214 De thi vao lop 10 Co huong dan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (390.63 KB, 41 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

bài tập ôn tập vào lớp 10

Phần 1: Các loại bµi tËp vỊ biĨu thøc
Bµi 1: Cho biĨu thøc :

P=√a+2

√a+3−

a+√a −6+¿

1
2−√a
a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức:

(

1− √x
√x+1

)

(

√x+3

√x −2+
√x+2

3−√x+

√x+2

x −5√x+6

)

a) Rót gän P

b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức:

(

√x −1
3√x −1−

1
3√x+1+

8√x

9x −1

)

(

1−

3√x −2
3√x+1

)

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của x để P= 6
5
Bài 4: Cho biểu thức :

(

1+ √a

a+1

)

(

1
√a −1−

2√a

a√a+√a −a −1

)

a) Rót gän P

b) Tìm giá tr ca a P<1

c) Tìm giá trị của P nÕu a=19−8√3
Bµi 5: Cho biĨu thøc;

=

1− a¿2
¿

√a¿
¿

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-

12

)

Bµi 6: Cho biĨu thøc:
P=

(

√x+1

√2x+1+

√2x+√x

√2x −1 −1

)

(

√x+1

√2x+1−

√2x+√x
√2x 1

)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x ¿1

2.(3+2√2)
Bµi 7: Cho biĨu thøc:

(

2√x

x√x+√x − x −1−

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 0
Bài 8: Cho biểu thức:
P=

(

2a+1

√

a3 −
√a

a+√a+1

)

(

√

a3

1+√a−√a

)

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P. √1− a
Bµi 9: Cho biĨu thøc:

P= 1:

(

x+2
x√x −1+

√x+1

x+√x+1−

√x+1

x −1

)

.
a) Rót gọn P

b) So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thøc :
P=

(

1− a√a

1−√a +√a

)

(

1+a√a

1+√a −√a

)

a) Rót gän P

b) Tìm a để P< 7−4√3
Bài 11: Cho biểu thức:
P=

(

2√x

√x+3+

√x
√x −3−

3x+3

x −9

)

(

2√x −2
√x −3 −1

)

a) Rót gän P

b) Tìm x để P< 1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thøc :

(

x −3√x
x −9 −1

)

(

9− x

x+√x −6−

√x −3
2−√x−

√x −2
√x+3

)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức :

P= 15√x −11
x+2√x −3+

3√x −2
1−√x −

2√x+3

√x+3

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của x để P= 1
2
c) Chứng minh P 2

Bµi 14: Cho biÓu thøc:
P= 2√x

√x+m+

√x
√x − m−

m2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) Rót gän P

b) Tính x theo m để P=0.

c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 15: Cho biểu thức :

P= a
2

+√a

a−√a+1−

2a+√a

√a +1
a) Rót gän P

b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P

c) Tỡm a P=2

d) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P
Bµi 16: Cho biĨu thøc

(

√a+1
√ab+1+

√ab+√a
√ab−1 −1

)

(

√a+1

√ab+1−

√ab+√a
√ab−1 +1

)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a= 23 và b= 31
1+3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất cđa P nÕu √a+√b=4

Bµi 17: Cho biĨu thøc :
P= a√a−1

a −√a −

a√a+1

a+√a +

(

a 
1
a

)

(

a+1

a1+
a 1

a+1

)

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức:

(

√a
2 −

1
2√a

)

(

√a −1
√a+1−

√a+1

√a −1

)

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức:

P= (√a−√b)
2

+4√ab
√a+√b .

a√b − b√a
√ab
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P

c) Tính giá trị của P khi a= 23 vµ b= √3
Bµi 20: Cho biĨu thøc :

(

x+2
x√x −1+

√x
x+√x+1+

1
1−√x

)

√x −1
2
a) Rót gän P

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(

2√x+x
x√x −1−

√x −1

)

(

1−

√x+2

x+√x+1

)

a) Rót gän P

b) TÝnh √P khi x= 5+2√3
Bµi 22: Cho biĨu thøc:

P= 1:

(

1
2+√x+

3x

2
4− x−

4−2√x

)

1
4−2√x

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức :

(

x − y
√x −√y+

√

x3−

√

y3
y − x

)

(√x −√y)2+√xy

√x+√y

a) Rót gän P

b) Chøng minh P 0
Bµi 24: Cho biĨu thøc :
P=

(

√a+√b+

3√ab
a√a+b√b

)

[

(

1
√a −√b−

3√ab
a√a− b√b

)

a− b
a+√ab+b

]

a) Rót gän P

b) TÝnh P khi a=16 vµ b=4
Bµi 25: Cho biÓu thøc:
P= 1+

(

2a+√a −1

1− a −

2a√a −√a+a

1−a√a

)

a −√a
2√a −1
a) Rót gän P

b) Cho P= 6

1+6 tìm giá trị của a
c) Chøng minh r»ng P> 2

3
Bµi 26: Cho biĨu thøc:

(

x −5√x
x −25 −1

)

(

25− x

x+2√x 15
x+3

x+5+

x 5
x 3

)

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho biểu thức:

(

3√a
a+√ab+b−

3a
a√a −b√b+

1
√a −√b

)

(a −1).(√a−√b)
2a+2√ab+2b

a) Rót gän P

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(

1
√a−1−

1
√a

)

(

√a+1

√a −2−
√a+2

√a −1

)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của a để P> 1
6
Bài 29: Cho biểu thức:

[

(

1
√x+

1
√y

)

√x+√y+

x+

y

]

√

x3

+y√x+x√y+

√

y3

√

x3y+

√

xy3

a) Rót gän P

b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :

√

x
3
√xy−2y−

2x

x+√x −2√xy−2√y.
1− x
1−√x
a) Rót gän P

b) Tìm tất cả các số ngun dơng x để y=625 và P<0,2
Bài 31: Thực hiện phép tính.

A = (√12+√75+√27):√15

B = (7√48+3√27−2√12):√363

C =

√

7−4√3+

√

4√3

D =

√

9+√17−

√

9−√17−√2

M = (4+√15)(√10−√6)

√

4−√15

N =

√

4+

√

5√3+5

√

48−10

√

7+4√3 ( N = 3 )
P =

√

1+ 1

22+
1
32+

√

1
32+

42+.. .+

√

1+
1
992+

1
1002
Gỵi ý: Tríc hÕt cÇn chøng minh:

 
2

2 2

1 1 1 1

1 1

n n n n

 
 
 
    
   

    

để suy ra  
2 2

1 1 1 1

1 1

1 n n n

n

    




Từ đó ta có
P =

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 ... 1 98

2 3 3 4 99 100 2 100

             

     

      = 98

49
100

Q =

√

1+20062+2006

2
20072+

2006
2007

Ta cã: 20072 = ( 2006 + 1 )2 = 20062 + 2.2006 + 1
suy ra 1 + 20062 = 20072 - 2.2006

=> Q =

2
2

2006 2006 2006 2006
2007 - 2.2006 2007

2007 2007 2007 2007

 
      
 
=

2006 2006
2007 2007
2007 2007
  

Bµi 32: Cho A = 1
√1+√2+

1
√2+√3+

√3+√4+. ..+

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

B = 1
√1+

1
√2+

1
√3+.. .+

1
√24
TÝnh A

Chøng minh B > 8
Gỵi ý:

Trục từng căn thức để tính giá trị của A = 4.
Ta có 2B =

2 2 2 ... 2

2 1 2 2 2 3   2 24

2 2 2 ... 2

1 1 2 2  3 3   24 24

2 2 2 ... 2

1 2  2 3  3 4   24 25

= 2.A = 8.

Bài 33: Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thøc:
Q =

√

9x2−6x

+1+

√

9x2−30x+25

Bµi 34: Cho x, y lµ các số thực thoả mÃn

2 2

1 1 1

x y y  x  . Chøng minh r»ng x2 +

y2 = 1.

Gợi ý: ĐK -1 x 1; -1  y  1.
C¸ch 1 :

Bình phơng 2 vế để đa về dạng:



 





 



2 2 2 2 2 2

1 x 1 y xy 1 x 1 y x y
Suy ra x2 + y2 = 1.

