Khao sat ham so LTDH 2012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.03 MB, 40 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG B

ẬP

ẢO SÁT H

Ố TRONG KỲ THI TSĐH

ần

ột

đến đ

ểm

ực đại

ực

ểu

ực đại

ực

ểu

ố

ậc

=

+

* ) Điều kiện để h

! "

ố có cực đại cực tiểu l

# $ %& ' ( )

* + ,

-ệm phân biệt

* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu l

khi đó

* + ,

-ệm của phương tr

* ,

$ %& '

* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương

* ,

đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Cơ sở của phương pháp này là

ếu

! "

ố

ậc

đạt

(

ực đại

(

ực

-ểu

ại

67 8 67 8

=

: ;

, < *

2 =

(

, >? @ A ? @ ? @

B C D E D F D

=

+

G H

ừ đó

" I $

ại

1 . .

7 8 J 7 8 7 8

K K K

=

⇒ =

đường thẳng đ

- L

đ

-ểm

(

ực đại

(

ực

-ểu

: M =

-ệu

ệ

ố

) ( (

ủa đường thẳng đ

- L

đ

-ểm

(

ực đại cực tiểu

O 8 P Q

( (

ỏi

ường

ặ

R 0

-S * L

đến đ

-ểm

(

ực đại

(

ực

-ểu

! "

ố

ậc

T U V WX

điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của h

X Z

ố

Z [ \ ] Z [ \ ] ^

ới

đường thẳng y=ax+b

Đ

-ều

-ện

# $ %& ' ( )

* + , -S

, < *

-ệt

: _

-ết phương tr

* ,

đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

: `

-ải đ

-ều

-ện

N &

a U V WX

điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng

b c d e f g

Đ

-ều

-ện

# $ %& ' ( )

* + , -S

, < *

-ệt

: _

-ết phương tr

* ,

đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

: `

-ải đ

-ều

-ện

N &

−

j k l

ụ 1)

m n

để

( )

o p q r

s t t u t t

=

+

có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông

v w

ới đường thẳng y=3x

y z {

ải:

! "

ố

( ) (

ực đại

(

ực

-ểu

⇔

67 8

}

=

+

+ =

( )

* + ,

-ệm

, < *

-ệt

′

⇔ ∆ =

−

> ⇔

>

G H

ực

-ện

(

( ) #

( )



 ′





=



+



+



−



+ −





ới

>

& ' ( )

* + ,

-ệm

, < *

-ệt

! "

ố

đạt

(

ực

ị

ại

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

′

=



 ′

=



* S *

( )

. .

}

7 8

}

7 8



=

−

+ −







=

−

+ −



I $

đường

ẳng đ

- L

H ( )

* +

* ,

( )

(

)

Â Ê

Â h Ơ

Ư Ư

ă Đ â

=

+

( )

(

)

ê ê

ô ơ

ô ơ ô ơ

ư đ

ô ư

ô ơ ư ơ

ô ơ

ô ô

´ µ

³ ³ ³



>



>



>



∆ ⊥ =

− ⇔



⇔



−

⇔



−

= −

−

=











⇔

= ±

· U V WX

điều kiện để đường thẳng đi qua đ

ểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc

α

Đ

-ều

-ện

# $ %& ' ( )

* + , -S

, < *

-ệt

: _

-ết phương tr

* ,

đường thẳng đi qua điểm cực đại cc tiu

: `

-i

-u

-n

ạ ằ

ẳ

=

j k l

1)

ố

=

−

+

ẵ ắ

i

thc

m n

để h

ố (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

ố tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

ải:

! "

ố có cực trị khi v

(

ỉ khi

& ' ( )

* + ,

-ệm phân biệt

Á Â Ã Ä Ã

= +

>

ặ

h Â

Ơ Â ầ h ẩ ẫ ấ ầ Â ẩ Â

Ơ Ơ Ơ

Đ Đ

ă â â Đ â â ă â

=

−

+ =

−

+ −

−

+ −

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị h

Ë è

cú phng tr

ẻẽ é

ẩ

ầ

+

=

ng thng n

ậ ẹ Ị

ắt 2 trục Ox v

Ë Ĩ Đ Ơ

ần lượt tai

+

ế

ệ

ỉ

ế

ệ

ị

è ỏ õó ề ể ọ ồ ề ổ ẽ ỗ é õ ố ậ Ị Ð

ỉ khi

é ê

=

é ë

ì ì

í ỵ ï ð ï

đ ï

ì ị ị

í í

ó ó

ó ó ó

−

⇒

=

+

⇒

=

= −

ới m = 6 th

ẻ ừ

ử

ữ

ứ ố

i iu kin ta nhn

=

ự ỳ ỷ ỹ ý ỵ ú

ể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ

ÿ ú

ệ số góc của đường thẳng l

Û Ú

 = −



−

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thng y=ax+b

t gúc

u

ỗ õ

n

ễậ ẹ

ỉ

ề

Ï á Ð â Ì Ð ỉ Ï â

ệt

ết phương tr

ỴÏ Ð

đường thẳng đi qua điểm cc i cc t

u

i

u

ỗ õ

n

" #

=

+

$ % &

)

ỵ '

( )

o r ( ) * p ( + p r + * ( ) *

s t t u t u u t u u

=

−

+

−

+

−

có đường thẳng đi qua

C, CT to vi

h ,

-ă

=

+

t góc 45

. /

ải:

ọi

ệ

ố

á Ị Ị

a ng

ng

õ 1 2

3 ò

ễậ ỗ

ỗ é õ

ú

õ 2 ỗ õ

n

ậ õ

ứ ó ẽ Í 2 Ñ 4

6 7 ï

8 8 8 8

8 7 6 6

6 ï 7

8 8

6 9

8 8 8 8

: :







− −







+ = −



=



 =

= ⇔ +

= −

⇔



⇔



−







+



−





+ = −



=







 =



⇔ 

−

 =



Ë Ì Í

ố

Ị

Đ

3 ß Û Ú > >

Ư Û

Ú Û Ü

Ü Ú Ø

? @ @

′

⇔

=

−

+

−

+

=

Ị

Ï á Ð â

ệm

Ð ỉ Ï â

ệt

A B C B C

B D B E F G H H

I I I I



−

 

+



′

⇔ ∆ =

−

+ > ⇔





<

 

 

>







 



∪

Û J Ú

ực

Ð â

ện

Ð K Ò Ð â

à LÛ M Ú

Ò Ð ø

Ú L

Û M

[

]

(

)

[

]

N O

P Q P N Q R P Q S N P N Q

S S

T U U V T U V V U V

′

=

−

+

−

ới

Ð ứ

è W ẽ

u

ỗ õ

n

é ẻ

M Ú

Ị

Ï á Ð â

ệm

Ð ỉ Ï â

ệt

è Ë Ð Ë Ì Í

ố đạt

Ị Ị

ực

ị

ại

′

=



 ′

=



Ï Ï

( )

(

)

( )

(

)

(

)

Z Z

> >

? @

−



=

−

+



−









−



=

−

+



−









[

2 Ñ 4

đường

ẳng đ

â 1 2

à 3

3 ò

ề é

ẽ ỏ

4 ẻẽ é

( )

(

)

(

)

S N N

]

V V U V

−





∆

=

−

+



−



ß à

Ị

( )

∆

ạo

ới

N ^

]

−

=

+

á Ò `

(

)

S N N

+ =

ỗ

t

p

ố

i

u

ỗ õ

n

ề

b c d

±

=

g h i jk

điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao

l m n op

k q rs

l t u v l w x

n tớch cho trc

u

ỗ õ

n

ễậ Đ

Ị

Ï á Ð â Ì Ð ỉ Ï â

ệt

ết phương tr

ỴÏ Ð

đường thẳng đi qua im cc i cc tiu

ẻè ề ó ề ỏ â

đ

ểm

ới

Ị ã Ị

ục

ạ độ

ới

ục

ải

ỴÌ

ới

ục

Ĩ Đ á â

ải

ỴÌ Đ

z { | z { |

} ~

=

ừ đó

Ï Ð

ạ độ

å Í

đó

á õ

i

u

ỗ õ

n

é ứ ỏ õ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

$ % &

1)

ỵ '

ng thng qua cc đại cực tiểu của đồ thị h

ố

=

−

+

ắt

đường tr

ằng 1 tại A,B m

ện tích tam giác IAB lớn nhât.

ải:

=

−

Ï á Ð â

ệm phân biệt khi

>

. Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ

ị h

Ë Ì Í

ố l

(

) (

)

Ü Ü

−

+

Phương tr

ỴÏ Ð

đường thẳng MN l

+ − =

Đường thẳng MN cắt đường tr

ỉ Ì

ại A,B m

Ì á âã Ò ä å Ò

ĂÂ Ê

ÔƠ Ư

Đ ă â ă ê â ă ê

=

u bng xy ra khi

ư đ

± ²

=

, lúc đó khoảng cách từ I đến MN bng

à ả Ã

y ta cú pt:

(

)

á á

ạ

á á

ằ

ẳ ẵ ¾ ¿

−

=

⇔

=

⇒

= +

= −

+

$ % &

ụ 2)

ù ú À ú

ố

=

+

ỵ '

của m để đồ thị h

ố có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có din

ỳ

ng

ặ ầ

, trong ú

( )

Ê ẩÊ

ẫ

i gii:

ấ ậ è

(

)

ẻ ẻ

ẽ Ð Ð Ð

Đ Ị Ĩ Ị Ĩ

=

−

=

−

. Để h

Ơ Õ Ư

ố có CĐ v

Ơ × Ê Ø

⇔

>

ọi A, B l

Ơ Ã Ì

ực trị th

(

) (

)

Ã Ã

Ü Ü

Ã Ã

Ý Þ Þ Þ ß Þ Þ Þ

−

+

−

PT đường thẳng đi qua AB l

Ô à

(

)

(

)

Ã Ã Ã Ã

Þ Þ

Þ Þ ã Þ

Þ ã

−

+

=

+

⇔ = −

ä å ¶

ảng cách từ I đến đường thẳng AB l

ễ

(

)

ổ

ỗ ố

ộ ờ

ố

ở

ỡ ớ ợ ù

ở

=

+

di on

ủ Ê ũ

â ê ú ú

=

+

ụ

ễ õ ư

ện

÷øÌ

÷ Ë Õ ù ưú Ì û ü ý ỵễ

ổ

ỗ ố

ố

ờ

ố ố

ỗ

ờ

ố

ở

ở ở

ở

=

+

=

+

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ỏ

ặ ặ

ỏ

ặ

ỏ

ặ ầ ặ ặ ầ

ỏ ỏ

ặ ầ

ỏ ỏ

ị ị ị Þ Þ Þ

Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ

⇔

+

−

=

+

⇔

−

=

⇔

−

+ −

= ⇔

−

+

= ⇔

=

h i jk

điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trc:

ử

u

ử

n

ỵễ è ù

ö Õ

ệt

ết phương tr

đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa

phương tr

để

÷ø

ù ưú ÷

ị

â â

ả

ử đ

ểm đ

ểm

ực đại cực tiểu l

Ơ ü ý ữ

ồ

ử

u

ử

n

ỵễ

ụ

ỹ

ụ

7) iu kin im cc i cc tiu i xng nhau qua ng thng y=ax+b

ử

u

ử

n

ỵễ à Ì Í Ã ù

ư Õ

ệt

ết phương tr

đường thẳng đi qua im cc i cc tiu ( Da

ễ

ả

phng tr

ồ

ữứ

ồ

ự ửỳ ÷

ị

â â

ả

ử đ

ểm đ

ểm

ực i cc tiu l

ễ ỹ ý ữ

ồ

ử

u

ử

n

ỵễ

: Đường thẳng đ

ư Ë

đ

ểm

ực đại

ực tiểu vng góc với đường thẳng

Ơ ÷ ù

đ

ểm

ủa

ü ý ÷

ộc đường thẳng y=

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

ụ 1)

! !

để h

" ! #

ố

ã ã ã Þ ã Þ

=

−

+

có CĐ và CT đối xứng nhau qua

( )

& '

( * ) )

∆

=

−

- .

ải:

/ Ơ Õ Ư

ố

Ì Í ×

Đ

× Ê

( )

ð 0

ị 1

2 3 3 3 ó

′

⇔

=

−

+

=

Ì Í Ã ù

ệm

ệt

4 4

5 6 7 6 6

8 8 8

′

⇔ ∆ = −

> ⇔ >

⇔

<

ực

ện

å 9

ưË :

å ả

ữậ è

(

)

(

)

ẻ

; <

Ð Ð Ð

Ị Ị

Ị Ĩ Ị Ĩ

′

=

−

+

−

+

ới

<

Û : >?@ Ì Í Ã ù

ệm

ệt

A B

Ơ Õ Ư

ố

: >?@

đạt

ực

ị

ại

A B

à ả

( )

% ó

=

=

( )

(

)

( )

(

)

D D D

C C C

E F

F F

E F

F F

H I J G J G



=

−

+







=

−

+



đường thẳng đ

ư Ë ×

Đ

× Ê

Ì Í

ươ

ự ữ

ồ

( )

(

)

ẻ

é é

ể

ẹ ể ề ể

=

+

ì ỳ è

ử

m

c

ữ

(

) (

)

N N

0 0

O P O

Q R S T R S

đối

ứng

Ë Ë

( )

& '

( * ) )

+ U

∆

=

− ⇔ ⊥ ∆

V W X Y Z [ \

đ

]

ểm

^ _

ủa

` a b c

ải

X c Z

ộc

d e f

(

)

(

)

E F

E g h i

j h k

E F h l

F F

E E

G J

G G



−

= −

=





=



⇔



⇔



⇔

=

+ =





−

+

=

−



ụ 2)

o p q p " ! #

ố

ð 0

( )

r s t

S R R u R v

=

−

+

! !

để h

" ! #

ố(C

w x y z y

ực đại v

" y

ực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị h

" ! #

ố

cách đều đường thẳng

{ | }

− − =

- .

ải:

ã ã Þ

=

−

+

= ⇔

−

+

=

d f

ố (C

f _ _

ực đại, cực tiểu khi v

W _ c

ỉ khi phương tr

[ c d f _ [ \ c ]

ệm phân biệt

⇔

<

]

ả sử

(

) (

)

N N

0 0

O P O

Q R S T R S

là hai điểm cực trị của h

ố (C

f d

W [ \ c ]

ệm của (1)).









=



−



+



−



+ +









V W

( )

S R S R

=

nên phương tr

[ c

đường thẳng đi

` a

( )





=



−



+ +





. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2

trường hợp sau:

TH1: (d’) cùng phương với (d)





⇔



−



=

d Ô c Ơ [ \ Xc

a m

Ư [ f

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ơ ơ

ơ ư

+

=

+

=

^ [

m tr

Đ [ d e f [ Đ [ X

_ đ đ ¯ ¯

− − − ⇔

=

dX c

ỏa m

Ư [ f ă

o p o

n phõn bit r

à p ả

. Ã .

m cỏch đều và đối xứng qua một đường thẳng.

8) Điều kiện

á ạ ằ

cú cc i cc

ẳẵ

u v

ạ ắ á

ng cỏch gia im cc i cc tiu max,

ẵ

]

u

Ô ]

n

W ê

_ [ \ c ]§ b c Å [ Ỉ ]

ệt

]

ết phương tr

[ c

đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa

V W Ç

phương tr

[ c

để

XÈ[ c

\ ]É X Y

ị

Ê Ë

¬ ¬

]

ả

ử đ

]

ểm đ

]

ểm

ực đạ

] _

ực tiu l

W ` a ă

ẩ[ c

e W ] ` a X c è ầ Xc

ă â Í [ \ b c

ươ

[ \ b c É b

đạo h

để

Ỵ

][

Ï Ð Đ

ụ 1)

Ị ĨƠ Ơ

để h

Õ Ơ Ư

ố

ì ỉ

í ị ị ò ị ị ò

=

−

− + +

à á â ã ä

ảng cỏch gia cỏc im C,

ồ

ề ổế ỗ ó

nht.

