<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>I-Các kiến thức cơ bản cần nhớ</b>

<i> </i>
2

2 3

. . ( , 0) ( 0; 0)

1
.

0; ( ) ; ( )

    

 

  

<i>A</i> <i>A</i>

<i>A B</i> <i>A B A B</i> <i>A</i> <i>B</i>

<i>B</i> <i>B</i>

<i>A</i>

<i>A B</i> <i>A B</i> <i>A B</i>

<i>B</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>A A</i> <i>A</i> <i></i>

<i> </i> <i>A xác định khi A </i><i>₀</i>

- Điều kiện phân thức xác định là mẫu khác 0

<i> </i>- Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu
- Cỏc hằng đẳng thức đáng nhớ

So sánh: 2004 2003 víi 2006 2005

cho bạn dạng tổng quát nè:



 











1

x x 1 x x 1 1 x x 1

x x 1

        

 

Áp dụng ta có:
A=

1
2004 2003

2004 2003

 

 _{; B=}

1
2010 2009

2010 2009

 



So sánh: 0 < 2004 2003 2010 2009_{=> A>B (vì 0<a<b => 1/a>1/b)}
<b>II-Mét số chú ý khi giải toán về biểu thức</b>

<b>1) Tìm ĐKXĐ chú ý</b> : Trong căn <i>_{0, MÉu}</i><i>_{0, biÓu thøc chia}</i><i>₀</i>
<b> 2)Rót gän biĨu thøc </b>

<i> -Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức thờng tìm cách đa thừa số ra ngoài dấu căn. Cụ thể</i>
<i>là :</i>

<i> + Số thì phân tích thành tích các số chính phơng </i>

<i> +Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với sè mị ch½n</i>

<i>-Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về các căn đồng</i>
<i>dạng</i>

<i>- Nếu biểu thức là tổng , hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục căn thức ở mẫu </i>
<i>trớc,có thể khơng phải quy đồng mẫu nữa.</i>

<i>- Nếu biểu thức chứa các phân thức cha rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trớc</i>
<i>- Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trớc khi</i>

<i>- Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc, dấu - , cách viết căn</i>“ “

<i><b> Chú ý</b> : Một số bài toán nh: Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc</i>
<i>vào biến… cũng quy về Rút gọn biểu thc</i>

<b>3) Tính giá trị của biểu thức </b>

-Cần rút gọn biểu thức trớc.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì nên thay giá trị của
biến vào rồi mới rút gọn tiếp

-Nếu giá trị của biến cịn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trớc khi thay vào tính

<b>4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó</b>

-CÇn rót gän biĨu thøc tríc

-Sau khi tìm đợc giỏ tr ca bin phi i chiu vi KX

<b>III-Các dạng bµi tËp</b>

So sánh:a) -2 v à√2 - √7
b)√5 -2 v à√3 - 1

a) Ta có : √2 > √1 = 1; √7 < √9 = 3 => √2 - √7 > 1 - 3 = -2
b) √5 - 2 < √6,25 - 2 = 2,5 - 2 = 0,5

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

c)√37 - √14 v 6 - à √15
d)√26 + √5 +1 v à√61
e) 1-1/√3 v 2/3à

Dạng 1: Bài tập rút gọn biểu thức chứa căn đơn giản

1)
2 2
2 2
149 76
457 384



2) 1

√2+1+
1

√3+√2+
1

√4+√3

3)

1 33 1

48 2 75 5 1

2   11  3

4) _√9<i>a −</i>√16<i>a</i>+√49<i>a</i> Víi a <i>≥</i>0

5)

a a b

ab

b   b a

6) 9 4 5  9 80
7) 2√3+√48<i>−</i>√75<i>−</i>√243
8)

_√

3+2√2<i>−</i>

_√

6<i>−</i>4√2 <b> </b>

9)

_√

₄₊_√_8.

_√

₂₊

_√

₂₊_√_{2 .}

_√

₂<i>₋</i>

_√

₂₊_√₂

8 2 2 2 3 2 2

10)

3 2 2 1 2

 

 

 

11) 6 11 6 11
D¹ng 2 : Bài tập rút gọn biểu thức hữu tỉ

<b> 1</b>. 2 2

2x 2x x

A

x 3x x 4x 3 x 1

  

   

<b>2.</b> 2

x 2 4x

B

x 2 x 2 4 x

  

  

<b>3.</b> 2

1 x 1 2x x(1 x)
C

3 x 3 x 9 x

  
  
  
<b>4.</b>
2
2 2

5 4 3x

D 3

2x 6x x 9



  

 

<b>5.</b> 2 2 2

3x 2 6 3x 2

E

x 2x 1 x 1 x 2x 1

 

  

    

<b>6.</b> 2 3

5 10 15

K

x 1 x (x 1) x 1

 

Dạng 3: Bài tập tổng hợp

<b> Bµi 1 </b> Cho biĨu thøc A =

2 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ 

 

 

 _ _ _ _ 

 _:

√<i>x −</i>1
2

a. Tìm điều kiện xác định. b. Chứng minh A = 2
<i>x</i>+<i>x</i>+1

c. Tính giá trị của A tại x = 8 - _√28 d. Tìm max A.
<b>Bài2 </b> Cho biÓu thøc P = √<i>n</i>+3

√<i>n −</i>2<i>−</i>

√<i>n−</i>1

√<i>n</i>+2+

4√<i>n −</i>4

4<i>−n</i> ( víi n 0 ; n 4 )
a. Rót gän P b. Tính giá trị của P với n = 9

<b> Bµi3</b> Cho biĨu thøc M =

2

( <i>a</i> <i>b</i>) 4 <i>ab</i> <i>a b b a</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i>

  



 _{( a , b > 0)}

a. Rút gọn biểu thức M. b. Tìm a , b để M = 2 _√2006
<b>Bài 4: </b> Cho biểu thức : M =

(

<i>x</i>

√<i>x −</i>1<i>−</i>√<i>x</i>

)

:

(

√<i>x</i>+1

√<i>x</i> <i>−</i>

1
1<i>−</i>√<i>x</i>+

2<i>− x</i>
<i>x </i><i>x</i>

)

a) Rút gọn M. b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 _√3 c) Tìm
x sao cho M =1/2

<b> </b> <b>Bài 5:</b> Cho biÓu thøc : P =

(

√<i>x −</i>4
<i>x −</i>2√<i>x−</i>

3
2<i>−</i>√<i>x</i>

)

:

(

√<i>x</i>+2

√<i>x</i> <i>−</i>

√<i>x</i>

√<i>x −</i>2

)

a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi x = 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bµi 6</b> Cho biĨu thøc : B =

(

2<i>x</i>+1
<i>x</i>√<i>x −</i>1+

1

1<i>−</i>√<i>x</i>

)

:

(

1<i>−</i>

<i>x −</i>2

<i>x</i>+√<i>x</i>+1

)

a) Rút gọn B. b) Tìm x để : 2.B < 1 c) Vi

giá trị nào của x thì B. <i>x</i> = 4/5

<b>Bµi 7:</b> Cho biĨu thøc : M =

(

<i>x</i>+2√<i>x −</i>7
<i>x −</i>9 +√

<i>x −</i>1
3<i>−</i>√<i>x</i>

)

:

(

1

√<i>x</i>+3<i>−</i>
1

√<i>x −</i>1

)

a) Rút gọn M. b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1

<b>Bµi 8:</b> Cho biĨu thøc : A = 1 :

(

<i>x</i>+2√<i>x −</i>2

<i>x</i>√<i>x</i>+1 <i>−</i>

√<i>x −</i>1

<i>x −</i>√<i>x</i>+1+
1

√<i>x</i>+1

)

a) Rót gän A. b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4 3 c) Tìm
giá trị nhỏ nhÊt cđa A .

<b>Bµi 9:</b> Cho biĨu thøc : P =

(

√<i>x</i>+1

√<i>x −</i>1<i>−</i>

√<i>x −</i>1

√<i>x</i>+1

)

:

(

1

√<i>x</i>+1<i>−</i>

√<i>x</i>

1<i>−</i>√<i>x</i>+

2

<i>x −</i>1

)

a) Rót gän P. b) Tính giá trị của P khi x =

7<i></i>43

2 c) Tìm

x sao cho P = 1/2

<b>Bài 10:</b> Cho biÓu thøc : A = 3

2 1 1

.

1 1

1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
     
 
   
 _ _   _ 

   

a) Rót gän A. b) Tính giá trị của A nếu x = 2<i></i>3

2
<b>Bài 11:</b> Cho biÓu thøc : A =

(

2√<i>x</i>

<i>x</i>√<i>x − x</i>+√<i>x −</i>1<i>−</i>
1

√<i>x −</i>1

)

:

(

1+

√<i>x</i>
<i>x</i>+1

)

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < 0

<b>Bµi 12:</b> Cho biĨu thøc : B =

(

1

√<i>x</i>+1<i>−</i>

2

<i>x</i>√<i>x</i>+<i>x</i>+√<i>x</i>+1

)

:

(

2<i>−</i>

2<i>x −</i>√<i>x</i>
<i>x</i>+1

)

a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2 _√5 c) Tìm
x nguyên để B ngun.

<b>Bµi 13:</b> Cho biĨu thøc : A =

(

√<i>x</i>+2

√<i>x</i>+3<i>−</i>
5

<i>x</i>+√<i>x −</i>6+
1
2<i>−</i>√<i>x</i>

)

a) Rót gän A. b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A nÕu x = 2

2+√3 c) Tìm

x nguyờn A nguyờn

<b>Bài 14:</b> Cho biểu thức : M =

(

2√<i>x −</i>9
<i>x −</i>5√<i>x</i>+6<i>−</i>

√<i>x</i>+3

√<i>x −</i>2<i>−</i>

2√<i>x</i>+1
3<i>−</i>√<i>x</i>

)

a) Rút gọn M. b) Tìm x để M < 1

c) Tìm các số tự nhiên x để M ngun.

<b>Bµi 15:</b> Cho biĨu thøc : A =

(

<i>x</i>+√<i>x −</i>4

<i>x −</i>2√<i>x −</i>3+

√<i>x −</i>1
3<i>−</i>√<i>x</i>

)

:

(

1<i>−</i>

√<i>x −</i>3

√<i>x −</i>2

)

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A > 1

<b>Bµi 16:</b> Cho biÓu thøc : P =

(

2+√<i>x</i>

2<i>−</i>√<i>x−</i>

4<i>x</i>
<i>x −</i>4<i>−</i>

2<i>−</i>√<i>x</i>

2+√<i>x</i>

)

:

<i>x −</i>3√<i>x</i>

2<i>x −</i>

_√

<i>x</i>3

a) Rút gọn P. b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.

<b>Bµi 17:</b> Cho biÓu thøc : M =

(

√<i>x</i>

√<i>x −</i>1+

3√<i>x −</i>1
1<i>− x</i>

)

:

(

√<i>x</i>+1

√<i>x</i> <i>−</i>

4√<i>x</i>+1

<i>x</i>+_√<i>x</i>

)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bµi 18:</b> Cho biÓu thøc : P =

(

2<i>x</i>+1

√

<i>x</i>3<i>−</i>1<i>−</i>

√<i>x</i>
<i>x</i>+√<i>x</i>+1

)

:

(

3

√<i>x −</i>1+

2√<i>x</i>+5
1<i>− x</i>

)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x = 8

3<i>−</i>√5

c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên d) Tìm x để P < -1

<b>Bµi 19:</b> Cho biĨu thøc : B =

(

√<i>x</i>

√<i>x</i>+2<i>−</i>
3
2<i>−</i>√<i>x</i>+

3√<i>x −</i>2

<i>x −</i>4

)

:

(

√<i>x</i>+3

√<i>x −</i>2+
2√<i>x</i>

2√<i>x − x</i>

)

a) Rót gän B. b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4 _√5 c) T×m
x sao cho B.( x – 1 ) = 3 _√<i>x</i>

<b>Bµi 20:</b> Cho biÓu thøc : M =

(

√<i>x</i>+1

√xy+1+

√xy+√<i>x</i>

√xy<i>−</i>1 <i></i>1

)

:

(

<i>x</i>+1

xy+1<i></i>

xy+<i>x</i>

xy<i></i>1 +1

)

a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi x = 2 - _√3 vµ y = √3<i>−</i>1

1+√3
<b>Bµi 21:</b> Cho biĨu thøc : B =

(

2√<i>x</i>+3√<i>y</i>

√xy+2_√<i>x −</i>3_√<i>y −</i>6<i>−</i>

6<i>−</i>√xy

√xy+2_√<i>x</i>+3_√<i>y</i>+6

)

a) Rót gän B. b) Cho B = <i>y</i>+10

<i>y −</i>10(<i>y ≠</i>10). Chøng minh :

