơ tơ tăng vận tốc thêm 10km/h và đi hết
qng đường cịn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ

<i> Hướng dẫn:</i>Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x(km/h) x > 0

Quãng đường (Km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

Quãng đường đầu 240 x

240

<i>x</i>

Quãng đường sau 280 x + 10

280

<i>x</i>

+

10

<b>Ta có phương trình: </b>

240

<i>x</i>

<b>₊</b>

280

<i>x</i>

+

10

<b>_{= 8 hay x}2_{– 55x – 300 = 0}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 23: Một ô tô khởi hành từ A để đi đến B cách nhau 240km. Một giờ sau, ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đi
đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất 10km/h nên đã đuổi kịp ô tô thứ nhất ở chính giữa quãng đường
AB. Tính vận tốc của mỗi xe.

<i> Hướng dẫn:</i>Gọi x (km/h) là vận tốc của ô tô thứ nhất (x > 0)

Q.đường (Km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

Ơtơ thứ nhất 120 x 120

x

Ơtơ thứ hai 120 x + 10 120

x 10

Ta có phương trình:

120

x

_-

120

x 10



_{= 1}
<b>Bài</b>

<b> </b> 24: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vịi một mình chảy cho đầy bể thì vịi II cần

nhiều thời gian hơn vịi I là 5 giờ .Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể

Bài 25:Hai đội cơng nhân cùng làm trong 12 giờ thì xong một công việc. Nếu đội I làm nửa công việc rồi nghỉ
và đội II làm đến lúc hồn thành cơng việc thì mất tổng cộng là 25 giờ. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì mất bao
lâu xong công việc.

<i> Hướng dẫn: </i> Nếu đội I làm xong công việc và đội II làm xong cơng việc thì mất tổng cộng là 50 giờ
Gọi x (h) là thời gian đội I làm xong công việc (12 < x < 50)

Đội 1 Đội 2 Cả hai đội

Thời gian x 50 - x 12

Trong 1 giờ 1

x

1
50 - x

1

12

Ta có phương trình:

1

x

₊

1

50 - x

₌

1

12

Bài 26: Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi hai dãy ghế
thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được
xếp bao nhiêu người ngồi?

<i>Hướng dẫn: </i>Gọi x là số dãy ghế trong phòng họp (x nguyên ; x > 2)

Số người Số dãy ghế Số người trên 1 dãy

Lúc đầu 80 x 80

x

Luùc sau 80 x - 2

_{x - 2}

80

Ta có phương trình:

80

x-2 <i>_–</i>

80

<i>x</i>

_{= 2.}

Bài 27:Theo kế hoạch, một đội xe phải chở 120 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì có 2 xe bị hỏng nên mỗi xe cịn
lại phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có mấy chiếc

<i> Hướng dẫn:</i>Gọi x là số chiếc xe lúc đầu (x nguyên; x > 2)

Số hàng(tấn) Số xe Số hàng mỗi xe chở

Lúc đầu 120 x 120

x

Lúc sau 120 x - 2

120

x - 2

Ta có phương trình:

120

x - 2 <i>_–</i>

120
x _{= 16}

<b>Bài</b>

<b> </b> 28: Một hình chữ nhật có chu vi 100m. Nếu tăng chiều rộng gấp đơi và giảm chiều dài 10m thì diện tích hình

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

o
C
A

B

I
M

o

B
A

D
o

B
A

C

x o

A

B

E
o

A
B

D

C F

M
o

B
A

D

C
Bài 29: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng

2

5_{chiều dài và có diện tích bằng 360m}2_{. Tính chu vi}
khu vườn

<i>Hướng dẫn:</i> Gọi x(m ) là chiều dài khu vườn (x > 0); Chiều rộng khu vườn là:

2

5

_{x (m)}

Ta có phương trình: x.