ố ộ

i:

â ầ

( )

ờ

s ở

ỡ

R R u R

′

=

−

− =

_ í | }

ỵ

′

∆ =

+ >

[ § [ ï Ã>? @Ä

_ [ \ c ]

m phõ

[ ặ ]

t

ẻ

B V W

c W

ố đạt

ực

ị

ại

Ỵ

B V

ới

_ ẫ _

]

m

c

X Y

W ă

(

) (

)

ð ð

ê ê

O P O

Q R S T R S

ực

c ]

ện

b c đ b _ c ]

ïd

Ỵ

f _ c ầ ù d

ẻ

f X

_ ê

(

)

(

)

ó ơ ó ơ





′

=

−

+

+

â ầ ử

ữ

ứ ự ỳ

ỷ ü

û ü

′

=



 ′

=



[ § [

(

)

(

)

Ê Ê Ê

Ë Ë Ë

d f

¬ ý



=

−

+



+















−







=

+



+











(

) (

)

(

)

(

)

ỉ

ỉ ỉ ỉ ỉ

ỉ ỉ

ỉ ỵ ỉ ỵ ỉ ỵ ỉ ỵ

ị ị ị ị ò ị ị

=

+

=

−

+

−

(

)

(

)

(

)









=



+

−



+



 















=



+

 

+



≥



+



⇒

≥









][ ` a Ä

Ỵ

ảy

⇔

điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả m

t h thc cho trc

]

u

Ô ]

n

W ê

_ [ \ c ]§ b c Å [ Ỉ ]

ệt

c Å [ X È_ c c

ệ

Y c

ức để

É b e

ụng định

V ]ñ X d Ê Ë

W c

] [ \ c ]

ệm

ủa phương t

Y [ c Â ÃÄ

Ï Ð Ñ

ụ 1)

Ị ĨƠ Ơ

để h

Õ Ơ Ư

ố

ì ỉ

í ị ị ò ị ò ị

=

−

+

−

đạt cực trị tại x

ó ọ

m

ỗ

ờ

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

è é

ải:

! " #

ố

$ % &

Đ

& (

) * + ,

′

⇔

=

−

+

=

$ %

+ - . / 0

ệm

/ 2 - 3 0

ệt

(

) (

)

ê 4 4 5

6 6 6 6

′

⇔ ∆ =

− > ⇔

<

∪

>

ới đ

ều

ện

-! 9 :

/ ; < =) > * ? ,

$ %

+ - . / 0

ệm

/ 2 - 3 0

ệt

> @ A> B

! " #

ố đạt

ực

ị

ại

> @

> B

ới

> @ D > B ? +

> @> B ?

" E

( F $ % G H ( I J

L M N

O O O O

(

)

ỉ

ỉ ỉ

ỵ ỉ ỵ ỉ

P P Q

P R P R

S S

ị ị ị ị ò ß ß ß

ß ß

⇔

+

−

=

−

≥

⇔

− −

≥



−

 

−



⇔



≤

 

≥





 



∪

/ T

ả

" U

-đ

ều

ện

(

) (

)

6 6

<

∪

>

Ï Ð Ñ

ụ 2)

ã ä ã Õ Ơ Ư

ố

W Ë

+

−

=

Ị ĨƠ Ơ

để h

Õ Ơ Ư

ố có cực đại cực tiểu v

Õ â ã ä

ảng cách từ điểm

Ù Ù

đến đường thẳng nối

điểm cực đại v

Õ à

ực tiểu l

Õ æ

ớn nhấ

è é

ải:

( F $ %

+

−

=

[

\ Ë

E ! " #

ố có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt

]

<

⇔

>

∆

⇔

(0,25 điểm)

Chia đa thc y cho y ta cú

+

=

ị

E c

p lun suy ra đường thẳng đi

d e

F $

ực đại cc tiu l

+

=

ị

E f

d

- .

;

c im cố định mà đường

ẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua l

−

(0,25 điểm)

ệ số góc của đường thẳng IA l

=

ạ IH vng góc với

∆

:F $ %

≤

=

∆

Z j k

Đẳng thức xảy ra khi

l m

⊥

∆

(0,25 điểm)

a n

9 C F

−

=

−

=

−

ß o

=

⇔

(0,25 điểm)

Ï Ð Đ

ụ

p q

ã ä ã Õ Ơ Ư

ố

Ë Ë

W W )

* r

s t u t u t u u

=

−

+

−

+

−

Ị ĨƠ Ơ

để h

Õ Ơ Ư

ố có hai cực trị l

Õ w x y ỗ z {

i gc O to th

ế ỗ ó | ễ z

ộ}

{ ~ ỗ z

i O

ố ộ

i:

iu kin h

! " #

ố có 2 cực trị l

! 9

=? ,

$ %

0 - . / 0

ệm phân biệt:

Ë Ë

\ W

[

W )

* \ ,

t u

s t u t u

t u

= +



=

−

+

− ⇒ ∆ = > ⇒ 

= −



(0,25 điểm)

( F $ %

=

−

+

−

ọi A, B là 2 điểm cực trị th

;

+

−

+

(0,25 điểm)

Â Ê

Ă Ă

Â Ô

Ă Ă Ă Ă

=

+

−

+ ⇒

−

− = ⇒ 

=



uuur

(0, 25 điểm)

ết luận: Có hai giá tr ca m cn t

ƯĐ ăâ Đ ê ô

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

àả Ã á Ã ạ á ằ ẳ

ca m h

ẵ ¶ ¾

ố

(

)

¿ À À

Á Á

Â Ã

Ä ặ ặ

ầ

=

+

Ã ẩ ·

ực đại

Ê Ë

ực

» º

ểu

đồng

» Í

ời

É Ì

Ê Ê

là độ d

ẵ Ã á Ã Ã

nh gúc vuụng ca 1 tam giác vng có độ d

½ º ·

ạnh

ẻ ẽ

n bng

ẹ ề

ể

i:

ễ

á Ã ế Ö × Ø

ền xác định:

=

Ú Û Ü Ý í í í

ị ò ị ỏ ò ỏ

õ ó ä ã ä â ã ä ã ä

=

−

+

=

+

=

ồ

â Đ ổ

cú cc i

ẫ

ấ ỗ

c tiu

ấ ố

a m

ộ ờ

ở

u b

â ỉ

ố

ư ỡ

ờ ớ

ỉ ợ â

khi PT

ủ

=

ê ị

ệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó.

ó ơ ó Ç Ç

ó ó ó

Ã Ã

Ỉ Ỉ

Ỉ Ỉ Ỉ

Ỉ Ỉ

Ỉ



∆ >

−

>

− <

<





⇔



> ⇔



>

⇔



>

⇔

<



>



< −

∨ >

− >





ữ

ứ

ơ ự ư ỳ

ỉ

ự

ố ố

ĩ ỷ

ỹ ý

ỹ ý ỵ

+

=

ì â

(

)

(

)

+

= ⇔

+

−

= ⇔

−

= ⇔

= ±

Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị

=

ỏa y

ầu b

ực i

c

ằ

u

ẵ ả ắ

c

n

ệ

=

+

Đ

ều

ện để

! "

ố

ậc

ốn

$ %

ực đại cực tiểu l

& '( ) $ % *

ệm

+ , #

ệt

- .

ấy

! "

ố

ậc

ốn

/ & '( ) 0 1 $ !

ột

ệm

( ) 2

để

& '( ) $ % *

ệm

+ , #

ệt

đạo

ần

đ

ều

ện để

ần phương tr

/ #

ậ

4 5 0

ại

$ 4 *

ệm

+ , #

ệt

1 *

6 7 8

4 4 4

Ê ¡ Ê

=

+

/ 9

: ; ; :

) )

Ê ¡ Ê Ê Ê ¡

=

+

⇒

= ⇔ = ∨

= − ⇒

đ

ều

ện

0 ! < )

! "

ố

ậc

ốn

$ %

ực trị

0 > ? ) @

2 A A

? @

@ ? @

ấ B ấ

đ

ều đặc

ệt

! *

> C D 0 1 ,

ại

> ? E

ọc

ần

ắm

ắc đ

ều

để

ận

ụng

H * *

ải

D ,

ỏi

ườ

* *

ặp

H * +

ần

& 0

đ

ều

ện để

! "

ố

ực đại cực tiểu tạo

! * F 1 * , 2

ặc đều

- .

đ

ều

ện để

& '( ) $ % *

ệm

+ , #

ệt

- .

ạ độ

đ

ểm

ực đại cực tiểu A, B,C. Lập

ận

ỉ

! * > C D 0 1 ,

ại

F J

ơ

8 K K

uuur uuur uuur

L M L N M N

- .

! * > C D F 1 * ,

⇔

O P

Q R Q S

=

uuur uuur

- .

! * > C D

đều

T U

=

U V

đ

ều

ện để

! "

ố

$ %

đ

ểm

ực đại cực tiểu tạo

! * $ G

ện

3 H

ước

- .

đ

ều

ện để

& '( ) $ % *

ệm

+ , #

ệt

- .

ạ độ

đ

ểm

ực đại cực tiểu A, B,C. Lập

ận

ỉ

! * > C D 0 1 ,

ại

3 F J

ơ

8 L M K L N K M N

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

-ẻ đường

> E

-Á

W X Y

õ Z [ \ ]

∆

=

- ^

i

u

n

1

àả ả

f(x)=

_ ` _

a a

b c b c c

−

+

có CĐ, CT lập thành tam giác đều

ải:

d '?

(

)

e e

f g g

h h i h h i

−

= ⇔ = ∨

=

E ! "

ố

$ D

Đ

2 D

⇔

d '?

( ) $ % *

ệm

+ , #

ệt

⇔

! j )

ới

! j ) / d '?

( )

(

)

(

)

(

)

k l

o p

q q

o p

r s t s s s s

r u s s

r s v s s s s

 = −

→

−

+



⇔



= →

+

 =

→

−

+



& H

C C

ủa

! "

ố

& ( d ?

∆

> C D

đều

x x

y z

{ | { } { | { }

{ | | }

>



>





⇔



=

⇔



=



=



=





(

)

~ ~

z z z z z

z z

z z z

>





>



⇔



+

=

+ ⇔



⇔

=

−

=



+

=



¯ ° ±

ụ 2)

ễ

ẵ ả ắ

Ý Ý

=

−

+

ậ

ả ẵ ằ ả ắ

thc. Xỏc nh m h

ẵ ả ắ

cú

c tr to th

ẵ ế ằ ả ¹ º¸ · · È

ện tích bằng 1.

ải:

Mxđ:

=

D $

=

−

= ⇔

−

= ⇔ = ∨

=

E ! "

ố có 3 cực trị

⇔

>

ọi

(

) (

)

−

là 3 điểm cực trị

ận

ấy B,C đối xứng qua Oy v

ộc Oy n

! * > C D ,

ại A

ẻ

Ă Â $ Ê

Ơ Ư Ư Ư Ư Ơ

Đ ă â ă Đ ă

ê ô ơ ư ® ¯ ¯ ° ± ± ±

∆

=

⇔ =

−

⇔ =

⇔

=

. Đối chiếu

ới điều kiện (*) có

=

0 * H

cn t

3)

ả Ã á Ã ạ ằ

(

)

ẳ

½ ½ ¾

¿ À

=

−

+ +

Á Âº

h

ạ ằ

Ã á Ä Å Ỉ

điểm cực trị

và ba điểm cực tr n

ạ ầ ẩ

o th

ạ ẫ Ã

t tam giác có diện tích lớn nhất.

Ê Ë

ải:

(

)

Ì Í Í Í

: ; ; I

) ) 2

Ỵ Ï Ï Ð Ï Ï Ð

=

−

= ⇔ =

= −

! "

ố có 3 cực trị

² ²

⇔ − <

<

. Khi đó tọa độ điểm cực đại l

(

)

ĐỊ

+

ọa độ hai điểm

ực tiểu l

(

) (

)

Ơ Ơ Ơ Ơ

Õ Ư Õ × Õ Ư Õ

Ø Ù Ù Ú Ù Ù

−

Û Ü

ện tớch tam giỏc ABC l

(

)

(

)

ị

Ô ò

Ô Ô

ỏ õ

ê ó ô ư đ ư đ

=

ọ ồ

u = x

í ổ ỗ è é ê

=

ĐS:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

³ ´ µ

ụ 4)

ả Ã á Ã ạ ằ

ì í

ỵ ỵ

ï ð đ ð

=

−

+

có đồ thị (C

ị ó ơ Á Âº È

ất cả các giá trị của tham số m

để đồ thị (C

ị

) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tr

õ É É ư ¸

ại tiếp đi qua

÷ ÷

ø ù













Ê ậ

i:

ỹ ý

(

)

ỵ

=

−

= ⇔ =

= ±

>

ậy các điểm thuộc đường tr

ại tiếp các điểm cực trị l

( )

(

) (

)

ø ù

ú ú ú ú

÷ ÷





−

+

−

+









ọi

(

)

là tâm đường tr

(

)

(

)

(

)

Í Í

Ï Ỵ

! "

# $

Ï Ỵ Ï Ð Ï Ỵ Ð % Ð

# !

Ï Ð Ỵ Ð Ï Ỵ



=



− + =





⇒



=

⇔



= −

⇔ =

=



=



 +

+

−

=

+

y

=

(í

ĩ) *

ỗ

cn t

+, ọ

-Ã

n

Ã .

ậ /

ả 0 1 ạ

ậ

ẩ á 0 É 2

Ë3

É 4 5 . É

đến

ếp

È 5 Ç

ến

6 ¹ Ä 0 Ä

đườn

ư È

ệm

ận

8 9

ê Ý , :

ố

; <

= > ?

=

ả

ử

@ @

Ï Ỵ

(Ý

*Ü

ếp đ

ểm

é ê

đó

*Ü

ếp

* B

ỉ

ến

ại

C D ý

ạng

@ @ @

Ỵ F Ï Ï Ï Ỵ

=

−

+

ỹ ờ G H ỗ

ng

ỗ

ng

ờ

ợp

ổng

B ) * *

ường

ểu

Û Ü

ễn

Ỵ

ê K

ạng

F Ï

ụ

M 8 9

đ

ểm

C J

ất

ỳ

ộc đồ

ị

ê Ý , :

ố

N O

−

=

+

é ê

đó đ

ểm

C D ý

ạ độ

(

ú U

−

+

X è

ọi

ệ

ố

ý D D

ủ

* Ü

ếp

ến

ại

*Ü

ếp đ

ểm

(

Ý @

F Ï

=

Đường

ẳng

∆

ất

ỳ

D ý ê

ệ

ố

ý D é

đ

è @ @

Ï Ỵ

D ý

ạng

@ @

Ỵ

Ï Ï Ỵ

=

−

+

Đ

ều

ện

để

∆

(Ý

* Ü

ếp

* B

ỉ

ến

ủa

ê Ý , :

ố

æ Z [ \ (Ý ê

ệ phương tr

+ ê : è

D ý ê

ệm

] ]

^ _ ^ _

`^ _

ð ð ï b ð

b ð

−

+

=





=



đó

ố

ệm của

ệ

ũng

D ê L ê

(

Ý :

ố

*Ü

ếp tuyến kẻ được

ừ đ

ểm

đến đồ

ị

ê Ý , :

ố

æ Z [ \

ọi

J Ý

Ü *

)

ết phương tr

+ ê

* Ü

ếp tuyn u

ổ d

c

*
+,

* ĩ

p

m

: ố

ú

t phng

ỗ + ờ

ờ K

ở

ỹ

)

ng

D e

ờ

i

ờ

ng

p

ỗ f ê

ần

Ý æ (Ý

g h i j

ết phương tr

kl m n

ếp t

o p

ến biết

ếp tuyến song song với đường thẳng y=

q r s t u

8 9

ê Ý , :

ố

æ Z [ \ ä

ọi

@ @

w x y

(

* ĩ

p

m

ổ ỗ ố

*ĩ

p tuyn tại

C D ý

ạng

@ @ @

y z x x x y

=

−

+

ä X

ếp tuyến tại

C D ý ê

ệ

ố

ý D

(

Ý @

{ z x

=

ếp tu

ến song song với đường thẳng y=

è \

J | @

{ z x }

=

ải phương tr

+ ê

+, @

: è

đó

ết phương tr

+ ê

*Ü

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B l

^ _

b ð b ð

ð ð

=





≠



ụ 1)

ố

N O

+

=

+

ết phương tr

ếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến

cách đều hai điểm A(2;4), B(

ải :

ọi

là hoành độ tiếp điểm

≠ −

X X X (Ý

(

) (

)

+

=

+

−

ếp tuyến cách đều 2 điểm A,B n

ếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song vi

Ă Â Ê

c tr

Ô Ơ Ư

i AB.

u tip tuyn i qua trung im I(

ă â êâ ô ơ

a AB th

ơ đ

(

)

(

)

=

− −

+

⇔

=

+

Suy ra phng tr

p t

n l

=

+

u tip tuyn song song vi AB hoc tr

Ô Ơ ¦

ới AB th

ếp tuyến có hệ số góc l

(

)

ả

á ạ ằ ẳ

ẳ ẳ

ạ á ằ

ẳ

ẵ

ắ

ẵ

=

− −

=

= ⇔

= ⇔ 

= −

− −

+

i

=

ơ đ

= ?

