BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ HOÀI THƢƠNG

ĐA THỨC NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG, 05/2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ HOÀI THƢƠNG

ĐA THỨC NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phƣơng Pháp Toán Sơ Cấp
Mã số

: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hƣớng dẫn: TS. LÊ HẢI TRUNG

ĐÀ NẴNG, 05/2015

LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất
kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hoài Thƣơng


MỤC LỤC
MỤC LỤC ........................................................................................................ 1
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài..................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................ 2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ................................................ 2
7. Cấu trúc của luận văn.............................................................................. 2
CHƢƠNG 1. SAI SỐ ..................................................................................... 4
1.1. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI ..................................... 4
1.2. BIỂU DIỄN SỐ GẦN ĐÚNG ................................................................... 6
1.3. PHÂN LOẠI SAI SỐ ................................................................................. 7
1.3.1. Sai số giả thiết ................................................................................... 7
1.3.2. Sai số phƣơng pháp ........................................................................... 7
1.3.3. Sai số các số liệu ............................................................................... 7
1.3.4. Sai số tính toán .................................................................................. 7
1.4. SAI SỐ CỦA CÁC SỐ LIỆU BAN ĐẦU ................................................. 8
1.5. SAI SỐ TÍNH TỐN................................................................................. 8
1.5.1. Một số bài toán ................................................................................. 8

1.5.2. Sai số của phép toán cộng, trừ ........................................................ 10
1.5.3. Sai số của phép tính nhân, chia ....................................................... 10
1.5.4. Sai số của phép lũy thừa ................................................................. 11
1.5.5. Sai số của phép tính logarit ............................................................. 11
CHƢƠNG 2. ĐA THỨC NỘI SUY ............................................................. 12
2.1. ĐA THỨC NỘI SUY TỔNG QUÁT ...................................................... 12


2.1.1. Bài toán nội suy tổng quát .............................................................. 12
2.1.2. Hệ hàm chebyshev .......................................................................... 13
2.1.3. Đa thức nội suy tổng quát ............................................................... 15
2.2. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE ........................................................ 17
2.2.1. Đa thức nội suy Lagrage với các mốc nội suy bất kỳ ..................... 18
2.2.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều ................................. 19
2.3. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON ............................................................ 19
2.3.1. Tỷ sai phân ...................................................................................... 19
2.3.2. Đa thức nội suy Newton với các mốc nội suy bất kỳ ..................... 22
2.3.3. Sai phân ........................................................................................... 23
2.3.4. Đa thức nội suy Newton với các mốc nội suy cách đều ................. 24
2.4. ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE ......................................................... 27
2.5. SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY ........................................................ 30
2.5.1. Sai số của đa thức nội suy Lagrange .............................................. 30
2.5.2. Sai số của đa thức nội suy Newton.................................................. 32
2.5.3. Sai số của đa thức nội suy Hermitte ............................................... 33
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY ............................ 35
3.1. TÍNH TỔNG CỦA MỘT DÃY CHO TRƢỚC ....................................... 35
3.2. XÂY DỰNG ĐA THỨC NỘI SUY ĐỐI VỚI HÀM SỐ CHO TRƢỚC37
3.2.1. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange .............................................. 37
3.2.2. Xây dựng đa thức nội suy Newton ................................................. 39
3.2.3. Xây dựng đa thức nội suy Hermitte………………….……...........39

3.3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ...................................................... 41
3.4. TÍNH GẦN ĐÚNG, SAI SỐ, HỆ SỐ CỦA MỘT HÀM SỐ .................. 46
KẾT LUẬN .................................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 54
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán nội suy là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích số,
là cơng cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết nội suy, lý thuyết xấp xỉ, lý
thuyết điều khiển tối ƣu,…Ngoài ra những đặc trƣng cơ bản của nội suy cịn
đƣợc sử dụng trong tốn cao cấp, tốn ứng dụng, trong những mơ hình thực tế
và là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh hệ chun tốn bậc
trung học phổ thơng, đầu năm đại học và cũng là chuyên đề nâng cao cho bậc
sau đại học.
Các bài toán nội suy ra đời rất sớm, khởi đầu là các cơng trình của
Lagrange, Newton, Hermitte,…Tuy nhiên việc xây dựng các bài toán nội suy
tổng quát và thuật tốn tìm nghiệm của nó cũng nhƣ việc xây dựng lý thuyết
nội suy cho đến nay vẫn đang đƣợc các nhà tốn học tiếp tục nghiên cứu. Có
thể nói bài tốn nội suy cổ điển đóng một vai trị rất quan trọng trong việc
thiết lập các đa thức thỏa mãn hệ các điều kiện ràng buộc đặc biệt. Việc
nghiên cứu các bài toán nội suy là nhằm giải quyết các vấn đề về đa thức và
hàm số, đặc biệt là nội suy bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá mới
mẻ đối với học sinh và giáo viên ở các trƣờng trung học phổ thông. Để hiểu
sâu hơn về đa thức nội suy cùng với các ứng dụng của nó và cũng đƣợc gợi ý
của giáo viên hƣớng dẫn - TS Lê Hải Trung, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài
„„Đa thức nội suy và ứng dụng‟‟ cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài tiến hành nghiên cứu và xây dựng đa thức nội suy trên một đoạn
[a, b] nào đó cho trƣớc, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, đa
thức nội suy Hermitte của hàm số đã cho. Đồng thời ứng dụng đa thức nội suy
trong việc tính tổng của một dãy cho trƣớc, chứng minh bất đẳng thức, tính
gần đúng, sai số, hệ số của một hàm số...