2

5

_{x = 360}



_x2_{= 900}

_

_{x = 30}

Bài 30: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40cm2_{, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước 3cm thì}
diện tích tăng 48cm2

<i> Hướng dẫn:</i>Gọi x(m) là chiều dài hình chữ nhật (x > 0)

Chiều dài (cm) Crộng (cm) Diện tích (cm2₎

Lúc đầu x 40

x 40

Luùc sau x + 3

40

_x

+ 3 (x + 3)(

40

x

_{+ 3)}

Ta có phương trình: (x + 3)(

40

x

_{+ 3) – 40 = 48}



_x2_{– 13x + 40 = 0}

Bài 31: Một hình chữ nhật có đường chéo 13m; chiều dài hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật

<i> Hướng dẫn:</i>Gọi x(m) là chiều dài (7 < x < 13); Chiều rộng là x – 7 (m)

Áp dụng định lý Pytago ta có phương trình: x2_{+ (x – 7)}2_{= 13}2_{Giải phương trình ta được: x}

1 = 12; x2 = -5 (loại)
Chiều dài là 12(m); chiều rộng là 5 (m) => Diện tích là 12.5 = 60(m2₎

<b>PHẦN II: HÌNH HỌC</b>
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

<i><b>I. Quan hệ cung và dây. Góc với đường trịn:</b></i>

1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau,

hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau:

<i>AB CD</i>







<i>AB CD</i>





2. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy

<i>MA MB</i>









<i>IA IB</i>



3. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vng góc với dây căng cung ấy

và ngược lại <i>MA</i> <i>MB</i>  <i>OM</i> <i>AB</i>

4. Đường kính đi qua trung điểm của một dây khơng đi qua tâm thì vng góc với dây ấy

và chia cung bị căng ra hai phần bằng nhau <i>IA IB</i>  <i>OI</i> <i>AB MA MB</i>; 

5. Đường kính vng góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy và chia cung bị căng

ra hai phần bằng nhau <i>OI</i> <i>AB</i> <i>IA IB MA MB</i> ; 

6. Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

<i>AB CD</i>

/ /





<i>AC BD</i>





7. Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn



<i>BOC sd BC</i>







8. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn



1



2



<i>BAC</i>

<i>sd BC</i>

9. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn



1



2



<i>BAx</i>

<i>sd AB</i>

10. Trong một đường trịn :

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau



<i>ACB DFE</i>









<i>AB DE</i>





b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau



<i>AMB ACB</i>





(cùng chắn <i>AB</i>)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

x o

A
B

C
o

A
B
C

B

o

A
C

E
o
C

D
A

B

B
A

o E

C

D

c) Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau



<i>AB DE</i>









<i>ACB DFE</i>





d) Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90o_{có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng}

chắn một cung



1



2

<i>ACB</i>



<i>AOB</i>

(cùng chắn cung <i>AB</i>)

e) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng và ngược lại, góc vng nội tiếp

thì chắn nửa đường trịn



<i>ACB</i>



90

<i>o</i> (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

f) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn

một cung thì bằng nhau

<i>BAx BCA</i>







( cùng chắn cung AB)

11.Số đo của góc có đỉnh bên trong đường trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn



1

₍





₎

2





<i>BED</i>

<i>sd BD AC</i>

(góc có đỉnh bên trong đường trịn)

12. Số đo của góc có đỉnh bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn



1

₍





₎

2





<i>CED</i>

<i>sd CD AB</i>

(góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)

<i><b>II. Tø gi¸c néi tiÕp:</b></i>

<b>a) Tính chất: </b>Tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800.<b></b>

<b>b) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:</b>
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới một góc .
- Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
<i><b>III. Độ dài đ</b><b> ờng tròn - Độ dài cung tròn:</b></i>

- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung trịn n0_{bán kính R :}

180

<i>Rn</i>

<i>l</i>

<i><b>IV. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn:</b></i>
- Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0_:

2

360

2

<i>R n</i>

<i>lR</i>

<i>S</i>







<i><b>V. C</b><b>ác công thức hình học khơng gian</b><b> : </b></i>

<b>1. Hình trụ: Sxq = Cđáy.h</b> (Cđáy: chu vi đáy; h: chiều cao), <b>Sxq=2</b>



<b>r.h</b> (r: bán kính đáy)