= +

ê Ư

i

=

ơ đ

= ?

= +

y cú 3 PTTT tha m

ặ

O ầ

ầ

Q P Q P Q P

=

+

= +

ụ 2)

ố

− −

=

+

É Ê

đồ thị (C) 2 điểm A v

Ë Ì Í Ỵ

Ï Ð

=

ếp tuyến của đồ thị (C) tại A v

Ë
Ò Ị Ĩ

ới nhau.

ải :

ả sử điểm cần t

Â²

S S

ú ú

Ư ×

− −











+





+











¢ Ø £

ả thiết ta có hệ:

( )

(

)

(

)

(

)

ĩ ĩ í

ĩ ĩ ị

ò à

ß à

ß à ß à





=



=

 + = −





⇔





−

+



− −

−

− −



=











+





−



+



=













+

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

(

)

â ọ

â ẻ â

} ồ

} å

} å } å

} å

+ = −



+ = −





⇔



−



+



=



=











−





ừ đó t

được A,B

ụ 3)

ổ

ỗ ố ộ ờ

ở ỡ ớ ì ì

í ì

=

+

−

+

ỵ

để tiếp tuyến tại giao điểm củ

ỵ

ới trục Ox song song với đường thẳng

ỵ

= ?

= +

i :

ơ đ

ủ

ũ ú ụ

ừ

ử ữ

ừ

=

+

Giao im ca (Cm) v

ứ

c Ox l

ự

ỳ ỷỹ ý

ỵ

+

ếp tuyến tại A của (Cm) song song với

= −





−





+





= + ⇔





= ⇔





= ⇔



+





= −







¢ ế

Phng tr

p tuyn l

= +

i) v

p tuyn tr

Ô Ơ ¦

ới đường thẳng (d)

= −

. Phương tr

ếp tuyến l

² ¯

= −

(TMĐK)

= −

Ì Ĩ

ụ n

Í Í

ọ

ần lưu

ểm tra điều kiện đủ khi t

É Ì Ò

ị tham số,

Đây là sai lầm hay mắc phải của học sinh khi giải toán.

ụ 4)

ố

! "

# $ $

=

−

+

ỵ

É Ê

ỵ

Í Í

điểm A,B phân biệt sao cho các tiếp tuyến với (C) tại A,B có c

% Ị

ệ số

góc đồng thời đường thẳng đi qua A v

Ë Ĩ

Ị Ị ' Í Ĩ

ới đường thẳng d:

( )

+ − =

ải :

ả sử các tiếp tuyến với (C) ti A,B cú c

Ô Ơ

s gúc k. tồn tại hai tiếp tuyến tại A,B phân

ệt th

+ ¢

ương tr

¢ - ,

! !

# $ .

=

− =

+ ¢

ải có hai nghiệm phân biệt

⇒ >

ơ đ

a cỏc im A,B tha m

ặ

:

(

)

â â Ä Ä

â Ä

â â

4 3 3

3 5



=

−

+

=

−

+



⇔





− =







− =

6 6

7 7 7 7 7 7

8 8 8

8 8 8 8

9 : 9 9

;

: :

;

: 9 : 9



=

−

+ =



−



+



=



−



+













⇔







⇔









− =



− =



⇒

phương tr

<= >

đường thẳng AB:

? ?





=



−



+





. Để

D E

G H I F

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

ậy tọa độ các điểm A,B thỏa m

L = Q

( ) (

)

R S

S TO U S T V

R R W

4 3 3

4 3 3 X Y



=

−

+



=

−

+



⇔



⇒

−



= ±



− =





Z [ \

ụ 5)

] ^ _ ^ ` a b

ố

(

)

(

)

c d

e e e

f g h g h g

=

−

+

−

+

i j k

l m

a n o n p qo r s

ị của m để đồ thị h

` a b

ố cắt Ox ở 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho các

r q

ếp tuyến tại B,C song

b _ t p t ^ u v w

ải:

Xét phương tr

<= >

(

)

(

)

ù ù

ü ÿ ÿ ü ú ý y ÿ ü

z { { { | } ~ } { {

= ⇔

−

− =

⇒

−

+ =

= >

ệm phân

ệt khác 1

≠



⇔ 

∆ =

+ >



ọi

3 3

= >

ệm đó

3 3

⇒

≠

3 3

+

=

ầu b

K =

( )

⇔

=

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

8 7 8 7 8 7

: : : : : : : :

: :





⇔

−

+

+ − ⇔

−

+

+ − ⇔

−



+

−

+



=

+

⇔

+

=

⇔

=

Z [ \

ụ 6)

] ^ _ ^ ` a b

ố

( )

D D

+

=

] ^ _ Â i j Ê Ô k w

l m

a n o n p qo r s

ị của m sao cho tồn tại đường thẳng qua A cắt đồ thị C

¥ r

ại hai

điểm phân biệt M,N m

` n o n r q

ếp tuyến tại M,N ca th song song vi nhau.

i:

Ư Đ

(

)

ê ô

ơ ư đ

=

s

(

) (

)

(

)

¯ ¯ d d ¯ d

° ± ° ²

g f ´ g f µ g g

∈

p tuyn ti M v

ả Ã

(

)

(

)

ă ă

â â

ô ô ạ ạ

ô ô

ư đ ư đ ư ư đ

đ ư

−

⇔

=

⇔

− − = − − − ⇔

+

=

+

− −

Ta thu được

(

)(

) (

)(

)

e e e e

g g h g g h

−

− − =

−

− −

> º »

(

)

¯ d ¯ d d

e ẳ e ẵ e e ắ

g h g h g g g g

− − = −

− − ⇒

− = −

− ⇒

+

=

¿ À

ới (1)

⇒

=

Ã Ä Å Ỉ

ết phương tr

đẻ É Ê

Ỉ

ếp tuyến biết

Ỉ

ếp tuyến vng góc với đường thẳng y=

Ë Ì Í Ỵ

Ï Ð Đ

K >

Ị ·

ố

Ĩ Ơ Õ J Ư M

ọi

× ×

3 4

ếp đ

ểm

Ĩ Ù

ếp tuyến tại

Ú Û

ạng

× × ×

J MJ M

4 Ý 3 3 3 4

=

−

+

ếp tuyến tại

Ú >

ệ

ố

J M

5 í 3

=

ẽ

p tuyn

ị

i ng thng y=

ệ

ẽ

= ò

ỏõ ó

ọ ồ ổ ỗ

=

i phng tr

<= > K<

ề

ố ·

đó

ết phương tr

<= > K

ếp tuyến theo (1)

+ Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vng góc với tiếp tuyến tại B l

éê ë ì éê ë í

ỵ ï

ð đ ð đ

đ đ

= −





≠



Z [ \

ụ 1)

] ^ _ ] i a k ị J M ó ơ

R N

õ ư è è è ÷ è

=

+

u k ø

a a

để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E.

k ø

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

ải:

(

) (

)

µ h

=

∩

ới

ươ

độ

đ

ểm

(

)

=



+

+ = ⇔

+

= ⇔



⇒

=

+

=



ầu

" #

$ %

& &

⇔

' (

ệm

) !

ệt

* "

ủa

/ 0 1

2 1 3 1 0

5 4



∆ = −

>

<





⇔



⇔



⇔ ≠

<

=

≠



 ≠



, 6

Đạo

7 8

9 :

′

& & & ÷

=

+

;

ới đ

ều

ện

> ?

≠

<

ếp

ến

ại

B C

ới

;

(

)(

)

G H I J H I K L K L

M N M M N N

′

P O

′

P P P Q P P Q

⇔ − =

=

+

( ) (

)

( ) (

) (

)(

)

(

)

( )

8 8

9 9

(

9 9

(

R : S R :

;

9 S S R

T T U T T U

T U T U

V & & ÷ V & & ÷ & ÷ & ÷

& & ÷ & & ÷ ÷ ÷ ÷ ÷



 



=



−

+

 

−

+



=

+

=

+

=

+

− +

=

−

W X Y Z

[

X \ ] ^

_ _ _

±

⇔

−

+ = ⇔

=

ả

đ

ều

ện

, 6

ố

(

)

(

)

c d

e f

g h e

h h

i j @ j @ j

= −

+

−

+

−

có đồ thị (C

ố.

l m n

ụ 2)

o pq q

để tr

r s t u v

) có 2 điểm phân biệt

(

)

(

)

w w w x x x

y z y

{ | } { | } ~

ỏa m

s ; 8

& &

>

ếp tuyến của (C

ại mỗi điểm đó vng góc với đường thẳng

−

+ =

ải:

ệ số góc của

−

+ =

=

. Do đó

# 8

& &

ệm của phương tr

. 9

(

)

(

)

x x

| | | |

−

+

−

+

− = −

ỵ

u b

phng tr

ỵ

ệm

# 8

& &

ỏ

; 8

& &

(

)

(

)



∆ =

−

+

+ >



< −



⇔



−

⇔



− <

< −

>







ậy kết quả b

" ' Ă

<

Ê Ô

<

;

l m n

3)

q Đ

ă â

ê ô

ư ¬

=

+

(C) và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(0;3)

o pq ®

để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại 3

giao điểm đó cắt nhau tạo th

ột tam giác vng.

ải:

Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) l

(

)

ă â â

ê ô ô

]

ô ô

ơ ơ

ơ ơ ¬ ¬ ¯

+

+ =

+ ⇔

+

−

=

ả

Ã ả ả ả á

=

+

=

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

ạ

ằ ẳ ½ ¾

¿ À À À Á

=

+

−

=

Â ặ ầ ẩ

m phõn bit khỏc 0.

É Ê Ë Ì Ê Ì

Í Ê Ỵ Ì Ê Í Ê Ỵ Ì Ê Ê

Ï Ï

∆ >

+

>

> −



⇔



⇔



⇔



= −

≠

= −

≠



ại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox do đó để 3 tiếp tuyến cắt nhau tạo th

Ị Å Ç Ĩ

ột tam giác

Ơ ế ệ

ặ ì ầ ỉ

iu kin l

ề ạ

ằ ẳ ẵ ắ

=

+

=

ặ ầ ẩ

m

ĩ ĩ í ị ò

ầ

ẫ ẻ ẫ Î á

= −

(

)(

)

Ú Ú

Ù Ù Ú Ú Ù Ú Ù Ú Ù Ú Ù Ú

ã ã á ã Í Ỵ á ä á Ê

Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü

⇔

+

= − ⇔

+

+ =

Theo nh lý Viets ta cú

ồ ạ

ồ

ạ

ẳ

ổ

ẵ

+

=

ẹ

ầ

ị ỗ

ễ

ề

ị

ố

â â

[

\ Z

X ộ

ê [

\ ] X

ê [

\ ]

− ±

+

−

+ = ⇔

+

+ = ⇔ =

ết hợp điều kiện suy ra

[

\ Z

− ±

=

ë ì í ỵ

ết phương tr

ïð đ ị

ỵ

ếp tuyến biết

ị

ỵ

ếp tuyến

ợ ú ụ ừ

ẻ

ử ử

ữ

ĩ ứ

ự ỳ

i

ỷ ỹề ầ

ệ

ố

Ỉ Ã Â Â

ủa đường thẳng

∆

đi qua M . Phng tr

ỉ ầ

a

ỹề

ẻ

ử ư

Ü Ü ø

=

−

+

Đ

ều

û È

ện để

∆

üỊ × ẩ

p tuyn ca

ỗ ý ỵ

ẻ

ỹề ầ

í ị ế

ặ ầ ẩ

m

ằ ằ

ằ

À À À

Á À

−

+

=





=



ải

ìỉể

ị

ầ

ề ầ

a

ìẩ

p

ẩ

m

í ị ế

ú

ễ

ẩ

t phng tr

ỉ ầ ì ẩ

p tuyn

l m n

ụ 1)

ết phương tr

ếp tuyến đi qua

\ X

[













đến

( )

} | | |

=

+

i:

ng

ìầ

ng

ẩ

ế ị

\ X

[

ễ

i

ầ

ặ ỷ ầ

ặ ì ỉ ầ

\ X

[

=

+

ì ẩ

p

ới

( )

} |

=

⇔

á Ë

Í Ỵ ã

Ỵ



=



−



+













 ′ =



Â Ã ặ ầ ẩ

m

(

)









′

⇒

=



−



+ ⇔

−

+ =

−



−



+









(

)(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

! !

" # " $

" % " & " " ' " (

" % %

" #

" ) ' '

" %

" #

% ) ' " % " *

" %

" " # % " " #

) ' '

+ " % , % " %

- - -

-- . / / - /

- . / / - /

-- . / / - /

-







⇔

−

− =

−



−



⇔

−



−

+



=











= ⇒

=

′



−



+ ⇔ =

















′

⇔



= ⇒

=



−



+ ⇔ =

−











−





′

= ⇒

=

−

+ ⇔ =

−

+





















0 ì í ỵ

ết phương tr

ïð đ ị

ỵ

ếp tuyến biết

ị

ỵ

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

ự : ;

ì ầ ề ể

ỗ ý ỵ

ỳ

i

< <

ữ

ĩ ứ

ỹề ì ẩ

p

ẩ

m

í ế ỗ

ị

ìẩ

p tuyn ti

> Â Ã ?

ạng

< < <

ÉÍ ỴÍ Ỵ

Ü Ü Ü ø

=

−

+

Í á Ỵ à

ếp tuyến tại

> Â ầ

ặ ỹề <

ẫ ẻ

ẽ õ

=

ự

ẹ

ẩ

p tuyn to

ễ

i

c

ể

t

ặ

ằ BC D

» BC D

º » BC D

α

=



⇔

=

=

ỳ

ẩ

i

ì ỉể <

ĩ í ị ế

ú

ễ

ẩ

t phng tr

ỉ Ç × È

ếp tuyến theo (1).