<i>x</i>
<i>y</i>=

9
10
<b>Bài 22 :</b> Cho biểu thức : <i>P</i>=

(

√<i>x</i>+2

<i>x −</i>5√<i>x</i>+6<i>−</i>

√<i>x</i>+3
2<i>−</i>√<i>x</i>+

√<i>x</i>+2

√<i>x −</i>3

)

:

(

2<i>−</i>

√<i>x</i>

√<i>x</i>+1

)

a) Rút gọn P. b) Tìm x để 1

<i>P≤−</i>

5
2
<b> B i 23à</b> : Cho biÓu thøc <b>:</b> <i>P</i>= <i>x</i>

2<i></i>

<i>x</i>
<i>x</i>+<i>x</i>+1<i></i>

2<i>x</i>+<i>x</i>

<i>x</i> +

2(<i>x </i>1)

<i>x </i>1

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. c) Tìm

x biu thc <i>Q</i>=2<i>x</i>

<i>P</i> nhận giá trị nguyên
<b>Bi 24:</b> Cho biu thức : <i>P</i>=

(

√<i>x −</i>1

√<i>x</i>+1<i>−</i>

√<i>x</i>+1

√<i>x −</i>1

)(

1
2√<i>x−</i>

√<i>x</i>

2

)

2

a) Rút gọn P b) Tìm x để <i>P</i>

√<i>x</i>>2
<b>Bài 25:</b> Cho biểu thức : <i>P</i>=

(

1

√<i>x −</i>2+

5√<i>x −</i>4
2√<i>x − x</i>

)

:

(

2+√<i>x</i>

√<i>x</i> <i>−</i>

√<i>x</i>

√<i>x −</i>2

)

a) Rút gọn P b)*Tìm m để có x thoả mãn : <i>P</i>=mx√<i>x −</i>2 mx+1

<b>Bµi26:</b> Cho biĨu thøc A =

(

1

√1<i>− x</i>+

1

√1+<i>x</i>

)

2

<i>x</i>2<i>−</i>1

2 <i>−</i>

√

1<i>− x</i>

2

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A.

3. Giải phơng trình theo x khi A = - 2.

PhÇn thøhai

<b>A>kiÕnthøc cÇn nhí </b>

-Hàm số bậc nhất : y = ax + b đồng biến khi a > 0 . Khi đó Đths tạo với rrục hồnh ox một góc
nhọn .Nghịch biến thì ngợc lại.

-ĐK hai đờng thẳng song song là :

'
'
<i>a a</i>
<i>b b</i>






</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

-ĐK hai đờng thẳng vng góc là tích a.a’ = -1
-Đt hs y=ax( a



0) đi qua gốc toạ độ

-Đths y=ax+b (a



0,b



0)khơng đi qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy 1 tam giác

B. Bài tập

<b>Bµi 1</b> : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10

a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hồnh .

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số ln đi qua 1 điểm cố định với mọi m.

<b>h)</b>Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất

<b>Bài 2</b>: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5
c) Đờng thẳng d to vi Ox mt gúc nhn

d) Đờng thẳng d t¹o víi Ox mét gãc tï

e) Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hồnh độ 2

f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hồnh độ là 2
g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4

h) Đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đờng thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1

<b>Bài 3</b>: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5
a) Vẽ đồ thị với m=6

b) Chứng minh họ đờng thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi
c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vng cân
d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh một góc 45o

e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh một góc 135o

f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh một góc 30o_{, 60}o

g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y
h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x

<b>Bài4</b> (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dơng năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số ln ln nghịch biến .

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3.

c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.

d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hồnh một tam giác có diện tích bằng 2

<b>Bài 5 </b>(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dơng năm 2004<i>)</i>

Trong h trc to Oxy, cho hm s y = 2x + m (*)
1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm

a)A(-1 ; 3); b) B( _√2 ; -5 _√2 ) ; c) C(2 ; -1)

2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần t thứ IV

<b>Bµi 6</b>:Cho (d1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4

a) Tìm m để đồ thị (d1)đi qua M(2;3)

b) Cmkhi m thay đổi thì (d1)ln đi qua một điểm A cố định, (d2) đi qua B c nh.

c) Tính khoảng cách AB

d)Tỡm m d1 song song với d2

e)Tìm m để d1 cắt d2. Tìm giao điểm khi m=2

<b>Bµi 7</b> Cho hµm sè y =f(x) =3x – 4 <i> </i>

a)Tìm toạ độ giao điểm của đths với hai trục toạ độ
b) Tính f(2) ; f(-1/2); f( 7 24)

c) Các điểm sau có thuộc đths khơng? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)
d)Tìm m để đths đi qua điểm E(m;m2_-4)

e)Tìm x để hàm số nhận các giá trị : 5 ; -3

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ là -4

l) Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ và tung độ bằng nhau

PhÇn thø ba

<b>A>kiếnthức cần nhớ</b>

1)Các phơng pháp giải HPT

a) Phng phỏp th : Thờng dùng giải HPT đã có 1 phơng trình 1 ẩn , có hệ số của ẩn bằng 1 và hệ
chứa tham số

b) Phơng pháp cộng : Phải biến đổi tơng đơng HPT về đúng dạng sau đó xét hệ số của cùng 1 ẩn
trong 2 phơng trình :- Nếu đối nhau thì cộng .Nếu bằng nhau thì trừ .Nu khỏc thỡ nhõn .

Nếu kết quả phức tạp thì đi vòng.

c) Phng phỏp t n ph : Dựng “đa ” HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn
2)Một số dạng toán quy về giải HPT:

- Viết phơng trình đờng thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)
- Ba điểm thẳng hàng

- Giao điểm của hai đờng thẳng(Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của HPT)
- Ba đờng thẳng đồng quy

- Xác định hệ số của đa thức , phơng trình…
3)Giải phơng trình bậc nhất 1 n

<b>B> Các dạng bài tập </b>

<b>I-Dng 1:</b> Gii HPT không chứa tham số ( Chủ yếu là dùng phơng pháp cộng và đặt ẩn phụ ) Bài
tập rất nhiều trong SGK,SBT hoặc có thể tự ra

<b>II-D¹ng 2 :</b> HƯ phơng trình chứa tham số

1)Cho HPT : 9 3

<i>x my o</i>

<i>mx</i> <i>y m</i>

 




  


a) Gi¶i HPT víi m = -2

b) Giải và biện luận HPT theo tham sè m

c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = 7
d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm

e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm ngun

f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m

Chú ý : <i>Việc giải và biện luận HPT theo tham số là quan trọng .Nó giúp ta tìm đợc điều kiện của</i>
<i>tham số đề HPt có 1 nghiệm ,VN,VSN .</i>

<i> </i>

<i>2) Cho hệ phơng trình:</i>

mx y 3

9x my 2m 3

a. Giải phơng tr×nh víi m = 2, m = -1, m = _√5

b. Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm.
c. Tìm m để 3x + 2y = 9 , 2x + y > 2

d. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng.
e. Tìm m để phơng trình có nghiệm nguyờn õm.

<i>3)Cho hệ phơng trình</i>

(<i>m</i>1)<i>x</i>+<i>y</i>=<i>m</i>

<i>x</i>+(<i>m</i>1)<i>y</i>=2
{

; có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m;

b) Tìm giá trị của m thoả mÃn 2x2 _{- 7y = 1}

c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A = 2<i>x −</i>3<i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>4)Cho hệ phơng trình</i>

mx<i> y</i>=1

<i>x</i>+my=2
{

a.Giải hệ phơng trình theo tham sè m.

b.Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x,y). Tìm các giá trị của m để x +y = 1
c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khụng ph thuc vo m.

5)Cho hệ phơng trình :

( 1) 3

.

<i>a</i> <i>x y</i>
<i>a x y a</i>

  




 


a) Gi¶i hƯ víi <i>a</i> 2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0

6)Cho hệ phơng trình

2

3 5

<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>my</i>






 



<b>a)</b> Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y<b> = </b> 3 1
<b>b)</b> Chứng minh hệ ln có nghiệm duy nhất với mọi m
7)Cho hệ phơng trình :

¿
2<i>x</i>+3<i>y</i>=3+<i>a</i>

<i>x</i>+2<i>y</i>=<i>a</i>
¿{

¿

a)T×m a biÕt y=1

b)Tìm a để : x2_+y2 ₌₁₇

8)Cho hệ phơng trình

( 1) 3 1

2 5

<i>m</i> <i>x my</i> <i>m</i>

<i>x y m</i>

 

a) Giải hệ phơng trình với m = 2

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x2_+y2_{đạt giá trị nhỏ nhất}

<b>D¹ng 3. Một số bài toán quy về HPT</b>

1) Vit phng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A(2;5) và B(-5;7)
2) Cho hàm số y = (3m-1)x + 4n -2

Tìm m,n biết đồ thị hàm số đi qua điểm (5 ;-3) và cắt trục hồnh tại 1 điểm có hồng độ là -2
3)Tìm giao điểm của hai đờng thẳng 4x-7y=19 và 6x + 5y = 7

<i>4) Cho 2 đờng thẳng:</i> d1: <i>y = mx + n</i>

d2<b>:</b> (m - 1)x + 2ny = 5

a. Xác định m,n biết d1 cắt d2 tại điểm (2;- 4)

b. Xác định phơng trình đờng thẳng d1 biết d1 đi qua điểm (-1; 3) và cắt ox

tại một điểm có hồnh độ là - 4.

c. Xác định phơng trình đờng thẳng d2 biết d2 đi qua điểm 7 trên oy và song

song với đờng thẳng y - 3x = 1

5) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax+ b.

Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A (1;3) và B (-3; 1)

6) Tìm giá trị của m để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
y = 6 - 4x ; y = 3<i>x</i>+5

4 ; vµ y = (m – 1)x + 2m.

7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm

A(-1 ; 3) ; B( _√2 ; -5 _√2 ) ; C(2 ; -1)

b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần t thứ IV
8)Cho hàm số: y = (2m-3)x +n-4 (d) (

3
2

<i>m</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

1. Tìm các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) :

a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

b) Cắt oytại điểm có tung độ <i>y</i>3 2 1 và cắt ox tại điểm có hồnh độ <i>x</i> 1 2
2. Cho n = 0, tìm m để đờng thẳng (d ) cắt đờng thẳng (d/_{) có phơng trình x-y+2 = 0}

tại điểm M (x;y) sao cho biểu thức P = y2_-2x2_{đạt giá trị lớn nhất.}

9)Cho hµm sè y = (m -2)x + m + 3

a)Tìm điều kiện của m để hàm số ln ln nghịch biến .

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng 3.

c)Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
10) Chứng minh 3 điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng

11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m2_{) ,C(-3} _{;-2) thẳng hàng.}

12)Chứng minh 3 đờng thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 và y = 4x- 7 cắt nhau tại 1 điểm.

PhÇn thứ t

<b>A.Phân loại và ph ơng pháp giải</b>

Loi 1 : Phơng trình bậc nhất 1 ẩn và phơng trình đa đợc về dạng ax =
c

<b>Phơng pháp giải</b> : Biến đổi tơng đơng phơng trình về dạng : ax = c

<i>-NÕu a khác 0 thì phơng trình có 1 nghiệm</i> <i>: x = c/a</i>

<i>-Nếu a = 0 thì phơng trình vô nghiệm khi c khác 0 , vô số nghiệm khi c = 0</i>
<i>-NÕu a cha râ ta ph¶i xÐt tÊt cả các trờng hợp (biện luận)</i>

<b>Chỳ ý</b> : Trong qu trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc . –Nếu có mẫu thờng quy
đồng rồi khử mẫu

-Nếu mẫu quả lớn thì có thể quy đồng tử .– Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu .-Chỉ đợc cùng
nhân ,chia 1s khỏc 0

Loại 2; phơng trình bậc 2:

<b>Phng phỏp giải</b> : Biến đổi tơng đơng Pt về đúng dạng ax2_{+ bx + c = 0}

<i>- D¹ng khuyÕt ax2_{+ bx = 0 thì đa về dạng phơng trình tích x(ax + b) = 0}</i>

<i>- D¹ng khuyÕt ax2_{+ c = 0 thì đa về dạng x}2_{= m}</i>

<i>- NÕu a+ b + c = 0 th× x = 1 ; x = c/a</i>
<i>- NÕu a - b + c = 0 th× x =-1 ; x= -c/a</i>
<i>- NÕu b = 2b/_{thì dùng CTNTG}</i>

<i>- Còn lại thì dùng CTN</i>

Loại 3 : phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
<b>Dạng 1: PT Chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối </b>

<b>Phơng pháp giải</b> : 1)Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối nếu ngoài chứa ẩn
2)Nếu ngồi khơng chứa ẩn thì đa PT về dạng /f(x)/ = m

Chú ý : -Đối chiếu ĐK . – 2 dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) và /f(x)/ =- f(x)

<b>Dạng 2: PT chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối</b>

Phơng pháp giải: 1) Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối
2) Lập bảng xét dấu rồi xét từng khoảng giá trị của ẩn

<b>Chú ý</b> : -Đối chiếu ĐK . – Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ và f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0

<b>Dạng 3: PT chứa 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên</b> : thì lập bảng xét dấu …hoặc đa về HPT
Loại 4 : phơng trình chứa ẩn trong du cn (PT vụ t)

Giải PT vô tỉ trớc hết phải tìm ĐKXĐ

<b>Dng 1</b>: = g (x) (1). õy là dạng đơn giản nhất của phơng trình vơ tỉ.
Sơ đồ cách giải:

= g (x) 

 

 

 

 

2

 

g x 0 2 .
f x g x 3 .