<b>V= Sđáy.h</b> (Sđáy: diện tích đáy; h: chiều cao), <b>V=</b>



<b>r2.h</b> (r: bán kính đáy)
<b>2. Hình nón:Sxq =</b>



<b>_rl</b>_{(l: đường sinh),}<b>_V=</b>

1

3

<b>_Sđáy.h</b>_,<b>_V=</b>

1

3



<b>_r2_.h</b>
<b>3. Hình cầu: Sxq =4</b>



<b>r2</b>_,<b>_V=</b>

4
3



<b>_r3</b>

<b> </b>B. BÀI TẬP:
<b>TRẮC NGHIỆM: </b>

(h.4)
O
D

A

B
C

(h.3)
O

A

C

B
(h.2)

O
M

Q

P
N

(h.1)
O

C D

B
A

1.Trong hình 1, biết AC là đường kính, góc BDC bằng 600_{. Số đo góc ACB bằng}

A. 400_. _{B. 45}0_. _{C. 35}0_. _{D. 30}0_.

2.Trong hình 2, góc QMN bằng 600_{, số đo góc NPQ bằng}

A. 200_. _{B. 25}0_. _{C. 30}0_. _{D. 40}0_.

3.Trong hình 3, AB là đường kính của đường trịn, góc ABC bằng 600_{, khi đó số đo cung BmC bằng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

4.Trong hình 4, biết AC là đường kính của đường trịn, góc ACB bằng 300_{. Khi đó số đo góc CDB bằng}

A. 400_. _{B. 50}0_. _{C. 60}0_. _{D. 70}0_.

I

(h.8)
O

P
M

Q

N
x

(h.7)
O

B
M
A

(h.6)
O
D

C
B
A

(h.5)
O

M
C

D

B
A

5.Trên hình 5, biết số đo cung AmD bằng 800_{, số đo cung BnC bằng 30}0_{. Số đo của góc AED bằng}

A. 250_. _{B. 50}0_. _{C. 55}0_. _{D. 40}0_.

6.Trong hình 6, số đo góc BIA bằng 600_{, số đo cung nhỏ AB bằng 55}0_{. Số đo cung nhỏ CD là}

A. 750_. _{B. 65}0_. _{C. 60}0_. _{D. 55}0_.

7.Trên hình 7, có MA, MB là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Số đo góc AMB bằng 580_{. Khi đó số đo góc}
OAB là

A. 280_. _{B. 29}0_. _{C. 30}0_. _{D. 31}0_.

8.Trên hình 8, số đo góc QMN bằng 200_{, số đo góc PNM bằng 10}0_{. Số đo của góc x bằng}

A. 150_. _{B. 20}0_. _{C. 25}0_. _{D. 30}0

(h.12
(h.11)

(h.10)
(h.9)

O
A

D

B

C
O

B

D
C

A

E

F
O

M

A
C
B

O

A
M

D

9.Trên hình 9, số đo cung nhỏ AD bằng 800_{. Số đo góc MDA bằng}

A. 400_. _{B. 50}0_. _{C. 60}0_. _{D. 70}0_.

10.Trong hình 10, MA, MB là tiếp tuyến của (O), BC là đường kính, góc BCA bằng 700_{. Số đo góc AMB bằng}

A. 700_. _{B. 60}0_. _{C. 50}0_. _{D. 40}0_.

11.Trong hình 11, có góc BAC bằng 200_{, góc ACE bằng 10}0_{, góc CED bằng 15}0_{. Số đo góc BFD bằng}

A. 550_. _{B. 45}0_. _{C. 35}0_. _{D. 25}0_.

12.Trong hình 12, có AD//BC, góc BAD bằng 800_{, góc ABD bằng 60}0_{. Số đo góc BDC bằng}

A. 400_. _{B. 60}0_. _{C. 45}0_. _{D. 65}0_.

13.Hãy chọn ra tứ giác nội tếp được đường tròn trong các tứ giác sau

j

(D)

80

70

130

D
C

B

A
(C)

75

60

D C

B
A

(B)

65

65

D
C

B A

(A)

60

90

D
A

C
B

14.Cho hình 14. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai:
A. Bốn điểm MQNC nằm trên một đường tròn.

(h.14)
M

B C

Q
N
A

B. Bốn điểm ANMB nằm trên một đường trịn.

C. Đường trịn qua ANB có tâm là trung điểm đoạn AB.
D. Bốn điểm ABMC nằm trên một đường tròn.

15.Tứ giác nào sau đây khơng nội tiếp được đường trịn ?