E F G

ụ

H I J K L M J I N

Ô O

=

E S

t phng tr

TU K V

ếp tuyến của (C) tạo với trục ho

W U K X Y Z

[ \ ]

^ S

i:

ìẩ

p tuyn ca (C) to

ễ

i

ặ

ó ` a

b ầ

ặ ỷ

a

ìẩ

p

ế ỗ

n

ìầ

ể c

e f g g

h ij h

=

= ⇔ = ±

à k

(

)

n o p m

q r r

−

′

=

< ∀ ≠

−

Å b ỷ

ý s

ỏ

ầ

ề ầ

ìẩ

p

ẩ

m

ỹề Æ Ç È

ệm

ủa phương tr

ØÅ Ç

(

)

t t

u u

± v

² ³ w w

v x

¶ y

y ¶

¶ y

= ⇒

=



−

′

= − ⇔

= − ⇔ 

= ⇒

=

−



Phương tr

ỉ ầ ì ẩ

p

ế ỗ

n

i

ấ

ỹề

ỗ ý s

ỏ

ấ ẻ

ự

ý s

ự

Phng tr

ỉ ầ ì ẩ

p

ế ỗ

n

i

{

ỹề

ỗ ý s

á Í ÿ

Ỵ

ý s

ä à

E F G

ụ 2)

J K L K W | }

ố

+

=

+

có đồ thị l

W M I

E S

ết phươn

X V TU K V

ếp tuyến tại M tr

M I } L Z K L V

ếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trc ca AB i qua gc ta

^ S

i:

ị

ể Ỉ È Â @

Ơ Õ Ư

Å Ỉ ×

ại O v

ề ì

ế

ặ ì

c ca AB i qua gc ta n

b ì

ị

ể ặ ẩ @

ễ ế ệ

ặ ì

i O suy ra tiếp tuyến tạo với Ox góc

ã ` a

ế ỗ

ị

(

)

n o m p

r r r

−

=

= − ⇒

=

+

ừ đó vit c 2 phng tr

ỉ ầ ìẩ

p tuyn l

ề

= − +

Ị

= − −

ì í ỵ

ết phương tr

ïð đ ị

ỵ

ếp tuyến biết

ị

ỵ

ếp tuyến tạo

ới đường thẳng y=

4 5

ột

6 7 8

α

ù : ;

× ầ ề ể

ỗ ý ỵ

ẻ

ỳ

i

< <

ẻ

ữ

ĩ ứ

ỹề ì ẩ

p

ẩ

m

í ế ỗ

ị

ìẩ

p tuyn ti

> Ã ?

ạng

< < <

ÉÍ ỴÍ Ỵ

Ü Ü Ü ø

=

−

+

Í á Ỵ à Đ

ếp tuyến tại

> Â ầ

ặ ỹề <

ẫ ẻ

ẽ õ

=

ự

ẹ

ẩ

p

ế ỗ

n

o

ễ

i ng thng y=

ị

ự

ể

t

ặ

ị

ỏ

ị

ỏ

ị

ỏ

ẽ

α

−



=



−

+

⇔

=

⇔ 

−

+



=

+

i

Ă Â

Ê Ô Ơ

=

Â Ư Đ

i

ăâê <

Ơ ô ơ ư

ú

t phng tr

â ă

p tuyn theo (1).

E F G

ụ 1)

J K L M J I N

−

=

−

E S

ết phương tr

TU K V

ếp tuyến tạo vi

( )

à ả Ã X Y Z

[ \ ]

^ S

i:

Ư Đ

p

ư á

n

ạ

ằ ạ ẳ ẵ ẳ

ú

ắ ă

p

ư á

n

o

i

( )

ằ ạ

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ë Ì Ë

Ë Í Ỵ

Ë Ì Ë

Ì ÏË

Ð Ð

Ð ÑÒ

Ð Ð

= −



− = +



−

=

= ⇔

⇔





− =

+

=

ể

i

ẳ

ễ ế

ẵ

ệ

ng

á ễ ế ì

ê ă

p

ỉ

ạ

=

+

ơ á

ễ ễ ế ì

Â ễ ầ Â

ạ ằ

m

ẳ

ệ

(

)

(

)

(

)

ĩ ĩ í ị ĩ ò í ị

ĩ ĩ ß Þ á Ü Ü

â ã â ã ã ã

ã ã ã

⇔

+

−

+ − = ⇔ ∆ =

−

=

⇔ ∆ =

−

+

= ⇔

=

ể

i

ẳ

ệ

ng

=

+

p

ỉ

ạ

=

+

ơ á ế

ễ Â ễ ì ế

Â ễ ầ Â

ạ ằ

m

ẳ

ệ

(

)

(

)

ọ

(

)

ọ

ồ ổ ỗ ồ ố ổ ç

é é é

⇔

−

+

− = ⇔ ∆ =

−

=

ë ì í ỵ ì ï

ð ð

⇔ ∆ =

−

+

=

® ủ ằ

m

y

ạ

ế

p

ư á

n

ú ụ ú ú

ừ ử

=

+

o

i

ằ ạ

ữ ứ ự ỳ

t phng tr

ỷỹ ý ỵ

ỳ

p tuyn bit

ỵ

ỳ

p tuyn ct

ỳ

ỵ

c

ỵ

ỵ

i

ý ỵ

ü ü ý

c

ỵ

ỳ

n

ỵ ý

ng

t

ý ỵ

c

ì ệ

ă ê

á Â

i

p

m

ẵ

ô ư á ơ

p tuyn ti

ạ ắ

ng

Ă Â Â

Ô Ơ Ơ Ơ

=

+

ầ Â

p tuyn ti

ạ

ằ ạ

Ă Â

Ê Ô Ơ

=

p

ư á

n

ạ

t

ế

c

ẵ

i

ẵ ! ă â ă

ê ằ

Đ"

ạ !

ủ đ

ủ ằ ẵ

ê ằ

Đ"

ạ

ủ ằ ạ # ă â ă

p

ư á

n

i to

i

t

ằ ạ $

ở %

=

đ ă

p tuyn

ẳ ủ ằ

Đ & ư ơ

ằ

c

ì Đ

t phng tr

â ă

p tuyn theo dng

ũ '

ơ ư

ú

ạ

n

ng

p tuyn kh

ủ ằ

Đ & ư ơ

ằ

c

ì (

ư á

ặ

ạ

u

p

ư á

n

ạ

t

ẵ

o

ă ă

ê ằ

Đ"

ạ ạ ắ

n

ă)ạ ạ ă

c

ă â ă

ăâê ạ

ạ

ằ

Đơ

m

ẵ!

ô ơ ư

ú

ă) ắ

n

ă )ạ ă

ê ằ

Đ"

ạ đ

ủ ằ ! ă * ạ ủ ằ ă

c

, - .

/ 0 1 0 2

∆

=

3 4 5

ụ 1)

3 6

ết phương tr

78 9 :

ếp tuyến của đồ thị h

; < =

ố

=

−

> 6

ết tiếp tuyến cắt

@ A @ B C

ần lượt tại A,B m

; : D < E

6F G H I J

: 9

ỏa m

K 8 L M

N O P N

=

R 6

ải:

F G

9 T L

ọi

(

U U

) (

)

V W

X Y Z Y

c th h

. PTTTd ti M cú dng:

(

)

(

)

[

ú ]

ử

ừ ử ử

ử

=

p tuyn ct trc

@ A @ B

i cỏc im A,B v

ê ằ

Đ"

ạ ! ạ M

N O P N

=

ặ ă

ê ằ

Đ"

ạ

! đ

ủ ằ ạ # ă

i O. Lỳc ú tip tuyn d vng góc với 1 trong hai đường phân giác

=

c

=

ầ

ắ đ

ủ ằ ằ ạ đ

i ng phõn giỏc

=

` ¹ º À

(

)

[ [

[

] b c

]

ư ư

−

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

ới

e f À

¥ g ¥

= ⇒

= −

ại)

ới

e Ä À

¥ g Ơ

=

= +

ế

ắ ®

đ ¯ » » º ¹ ®

ới đường phân giác

= −

` ¹ º À

(

)

[

] b

−

= −

đ ủ ằ

m

y cú 1 tip tuyn tha m

ặ

ạ

u b

j k

B A

= +

S F G

9 m L

(

ận xét tam giác AOB vuụng ti O n

ặ ă

ạ

(

)

o p q o pq r

t u

u v t

u v

π

=

ặ ă

ằ

Đ"

ạ ! đ

ủ ằ ạ # ă

i O. PTTT ca (C) ti

(

)

U U

X Y Z

=

w x y

ạng:

(

)

(

)

[

]

õ ư ư

= −

−

+

−

z {

ễ dàng tính được

} ~





= 











(

)









=



−







ầu bài toán lúc này tương đương với việc t

ệm của phương tr

(

)

(

)

=

⇔

−

=

−

ới

=

¡ w x ¢ Ê Ê Ê

Ơ Ư Ô

+ =

i

e Đ

=

Â Ê Ê Ê

Ơ Ư ă

= − +

3 4 5

ụ 2)

9 © 9 ; < =

ê ô

ơ ư

³ ´ ³ ´ ³

=

−

+

< ả

7< <

tip

:á ạ

n ti giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A,

= D ©

9 © : D < E

6F G H I J G º 5 6

n tớch bng

ư ằ

Ê Ă w x

đ ẳ ẵ

ắ

p tuyn ti B ca (Cm) l

=

+

(d) . Đường thẳng (

y ¿ w

ắt trc Ox ti

ẵ ẳ

+

{

n tớch tam giỏc OAB l

Â Â Â Â Â

z z z Ã

ặ

ầ

ẩ ẫ ấ ẫ ậ

ầ

=

⇔

+ = ⇔ 

= −

+



ÌÍ Ỵ Ï

ết phương tr

ÐĐ Ị Ĩ

ếp tuyến biết

ếp

ĨƠ Õ

ến

ết

ếp tuyến ct

ng

ể

ẽ

m

ỉ

n

ể

o

ểề ẹ ề

t

ể

ẽí

ỉ ỉ ị ò

ẽ

n

ểỉ Ò Ø Ò á Óâ

ước

Ò á

ặc tạo th

Ù Đ Ị

ột góc cho trước.

ã ä å

ỉ

ố

ç è é ê ë ¿

z ì

ọi

í í

ê ỵ

p

m

ủ ổ

ỗ ũ Ă

p tuyn ti

ú w x y

ạng

í í í

ê ¿ê ¿ ê ¿

ð õ õ

=

−

+

£ w ử w

Ă ữ

m

a

p

ỗ

n

i

w ử w

đường

ệm

ận

ỉ ¡

đ

x w

ă

ứ

đ

ều

ện để

i

ự

ỗ

t

ó ỳ

u

ỗ

u

p tuyn ct

m

n

ệm

ận đứng

ại

û đ ü

ư w ý ỷ ỹ

ỵ

ờ

i

Ă ữ

m

n

ự

ỗ

c

t phng tr

p tuyn bit

p tuyn to

i

m

n

t

x w

ng

p

ỗ

n

ứ

ỵ

c

ự

Ă ữ

m

n

ứ

ú

ổ

ứ

ỵ

t

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

ó ỳ

u

ỗ

u

p tuyn cắt

ệm

ận đứng

ệm

ận

ại

û ñ ü

ạo

ö w ý û ü

w x y

ện

÷ ị

ước

¡ w ư w

Ă ữ

m

ỷ ủ ỹ ổ Ă

ú

ỵ

c

Á ¾

∆

=

x w

ạo bởi tiếp tuyến và đường tiệm ngang hoặc tiệm cận đứng cũng chính l

x w

ạo

ởi tiếp tuyến v

w ư w ị

ục Ox, Oy

ụ 1)

ố

¯ ±

´ ³

³ ´

+

=

−

ọi I là giao điểm của hai tiệm cận. T

m m để tiếp tuyến

ất kỳ của h

ố cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng

ải:

{

ễ thấy đồ thị h

ố đ

÷ w x

đường tiệm cận đứng là đường thẳng

=

và đường

ệm cận ngang l

¥ #

=

ọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận l

(

W $

)

% & &

ọi

[

' (

) * +

+ *



+







−





ới

-. /

≠

) là điểm bất kỳ thuộc đồ th h

ổ

ữ

Â Ê Ê Ê w

a th h

ổ

ti im n

ỗ

(

)

(

)

0 1

2 3

2 4 3 4 5

5 5

5 4

+

=

+

p tuyn n

ỗ w

t tim cn đứng tại

}

7 7 8

9 : ; :

; :



+









−







ắt tiệm cận ngang tại

(

)

> ? >

. / /

−

A B C D E

F F

G G

7 7 8 H 8

7 7

: ; : :

I <

I J

; : : ; :

; : ; :

+

=

−

=

− −

=

−

K L M N O

ện tích tam giác IAB l

P Q

S T U

W X Y X Z [

=

+

ởi vậy y

L ]

ầu bài toán tương đương:

_ `

a b b a c

d d

+ =

⇔

= ±

e f g

ụ 2)

h i j i k l m

ố

=

−

e p

ết PTTT của đồ thị (H) của h

k l m

ố đ

q r i j s

ết tiếp tuyến

ạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng

(

u u

)

+

w p

ải:

h x r i y z

Đường tiệm cậ

ủa đồ thị l

P { | {

} ~

=

ọi PTTT của (H) tại

(

)

(

)

(

)

−

=

+

−





+

= ⇒ =

⇒ 



−



−



(

) ( )

> > ? ? ?

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ă Â Ê Â Ô Ê Ô





+

⇒

=

+

=

− +

−

+



−



=

+

−



−



⇔ +

−

+

−

+ =

+

−

 − =



⇔ 

−

+

−

+

− −

+

=

h x r i Ư z

Phng tr

M ă O

m cn ng

=

, phng tr

M ăO

m cn ngang

=

i

ư đ

B B B

i

(

)

(

)

ả

Ã á ¹

−

=

−

+

−

ọa độ giao điểm của tiếp tuyến v

ăO

m cn ng l

ư đ

+

a giao im ca tip tuyn v

ăO

m cn ngang l

(

)

> ?

@ ằ

ẳ

] ẵ O ă

C ắ ¿

OÀ

D Á Â

(

)

(

)

Ä Å

Ä Å Ä ặ

ầ ẩ ẫ ẩ ấ ẫ ấ Ë Ë

=

+

=

+

− +

−

+

≥ +

−

−

ấu “=” xảy ra khi

− =

c

ẻ ẽ é

ẹ ẹ

=

ề

i

Ỵ

Đ ¬ Ĩ

= ⇒ = −

Ị

ới

Ð Ơ

Đ ¬ Ĩ

= ⇒ = − +

Ï Ơ

¬ Ĩ ¬ ể

=

= +

u ă O

p tuyn cn t

Đắ A

ệ ì ỉ

3)

ĩ í ị

( )

ỏ

ó ọ

=

+

ồ

ổ

i I l

ĩ ỗ ốộ ờ

a 2 ng tim cn của đồ thị. Viết

ë ì ì ì Ø

ủa đồ thị h

Ü Ý Þ

ố biết d cắt tiệm cận đứng v

Ü í è

ệm cận ngang lần lượt tại A v

Ü ỵ

í Ú

ỏa m

ï ð đ

ị

ơ õ ư ÷ ø

ù ú û

=

ải:

Xét điểm

(

)

( )

ỹ ỹ ỹ

ý ỵ

ếp điểm của tiếp tuyến d.

ại d có dng:

(

)

(

)

ạ

á ạ ạ

ạ

=

−

+

+

ếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A v

∆

ị

ơ õ ư ÷ ø

ù ú û

=

! " #

$ % & $ % & % $ &

$ % &

=

− =

⇒

=

⇒

=

ại có

(

)* + , - .

ệ số góc của tiếp tuyến d m

( )

(

)

0 1

¸ ¹

=

>

+

(

)

(

)

´ ´ 1

¹ ¹ ¹

= ⇔

+

= ⇒

= ∨

= −

+

ới

3 4

=

6 7 8

¬ Ó

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

ới

= −

6 7 8

¬ Ĩ

=

+

ậy có 2 tiếp tuyến thỏa m

; <

ầu bài tốn có pt như trên.