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Dạng 2: Đa vÒ PT chøa dÊu </b> :

-Nếu trong căn viết đợc dứa dạng bình phơng thì đa về phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

<b>Dạng3 : Đặt ẩn phụ :</b> -Nếu bên ngoài biến đổi đợc giống trong thì đặt ẩn phụ ( ĐK của ẩn ph
l khụng õm)

<b>Dạng 4 : Dùng phơng pháp bình phơng 2 vÕ :</b>

<b>Chú ý</b> : Khi bình phơng 2 vế phải cô lập căn thức và đạt điều kiện 2 vế không âm
-Dạng <i>A</i> <i>B</i>  <i>A</i> <i>B</i> <i>m</i> thng bỡnh phng 2v

Loại 5 : Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Giải PT chứa ẩn ở mẫu trớc hết phải tìm ĐKXĐ

<b>Phng phỏp gii :</b> 1) Thơng thờng - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết
luận

2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo
3) Nhóm hợp lý ( nếu việc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên)
Loại 6 : Phơng trình bậc cao -Đa về Pt tích -Đặt ẩn phụ

<b>B.Bµi tËp</b>

a. 3x+5 = x-1 h. (2x+3)2-(4x-7)(x+5)=0
b.

5 3 2
3
4 6

<i>x</i> <i>x</i>

 

i. 7(x+4)-3(6-x)=0
c. (2x - 3)2_{- (x + 2)(4x - 1) = 0} _k.

√

<i>x</i>+_√2<i>x −</i>1 +

_√

<i>x −</i>_√2<i>x −</i>1 = 2

d. x2_{- (}

√3 + 1)x = - _√3 l. (x2_{+ x + 1) (x}2_{+ x + 12) = 12}

e. <i>x −_x</i> 2

+2+
3
2<i>− x</i>=

2<i>x −</i>22

<i>x</i>2<i>₋</i>₄ m.

(

<i>x</i>

2

<i>−</i>1
3<i>x</i>+2

)

2

<i>−</i>5<i>x</i>

2

<i>−</i>5

3<i>x</i>+2 = 6

g. x + _√7<i>x</i>+2 = 4 n. x2_{- 3x +}

√

<i>x</i>2<i>₋</i>₃<i>_x</i>

+1 = 1

p. <i>x</i>2 (<i>x</i>2)2 4 q. 4x2_{– 1 = 0}

r. <i>x</i>+3
<i>x −</i>2<i>−</i>

<i>x</i>+1

<i>x</i>+2=

<i>x</i>2<i>−</i>4<i>x</i>+24

<i>x</i>2<i>−</i>4 t.

√

4<i>x</i>

2

<i>−</i>4<i>x</i>+1 = 2008<i>5 u) = </i>

Phần thứ năm

<b>A.Các dạng bài tập và ph ơng pháp giải </b>
<b>Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiƯm </b>

Cã thĨ xảy ra 6 trờng hợp

-Muốn chứng minh PTB2 lu«n cã nghiƯm , cã 2 nghiƯm pb , v« nghiƯm ta chøng minh
Luôn không âm ,luôn dơng , luôn âm.

-Mun tỡm iu kin PTB2 cú nghiệm ,vơ nghiệm ta giải bất phơng trình …

<b>D¹ng 2 ; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiƯm </b>

Phơng pháp giải: - Kiểm tra điều kiện có nghiệm. Tính tổng, tích 2 nghiệm theo ViéT
-Biến đổi biểu thức về dạng tồn Tổng ,Tích 2 nghiệm

<i><b>Chú ý</b></i> –Nếu gặp Hiệu, Căn thì tính bình phơng rồi suy ra
-Nếu biểu thức khơng đối xứng thì có thể dùng

2

1 1 0

<i>ax</i> <i>bx</i>  <i>c</i>
;

2

2 2 0

<i>ax</i> <i>bx</i> <i>c</i>
-Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm

Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh ho¹t

<b>Dạng 3 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số</b>

B

íc 1 : TÝnh tỉng vµ tÝch 2 nghiƯm theo ViÐt
B

íc 2 : Rót tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngợc lại

<b>Chỳ ý</b>: Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao trớc bẳng cách
nh phơng pháp cộng trong giải HPT

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Dạng 4 ; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm </b>

B

ớc1 : Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng vµ tÝch 2 nghiƯm theo ViÐt
B

ớc 2 : Biến đổi tơng đơng hệ thức về dạng toàn Tổng, Tích 2 nghiệm. Nếu khơng đợc thì giải
hệ... ( Hệ thức có bậc 1 )

<b>Chú ý</b>: -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm .

- Nếu hệ thức chứa Hiệu, căn thì có thể bình phơng, chứa dấu giả trị tuyệt đối thì cú th
thnh 2 phn

<b>Dạng 5 : Lập ph ơng tr×nh bËc 2 biÕt 2 nghiƯm </b>

Khi lËp PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn

- Muốn lập PTB2 cã 2 nghiƯm <i>x x</i>1, 2_{ta lµm nh sau:}

TÝnh <i>x</i>1<i>x</i>2 <i>S x x</i>, .1 2 <i>P</i>_{VËy PTB2 cần lập là} _{: x}2_{- Sx+ P =0}

<b>Dạng6 :Tìm 2 số biết tổng và tích</b>:Dủng phơng pháp thế đa về PTB2

<b>Dạng7 :Xét dấu các nghiệm của PT</b>

Xét phơng trình bậc hai: _ax2

+bx+<i>c</i>=0 (a 0¿

Cã <i>Δ</i>=<i>b</i>2<i>−</i>4 ac P = <i>x</i>1<i>x</i>2=
<i>c</i>

<i>a</i> S = <i>x</i>1+<i>x</i>2=<i>−</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc
hoặc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai mà khơng cần giải phơng trình đó, ta cú th ng
dng nh lớ Viột .

1. Phơng trình có 2 nghiệm dơng <i></i>

<i></i>0

<i>P</i>

<i>S</i>

{{0|

2. Phơng trình có 2 nghiệm âm <i></i>

<i></i>0

<i>P</i>

0
<i>no</i>

<i>S</i>
{{0|

3. Phơng trình có 2 nghiệm tr¸i dÊu: P<0

Nhiều bài tốn địi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm khơng âm.
Thờng có 2 cách giải:

<b>C¸ch 1</b>: Cã P

0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm dơng 1 nghiệm không âm)

Hoặc P = 0 Trờng hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

Hoặc:

<i>P</i>

<i></i>0

<i>S</i>

{0|{

Thỡ hai nghiệm đều dơng.

<b>C¸ch 2:</b>

Trớc hết phải có <i>Δ≥</i>0 khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm khơng õm nu :
<i>S</i>

0 ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm dơng)

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Hoặc

0<i>, P </i>0

<i>S</i>

( Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.

<b>Dạng 8: Nghiệm chung của 2 ph ơng trình</b>
<b>Dạng 9:Hai ph ơng trình t ơng đ ơng</b>

<b>Hc sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau:</b> Khi tìm ra hai phơng trình vơ nghiệm thờng vội kết luận
ngay là hai phơng trình đó khơng tơng đơng với nhau:

<b>VD3:</b> Tìm m để hai phơng trình x2_{– mx + 2m -3 = 0 (1); x}2_{– (m}2 _{+ m - 4)x + 1= 0 (2)}

t-ơng đt-ơng.

<b>H</b>

<b> ng dn : </b> Hai phơng trình trên tơng đơng trong hai trờng hợp
* Tr ờng hợp 1 : PT(1) và PT(2) vô nghiệm

<i>⇔</i>
<i>Δ</i>1<0
<i>Δ</i>2<0

¿{

<i>⇔</i>
<i>m</i>2<i>−</i>8<i>m</i>+12<0

(<i>m</i>2+<i>m−</i>4)2<i>−</i>4<0
¿{

<i>⇔</i>

2<<i>m</i><6
3<<i>m</i><<i>−</i>2

1<<i>m</i><2
¿{ {

(không xảy ra)
* Tr ờng hợp 2 : PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x1; x2 thì theo định lý Vi-ét ta có:

¿

<i>x</i>₁+<i>x</i>₂=<i>m</i>=<i>m</i>2+<i>m</i>+4

<i>x</i>₁.<i>x</i>₂=2<i>m−</i>3=1

<i>⇔</i>

¿<i>m</i>2<i>−</i>4=0
2<i>m−</i>4=0

<i>⇔m</i>=2
¿{

¿

.

Thử lại với m = 2 thì hai phơng trình tơng đơng vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy m = 2

<b>Với loại toán này ta cần lu ý học sinh: </b>Khi cả hai phơng trình vơ nghiệm thì hai phơng trình
đó cũng là hai phơng trình tơng đơng. Cho nên với một số bài tốn ta phải xét hai trờng hợp,
tr-ờng hợp cả hai phơng trình vơ nghiệm và trtr-ờng hợp cả hai phơng trình có cùng một tập hợp
nghiệm.

<b>VD4</b>: Tìm m, n để phơng trình x2_{– (m + n)x -3 = 0 (1)}

và phơng trình x2_{– 2x + 3m – n – 5 = 0 (2) tơng đơng.}

<b>H</b>

<b> íng dÉn</b>:

PT(1) cã <i>Δ</i>=(<i>m</i>+<i>n</i>)2+12>0<i>∀m, n</i> nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Do đó PT(1) và PT(2) tơng đơng khi hai phơng trình này có cùng tập hợp nghiệm nghĩa là:

¿

<i>x</i>1+<i>x</i>2=<i>m</i>+<i>n</i>=2
<i>x</i>1.<i>x</i>2=<i>−</i>3=3<i>m−n </i>5

<i></i>

<i>m</i>+<i>n</i>=2
3<i>m n</i>=2

<i></i>

<i>m</i>=1

<i>n</i>=1
{

. Vậy m =1 và n =1 là các giá trị cần tìm

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>B. bài tập</b>

<b>Bài 1</b>:Cho phơng trình mx2_{+(2m-1)x+(m-2)=0}

<b>1.</b> Giải phơng trình với m = 3

<b>2.</b> Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x12+x22=2006

<b>3.</b> T×m hƯ thøc liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

<b>Bài 2</b>: Cho phơng trình (m-1)x2 _{+ 2mx + m 2 = 0.}

a) Giải phơng trình khi m = 1

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 16, v tỡm nghim cũn li.

<b>Bài 3</b> : Cho phơng trình: x2_{-(m+1)x + m = 0}

a) giải phơng trình với m = 3

b) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 17

c) Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm khơng phụ thuộc vào m

<b>d)</b>Giải phơng trình trong trờng hợp tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nh nht.

<b>Bài 4</b> : Cho phơng trình: x2_{- 2mx + 2m 1 = 0}

a) Giải phơng trình víi m= 4

b) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 10.

c) lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm khơng phụ thuộc vào m
d) Tìm m sao cho : 2(x12+x22)- 8x1x2 = 65

<b>Bài 5</b>: Cho phơng trình : x2_{-(2k+1)x +k}2_{+2 = 0}

a) Tìm k để phơng trình có nghiệm này gấp đơi nghiệm kia.
b) Tìm k để phơng trình có x12+x22 nh nht .

<b>Bài6</b>: Cho phơng trình x2_+mx+m-1=0

a) Giải phơng trình với m=3

b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m
c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của phơng trình

<b>Bài 7</b>: Cho phơng trình: x2_{+( 2m+1 ).x+m}2_+m-2=0

a) Giải phơng trình với m= 4

b) Chứng minh phơng trình cã nghiƯm víi mäi m

c) Gäi x1,x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình. Tính theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2.