2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết đa thức nội suy Newton, Lagrange, Hermitte.
Tìm hiểu và xây dựng các ứng dụng của đa thức nội suy để giải các bài
toán.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu là nghiên cứu về đa thức nội suy Lagrange, đa
thức nội suy Newton, đa thức nội suy Hermitte và các bài toán liên quan.
Phạm vi nghiên cứu là các bài toán xây dựng đa thức nội suy đƣợc xây
dựng trên đoạn [a, b] với các điều kiện cho trƣớc và ứng dụng trong việc tính
tổng một dãy, chứng minh bất đẳng thức, tính gần đúng, sai số, hệ số của một
hàm số.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn, kiến thức sử dụng nằm trong các lĩnh vực sau đây: Tốn
học giải tích, phƣơng pháp tính, giải tích số.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Sau khi cho phép bảo vệ, đƣợc sự góp ý của các thầy cơ trong hội đồng,
luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên và các đối
tƣợng có mối quan tâm đến lĩnh vực đa thức nội suy.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng:
Chƣơng 1. SAI SỐ

Trong chƣơng này tơi trình bày các kiến thức liên quan gồm sai số tuyệt
đối, sai số tƣơng đối, biểu diễn số gần đúng, khái niệm về một số loại sai số,
sai số của các số liệu ban đầu, sai số tính tốn.
Chƣơng 2. ĐA THỨC NỘI SUY
Nội dung của chƣơng này đề cập đến các bài tốn, cơng thức biểu diễn
của đa thức nội suy tổng quát, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy


3
Newton, đa thức nội suy Hermitte và sai số của đa thức nội suy.
Chƣơng 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY
Nội dung của chƣơng này trình bày về các ứng dụng của đa thức nội suy
nhƣ: tính tổng của dãy cho trƣớc, xây dựng đa thức nội suy, chứng minh bất
đẳng thức, tính gần đúng, sai số của một hàm số.


4
CHƢƠNG 1

SAI SỐ
1.1. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI
Định nghĩa 1.1. Ta gọi a là số gần đúng của a* nếu như a không sai
khác a* nhiều. Ký hiệu a  a*.
Định nghĩa 1.2. Hiệu số   a * a gọi là sai số thực sự của số gần
đúng a . Nếu   0 thì a được gọi là số gần đúng thiếu, còn nếu   0 thì a
được gọi là số gần đúng thừa của a* .
Thơng thƣờng vì a* khơng thể biết nên cũng khơng rõ  , ngƣời ta
thƣờng tìm đƣợc số a  0 sao cho
a  a * a


(1.1)

Định nghĩa 1.3. Ta gọi a thỏa mãn điều kiện (1.1) là sai số tuyệt đối
của số gần đúng a .
Từ (1.1) ta có: a  a  a*  a  a . Một số gần đúng a của số đúng
a* với sai số tuyệt đối a đƣợc viết đơn giản là: a*  a  a .

Ví dụ 1.1. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài d = 15,45m và chiều
rộng r = 3,94 m với sai số 1cm.
Lời giải. Khi đó ta hiểu là: ∆d = 0,01m hay d =15,45m  0,01m, ∆r =
0,01m hay r = 3,94m  0,01m.
Khi đó diện tích của mảnh đất đƣợc tính là: S =d.r = 15,45. 3,94m =
60,873 m2, với cận trên là (15,45+0,01).(3,94 +0,01) = 61,067m2 và cận dƣới
là(15,45-0,01).(3,94 -0,01) = 60,679 m2. Hay 60,679≤ S ≤61,067. Vậy ƣớc
lƣợng sai số tuyệt đối của S là: |S - S0|≤ 0,194 m2 hay làm tròn 0,2m2.
Định nghĩa 1.4. Cho số gần đúng a của số a* với sai số tuyết đối  a và
giả sử a*  0. Ta gọi sai số tương đối của số gần đúng a là đại lượng  a ,được
xác định bởi:


5

a 

a
| a*|

(1.2)

