CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
BÀI 5: TỪ VNG GĨC ĐẾN SONG SONG
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Phát biểu được quan hệ giữa tính vng góc với tính song song.
+ Phát biểu được tính chất của ba đường thẳng song song.
 Kĩ năng
+

Vận dụng được các tính chất để chứng minh bài toán.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Quan hệ giữa tính vng góc với tính song song
Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một
đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Một đường thẳng vng góc với một trong hai
đường thẳng song song thì nó cũng vng góc với
đường thẳng kia.
a  c
 a //b .

b  c

a //b
cb.

c  a
Ba đường thẳng song song

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

a //c
 a //b

b //c
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc, hai đường thẳng song song
Phương pháp giải
Chứng minh hai đường thẳng song song:

Ví dụ 1: Cho hình vẽ:

Ngồi sử dụng các dấu hiệu (hai góc so le trong
bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc
trong cùng phía bù nhau....), ta có thể dựa vào dấu
hiệu: hai đường thẳng cùng vng góc hoặc song
song với một đường thẳng thứ ba.
Chứng minh hai đường thẳng vng góc ta có
thể dựa vào:

Chứng minh a //b .

• Định nghĩa hai đường vng góc: Hai đường Hướng dẫn giải
thẳng vng góc là hai đường thẳng cắt nhau và Vì hai đường thẳng a và b cùng vng góc với
trong các góc tạo thành có một góc vng.

đường c nên a //b .


• Một đường thẳng vng góc với một trong hai Ví dụ 2: Cho hình vẽ:

Trang 2


đường thẳng song song thì nó cũng vng góc với
một đường thẳng kia.
• Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vng
góc với nhau.

Chứng minh b  c .
Hướng dẫn giải

  140  40  180 .
Ta có 
ADC  BCD
Suy ra b //a (hai góc trong cùng phía bù nhau).

  90 suy ra c  a .
Ta có B
Mà b //a nên c  b (quan hệ giữa tính vng góc
và tính song song).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình vẽ:

Chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau.
Hướng dẫn giải

B
  180 (hai góc kề bù).

Ta có B
1
2
  140 nên B
  180  B
  180  140  40 .
Mà B
2
1
2
Vẽ tia Cx trong góc 
ACB sao cho Cx //a

  35 (hai góc so le trong bằng nhau).

A1  C
1
Trang 3


 C
 C

  75  35  40 .
Mặt khác 
ACB  C
ACB  C
1
2
2

1
 C
  40 suy ra Cx //b (hai góc so le trong bằng nhau).
Do đó B
1
2
Vậy a //b (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba).
Ví dụ 2. Cho hình vẽ:

  60 và a //b . Chứng minh rằng AC  BC .
Biết 
A1  150 , B
Hướng dẫn giải

  180  
Ta có 
A1  
A2  180 (hai góc kề bù)  A
A1  180  150  30 .
2
Từ C kẻ đường thẳng Cx //a //b (Cx nằm trong 
ACB ).
B
  60 (hai góc so le trong);
Ta có Cx //b nên C
2


Cx //a nên C
A2  30 (hai góc so le trong).

1
 C
 C
  60  30  90 .
Mà tia Cx nằm giữa CA và CB nên 
ACB  
ACx  BCx
1
2
Vậy AC  BC .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hình vẽ:

Trang 4


  25 . Chứng minh AC  BC .
Biết a //b , 
A2  115 , B
1
Câu 2: Cho góc 
AOB . Trên OA, OB lần lượt lấy C và D. Vẽ ngồi
  35 ,
góc 
AOB hai tia Cx và tia Dy sao cho Cx //Dy . Biết OCx

  55 (như hình vẽ dưới).
ODy
Chứng minh OA  OB .
Dạng 2: Tính góc

Phương pháp giải
Ví dụ 1: Cho hình vẽ:

.
  135 . Xác định số đo của các góc D
Biết C
1
Hướng dẫn giải
Bước 1. Chứng minh hai đường thẳng vng góc
hoặc song song.
Bước 2. Sử dụng tính chất các cặp góc đối đỉnh,
các góc kề bù nhau, các góc tạo bởi một đường
thẳng cắt hai đường thẳng song song... để tính góc.

Ta có c  a , c  b (giả thiết) suy ra a //b (vì cùng
vng góc với c).

D
  180 (hai góc trong cùng phía).
Do đó C
1
1
  180  C
  180  135  45 .
Suy ra D
1
1
  45 .
Vậy D
1


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình vẽ:

  60 . Xác định số đo của góc 
Biết a //b và B
A1 .
Hướng dẫn giải

Trang 5


Trong góc 
ACB vẽ tia Cx //a , khi đó Cx //b (vì a //b ).

B
  60 (hai góc so le trong).
Suy ra C
2
 C
.
Vì tia Cx nằm giữa tia CA và tia CB nên 
ACB  C
1
2

  90  60  30 .
Suy ra C
ACB  C
1

2


Ta có Cx //a nên C
A1  180 (hai góc trong cùng phía)
1
  180  30  150 .

A1  180  C
1

Vậy 
A1  150 .
Ví dụ 2. Cho hình vẽ:

  30 . Tính số đo góc 
Biết a //b và 
A1  50 , B
ACB .
1
Hướng dẫn giải

Từ C kẻ đường thẳng Cx //a (Cx nằm trong 
ACB )
Mà a //b nên Cx //b .

 C
B
  30 (hai góc so le trong)
Suy ra BCx

1
1
Trang 6



Lại có Cx //a nên 
ACx  C
A1  50 (hai góc so le trong)
2
 C
 C
  50  30  80 .
Mà tia Cx nằm giữa CA và CB nên 
ACB  
ACx  BCx
2
1
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho hình vẽ:

  125 , c  a , c  b . Tính D
 và D
.
Biết C
1
1
2
Câu 2: Cho hình vẽ:


 C
 . Tìm x.
Biết a //b , 
A1  B
1
Câu 3: Cho góc nhọn 
AOB . Từ M trên tia OA vẽ MN vuông góc với OB  N  OB  , từ N vẽ NP vng
góc với OA  P  OA , từ P vẽ PQ vng góc với OB  Q  OB  , từ Q vẽ QR  OA  R  OA  .
a) Chứng minh MN //PQ và NP //QR .

 , các góc có số đo bằng số đo MNP
 biết
b) Xác định các góc có số đo bằng số đo góc PMN
  RQO
  90 .
QOR

Trang 7


ĐÁP ÁN
Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng vng góc, song song
Câu 1.

Từ C kẻ đường thẳng Cx //a  Cx //b (Cx nằm trong 
ACB ).

 C
B
  25 (hai góc so le trong).

Vì Cx //b nên BCx
2
1
ACx  
A2  180 (hai góc trong cùng phía).
Cx //a nên 

Mà 
A2  115 nên 
ACx  180  
A2  
ACx  180  115  65 .

 C
 C
  25  65  90 .
Mặt khác tia Cx nằm giữa CA và CB nên 
ACB  
ACx  BCx
2
1
Vậy CA  CB .
Câu 2.
Trong góc 
AOB dựng tia OM //Cx  OM //Dy .
 O
 (hai góc so le trong),
Vì OM //Cx nên C
1
1


 O
 (hai góc so le trong).
OM //Dy nên D
1
2
  35 , D
  55 nên
Mặt khác C
1
1

 O
 C
D
  35  55  90 .
AOB  O
1
2
1
1
Vậy OA  OB .
Dạng 2. Tính góc
Câu 1.
Ta có c  a , c  b (giả thiết) suy a //b (vì cùng
vng góc với c).

D
  125 (hai góc so le trong),
Vì a //b nên C

1
2
 C
  180 (hai góc trong cùng phía).
D
1
1

  180  C
  180  125  55 .
Suy ra D
1
1
  55 , D
  125 .
Vậy D
1
2
Câu 2.
Từ C kẻ tia Cy //a  Cy //b (Cy nằm trong 
ACB ).
Trang 8


A
 (hai góc so le trong),
Vì Cy //a nên C
1
2
B

 (hai góc so le trong).
Cy //b nên C
2
2
B
  180  180  360 nên
Mà 
A1  
A2  B
1
2

B
 C
  360 .
A1  C
1
1
2

 C
 C
  x nên
Mặt khác 
A1  B
1
2
1

B

 C
  3x  360  x  120 .
A1  C
1
1
2
Cây 3.
a) MN  OB , PQ  OB (giả thiết) suy ra MN //PQ
NP  OA , QR  OA (giả thiết) suy ra QR //PN

  RPQ
 (hai góc đồng vị);
b) Vì MN //PQ nên PMN
  QPN
 (hai góc so le
Lại có NP //QR nên PQR
trong).
Mả

  QPN
  90
QPR
  OQR

 RPQ



OQR  RQP  90


hay

  PMN

OQR
  QNP
 (hai góc đồng vị).
Mặt khác NP //QR nên OQR
  QNP
.
Suy ra PMN
 , QPR
 , OQR
.
 là QNP
Vậy các góc có số bằng số đo PMN

  NPQ
 (hai góc so le trong bằng nhau);
Vì MN //PQ nên MNP
  PQR
 (hai góc so le trong bằng nhau).
QR //PN nên NPQ
  RQO
  90 ( PQ  OB ) và QOR
  RQO
  90 (giả thiết).
Mặt khác PQR
  PQR
.

Suy ra QOR

 , PQR
 , QOR
.
 là NPQ
Vậy các góc có số đo bằng góc MNP

Trang 9