C¸ch 2. ¸p dơng cauchy cho 2 số không âm ta có:
1

2 2 2 2

2 2 1 1

1 1 1

2 2

x y y x

x  y  y  x       

DÊu “=” x¶y ra khi

2 2 2

2 2

1 1

1
1

x y x y

x y

y x

     

 

  

 

 


 

 



Bµi 35: Cho biĨu thøc: P =

(

1−a+√a

√a+1

)(

1− −

a −√a
√a −1

)

a> Tìm a để P có nghĩa.

b> Rót gän P.
Bµi 36: Cho S =

1 1 1

1 ...

2 3 100

   

. Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.
Gợi ý: Trớc hết cần chứng minh bất đẳng thức kép sau:

2 n 1 2 n 2 n 2 n 1

n

     

( với n là số tự nhiên khác 0.)
Từ đó suy ra :

1 1 1

1 ...

2 3 100

   

>1+2



3 2

 

 4 3 ...



 



101 100





</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

S =

1 1 1

1 ...

2 3 100

   

<1+2



2 1

 

 3 2



...



100 99





= 1+ 2 ( 100 1) = 1 +2.9 = 19.

VËy 18 < S < 19, chøng tá S không phải là số tự nhiên.
Bài 37: Cho biểu thức:

Q =









3 3 1 :

2 2 2

a a b

a a

a ab b a a b b a b a ab b

 
 
 
 
       
 

a) Rót gän M.

b) Tìm các giá trị nguyên của a để M có giá trị ngun.
Bài 38: Tính tổng: S =

1 1 ... 1

2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100 .

Gợi ý: Cần chøng minh:

1 1 1

(n1) n n n 1  n n1

Bài 39: ( 3 điểm )

Cho biểu thøc : A=(2√x+x

x√x −1−
1
√x −1):

(

√x+2

x+√x+1

)

Rót gän biĨu thøc .

TÝnh giá trị của A khi x=4+23
Bài 40:( 2 điểm )

Trục căn thức ở mẫu c¸c biĨu thøc sau :
A= √2+1

2√3+√2 ; B=

√2+

√

2−√2 ; C=
1
32+1

Bài 41:( 2,5 điểm )

Cho biểu thức : A =

1 1 2

:
2

a a a a a

a

a a a a

    



 

    

 

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biu thc A .

c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
Bài 42:( 2 điểm )

Cho biểu thức : A =

1 1 1 1 1

a a

a a a a a

   

 

      

1) Rót gän biĨu thøc A .

2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A luôn dơng với mọi a .
Bài 43: ( 2 ®iÓm )

1) Cho biÓu thøc : P =





3 1 4 4

a > 0 ; a 4
4

2 2

a a a

a
a a
  
  


 

a) Rót gän P .

b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi a = 9 .

2) Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè )

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm cịn lại .
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn

3 3

1 2 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bµi 44: Cho biểu thức

1 1 . 1 1

1 1

A

a a a

   

     

 

   

a) Rút gọn A.
b) Tính A khi

1
4

a

c) Tìm a để

10
7

A

Bµi 45: Cho biểu thức

2x 5x y 3y
A

x y y

 





Rút gọn rồi tính giá trị của A khi x 3 13 48 ; y 4 2 3

Giải hệ PT:

3 2 5

A

x y






  




Bµi 46: a) Thực hiện phép tính:

3 6 2 24 1 54

4 3 4

A  

.
b) Cho biểu thức:



a b



2 4 ab a b b a

B

a b ab

  

 



Tìm điều kiện để B có nghĩa.

Khi B có nghĩa, chứng tỏ giá trị của B không phụ thuộc vào a.
Bµi 47: Tính giá trị các biểu thức: A = 2 40 12 2 75 3 5 48
B =

3 4 3

6 2 5



 

Bµi 48: a) So sánh hai số B 17 5 1 và  C 45

b) Chứng minh rằng số sau đây là số nguyên: 5 3 29 12 5

Bài 49. Rút gọn các biểu thức sau:
a/A= x

√xy+x+

y
√xy− y−

2√xy

x − y . Víix>0;y>0;x≠ y
b/B=

√

4+2√3+

√

4−2√3.

c/C=

√

546−84√42+

√

253−4√63
Bµi 50. Cho P= 2√x −9

x −5√x+6−

√x+3

√x −2−

2√x+1

3−√x
a. Rót gän P.

b. Tìm các giá trị của x để P<1.
c. Tìm x∈Z để P∈Z .

Bµi 51: Cho biĨu thøc:B =

2 1 2

1 .

1 1 2 1

a a a a a a a a

a a a a

      

  

  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Rút gọn A.
Tìm a đê B =

6
1 6 .

Chøng minh r»ng B >

2
3.

Bµi 52: Cho biĨu thøc:

Q =

1 1 8 : 3 1

1 1

1 1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

   

Rót gän Q.

TÝnh gi¸ trÞ cđa Q khi x = 3 2 2 .

Chøng minh r»ng Q  1 víi mäi x  0 và x 1.

Phần 2: Các bài tập về hệ ph ơng trình bậc 2:
Bài 53: Cho phơng trình :

m2x (21)2=2 x+m2

a) Giải phơng tr×nh khi m=√2+1

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3−√2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 54: Cho phơng trình :

(m−4)x2−2 mx

+m−2=0 (x lµ Èn )

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√2 .Tìm nghiệm cịn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt

c) TÝnh x12+x22 theo m
Bµi 55: Cho phơng trình :

x22

(m+1)x+m −4=0 (x lµ Èn )

a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phơng trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M= x1(1− x2)+x2(1− x1) không phụ thuộc vào m.
Bài 56: Tìm m để phơng trình :

a) x2− x

+2(m−1)=0 cã hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4x2

+2x+m−1=0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt

c) (m2

+1)x2−2(m+1)x+2m−1=0 cã hai nghiÖm trái dấu

Bài 57: Cho phơng trình :

x2−(a−1)x −a2

+a −2=0

a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x1

+x2

2 đạt giá
trị nhỏ nhất

Bµi 58: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hƯ thøc: 1
b+

1
c=

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

CMR Ýt nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm x2+bx+c=0
x2+cx+b=0

Bài 59:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
2x

2−(3m

+2)x+12=0(1)

4x2−(9m −2)x+36=0(2)

Bài 60: Cho phơng trình :
2x2

−2 mx+m2−2=0

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

b) Gi¶ sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng
trình

Bài 61: Cho phơng trình bậc hai tham sè m :
x2

+4x+m+1=0

a) Tìm điều kiện của m để phơng trình cú nghim

b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiện
x1

+x22=10

Bài 62: Cho phơng trình

x22(m1)x+2m5=0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm víi mäi m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu
gì ?

Bài 63: Cho phơng trình

x2−2(m+1)x+2m+10=0 (víi m là tham số )

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình

b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hÃy tìm một hệ
thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

c) Tỡm giỏ trị của m để 10x1x2+x1
2

+x22 đạt giá trị nh nht

Bài 64: Cho phơng trình

(m−1)x2−2 mx+m+1=0 víi m lµ tham số

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biÖt ∀m≠1

b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính
tổng hai nghiêm của phơng trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:
x1

x2

+x2

x1

2=0
Bài 65: A) Cho phơng trình :

x2−mx+m−1=0 (m là tham số)

a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 víi mäi m ; tÝnh nghiệm kép ( nếu
có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng

b) Đặt A=x1
2

+x2
2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 Chøng minh A=m2−8m+8

 Tìm m để A=8

 T×m giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng

c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

B) Cho phơng trình

x2−2 mx

+2m −1=0

a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m.

b) Đặt A= 2(x12+x22)5x1x2

CMR A= 8m218m+9

Tìm m sao cho A=27

c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 66: Giả sử phơng tr×nh a.x2

+bx+c=0 cã 2 nghiƯm ph©n biệt x1; x2 .Đặt

Sn=x1n+x2n (n nguyên dơng)
a) CMR a.Sn+2+bSn+1+cSn=0

b) áp dụng Tính giá trị cđa : A=

(

1+√5
2

)

(

1−√5

)

Bµi 67: Cho

f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1

a) CMR phơng trình f(x) = 0 cã nghiƯm víi mäi m

b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có
2 nghim ln hn 2

Bài 68: Cho phơng trình :

x2−2(m+1)x+m2−4m+5=0

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng
nhau và trái dấu nhau

d) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm nÕu có của phơng trình . Tính x12+x22 theo m
Bài 69: Cho phơng trình x2

4x3+8=0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải
ph-ơng trình , hÃy tính giá trị của biểu thức : M=6x1

+10x1x2+6x22
5x1x2

+5x13x2

Bài 70: Cho phơng trình

xx2

(m+2)x+m+1=0

a) Giải phơng trình khi m= 1
2

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :
x1(12x2)+x2(12x1)=m2

Bài 71: Cho phơng trình
x2

+mx+n −3=0 (1) (n , m lµ tham sè)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ :

{

x1 x2=1

x1
2

x2
2

Bài 72: Cho phơng trình:

x2−2(k −2)x −2k −5=0 ( k là tham số)

a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho
x12+x22=18

Bµi 73: Cho phơng trình

(2m1)x24 mx+4=0 (1)

a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bÊt k×

c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 74:Cho phơng trình :

x2−(2m−3)x

+m2−3m=0

a) CMR ph¬ng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 tho món 1<x1<x2<6

Bài 75. Cho phơng trình x2 + 2(m - 1)x - 3 +2m = 0.(1) (m tham số.)
1. Chứng tỏ rằng phơng trình cã 2 nghiƯm víi mäi m.

2. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Giả sử x1 , x2 là các
nghiệm của phơng trình (1). Tìm m để x12 + x22 10≥

3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 để
E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi 76: Ch o hai phơng trình x2 + a1x + b1 = 0 (1)
x2 + a2x + b2 = 0 (2)

Cho biÕt a1a2 ≥ 2 (b1+b2). Chøng minh Ýt nhÊt mét trong hai phơng trình có
nghiệm.

Gợi ý: Cần chứng minh 1 + 2 0

Bài 77 : Cho ba phơng trình ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (3)

Cho biÕt a, b, c 0. Chøng minh Ýt nhÊt mét trong ba ph≠ ¬ng trình có nghiệm.
Gợi ý: Cần chứng minh 1 + 2 + 3  0

Bµi 78: Cho Parabol y = −1
2x

(P) Và đờng thẳng y = x + 1
2 (d).
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ .

Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) ln tiếp xúc parabol (p). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 79: Trong cùng hệ toạ độ gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2

và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + m.

Tìm a biết (P) đi qua A (2;- 1), vẽ (P) với a tìm đợc.

Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P) (ở câu 1). Tìm toạ độ tiếp điểm.

Trong các điểm sau điểm nào thuộc (P) điểm nào thuộc (d) vừa tìm đợc : M(-2;1);
N(2; -1); E(-2; -1)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 80: trong hệ trục vuông góc gọi P là đồ thị của hàm số y = x2, gọi M,N là hai điểm
thuộc P có hồnh độ lần lợt là: -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng MN. ( KQ: y =
x+2)

Bài 81: Cho phơng trình: mx2- 2( m+1 )x + m +2 = 0.
Xác định m để phơng trình có nghiệm.

Xác định m để phơng trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái
dấu nhau.

Gợi ý: b. phơng trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu

nhau khi





0 1 0

' 0 0 1

0 2 1

m
a

m
S

S m

m






 



 

     

 

  



 






Bài 82: Cho phơng trình ẩn x : x2 + x + m = 0. Xác định m để phơng trình có 2
nghiệm phân biệt đều lớn hơn m. ( KQ: m < - 2 )

Bài 83: Cho a 0, giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình:
2

1 0

x ax

a

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc Q = x14 + x24
HD: ¸p dơng Vi-et ta cã: x1 + x2 = a; x1.x2 = 2

a



. ¸p dơng cauchy suy ra:
Q = a4 + a2 4 2 2 44    => Min Q = 2 2 4 khi a8 = 2

Bµi 84: Cho Parabol y = 1
2 x

(P) và điểm M(0;2), N(m; 0) víi m 0.≠
VÏ (P).

Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qu 2 điểm M, N.
Chứng minh rằng đờngthẳng (d) luôn cắt (P) tại hai
điểmphân biệt A, B với mi m 0.

Gọi H, K là các hình chiếu của A, B trên trục hoành.
Chứng minh rằng tam giác MHK là tam giác vuông.

Bài 85: Cho hai số thực x, y thoả mÃn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ hất của biểu thức: A = x + y.

Gỵi ý: Ta cã: ( x++)2  2 (x2+y2) = 2 => A  2  a  2  2  A 2

PhÇn 3: Hệ ph ơng trình:
Bài 86: ( 2 điểm ) Cho hệ phơng trình .

{

mx−ny=5
2x+y=n

Gi¶i hƯ khi m = n = 1 .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 87: Cho hệ phơng trình

3x my=3

mx+3y=3
{

Tỡm m để hệ phơng trình có vơ số nghiệm .
Giả hệ phơng trình với m = - 2.

Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) vi x > 0, y > 0.

Bài 88: Giải hệ phơng trình

x+2y 3z=1

2x+3y 4z=0

3x+4y 5z=1
{{

Bài 89 : Cho hệ phơng trình

2x+my=1

mx+2y=1
{

Giải và biện luận theo tham số m

Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x, y Z

Chứng mingh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y), điểm M(x;y) ln chạy trên một
đờng thẳng cố định.

Xác định m để điểm M thuộc đờng trịn có tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng √2
2 .
Hớng dẫn: 4. Theo câu 2 ta có x = y =

m nªn

M(x;y) thuộc đờng trịn tâm O bán kính √22 khi và chỉ khi x2 + y2 = r2 =

2 





2 2

1 1 1 2 1

2 2 2 2 2

m m m

   

   

   

 

    

 (m + 2)2 = 4  m=0 hc m = -4.

Bài 90: Cho hệ phơng trình:

1 1

mx y
x y

Giải hệ phơng trình khi m =

3
2

Tỡm m để hệ phơng trình có nghiệm ( x = -2; y = -2 ).
Bài 91: Cho hệ phơng trình

2 1

( 1) 2

mx my m

x m y

  




  



1. Chứng minh nếu hệ có nghiệm (x; y) thì điểm M( x; y) ln ln thucộc một đờng
thẳng cố định khi m thay đổi.

2. Tìm m để M thuộc góc phần t thứ nhất.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Híng dÉn:Khi m khác 0 và 1 thì hệ có nghiệm duy nhÊt

1; 1

m

x y

m m



 

Ta cã

1 1 1

x x y x y

m

       

Vậy M thuộc đờng thẳng có pt y = -x + 1.
Bài 92: Giải các hệ phơng trình sau:

a )

2 4 8

3 9 27

x y z

x y z

  




  



   

 b)

2 3 11

2 3 2

3 2 3

x y z

x y z

x y z

  




  



   



KQ: a) ( 6; -11; 6) b) ( -2; -1; 5 )

Bài 93: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;

{

(m+1)x − y=m+1

x+(m−1)y=2

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 94: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị

{

|x|+1=y

2y −5=x b)

{

x −|y|=2

x
4+

y
4=1

{

|y+1|=x −1
y=3x −12

Bµi 95: Cho hệ phơng trình :

{

2x+by=4
bxay=5

a)Giải hệ phơng trình khi a=|b|

b)Xỏc nh a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm :
* (1;-2)

* ( √2−1;√2 )

*Để hệ có vô số nghiệm

Bài 96:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:

{

mx− y=2m

4x −my=6+m

Bµi 97: Víi giá trị nào của a thì hệ phơng trình :

{

x+ay=1

ax·+y=2

a) Cã mét nghiÖm duy nhất
b) Vô nghiệm

Bài 98 :Giải hệ phơng trình sau:

{

x2+xy+y2=19

x −xy+y=−1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

{

|x −1|+|y −2|=1

(x y)2+m(x y 1) x+y=0

Bài 100 :GiảI hệ phơng trình:

{

2x

xy+3y2=13

x24 xy2y2=6

Bài 101*: Cho a và b thoả mÃn hệ phơng trình :

{

a

+2b2−4b+3=0

a2+a2b2−2b=0 .TÝnh a

+b2

Bài 102:Cho hệ phơng trình :

{

(a+1)x y=3

a.x+y=a

a) Giải hệ phơng rình khi a=- √2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị

¿
¿

¿ Bµi 103: Cho hµm sè :

y= (m-2)x+n (d)

Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)

b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- √2 và cắt trục hoành tại điểm có
hồnh độ bằng 2+ √2 .

c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0

d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 104: Cho hàm số : y=2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y=mx−1 theo m

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 105: Cho (P) y=x2 và đờng thẳng (d) y=2x+m

1.Xác định m để hai đờng đó :

a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hồnh độ x=-1.
Tìm hồnh độ điểm cịn lại . Tìm toạ độ A và B

2.Trong trêng hỵp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.

Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi
m thay đổi.

Bài 106: Cho đờng thẳng (d) 2(m−1)x+(m −2)y=2

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x2 tại hai điểm phân biệt A và B

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bµi 107: Cho (P) y=− x2

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vng
góc với nhau và tiếp xúc với (P)

b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng √2
Bài 108: Cho đờng thẳng (d) y=3

4 x −3
a) VÏ (d)

b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)

Bµi 109: Cho hµm sè y=|x −1| (d)

a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình |x −1|=m

Bài 110: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng :
(d) y=(m−1)x+2

(d') y=3x −1

a) Song song víi nhau
b) Cắt nhau

c) Vuông góc với nhau

Bi 111: Tỡm giỏ trị của a để ba đờng thẳng :

(d1)y=2x −5

(d2)y=x+2
(d3)y=a.x −12

đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ

Bài 112: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 113: Cho (P) y=1

2x
2

và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng
(d) đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).

Bµi 114: Cho hµm sè y=|x −1|+|x+2|

a) Vẽ đồ thị hàn số trên

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

|x −1|+|x+2|=m

Bài 115: Cho (P) y=x2 và đờng thẳng (d) y=2x+m

a) VÏ (P)

b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 116: Cho (P) y=−x

4 vµ (d) y=x+m
a) VÏ (P)

b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại
điẻm có tung độ bằng -4

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bµi 117: Cho hµm sè y=x2 (P) và hàm số y=x+m (d)

a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

b) Xỏc nh phng trỡnh đờng thẳng (d') vng góc với (d) và tiếp xúc vi (P)

c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao
cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 32

Bi upload.123doc.net: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì sao ?

b) Tìm a để hàm số y=a.x2 (P) đi qua A

c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d2 ) đi qua A và vng góc với ( d1 )

d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d2 ) ; C là giao điểm của ( d1 ) với trục
tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC

Bµi 119: Cho (P) y=1

4 x
2

và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hồnh
độ lầm lợt là -2 và 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hồnh độ x∈[−2;4] sao cho tam
giác MAB có diện tích lớn nhất.

(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x∈[−2;4] có nghĩa là A(-2; yA ) và B(4; yB
) tính yA ;; yB )

Bµi 120: Cho (P) y=x

4 và điểm M (1;-2)

a) Vit phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m

b) CMR (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi xA;xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để xA

xB+xAxB

2 đạt giá
trị nhỏ nhất và tính giá tr ú

d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ
giác AA'B'B.

*TÝnh S theo m

*Xác định m để S= 4(8+m2

√

m2+m+2)

Bµi 121: Cho hµm sè y=x2 (P)

a) VÏ (P)

b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình
đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)

Bài 122: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y=−1

4x
2

và đờng thẳng (d) y=mx−2m −1

a) VÏ (P)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bµi 123: Cho (P) y=−1

4x
2

và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số
góc m.

a) VÏ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B mR

b) Tỡm giỏ trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 124: Cho (P) y=x

4 và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
3

2;1 ) cã hƯ sè gãc lµ m
a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)

b) Tìm m sao cho (d) tiÕp xóc (P)

c) T×m m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

Bài 125: Cho (P) y=x

4 và đờng thẳng (d) y=−
x
2+2
a) Vẽ (P) và (d)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)

c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song
với (d)

Bµi 126: Cho (P) y=x2

a) VÏ (P)

b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình
đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 127: Cho (P) y=2x2

a) VÏ (P)

b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 và điểm B có hồnh độ x=2 . Xác định các
giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với
AB

Bài 128: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình (d1)x+y=m

(d2)mx+y=1

cắt nhau tại một điểm trên (P) y=2x2

Phần 5: Giải toán bằng cách lập ph ơng trình

1. chuyn động

Bài 129: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B

và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2
giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên
đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi

Bài 130: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến
A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nơ khi nớc n lặng ,biết rằng quãng sông AB
dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.

Bài 131: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc
từ B trở về A .Thời gian xi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng
cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km
và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng
ngời đó đã đi.

Bài 133: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận
tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc 3

4 quãng đờng AB , xe
con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên qng đờng cịn lại . Tính qng đờng AB biết rằng
xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.

Bài 134: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác
định . Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận
tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều
hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.

Bài 135:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều
nhau . Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca
nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.

Bài 136: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ
A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14
Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?

Bài 137: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời
gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu khơng có gì
thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB
, ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km .
Tính quãng đờng AB

Bài 138: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi
đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính
quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

Bài 139: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau
đó ngợc từ B về A . Thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng
cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca
nô là không đổi .

Bài 140: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40
Km/h . Lúc đầu ơ tơ đi với vận tốc đó , khi cịn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng
đ-ờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đđ-ờng còn lại . Do đó ơ tơ
đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.

Bài 141: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I
chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đ ờng đi ca nô II
dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng
hai ca nô đến B cùng một lúc .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 143: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xi dịng 108 Km và ngợc dịng
63 Km. Một lần khác , ca nơ đó cũng chạy trong 7 giờ, xi dịng 81 Km và ng ợc
dịng 84 Km . Tính vận tốc dịng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.

Bài144: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20
phút . Tính vận tốc của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 145: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sơng A . Sau đó 5 giờ 20 phút một
chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A
20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 146: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài
120 Km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên
để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa qng đờng cịn lại .
Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .

Bài 147: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy

định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B
đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.

Bài148: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách
B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang
đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc
của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.

2. Năng suất

Bi 149: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu
mỗi đội làm một mình để làm xong cơng việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn
so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong cơng việc ấy trong bao
lâu?

Bài 150: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày .
Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đơi giầy do đó chẳng những
đã hồn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đơi giầy .
Tính số đơi giầy phải làm theo kế hoạch.

Bài 151: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá ,
nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hồn thành kế hoạch sớm 1
tuần mà cịn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định

Bài 152: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó
đ-ợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc
đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 153: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khốn . Nếu làm chung trong

4 giờ thì hồn thành đợc 2

3 mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm
xong mức khốn thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 155: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời
thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi
ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .

3. ThĨ tÝch

Bài 156: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể
trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ
nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?

Bài 157: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1
giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1
giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bĨ trong bao l©u ?

Bài 158: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian
quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m3 . Sau khi bơm đợc 1

3 thể tích bể chứa ,
máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m3 . Do vậy so với
quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.

Bài 159: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa khơng có nớc thì sau 1 giờ
30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vịi thứ hai
chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ c 1

5 bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ
đầy bể ?

Bµi 160: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55
phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2
giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?

Phần 6 : Hình học

Bài161: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngồi tại C . Kẻ các đờng
kính COA và CO’B. Qua trung điểm M của AB , dựng DE  AB.

a) Tø gi¸c ADBE là hình gì ? Tại sao ?

b) Ni D với C cắt đờng tròn tâm O’ tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng 
c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ tại G . CMR EC đi qua G

d) *Xét vị trí của MF đối với đờng trịn tâm O’ , vị trí của AE với đờng trịn ngoại
tiếp tứ giác MCFE

Bài 162: Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vng góc với
CD . Từ điểm E bất kì trên nửa đờng trịn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại
P , cắt Dy tại Q.

a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED

b) Tính tích CP.DQ theo R

c) Khi PC= R

2 . CMR

ΔPOQ
ΔCED=

25
16

d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng trịn tâm O và hình thang vng
CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

tuyến Fx với đờng trịn , qua E dựng Ey vng góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx
và Ey .

a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng trịn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?

c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?