Ư × Ø

ụ 4)

Ù Ú Û Ú Ü Ý Þ

ố :

à = á

= á

−

=

+

có đồ thị l

( )

ỉ

ọi

@ Ẵ

giao điểm của hai đường tiệm cận của

( )

ì B

Ý í C D

đồ thị

( )

điểm

E ê F Ú Û Ü

độ dương sao cho tiếp tuyến tại

E G

ới đồ thị

( )

ắt hai đường tiệm cận tại

G Ü í Ú Û

ả

ï ð đ H H

Ơ Ỵ

I J I K

+

=

ỉ

ải:

TCĐ

( )

7 N

= −

P Q

( )

R S T

=

(

ÿ ý

)

⇒

−

ọi

Y Z

[

]



−





+







( ) (

)

ỵ _

>

Phng tr

p tuyn vi

( )

ại

( )

(

)

(

)

c d

f f

h i

g g

−

∆

=

−

+

( ) ( )

{

(

)

}

k l j

m n

o p q m o pm

s t s u





−







∆ ∩

=





−





∆ ∩

=

+













(

)

(

)

(

)

(

)

v w

v v

x x

y z { | { }

| | } | ~ }

{ }

}



+

=



+

−

+

+ =



+



+

=

⇔



⇔



>



>



⇔

=

(

)

=

( )

ýÿ

⇒

ết phương tr

ếp tuyến biết

ếp tuyến cắt

ệm

ận đứng

ệm

ận

ại

ỏ

ất

Để

i

t

ng

Â Ê Ô

p

Ơ Ê Ư

c

Đ Ơ Ư ă

n

m c

t

ô Ơ Ôơ

ng

Đ ô ư đ ơ Ơ

Ư Ê â Đ

Ư Ơ Ô Ư

c

Ơ Ư

t

Ôơ Ơ Â

c

Ơ Ư

t

p

n

t

m

n

i

à ảÃ Ô Ư á Ă

n

Ô ạă Ư Ôô â

ă ằ à Ã ê Ư ẳ Ơ

i

ẵ ắ

n

ng

t

Ơ Ê Ôô ă

ặ ầ

ẩ ẫ ấ ẫ Ê Ê Ë É Ê É Ë É Ê É Ë É Ê É Ë É Ê É Ë É Ê É Ë

∆

=

+

=

+

=

+

ẵ ắ

á Ă

n

Ôạă Ư

Ôô â ă ằ à Ã ê Ư ẳ Ơ

i

Đ ơ ô ằ à

ẵ

ằ Ã ê Ư ẳ Ơ

i

ẵ

ú ta cú Chu vi tam giỏc IAB min khi

ằ à è ằ Ã

ẵ

i

u

n

Ô áâ ẻ Đ ô

ú

ẽ

t phng tr

áƠ Ư Ô

p

n

é ẹ ề

1)

Ĩ Ơ Õ Ơ Ư × Ø

ố

−

=

+

Ð Þ

ết PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A,B

Ø ß Õ à Ơ Õ ỏ õ ó ọ

ẹ

ó ễ ồ ổ ó ỗ ố é æ ã ã

ội tiếp tam giác IAB lớn nht. vi I l

ệ ỗ

ị

ò ế ờ ố

ị

m c

ở

ị

i:

th h

Ê â Đ

ỡ ă Ư ă Ô

m cn ng l ng thng

ớ

=

ẽ Ê Ô

m cn ngang l ng

ÔƯ

ng

ợ

=

. Giao điểm hai đường tiệm cận

(

ð đð

)

−

½ Í

ả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xỳc vi th

i im cú honh

ụ

ả ừ ă Ă ô ¥

(

)

(

)

ü û û

−

=

−

+

ếp tuyến cắt tiệm cận đứng

= −

i im

ử

ỵ

ỳ

ỷ

+

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

(

)

ủ

+

ẵ

ô ă ư

( )

ử

ử ử

ỵ

ỳ ứ ú ú ø ú

ú ú

û û

−

=

− =

=

+ − −

=

+

³ ¥

=

+ =

+

° Ï

ậy diện tích tam giác IAB l

=

ọi p l

£ ¥

ửa chu vi tam giỏc IAB, th

á Â Ơ ê ạƠ ¦

đường tr

¥ ¥

ội tiếp tam giác n

£ £

=

ởi vậy, r lớn nhất khi v

Ê ă Ư

khi p nh nht, mt khác tam giác IAB vng tại I n

³ ¥

Á Á Á Â ! " Á

É Ê É Ë Ê Ë É Ê É Ë É Ê É Ë É Ê É Ë É Ê É Ë

=

+

=

+

≥

+

=

+

ấu “=” xảy ra khi

(

)

$ % & % &

' ( ' ) * *

=

⇔

+

= ⇔ = −

ắ

i

ụ

=

Ôô ă Ô

p tuyến

(

)

´ +

- .

= +

+

ới

ụ

= +

Ôô ă Ô

p tu

ến

(

)

´ +

- .

= +

−

Ð Đ Ị

ụ 2)

Ĩ Ơ Õ 0 1 2 3 á Õ 4 5 Ó 6 7

Ù Ú

−

=

−

và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của

ệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A v

Ư 8

ß 6

CMR: M là trung điểm của AB

á 6 Ĩ 9 : 7

Ị

(

)

; < = >

ò ?

∆

=

@
à 6 A B× 9

để chu vi

(

∆

)

C D E

ã Ơ

ỏ nhất.

ë Þ

ải:

¯ F

Đ

G Ì +

¯ F ư è

m

n

Ê ằ đ + H´

Ù Ú Ú

Ú Ú

Û Û

−

= +

−

I J K

i

ẻ

+

đ ă

ẵ

p

n

i

ẻ Ê đ Ô

ư è M

. N O P N Q R O P S T N O P

U U

Ã Ä V Ã Ä Á

W X Y Z

Z Z

−

⇔

=

−

+ +

−

[ N\ P

∩

N ] ^

Đ

Q ` a P ` b

I J K



+





−







N \ P

∩

N ] ^ d

T ` e P ` f N e O g a h e P

] i j k

l m n

Û Û o

+

=

p q

b hr hf \ s

ẳng

q t u t v t

r w

\ x y

t u

đ

ểm

b f

[ { \ N

∆

b f P `

b }

f `

Ù ~

−

L L

=

−

=

−

=

−

đ

{ \P

] i j k

b }

f `

^ s y

p z

∆

b f P `

b S

f S b f `

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

ấu

ằng

ảy

x i

⇔

b `

f ` e ð ð

⇔

− = ⇔

ø ø ù

= ⇒

−



 = ⇒



u

n

Ă Â Ê

m

(

)

ủ

Ô Ô

Ư Đ ă âê

c

c

p

Â ơ

n n

âĐ

ơ ® ¯°

S ± ² \

đường thẳng

∆

j k s

k j

z à

y i

m

r ạ ả Ã á

N P

ằ ằ

. ẳ

ụ ụ

=

+

+ Điều kiện để

∆

ếp tuyến của y=f(x) l

ệ sau cú nghim

ẵ

ắ ắ

ỷ ỷ ỹ À û

À û

−

+

=





=



N [ P

Để

y i

đ

ểm

r ´

ẻ được

ếp

\y T

ến đến đồ

\ s

ị

\s Á s

ệ

N [ P Â s

ải

j k

t t u

ệm

ế phương tr

N e P

p q Ã

N a P { Ä

t u

Â s

ươ

t u

Â s Å Â s

u

n

S ^ s ặ ầ

] x

t u p z

ệc xác định

ạ độ

r s

ọc

³ zt

s j

ần

s s

ạt

Đ

ểm

r \s y

ộc đường thẳng

T ` e Q S a \s Á r ¶ ÉÊ Ë ·

Ì Ì

+

Đ

ểm

r \ s y

ộc đường thẳng y=2

¶ ÉÊ ·

⇒

Ì Ỵ Ỵ

Ï Ð Đ

ụ 1) Cho đồ thị h

Ị Ĩ Ơ

ố (C):

( )

Õ Ư ×

=

−

+

Ù Ú ÛÓ Ü í ĩ

im A

ị ò

c 3 tiếp

á â

ến đến đồ thị (C).

ã ä

ải:

ấy

ất

ỳ

b N ỉ

i P

∈

N ^ P }

Đường

ẳng đ

z µ

y i b N æ

i P

ới

ệ

ố

k j ´ j k

phương tr

T ` ´ Q S i \

ếp

Q Ỉ j

i

\ s

N ^ P

N P

ỗ ố ộ ố ờ

ỗ ố ộ

=

+

=

j k

t u

m

N [ P

Đ

u

n

ầ x

ng

ở ả ỡ Ã ở ả ì · ì í ë ¶ì ·

− =

∀ ∈ ⇒

O j s

ẵn

⇒

đồ

\ s

ị

N ^ P

ận

ỵ

T w

O \x

ục đối

ứng

}

b N æ

i P

∈

ục đối xứng Oy n

v t t

ếu

ừ

b N æ

i P ´

ẻ được

Ã t

ếp

\ y T

ến đến

s Å

v t

\ x Å

ủa

N ^ P \s Á j

ũng

ẻ được

ấy

y \

ếp

\ y T

ến

{

ến

s Å

v t

Â s

ải

ủa

N ^ P } ï y T x i \

ổng

ố

j Å j \

ếp

\y T

ến

j k s

ệ

ố

k j ´

≠

æ wy ð

ố

j s

ẵn

}

ậy

{

ể

ừ

b N ỉ

i P ´

ẻ

được

ếp

\y T

ến

{

ến

N ^ P \s Á

đ

ều

ện

ần

ệ phương tr

s N [ P j k

t u

ệm

´ ` æ }

] s

ế

´ ` æ

p q Ã

ệ

N [ P ị ó

õ ư ÷

÷ ÷

÷ ø

ù ú õ

ú ù

û ü

û û ý û

û ü

û û

=



 −

+ =

+



⇒



⇒



=

−

=







§

Đ

ều

ện đủ

ếu

i ` a \ s N [ P

(

)

(

)

(

)

ỵ

a a

ổ

ủ

a ổ

a e

ủ ñ ñ

e a

ñ ñ

a e

ñ ñ ñ

è è è è è

è è é è

è è é

è é

è è

è é

é è è

è é

 −

=

−

 −

+ =

+



⇔



⇔



−

=



−

=







 =

=



=





− =



−





⇔



⇔

−

⇔



=



=

−









−



=





ậy

ừ

b N ỉ

a P ´

ẻ được

ếp

\ y T

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

ếu

=

\s Á N [ P

(

)

(

)

(

)



−

+ =

+



−

+ =

−

+



⇔



⇔





−

=



=

−





−

− =



=



=



⇔



⇔



⇔





=

−



=

−





=



ậy

ừ













j s

ỉ

ẻ được đúng

a \

ếp

\y T

ến đến

N ^ P }

ết

ận

]

ừ

j Å j

đ

ều

ện

ần

p q

đủ

⇒

Đáp

ố

b N æ

a P

Ï Ð Đ

ụ 2)

Ú ÛĨ

đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến

+

=

−

ã ä

ải:

ấy

ất

ỳ

b N i

e i S a P

∈

T ` e Q S a }

Đường

\ s

ẳng đ

z µ

y i b N i

e i S a P

ới

ệ

ố

k j ´ j k

phương

\x Á

s T ` ´ N Q R i P S e i S a \

ếp

Q Ỉ j

ới

( )

(

)

+

=

⇔

−

+

+ =

−

s i T

(

# $

) (

)

& ' ( & ( ' '



−



− = +





j k

t u

ệm

´ ² Â

(

)

(

)

$ # # * +

& ' ( & ( ' ( & (









⇔

−



+

−



+



−

+



=

j k

t u

ệm

´ ² Â

-⇔ ≠

. /

(

)

(

)

1 2 3 2 3 4

ê é ê é ê é ê









∆ =



+

−



−



−

+



=

-⇔ ≠

. /

(

)

(

)

5 5 5

6 7 8 9 : : 9 : ;

< = > = > > = >

=

−

− −

+

=

? @ A B C A D2 A E 1 F G

ẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

¶ · H

⇔

I J

=

có đúng

1 K L M N

ệm

G O P G

≠

(

)

(

)

Q Q

S T T R U V R W X R

Y R Y Z X R

[

[ [ \ [

[

[ [ \ [

[

[ ] ]

=

′

∆ = −

− −

>

=

= −

′

⇔ ∆ = −

− −

=

≠ ⇔

=

− = ⇒

+ = ⇒ = −

ậy

^ _

đ

ểm

(

)

( )

Ư a Õ

× b × c d b× c × be c f bg

h h h h

− −

ằm

i j k

K l

ường

ẳng

m n

2 o E 1

. /

ẻ được

đúng

ếp

ến đến đồ

ị

C p F q

Ï Ð Đ

ụ 3)

r s r

Ị Ĩ Ơ

ố

2 C 1 F 2

è è v è v

=

−

+

−

+

Ú ÛÓ Ó

để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm)

ã ä

ải:

ọi k l

ệ số góc của tiếp tuyến ta có phương tr

K M

ếp tuyến l

C l F y z { | }

=

− +

C l F

ếp tuyến n

K M

ệ phương tr

K M A @

^ _

K L M N

ệm

 =

− + =

−

+

−

+



⇔



=

−

+

−



2 3 C 1 F 4

−

+

−

− =

Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) th

P M

ương tr

K M

C F 2 3 C 1 F 4

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

÷ õ ù õ

û û û

=





=

−

+ ⇒

= ⇔

 =



ừ đó tính được hai điểm cực trị của h

ố l

(

)

Ă Â Ê Ô Ă Ê

Ê Ơ

Ư Đ ă







q A

ấy phương tr

K M C © F

^ _

đúng hai nghiệm phân biệt khi một

trong hai điểm cực trị nằm tr

ục ho

K M q

ừ ú t

c

=

M ô

c

ơ ư đ

=

4)

à ả Ã á ạ ả ·

ục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến n

ả

(C).

