Day so co gioi han vo cuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (607.72 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH TUYÊN QUANG

GV: Nguyễn Thị Phương Anh

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Xét dãy số (v

n

) với v

n

= 2n – 3. Tìm lim v

n

Xét dãy số (v

n

) với v

n

= 2n – 3. Tìm lim v

n

KIỂM TRA BÀI CŨ

Tìm giới hạn của các dãy sau:

1) Dãy số (u

n

) với u

n

=

2) Dãy số (u

n

) với

1) Dãy số (u

n

) với u

n

=

2) Dãy số (u

n

) với

n - 3n + 5

2n



1 u

2n 3





Đáp số: 1)

n

3n 5 1

lim

2n

1

2 







2)2)

1 lim

0

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Giáo viên: Nguyễn Thị Phương Anh
Ngày dạy: 23/11/2010

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dãy số có giới hạn +∞

1

Dãy số có giới hạn - ∞

2

Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VD1:

Cho dãy số (un): un= 2n - 3

VD1:

Cho dãy số (un): un= 2n - 3
Cho M= 2010. Tìm n để un > M

Cho M= 2010. Tìm n để un > M
M là số dương bất kì. Ta có
thể tìm được n để un > M

hay khơng?

M là số dương bất kì. Ta có
thể tìm được n để un > M

hay khơng?

Ta nói dãy số (un) có giới 
hạn +∞

Định nghĩa: Dãy số (un) có
giới hạn là +∞ nếu với mỗi số
dương tùy ý cho trước, mọi số
hạng của dãy số, kể từ một số
hạng nào đó trở đi, đều lớn
hơn số dương đó.

1. Dãy số có giới hạn +∞

Ta viết: lim un= +∞ 
 hoặc un→ +∞

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1. Dãy số có giới hạn +∞

Lấy M là số dương tùy ý

2. Dãy số có giới hạn – ∞

Nhận xét:
Nhận xét:

Hướng dẫn:

Nếu chọn n > M2 ta có u

n > M

Nếu chọn n > M2 ta có u

n > M

Vậy

Vậy
*) Định nghĩa

*) Định nghĩa

Ta viết: lim un= +∞ hoặc un→ +∞

(sgk)

Ta viết lim un= – ∞ hoặc un→ – ∞

VD2: Áp dụng định nghĩa để chứng
minh lim

VD2: Áp dụng định nghĩa để chứng
minh lim n 

Xét dãy số (un) với un =
Xét dãy số (un) với un = n

Xét un > M  > M  n > M2

Xét un > M  > M n  n > M2

 

 3 

lim
lim
lim

n
n
n

lim n 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1. Dãy số có giới hạn +∞

Nếu lim |un|= +∞ thì lim

Nếu lim |un|= +∞ thì lim

un

u1n1 =0=0

*) Các dãy số có giới hạn +∞ và –∞
được gọi chung là các dãy số có giới 
hạn vơ cực hay dần đến vơ cực

*) Các dãy số có giới hạn +∞ và –∞
được gọi chung là các dãy số có giới 
hạn vô cực hay dần đến vô cực

Nếu lim|un|= +∞ thì lim

|un|
|un1|

1

=?
=?

VD4: Chọn đáp án đúng:
VD4: Chọn đáp án đúng:

Dãy số (un) với un= (-1)n có giới

hạn là:

Dãy số (un) với un= (-1)n có giới
hạn là:

a) 0

c) + ∞

b) – ∞

d) Khơng có giới hạn

d) Khơng có giới hạn
*) lim un= + ∞  lim(– un) = – ∞

*) lim un= + ∞  lim(– un) = – ∞

Vì lim (2n-3) = + ∞

nên lim(-2n+3) = – ∞

Vì lim (2n-3) = + ∞ 
nên lim(-2n+3) = – ∞

VD3: lim (-2n + 3)= ?

2. Dãy số có giới hạn – ∞

*) Định nghĩa (sgk)

Ta viết lim un= – ∞ hoặc un→ – ∞

Định nghĩa: Dãy số (un) có giới hạn
là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho
trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều lớn
hơn số dương đó.

Ta viết: lim un= +∞ hoặc un→ +∞

Hướng dẫn

*) Định lí

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực



lim

u

n



, lim( )

v

n



a, Quy tắc 1: Nếu Thì ta có

lim un lim vn lim(u vn n)








 

Ví dụ 5: Cho hai dãy số: un = 2n,vn = n, ta có



lim

u

n



lim(2n)=+





lim(

u v

n n

)



lim(2n.n) = lim(2n ) = +





lim

v

n



lim

n

 

+

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

Nếu lim un= ± ∞ và
limvn= ± ∞ thì lim(unvn) được cho
bởi:

lim un lim vn lim(unvn)

+∞ +∞ +∞

+∞ – ∞ – ∞
– ∞ +∞ – ∞
– ∞ – ∞ +∞

Nhận xét:
Nhận xét:

a) Quy tắc 1:

lim nk = với k*

+∞
+∞

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

Ví dụ 6: Cho hai dãy số: un = 2n, , ta có

 lim lim(1 3 ) 1
2

n

v

n

 1 3
2

n

v

n

 lim   

lim

+
)

n

u n

lim( ) lim[2 (1 3 )] lim(2  3) =+

n n

u v n n

n

DÃy số có giới hạn vô cực

* Vớ d 7: Cho các dãy số vn 1

n

, ta có

 3 

+ lim lim(2- ) 2
n

n

u

 