Tuy nhiên vì số đúng a* và a chƣa biết, cho nên đại lƣợng  a xác định

bởi cơng thức (1.2) chỉ có ý nghĩa lý thuyết, trong thực tế ngƣời ta thƣờng
tính tốn  a theo cơng thức sau:

a 

a
a

Ví dụ 1.2. Đo độ dài một chiếc cầu là 1715m và sai số tuyệt đối ∆a =
0,01m. Tính  a ?
Lời giải. Ta có:  a 

a 0,01

 0,00058309%.
a 1715

Ví dụ 1.3. Các nhà thiên văn tính đƣợc thời gian để trái đất quay một
vòng xung quanh mặt trời là 365 ngày ±

1
ngày. Hà tính thời gian bạn đó đi
4

từ nhà đến trƣờng là 20 phút ± 1 phút. Trong phép tính trên phép đo nào chính
xác hơn?
Lời giải. Phép đo của các nhà thiên văn có sai số tuyệt đối là

1
ngày

4

nghĩa là 6 giờ hay 360 phút.
Phép đo của Hà có sai số tuyệt đối là 01 phút.
Thoạt nhìn, ta thấy phép đo của Hà chính xác hơn của các nhà thiên văn
học. Tuy nhiên, sai số tƣơng đối của các nhà thiên văn học là:
1
a
a 
 4  0,000684931  0,0684931%
a 365

Sai số tƣơng đối của phép đo của Hà là:


6

a 

a 1

 0,05  5%
a 20

Nhƣ vậy, ta phải nói phép đo của các nhà thiên văn chính xác hơn phép
đo của Hà.
1.2. BIỂU DIỄN SỐ GẦN ĐÚNG
Quy tắc 1.1 (Quy tắc làm tròn số)
Nếu chữ số bỏ đi đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 5 thì thêm vào chữ số giữ
lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên nhỏ hơn 5 thì để

nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.
Ví dụ 1.4. Làm tròn số 13,595207 giữ lại đến hàng 10-5; 10-4 ; 10-3; 10-2;
10-1 đƣợc các số tƣơng ứng là 13,59521; 13,5952; 13,595; 13,60; 13,6.
Định nghĩa 1.5. Chữ số có nghĩa là chữ số khác khơng đầu tiên (tính từ
trái sang phải) hoặc chữ số đứng bên phải một chữ số có nghĩa khác.
Ví dụ 1.5. Các số 2,85; 310; 2,50; 0,0134 là những số có ba chữ số có
nghĩa.
Khi số gần đúng có nhiều chữ số, ta phân các chữ số có nghĩa của nó
thành hai loại:
Chữ số chắc và chữ số khơng chắc. Một chữ số có nghĩa của số gần đúng
mà sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị, hàng số có chữ số đó đứng trƣớc gọi
là chữ số chắc (hoặc chữ số đáng tin). Ta không nói đến tính chất chắc hay
khơng của các chữ số khơng là chữ số có nghĩa.
Ví dụ 1.6. A = 3,925  0,015 và B = 0,03925  0,00015 đều có hai chữ
số chắc là 3 và 9; hai chữ số cịn lại (2 và 5) là chữ số khơng chắc, hai chữ số
0 ở bên trái của số 0,03925 khơng là chữ số có nghĩa nên khơng nói đến tính
chắc hay khơng.
Để biểu diễn số gần đúng ta có thể sử dụng một số cách sau:
Cách thứ nhất: Viết kèm theo sai số tuyệt đối a  a


7
Cách thứ hai: Viết kèm theo sai số tƣơng đối a   a .
Cách thứ ba: Số gần đúng a đƣợc viết không kèm theo sai số tuyệt đối
cũng nhƣ sai số tƣơng đối, khi đó cần hiểu là tất cả các chữ số của số gần
đúng a đều là chắc. Cách thứ ba thƣờng đƣợc dùng trong các bảng số thông
dụng nhƣ bảng logarit, bảng giá trị các hàm lƣợng giác, bảng giá trị các hàm
số trong thông kê toán học v.v…
1.3. PHÂN LOẠI SAI SỐ
1.3.1. Sai số giả thiết