Bài 164: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp
tuyến Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc

b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK  Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ

tÝch cđa ®iĨm H

Bài 165: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O . Các đờng cao AD ,
BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong tại F . Vẽ đờng kớnh BOE .

a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?

b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI = BH

2 và H ; F đối xứng nhau qua AC

Bài 166: Cho (O,R) và (O’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt
đờng tròn O’ và đờng tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN
vng góc với BC . Nối A với M cắt đờng tròn O’ tại E .

a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc là góc)
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O’P = R ; OP = R’
c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O’

Bài 167: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đờng trịn bán
kính OB . Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C v D

a) Tứ giác ODBC là hình gì ? T¹i sao ?
b) CMR OC  AD ; OD  AC

c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B

Bài 168: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng trịn đó tại hai điểm

cố định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta
kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .

a) TÝnh các góc của MPQ biết rằng góc giữa hai tiÕp tuyÕn MP vµ MQ lµ 45

❑0 .

b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng
trịn .

c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp  MPQ khi M chạy trên d

Bài 169: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt
cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M .

a) CMR OM  BC

b) Dựng tia phân giác ngồi Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB

( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

gãc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng øng BC , CA , AB . Gäi P lµ giao điểm của
MB , IK và Q là giao điểm cña MC , IH.

a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác  HMK

c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ  BC

Bài 171: Cho  ABC ( AC > AB ; B^A C > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung
điểm của AB , AC . Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ;
tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.

a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy

d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp  AEF . Hãy so
sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE .

Bài 172: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R√2 , một đờng thẳng (d)
quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .

a) CMR OI  MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm
giới hạn B , C thuộc (O)

b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vng
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC

cña (O)

Bài173: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB .
Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.

a)  AFC vµ  BEC cã quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ?
b) CMR FEC vuông cân

c) Gi D l giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn .
CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc

Bài174: Cho đờng trịn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vng góc với nhau . E là
một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.

a) CMR  AMC đồng dạng  ANC .
b) CMR : AM.CN = 2R2

c) Gi¶ sư AM=3MB . TÝnh tØ sè
CN
ND

¿❑

❑

Bài 175: Một điểm M nằm trên đờng trịn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần lợt
là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao
điểm của AM , HI.

a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP  AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa
đ-ờng trịn (O) đđ-ờng kính AB

Bài 176: Gọi O là trung điểm cạnh BC của  ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho
tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M, N .

a) CMR  OBM đồng dạng  NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN .
b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài177: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB=2R (

M ≠ A , B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng trịn đó . Đờng Mz cắt Ax ,
By lần lợt tại N và P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D .
Chứng minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R2

d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất

Bài 178: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa
cung AB (cung AB khơng chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N .

a) CMR tứ giác DMNC nội tip trong ng trũn

b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB

Bài 179: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C
) và vẽ đờng trịn tâm (O’) đờng kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M
kẻ dây cung DE vng góc với AB , DC cắt đờng trịn (O’) tại I .

a) Tø gi¸c ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng

c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC

(Lớp10- bộ đề toán)

Bài 180: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên
một nửa đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng trịn (O) tại M
và tiếp xúc với đờng kính AB tại N . Đờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các điểm
thứ hai C , D

a) Chøng minh : CD // AB .

b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua
một điểm K cố định.

c) CMR : KM.KN không đổi

Bài 181: Cho một đờng trịn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao
cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi
các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC ,
AD lần lợt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K

a) CMR: ΔNKD; ΔMAK c©n

b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK

Bài 182: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng
(d) vng góc với AC tại A . Vẽ đờng trịn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì .
Tia CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt
đ-ờng tròn tại điểm thứ hai P.

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc

b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?

d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định
khi M di động.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đ ờng trịn
cố định .

b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA)

c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đờng
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.

d) Xác định vị trí của M sao cho MK A^ =900 .

Bài 184: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa
của cung AB khơng chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F .
Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K .
CMR:

a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp c
c) IK // AB

d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A

Bài 185: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp
tuyến chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt tại các điểm B , C và
cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E.

a) CMR: M lµ trung ®iĨm cđa BC
b) CMR: Δ O1MO2 vuông

c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng

d) Gi I là trung điểm của DE . CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp
xúc với đờng thẳng d

Bài 186: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R √2 cố định và một điểm M di
động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của
tam giác MAB ; P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với
đờng tròn (O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.

a) CMR : PQ là đờng kính của đờng trịn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?

c) Chứng minh độ dài SH không đổi

d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một
đờng tròn cố định.

Bài 187: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm
P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .

a) CMR : BM // OP

b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình
gì ? Tại sao ?

c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao
®iĨm cđa PN víi OM . CMR : K , I , J thẳng hàng

d) Xỏc nh v trớ của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)

Bài 188: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vng góc nhau . Trong
đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại
điểm thứ hai N . Đờng thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn
(O) ở điểm P .

a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc
b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 189: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng
AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần
lợt tại các điểm thứ hai E , F .

a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc

c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O’)

Bài 190: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa
ờng tròn ( M khác A và B ) . Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt

đ-ờng trung trực của đoạn AB tại I . Đđ-ờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đđ-ờng thẳng d tại C
và D ( D nằm trong góc BOM ).

a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.
b) CMR : CA và DB vuông góc với AB

c) CMR : ΔAMB đồng dạng ΔCOD
d) CMR : AC.BD = R2

Bài 191: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn .
Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và HI
cắt nhau tại K .

a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi

b) H¹ ΙΡ⊥ΑΜ . Chøng minh IP lµ tiÕp tun cđa (O;R)

c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S
thuộc đờng tròn (O;R)

d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI ln ln tiếp xúc với một đờng
tròn cố định.

Bài 192: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng
tròn sao cho cung AC < 900 và CO D^

=900 . Gọi M là một điểm trên nửa đờng trũn

sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần l ợt
tại E và F .

a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?

b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.

c) Mt ng thng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần
lợt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc.

d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M ,
O , B , K , S cùng thuộc một đờng tròn

Bài 193: Cho ΔABC (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác
ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía
đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vng góc MI , MH , MK
xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm
của CM , IH là Q.

a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc .
b) CMR : MI2 = MH . MK

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ MI
d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC

Bài 194: Cho tam giác ABC vuông tại A (BˆC)ˆ . AH là đờng cao, AM là trung tuyến.
Đờng trịn tâm H bán kính HA cắt đờng thẳng AD ở D và đờng thẳng AC ở E.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Chøng minh gãc MAE b»ng gãc ADE vµ MADE

Chứng minh 4 điểm B, C, D, E nằm trên đờng tròn tâm O. Tứ giác AMOH là hình gì?
Bài 195: Cho tam giác ABC có AB = AC. Các cạnh AB, BC,CA tiếp xúc với đờng tròn

(O) tại các điểm tơng ứng là D,E,F.

Chøng minh DF//BC và 3 điểm A,O,E thẳng hàng.

Gọi giao điểm thứ hai của BF với (O) là M và giao điểm của DM víi BC lµ N. Chøng
minh BFC DNB vµ N là trung điểm của BE.

Gi (O) l ng trũn i qua 3 điểm B,O,C. Chứng minh AB,AC là các tiếp tuyến của
(O’)

Bài 196: Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đờng tròn (O). Ba đờng cao AD,BE,CF
của ABC cắt nhau tại H. Tia AH và AO cắt đờng tròn tơng ứng tại điểm thứ hai là K
và M. Chứng minh

a. MK//BC
b. DH = DK

c. HM ®i qua trung ®iĨm cđa BC

Bài 197: Gọi C là một điểm tuỳ ý trên đoạn AB cho trớc. Vẽ hai nửa đờng trịn đờng
kính AC và BC ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Kẻ tiếp tuyến chung PQ của hai nửa
đờng trịn (P thuộc nửa đờng trịn đờng kính AC; Q thuộc nửa đờng trịn đờng kính
BC). Tia AP và tia BQ cắt nhau tại M.

a. Khi C di chuyển trên đoạn AB thì M di chuyển trên đờng nào?
b. Chứng minh tứ giác APQB nội tiếp đợc đờng tròn

Bài 198: Cho đờng tròn nội tiếp trong ABC, tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lợt tại
M và N. Đờng thẳng MN cắt tia phân giác góc B và C lần lợt tại E và G. Chứng minh:
EB  EC

Tø gi¸c BGEC néi tiÕp.

Bài 199: Cho đờng tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong tại C (R>R’). ABC là đờng
kính chung. M là trung điểm của AB, đờng vng góc tại M với AB cắt (O) tại D v E.
CD ct (O) ti F.

Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao?
Chứng minh E, B, F thẳng hàng

Chứng minh MF lµ tiÕp tun cđa (O’)

Bài 200: Cho ABC nội tiếp (O) đờng kính BC = 2R (AB>AC). Dựng hình vng
ABED có DAC kéo dài. AE cắt (O) ti F.

BCF là tam giác gì? Tại sao?

Gọi K = CFED. Chứng minh tứ giác BCDK nội tiếp.