ằ ẳ ẵ

ắ ¿

= −

+

À Á

ải

Â Ã

ấy bất kỳ A(a;0)

∈

Ox. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k cú phng tr

ặ

ầ ẩ ẫ ấ ậ è É Í ỴÏ

ếp xúc với (C):y=f(x)

⇔

ệ phương tr

ÄÅ Ỉ

(

)

Ị



=

−





′

=



Ĩ Ơ

Å Õ Ỉ

ệm

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ư ×

Ø Ù Ø Ù

Ø Ù Ø Ù Ú Û ĩ í ị ĩ

ĩ ĩ Ú

Ø Ù Ú

à á à á á â

à á à á á â á â

á á â á â á ã á

′

⇒

=

−

′

⇔

−

= ⇔

−

+

+ =





⇔

+



−

+



= ⇔

+

=

ừ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến

Ê ä Í

⇔

Ê Ë Í È å Ĩ Ơ ỉ

Å ế ặ

ẽ

m

ỗ ặ ố ộ

ẽ

t

ờ ở ỡ ặ ớ

ể Ê Ì ỵ Í

(

)(

)

(

)

ð ï ð đ ị

ơ ó õ đ ó ị

ư ư

÷ ư

>



∆ =

+

− >



⇔



⇔



−

− ≠ <

− =

+ ≠



ứ

n

ự ỳ ỷ ỹ ý ỵ ự

ả ý ạ

ả

ạ

ỳ ỵ

a

đồ

¶ º

ị

ập

đến

ến đổi đồ

ẻ

ặ

ầ ẩ ấ ậ ầ ẫ

ẻ

ặ

ầ ẩ ấ ậ

ộ

ng

ể

ớ

ể

ặ

ẽ

ế

ầ

ỗ ặ

n

ẻ

ặ

ể

a

ầ ẩ ấ ậ

m

ẻ

c

ậ

y i

ậ

ng

ể

a

ỗ ặ

n

ẻ

ặ

ầ ẩ ấ ậ

m

i

ẻ

c

ậ " ẫ ẻ

c

ậ #

ẻ

ặ

ầ ẩ ấ ậ ầ ẫ

ẻ

ặ

ầ ẩ ấ ậ

ộ

ng

ể

ớ

ể

ặ

ẽ

ế

ầ

ỗ ặ

n

ẻ

ặ

ầ ẩ ấ ậ

m

ộ

ỗ ặ

i

ẻ

c

ầ $

y i

ậ

ng

ể

a

ỗ ặ

n

ẻ

ặ

ộ

ỗ ặ

i

ầ " ẫ ẻ

c

ầ ấ ọ

ặ % &

ầ ẩ ấ ậ '

ở ặ ở

ể

ặ

n

ặ

ẻ

c

ầ '

ở

ẻ

c i

ậ

ng

ẻ

ặ

ầ ẩ ấ ậ ầ ẫ

ẻ

ặ

ầ ẩ

Ỉ

Ê Ë Í #

Ê Ë Í

ới

Ỉ

Ê Ë Í #

Ê ậ ẩ ấ ậ

ộ

ng

ể

ớ

ể

ặ

ẫ ẻ

ặ

y

ấ Ê Í å

Ê Í # Ê Í

Ê Í Ê Í å

( ) *)

+ ) ,

( ) *

≥



=

= 

−

<



ừ đó

ỴÉ ầ ẫ ể

ớ

ể

ặ ờ

ẻ

ặ

ặ ở

ố

- . / - 0 . /

1 2 3 4 3

=

ặ

ẫ

y

ỗ ặ

n

ẻ

ặ

ầ ẩ ấ ậ

ỡ ặ

ẽ

. / 5

2 3

y i

ậ

ng

" ẫ ẻ

c

ậ

ỗ ặ

n

ẻ

ặ

ầ È Ê Ë Í

ì Ỉ

. / 5

2 3

<

6 7 89

đ

ều

ện để

9 ;

ố

< = > ?@

ếp

@ A

ới

< = C ?@

ẽ

u

ỡ

ẽ

n

ặ ở

ầ ẩ ấ ậ ẻẽ

p

ậ

ể

ờ

i

ẻ

ặ

ầ ẩ

ế

ấ ậ '

ở ặ

phương tr

ÄÅ Ỉ

É Ĩ Ơ

Å Õ Ỉ

ệm

Ê Í Ê Í

Ê Í

=





=



Đ

ều

ện để

Ỉ ở

ầ ẩ ấ ậ ẻẽ

p

ậ

ể

ờ

i

ẻ

c

ậ '

ở Ỉ

ệ

É Ĩ Ơ

Å Õ Ỉ

ệm

Ê Í å

=





=

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Đ

ều

ện

ươ

C C

ủa

ố

ậc

< = @ I J @ K J @ J L

M N

ải các b

ập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị h

9 ;

ố y=

@ I J

@ K J @ J L

ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm tách phương tr

ạo dạng tích:

Ê Í #P Ê Í å

−

=

trong đó G(x) là ta

ức bậc 2 theo x. Từ đó ta biện luận theo pt G(x)=0.

Q G

ột số b

: R

ể nhẩm được nghiệm. Khi đó ta cần sử dụng các

điều kiệ tương giao sau để giải toán.

J S

9 ;

ố

< =

@ I J

@ K J @ J L

ắt

ục

T @

ại đúng

ột đ

ểm

ỉ

9 ;

ố

đồng

ến

ặc

ịch

ến

ặc

9 ;

ố

ực đại

ực

ểu

C L

ấu

ức

ë WX Y

Ê Í å

Ê Í å Z [

≥ ∀



⇔ ∆

≤



≤ ∀



\ ]

ặc

^_ `

e f

g h g i

Ñ Ñ

∆

>

= ⇔ =

∨ =





⇔



>



>





J S

9 ;

ố

< =

@ I J

@ K J @ J L

ắt

ục

T @

ại

đ

ểm

ệt

ỉ

> k?@

U 6

ệm

ệ

l m

o p o p q

=

J S

9 ;

ố

< =

@ I J

@ K J @ J L

ắt

ục

T @

ại

đ

ểm

ệt

9 ;

ố

ực đại

ực

ểu

ị

ực đại

ực

ểu

ấu

. / 5

⇔

=

u v w x y

\ z

ệm

{

\ |

x }

ệt

l m

o p o p q

<

Trong trường hợp các nghiệm của phương tr

điều kiện khác th

ần phác

ọa dạng đồ thị để kết luận cho chính xác.

° ± ²

ụ 1)

ü º º ÿ µ

ố

m m m

o p o p

=

−

+

−

ü µ
³ ´µ µ

để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hồnh độ dương

À Á

ải:

u v

m m

o p

=

−

+

−

Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương th

điều kiện l

ố có 2 điểm cực trị

ằm về hai phía trục Ox , f(0)<0 v

CĐ

u v

o p

⇔ ∆ > ⇔

−

+ > ⇔ >

đúng với mọi m.

Khi đó

= +



= ⇔ 

= −



u v

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

m m m

l m

+ +



=

+

−







=



−



−

+

−

− ⇒ 







=

−

⇒

=

−

( )

(

)

(

)(

)

Ă Â

Ê Ô Ê Ô Ê

Ê Ô

Ơ Ư Ô Ê Đ ă â

ô ¬ ¬

¬ ¬ ¬

= −

− < ⇒

− >

≡

> ⇒

>

⇒

−

− <

ập bảng xét dấu (*) kết hợp điều kiện

>

± ² ³

p hp giỏ tr m tha m

ả x Ã

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

° ± ²

ụ 2)

ü º

ứng minh rng ph

ạ ả Ã ạ ằ ằ

ẳ ẵ ắ ẳ ẵ ắ ắ À

Á Â Á Â Á Â

+

+ =

ặ ầ ẩ
ặ ẫ ấ ậ

m duy nht.

i ;

Xem phng tr

ằ ằ

ẳ ẵ ắ ẳ ẵ ắ ắ

Á Â

+

+ =

là phương tr

\ \ ]

độ giao điểm

ủa

º ằ ằ

ẳ ẵ ắ ẳ ẵ ắ ¾

Í Á Â Á Â Á Â

=

+

c ho

u v ẻ Ï

Ð Ð

ĐỊ Ĩ

Ơ Ơ

Ư Ư



+



Õ × Õ Õ

=



+



−

+

−





suy ra đường thẳng qua hai

ực trị l

º »

Í Â Á Â Â

= −

+

−

Để phương tr

u v x y

\ z

ệm duy nhất th

đồ thị h

ằ ằ

ẳ ẵ ắ ẳ ½ ¾ ¿ ¾

Í Á Â Á Â Á Â

=

+

ắt trục Ox tại một điểm duy nhất.Tức l

(

Ù Ú

)(

Ù Ú

)

ĩ ĩ í

ị í

ĩ ĩ í

ị í ò à à á

Ý ã ã Ý

ä å ä æ ä ồ ọ ổ

ỗ

ố ố ỗ ộ ỗ ỗ ộ ỗ ç

− ≤



∆ ≤







∆ >

⇔



− >













>

−

+

−

+

−

>









Theo định lý viet:

ë ì í ỵ

ð đ ð ị

ó ó ơ

+

=

+





=

+



\ ³

] o õ õ p µ

u v

ư ư ö ÷

ú û ü ý û ü ý û ú ỹ ý ỵ

⇒



⇒ ∀



>









>







+ +

−

+ >





ậy với mọi m phương tr

ất.

ụ 3)

ả sử đồ thị h

ố

º »

Í Á Á Á

=

−

+

ắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

<

ứng minh

! "

<

< <

<

ải:

Phương tr

# $

độ giao điểm của h

$ %

ố với trục Ox l

$ & Î Ï

' ( )

× × × *

−

+

+ =

+ ,

-Điều kiện (*) có 3 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=d cắt đồ thị h

$ %

ố

º »

Í Á Á Á

= − +

−

ại 3 điểm phân biệt, vẽ đồ thị ta suy ra điều kiện

/ 0

− < <

Đặt

º »

½ ¿

Á Á Á Á

=

−

+

ới

/ 0

− < <

. 4

5 6 7 6 8 5 9 7 : 6 8 5 ; 7 6 8 5 : 7 : 6

< = < = < = < =

= <

= + >

= <

= + >

> ? $ %

ố f(x) li

ục tr

suy ra điều phải chứng minh.

ụ

B C Ê D Ê

ố

Ĩ Ĩ

Ư ×

=

−

+

có đồ thi (C) và điểm

( )

∈

ới

=

L M Ç N Ç

É ËN O P

ị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B,C

Ê N Ç R S D Ç Ê D T

U V U W

=

X Y

Ỉ

ằm giữa A v

ải:

N Ç Ê Z [ \ ] @

ê _

` a

ë ë

b b





−

+









</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

f . . .

ại A:

(

)

(

)

(

)

^ ^

ê _ g ê ê

ë h ë

a a

ë ë i ë

b b

j b b b ó b j b b ó b





−



−

+



=

−

⇔ =

−

+





Phương tr

# $

độ giao điểm của (C) v

$ @

ếp tuyến tại A:

(

)

(

)

(

)

E E

Ï Ï Ï Ï Ï

Ơ Ĩ Ơ Ơ Ĩ Ơ ' )

Ĩ Ĩ Ó Ó

× k

× k k × k × k × k × k

−

+ =

−

+

+ ⇔

−

+

−

=

( )

ê ê

( )

h l í

ó b

ó ó b ó b

=



⇒ 

=

+

− =



Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B,C khác A th

n @+ -

ần có 2 nghiệm ph

o p

ệt

r s

(

)

( )

v ! w

! ! !

+ ,

-w w

K K

∆ =

−

>

−

< <



⇔



⇔



≠ ±



=

− ≠





# z z z {

| }

G ~ G H G ~ G H

=

⇒

uuur

=

uuur

⇒

−

= −

# @

( )



+

= −





=

−



ừ (2) v

$ +

=

3 $

= −

ế v

$ # +

- & Ï

Ơ ' ) Ĩ

k k

− = ⇔ = ±

+ @

ỏa (*))

ểm tra:

ới

=

Ơ F Ó Ð

Ó ) Ó Ó Ô

Ó Ó Ó













−

⇒

=

























ới

= −

Ơ F Ĩ Ð

Ĩ ) Ĩ Ĩ Ơ

Ĩ Ĩ Ĩ













−

⇒

=

























ậy

= ±

$ u u @

ị cần t

ủa a.

N Ç Ê [

Phương tr

ếp tuyến của đồ thị (C) h

$ %

ố đ

# @

ại điểm A với

=

$ &

(

)

(

)

ẻ ẽ

ể ' ễ

ể ể

ệ k k ì k k

=

−

+

−

+

Phương tr

# $

độ giao điểm của tiếp tuyến n

$ 3

ới đồ thị (C):

(

)

(

)

(

)

(

)

−

+ =

−

+

−

+ ⇔

−

+

−

=

Để có 3 giao điểm A,B,C th

hương tr

+

− =

+ ,

ệm phân biệt

a a

−

< <



⇔ 

≠ ±



Khi đó hồnh độ B,C l

ệm của PT(*) n

¡ ð

ó ó b

+

= −



⇔ 

=

−



ặt khác AC=3AB (B nằm giữa A v

$ £

-z z {

| }

G H G ~

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

. 4

ệ

! d

d d d

! w ! w

s r r

r s s

r s



−

= −



=



+

= −

⇔

= −

⇔ = ±





=

−



− =



ỏa m

điều kiện

ậy giỏ tr cn t

a m l

$ &

=

Ô Ơ Ư

Đ ă

Ô â

t phng tr

êô ơ

ng thng d cắt đồ thị

( )

® ¯ °

± ² ²

−

+

i 3 im phõn bit

àả àÃ á ạ ằ

ẳ

=

ẵ ắ

=

i:

ủa (C) và (d) có hồnh độ l

ệm của phương tr

(

)

Ã Ä

ặ ầ ầ ặ ầ ẩ

ẫ ấ ẫ É É É Ê É

−

+ = − + ⇔

−

+ =

Để PT có 3 nghiệm phân biệt th

" w

−

+ =

ệm phân biệt

Í Ỵ Ỵ

Ï Ð Đ Ị Ó

Ô Ô

Õ Õ Õ

⇒ ∆ =

− > ⇔

>

< −

ọi

(

× ×

) (

Ø Ø

)

Ù Ú Û Ù Ú

~ H

− +

−

+

Để B và C đối xứng vi nhau qua ng phõn giỏc th nht

íị ò à á â á â

á â

á â â á

ã ä ồ

ó ó

ồ ọ

ổ ỗ ổ ổ

ổ ổ ố ố

ỗ ổ æ æ

=

= −

+



⇔

+

= ⇔

=



=

= − +



é ê ë ỡ ớ

ị ợ

i K, thy khụng t

òù

c m tha m

ớ

Ô Ơ Ư

ủ ă

ơ ắ ũ

ú ụ

ừ ử

ữ

=

−

+

ọi

là đường thẳng đi qua điểm

(

Ú Ùú

)

−

ới hệ s gúc

ỹ

(

)

Ă

ỵ êũ ỹ

để đường

³ ¬

ẳng

ù »

ắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm

ẵ ắ ơ

ằ

ẵ

i gc to

o th

ắ ô ơ ũ

t tam giỏc cú din tớch bng

ầ

ỵ

i:

ứ

ự

ữ

=

+

ị

− + =

Pt hoành độ giao điểm của

ỵ

(

) (

)

Å Ç È Ç

É É É É





−

+ =

+ ⇔

+



−



= ⇔ = −

ặc

(

)

−

=

ắt (C) tại 3 điểm phân biệt

>



⇔ 

≠



ắt

ại

(

" #

)

$ '

(

% ( #õ ( ( (

) (

$ ) % ( #õ ( ( (

)

−

+

(

)

(

)

+ , , ,

¿ À

. . / 0

¿ À

/ 0 /

=

+

=

+

* 1

2 2

+ + + + +

3 4 5

. . . .

