PP giai Hinh khong gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (335.47 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MẶT CẦU – MẶT TRỤ - MẶT NĨN

A.

MẶT NĨN

Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam 
giác vuông OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình 
nón trịn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón 
b)Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Sxq =



Rl =



.OB.AB = 15



Tính: AB = 5 (



 AOB tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 15



+ 9



= 24



b) V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OB .OA

= 
2

1 3 4

3 

. .

= 12



Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Sxq =



Rl =



.OB.SB = 2



* Stp = Sxq + Sđáy = 2



a2 +



a2 = 23



b) V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OB .SO

=

3
2

1

3 a

.a .a





Tính: SO =

2

3

2 a

a



(vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)

Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

A B

S
3
4

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên

A

 =

B

 = 450

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



2

Tính: SA = a

2

; OA = a (



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =



2 

a2 = (1 +

2

)



b) V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

=

3
2

1

3 a

.a .a





Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S
nên

A



B



= 450

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



2 l

.l =
2

2 l



Tính: OA =

2 l

(



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2 l



+
2

2 l



1

2 l

















b) V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

=

2 3

1

3

2 6 2

l

. .





Tính: SO =

2 l

(



 SOA tại O)

Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón

45
S

B
A

45
S

B
A

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên

A

 =

B

 = 300

hay ASO



= BSO



= 600

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



.a 3.2a =

2
2a 3

Tính: OA = a 3; SA = 2a (



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2a 3 + 3



a2 =





2 3 3





a

b) V =

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

=

2 3

1

3 

. a .a



a

Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng



.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là

A



B





* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



. lcos



.l =

2
l cos

 

Tính: OA = lcos



(



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2
l cos

  +



l2cos2



=



1

cos



l cos



 



b) V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

=
2

1

3 .l cos .lsin





=
3

3 l cos sin





Tính: SO = lsin



(



 SOA tại O)

Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2



a2.

Tính thể tích của hình nón

120

a
S

B
A



B
A

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

HD: * Sxq =



Rl 



Rl = 2



a2  R =

2 2

2 a

a

l

a







* Tính: SO = a 3 (



 SOA tại O)

* V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

=

3
2

1

3 a

.a .a





Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9



.

Tính thể tích của hình nón

HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều
* Sđáy =



R2  9



R2  R2 = 9  R = 3

* SO =

3

2

3 3 3

2 AB

R



* V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

= 
2

1 3 3 3 9

3 

. .

 

Bài 9:

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nó

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này

* Stp = Sxq + Sđáy =

2 a



+
2

2 a



=
2

1

2 a

















b) V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

=

2 3

1

3

2 6 2

a a

a

. .





Tính: SO =

2 a

(



 SOA tại O)

c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600:

SMO = 600

* SSAC =

1

2

SM.AC =

1

2

.

6

3 a

2

3 a

=
2

2

3 a

* Tính: SM =

6

3 a

(



 SMO tại O).

* Tính: AC = 2AM =

2

3 a

Tính: OA =

2 a

(



 SOA tại

HD:

a) * Thiết diện qua trục là 
SAB vuông cân tại Snên

A



B

 =450

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



2 a

.a =
2

2 a



* Tính: AM =

OA



OM

2 =

3 a

* Tính: OM =

6 a

(



 SMO tại O)

Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt 
phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó

HD:

a) * Sxq =



Rl =



.OA.SA =



.25.SA = 25



1025(cm2)

Tính: SA = 1025 (



 SOA tại O)

Stp = Sxq + Sđáy = 25



1025 + 625



b) V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

=

2 2

1 25 20

3 

. .

(cm3)

c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH SI  OH =

12cm

* SSAB =

1

2

.AB.SI =

1

2

.40.25 = 500(cm2)

* Tính: SI =

OS.OI

OH

=

20

12 .OI

= 25(cm) (



 SOI tại O)

* Tính: 2

1 OI

= 2

1 OH

- 2

1 OS

 OI = 15(cm) (



 SOI

tại O)

* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)

* Tính: AI =

OA



OI



20

(cm) (



 AOI tại I)

Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một  vng cân có cạnh huyền 
bằng

a

2

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón

h
O
I
H

B
A

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt 
phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC

HD:

a) * Thiết diện qua trục là SAB vuông cân tại S nên

A



B



= 450

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



2 a

.a =

2

2 a



Tính: OA =

2 AB

2 a

; Tính: SA = a (



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

2 a



+
2

2 a



2 1

2 (

 

) a

b) V =
2

1

3 

R h

=

1

3 

.OA .SO

=

2 3

1

2

3

2

12 a a

a

. .