(D)
(C)

(B)
(A)

90

90
55

55
50
130

90

90

16.Tứ giác nào sau đây nội tiếp được đường tròn ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
17.Hãy chọn khẳng định sai. Một tứ giác nội tiếp được nếu:

A. Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
B. Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800_.

C. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc .
D. Tứ giác có tổng hai góc bằng 1800_.

18.Độ dài cung 600_{của đường trịn có bán kính 2cm là:}
A.

1

3



_cm. _B.

2

3



cm. C.

3

2



_cm. _D.

1

2



_cm.
19.Độ dài cung tròn 1200_{của đường trịn có bán kính 3 cm là:}

A.



_cm. _B.

₂

_

_cm. _C.

₃

_

_cm. _{D. Kết quả khác.}

20.Nếu chu vi đường trịn tăng thêm 10cm thì bán kính đường trịn tăng thêm:
A.

5



_cm. _B.

5



cm. C.

5



cm. D.

1

5



cm.
21.Nếu bán kính đường trịn tăng thêm

1



cm thì chu vi đường tròn tăng thêm:
A.

1

2

_cm. B.



cm. C. 2cm. D.

1



_cm.
22.Diện tích hình trịn có đường kính 5 cm bằng:

A.

25



_cm2_.

B.

25
2



cm2_. _C.

5
2



cm2_. _D.

25
4



cm2_.
23.Diện tích hình quạt trịn cung 600_{của đường trịn có bán kính bằng 2 cm là:}

A.

2

3



cm2_. _B.

2

3



_cm2_. _C.

3



cm2_. _D.

3



_cm2_.

23.Một cung trịn của đường trịn bán kính R có độ dài là <i>l</i> (m). Khi đó diện tích hình quạt trịn ứng với cung đó
là:

A.

.

4

<i>l R</i>

m2_. _B.

.

2

<i>l R</i>

m2_.

C.

2

_.

4

<i>l R</i>

m2_. _D.

2

_.

2

<i>l R</i>

m2_.

24.Cho hai đường trịn đồng tâm O có bán kính lần lượt là R và r (R > r). Diện tích phần nằm giữa hai đường
trịn này – hình vành khăn được tính như thế nào ?

A.





<i>r</i>

2



<i>R</i>

2



. B.





<i>R</i>

2



<i>r</i>

2



. C.





<i>R</i>

2



<i>r</i>

2



. D. Kết quả khác.

25.Cho hình vng cạnh bằng a, vẽ vào phía trong hình vng các cung trịn 900_{có tâm lần lượt là các đỉnh của}
hình vng. Hãy cho biết diện tích của phần tạo bởi 4 cung trịn đó và hình vng ?

A.

2

₁

2

















<i>a</i>

. B.

2

₁

4

















<i>a</i>

. C.





2 ₁





<i>a</i> _.

D.

2

4





<i>a</i>

.

<b>BAØI TẬP TỰ LUẬN</b>

<i>Bài 1</i>: Cho

<i>Δ ABC</i>

vng góc ở đỉnh A. Kẻ đường cao AH. Trên cạnh huyền BC ta lấy một điểm D sao cho
DH = HB. Đường trịn tâm H bán kính HA Cắt tia AD tại E và cắt đường tròn ngoại tiếp

<i>Δ ABC</i>

tại A’. Cminh
rằng:

a. Tứ giác ADA’B là hình thoi. b. Tứ giác ACEH nội tiếp.

c. CE ¿ _AD. _{d. CB là phân giác của góc ACE.}

<i>Bài 2 </i>: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB. Lấy một điểm C trên đường trịn sao cho AC = OA. Trên tia đối
của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = OA. Đường thẳng song song với DC kẽ qua điểm A cắt CB tại I và cắt
đường tròn tại E. Chứng minh rằng:

a. DC tiếp xúc với đường tròn tại điểm C. b. Tứ giác ACIO nội tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i>Bài 3</i> : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy một điểm M trên nửa đường trịn, kẻ MH ¿ _{AB và từ}

H kẻ

<i>HE</i>

⊥

<i>MA , HD</i>

⊥

<i>MB</i>

.

a. Chứng minh: Tứ giác ABDE nội tiếp. b.Chứng minh

<i>MO</i>

⊥

<i>ED</i>

_.

c. Cho AH = 10 cm, MH = 6 cm . Tính diện tích phần hình trịn ngồi tam giác MAB .