∆

=

+

=

= =

+

Ô Ơ Ư

7 ă

ơ ắ ũ

8 9

% ừ

: ; < ; < ;

=

+

ũ >ắ ơ

ạ

thc

êũ ũ

th h

ắ ũ

cắt đường thẳng

? @

∆

= − +

ại 3 điểm phân biệt

@ C

D E ả E Ã

á ạ ằ

ạ

ằ F G

ằ H Ư â

n tớch

I I

ẵ

i

A J

C L

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Phng tr

ớ

ị ị

ờ

ớ

ị

giao im ca thị với

∆

C N

8 9

% õ

% %

; < ; < ; ;

+

−

+ = − +

Q R

ồ ọ ồ

P Q

ồ

ổ ỗ

S ổ ổ ố ổ ố

= ⇒ =



⇔ 

=

+

− =



Đường thẳng

∆

ắt đồ thị h

ố (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C

Phng tr

ớ

ị

ị U

ớ V

ị U

m phân biệt khác 0

õ %

< <





>



∆ >



−

+ >





<

⇔



⇔



⇔



≠

− ≠



 ≠



ọi

(

Y Y

)

[ \ ]

ỵ

(

^ ^

)

_ \ ]

, trong đó

; ;

í V

Þ U

ệm của (2);

` `

: ;

= − +

ỵ

: ;

= − +

(

)

b c d

e f g

h i j

+ −

=

∆ =

% %

k l m

' ) n

⇒

=

q q q q

q r q r q r r q

s t s t u s t v

w x y y z z y y y y





=

−

+

−

=



+

−



{

õ %

< <

−

+

é }

õ %

< <

−

+

{

⇔

=

ÝÞ

ả m

ặc

=

Ý Þ

ả m

Đ

ều

ện để

ố

ậ

ệm

ập

ấp

ố

ộng

phng tr

ớ

ị

+

+ =

phng tr

Ă Â Ê Ô Ơ Ă Ư Â

Đ ă

p

â Â ê Ă Â Ê

p

ng

ăê `

9 8

ô ô

; ; ; ơ

đó

® O ® O

¯ O ® ¯ O ® ¯ O O ® ® ¯ ¯ O ®

° ±

Q R Q R Q R ²

Q R Q R ³

ỉ µ æ ¶ · æ æ æ æ æ æ · æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ

+

+ =

−

=

+

Ơ Ă Ư Â

m

p

âÂ ê Ă Â Ê

p

ng n

ạ Ă ằ ẳ ẳ

ẵ ắ

+

=

ăê Ă Ư Â

m

phng

â Ă Â â ặ ầ ẩ ặ

u

n

â Đ

ẫ Ê Ë

ụ 1

Ì Í Ỵ Ï

( )

(

)

Ð Đ Đ

Ị Ĩ Ơ Õ Ư

_ ×

] Ø \ \

× ×

=

−

+

−

+

−

Ù Ú ÛÜ Ü

để C(m) cắt Ox tại

3 im phõn bit lp th

í ị ẻ ò

p s cộng.

à á

ải:

Điều kiện cần:

ả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt l

ª `

9 8

â â

; ; ;

÷

Khi đó:

(

)

Ð Đ Đ

Ĩ Ơ Õ Ö ã

ä å ä å å ä å å

−

+

=

Ê Ô Ơ Ă Ư ¢

ệm phân biệt

9 8

â â

; ; ;

(

)

(

)(

)

Ð Đ Đ

Y Đ Ð

Ĩ Ơ Õ Ö

ä å ä å å ä å å ä ä ä ä ä ä ä

⇔

−

+

−

+

− =

−

∀

(

)

(

)

(

)

Ð Ñ Ñ Ð Ñ

Y Ñ Ð Y Ñ Ñ Ð Ð Y Y Đ Ð

Ĩ Ơ Õ Ư

ä å ä å å ä å å ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä

⇔

−

+

−

+

− =

−

+

ổ

ầ ẩ ặ

(

)

Y Đ Ð Y Ð Đ Đ Đ

Ĩ å ä ä ä ä ä ä Ó ä ä å

=

+

=

+

=

⇔

=

Â ¢

ế

; <

=

ê 9

ỗ ố ộ ộ ộ

ờ

; < < <

= ⇒

− = ⇔

=

¢ Ä

ặc

=

Điều kin :

i

Đ ớ

ộ

â Â

O đ

ợ ù

ủ ò ò ò ò ò

=

= ⇔

=

ỗ

i

ố

i

Đ ớ ú âÂ 8 9

ỗ ố

Ơ ụ õ

; ; ; ;

=

−

+ =

(

)

(

)

r q ư

÷ u ø ù u ú ÷ ú v

y y y y y y

⇔

−

= ữ =

=

ỷ

t lun

ỏp

Đ í ó

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

phương tr

+

+ =

ả

ử phương tr

ệm

ập

ấp

ố

ộng

đó

! ! ! ! !

" #

ỵ ï î ï î ï $

î ï î ï %

& ò ' ò ( ) ò ò ò ò ò ò ) ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò

+

+ =

−

=

−

+

−

ệm

ập

ấp

ố

+ , - .

- . -

-0 1 2

3 3 3

3 3 3 3

−

=

⇒ = −

= −

⇒

=

Ỉ È 5 6

phng tr

ặ ầ ẩ ặ

u

n

ần t

É Ê Ë

ụ 1)

Í Ỵ Ï

(

)

( )

(

)

(

)

Ð Đ

Ị Ĩ 8 9 Õ : ;

å = > ä ä å ä å ä

=

−

+

−

Ú ÛÜ Ü

để (Cm) cắt Ox tại 3

điểm phân biệt lập th

í ị ẻ ? ò

p s nhõn.

ỏ

i:

iu kiện cần:

ả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

â â

÷ ÷

Khi đó:

(

)

(

)

Ð Đ

Ĩ 8 9 Õ : ã

ä ä ä ä ä

−

+

− =

ệm phân biệt

â â

(

)

(

)

(

)(

)

Ð Đ @

Đ Ð

Ĩ 8 9 Õ :

ä ä ä å ä ä ä ä ä ä ä ä

⇔

−

+

− =

−

∀

(

)

(

)

(

)

(

)

Ð Ñ Ð @ Đ

Đ Ð

Đ Đ Ð Ð

@ @

Đ Ð

Ĩ 8 9 Õ :

ä ä ä å ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä

⇔

−

+

− =

−

+

ổ

ầ ẩ ặ

A B

ò ò ò ò ò

=

→

=

ế

=

5 6

( )

ã Õ Ô ã Ô

> ä å å

= ⇒ −

= ⇔

=

Điều kiện đủ

ới

7 ớ ỵ

( )

é ẹ

(

)(

)

Đ Ð

8 Õ : ã 8 Ơ Õ ã 8 E Ô E Õ

> ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä

=

−

+

− = ⇔

−

= ⇔ ÷ ÷

=

ết luận:

Đáp

7 ớ ỵ

G H

u

J I

n

K L M N

ố

ậc

ốn

P Q R S T K I

ệm

ập

VK L S K P

ấp

ố

ộng

phương tr

+

+ =

ỗ

ố

t

ỗ ộ ố

=

phng tr

ỗ

ố

ệm

ập

ấp

ố

ộng

phương tr

Z [

[

+

+ =

ỗ

ỵ

ố \

i

ệm

]

ươ

+ ^

t

X X

ỗ

ố

X X

<

ú

m

a

ỗ

ố

_ ` ` _

a a a

b b b b

−

5 Y

ệm

ập

ấp

ố

ộng

( )

c d d d c d

X X X X X X

−

=

− −

⇔ =

]

ng nh

g 5

cho phng tr

ỗ

ỵ

ố

ặ

h i

l l m

l l

 + = −



=





=





ải đ

ều

ện

o 6

ệ phương tr

É Ê Ë

ụ 1)

Í Ỵ Ï

( )

(

)

p q

r s t s t u

å = ä å ä å

=

−

+

Ú ÛÜ Ü

để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân bit

p th

í ị ẻ ? ò

p s cng.

ải:

Xét phương tr

(

)

p q

s t s t w x t y

ä å ä å

−

+

+ =

Đặt

( )

(

)

q q

z s t s t w x s y

{

ä >

{ {

{

=

= −

−

+

+ =

, Ç

ầu b

6 }

( )

{

=

ỵ

ệm

c d

X X

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ỉ ~

c c d

−

=

−

=

−

⇔

−

=

−

( )

c d d d c d c d

X X X X X X X X

⇔

−

=

− −

⇔

=

⇔

=

>

, Ç

ầu

6 }

(

)

l l



 > −

 > −



 ′

∆ =

>

=

>





=



⇔



=

+ >

⇔



⇔



=



+ =

+ >



=

+



+













=

+

= +

c d

ỵ

ỵ ú ô

X X

 > −





=





⇔



=

⇔

 = −



−

=







É Ê Ë

ụ 2) (Bài toán tương giao hàm

ậc 4)

Ú ÛÜ Ü ẽ ò ẻ ẽ

th h

í ĩ

ố

= ä ä å

=

−

+

t

c ho

í ị ẻ

i 4 i phõn bit sao cho din tớch h

ị ẻ ẻ

ng gii hn bi (C) trc ho

í ị ẻ ò
Î

ần tr

ằng phần dưới

à á

ải:

Phương tr

độ giao điểm của đồ thị (C) v

−

+ =

ỗ

ố

t

ộ

=

. Lỳc ú cú PT:

ộ

X X

+

=

ỗ

ỵ

ố

(C) ct

i 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phõn bit

ỗ

ỵ

ố

ỵ

m phõn

ệt

( )

∆ = − >





> ⇔



= >=

⇒ <

<

= >

i

(

)

{ { { {

< <

ƠƯ Đ ă â ê ô

m ca pt(2). Lỳc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tng

n l

Ư ư đ đ đ ± ¯

² ² ²

= −

=

Do tính i xng ca th (C) n

ă à ả ư

(

)

(

)

Ã á

ạ

ạ ằ ạ ằ ạ ằ

ẳ

ạ

ạ ạ ạ

ẵ

ắ

ắ ắ

ặ ầ ặ ầ Å Ỉ Å Å Å Ỉ

−

+

=

−

+

−

⇒

−

+

= ⇒

−

+

=

∫

ừ ú cú

ƠƯ ă â ẫ ô

m ca h

( )

Ê Ë

Ê Ê

Ê Ë

Ê Ê

Ì Í Ỵ

Ỵ Ï Í Ð Đ Í Ì

Ị Ị Ĩ



−

+

=





−

+

=



−

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

ấy (3).(4)

× Ø

ĩ íị

=

ẫ ỏ õ

ĩ íị

=

ó Ư ọ ỉ

ễ

à ả ư

ổ ỗ ố

ộ

ố ố

ờ æ

ë ë ë

−

= ⇒

= ∨ =

Đối chiếu với điều kiện (i) có

Ý ì

=

ầẩ ẹ ềĩ àỉ

ị cần t

đự ị

7) Điề

ó ơ õ

ện tương giao của th h

ử ữ ứ

ự

ò ỳ

ỷ ỹ

ò ý

+

=

+

ỵ

v ng thng

=

+

Phng tr

ẫ ẫ ẫ

giao im

ự

ò ỳ

ị

ỹ

ò ý

+

=

+

+

ị «

ến đổi về dạng

x y w

=

+

+ =

ố

giao điểm t

â à É

ộc số nghiệm khác

−

ộ

ủa phương tr

đẽ É

=

∆ <

ặc

∆ =





 

−



=





 





đường thẳng khơng cắt đồ thị (H)

∆ =





 

−



≠





 





É ä

ặc

∆ >





 

−



=





 





đường thẳng cắt đồ thị (H) tại một điểm

∆ >





 

−



≠





 





đường thẳng cắt đồ thị (H) tại 2 điểm phân biệt A, B khi đó ta có

+

i x

" # $ % ƠƯ ẫ ỏ ô ă â ẫ ô

m ca g(x)=0

& ' (

1)

) * + * , - .

ố

ÜÝ

+

=

−

có đồ thị (H). T

/ - -

để đường thẳng

0 1

2 3

= − + +

ại

hai điểm phân biệt A,B sao cho

7 8 9 :

n.

; <

i:

ôỏ ọ à

a (H) v d cú honh l

Ư ă â ẫ ô

m ca PT

(

)

ĩ >

í í ? ỡ

ị

+

= + + ⇔

−

+

+ =

−

Để pt tr

´ ă à ả Đ ă â ẫ ô

m phõn bit th

ð @ A

∆ >

≠

(

)

C D E F G

H H H H I F

J J



−

+

>



⇔



⇒

=

−

+

+ ≠



ọi

(

K K

) (

L L

)

M N O M N

P Q P

− + +

l hai giao im ca (H) v

7 8 9

ă ẫ

n th

(

) (

)

(

)(

) (

)

S S S

S T T S

T S T S

Ï Ð Ð

Ï Ð Ð Í Ỵ

U V W U U V

Ị Ị Ị Ĩ Ò Ó

Ò Ò Ó Ò Ò Ó Ó

<

+

⇔

−

< − + +

+ − + +

⇔ −

+

−

+

< ⇔

> −

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

& ' (

ụ 2)

) * + * , - .

ị

ỷ

ị

=

+

[ \ ] ^

) *

ng minh với mọi

≠

đồ thị h

, - .

ố (1) cắt

( )

_ ` `

a b

=

−

ại 2 điểm phân biệt A,B thuộc 1 đường (Hipebol) cố định. Đường thẳng

[ ( ] c

ắt các trục

3 f

ần lượt tại các điểm M,N. T

/ - -

để

g h i g j k

l l

=

; <

ải:

Phương tr

mn o o p q n o

độ của giao điểm của đồ thị h

q r s

ố (1) v ng thng (d):

t t

ỗ u

ỗ ỗ ỗ ỗ ố v

w ë

w ë ë w ë w ë w

ë w ë

−

=

−

⇔

−

− =



≠ −







+





x y z

{

≠

n | n

x y z

( )

ỗ ỗ u ố v

}

w w ë w w





⇔

=

−

− =



≠ −







x ~ z

Để tồn tại 2 điểm A,B th

x ~ z

ải có 2 nghiệm phân biệt:

∆ =

+ >



≠ −

⇔

 



⇔ ∀ ≠

−

=

+ ≠













ặt khác có

ß ß

=

n | n n o

ộc một đường (Hipebol) cố định

ẻ

(

)

−

⊥

⇒

=

¡ ¢

ại có

y y £ y y

h h i i

! Ô Ô

=

o Ư p Đ ăƯ â ê ô ơ ư

± ±

+

=







=



(

) (

)

(

)

(

)

à à ả Ã à á Ã

ạ ạ ạ ạ ạ

ằ ẳ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ » ¼ ¿

=

−

+

−

=

−

=

+

=

+

Đ m

q ăâ p

im của d với

e 3

n | n

(

) (

)

M O M

o Ư p ă

thit

ặ

ầ ẩ ầ ẩ ẩ ẫ ấ ầ

ậ è ẻ ẻ

ẽ Ï Ð Đ

Ị Ĩ

−

=

⇔

=

⇔

+

=

Ỉ Ỉ Ỉ Ỉ

È É Ê Ç Ç Ơ

−

⇔

+

=

⇔

+ =

=

y vi

ế

ệ

=

q ê ỉ ê ăỉ

cn t

mr ¡

& ' (

ụ 3)

Ú /- 5 Û Ü

: [ Ý ] ị

ế

ệ

+

=

cỏc im A,B sao cho dài đoạn thẳng AB bằng 4 v

đường thẳng AB vuông gúc vi ng thng

ắ ẵ

=

; <

i:

{

p ỏ ỏ

õ ó ọ ồ ổ ỗ ốõ ó ồ ổ ộ

= ⇒

= − +

Phương tr

mn o o p q n o

độ giao điểm của (H) và đường thẳ

n Á ¬

( )

(

)

(

)

Õ ờ

ệ ế ở ệ

ệ

ò ì ỡ ò ò ì ò × ß

− +

= − +

⇔

=

−

+

+ =

≠

−

x í z

Để tồn tại 2 điểm A,B th

x í z

ần có 2 nghiệm phân bit

h i

ợ ợ ù

q o ỉ ê

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

ị

Y ơ y í ó

í ơ ó £

y ó

ơ Y y y í ó

õ ư ÷ ÷

÷ ÷



∆

>



+

−

+ >



⇔



⇔



⇔

−

+ >

+

+

o Ư p Đ ăƯ â ê ô ơ

ự

ỳ ỷ

ỹ ý

ỵ þ ÿ

þ þ ÿ

+

= +





=

+



¡ ¢

ại có

h h i i

ợ ợ

ữ

=

+

q ơ

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

S S S

S S

= ⇔

=

⇔

−

+

−

=

⇔

−

=

⇔

+

−

= ⇔

+

−

+ = ⇔

−

− = ⇔

= − ∨

=

ới

=

! " # $

ự ỳ ỳ

ỵ ỵ ỵ %

−

+ = ⇔ = ±

⇒ = ±

& ' ( )

ọa độ 2 điểm

* +,

(

) (

)

. / 0 / + . / 0 /

1 2

+

−

ặc

(

) (

)

. / 0 / + . / 0 /

2 1

+

−

ới

= −

ú û

û ỳ ỳ ỳ

ỵ ỵ ỵ %

= = ±

⇒ = − ±

& ' ( )

ọa độ 2

điểm A,B l

(

) (

)

/ 0 / / +

/ 0 / /

1 2

+

− −

−

− +

ặc

(

) (

)

/ 0 / / +

/ 0 / /

2 1

+

− −

−

− +

ậy A,B là các điểm như trên thỏa m

) 5 6

ầu b

7 8 )

9 : ;

ụ 4)

< = > = ? @ A

ố

+

=

+

có đồ thị l

? B C D E F G@ @

để đường thẳng

; H å I æ J é

=

+

ắt

B C D L

ại hai điểm phân biệt sao cho

M N

O P O Q

= −

uuur uuur

ới O l

? S

ốc tọa độ

T U

ải:

V W

(

)

ờ

ệ

ờ

ệ

ờ

ế Y

ờ

ở

ệ

ò ì ò ì ò ×

+

=

+

⇒

+

− =

+

) Z 7

ệm phân biệt khác (

[

7 ]

^ _ ` _ _ `

a a

∆ =

−

+

>

điều n

ảy ra với mọi m.