Do mơ hình hóa, lý tƣởng hóa và đơn giản hóa bài tốn đang xét, ngồi
ra cịn phải đƣa thêm vào các giả thiết thích hợp, từ đó dẫn đến những sai số
đƣợc gọi là sai số giả thiết. Những sai số nhƣ vậy là không tránh đƣợc và phụ
thuộc vào từng bài toán cụ thể của thực tiễn.
1.3.2. Sai số phƣơng pháp
Sau khi chuyển đƣợc bài toán thực tiễn thành bài tốn của tốn học thì
thƣờng là các bài tốn ấy rất phức tạp, khơng giải đúng đƣợc mà phải sử dụng
các phƣơng pháp giải gần đúng. Điều đó dẫn đến những sai số đƣợc gọi là sai
số phƣơng pháp.
1.3.3. Sai số các số liệu
Trong quá trình giải các bài toán thực tế ta thƣờng sử dụng các số liệu là
kết quả của các phép đo lƣờng, thí nghiệm, quan trắc v.v… là những số gần
đúng, có sai số nhƣ đã xét ở trên. Những sai số dạng này đƣợc gọi là sai số
của dữ liệu ban đầu.
1.3.4. Sai số tính tốn
Khi đã xác định đƣợc một phƣơng pháp thích hợp để giải bài tốn, thì
thƣờng phải thực hiện rất nhiều phép tính, mỗi phép tính có thể lại cho ta giá
trị gần đúng nào đó, đồng thời nếu cần lại làm tròn số v.v… Những sai số
dạng này đƣợc gọi là sai số tính tốn. Dƣới đây ta nghiên cứu chi tiết hơn sai


8
số của dữ liệu ban đầu và sai số tính tốn, cịn sai số phƣơng pháp sẽ đƣợc
nghiên cứu ở từng phƣơng pháp cụ thể.
1.4. SAI SỐ CỦA CÁC SỐ LIỆU BAN ĐẦU
Để xác định một số liệu a* , ngƣời ta làm m phép thử và thu đƣợc các kết
quả tƣơng ứng là a1, a 2 ,,a m ; Khi đó có thể lấy
a

a1  a2  ...  am

m

Là giá trị c gần đúng của a* với sai số tuyệt đối là:
1/2

m


1
2
a  
(
a

a
)

 i
 m  m  1 i 1


1.5. SAI SỐ TÍNH TỐN
1.5.1. Một số bài toán
Bài toán 1.1 (Bài toán thuận)
Ƣớc lƣợng y khi biết x và x , theo công thức số gia hữu hạn Larange
ta có:
y – y0  f ‟  c  x  x0

Trong đó y0 là giá trị đúng của y tại x0 , còn c   x, x 0  nếu x  x 0 và
c   x 0 , x  nếu x 0  x . Khi x bé tức là khi x gần x0 ta có ƣớc lƣợng:


y  f ‟  x  x  x0 hay y  f ‟  x  x

Bài toán 1.2 (Bài toán ngƣợc)
Giả sử rằng cần tính y  f  x1,, x n  với sai số y   = const . Hãy xác
định các xi .
Theo biểu thức tổng quát của sai số tính tốn, ta phải có:
n

y  
i 1

f
xi  a .
xi


9
Giả sử rằng:
f
xi  const (i  1,2,..., n)
xi

Khi đó nếu xi 

(1.3)

a
thì bất đẳng thức y  a đƣợc thỏa mãn. Điều
n f ' xi


kiện (1.3) thƣờng đƣợc gọi là ngun lý ảnh hƣởng đều.
Ví dụ 1.7. Một hình trụ có chiều cao h = 3m, bán kính đáy R = 2m, hỏi
rằng lấy h, R, số π nhƣ thế nào thì thể tích V của hình trụ đƣợc chính xác
đến 0,1 m3.
Lời giải. Ta có V   R 2h , từ đó
đó nếu ta lấy:  

V
V
V
 R 2h,
 2 Rh,
  R 2 , từ

R
h

0,1
0,1
0,1
 0,003; R 
 0,001; h 
 0,003 thì
3.4.4
3.6.2
3. .4

yêu cầu bài tốn là thỏa mãn. Lúc đó cần có R, h với 3 chữ số chắc. Lấy số


 với 3 chữ số chắc thì V = 37,7 m3 chính xác đến 0,1 m3.
Bài toán 1.3 (Xác định biểu thức của sai số tính tốn)
Giả sử rằng ta phải tìm đại lƣợng y theo công thức: y  f  x1, x2 , x n  .
Ký hiệu y * , x* ( x1* , x2* ,..., xn* ) là giá trị đúng và x   x1, x 2 , , x n  , y là giá trị
gần đúng, xi  xi*  xi . Khi đó nếu hàm số f  x1, x2 , , x n  là khả vi liên tục
thì:
n

y  y  y *  f ( x1 , x2 ,..., xn )  f ( x1* , x2* ,..., xn* )   f x'i xi  xi*
i 1

Với f x'i là đạo hàm theo x i tại điểm trung gian.
Vì rằng hàm số f  x1, x2 , x n  là khả vi liên tục, cịn x i là khá bé nên
có thể lấy:


10
n

y   f x'i ( x1 ,..., xn ) xi

(1.4)

i 1

Do đó:

y 

y n 


ln f xi
y

x
i 1
i

(1.5)

1.5.2. Sai số của phép toán cộng, trừ
n

n

Nếu y   xi thì y  1 , vì vậy ta có: y   xi
'
xi

i 1

i 1

.