<b>Bài 8</b>: Cho x2_{-4x-( m}2_+2m)=0

a) Giải phơng trình với m=5.

b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m.

c) Tính x2

1+x22+8( x1x2+1) theo m

d) Tìm m để x2

1+x22=5( x1+x2)

<b>Bµi 9</b>: Cho phơng trình 2x2_+6x+m=0

a)Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phơng trìnhcó 2 nghiệm thoả mãn <i>x</i>1
<i>x</i>2

+<i>x</i>2

<i>x</i>1
<i>≥</i>5
<b>Bµi 10</b>: Cho x2_{-2( m-1)x +m-3=0}

a) Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm khơng phụ thuộc m
c) Tìm m để x1-3x2=5

<b>Bài 11</b>:Cho phơng trình : x2_{– (m + 5)x – m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa hai}

nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n : 2x1 + 3x2 = 13

<b>Bài 12</b>: Cho phơng trình: x2_{- 2mx + m = 7}

a. Giải phơng trình víi m = 7, m = - 4, m = 3

b. Cm phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biƯt víi m

c. Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tính x1 theo x2.

d. TÝnh theo m: 1
<i>x</i>1

3 +

1

<i>x</i>2

3 , 3x ❑1

2 _{- 2mx}

1 + 2x ❑₂2 + m

e. Tính m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm dơng.
g. Với điều kiện nào của m thì _|<i>x</i>₁<i>− x</i>₂_| = 4 ; 2x1 + x2 = 0 ;

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

h. Tìm giá trị lớn nhÊt cña A = x,1(x2 – x1) - x ❑₂2 .

Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm phơng trình trên.

<b>Bµi 13</b>: Gäi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 – 2(m- 1)x – 4 =0

( m là tham số )
Tìm m để |<i>x</i>₁_| + |<i>x</i>₂_| = 5

<b>Bµi 14</b>:<i> Cho phơng trình:</i>

<i> x2</i><i>_{3x + 1 = 0 cã 2 nghiÖm x}</i>

<i>1, x2. TÝnh:</i>

a. x ❑12 + x ❑22 d. x ❑15 + x ❑52 h.

<i>x</i>1+1
<i>x</i>2

+ <i>x</i>2+1
<i>x</i>1

b. x ❑₁3 + x ❑3₂ e. |<i>x</i>1<i>− x</i>2| i) x1

√

<i>x</i>2 + x2

√

<i>x</i>1

c. x ❑₁4 + x ❑₂4 g. x1

√

<i>x</i>1 + x2

√

<i>x</i>2 k. x1(2x1- 3) + x ₂2

<b>Bài 15Cho phơng trình:</b>

<i>x2_{- 2x + m - 3 = 0}</i>
* Tìm m để phơng trình :

a. Cã nghiƯm kÐp. T×m nghiƯm kÐp.
b. Cã 2 nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n:

b1. (x1 + 3x2)( x2 + 3x1) = 0 b2. 3x1 + 5x2 = 0

b3. x ❑12 + x ❑22 - x1x2 = 0

* Biết phơng trình có 1 nghiệm là x1 = 4. Tìm m và x2.

<b>Bài 16Cho phơng trình x</b><i>2</i><i>_{(m+4)x + 3m+3 = 0 ( m lµ tham sè)}</i>

a. Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm cịn lại.
b. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x13 + x23 0 .

<b>Bài 17Cho phơng trình bậc 2 đối với x.</b>

(m + 1)x2_{- 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (3)}

a. Chứng minh rằng phơng trình (3) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị củ m khác - 1.

b- Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.

c. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai
nghiệm đó có nghiệm này gấp ụi nghim kia.

<b>Bài 18</b>Cho phơng trình : (m2_{+ 1)x}2_{+ 2(m}2_{+ 1)x – m = 0, víi m là tham số. Tìm giá trị lớn nhất}

và giá trị nhá nhÊt cđa : A = x12 +x22 víi x1 , x2 nghiệm của phơng trình

Xét hai phơng trình: x2_{+x+k+1 = 0 (1) và x}2_{- (k+2)x+2k+4 = 0 (2)}

a) Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = - 4

b) Tìm k để phơng trình (2) có một nghiệm bằng 2 ?
c) Với giá trị nào của k thì hai phơng trình trên tơng đơng ?

<b>Bµi 19</b>Xét hai phơng trình: x2_{+x+k+1 = 0 (1) và x}2_{- (k+2)x+2k+4 = 0 (2)}

a) Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = - 4

b) Tìm k để phơng trình (2) có một nghiệm bằng 2 ?
c)Với giá trị nào của k thì hai phơng trình trờn tng ng ?

<b>Bài 21:</b> Cho hai phơng trình : x2_{– (2m + n)x -3m = 0 (1) vµ x}2_{– (m + 3n)x - 6 = 0 (2). T×m}

m, n để hai phơng trình trên tơng ng

<b>Bài 22:</b> Cho hai phơng trình : x2_{+(m + 1)x +1 = 0 (3) vµ x}2_{+ x + m+ 1 = 0 (4)}

a) Tìm m để phơng trình (3) có tổng bình phơng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm m hai phơng trình trên tơng đơng.

<b>Bài 23:</b> Tìm m để hai phơng trình : x2_{+ 2x - m = 0 (5)}

2x2_{+ m x + 1 = 0 (6) tơng đơng}

Bµi 24: Cho phơng trình x2_{- 2(m + 1)x + m - 4 = 0}

a) Chứng minh rằng phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) kh«ng phụ thuộc vào m.

d) Tìm giá trị của biểu thøc x1 - x2 ; x12 - x22 ; x13 - x23.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

a) Định m để phơng trình mx2_{- (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 có tổng bình phơng các nghiệm là}

13.

b) Định m để pt mx2_{+ (2m - 1)x + (m - 2) = 0 có tổng bình phơng các nghiệm là 2005.}

Bµi 26: Cho phơng trình x2_{- 2(m + 1)x + m}2_{- 4m + 5 = 0.}

a) Định m để phơng trình có nghiệm.

b) Định m để phơng trình cú hai nghim phõn bit u dng.

Phần thứ sáu

<b>Bi 1:</b> Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá .Xe thứ nhất mỗi giờ đi
nhanh hơn xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hố sớm hơn xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc mỗi
xe,biết quãng đờng Hà Nội –Thanh Hoá dài 150 km

<b>Bài 2:</b> Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 120 km .Nửa giờ sau một xe máy chạy từ A để đến B
chạy chậm hơn xe tải 6 km/h nên đến B chậm hơn 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc mỗi xe ?

<b>Bài 3: </b>Hai bến sông AB cách nhau 80km. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B , ca
nô thứ nhất chạy chậm hơn ô tô thứ hai 4km/h . Trên đờng đi ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ rồi
chạy tiếp đến B. Tính vận tốc của mỗi ca nô , biết rằng ca nô thứ nhất đến B tr ớc ca nô thứ hai 20
phút.

<b>Bài 4:</b> Một ca nơ xi dịng 90km , rồi ngợc dịng 36 km. Biết thời gian xi dịng nhiều hơn
ng-ợc dịng là 2 giờ và vận tốc xi dịng lớn hơn ngng-ợc dịng là 6km/h. Tính thời gian mỗi ca nơ đi
hết qng đờng AB.

<b>Bµi 5: </b>Mét tµu thủ chạy trên một khúc sông dài 54km. Cả đi lẫn vỊ mÊt 5 giê 15 phót .TÝnh vËn
tèc cđa dßng nớc , biết vận tốc riêng của tàu khi nớc yên lặng là 21km/h.

<b>Bài 6: </b>Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 60km đi ngợc chiều nhau. Sau 1giờ
20 phút gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận
tốc ca nô đi ngợc là 9km/h và vận tốc dòng nớc lµ 3km/h.

<b>Bài 7:</b>Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách nhau 24km, cùng lúc đó có một chiếc bè trơi theo
dịng nớc từ A về hớng B. Sau khi ca nơ đến B quay trở lại thì gặp chiếc bè đã trơi đợc 8km. Tính
vận tốc riêng của ca nô, biết rằng vận tốc của bè bằng vận tốc dịng nớc bằng 4km/h.

<b>Bài 8: </b>Một ơ tơ dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định.Khi đi đ ợc
nửa quãng đờng xe bị chắn bởi xe hoả 3 phút .Vì vậy để đến B đúng hạn xe phải tăng tốc 2km/h
trên qng đờng cịn lại. Tính vận tốc dự định.

<b>Bài 9:</b>Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ C đến D. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con
đi với vận tốc 45km/h .Sau khi đã đi đợc 3/4 quãng đờng CD, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h
trên qng đờng cịn lại vì vậy đã đến D sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD.

<b>Bài 10: </b>Một ngời đi xe đạp dự định đi hết quãng đờng AB dài 20km trong thời gian đã định.
Nh-ng thực tế , sau khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, Nh-ngời đó đã giảm vận tốc đi 2km/h trên qNh-ng
đờng cịn lại. Vì vậy đã đến B chậm hơn dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định và thời gian lăn
bánh trên đờng.

<b>Bài 11:</b>Một ô tô dự định đi hết quãng đờng AB dài 150 km trong thời gian đã định. Sau khi đi đợc
2 giờ , ngời lái xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên qng đờng cịn lại .Do đó đã đến B sớm

hơn dự kiến 30 phút. Tính vận tốc ô tô đi ở đoạn đờng đầu ?

<b>Bài 12:</b> Một ngời dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian đã định.Sau khi
đi đợc nửa quãng đờng , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù trên quãng đờng còn lại
đã tăng tốc thêm 2km/h song vẫn đến đến B chậm hơn dự kiến 12phút. Tính vận tốc của ng ời đi
xe đạp trên đoạn đờng cuối của đoạn AB.

<b>Bài 13: </b>Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km. Cùng lúc đó có một xe máy chạy từ B
trở về A và gặp xe ô tô tại một tỉnh C cách một trong hai điểm khởi hành 75km. Tính vận tốc của
mỗi xe ,biết rằng nếu vận tốc của hai xe không đổi và xe máy khởi hành trớc ô tô 48 phút thì sẽ
gặp nhau ở giữa quãng đờng.

<b>Bài 14:</b> Một ô tô đi từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định . Nếu vận tốc tăng 20km/h so
với dự định thì thời gian đến B sẽ giảm 1giờ, nhng nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian đến B
sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ơ tô.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Bài 15 :</b> Một bè nứa trôi tự do (<i><b>với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước</b></i>) và một ca nô cùng dời
bến A để xuôi dịng sơng. Ca nơ xi dịng được 144 km thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về
hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A, khi cịn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa nói ở trên.
Tìm vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dòng nước.

<b>Bài 16: </b>Theo dự kiến , một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhng
thực tế , do áp dụng khoa học kỹ thuật nên đã tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ .Do đó khơng
những hồn thành trớc thời hạn 40 phút mà còn vợt mức 10 sản phẩm. Tính năng suất dự kiến.

<b>Bài 17:</b> Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định . Trớc khi làm việc xí
nghiệp giao thêm cho 29 sản phẩm nữa . Do vậy mặc dù ngời đó đã làm tăng mỗi giờ 3 sản phẩm
song vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.

<b>Bài 18:</b> Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong thời gian đã định thì mỗi giờ

phải bơm đợc 10 m3_{. Sau khi bơm đợc 1/3 thể tích bể chứa , ngời công nhân vận hành cho máy}

hoạt động với công suất lớn hơn 5m3_{mỗi giờ so với ban đầu. Do vậy , so với qui định b cha c}

bơm đầy trớc 48 phút . Tính thể tÝch bĨ chøa .

<b>Bài 19:</b> Một xí nghiệp giao cho một công nhân làm 120 sản phẩm trong thời gian qui định. Sau
khi làm đợc 2 giờ , ngời đó cải tiến kỹ thuật nên đã tăng đợc 4sản phẩm/ giờ so với dự kiến . Vì
vậy trong thời gian qui định khơng những hồn thành kế hoạch mà cịn vợt mức 16 sản phẩm.
Tính năng suất làm lúc đầu.

<b>Bài 20:</b> Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa số
l-ợng đợc giao , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù làm thêm 2 sản phẩm mỗi giờ với
nửa số sản phẩm còn lại song vẫn hồn thành cơng việc chậm hơn dự kiến 12phút. Tính năng
suất dự kiến .

<b>Bài 21:</b>Hai vịi nớc cùng chảy vào một bể chứa khơng có nớc thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu
mở vòi thứ nhất chảy 15 phút rồi khố lại, rồi mở tiếp vịi thứ hai chảy 20 phút thì đợc 20% bể.
Hỏi nếu để từng vịi chảy một thì sau bao lâu bể đầy.

<b>Bài 22:</b>Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa khơng có nớc thì sau 2 giờ 40 phút đầy bể. Tính
xem nếu để từng vịi chảy thì mỗi vịi cần bao lâu, biết rằng để chảy đầy bể thì vòi thứ nhất cần
nhiều hơn vòi thứ hai là 4 gi.

<b>Bài 23:</b>Hai công nhân cùng làm một công việc sau 4 ngày hoàn thành . Biết rằng nếu làm một
mình xong việc thì ngời thứ nhất làm nhanh hơn ngời thứ hai là 6 ngày .Tính thời gian mỗi ngời
làm một mình xong công việc trên.