ọ

) Z 7

ệm của pt (1) l

ị

ỵ î

(

) (

)

f f g g

hi j k h i j

l m m Ä n m m Ä

+

(

)(

)

p X p X

Õ Ö Õ q r

s t s

ệ

ờ

ệ

ờ

t t

ệ ế ệ

u v u w

ò ß ß × ß ×

−

= − ⇒

+

= − ⇒

=

uuur uuur

9 : ;

ụ 5)

< = > = ? @ A

ố

Ư Õ

−

=

+

có đồ thị (C). T

G@ @

để đường thẳng d:

x y

= +

ắt (C)

ại hai điểm phân

ệt A,B, sao cho

{ {

P Q

=

T U

ải:

Phương tr

e) )

độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

( )

(

)

ệ ế

ế ế ở

ế

ò ì | ò ò × ß ×

−

= +

⇔

=

+

−

+ + =

+

(

)

}

≠ −

Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B th

) Z 7

ệm phân biệt

ỵ ỵ

≠ −

(

)

(

)

( )

∆ =

−

+ >



⇔ 

− = − + + + ≠



(

)

û ỷ

ỷ

ỹ ý

ỹ ỹ ý ý

ỹ ý

ỵ ỵ

% ỵ % ỵ

ỵ þ ÿ ÿ

+

= −





∈ ⇒

=

+

=

+ ⇒

= −

−

+ = ⇒



= +



=

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

9 : ;

ụ 6)

ọi D là đường thẳng đi qua A(1;0) v

? K =

ệ số góc k. T

để D cắt đồ thị

+

=

−

ại hai điểm phân biệt M,N thuộc hai nhánh khác nhau

ủa đồ thị v

T U

ải:

Do D là đường thẳng đi qua A(1;0) v

ệ số góc k n

5 )

(

)

}

=

−

Phương tr

e) )

độ giao điểm của D và đồ thị h

¡ ¢

ố đ

(

)

(

)

(

)

+

=

− ⇔

−

+

− =

≠

−

Đặt

3 3

y y

= − ⇒ = +

& ' (

đó pt (1) thành:

(

) (

)(

)

Đ ă Đ ă Đ Đ ă ă

+

+ + =

− − =

Để D cắt đồ thị h

¡ ¢

ố đ

ại hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị th

ải có 2 nghiệm

â â

a

â â ê ô

< <

⇔

) Z 7

ệm

ị

« «

ỏa

ơ . ơ ơ

ô ô ư ư

< <

⇔ −

< ⇔ >

điểm A luôn nằm trong đoạn MN v

f g

i i i j

® ¯ ® ° ® ¯ ® °

=

⇒

uuuur

= −

uuur

⇒

+

=

( )

± ²

/ ´

+

 + =





−



=



(3) v

X p

Ô Ô

+

⇒

=

± ²

(

)(

)

]

{ ¶

{ _ {

{

· ·

+

−

=

−

⇔

− = ⇔ =

Đối chiu K (*) cú

=

Z 78 ạ

cần t

e¡ &

ần

ốn

< » K z ?

L > ằ ẳ

= >

ng

K ằ K =

ẵ ắ

t

ặ

ng

ầ ẩ ắ

p

ẫ ấ ậ ẵ è

n

ậ ẩ

c

ẻ ¾Ë Í Ä

ần

ắm

Ä Í

ắc

Ä Å Ä Ï

ấn đề

Ỵ ¿ Á Ð

ảng

8 Z 7

ữa

đ

ểm

Đ Đ Ị Ị

(

) (

)

ệ ệ

ì ỉ × Ø

Ù Ú Û Û Ü Ü

=

−

+

−

Ý ị ò ỏ

ng

õ ó õ

ọ

ồ

m

ổ ổ

ỗ ố ị

ể

â ễ

n ng thng

ộ ờ ở ỡ ớ ỵ ì ï ð đ ịó ơ ơ

õ ư ư

÷ ứ

ự

ỳ ỷ ỹ

ỵ

ỳ

+

=

+

ó õ

ọ

ng

p c

ồ

t

u

l đường thẳng x=a th

∆

=

−

ếu

∆

là đường thẳng y=b th

∆

=

−

ổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ Ox, Oy l

+

Ý Þ ß à á

ảng

â ã â

à å

ữa đường thẳng v

đường

Cho đường thẳng

∆

đường

á ỗ ị

y

ồ

m

t

ng

ỏ ỗ ị

ồ

m

c đường thẳng

∆

ß à å

đó

! "

∆

=

ừ đó

# â $ â ã â

à á

ảng

â ã â

ừ đường

ẳng

∆

é ê ë ì & ỵ ì ï ð đ

đến đường

á ỗ ị '

(

ỗ ) ị

* #

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

ã â

ấy đ

ểm

(

)

t

c

ỗ ị

ổ ổ

ỗ ố ỗ Þ Þ

⇒

# â $ ơ ơ

õ ư ử

ữ 0

ự

ỳ ỷ ỹ

ỵ

ỳ

+

=

+

Sau ú t

1 1

ồ

2 á 3 4

ã â

à 5

ết phương tr

à 7 å

ếp tuyến t của đường cong ( C) v

7å

ếp tuyến đó song song với

∆

đó

7 å

ếp đ

ểm

(

)

ủa

7 å

ếp tuyến và đường cong.

ß à å

đó

à á

ảng

â ã â

à å

ữa đường

7à

ẳng

∆

ng

ỏ ỗ ị

ng

ảng

â ã â

à å

ữa

đườn

7à

ẳng

ũú

ụ ụ

ừ ử ử

ữ 0

ự

ỳ ỷ ỹ

ỵ

ỳ

+

=

+

9 : ;

ụ

< =

Cho đồ thị

( )

+

=

−

và điểm A(

@ A B C = D

Xác định đường thẳng (D) cắt (C) tại 2

điểm B, C sao cho

∆

ABC đều.

E F

ải:

G H

+

=

−

⇒

K L M N

K L O P

=





=



⇒

Q R S

TU V V

ủa

V 7

ạo

ởi

5 7T

ệm

ận

- X

Z [

= − +

(

)

] ^

` a

−

′ =

< ⇒

−

R b

1 *

ố

ịch

ến

⇒

đồ

ị

W c

X V

ạng

ư

ẽ

d e f

W g

5 hi X j k l m

Z [

∈

= − +

7 o

ục đối

ứng

ủa

W c

X p

đường

ẳng

X V

ần

Q R

ải

ới

- X

d X V

phương tr

r s 7

phương tr

( )

(

) (

)

u v w

v x

y z { y y z y z

+

= +

⇔

=

+

−

+ =

−

(

)

(

) (

)

| |

} ~

∆ =

−

+

+ =

−

+

>

d X

q V

ắt

W c

X 7

ại

c Q R S

ệt

đối

ứng

⇒ ∆

ại

ả

ử

( )

∩

] ]



−

+





−



= ⇒





⇒

=













ọi

(

)

(

)

(

)

(

)

5 5



=

+



⇒

=

−

=



+

−





=

+









(

)

(

)

(

)





=

−

+

=

+

Ă Â Ê Ô

Ơ Ư Đ

u

(

)

(

)

t t t

ă w

u v

w â

ê « ¬

z z z

⇔

=

⇔

−

+

=

( )



= +

=



⇔

+

− = ⇔

 = −

⇒

=

9 : ;

2

= ả Ã á

( )

w ạ

ằ ẳ

=

D ẵ ắ

(H) tng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của

Á Â

= ÃÄ Å ·

ỏ nhất.

E F

ải:

¡ ¢ £ Ô Ă

ặ ầ ẩ

Đ ẫ

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

u u

ẳ

y y

=

= +

y

ẻ

ẽé ẹ

ề ể ễ

ể

+

−







ổng

Õ Ư ×

ảng

£ Ø £

Ư Ù

ừ

n

Ê ỉ Ê

ng

m

n

ĩí

ẻ

ẹ

ẹ ẹ

ẹ

ị ị ị

ò ỏ

ể

=

+

− =

− +

≥

−

Ư ã × ä

ất đẳng

ÙƯ

c

Â ồ Ê

ệ

ấ ổ

ỗ ố ỗ ộờ ở

ỗ

ỡ ớợ

ờ ờ ï

é ð ë

đ ị

=



⇒

= ⇔

− =

=

9 : ;

3)

ẵ ắ ụ ừ ử

i nhỏnh ca th

( )

ă ữ

ô ¼

−

=

−

các điểm cách M

øùÀ ú

để độ d

û ỹ

ỵ ỵ

nht.

E F

i:

(

)

ậ

ậ Ë

Ì Ë

Ë Ë Ë

ÿ µ

=

− +



−

=

= +

⇒ 

=

−



ọi

(

)

(

)

® ® ®

¯ ¯ ¯







Ú ÙƯ

ộc

Ư Ù

ủa

ỉ

Ú Ù Ư

ộc

Ư Ư

ải

ủa

ỉ ỉ

Đặt

α

β

α β

β



= −





= −



= + ⇒







>



= −





(

) (

)

| | |

⇒

=

−

+

−

(

)

(

)

(

)

( )

¯ ¯

Ë Ë

α

β

α

β

α

αβ

+





+



+



=

+





(

)

(

)

(

)

(

)

α

β

αβ

α

β

α

β













=

+



+



≥



+



=



+



+





















Ú Ý

" "

# # $ % $ #

αβ









+

≥





=













® ¯

È ( Ë

α

β

α

β

αβ

=

>





⇒

=

⇔



⇔ =

=



⇒

Ù×

ạ độ

(

) (

)

® ¯

Ë Ë

−

+

) * +

ụ 4)

, -.

điểm M trên đồ thị h

/ . 0

ố

1 2 3 4

6 7

+

=

+

0 8 9 : ; 9 < ; 9

ảng cách từ M đến

đường thẳng (

∆

= > ? @ A

B C

−

+ =

D/ E ;

nht

F G

i

Ă Â Ê Ô

(

)

ỗ

J K

=

+

M N O

đường

ẳng

Q RS

O T

ếp

OU V

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

ừ đó

[

ết được 2 phương tr

P OT

ếp

O U V

ến

RS d

f g g

= +

[ S i

f g g

= +

Y k

T O T

ếp đ

ểm

ươ

^ _

ứng

RS l m

Ð n

Ỵ

Ï Đ Ï Ð Ï Đ

Ị









−

















ễ

Q S ^ _

được

(

)

(

)

q q

r s r s

∆ <

∆

⇒

đ

ểm

ần

w x y z { |

_ ] S

W } W

ập

ận

ư

O ~

k W

ể

ải

T O

] } ^

O P

] W } W

P P

} W _

ả

ử

1 2

3 4

+

đó

P P

]

ảng

W } W

P O

ừ

đến

∆

cv v

O P

]

ương pháp hàm

ố

[

ới

ến

]

S v \

ố

=

−

và điểm A(

) * +

ụ 5)

, -. .

để đường thẳng

C B

=

− −

ắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho

+

đạt giá trị nhỏ nhất.

F G

ải:

Xét phương tr

P O

ương giao:

B B

−

+ + =

Để cắt tại hai điểm th

ương tr

ải có

^ _

P T

ệm phân biệt khác 1.

(

)

−

+ + ≠



⇔

<



∆ =

−

+ = − >



Để ý thấy trung điểm MN l

S [ S X Z W

ố định.

ử dụng chèn điểm ta có:

+

=

+

X Q ]

¡ ¢

+

=

uuur

uur

r

k W £ W

ố định, IM=IN

ấy biểu thức đó min khi v

S W

khi MN min

b p

| Ô

(

) (

)

(

)

(

)

i i

d i d i d i

5 5 Đ 5 5 5 5 Đ Đ



=

−

+

=



+

−



+ = −

Do m<0 nờn t

ă A

=

>

g ê

¦ «

=

+ ≥

ậy m=

) * +

ụ 6)

, -. .

ng thng y=mx

ơ . ư đ :

ắt (C)

=

−

ại 2 điểm ph

° E ±

ệt A,B sao

cho độ d

G ² ³

E ;

ỏ nhất.

F G

ải:

Đường thng y=mx

t

i

m

P à

t khi phng tr

Đ 5 Đ

=

+

^ _

P T

m

P à

t

} W

ả

X Z

Ã á ạ á

ạ ¸ ¹

=

−

+ − =

^ _

P T

ệm

P à

t

} W

ằ ẳ ẵ

ắ

>

>

k W

t t

ả ả

Z X

á ạ ¸ ¹ Ã ¸ ¹ ¸ ¹

− +

(

)

Ä Ä Ä

Ä Å Ä Å Ä Å

Ỉ Ç È Ç È Ç É È

Ê Ë Ì Ì Í Ì Ì Ê Ë Ì Ì Í

⇒

r

=

−

⇒

=

−

+

(

)

(

Ỵ

)

Ỵ Ỵ

Ï Ỵ Ï Ỵ

Ð Đ Ị Ĩ

Ơ Õ Ư Ư Ư Ư ×

⇔

=

+

−

+

c Ø Ù RS

^ _

P T

ệm

ủa

_ X Z Ú

k W

d i d i

Û Ü Ý

Þ Þ Þ Þ

−

+

=

i ỏ ò õ

ò ó ọ ồổ ỗ ò

ố é

è é

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Khao sat ham so LTDH 2012

<b>PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG B</b>

<b>ẬP </b>

<b>ẢO SÁT H</b>

<b>Ố TRONG KỲ THI TSĐH</b>

<b>ần</b>

<b>ột</b>

<b>đến đ</b>

<b>ểm</b>

<b>ực đại</b>

<b>ực</b>

<b>ểu</b>

<b>ực đại</b>

<b>ực</b>

<b>ểu</b>

<b>ố</b>

<b>ậc</b>

=

+

+

+

* ) Điều kiện để h

ố có cực đại cực tiểu l

-ệm phân biệt

* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu l

khi đó

-ệm của phương tr

* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương

đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Cơ sở của phương pháp này là

ếu

ố

ậc

đạt

ực đại

ực

-ểu

ại

=

=

=

+

ừ đó

ại

=

=

⇒ =

đường thẳng đ

đ

-ểm

ực đại

ực

-ểu

-ệu

ệ

ố

ủa đường thẳng đ

đ

-ểm

ực đại cực tiểu

ỏi

ường

ặ

đến đ

-ểm

ực đại

ực

-ểu

ố

ậc

<i><b>điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của h</b></i>

<i><b>ố </b></i>

<i><b>ới </b></i>

<i><b>đường thẳng y=ax+b</b></i>

Đ

-ều

-ện

-ệt

-ết phương tr

đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu