BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TỐN
PHỔ THƠNG TRUNG HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TỐN
PHỔ THƠNG TRUNG HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

ĐÀ NẴNG, 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn hoàn toàn là trung thực và chưa
từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thủy Tiên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn............................................................... 2
7. Cấu trúc luận văn................................................................................... 2
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC........................................... 3
1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC.......................... 3
1.2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC..................................................................... 5
1.2.1. Xây dựng trường số phức........................................................... 5
1.3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC SỐ PHỨC ............................. 6
1.3.1. Phép cộng ................................................................................... 6
1.3.2. Phép trừ ...................................................................................... 6
1.3.3. Phép nhân ................................................................................... 6
1.3.4. Phép chia .................................................................................... 6
1.3.5. Lũy thừa bậc n của số phức ........................................................ 7
1.3.6. Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai .............. 7
1.3.7. Căn bậc n.................................................................................... 8

1.3.8. Định lí......................................................................................... 8
1.3.9. Mơ tả một số kết quả hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức....8
1.4. CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC……………………………...14
1.4.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp số thực ..................................... 14
1.4.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số .............................................. 15
1.4.3. Biểu diễn hình học của số phức .................................................... 15


1.4.4. Biểu diễn số phức dưới dạng ma trận ........................................... 16
1.4.5. Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác và dạng mũ................... 17
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG
TRUNG HỌC ................................................................................................ 24
2.1. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC ................................................. 24
2.1.1. Các bài tốn về chứng minh tính chất hình học và tính tốn........ 25
2.1.2. Các bài tốn về tính chất thẳng hàng, đồng quy. .......................... 33
2.1.3. Các bài tốn về quan hệ song song, vng góc ........................... 36
2.1.4. Các bài tốn về đại lượng hình học.............................................. 40
2.1.5. Các bài toán về xác định tập hợp điểm. ....................................... 42
2.2. ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC ........................................... 49
2.2.1. Các bài tốn về tính tốn.............................................................. 49
2.2.2. Các bài tốn về chứng minh đẳng thức, công thức lượng giác..... 51
2.2.3. Các bài tốn về phương trình lượng giác ...................................... 55
2.3. ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ TOÁN TỔ HỢP..................... 59
2.3.1. Các bài toán về chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức ................. 59
2.3.2. Các bài tốn về chứng minh cơng thức đại số, tổ hợp…………………62

2.3.3. Các bài tốn về giải phương trình, hệ phương trình ..................... 66
KẾT LUẬN ............................................................................................ 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 82
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)



DANH MỤC HÌNH VẼ
Tên hình

Trang

1.1

9

1.2

13

1.3

13

1.4

18

1.5

18

1.6

21


1.7

22

2.1

26

2.2

29

2.3

30

2.4

31

2.5

37

2.6

40

2.7


41

2.8

42

2.9

46

2.10

47


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Tốn học về
giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học
tiến lên mạnh mẽ, giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật.
Trong chương trình đổi mới nội dung sách giáo khoa, số phức được đưa
vào chương trình Tốn học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Mục
tiêu chính của việc đưa nội dung số phức vào chương trình mơn tốn ở trường
phổ thơng trung học là hoàn thiện hệ thống số và khai thác một số ứng dụng
khác của số phức trong Đại số, trong Hình học và trong Lượng giác. Một số
bài tốn nếu chỉ xét trong tập số thực, việc tìm ra lời giải sẽ rất phức tạp, khó
khăn. Sử dụng những tính chất riêng biệt của số phức sẽ giúp ta tìm ra cách
giải hiệu quả cho một số dạng toán thường gặp ở bậc phổ thông trung học

đồng thời giúp học sinh khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa được kiến thức cơ
bản, dạng toán quen thuộc, giải quyết được một số bài tốn khó, phức tạp
chưa có thuật tốn.
Tuy nhiên, đối với học sinh bậc phổ thơng trung học thì số phức là một
nội dung còn mới mẻ. Với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được
những kiến thức cịn rất cơ bản của số phức. Vì vậy, việc khai thác các ứng
dụng của số phức như một phương tiện để giải các bài tốn cịn rất hạn chế.
Với mong muốn tổng quan một số kiến thức cơ bản về số phức, tìm hiểu
sâu hơn các ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong chương trình
tốn bậc phổ thơng trung học nhằm đưa số phức trở thành cơng cụ giải tốn và
được sự định hướng của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Số phức
và ứng dụng vào giải tốn phổ thơng trung học” làm đề tài luận văn thạc sĩ của
mình.