<i>Bài 4</i>/ Cho nửa đường trịn đường trịn đường kính AB và hai điểm C, D nằm trên nửa đường tròn (điểm C thuộc
cung AD). Hai tia AD và BC cắt nhau tại điểm E và AC cắt BD tại điểm F, EF cắt AB tại M. Chứng minh:
a/ Tứ giác ACEM nội tiếp. b/ E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDM.

c/ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EB. Chứng minh tứ giác CDIM nội tếp

<i>Bài 5/</i> Cho đường tròn (O) và dây AB. Hai tiếp tuyến với đường tròn tại các điểm A, B cắt nhau tại P. M là một
điểm bất kỳ trên cung nhỏ AB. Từ M kẽ <i>MD</i>

¿

<i>AB ; ME</i>

⊥

<i>PA ; MF</i>

⊥

<i>PB</i>

.

a/ Chứng minh các tứ giác AEMD và BFMD nội tiếp được.
b/ Chứng minh hai tam giác EMD và DMF đồng dạng.

c/ Gọi giao điểm của AM và DE là I và giao điểm của BM và DF là J. Chứng minh AB// IJ .

Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC = 2R và một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho AB = R.

M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia AB cắt tia CM tại D.

a) Chứng minh tam giác AOB là tam giác đều b) Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được đường trịn
c) Tính góc ADI d) Cho <i>ABM</i> _{= 45}0_{. Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R}

<i>Hướng dẫn:</i>

<i>a) Cm: AB = BO = OA = R</i>

<i>b) Cm: </i>





0

90
<i>IAD</i><i>IMD</i>

<i>c) Cm: </i><i>ADI</i> <i>AMI(Cùng chắn cung AI) mà </i>



1  1 0 0

.60 30

2<i>sd AB</i> 2

<i>AMI</i>   

<i>d) Cm tam giác ABi vuông cân tại A => AI = AB = R</i>
<i>Xét tam giác AID có </i><i>A</i>900;<i>D</i> 300<i>_{=> AD =}</i>

. 3 2 . 3

. 3 3

2 2

<i>AD</i> <i>AI</i>

<i>AI</i> <i>R</i>

  

Bài 7: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC=R, trên
đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R. Đường thẳng vng góc với AC tại C cắt tia AD tại M.

a) Chứng minh tứ giác BCMD nội tiếp được đường tròn
b) Chứng minh tam giác ABM cân tại B

c) Chứng minh ADB đồng dạng ACM. Từ đó tính tích AD.AM theo R

d) Cung BD của đường tròn (O) chia tam giác ABM thành hai phần. Tính diện tích tam giác ABM và phân diện
tích tam giác ABM nằm ngồi đường tròn (O)

<i>Hướng dẫn: </i>

<i>a) Cm: </i>





0

90
<i>BCM</i> <i>BDM</i> 

<i>b)Cm: BD vừa là đường cao, vừa là phân giác</i>

<i>c) Cm: </i>





0

60

<i>ABD</i><i>AMC</i> <i>_{=> AD.AM = 6R}2</i>

<i>d) Tính AD = R</i> 3<i>_{=> AM = 2}R</i> 3<i>_{. Từ đó: SABM =}</i> 2

3
<i>R</i>

<i>Tương tự tính SADB; Svp(BD) => Diện tích cần tìm.</i>

Bài 8: Cho đường trịn tâm O và điểm A nằm ngồi đường trịn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE
tới đường tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm DE.

a) Chứng minh năm điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC

c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh AB2_{= AI.AH}
d) BH cắt đường tròn (O) ở K. Chứng minh AE // CK.

<i>Hướng dẫn: </i>

<i>a) Chứng minh các góc vng</i>

<i>b) Chứng minh </i><i>AHB</i><i>ACB AHC</i>; <i>ABC</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i>c) Chứng minh </i><i>ABI </i><i>AHB</i>

</div>


<!--links-->