Tính: SO =

2 a

(



 SOA tại O)

c) * Kẻ OM BC  SMO


= 600 ; * S
SBC =

1

2 SM.BC

=

1 2 2

2

3 a

.

=
2

2

3 a

* Tính: SM =

2

3 a

(



 SOM tại O) * Tính: BM =

3 a

(





SMB tại M)

B. MẶT TRỤ

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ
HD:

M
a 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) * Sxq = 2



Rl = 2



.OA.AA’ = 2



.R.2R = 4



* OA =R; AA’ = 2R

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4



R2 +



R2 = 5



b) * V = R h2 = .OA .OO2 = .R . R2 2  2 R3

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện 
tích của thiết diện được tạo nên

HD:

a) * Sxq = 2



Rl = 2



.OA.AA’ = 2



.5.7 = 70



(cm2)

* OA = 5cm; AA’ = 7cm

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70



+ 50



= 120



(cm2)

b.* V =R h2 = .OA .OO2 =



.52.7 =175



(cm3)

c) * Gọi I là trung điểm của AB  OI = 3cm

S

ABB A  = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình

chữ nhật)

* AA’ = 7

* Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8

* Tính: AI = 4(cm) (



 OAI tại I)

Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho góc giữa đường 
thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và

trục của hình trụ
HD:

a) * Sxq = 2



Rl = 2



.OA.AA’ = 2



.r. r 3 = 2 3



r2
A

B
O

O'
A'

l h

A'
O'

O B

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2



r2 3 + 2



r2 = 2 (

3 1



)



b) * V = R h2 = .OA .OO2 = .r .r2 3 r3 3

c) * OO’//AA’ 

BAA





= 300

* Kẻ O’H A’B  O’H là khoảng cách giữa đường

thẳng AB và trục OO’ của hình trụ

* Tính: O’H =

3

2 r

(vì



BA’O’ đều cạnh r)

* C/m:



BA’O’ đều cạnh r

* Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r

* Tính: A’B = r (



 AA’B tại A’)

Cách khác: * Tính O’H =

O A

 



A H



2 =

3

4

2 r





(



 A’O’H tại H)

* Tính: A’H =

2 A B



2 r

* Tính: A’B = r (



 AA’B tại A’)

Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường trịn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao

hình trụ là R

2

.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ

HD:

a) * Sxq = 2



Rl = 2



.OA.AA’ = 2



.R. R

2

= 2

2 

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2

2 

R2 + 2



R2 = 2 (

2 1



)



b) * V = R h2 = .OA .OO2 =



.R .R

2 

R

2

Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.

r 3

H
A

B
O

O'
A'

R 2
R

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. 
Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ

ĐS: a) * Sxq = 2



Rl = 5000



(cm2)

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000



+ 5000



= 10000



(cm2)

b) * V = R h2 = 125000



(cm3)

c) * O’H = 25(cm)

C.

MẶT CẦU

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC),



ABC vuông tại B và 
AB = 3a, BC = 4a.

a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a) * Gọi O là trung điểm của CD.

* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;

* Chứng minh: DAC vuông tại A  OA = OC = OD =

1

2

CD 
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa
cạnh ấy)

* Chứng minh:



DBC vuông tại B  OB =

1

2

CD

* OA = OB = OC = OD =

1

2

CD  A, B, C, D thuộc mặt cầu

S(O;

2 CD

)

b) * Bán kính R =

2 CD

1

2 

AC

2 =

1

2

2 2 2



AB BC



=

1

2

2 2 2

5

2

25

9

16

2 a



a



a



* S =

5

2

4

50

2 a

a



















;

* V =

4

3 

R3 =

4

5

2 125 2

3

2

3 a

















Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) Gọi O là tâm hình vng (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS

b) R = OA =

2 a

; S = 2a2



; V =

2

3 a



Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng 
góc với mp(ABCD).

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

O
D

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) * Gọi O là trung điểm SC

* Chứng minh: Các



SAC,



SCD,



SBC 
lần lượt vuông tại A, D, B

* OA = OB = OC = OD = OS =

2 SC

 S(O;

2 SC

)

b) * R =

2 SC

1

2 SA



AB BC



2 =

6

2 a

* S =

2
2

6

4

6

2 a

a











 





;

* V =

3
3

4

6

3

2 a

a

















Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và 
ba cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo 
nên bởi mặt cầu đó.