2

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức.
- Ứng dụng vào việc giải một số bài tốn của chương trình phổ thơng
trung học, từ đó giúp HS thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong
Tốn học nói chung và trong giải tốn nói riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng số phức như
một cơng cụ để giải tốn, phân loại các dạng bài tốn có thể sử dụng số phức
để giải được và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là số phức, các dạng biểu diễn của số
phức, một số bài toán của chương trình phổ thơng trung học có thể sử dụng số
phức để giải được.

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là ứng dụng của số phức trong việc giải
một số bài tốn của chương trình phổ thơng trung học.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu
liên quan đến số phức và các ứng dụng của nó.
- Trao đổi và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Nâng cao kiến thức, kĩ năng sử dụng công cụ số phức nhằm đưa ra
cách giải hiệu quả cho một số dạng toán thường gặp ở trường phổ thơng trung
học .
- Góp phần phát huy tính tư duy và tự học của học sinh.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận gồm 2 chương:
Chương 1. Giới thiệu về số phức.
Chương 2. Ứng dụng số phức vào giải tốn phổ thơng trung học.


3

CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan về
số phức, lịch sử hình thành khái niệm số phức, các phép toán trên tập hợp số
phức, các dạng biểu diễn của số phức… Các kiến thức trình bày ở đây chủ
yếu được tham khảo tại các tài liệu [1], [4], [6], [9].
1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của
tốn học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo
-1, b -1 , a + b -1 xuất hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các cơng trình của


của các nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số”
(1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” (1572) của R. Bombelli
(1530 – 1572).
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí
hiệu

-1 là lời giải hình thức của phương trình x 2 + 1 = 0 . Xét biểu thức

b -1 là nghiệm hình thức của phương trình x + b = 0 . Khi đó biểu thức tổng
2

qt hơn có dạng a + b -1, b ¹ 0 có thể xem là nghiệm hình thức của phương
trình ( x - a) 2 + b 2 = 0 .
Về sau biểu thức dạng a + b -1, b ¹ 0 xuất hiện trong quá trình giải
phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo”
và sau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là a + ib , trong
đó kí hiệu i = -1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”. Ta
2
có hệ thức i = -1 là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức.


4

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào tốn học mang lại
chính là nhà tốn học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã
định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ơng đã sáng
tạo nên lí thuyết các số “ảo”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Vào
thế kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính
chất của đại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng

hạn L. Euler (1777 – 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho
số phức bất kì (1738), cịn A. Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên
cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Lý thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số
thực có thứ tự (a,b), a Ỵ ¡, b Ỵ ¡ được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là
W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có
thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực.
Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng
một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với
phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng
định rằng trong trường số phức £ mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của
trường mở rộng (đại số) £ của trường số thực ¡ thu được bằng phép ghép
đại số cho ¡ nghiệm i của phương trình x 2 + 1 = 0 .
Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường số
phức £ là một trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của
phương trình đại số trong trường này ta khơng thu được thêm số mới. Nhìn lại
hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái niệm v s
cú th túm tt bi Ơ đ Â đ Ô đ Ă đ Ê vi cỏc bao hm thc:
Ơ đ đÔđ Ă đÊ.