<b>Bi 24: </b>Trong mt bui liên hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự . Vì lớp đã có 40 học
sinh nên phải kê thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải xếp thêm 1 ng ời nữa mới đủ chỗ

ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có bao nhiêu dãy ghế, biết mỗi dãy có số ngời ngồi nh nhau và khơng
q 5 ngời.

<b>Bài 25:</b>Trong một trang sách nếu thêm 2 dòng và mỗi dịng bớt đi 1chữ thì số chữ trong trang
tăng thêm 4 chữ. Nhng nếu bớt đi 3 dịng và mỗi dịng thêm 2 chữ thì số chữ trong trang vẫn
khơng thay đổi. Tính số chữ , số dòng trong trang sách lúc đầu.

<b>Bài 26: </b>Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lợng xe để chuyên chở 420 tấn hàng .
Nhng thực tế đội đã điêù động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban đầu 7 tấn so
với dự kiến. Tính số lợng xe mà đội đã điều động chuyên chở.

<b>Bài 27:</b>Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10.
Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu 18
đơn vị. Tìm số có hai chữ số.

<b>Bài 28:</b>Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m . Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn thuộc
đất của vờn rộng 2m , diện tích đất cịn lại để trồng trọt là 4256m2_{. Tính kích thớc của vờn}

<b>Bài 29:</b>Trên một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt bằng 30m, 50m ngời ta
làm hai đoạn đờng có cùng chiều rộng. Các tim đờng lần lợt là đờng trung bình của hình thang và
các đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy.Tính chiều rộng các đoạn đờng đó biết rằng diện
tích làm đờng chiếm 0,25 diện tích hình thang.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Bài 31 :</b> Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô
thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận
tốc của mỗi ơtơ ?

<b>Bài 32 :</b> Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng
từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dịng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nơ quay lại ngay và
gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nơ.

<b>Bài 33:</b>Để hồn thành một cơng việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì
tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hồn thành cơng việc cịn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu
mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong cơng việc đó ?

<b>Bài 34</b> : Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng
1792m2_{. Tớnh chu vi ca khu vn y.}

Phần thứ bảy

<i>Bài1- Cho hµm sè</i> <i><b>y = </b></i> 1
2 <i><b>x</b><b>2</b></i>

a. V th hm s.

b. Tính giá trị của hàm sè t¹i x = _√2 + 3

c. Các điểm A(- 1; - 1

2 ), B(4;8) , C( √2 ;1) có thuộc đồ thị hàm số không?

d. M, N là các điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ là 2, - 4.
Viết phơng trình đờng thẳng MN.

e. Tìm giao điểm của đờng thẳng y = x + 4 với đồ thị hàm số trên.

g. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (3; 4) và tiếp xúc với đồ thị hàm
số trên.

h. Chứng minh đờng thẳng y = mx + m + 3 luôn cắt đồ thị hàm số trên với

m. Gọi 2 giao điểm là A, B. Tìm m để:

x ❑<i>A</i>2 + x ❑<i>B</i>2 - xAxB = - 3 ; xA + xB = 0

k. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp đơi hồnh độ.

<b>Bµi2 : Cho hµm sè f(x) = x</b><i>2_{- x +2}</i>

a. TÝnh c¸c giá trị của hàm số tại x = 1

2 vµ x = -3

b. Tìm các giá trÞ cđa x khi f(x) = 2 vµ f(x) = 14

<b>Bài 3</b> : <i>(1,5 điểm)</i> Vẽ parabol y = - x2_{/2 (P) : và đường thẳng (D) : y = 3x trên cùng một hệ trục}

tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

<b>Bài 4</b>:Cho <i>y</i>=(_√<i>m −</i>5<i>−</i>2).<i>x</i>2
a) Vẽ đồ thị hàm số với m=6

b) Tìm m để hàm số đồng biến với x<0

c) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua A( -2:12)

<b>Bài 5</b> Cho ( P): y=-x2_{. Đờng thẳng y =m cắt ( P) tại A; B. Tìm m để tam giác AOB u v tớnh}

diện tích tam giác ABO.

<b>Bài 6</b>: Cho Parabol ( P) : <i>y</i>=1

4 <i>x</i>

2

và đờng thẳng(d): <i>y</i>=<i>−</i>1
2<i>x</i>+2

a) Vẽ ( P) và ( d) trên cùng hệ trục toạ .

b) Gọi A, B là các giao điểm của ( P) và ( d). Tìm M trên cung AB của ( P) sao cho SMAB lớn nhất

c) Tìm N trên trơc hoµnh sao cho NA+NB nhá nhÊt

<b>Bài 7</b>: Cho Parabol ( P): y=3x2_{trong hệ trục toạ độ Oxy. Tìm m để đờng thẳng y=x+m cắt ( P}’_{) tại}

hai ®iĨm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bµi 8</b>: Cho Parabol y = <i></i>1

2<i>x</i>

2

và điểm M(1, -2).

1. Chng minh rng: Phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k ln cắt Parabol tại 2
điểm phân biệt A, B với <i>∀</i> k.

b. Gọi xA, xB lần lợt là hoành độ của A và B, xác định k để <i>x_A</i>2+<i>x</i>

<i>B</i>2<i>−</i>2<i>x_Ax_B</i>(<i>x_A</i>+<i>x_B</i>) đạt giá trị lớn
nhất. Tìm giá trị ấy.

<b>Bài 9 :</b> Vẽ đồ thị hàm số : y = - x2_{/4 (P) và đường thẳng (D) : y = 2x + 3 trên cùng một hệ trục}

tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

<b>Bµi 10</b>: Cho hµm sè y = ax2₍₁₎

a) Xác định a biết đồ thị của (1) đi qua điểm A



2 ;2 2



b) Vẽ đồ thị hàm só (1) với a va tỡm c.

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm sè khi x  [ - 2 ; 0 ] ; x  [ 0 ; 2 ] .
d) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè khi x  [ - 3 ; 3 ] .
Bµi 11: Cho hai hµm sè

2
1

y x vµ y 2x 2
2

  

.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.

Bài 12**: Tam giác đều AOB nội tiếp trong một parabol y = ax2_{đỉnh O là gốc tọa độ và đáy AB}

song song với trục Ox, A và B nằm trên parabol. Hãy tính tung độ của điểm B.
Bài 13: Cho đờng thẳng (d): y = k(x - 1) và parabol (P): y =

2
1

x

2 _{. Với giá trị nào của k thì (d):}

a) TiÕp xóc víi (P).

b) Cắt (P) tại một điểm có tung độ là 2 và hồnh độ dơng. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và
(d).

KHI CHứNG MINH HìNH CầN<b> KHAI THáC GIả THIếT</b>
Và<b> PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN</b>

<b>A.Khai thác giả thiết </b>

<i><b>-Khi chứng minh Hình cần khai thác những điều có đợc từ đầu bài ,những điều đã chứng </b></i>
<i><b>minh đợc.Đặc biệt cần chú ý những điều sau:</b></i>

<b>I.NÕu cã ®iĨm thc ® ờng tròn thì nghĩ tới</b>

1, Các bán kính bằng nhau
2, Tø gi¸c néi tiÕp

3,Các góc với đờng trịn.Đặc biệt nếu có đờng kính thì sẽ có góc vng

<b>II. NÕu cã Tứ giác nội tiếp thì nghĩ tới</b>

1,Cỏc gúc i bự nhau

2, 4 cặp góc nội tiếp bằng nhau (<i><b>nếu nối 2 đờng chéo</b></i>)
3, Góc trong bằng góc ngồi ở đỉnh đối (<i><b>Phải chứng minh</b></i>)
4, Điểm thuộc đờng trịn

5, Bài tốn “<i>Phơng tích</i>” (<i>Nếu có giao điểm 2 đờng chéo hoặc 2 cạnh đối)</i>
<b>III. Nếu có Tiếp tuyến thì nghĩ tới</b>

1,Các tính chất Vng góc , cách đều , phân giác
2, Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

<b>IV. Quan hệ </b><i><b>Góc - Cung </b></i>–<i><b> Dây </b></i>–<i><b> Khoảng cách từ tâm đến dây</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>V .Nếu có tam giác cân, tam giác đều , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình </b>
<b>vng…thì nghĩ ti</b>

Tính chất của các hình ấy

<b>VI.Nu cú gúc vuụng , tam giác vng thì nghĩ tới</b>
định lý Pi ta go và các hệ thức lợng trong tam giỏc vuụng

<b>VII.Nếu có 2 đ ờng thẳng song song thì nghĩ tới</b>

Định lý Ta Lét và các cặp góc So le trong , Đồng vị

<b>VIII.Nếu có đ ờng phân giác, ® êng trung tuyÕn , ® êng cao , trung trực</b> của tam giác thì nghĩ

tới tính chất của chúng

<b>B.phân tích đi lên từ kết luận (</b><i><b>Dựa vào các phÐp chøng minh)</b></i>

I - Chøng minh c¸c yÕu tè b»ng nhau.

1. Chøng minh hai gãc b»ng nhau.

C1 Thờng CM chúng là hai góc tơng ứng của <i><b>hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng</b></i>.
C2/ Nếu là <i><b>hai góc trong 1 tam giác</b></i> thờng CM chúng là hai góc ở đáy của <i><b>tam giác cân.</b></i>

C3/ Nếu là <i><b>hai góc đối trong một tứ giác</b></i> ta thờng CM tứ giác đó là <i><b>hình bình hành.</b></i>
<i><b>C4/ </b></i>Nếu <i><b>là hai góc kề trong một tứ giác</b></i> thờng CM tứ giác là <i><b>hình thang cân.</b></i>

C6/ Nếu là hai góc <i><b>So le trong</b></i> hoặc <i><b>đồng vị</b></i> thờng chứng minh <i><b>hai đờng thẳng song song.</b></i>

C7/ Nếu là hai <i><b>góc trong đờng trịn</b></i> ta thờng chuyển về <i><b>chứng minh cung , dây</b></i> tơng ứng bn
C8/ <b>Ngồi ra ta có thể sử dụng</b>: hai góc có cùng số đo (tính cụ thể), tính chất <i><b>tia phân giác</b></i>, hai
góc <i><b>đối đỉnh</b></i>, cặp góc<i><b> có cạnh tơng ứng vng góc</b></i> hay<i><b> song song</b></i>,…

<i><b>*Chú ý:</b></i> Nếu khơng chứng minh đợc trực tiếp. Ta nghĩ tới việc <i><b>sử dụng góc thứ 3 làm trung</b></i>
<i><b>gian</b></i>. ( CM chúng cùng bằng , cùng bù ,cùng phụ với 1 góc .Hay 2 góc cùng bằng tổng ,hiệu của
hai góc bằng nhau.)

2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

C1/ Thông thờng gắn vào hai cạnh tơng ứng của <i><b>hai tam giác bằng nhau.</b></i>

C2/ CM là hai cạnh bên của một <i><b>tam giác cân</b></i> hoặc <i><b>hình thang cân</b>.</i>

C3/ CM l <i><b>hai cạnh đối của hình bình hành</b></i> (HCN, Hình thoi, Hình vng).

C4/Sửdụngđịnh nghĩa:<i><b>Trung điểm đờng trung tuyến, đờng trung trực,bán kính , tiếp tuyến</b></i>

C5/ Sử dụng định lí thuận đảo về <i><b>đờng trung bình trong tam giác, hình thang.</b></i>

C6/ Nếu là 2 <i><b>đờng chéo</b></i> trong 1 tứ giác thờng CM tứ giác là <i><b>Hình thang cân, HCN, HV</b></i>.
C7/ Nếu là 2 <i><b>dây cung</b></i> trong 1 đờng tròn thờng chuyển về <i><b>dây , góc , kc đến tâm</b></i> tơng ứng.

<i><b>*Chú ý:</b></i> Ngồi ra ta có thể chứng minh bằng cách:
+ Biến đổi đại số trờn on thng bng nhau.

+ Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo.
+ Sử dụng <i><b>tính chất bắc cầu</b></i> hay CM phản chứng.

<b>II-Chng minh hai ng thng song song hai đờng thẳng vng góc</b>

1. Chứng minh hai đờng thẳng song song.

C1/CM cùng <i><b>song song</b></i> hoặc cùng <i><b>vng góc</b></i> với đờng thẳng thứ ba.
C2/ CM 1 cặp góc <i><b>SLT</b></i> hoặc đv <i><b>_{bằng nhau}</b></i>_{, hoặc 1 cp}<i><b>_{TCP bự nhau.}</b></i>

C3/ Nếu là 2 cạnh trong 1 tứ giác thờng CM tứ giác là <i><b>Hình bình hành</b></i>

C4/ Nếu có các <i><b>đoạn thẳng tỉ lệ</b></i>: ta sử dụng <i><b>định lí đảo của định lí Talét.</b></i>

C5/ Nếu có nhiều <i><b>trung điểm</b></i> thờng dùng <i><b>đờng trung bình</b></i> của tam giác , hình thang.