HD:

* Gọi I là trung điểm AB. Kẻ  vng góc với mp(SAB) tại I

* Dựng mp trung trực của SC cắt  tại O  OC = OS (1)

* I là tâm đường trịn ngoại tiếp SAB (vì SAB vng tại S)

 OA = OB = OS (2)

* Từ (1) và (2)  OA = OB = OC = OS

Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)

* R = OA =

2 2

2 SC

AB

OI



AI





























=

2 2 2

4 a



b



c

* S =

2
2 2 2

2 2 2

4 a

b

c

(a

b

c )

























* V =

3
2 2 2

2 2 2 2 2 2

4

1

3

4

6 a

b

c

(a

b

c ) a

b

c













 











BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = a và SA vng góc
với đáy.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) Chứng minh trung điểm I của cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài giải:

a) Áp dụng cơng thức

1

3 V



Bh

trong đó B = a2,

h = SA = a 

1

3 V



a

( đvtt)

b) Trong tam giác vng SAC, có AI là trung tuyến
ứng với cạnh huyền SC nên

AI = IS = IC.(1)

BC  AB và BC  SA  BC  SB  SBC
vuông tại B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền
SC nên IB = IS = IC (2).

Tương tự ta cũng có ID = IS = IC(3). Từ (1), (2), (3)

ta có I cách đều tất cả các đỉnh hình chóp nên I là
tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Bài tập2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, ABa BC, a 3. Tam giác

SAC đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Giải: Trong mp( SAC), dựng SH  AC tại H  SH  (ABC).

1 .

3 V



B h

, trong đó B là diện tích ABC, h = SH.

1 3

2 2

a
B AB BC

. Trong tam giác đều SAC có AC = 2a 

2 3
3
2

a
SH a

Vậy

2 a

V



(đvtt)

Bài tập3. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45o.

a) Tính thể tích khối chóp .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Giải:

a) Gọi O là tâm của hình vng ABCD  SO  (ABCD).

2 0

1

2 . ,

;

. tan 45

.

3

2 V



B h B



a

h



SO



OA



a



2

6 a

V



(đvtt)

b) Áp dụng công thức

S

xq





. .

r l

trong đó r = OA, l
=SA= a.

Thay vào công thức ta được:

2 .

2

xq

a

S





a





(đvdt)

Bài tập4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

b) Tính diện tích của mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ
Giải:

a) Ta có

V



B h

.

, trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao
lăng trụ .

Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên

3
4
a
B

. h = AA’ = a



3

4 a

V



(đvtt)

b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo cơng thức

2 . .

xq

S





r l

r là bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC 

2 3 3

3 2 3

a a

r 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3 2 .

.

2

3

xq

a

S





a





Bài tập5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA (ABC). Tam giác ABC vng cân tại B,
2

ABa

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

c) Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.AIH
Giải:

3
2

1
.
3

1 2

. 2. 2 , 2

2 3

V B h

a

B S a a a h SA a V



 #ABC      

b) Gọi I là trung điểm SC

SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC

BC  SA và BC  Ab nên BC  SB  B thuộc mặt cầu đường
kính SC. Như vậy tâm mặt cầu là trung điểm I của SC còn bán kính

mặt cầu là 2
SC
R

. Ta có

2 2

2 2 2 2

2 2 2

4 4 2 2 2

AC a a a

SC SA AC a a a R a

  

       
c) Áp dụng công thức

3
.

. .

1 .

4

6

S AIH

S AIH S ACB
S ACB

V

SI SH

a

V



SC SB

 



Bài tập6:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính thể tích khối lập phương

b) Tính bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh của lập phương

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) V = a3 (đvtt)

b) Gọi O là điểm đồng quy của 4 đường chéo AC’, DB’,
A’C, BD’  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương.

Bán kính mặt cầu là

' 3

2 2

AC a
R 

c) Hai khối chóp trên là ảnh của nhau qua phép đối xứng
mặt phẳng (ABC’D’)  đpcm

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.

1) Cho hình chóp đều S.ABCD cậnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600.

a) Tính thể tích khối chóp.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

2) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, SA bằng a và SA vng góc đáy.
a) Tính thể tích khối chóp.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

c) Quay tam giác vuông SAC quanh đường thẳng chứa cạnh SA, tính diện tích xung quanh
của khối nón tạo ra

3) Cho hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

b) Tính thể tích của khối nón đó

4) Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy a, mặt bên hợp đáy một góc 600 .

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

b) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

5) Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC =a và đôi một vuông góc nhau.
Gọi H là trực tâm tam giác ABC

a) Chứng minh OH  (ABC)

b) Chứng minh 2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16></div>

PP giai Hinh khong gian

<b>MẶT CẦU – MẶT TRỤ - MẶT NĨN</b>

<i><b>MẶT NĨN</b></i>















1

3



R h

1

3



.OB .OA

1

3 4

3



. .















1

3



R h

1

3



.OB .SO

1

3

3

3

3

a

.a .a







2

3

3

2

a

<sub>a</sub>



A

B







2

2





2



2



1

3



R h

1

3



.OA .SO

1

3

3

a