5

1.2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
1.2.1. Xây dựng trường số phức
Giả sử trường £ chứa như một trường con mà phương trình x 2 + 1 = 0
có nghiệm trong nó, khi đó £ phải có một phần tử i để i 2 = -1 . Vì ¡ Ì £
nên £ chứa tất cả các phần tử dạng


a + ib; a, b Ỵ ¡ . Do đó, một cách tự

nhiên ta xét tập £ các cặp số thực (a,b): £ = {(a, b) : a, b Ỵ ¡} .
Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng
£ trở thành một trường chứa ¡ như một trường con (qua phép đồng nhất nào

đó). Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường ¡ với chú ý
i 2 = -1 :

i. Quan hệ bằng nhau: (a, b) = (c, d ) Û a = c, b = d .
ii. Phép cộng: (a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ) .
iii. Phép nhân: (a, b).(c, d ) = (ac - bd , ad + bc) .
Tập hợp £ với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như
trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:
1) £ chứa trong £ như một trường con (qua đồng nhất a Ỵ ¡ với
(a,0) Ỵ£ ).
2) Tồn tại nghiệm của phương trình x 2 + 1 = 0 trong £ .
1.2.2. Định nghĩa
·

Trường £ được xây dựng như trên được gọi là trường số phức.

·

Mọi phần tử của £ được gọi là số phức.

·

Vậy "z Î £ , ta có


z = (a, b) = a.(1,0) + b.(0,1) = a + ib, "a, b Ỵ ¡.

Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó:
a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez.
b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz.


6

·

Số phức liên hợp

Cho z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ , khi đó z = a - ib Ỵ £ được gọi là số phức
liên hợp của số phức z, kí hiệu là z .
1.3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC SỐ PHỨC
1.3.1. Phép cộng
Ta gọi tổng của hai số phức z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 là số phức

z = ( a1 + a2 ) + i (b1 + b2 ) và được kí hiệu là z = z1 + z2 .
1.3.2. Phép trừ
Phép cộng trên có phép tốn ngược, nghĩa là với hai số phức

z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 ta có thể tìm được số phức z sao cho z2 + z = z1 .
Số phức này gọi là hiệu của hai số phức z1 và z2 , kí hiệu là z = z1 - z2 , rõ
ràng từ định nghĩa ta có z = ( a1 - a2 ) + i (b1 - b2 ).
1.3.3. Phép nhân
Ta gọi tích của hai số phức z1 =a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 là số phức z xác
định bởi z = (a1a2 - b1b2 ) + i (a1b2 + b1a2 ).
Và kí hiệu là z = z1 z2 .

1.3.4. Phép chia
Phép toán nhân có phép tốn ngược nếu ít nhất một trong hai số đó
khác khơng. Giả sử z2 ¹ 0 . Khi đó ta có thể tìm được một số phức z = a + ib
sao cho z2 .z = z1 . Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau
ìa a - b2b = a1
:í 2
.
b
a
+
a
b
=
b
2
1
ỵ 2
Vì z2 ¹ 0 nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình
trên ln ln có một lời giải duy nhất. Số phức z có được này gọi là thương
của hai số phức z1 và z2 .


7

a1a2 + b1b2
ì
=
a
ï
a22 + b22

z
ìa2 a - b2b = a1
ï
Giải hệ í
Ûí
. Kí hiệu z = 1 .
z2
ỵb2 a + a2b = b1
ïb = b1a2 - a1b2
ïỵ
a22 + b22
1.3.5. Lũy thừa bậc n của số phức
Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z.
n

Kí hiệu z .
1.3.6. Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai
a. Căn bậc hai của số phức
Cho số phức w, số phức z = a + bi thoả z 2 = w được gọi là căn bậc hai
của w.
Trong trường hợp w là số thực, ta có w = a Ỵ ¡ .
· a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0.
· a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là

a và - a .

· a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là

a .i và –


a .i .