Gội H là trung điểm của dây CF. Tính HK theo R

Bài 201: Cho (O;R). Từ A ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB; AC. LÊy M thuéc cung nhá BC

(MB, C). H¹ MD; ME; MF lần lợt vuông góc với BC; CA; AB.

Chng minh tứ giác MDBF và MDCE nội tiếp.
Chứng minh FBM DCM và DBM ECM
Tìm vị trí của M để tích ME.MF lớn nhất

Bài 202: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). BC cố định, gọi E; F theo thứ tự

là điểm chính giữa cung AB và AC. Gọi giao điểm của DE với AB và AC lần l ợt là H
và K.

Chøng minh AHK c©n

Gọi I = BECD. Chứng minh AI luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi trên

cung BC

Chøng minh tû sè

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Bài 203: Gọi AB là đờng kính của một đờng tròn tâm O và điểm M là một điểm trên
đ-ờng trịn đó (M khác A, B) Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau E. K MPAB (P

AB) và kẻ MQAE (Q AE). Gọi I là trung điểm của PQ.

Chứng minh ba điểm O, I, E thẳng hàng

Chứng minh hệ thức AQ.AE = AO.AP = 2AI2
EB cắt PM tại K. Chứng minh IK // AB.

Cho AE = 2 3 và bán kính của (O) là R = 2. Tính thể tích của hình đợc tạo ra do tứ
giác EMPA quay một vòng quanh AE.

Bài 204: Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến AMN với (O). (B,C,M,N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của
dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O).

Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng trịn.
Chứng minh AOC = BIC

Chøng minh BI//MN.

Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.

Bài 205: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN
vng góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao im ca
AK v MN.

Chứng minh BCHK là tứ giác néi tiÕp.
TÝnh tÝch AH.AK theo R

Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị
lớn nhất đó.

Bài 206: Cho tam giác ABC (AB AC) nội tiếp đ≠ ờng tròn tâm O, đờng phân giác
trong của góc BAC cắt đoạn BC tại D, cắt đờng trịn tại M, đờng phân giác ngồi của
góc BAC cắt đờng thẳng BC tại E, cắt đờng tròn tại N. Gọi K là trung điểm của DE.

Chøng minh r»ng:

a. MN vuông góc với BC tại trung điểm I của BC.
b. Gãc ABN = gãc AEK

c. KA là tiếp tuyến của đờng tròn(O)

Bài 207: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn O, bán kính R. Trên cung
nhỏ BC lấy một điểm M, trên dây AM lấy AD = MC.

TÝnh gãc BMC; chøng minh r»ng  ABD =  CBM

TÝnh diƯn tÝch phÇn hình tròn tâm O bán kính R nằm ngoài ABC.
Giả sử AM cắt BC tại I. Chứng minh rằng:

AB2 = AI.AM vµ (AB + AI).(AB - AI) = BI.IC

Bài 208: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đoạn AB lấy một điểm D (D khác A và
B) và vẽ đờng trịn (O) có đờng kính BD. Đờng tròn (O) cắt BC tại E. Các đờng thẳng
CD cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là F

Chøng minh ACED là một tứ giác nội tiếp.
Chứng minh BC

BD=
BA
BE
Chøng minh AED = ABF

Chứng minh các đờng thẳng AC, DE, BF đồng qui.

Bài 209: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. Một tia
Ax nằm giữa hai tia AB và AC lần lợt cắt BC tại D và cắt đờng trịn tại E.

Chứng minh AD.AE = AB2. Tìm vị trí của tia Ax để độ dài DE lớn nhất, giải thích vì
sao?

BiÕt gãc BAC = 300..TÝnh diƯn tÝch hình viên phân giới hạn bởi cung BC và dây cung
BC theo R.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

kính AC, đờng trịn này cắt đờng tròn (O) tại điểm D (D khác C ) . Đoạn thẳng BM
cắt đờng tròn tâm A ở điểm N .

Chøng minh MB là tia phân giác của góc CMD .

Chng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn tâm A nói trên .
So sánh góc CNM với góc MDN .

Cho biÕt MC = a , MD = b . HÃy tính đoạn thẳng MN theo a và b .

Bài 211: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp . P là giao điểm của hai đờng chéo AC và
BD .

Chứng minh hình chiếu vng góc của P lên 4 cạnh của tứ giác là 4 đỉnh của một tứ
giác có đờng trịn nội tiếp .

M lµ một điểm trong tứ giác sao cho ABMD là hình bình hành . Chứng minh rằng nếu
góc CBM = gãc CDM th× gãc ACD = gãc BCM .

Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để :
SABCD=1

2(AB . CD+AD . BC)

Bài 212: Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 900 ) nội tiếp đờng trịn tâm O, kẻ đờng
kính AD .

Chøng minh tø gi¸c ABCD là hình chữ nhật .

Gi M , N th tự là hình chiếu vng góc của B , C trên AD , AH là đờng cao của tam
giác ( H trên cạnh BC ) . Chứng minh HM vng góc với AC .

Xác định tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MHN .

Gọi bán kính đờng trịn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác ABC là R và r .
Chứng minh R+r ≥√AB . AC

Bài 213: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , đờng phân giác trong của góc
A cắt cạnh BC tại D và cắt đờng tròn ngoại tiếp tại I .

Chøng minh r»ng OI vu«ng gãc víi BC .
Chøng minh BI2 = AI.DI .

Gọi H là hình chiếu vuông góc cđa A trªn BC .
Chøng minh gãc BAH = gãc CAO .

d) Chøng minh gãc HAO =

B C

Bài 214: Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Giả sử BAM BCA 

Chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA .

Chứng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So sánh BC và đờng chéo hình vuông cạnh là AB .
Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMC .

Đờng thẳng qua C và song song với MA , cắt đờng thẳng AB ở D . Chứng tỏ đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC

H

íng dÉn:
194.

a. Có góc EAD = 90O  DE là đờng kính  ba điểm D, H, E thẳng hàng.
b. Sử dụng các  DHA, AMB và AMC cân, HAB vng

c. Theo b có góc MAE = ADE và cùng nhìn đoạn BE vậy 4 điểm B, C, D, E nằm trên
đờng tròn tâm O.

- Tứ giác AMOH là hình bình hành. Có OM // AH ( cùng BC) 2.2

b. AO và AE đều là phân giác của góc A  A,O,E thng hng.

c. BO là phân giác góc DOO ; OOB cân tại O OD//OB mà OD  AB  O’B
AB

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

BC AK

MK // BC

KM AK

 



 

O
O

KAC KBC

KBC EBC

KAC C 90

KAC EBC

EBC C 90

 



 

   

 

 

   

HBK cân ( đờng cao trùng với đờng phân giác)

 DH = DK

BE AC

BE // MC

MC AC

HBMC

BM AB

BM // CF

CF AB



 



 

  




 

là hình bình hành đpcm
196.

Chng minh góc AMB khơng đổi bằng 90O. Vậy khi C di chuyển trên đoạn AB thì M
di chuyển trên nửa đờng trịn dờng kính AB nằm cùng phía với P

Trên đờng trịn đờng kính AC có PAC = QPC =

2 s® PC

APC và AMB vuông APQ + ABQ = 180O. Hay tø gi¸c APQB néi tiÕp

197.

a. Chøng minh tø giác ONEC nội tiếp ENC = EOC (1)
mà ENC = 90 2

o A



(2) EOC =

2(B + C) (3)

Tõ 1,2,3 suy ra ®pcm

b. Chứng minh tơng tự để có GB  GC. Do đó BEC + BGC = 180O .
198

ADBE là hình thoi.

Chứng minh BF // AD rồi suy ra E, B, F thẳng hàng
Tứ gi¸c MECF néi tiÕp

MFE = MCE  MFE = MCF  MFE = O’FC  MFO’ = 90O
Hay MF là tiếp tuyến của (O)

199.

BCF là tam giác vuông cân

BCF = 45O & BDE = 45O  4 điểm BCDK thuộc đờng trịn
Có F là trung điểm của CK.

HK CK

BCK là tam giác vuông cân tại B CK = 2R 2
200.

c. Tõ FBM  DCM vµ DBM ECM suy ra các tỷ số và suy ra

FM DM

FM.EM DM

DM EM  VËy tÝch ME.MF lín nhÊt khi MD lín nhất

Hay M là điểm chính giữa cung BC
201.

S dng tính chất của góc có đỉnh bên trong đờng trịn suy ra AHK cân tại A

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

202.