2. Chứng minh hai đờng thẳng vng góc.

C1/ Chứng minh chúng là hai <i><b>tia phân giác</b></i> của <i><b>hai góc kề bù </b></i>hay hai đờng thẳng cắt nhau tạo ra
góc bằng 900_.

C2/ Sử dụng tính chất đồng qui của <i><b>ba đờng cao</b></i> trong tam giác. Sử dụng tính chất <i><b>đờng cao</b></i> ứng
với <i><b>cạnh đá</b></i>y trong tam giác cân hoặc <i><b>đờng trung trực.</b></i>

C3/ Sử dụng tính chất <i><b>góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn</b></i>. <i><b>Đờng kính</b></i> của đờng trịn đi qua <i><b>trung</b></i>
<i><b>điểm của dây</b></i> cung hay <i><b>tính chất của tiếp tuyến</b></i>.

C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng <i><b>định lí đảo của định lí Pytago.</b></i>

C5/ Nếu là <i><b>2 đờng chéo</b></i> trong 1 tứ giác thờng chứng minh tứ giác là <i><b>hình thoi</b></i>

<b>C6/ </b>Chứng minh đờng thẳng này <i><b>vng góc</b></i> với đờng thẳng <i><b>song song</b></i> với đờng kia hoặc <i><b>song</b></i>
<i><b>song</b></i> với đờng thẳng <i><b>vng góc</b></i> với đờng kia.

III - chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng qui.

1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( Cùng thuộc một đờng thẳng )
Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

C2/ Chøng minh gãc ABC = 1800_.

C3/ CM: AB, AC <i><b>cùng song song</b></i> với một đờng thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc <i><b>cùng vng</b></i>
<i><b>góc</b></i> với 1 đờng thẳng.

C4/ Dùng tính chất: <i><b>Trung điểm 1 đờng chéo và 2 đầu đờng chéo kia</b></i> trong <i><b>hỡnh bỡnh hnh</b></i>

thẳng hàng. <i><b>Đờng kính đi qua tâm</b></i><b>.</b>

2. Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.

C1/ Chứng minh đờng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đờng thẳng kia.

C2/ Sử dụng tính chất các đờng thẳng đồng qui trong một tam giác: 3 đờng cao đồng qui,
3 đờng trung tuyến đồng qui, 3 đờng phân giác đồng qui, 3 đờng trung trực đồng qui.

C3/ Dùng tính chất <i><b>: Các đờng kính</b></i> đồng quy tại <i><b>tâm</b></i> .Các <i><b>đờng chéo của những hình bình</b></i>
<i><b>hành</b></i> có chung 1 đờng chéo đồng quy.

C4/ §a vỊ chøng minh ba điểm thẳng hàng.

IV - chứng minh các hình cơ bản.

1. Chứng minh tam giác cân.

C1/ CM tam giác cã <i><b>hai gãc b»ng nhau.</b></i>

C2/ CM tam gi¸c cã <i><b>hai c¹nh b»ng nhau.</b></i>

C3/ CM tam giác có <i><b>một đờng đi qua đỉnh</b></i> đồng thời là một đờng khác của tam giác.

2. Chứng minh tam giác đều.

C1/ CM tam gi¸c cã <i><b>ba cạnh bằng nhau.</b></i>

C2/ CM tam giác có <i><b>hai góc b»ng 60</b><b>0</b><b>_.</b></i>_hc<i><b>_{3 gãc b»ng nhau.}</b></i>

C3/ CM <i><b>tam giác cân có một góc bằng 60</b><b>0</b></i>_.hoặc<i><b>_{cạnh bên bằng cạnh đáy.}</b></i>

3. Chứng minh tam giác vuông.

C1/ S dng <i><b>nh lớ o của định lí Pytago</b></i> (nếu có độ dài).
C2/ CM tam giác <i><b>có một góc bằng 90</b><b>0</b><b>_.</b></i>

C3/ CM tam giác có <i><b>đờng trung tuyến bằng 1/2 cạnh tơng ứng</b></i>.

4. Chứng minh các đờng thẳng đặc biệt.

<b>Để chứng minh một đờng thẳng là: Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến, đờng</b>
<b>trung trực, đờng trung bình, trong một tam giác. Ta chứng minh:</b>

C1/ Sử dụng <i><b>tính chất đồng qui</b></i> của các đờng này trong một tam giác.
C2/ Sử dụng chính tính chất của các đờng ấy:

<b>VÝ dô</b>:

+ Điểm cách đều hai cạnh của góc thì thuộc tia phân giác của góc ấy.

+ Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng ấy.

Iv - Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn

C1/ CM bốn đỉnh cùng <i><b>cách đều </b></i>một điểm nào đó (gọi là tâm đờng trịn).
C2/ CM tứ giác có <i><b>tổng hai góc đối bằng 180</b><b>0</b><b>_.</b></i>

C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh tạo bởi hai đỉnh cịn lại dới <i><b>hai góc bằng nhau.</b></i>

C4/ CM tứ giác có <i><b>tổng các góc đối bằng nhau</b></i>

C5/Cm <i><b>góc trong bằng góc ngồi ở đỉnh đối.</b></i>

C6/CM tø giác là <i><b>hình chữ nhật</b></i> hoặc <i><b>hình thang cân</b></i>.

C7/ Chng minh <i><b>2 điểm thuộc đờng trịn đờng kính</b></i> là đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại.

<i><b>Chú ý</b></i>: Nếu CM 5 điểm trở lên cùng thuộc một đờng tròn. Ta chọn ba điểm cố định rồi chon
điểm thứ 4, sau đó CM 4 điểm này cùng thuộc một đờng trịn. Sau đó CM tơng tự với các điểm
cịn lại.

VI-chøng minh hÖ thøc , tØ lÖ thøc

C1/ Gắn vào 2 tam giác <i><b>đồng dạng</b></i>.

C2/ Nếu có đờng thẳng <i><b>song song</b></i> thờng dùng định lý Ta Lét.

C3/Nếu có <i><b>góc vng</b></i> thờng dùng hệ thức lợng trong tam giác vuông
C4/ Nếu có phân giác thờng dùng <i><b>tính chất đờng phân giác</b></i>

Chú ý: Nếu khơng chứng minh đợc trực tiếp thì dùng tính chất <i><b>bắc cầu. </b></i>

VII-Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn.

<b>C1/ C</b>hứng minh đờng thẳng <i><b>vng góc với bán kính</b></i> tại đầu thuộc đờng tròn.
C2/ Chứng minh <i><b>khoảng cách</b></i> từ tâm đến đờng thẳng bằng bán kính.

<b>VIII-các trờng hợp bằng nhau và đồng dạng của 2 tam giác.</b>

A)B»ng nhau: <i><b>c. c. c ; c. g.c ; g.c.g</b></i> B)Đồng dạng : <i><b>g. g ; c.c.c ; c.g.c</b></i>
<b>IX-Khi giải bài tập tính toán cần ghi nhớ</b>

1.Công thức tính chu vi và diện tích các hình

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

3.H thc lợng trong tam giác vuông ( cả định lý Pi- ta – go) và tỉ số lợng giác của góc nhn.

<b>X-Khi giải bài toán quỹ tích</b>

(Thng cho di dng<i> Khi một điểm chuyển động thì điểm ? di chuyển trên đ</i>“ <i>ờng nào hoặc</i>
<i>chứng minh điểm ? di chuyển trên một đờng tròn cung tròn hay đờng thẳng cố định )</i>”
Cần xét xem điểm đó có một trong các tính chất sau:

1. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc vng là đờng trịn đờng kính
2. Cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi là đờng trịn tâm
3. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc khơng đổi là cung chứa góc

4. Cách đờng thẳng cố định một khoảng không đổi là đờng thẳng song song ( hoặc vng
góc)

5. Cách đều 2 điểm cố định là đờng trung trực của đoạn thẳng
6. Cách đều 2 cạnh một góc cố định là tia phận giác cuả góc

<i><b>Chú ý </b></i>: Quỹ tích ( cịn gọi là tập hợp) phải gn vi yu t <b>c nh</b>

<b>XI-Khi giải bài toán giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất</b> <b>trong hình học cần ghi nhớ:</b>

1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông
2.Trong hình thang vuông cạnh xiên lớn hơn cạnh vuông

<b>C.Một số dạng hình cơ bản</b>

I,T mt im nm nghoi (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến
II,Đa giác nội tiếp đờng tròn (Đờng tròn ngoại tiếp)
III, Hai đờng tròn cắt nhau

IV,Hai đờng tròn tiếp xúc
V, Nửa đờng tròn

VI,Đờng tròn nội tiếp Đa giác
VII,Khơng có đờng trịn

<b>BµI tËp</b>

<b>Dạng 1 : Từ một điểm ở ngồi đ ờng trịn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đ ờng tròn</b>
<b>Bài 1</b> : Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD.

a) Chøng minh MA.MB = MC.MD

b) AD cắt BC tại N .Chứng minh NA.ND = NB.NC

c) KỴ tiÕp tun MP . Chøng minh MP2 _{= MA.MB = MC.MD}

<b>Bµi 2 ( Đề năm 02-03)</b>

Cho ng trũn tõm O v M l điểm ở ngồi đờng trịn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (Q, P là hai
tiếp điểm) và một cát tuyến cắt đờng tròn tại A và B.

a. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh 4 điểm P, Q, O, I nằm trên một đờng tròn
b. PQ cắt AB tại E. Chứng minh MP 2_{= ME. MI}

c. Qua A kẻ một đờng thẳng song song với

MP cắt PQ, PB lần lợt tại H,K.Chứng minh
Tứ giác AHIQ nội tiếp và KB = 2. HI

<b>Bài 3</b><i><b>(</b></i><b> Đề năm 06-07</b>)Cho điểm A ở bên ngồi đờng trịn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với
đ-ờng tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C ). Gọi D, E, F
t-ơng ứng là hình chiếu vng góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB
và DF; K là giao điểm của MC và EF.

Chøng minh : a) MECF ,MHFK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) MF2 _{= MD.ME}

c) MF vu«ng gãc víi HK.

d) DF là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính MC

<b>Bài 4: </b>Cho tam giác ABC cân tại A . Đờng tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần lợt tại B,C.
Qua C kẻ một đờng thẳng song song với AB cắt (O) tại D .AD cắt (O) tại E. Chứng minh:

a) AE.AD = OA2_{– OD}2

b) CE cắt AB tại G .Chứng minh: GA2_{= GE.GC}

c) Chøng minh : GA= GB

<b>Bµi 5 : </b>Tõ điểm M nằm ngoại (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB và cát tuyến MCD .Tia phân giác
của góc CAD cắt CD t¹i I . Chøng minh

a) MI = MA

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Bài 6 : </b>Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ cát tuyến MCD. Tiếp tuyến với (O) tại C,D cắt nhau tại

A.Gọi H là hình chiếu của A trªn OM. Chøng minh:

a) 5 điểm C,D,O,A,H cùng thuộc một đờng trịn.
b) MH.MO = MC.MD

c) KỴ tiÕp tun MB

Chứng minh MH.MO = MB2_{Từ đó H cố định.}

d)* A,H,B thẳng hàng.

e)*AH cắt (O) tại E .Cm ME lµ tiÕp tun cđa (O)

<b>Bài 7</b> : cho (O) và đờng thẳng d cắt (O)Tại A,B. M thuộc đờng thẳng d và nằm ngoài (O). Kẻ 2
tiếp tuyến MC,MD. Chứng minh:

a)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCD ln đi qua 2 điểm cố định
b)Xác định vị trí của M để tam giác MCD vuông

<b>Bài 8 :</b> Cho đường trịn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngồi đường trịn (O). Từ S vẽ hai
tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt
đường tròn (O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a khơng đi qua
tâm O).

a) Chứng minh SO vng góc với AB.

b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB
cắt nhau tại điểm E. Chứng minh IHSE là một tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh OI.OE = R2_.

d) Cho biết SO = 2R và MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R.