Nhận xét.
- Nếu m  max xi và chữ số chắc cuối cùng của xm ở hàng thứ k thì
1i m
xm  10k , y khơng nhỏ hơn 10k, do đó khi làm phép cộng đại số, nên làm


tròn các x i đến mức chỉ giữ lại 1 chữ số dự bị bên phải hàng thứ k là đủ.
- Trƣờng hợp tổng đại số rất nhỏ về giá trị tuyệt đối thì

y
sẽ lớn, phép
y

tính khơng chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đi đến hiệu hai
số gần nhau. Hoặc là, có thể lấy các số ấy với nhiều chữ số chắc để hiệu của
chúng có thêm chữ số chắc.
Ví dụ 1.8. Tính y  3,01  3,00
Lời giải. Khi đó ta có: y 

0,01
 0,00288435
3,01  3,00

y  1,734935157 – 1,732050808  0,00288435 .

Cách khác:

1.5.3. Sai số của phép tính nhân, chia
p

Xét: y 

x
i 1
q


x
i 1

i

p i


11
p

q

i 1

i 1

Ta có: ln y   ln xi   ln x p i .
Áp dụng (1.4) và (1.5) ta có:  y   x1  ...   x pq ; y  y . y .
1.5.4. Sai số của phép lũy thừa
Giả sử rằng y  x ( x  0,  )
Ta có: ln | y |   ln x và do đó:  y    x .
Nhận xét.
1
Nếu   1 thì  y   x , độ chính xác giảm. Nếu   , k  * thì ta có
k

phép khai căn bậc k , độ chính xác tăng lên. Nếu   1, ta có phép nghịch
đảo và  y   x , độ chính xác khơng đổi.
Ví dụ 1.9. Biết diện tích hình trịn s = 83,92; π = 3,14; ∆s = 0,01. Tính

bán kính r ?
Lời giải. Ta có: r 
Vì  s 

s





83,92
 5,16973
3,14

s 0,01

 0,0001 nên r  5,16973. 0,0001  5,1697 .
s 83,92

Vậy r có 5 chữ số chắc và r  5,1697.
1.5.5. Sai số của phép tính logarit
Nếu y  lnx thì ta có y   x .


12
CHƢƠNG 2

ĐA THỨC NỘI SUY
2.1. ĐA THỨC NỘI SUY TỔNG QT
2.1.1. Bài tốn nội suy tổng qt

Trong thực tế tính tốn, ngƣời ta thƣờng phải tính giá trị hàm số
y  f  x  với x a, b trong khi chỉ biết hữu hạn giá trị yi  f  x i  , với
xi a, b, i  0,1,,n , và x i  x j ,  i  j . Trong một số trƣờng hợp khác,

biểu thức giải tích của hàm số y  f  x  trên a, b là đã biết nhƣng quá
phức tạp. Với những trƣờng hợp nhƣ vậy, ngƣời ta thƣờng xây dựng một
hàm số y  P  x  tƣơng đối đơn giản, thoả mãn điều kiện P  x i   yi  f  x i  ,

i  0, 1, , n.
Định nghĩa 2.1. Hệ n  1 điểm phân biệt  xi  với xi a, b, i  0,1,,n
được gọi là n  1 mốc nội suy.
Hàm số y  P  x  có tính chất P  xi   yi , i  0, 1, , n được gọi là
hàm nội suy của hàm số y  f  x  ứng với các mốc nội suy x i  , i  0, 1,
, n.

Bài toán xây dựng hàm số y  P  x  như vậy được gọi là bài toán
nội suy.
Bây giờ xét X là tập hợp các hàm thực xác định trên đoạn a, b , khi
đó X là một khơng gian véctơ trên

. Xét một hệ hàm n  x , n 

là

một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong X.
Trong thực tế ngƣời ta thƣờng lấy hệ hàm n  x , n 
ba hệ sau:

là một trong



13
- n  x   x n , n  , vậy ta có hệ 1, x, x 2 , , x n ,
- n  x   enx , n  , vậy ta có hệ 1, ex , e2x ,, enx ,
- Hệ n  x  với 2n  x   cosnx; 2n 1  x   sinnx , nhƣ vậy có hệ 1, sinx,
cosx, sin2x, cos2x, , sinnx, cosnx,

Giả sử X1  0  x  , 1  x  ,, n  x   là không gian con của không gian X
sinh bởi n  1 véctơ 0  x  , 1  x  ,, n  x . Khi đó mỗi Pn  x  X1 có dạng:
n

Pn ( x)   cii ( x), ci 

(2.1)

i 0

Định nghĩa 2.2. Ta gọi Pn  x  cho bởi (2.1) là một đa thức nội suy rộng của
một hệ hàm 0  x  , 1  x  ,, n  x . Ngoài ra nếu có

n

c
i 0

2
i

 0 thì Pn  x 


được gọi là đa thức suy rộng thực sự của hệ hàm i  x , i  0, 1, .., n.
Đa thức suy rộng Pn  x  cho bởi (2.1) sao cho Pn  x   f  xi  , i  0,1,,n
với x i , i  0, 1, , n là hệ n  1 mốc nôi suy trên đoạn a, b  đƣợc gọi
là đa thức nội suy tổng quát của hàm số y  f  x  ứng với các mốc nội suy

x i  và hệ hàm i  x , i

 0, 1, .., n.