QMPA lµ hình chữ nhật I là trung điểm của AM OI AM.
Mà EI AM nên O, I, E thẳng hàng

b. Chứng minh EAO : PAQ  EA.AQ = AO.AP (1)

Chøng minh APM : AIO  AP.AO = AM.AI = AI2 (2)
tõ (1) Vµ (2)  ®pcm

c. Chøng minh BKP : BEA 

BP KP

BAEA (3)

Chøng minh BMP : OEA 

MP BP

EA OA (4)

tõ (3) Vµ (4) rót ra tû sè

KP

MP  K là trung điểm của MP  IK là đờng trung bình của

MAP  IK // AP

d. V V V 2 1 Trong ú:

V1 là thể tích hình nón khi quay QEM quanh QE cã

2
1 1 . .3

V QE QM

V2 là thể tích hình trụ khi quay hình chữ nhật QMPA quanh QA
2

2 . .

V QA QM 

2 4 2

. ( )

3 3

V  QM QA

Dựa vào câu (b) và AMQ vuông tại A suy ra QM = 3 vµ QA = 3
VËy V 12 3

203.
b. BIC =

2 BOC (góc nôi tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

và AOC =

2 BOC ( TÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau)

c. Có AOC = AEC (Góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đờng tròn đi qua 4 điểm A,
O, E, C) Kết hợp với (b) suy ra BIE = AEC (vị trí so le trong) suy ra BI // MN

204.

a. Xét tổng hai góc đối K và C của tứ giác BCHK
b. ACH : AKB  AH.AK = AB.AC = 2R.

2R = R2

205.

a. Có NA  AM (tính chất của tiếp tuyến trong và ngoài) MN là đờng kính của (O)
(1)

Chøng minh AED : IEN IEN vu«ng tại I (2)
Từ (1) và (2) đpcm

b. Chứng minh ABN = AMN (gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AN)
AMN = AEK ( cïng phơ víi ANM )

206

Gãc BMC = 120O;  ABD =  CBM (c.g.c)

Theo tính chất trọng tâm  đều  đờng cao của  là BH =

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

áp dụng tỷ số lợng giác góc 60O tính đợc độ dài cạnh  là BC =

3
3 R



3
4

ABC

SV  R

 DiÖn tích cần tìm

Chứng minh BAI : MAB AB2 = AI.AM

AB2 = AI.AM = AI.(AI + IM) = AI2 + AI.IM  AB2 - AI2 = AI.IM

 (AB – AI)(AB+AI) = AI.AM (1)

Chøng minh ABI : CMI  BI.IC = AI.IM (2). Tõ (1)(2)  ®pcm
207.

Chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180O (A + E)
Chứng minh ABC : EBD  tỷ số

Có AED = ACD (1) ( cung chắn cung AD của đờng tròn (ACED))
ACD + ADC = 90O = FDB + FBD  ACD = FBD (2)

Tõ (1)(2)  ®pcm

d. Gọi giao điểm của BF và AC là Q. QBC có FC và BA là các đờng cao

 D lµ trực tâm. Mà DE BC Q, D, E thẳng hàng đpcm
208.

Chứng minh ADB : ABE đpcm
Từ O h¹ OH BC. Cã BOC = 60O

. .60 .

360 6

qOBCO

R R

S  

OHC cân tại O mà BOC = 60O BOC đều 

3
2

OH R



1 . 3 3

2 2 4

OBC

SV  R R R

 Tính S hình viên phân.
Đề ơn tập số 1
Bài 1: (0,75 điểm) Chứng minh đẳng thức:

3 2 6 150 1 4

3 3

27 3 6

 

Bài 2: (1,25 điểm) Rót gän c¸c biĨu thøc:





2 2
3

4 9 6 1

3 1

A x x x

x

  

 víi

1
0

x

 

4 7 4 7

B   

 

Bài 3: (2,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc đồ thị (P) của
hàm số y ax 2 và điểm B khơng thuộc (P).

T×m hƯ sè a vµ vÏ (P).

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B. Xác định tọa độ giao điểm thứ hai
của (P) và đờng thẳng AB.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 5: (2,75 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng trịn đờng

kính AD, tâm O. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vng
góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:

Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc;
E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH;
Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đờng tròn.

Bài 6: (1,25 điểm) Để làm một cái phểu hình nón khơng nắp bằng bìa cứng bán kính
đáy r12cm, chiều cao h16cm, ngời ta cắt từ một tấm bìa ra hình khai triển của mặt
xung quanh của hình nón, sau đó cuộn lại. Trong hai tấm bìa hình chữ nhật: Tấm bìa A
có chiều dài 44cm, chiều rộng 25cm; tấm bìa B có chiều dài 42cm, chiều rộng 28cm,
có thể sử dụng tấm bìa nào để làm ra cái phểu hình nón nói trên mà khơng phải chắp
nối ? Gii thớch.

Đề ôn tập số 2

Bài 1: (1,75 ®iĨm) a. Kh«ng sư dơng m¸y tÝnh bá tói, tính giá trị cđa biĨu thøc:

3 2 3 6

3 3 3

A  



Rót gän biĨu thøc





  

    

   

 

1 1 1

: 0 vµ 1

1 2 1

x

B x x

x x x x x .

Bài 2: (2,25 điểm)

Trờn mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B



4 ; 0



và C



1 ; 4



Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đờng thẳng y2x 3.
Xác định tọa độ giao điểm A của đờng thẳng (d) với trục hoành Ox.

Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc
tạo bởi đờng thẳng BC và trục hồnh Ox (làm trịn đến phút).

Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm
trịn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bµi 3: (2 điểm)

a. Tìm hai số u và v biÕt: u v 1,uv 42 và u v .

b. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xi dịng từ
bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngợc dòng 25 km để đến
bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính
vận tốc xuồng máy khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc nớc chảy là 1 km/h.

Bài 4: (2,5 điểm) Cho nửa đờng trịn tâm O có đờng kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp
tuyến Ax và By của nửa đờng tròn (Ax, By và nửa đờng tròn cùng thuộc một nửa mặt
phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đờng tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại
M của nửa đờng tròn cắt Ax tại D và cắt By ti E.

Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông.

Chứng minh r»ng: AD BE = R 2.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Bài 5: (1,5 điểm) Một cái xô dạng
hình nón cụt có bán kính hai đáy là 19
cm và 9 cm, độ dài đờng sinh l26cm
. Trong xô đã chứa sẵn lợng nớc có
chiều cao 18 cm so với đáy di (xem
hỡnh v).

Tính chiều cao của cái xô.

Hi phi thờm bao nhiờu lớt nc
y xụ ?

Đáp án và thang điểm Đề ôn tập số 1
Bài 1 (0,75)













2 3 3 6 3 1

3 2 6 6

27 3 3 3 3 3 3 1

 



  

  

(0,25)

150 5 6

3  3 (0,25)

3 2 6 150 1 6 5 6 1 4 6 1 4

3 3 3 3 3

27 3 6 6 6

    

       

   

    

    (0,25)

Bµi 2a:( 0,75)









2 2 6 3 1

4 9 6 1

3 1 3 1

x x

x x x

x x



  

  (0,25)





6 3 1

3 1 3 1

x x
x x
x
x x

(vì
1
0
3
x

nên x0 vµ 3x 1 0) (0,50)
Bµi 2b:( 0,5)



4 7





4 7



2 4 7 4 7

4 7 4 7

9 9 3

4 7 4 7

    
 
    
 
B
(0,25)

4 7 4 7 8

3 3 3

B  

(vì 16 7 4 7). (0,25)
Bài 3 (2,50)

3.a + Điểm A có tọa độ: A(2; 3) . (0,25)

3 ( )

3 4

4 A P



  

a

 

a

(0,25)

+ Lập bảng giá trị và vẽ đúng đồ thị (P)
(0,50)

A
O'

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

3.b + Phơng trình đờng thẳng có dạng y ax b  , đờng thẳng này đi qua A và B nên ta
có hệ phơng trình:

3 2

6 2

a b
a b

  




  

 (0,50)

+ Giải hệ phơng trình ta đợc:

3 9

;

4 2

a b

 

 

 

 

Vậy phơng trình đờng thẳng AB là:

3 9

4 2

y x

. (0,25)

+ Phơng trình cho hồnh độ giao điểm của (P) và đờng thẳng AB là:

2 2

3 3 9

6 0

4x 4x 2 x x

  

(0,25)
Giải phơng trình ta có 1 2 2

2; 3

x  x   y 

(0,25)
Vậy tọa độ giao điểm thứ hai của (P)

và đờng thẳng AB là

27
3;

 

 

 

 . (0,25)

Bµi 4. (1,50)

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội. Khi đó, x > 0 và vận
tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h).(0,25)

Theo giả thiết, ta có phơng trình:

300 5 345

5 3

x  x (0,50)









900x 5x x 5 1035 x 5 x 22x 1035 0

        

(0,25)

Giải phơng trình ta đợc: x123 (loại vì x > 0) và x2 45 0 . (0,25)
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h

vµ vËn tèc xe lưa thø hai lµ: 50 km/h (0,25)

Bµi 5 (2,75) VÏ h×nh: (0,25)

a) Tứ giác ABEH có: B900 (góc nội tiếp trong nửa đờng trịn);

 900

H  (giả thiết) Nên: ABEH nội tiếp đợc. (0,25)

Tơng tự, tứ giác DCEH có C H  900, nên nội tiếp đợc.