<b>Dang2 : Đa giác nội tiếp đ ờng tròn</b>

<b>Bi 9: </b><i><b>(đề </b></i>06-07<i><b>)</b></i> Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC, BD cắt
nhau tại E. Hình chiếu vng góc E trên AD là F. Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai
là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh

a) CEFD lµ tø giác nội tiếp.

b) Tia FA là tia phân giác cña gãc BFM
c) BE. DN = EN . BD

<b>Bài 10:</b> Cho tam giác PQR nội tiếp đờng trịn tâm O, đờng phân giác trong của góc P cắt cạnh
QR tại D và đờng tròn ngoại tiếp tại I.

a)Chứng minh OI vng góc với cạnh QR.
b)Chứng minh ng thc QI2_{= PI.DI}

c)Gọi H là hình chiếu vuông góc của P
trên cạnh QR. Cm Q ^<i>_P</i> _{H = R} ^<i>_P</i> _O

d)Chøng minh gãc H ^<i>_P</i> O = |Q - R|

<b>Bài11:</b> Cho tam giác ABC vng tại A nội tiếp đờng trịn tâm O, kẻ đờng kính AD.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật .

b) Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vng góc của B, C trên AD; AH là đờng cao của tam giác
(H trên cạnh BC). Chứng minh HM vng góc với cạnh AC.

c) Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN.

d) Gọi bán kính của đờng trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R.
Chứng minh : r + R _√AB . AC

<b>Bài 12 : </b>Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) .Đờng cao AH .Kẻ đờng kính AD.
Chứng minh: a) AB.AC = AH.AD

b) DiƯn tÝch tam gi¸c ABC = ( AB.AC.BC):(4.OA)

<b>Bài 13 </b>Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O) .Tia phân giác của các góc B , C cắt nhau ở E và
cắt (O) lần lợt tại F,D. Chứng minh:

a) AD // BF

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

H thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEF

<b>Bài 14</b> : Cho ABC nhọn, nội tiếp đờng tròn tâm O. Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đờng tròn, chúng
cắt nhau tại D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn tại E, F và cắt AC tại I.

a) Chøng minh gãc DOC b»ng gãc BAC

b) Chứng minh bốn điểm O, I, D, C nằm trên một đờng tròn
c) Chứng minh IE=IF

d) Chøng minh ID là phân giác góc BIC

e) Cho B,C c định , khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên
đ-ờng nào ?

<b>Bài15</b>:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn(O). D,E là điểm chính giữa của cung AB, AC. DE
cắt AB và AC tại H,K.

a) Chøng minh r»ng: tam giácAHK cân

b) BE cắt CD tại I, Chứng minh r»ng AI vu«ng gãc víi DE
c) Chøng minh r»ng:CEKI néi tiếp

d) Chứng minh rằng IK//AB

e) tam giác ABC có thêm ®iỊu kiƯn g× ? th× AI//EC

<b>Bài 16</b>: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn. P là điểm chính giữa của cung AB( phần
khơng chứa C,D). Hai đây PC, PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau
tại I. Các dây BC,PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minhrằng:

a) Góc CID bằng góc CKD.
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc.
c) PC.PE = PD.F

d) IKCD néi tiÕp
e) IK//AB.

f) PA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD.

<b>Bài 17</b>: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đờng tròn cắt
AB,AD kéo dài lần lợt tại E và F.

a) Chøng minh AB.AE=AD.AF bằng hai phơng pháp.

b) Gọi M là trung ®iĨm cđa EF. Chøng minh AM vu«ng gãc víi BD.

c) Tiếp tuyến tại B và D với đờng tròn (O) cắt EF lần lợt tại I, J. Chứng minh I và J lần lợt là
trung điểm của CE và CF.

d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AD vµ cung nhá AD, biÕt AB=6 vµ AD=6

√3 .

<b>Bài 18</b>:Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn đờng kính BD(AC cắt BO). Kéo dài AB và DC
cắt nhau ở E;CB và DA cắt nhau tại F.

a) Chứng minh DB vng góc với EF( gọi chân đờng vng góc là G)
b) Chứng minh BCGF , ABGF nội tiếp

c) Chøng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG

d) Chứng minh B là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ACG.
e) Cho góc ABC bằng 1350_{, hãy tính độ dài AC theo BD.}

<b>Bài 19</b>:Cho tam giácABC cân tại A( góc A<900_{) nội tiếp đờng trịn (O). Một điểm M tuỳ ý trên}

cung nhá AC. Tia Bx vu«ng góc với AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng:
a) Góc AMD bằng góc ABC.

b) Tam giác BMD cân

c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên một cung tròn cố định và độ lớn ca gúc
BDC khụng i .

<b>Dạng 3 Hai đ</b>: <b> ờng tròn cắt nhau</b>

<b>Bi20(</b> 03-04)Cho hai ng trũn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyn chung vi hai

đ-ờng tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F .

Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn O1, O2 thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE v

đ-ờng thẳng DF cắt nhau tại I.

1. Chứng minh IA vu«ng gãc víi CD

2. Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm EF

<b>Bài 21:</b> Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD vng

gãc víi AB , vÏ c¸t tuyÕn chung EBF bÊt kú ( C,E thuéc (O1) ,E thuéc cung BC ) .

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

b) Gọi K là giao điểm của các đờng thẳng CE và FD .Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp và
K thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD

c) Khi E di chuyển trên cung BC thì K di chuyển trên đờng nào

<b>Bài 22</b>: Cho tam giác ABC vuông tại A . Đờng trịn tâm I đờng kính AB cắt đờng trịn tâm K đờng
kính AC tại điểm thứ hai H .Qua A kẻ cát tuyến EF ( E thuộc (I) .Gọi M là trung điểm của EF ,N
là trung im ca BC .Chng minh

a) B,H,C thẳng hàng

b) 6 điểm A , I , H , N , K, M cùng thuộc đờng tròn
c) AB là tiếp tuyến của (K) và AC là tiếp tuyến của (I)

d) Khi EF quay quanh A thì M di chuyển trên một đờng tròn cố định
e) Hỏi rằng ở vị trí nào thì cát tuyến EF có độ dài lớn nht

<b>Dạng 4 : Hai đ ờng tròn tiếp xúc ngoài</b>

<b>Bài 23:</b>Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A. Gäi BC lµ mét tiÕp tuyÕn chung ngoµi. OI cắt (O)
tại D cắt (I) tại E. Chứng minh

a) A , B , C cùng thuộc một đờng

b) B thuộc đờng tròn nội tiếp tam giác CDE

c) OI là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính BC và ngợc lại

d) Cho R=6 cm ; r =2 cm tÝnh diÖn tích của hình giới hạn bởi đoạn thẳng BC với c¸c cung AB,
AC

<b>Bài 24:</b> Cho (O) và (P) tiếp xúc ngoài tại A . Đờng thẳng OP cắt (O) , (P) lần lợt tại B,C .Tiếp
tuyến chung MN ( M thuộc (O) ) cắt tiếp tuyến chung tại A ở I .Chứng minh: a) I thuộc đờng trịn
đờng kính OP

b)MN2_{= 4. OA.PN}

c)BM vuông góc với CN

d)AM cắt (O) tại E và AN cắt (P) tại F .chứng minh : BC2_{= ME}2_{+ NF}2

<i><b>Bài 25</b> :</i> Hai đờng trịn (O; R) và (O’;r) tiếp xúc ngồi tại điểm A (R > r). Gọi BC là tiếp tuyến
chung ngồi

(B  (O) ; C (O’). M lµ trung điểm của OO, H là hình chiếu của M trên BC.
a) Tính góc OHO

b) Chứng minh OH là tia phân gi¸c cđa gãc AOB

c) Chứng minh AH là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (O) và (O’)
d) Cho R = 4 cm ; r = 1 cm . Tính các độ dài BC ; AM

<b>Bài 26</b>: Cho hai đờng trịn (O1),(O2) tiếp xúc ngồi tại A. Một đờng thẳng (d) tip xỳc vi (O1),

(O2) lần lợt tại B, C.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Gi M l trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia tiếp tuyến chung của hai đờng trịn.
c) Chứng minh góc O1MO2 bng 900

d) Các tia BA, CA lần lợt cắt (O1),(O2) tại các giao điểm thứ hai D, E. Chứng minh diƯn tÝch

tam gi¸cADE b»ng diƯn tÝch tam gi¸c ABC .

<b>Dạng 5 : Nửa đ ờng tròn </b>

<b>Bi 27:</b> Cho M thuộc nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB .Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By
.Tiếp tuyến tại M cắt Ax , By lần lợt ở C ,D .Các đờng thẳng AD, BC cắt nhau ở N. Chứng minh :

a) CD - AC = BD b) Tam gi¸c CDO vu«ng
c) MN // AC d) CD.MN = CM.DB

e) Xác định vị trí của M để Diện tích đờng trịn đờng kính CD nhỏ nhất
g) MN cắt AB tại H .Chứng minh : MN = NH

<b>Bài 28</b>:<b> </b> Cho C thuộc nửa đờng trịn đờng kính AB . I là điểm chính giữa của cung AC .AI cắt BC
tại M .Chứng minh : a) MI.MA = MC.MB b) tam giác ABM cân

c) AC cắt BI tại H ,MH cắt AB tại N .Chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NIC d)
Gọi K là điểm đối xứng với H qua I .Chứng minh KA là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính AB

<b>Bài 29</b> :Cho nửa đờng trịn đờng kính AB. Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đờng tròn

(D A và D B). Dựng hình bình hành ABCD. Từ D kẻ DM vng góc với đờng thẳng AC tại
M và từ B kẻ BN vuông góc với đờng thẳng AC tại N.

a. Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minhAD . ND = BN . DC

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Bài 30 :</b> Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO,
đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm
bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M.
Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D.

1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh ΔMNK cân.

3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.

4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp
ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định.

<b>Bài 31</b>: Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB=2R và một điểm M bất kì nằm trên nửa đờng
tròn (M khác A và B). Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của
đoạn AB tại I.Dờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D (D nằm trong góc
BOM).

a) Chøng minh c¸c tia OC,OD là các tia phân giác của các góc ACM và BOM.
b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.

c) Chøng minh AC.BD=R2

d) Tìm một vị trí của M trên nửa đờng tròn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị nh nht? Tỡm giỏ
tr ú theo R.

<b>Các bài khác</b>

<b>Bi 32 : </b>Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, một điểm M di động trên đờng tròn. Gọi N là điểm đối
xứng với A qua M, P là giao điểm thứ hai của đờng thẳng BN với đờng tròn (O); Q.R là giao điểm
của đờng thẳng BM lần lợt với AP và tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O).

a) Chứng minh rằng điểm N ln ln nằm trên đờng trịn cố định tiếp xúc với đờng tròn
(O). Xác định tâm và BK của đờng trịn đó.

b) Chứng minh RN là tiếp tuyến của đờng tròn (B;AB)
c) Tứ giác ARNQ là hình gì ? Tại sao ?

<b>Bài 33:</b> Cho đờng trịn (O) đờng kính AB. Dây CD khơng qua O vng góc với AB tại H. Dây CA
cắt đờng trịn đờng kính AH tại E và đờng trịn đờng kính BH cắt dây CB tại F. Chứng minh rằng :

a) CEHF là hình chữ nhật.

b) EF l tip tuyn chung của các đờng trịn đờng kính AH và đờng kính BH.

c) 1

EF2=

1
CA2+

1
CB2

<b>Bài 34</b> Cho tam giác vuông ABC ( <i>_C</i>^ _{= 90}0_{), O là trung điểm của AB và D là điểm trên cạnh}

AB ( D khụng trựng với A, O, B ). Gọi I và J thứ tự là tâm đờng trong ngoại tiếp tam giác ACD và
BCD.

1. Chøng minh OI song song víi BC

2. Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng trũn

3. Chứng minh rằng CD là phân giác của góc ACB khi vµ chØ khi OI = OJ

<b>Bµi 35</b> : Cho tam giác vuông MNP ( ^<i>_M</i> _{= 90}0_{), Đờng cao MH (H trên cạnh NP). Đờng tròn}

đ-ờng kính MH cắt cạnh MN tại A và cắt c¹nh MP t¹i B.

1) Chứng minh AB là đờng kính của đờng trịn đờng kính MH
2) Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.

3) Từ M kẻ đờng thẳng vng góc với AB cắt cạnh NP tại I. Chứng minh IN = IP

<b>Bài36:</b> Cho tam giác vuông ABC (AC > AB, ^<i>_A</i> _{= 90}0_{). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác}

ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần lợt tại M , N , P.
1. Chứng minh tứ giác AMIP là hình vng.

2. Đờng thẳng AI cắt PN tại D . Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đờng tròn
3*. Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC , AB lần lợt tại E và F. Chứng minh BE. CF = 2 BI .CI

<b>B</b>

<b> à i 37</b> :Cho đờng tròn tâm(O). AB là dây cố định của đờng trịn khơng đi qua tâm. M là một
điểm trên dây cung lớn AB sao cho tam giác MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là điểm
chính giữa của cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD tại I, đờng thẳng CD cắt
cạnh MA và MB thứ tự tại P, Q.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

2. Chứng minh tứ giác ADPI là tø gi¸c néi tiÕp.
3. Chøng minh PI = MQ.

4. Đờng thẳng MI cắt đờng tròn tại N. Khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm
của MN chuyển động trên đờng nào.