2.1.2. Hệ hàm chebyshev
Định nghĩa 2.3. Cho hệ gồm n  1 hàm 0  x  , 1  x  ,, n  x  xác
định trên đoạn a, b  . Khi đó, ngƣời ta gọi hệ n  1 hàm này là hệ
Chebyshev trên đoạn a, b  nếu mọi đa thức suy rộng thực sự dạng (2.1) có
khơng q n nghiệm trên đoạn a, b  .
Ví dụ 2.1. Hệ 1, x, x 2 , , x n là một hệ Chebyshev trên mỗi đoạn

a, b .


14
Hệ 1, x 2 là hệ Chebyshev trên đoạn 0, 1, tuy nhiên hệ này không phải
là hệ Chebyshev trên đoạn  1, 1.
Định nghĩa 2.4. Giả sử các hàm số i  x  khả vi liên tục đến cấp n  1
trên đoạn a, b  . Khi đó với mỗi k  0, 1, , n ta gọi định thức:

0 ( x)
0' ( x)

1 ( x)
1' ( x)


... k ( x)
... k' ( x)
Vk ( x)  V (0 ,1 ,...,k ) 
...
...
...
...
(k )
(k )
(k )
0 ( x) 1 ( x) ... k ( x)

là định thức Vronxki cấp k của hệ n  1 hàm số i  x  , i  0, 1, , n.
Bổ đề 2.1. Giả sử Vk  x   0,  x a, b và f  x  khả vi liên tục đến
cấp n  1 trên đoạn a, b  , đồng thời f  x  có n  2 nghiệm trên đoạn này,
*
khi đó tồn tại x là nghiệm của Ln1 ( f ) 

W(0 ,1 ,...,n , f )
.
W(0 ,1 ,...,n )

Bổ đề 2.2. Giả sử các hàm 0  x  , 1  x  ,, n  x  khả vi đến cấp
n  1 trên đoạn a, b  và Vk  x   0, x a, b, k  0, 1, , n. Khi đó hệ

hàm 0  x  , 1  x  ,, n  x  là hệ hàm Chebyshev.
Chứng minh. Giả sử ngƣợc lại. Khi đó tồn tại một đa thức
f  x   c00  x   c11  x    cnn  x  , sao cho f  x  có n  1 nghiệm phân


biệt trên đoạn a, b  . Theo bổ đề 2.1 thì Ln1 ( f ) 

W(0 ,1 ,...,n1, f )
nhận
W(0 ,1 ,...,n1 )

*
*
một x1 [a, b] làm nghiệm. Vậy Ln ( f )( x1 )  0 . Khai triển định thức

Ln ( f )( x1* )  0 ta rút ra: cn

W(0 ,1 ,...,n )
 0.
W(0 ,1 ,...,n1 )

Từ đó cn  0 . Vậy f  x   c00  x   c11  x   cn 1n 1  x  và có


15
n  1 nghiệm phân biệt trên đoạn a, b  .

Áp dụng bổ đề 2.1 thì: Ln1 ( f ) 

W(0 ,1 ,...,n2 , f )
*
nhận một x2 làm
W(0 ,1 ,...,n2 )

*

nghiệm, nghĩa là: Ln1 ( f )( x2 )  0 . Khai triển định thức đó ta có:

cn1

W(0 ,1,...,n1 )
 0.
W(0 ,1,...,n2 )

Q trình cứ tiếp tục, ta có ci  0, i, trái với giả thiết. Vậy bổ đề đƣợc
chứng minh.
2.1.3. Đa thức nội suy tổng quát
Định lý 2.1. Cho hàm y  f  x  bất kỳ xác định trên đoạn [a, b] và cho
hệ n + 1 mốc nội suy {xi}, i = 0, 1,…, n bất kỳ trên đoạn [a, b]. Khi đó điều
kiện cần và đủ để tồn tại đa thức nội suy tổng quát:
Pn(x) = a0φ0(x) +a1φ1(x) +…+ anφn(x) của hàm số f(x) ứng với mốc nội
suy {xi}, i = 0,1,…,n là {φi(x)}, i = 0, 1, …, n là hệ Chebyshev.
Chứng minh. Sự tồn tại của Pn  x  đối với hàm số y  f  x  và hệ n  1
mốc nội suy x i , i  0, 1, , n bất kỳ tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình
đại số tuyến tính với các ẩn a i  i  0, 1, , n  sau đây là có nghiệm:
a 00  xi   a11  x i   a nn  x i   f  x i  , i  0, 1, , n