(0,25)

b) Trong tø gi¸c néi tiÕp ABEH, ta cã: EBH EAH

(cïng ch¾n cung EH ) (0,25)

Trong (O) ta cã: EAH CAD CBD   (cùng chắn cungCD ). (0,25)

EBH EBC ,nên BE là tia phân giác của góc HBC . (0,25)

+ Tơng tự, ta cã: ECH BDA BCE  ,

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Suy ra EH là tia phân giác của góc BHC (0,25)

c) Ta có I là tâm của đờng trịn ngoại tiếp tam giác vng ECD, nên BIC 2EDC (góc

néi tiÕp và góc ở tâm cùng chắn cung EC ). Mà EDC EHC  , suy ra BIC BHC .

(0,25)

+ Trong (O), BOC2BDC BHC (gãc néi tiÕp vµ gãc ë tâm cùng chắn cung BC ).
(0,25)

+ Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc BHC dựng trên đoạn BC, hay 5 điểm B, C, H,
O, I cùng nằm trên một đờng trịn. (0,25) Câu 6 (1,25)

+ §êng sinh của hình nón có chiều dài: l r2h2 20(cm). (0,25)

+ Hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón là hình quạt của hình tròn bán
kính l, số đo của cung của hình quạt là:

0 360 360 12 2160

r
n

l



  

(0,25)

 720 OI cos

AOI AOI

OA

   OI 20cos 720 6, 2(cm)

   . (0,5)

+ Do đó, để cắt đợc hình quạt nói trên thì phải cần tấm bìa hình
chữ nhật có kích thớc tối thiểu: dài 40cm, rộng (20 + 6,2) = 26,2cm. Vậy phải dùng

tấm bìa B mới cắt đợc hình khai triển của mặt xung quanh ca hỡnh nún m khụng b

chắp vá. (0,25)

Đáp án và thang điểm Đề ôn tập số 2
Bài 1 (1,75)

1.a











 



3 3 2 6 3 3

3 2 3 6

3 3 3 3 3 3 3 3

A      

  

(0,25)





6 3 3

3 2

9 3

A   

 (0,25)

+ A 3 2 3   3 1 (0,25)

1.bTa cã:





  

   

1 1 1 1

1 1 1

x x x x x x

(0,25)









x
x x

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>





 



   2

1 1

2 1 1

x x

x x x

(0,25)



 



1 1 1

1 1

x x x

B

x

x x x

  

 



(vì x0 và x1) (0,25)
Bài 2 (2,25)

2.a + ng thẳng (d) song song với đờng thẳng y2x 3, nên phơng trình đờng thẳng
(d) có dạng y2x b b ( 3). (0,25)

+ Đờng thẳng (d) đi qua điểm C



1; 4



nên: 4  2 b b 6 3.
Vậy: Phng trỡnh ng thng (d) l: y2x6. (0,25)

+ Đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm A x( ; 0) nªn 0 2 x 6 x3. Suy ra: A



3 ; 0



(0,25)

2.b + Đồ thị hàm số y ax b  là đờng thẳng đi qua



4; 0



B

vµ C



1; 4

nên ta có hệ phơng trình:
0 4
4

a b
a b

 




 

 (0,25)

+ Giải hệ phơng trình ta đợc:





4 16

; ;

5 5

a b   

 . (0,25)

+ Đờng thẳng BC có hệ số góc

0,8 0
5

a  

, nªn tang cđa gãc ' kỊ bï víi góc tạo
bởi BC và trục Ox là:

' 0,8 ' 38 40'

tg a    

. (0,25)

+ Suy ra: Góc tạo bởi đờng thẳng BC và trục Ox là  1800' 141 20' 0 0,25
2.c + Theo định lí Py-ta-go, ta có:

2 2 22 42 2 5

AC  AH HC    (0,25)

+T¬ng tù: BC 5242  41.
Suy ra chu vi tam giác ABC là:

7 2 5 41 17,9 ( )

AB BC CA      cm (0,25)

Bài 3 (2,0)

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

+ Giải phơng trình ta cã: x16; x2 7 (0,25)
+ Theo gi¶ thiÕt: u v , nên u7;v60,25

3.b+ Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nớc yên lặng.

Điều kiện: x > 1. (0,25)

+ Thời gian xuồng máy đi từ A n B:
60

(h)
1

x ,

thời gian xuồng ngợc dòng từ B vỊ C :
25

(h)
1

x (0,25)

+ Theo gi¶ thiÕt ta có phơng trình :

60 25 1

1 1 2

x x   (0,25)

+ Hay 3x2 34x11 0 Giải phơng trình trên, ta đợc các nghiệm: x1 11; 2
1
3

x 

(0,25)
+ V× x > 1 nªn x = 11 .

Vậy vận tốc của xuồng khi nớc đứng yên là 11km/h. (0,25)
Bài 4

4.a + Hình vẽ đúng (câu a): (0,25)

+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau
tại D, nên OD là tia phân giác góc AOM. Tơng tự:
OE là tia phân giác góc MOB. (0,50)

+ Mµ AOM và MOB là hai góc kề bù, nên DOE900.
Vậy tam giác DOE vuông tại O. (0,50)

4.b+ Tam gi¸c DOE vuông tại O và OMDE nên

theo hƯ thøc lỵng trong tam giác vuông, ta cã:

2 2

DM EM OM R (1) (0,25)

+ Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến
cắt nhau) (2) . (0,25)

+ Tõ (1) vµ (2) ta cã: DA EB R 2 (0,25)

4.c+ Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là:

1 1

2 2

S  AB DA EB   R DM EM   R DE

(0,25)

+ S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. Mà DE là đờng xiên hay đờng vng góc kẻ
từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vng góc với By tại H).

Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đờng trịn (O) (hoặc
OM AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là: S0 2R2(0,25)

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

5.a

+ Cắt hình nón cụt bởi mặt phẳng qua trục OO', ta đợc hình thang cân AA’B’B. Từ A
hạ AH vng góc với A’B’ tại H, ta có:

A'H O'A' OA 10 (cm)   (0,25)

Suy ra:

2 2

OO' AH AA' A'H

26 10 24 (cm)

  

   (0,25)

5.b + Mặt nớc với mặt phẳng cắt có đờng thẳng chung là IJ, IJ cắt AH tại K. Theo giả
thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = 6 (cm). 0,25

+ Bán kính đáy trên của khối nớc trong xơ là r1O I O K KI 9 KI1  1    .

KI//A’H 1

KI AK

= KI 7,5 16,5 (cm)

HA' AH r

    

. (0,25)

Thể tích khối nớc cần đổ thêm để đầy xơ là:









2 2 2 2

1 1

. 6 19 19 16,5 16,5

3 3

V   h r rr r     

. (0,25)

+ V 5948,6 cm3 5,9486dm3 5,9 lÝt. 0,25

Ghi chó:

Học sinh làm cách khác đáp án nhng đúng vẫn cho điểm tối đa.
Điểm tồn bài khơng làm trịn.

L
 u ý:

Tài liệu chỉ có giá trị tham khảo .

Nghiêm cấm việc sao chép , xuất bản khi không đợc phép .

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41></div>

214 De thi vao lop 10 Co huong dan

bài tập ôn tập vào lớp 10

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>=</b>

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-

)

(

)

(

)

(

(

√

)

(

√

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

√

√

)

(

)

[

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(