<b>Bài 38</b> Cho 3 điểm A, B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ấy). Gọi (O) là đờng tròn đi qua B và C. Từ
A vẽ các tiếp tuyến AE và AF với đờng tròn (O). ( E và F là các tiếp điểm ). Gi I l trung im
ca BC.

a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F

b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh EG // AB
c) Nối EF cắt AC tại K, Chứng minh AK . AI = AB . AC

<b>B i39:à</b> Cho đờng trịn(O;R) và dây AC cố định khơng đi qua tâm . B là một điểm bất kì trên
đ-ờng trịn (O;R) ( B khơng trùng với A và C).Kẻ đđ-ờng kính BB _❑<i>,</i> _{Gọi H là trực tâm của của tam}

gi¸c ABC.

1) Chøng minh AH//BC

2) Chøng minh r»ng HB®i qua trung ®iĨm cđa AC

3) Khi điểm B chạy trên đờng trịn (0; R) (B khơng trùng vớiA và C) . Chứng minh rằng điểm
H luôn nằm trên một đờng tròn cố định .

<b>Bài 40</b>: Cho đờng tròn tâm O, bán kính OA=R. Vẽ dây BC vng góc với OA tại trung điểm H
của OA.

a) Tø gi¸c ABOC là hình gì ?

b) Gi K l im i xng với O qua A. Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội tiếp và KB,KC
là tiếp tuyến của (O)

c) Tam gi¸c KBC là tam giác gì?

d) Trc tõm tam giỏc ABC l điểm nào trên hình vẽ ?
e) Tính độ dài BC.

f) Tính diện tích phần trung của hình tròn(O;R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC.

<b>Bài 41</b>: Cho (O;R) và dây AB<2R. Trên tia AB lấy C sao cho AC>AB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với
(o)tại P,K. Gọi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng Tứ giác CPOK néi tiÕp

b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K cùng nằm trên một đờng tròn

c) Chứng minh rằng tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy ra CP2_=CB.CA

d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R

e) Giả sử PA//CK. Chứng minh rằng tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP

<b>Bài 42</b>: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho
AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đờng tròn tại M.

a) Chøng minh APMO néi tiÕp
b) Chøng minh r»ng BM//OP

c) Đờng thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình
bình hành .

d) Chứng minh rằng PNMO là hình thang cân

e) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minhI, J,
K thẳng hàng.

<b>Bài 43</b>: Cho đoạn AB và M nằm giữa A.B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông

AMCD, MBEF. AF cắt BC tại N

a)Chng minh rằng:AF vng góc với BC,suy ra N nằm trên hai đờng tròn ngoại tiếp AMCD,
MBEF.

b) Chøng minh: D, N,E thẳng hàng và MN vuông góc với DE

c)Cho AB c định M di động. Chứng minh:MN luôn đi qua điểm cố định,

<b>Bài 44</b>:Cho đờng trịn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di động trên một nửa đờng tròn.
Ng-ời ta vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB
tại N. Đờng này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D.

a) Chøng minh CD//AB

b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN ln đi qua một điểm K
cố định.

c) Chứng minh:tích KM.KN khơng đổi

d) Gọi giao điểm của các tia CN,DN với KB,KA lần lợt là C,_,D,_{.Tìm vị trí của M để chu vi tam}

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Bài 45</b>:Cho tam giác ABC vuông tại A. Đờng cao AH. Đờng trịn đờng kính AH cắt các cạnh
AB,AC, lần lợt tại E,F.

a) Chøng minhtø gi¸c AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minhAE.AB=AF.AC

c) Chứng minh rằng BEFC néi tiÕp

d) Đờng thẳng qua Avng góc với EF cắt BC tại I, Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
e) Chứng minh rằng nếu diện tích của ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam
giác ABC vng cân.

<b>Bài 46</b>:Cho đờng trịn tâm (O;R), hai đờng kính AB,CD vng góc với nhau. Trong đoạn AB lấy
một điểm M( khác O). Đờng thẳng CM cắt đờng trịn (O) tại điểm thứ hai là N. Đờng thẳng
vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:

a) tứ giỏc OMNP ni tip c.

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) Tứ giác OMNP nội tiếp

d) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

e) Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.

<b>Bài 47</b> : Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và một đờng thẳng d vng góc
với AC tại A. Vè đờng trịn đờng kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng
thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai tại N; tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.

a) Chøng minh ABMD néi tiÕp

b) Chøng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M
c) Tứ giác APND là hình gì ?tại sao ?

d) Chng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng trịn cố định khi M di
động

<b>Bµi 48</b>: Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC . Qua B kẻ

một tia vơng góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BHCA néi tiÕp
b) KC. KA=KH.KB .

c) §é lín cđa gãc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E

d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì BE.BC+ AE. AH khơng đổi

<b>Bài 49</b> : cho đờng trịn tâm O và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cảu cung nhỏ AB và C là một
điểm nằm giữa đoạn AB. Tia MC cắt đờng tròn tại điểm th hai D. Chứng minh :

a) MA2_{= MC.MD}

b) MB.BD = BC.MD

c) Đờng tròn ngoại tiếp BCD tiếp xúc với MB tại B.

d) Tổng bán kính của hai đờng trịn ngoại tiếp BCD và ACD không đổi khi C di động trên
đoạn AB.

<b>Bài 50</b>: Cho ABC có góc A > 90o_{. Đờng trịn (O), đờng kính AB cắt đờng trịn (O}/_{) đờng kính}

AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt Đờng tròn (O), đờng tròn
(O/_{) lần lợt tại M, N sao cho A nằm giữa M và N.}

a) Chøng minh H thuéc c¹nh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
b) Chứng minh tû sè

<i>HM</i>

<i>HN</i> _{không đổi.}

c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H, K, I
thuộc một đờng tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.

d) Xác định vị trí của đờng thẳng (d) để diện tích HMN ln nht.

<b>Bài 51</b>:Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia
Ax, By vuông góc với AB và lần lợt trên hai tia dó lấy hai điểm C vµ D sao cho : AC.BD=AP.PB
(1)

a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD.

b) Chứng minh góc CPD bằng 900_{. Từ đó suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1)}

c) Gäi M lµ hình chiếu của P trên CD, chứng minh góc AMB bằng 900

d) Gọi AM cắt CP tại I, BM cắt PD t¹i K. Chøng minh IK // AB

e) Chứng minh điểm M chạy trên nửa đờng tròn cố định khi C;D lần lợt di động trên Ax, By
nhng vẫn thoả mãn (1).

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc.
c) Chứng minh AD.AB = AG.AE

d) AC//FG.

e) Các đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy.

<b>Bài53 </b>Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI = 2/3AO . Kẻ dây MN vng góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao
cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM2_{= AE.AC.}

c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2_.

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác CME là nhỏ nhất.

<b>Bài 54 :</b> Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường trịn đường kính CH cắt
AC tại F. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) EF là tiếp tuyến chung của hai đường trịn đường kính BH và CH.
c) Tứ giác BCFE nội tiếp.

<b>Bài 55 </b>Cho đường trịn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm
của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại
M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H.

a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp.

b) Chứng minh : HK // CD.
c) Chứng minh : OK.OS = R2_.

<b>Bài 56</b> : Cho đường trịn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O và cắt đường tròn tại hai
điểm A, B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với
đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K.

a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh KN.KC = KH.KO.

c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN.

d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F.
Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.

<b>Bµi 1</b> :a. Cho x, y > 0. Chøng minh r»ng : 1
<i>x</i>+

1

<i>y≥</i>

4

<i>x</i>+<i>y</i>

b. Cho a,b >0 tho¶ m·n a+ b =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : <i>A</i>= 1

<i>a</i>2+<i>b</i>2+
1
ab
<b>Bài 2</b> : Chứng minh bất đẳng thức:

a)

_√

₍<i>_a</i>+<i>c</i>)2+(<i>b</i>+<i>d</i>)2<i>≤</i>

√

<i>a</i>2+<i>b</i>2+

√

<i>c</i>2+<i>d</i>2

b)

_√

<i>c</i>.(<i>a − c</i>)+

√

<i>c</i>(<i>b −c</i>)<i>≤</i>√ab víi a c  0, b  c
c) _√ab+√cd<i>≤</i>

√

(<i>a</i>+<i>d</i>).(<i>b</i>+<i>c</i>) víi a, b, c, d > 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>Bµi 3</b> : Chøng minh r»ng : <i>x</i>
2

+<i>y</i>2
2 <i></i>

(

<i>x</i>+<i>y</i>
2

)

2
<i></i>xy
<b>Bài 4</b> : Tìm giá trị nhỏ nhất của: <i>A</i>=<i>x</i>+16

√<i>x</i>+3 víi x >0
<b>Bµi 5</b> :

a) Chng minh bt ng thc : |ax+by|<i></i>



<i>a</i>2

+<i>b</i>2.

<i>x</i>2+<i>y</i>2

b) Tìm giá trị lớn nhất của : <i>A</i>=<i>x </i>2+4<i> x</i>
c) Giải phơng trình : <i>_x</i>₂+4<i> x</i>=<i>x</i>2<i></i>6<i>x</i>+11

d) Giải phơng trình: <i>x </i>1+<i>y </i>1+<i>z</i>1=



2(xy+<i>z </i>1)

<b>Bài 6</b> :

1. Chứng minh bất đẳng thức : a. xy + yz + zx Ê x2 _{+ y}2 _+z2 _b.

2 ₂ ₂ ₂

3 3

<i>x y z</i>  <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

 

£

 

 

2. Cho x + y + z = 3.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của D = x2 _{+ y}2 _+z2 _{b) Tìm giá trị lớn nhất của T = xy + yz + zx}

<b>Bài 7</b> : Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

A= x2_{–4x + 3} _{B = 3x}2_{–6x -1} _{C = x}2_{+3x + 5} _{D =3 x}2_{–2x + 9}

<b>Bµi 8</b> : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = x2_{–4xy + 5y}2_{+ 10x –22y + 30} _{B = x}2_{+ 26y}2_{– 10xy + 14x – 76y + 100}

C = 5x2_{– 12xy + 9y}2_{– 4x +4} _{D = x}2_{+ y}2_{– xy –x –y +1}

<b>Bài 9</b> : Tìm giá trị lớn nhất của biÓu thøc :

A= - 4x2_{–4x + 3} _{B =5 - 8x- x}2

C= 1 + 6y – 5y2_{– 12xy – 9x}2 _{D = 15 – 10x – 10x}2_{+ 24xy 16y}2

<b>Bài 10</b>: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
<i>A</i>= <i>x</i>

2

+1

<i>x</i>2<i> x</i>+1 <i>B</i>=

8<i>x</i>+3

4<i>x</i>2+1 <i>C</i>=
2<i>x</i>+1

<i>x</i>2+2 <i>D</i>=

27<i>−</i>2<i>x</i>
<i>x</i>2+9
<b>Bµi 11</b> : Cho x, y, z  0 tho¶ m·n:

4 2 4

3 6 2 6

<i>x y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :T = 5x – 6y + 7z

<b>Bµi 12</b> : Cho x, y, z  N tho¶ m·n:

2 2 2

2 2 2

21

3 4 101

<i>x</i> <i>y</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

   




Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2_{+ y}2_{+ 2z}2_{+ t}2

<b>Bµi 13</b>✰ : Cho x2_{+ y}2_{+ z}2 _Ê_{27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:}

F = x + y + z + xy + yz + zx

<b>Bµi 14 </b>: Chøng minh r»ng :
a) 2

1 1 1

k  k 1 k  _{víi k}__{N vµ k}_₂ _b) 2 2 2

1 1 1 1

1 ... 2

2 3 n n

     

víi n  N vµ n 

2

c)





2

1 1 1 1

...

9 25   _{2n 1}_  4

víi n  N vµ n  2

<b>Bµi 15</b> : Cho hai sè x, y thoả mÃn x > y và x.y = 1. Chøng minh :

2 2

2 2 0

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>



 


<b>Bài 16</b> : Cho a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh :

ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 £ 2 (ab + bc + ca)

Chơng trình ôn thi vào 10
trờng thcs vạn hòa

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

tit dy
1 4 - Rỳt gọn, tính giá trị biểu thức- Làm các bài tập về biểu thức, căn bậc hai trong đề thi tuyển

sinh của Lào Cai

2 8 - Phơng trình bậc hai - Định lý Viét
(HD HS ôn tập theo 8 dạng bài)
3 4 - Hệ hệ phơng trình

4 4 + Đờng thẳng, tơng quan giữa hai đờng thẳng- Hàm số và đồ thị.
+ Parabol,ơng quan giữa ng thng v parabol

5 4 - Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.

Chia theo tng dạng bài (Chuyển động, năng suất, chung-riêng...)
6 4 _{Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình.}

7 4 Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm_{trên một đờng tròn.}
8 4 Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy.
9 4 Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức _{hình học.}
10 4 Luyện giải theo đề

</div>

<!--links-->