(2.2)

Dễ thấy rằng với các điều kiện nêu trên hệ (2.2) có nghiệm khi và chỉ khi
định thức:



0 ( x0 ) 1 ( x0 ) ... n ( xn )
0 ( x1 ) 1 ( x1 ) ... n ( x1 )

...
...
...
...
0 ( xn ) 1 ( xn ) ... n ( xn )

0

Bây giờ ta sẽ chứng minh   0 đối với hệ n  1 mốc nội suy


16

xi , i  0, 1,

, n khi và chỉ khi hệ

  x , i  0, 1, , n
i

là hệ

Chebyshev.
Thật vậy, giả sử rằng hệ i  0, 1, , n là hệ Chebyshev ta chứng
minh   0 . Giả sử ngƣợc lại, chọn đƣợc hệ n  1 mốc nội suy

xi , i

 0, 1, , n sao cho   0 , khi đó:
b00 ( xi )  b11 ( xi )  ...  bnn ( xi )  0; i  0, 1,..., n

 n

2
  bi  0
 i 0
n

Từ đó, đa thức suy rộng

 b  ( x)  ( x) có nhiều hơn n nghiệm, hệ
k 0

k

k

  x  không là hệ Chebyshev.
i

Đảo lại, giả sử i  x , i  0,1,,n, không phải là một hệ Chebyshev
nghĩa là tồn tại đa thức suy rộng dạng:
n

n

 c  ( x),  c
k 0

k


k

k 0

2
k

0

có n  1 nghiệm trên a, b  ; chẳng hạn là x i , i  0, 1, , n .
Điều đó có nghĩa là hệ phƣơng trình đại số tuyến tính sau đây có nghiệm
khơng tầm thƣờng
n

 c  ( x ), i  0,1,..., n.
k 0

k

k

i

Vì vậy định thức   0 . Định lý đƣợc chứng minh.
Nhận xét. Đa thức nội suy tổng quát, tồn tại theo định lý trên, là duy
nhất và hệ phƣơng trình (2.2) có nghiệm duy nhất  a 0 , a1, , a n  .
Bây giờ chúng ta tiến hành xác định đa thức nội suy tổng quát. Giả sử
rằng các hàm 0  x  , 1  x  , , n  x  khả vi liên tục cấp n  1 trên đoạn



17

a, b và W 0 ,1 ,,k  

0, k  0, 1,, n (điều đó suy ra hệ i  x ,

i  0, 1, , n là hệ Chebyshev). Từ hệ (2.2) ta thấy rằng: ai 

i
,


i  0, 1,,n (định lý Cramer).

k
k ( x) là đa thức nội suy tổng quát của hàm f(x) với

k 0
n

Khi đó Pn ( x)  

các mốc nội suy x i , i  0, 1, , n.
n

Bây giờ khai triển  i theo cột i ta có: i   f ( x j )ij trong đó  ij là
i 0

phần phụ đại số của phần tử đứng ở vị trí dịng j và cột i của ∆.
Từ đó có:

n

n

j 0

k 0

Pn ( x)   f ( x j )
n

Với:  j ( x)  
k 0

 jk


 jk


n

 K ( x)   f ( x j ) j ( x)
j 0

(2.3)

k ( x).

n


Vì rằng f ( xk )   f ( x j ) j ( x), k  0,1,..., n nên:
j 0

1, j  k ,
0, j  k .

 j ( xk )  

(2.4)

2.2. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
Chúng ta đã chứng minh đƣợc sự tồn tại và duy nhất của đa thức nội suy
tổng quát Pn  x  của một hàm số y  f  x  bất kỳ xác định trên đoạn a, b 
tƣơng ứng với n  1 mốc nội suy bất kỳ x i , i  0, 1,, n và hệ n  1 hàm
Chebyshev {i  x } bất kỳ. Trong mục này chúng ta mô tả một dạng tƣờng
minh của Pn  x  trong trƣờng hợp hệ {i  x }, i  0, 1,, n là n  1 hàm đơn
thức quen biết 1, x, , x n .