+ lim lim(2n-3)=+

n

v

 1 

+ limvn lim =0, vn 0

n

3

, 2un

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b, Quy tắc 2: Nếu limun , lim vn  L 0 Thì ta có
Dấu của L

limun lim(u vn n)

 



 







3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

D·y sè cã giíi hạn vô cực

c, Quy tc 3:lim 0, lim 0

n n

u L v hoặc vn  0

hạng nào đó trở đi

kể từ một số
và vn  0

Dấu của L Dấu của

n

v lim n
n

u
v



 

 









</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

a, Quy tắc 2:

b,Quy tắc 3:

lim n
n
u
v






 
 
 
 
 
 







limun



 

 

lim(u vn n)




 

 

Ví dụ 8:
Tính

limun  L 0, limvn 0

limun , lim( )vn  L 0 3 2

) lim( 4 12 1)

a I   n  n 

Dấu của L

Dấu của L Dấu của v

n

Dấu của vn

2 2

3
3

2 4 1

) lim
1
2
) lim
3 2
n n
b I
n
n n
c I
n
  






? Nêu phương pháp chung tính các
giới hạn dạng:

1 *

1 lim( 1 ... 1 0),
k k

k k

I  a n a  n   a n a kN

1 1 0

2 1

1 1 0

...

lim . ,

...

k k
k k

m m
m m

a n a n a n a

I m k N

b n b n b n b





   
 
   

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

1 *
1 lim( 1 ... 1 0),

k k
k k

I  a n a  n   a n a kN



  1   1  0

lim[n ak( k ak ... ak ak )]

n n n

Nếu

1
)ak 0 I

   

1
)ak 0 I

    

* Chú ý 2: Phương pháp tìm:

1 1 0

2 1

1 1 0

...

lim . ,

...

k k
k k

m m
m m

a n a n a n a

I m k N

b n b n b n b





   
 

   

* Chú ý 1: Phương pháp tìm:

Nếu

)k m I 0

   

) k

m

a
k m I

b
   

 


  


  


k
2
m
k
2
m
a

voi 0

b
)

voi 0

I
k m

I

Chia tử và mẫu của phân thøc cho l thõa cao nhÊt cđa n

Chia tư và mẫu của phân thức cho luỹ thừa cao nhất cña n

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Nếu

*Chú ý 1: Phương pháp tìm:

Nếu )   

k
m

a

k m I

b




lim( k k  k 1 k 1  ... 1  0),  *

I a n a n a n a k N



lim[n ak( k  ak 1 ... ak11  a0k )]

n n n

)ak  0  I 

)ak  0  I  

*Chú ý 2: Phương pháp tìm:





   
 
   
1
*

1 1 0

...

lim . ,

...

k k

m m

a n a n a n a

I m k N

b n b n b n b


 


  

  


k
m

k
m
a

víi 0

b
)

víi 0

I
k m

I



) k  m  I  0

2) d·y sè cã giíi h¹n

 

1) d·y sè cã giíi h¹n



Định lý:

Nếu lim|un| = +
thì lim = 0

Định lý:

Nếu lim|un| = +

thì lim = 0

n
1
u

Bài học cần nắm đ ợc

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

5 5  

) ; ) ; ) ; )

2 3

A B C D

– 3

2
2
– ∞
– ∞

+ ∞
+ ∞
A)

A) B)B) C)C) D)D) 105 105

1. Kết quả của

1. Kết quả của ––3n3n2 + 105n + 42 + 105n + 4

2n + 1
 2n + 1

lim

lim là:là:

– ∞

+ ∞

A) B)B) C)C) 11 D)D) –– 1 1

2. Kết quả của

2. Kết quả của ––3n3n3 + 3n - 23 + 3n - 2

2 – 3n
2 – 3n

lim

là:

Bµi tËp cđng cố

2
3

3. Kết quả của lim là :

3 2 2

n n

3 5

5 1

4. KÕt qu¶ cđa lim lµ :

3 2 2

n n
n n
 
  
- ∞
- ∞
A)

A) B)B) 1 C)C) 00 D)D) + + ∞∞

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bµi tËp cđng cè













 







3

1 5. T ì m giới hạn của dÃy ( ) với

2

1 6. T ì m giới hạn của d·y ( ) víi

1

2 7. T × m giíi h¹n cđa d·y ( ) víi

1 8. CMR nÕu > 1 th × lim

n

n n n

n n

n

u

n

u

n

n n

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Làm các bài tập từ 11 đến 20

Sách giáo khoa, trang 142 - 143

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

</div>

Day so co gioi han vo cuc

Xét dãy số (v

) với v

= 2n – 3. Tìm lim v

Xét dãy số (v

) với v

= 2n – 3. Tìm lim v

<b>KIỂM TRA BÀI CŨ</b>

<b>Tìm giới hạn của các dãy sau:</b>

<b>Tìm giới hạn của các dãy sau:</b>

1) Dãy số (u

) với u

=

2) Dãy số (u

) với

1) Dãy số (u

) với u

=

2) Dãy số (u

) với

n - 3n + 5

2n



1

1

u

2n 3





n

3n 5 1

lim

2n

1

2









1

lim

0



lim

<i>u</i>



, lim( )

<i>v</i>



<sub></sub>





 

 

 

 



lim

<i>u</i>



lim(2n)=+





lim(

<i>u v</i>

)



lim(2n.n) = lim(2n ) = +





lim

<i>v</i>



lim

<i>n</i>

 

+