18
2.2.1. Đa thức nội suy Lagrage với các mốc nội suy bất kỳ
Cho n  1 mốc nội suy phân biệt

xi , i

 0, 1,, n và n  1 giá trị
n

f  x i   yi , i  0, 1, , n. Hãy xây dựng đa thức Pn  x    ci xi có bậc thấp

i 1

nhất sao cho Pn  x i   yi .
n

 ( x  xi )

Đặt  j ( x) 

i 0
i j
n

 ( x j  xi )

, j  0, 1, , n.

i 0
i j

Khi đó dễ thấy  j ( x) là một đa thức của ẩn x và deg  j ( x)  n , hơn nữa :
0 i  j ,
 1 i  j.

 j ( x)  
n

Đặt: Pn ( x)   y j j ( x)
j 0


Ta có: deg Pn  x   n và Pn  x   yi , i  0, 1, , n.
n

Đặt: n1 ( x)   ( x  xi ) , khi đó:
i 0

n

 'n1 ( x j )   ( x j  xi ) , j  0, 1, ,n.
i 0
i j

Thay n1 ( x) và  , n1 ( x j ) vào biểu thức của Pn  x  ta có:
n

Pn ( x)   y j
j 0

n1 ( x)
( x  x j ).n' 1 ( x j )

(2.5)

Đa thức Pn  x  cho bởi (2.5) là một nghiệm của bài toán nêu trên, nó
đƣợc gọi là đa thức nội suy Lagrange. Dễ thấy đa thức Pn  x  là nghiệm duy
nhất của bài tốn trên. Thật vậy, giả sử có Qn  x  là đa thức thỏa mãn:


19
Qn  x j   y j với j  0, 1, , n và deg Qn  x   n.


Khi đó xét S x   Qn  x  – Pn  x  là đa thức có ít nhất n  1 nghiệm
x 0 , x1,, x n và deg S x   n. Vậy Qn  x   Pn  x .

2.2.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều
Giả sử rằng xi1 – xi  h, i  0, 1, , n – 1. Khi đó h đƣợc gọi là
bƣớc và ta có thể viết x  x 0  th, x j  x 0  jh, j  0, 1, , n – 1 , thay
vào biểu thức  j  x  ta có:

 j ( x) 

th(th  h)...[th  ( j  1)h][th  ( j  1)h]...(th  nh)
jh( j  1)h...h(h)...[  (n  j )h]

t (t  1)...(t  n) (1) n j
.
Vậy  j ( x) 
. Từ đó ta thu đƣợc:
(t  j )
j !(n  j )!

t (t  1)...(t  n) n
Cnj
n j
Pn  x   Pn ( x0  th) 
(1)
yj

n!
(t  j )

j 0

(2.6)

Ta nhận thấy rằng trong (2.6) các hệ số  1 , Cnj là không phụ thuộc
n j

vào hàm f  x  , các mốc nội suy và bƣớc h nên có thể tính sẵn, lập bảng để sử
dụng nhiều lần trong q trình tính tốn.
Nhận xét. Đa thức nội suy Lagrange có ƣu điểm là đơn giản, dễ tính.
Tuy nhiên nhƣợc điểm là nếu thêm mốc nội suy thì lại phải tính lại từ đầu,
khơng sử dụng các kết quả tính tốn cũ.
2.3. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
2.3.1. Tỷ sai phân
Định nghĩa 2.5. Cho hàm số f  x  xác định trên đoạn a,b  và n  1 mốc
nội suy x i , i  0,1,, n. Khi đó:
Tỷ số

yi 1  yi
được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số y  f  x  tại
xi 1  xi


20

x i ; x i1 và được ký hiệu là f  x i ; x i1 .
Tỷ số
y  f x

f ( xi 1; xi 2 )  f ( xi ; xi 1 )

được gọi là tỷ sai phân cấp 2 của hàm số
xi 2  xi
x i ; xi1; xi 2 và được ký hiệu là f  x i ; x i1; x i2 . Tỷ số

tại

f ( xi 1;...; xi k )  f ( xi ;...; xi k 1 )
được gọi là tỷ sai phân cấp k của hàm số
xi k  xi

y  f  x  tại xi ; x i1;;x ik và được ký hiệu là f(xi; xi+1;…;xi+k).

Tính chất 2.1.
k

f ( xi )
i 0  ( xi )

f  x i , x i1,, x ik   

(2.7)

k

Trong đó:  ( x)  ( x  xi )
j 0

Chứng minh. Với k  1 , ta có: f ( x0 , x1 ) 

f ( x0 )

f ( x1 )

x0  x1 x1  x0

Giả sử ta chứng minh đƣợc cho k ≤ n. Khi đó:
f ( x0 , x1 ,..., xn1 ) 

f ( x1 ,...., xn1 )  f ( x0 ,..., xn )
xn1  x0

 n1 f ( xi ) n f ( xi ) 
1




xn1  x0  i 1 1' ( xi ) i 1 0' ( xi ) 

Với 1 ( x) 

 ( x)
x  xn

;0 ( x) 

 ( x)
x  xn1

và  ( x)  ( x  x0 )...( x  xn1 ).


Nhƣ vậy:
f ( x0 , x1 ,..., xn1 ) 

f ( x0 )
f ( xn1 )

0' ( x0 )( x0  xn1 ) 1' ( xn1 )( xn1  x0 )

 n f ( xi )
1
1 
 
( '
 '

 i 1 xn1  x0 1 ( xi ) 0 ( xi ) 