Trong trường hợp w là số phức: w = a + bi (a, bẻ Ê , b ạ 0) v

z = x + yi là một căn bậc hai của w:
ì x2 - y 2 = a
z = w Û ( x + yi ) = a + bi Û í
.
2
xy
=
b
ỵ
2

2

· Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
b. Phương trình bậc hai
+ Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực:

ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0), D = b 2 - 4ac.
§ D ³ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực x1,2 =

-b ± D
.
2a

§ D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức x1,2 =


-b ± | D |.i
.
2a


8

+ Phương trình bậc hai với hệ số phức:

Ax 2 + Bx + C = 0 ( A ¹ 0), D = B 2 - 4 AC ,
§ D = 0: Phng trỡnh cú nghim kộp x =

-B
.
2A

Đ D ạ 0: Phương trình có 2 nghiệm x1,2 =

-B ± d
2A

với d là một căn bậc

hai của D.
1.3.7. Căn bậc n
Số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu w = z . Kí hiệu
n

w= n z.
1.3.8. Định lí

Với các số phức z1 , z2 , z , ta có:

i.

z = z , "z Ỵ ¡ Ì £.

ii.

z = z , "z Ỵ £.

iii.

z1 + z2 = z1 + z2 .

iv.

z.z = a 2 + b 2 ³ 0 (" z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ ).

v.

z1 z2 = z1 z2 . Suy ra: l z = l z , "l Ỵ Ă , "z ẻ Ê.

vi.

ổ z1 ử z1
ỗz ữ= .
ố 2 ø z2

vii.


z + z = 2 Re z = 2a; z - z = 2i Im z = 2ib (" z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ ).

1.3.9. Mơ tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngơn ngữ
số phức
Cho

trước

hai

điểm

M(m),

N(n).

Khi

đó,

độ

dài

đoạn

MN = n - m = d ( m;n ) . Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng AB. Khi đó,
uuur
uuur
điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k Ỵ ¡\ {1} khi và chỉ khi MA = k MB ,



9

a - m = k.( b - m ) trong đó a, b và m là tọa vị các điểm A, B và M theo thứ tự

đó.
Từ đó, nếu kí hiệu [ AB ] là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu (AB) là chỉ
đường thẳng AB, kí hiệu [ AB ) là chỉ tia AB, ta có các kết quả sau
Cho trước hai điểm A ( a ) ,B ( b ) phân biệt và điểm M ( m ) . Khi đó
M Ỵ [ AB ] Û $t ³ 0 : z - m = t.( b - m ) Û $t Ỵ [ 0;1] : m = (1 - t ) a + tb (1)
M Ỵ ( AB ) Û $t Ỵ ¡ : m - a = t.( b - a ) Û $t Ỵ ¡ : m = (1 - t ) a + tb

( 2)

Định lý 1. Cho trước hai điểm A ( a ) ,B ( b ) phân biệt và điểm M ( m ) . Khi đó,
các mệnh đề sau tương đương
· M Ỵ [ AB )
· $t > 0 : m = (1 - t ) a + tb
· arg ( m - a ) = arg ( b - a )
·

m-a
= t Ỵ ¡+
b-a

Từ đó, để ý rằng t = t "t Ỵ ¡ , ta thu được phương trình của đường
thẳng đi qua hai điểm W1 ( w1 ) ,W2 ( w2 ) là

( z - w1 ) .( w2 - w1 ) - ( z - w1 ).( w2 - w1 ) = 0


( 3)

a. Góc giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm
M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) và a k = arg zk ,k = 1, 2 . Khi đó, do
uur uuuur
uuuur uuuur
uur uuuur
Ox,OM 1 + OM 1 ,OM 2 º Ox,OM 2

(
) (
) (
) ( mod 2p ) nên
uuuur uuuur
uur uuuur
uur uuuur
OM
,OM
º
Ox,OM
Ox,OM
(
) (
) (
) ( mod 2p )
1

2


2

1

hay góc định hướng tạo bởi tia OM 1 với tia OM 2
Hình 1.1


10

bằng arg

z2
.
z1

Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt
M k ( zk ) ,k = 1, 2,3, 4 thì góc định hướng tạo bởi đường

thẳng M 1M 3 với M 2 M 4 bằng arg

z4 - z2
.
z3 - z1

Định lý 2. Hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi
c - a c' - a'
=
b - a b' - a'


Và hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi
c - a c' - a'
=
b - a b' - a'

b. Tích vô hướng của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) . Khi đó
uuuur uuuur
·
OM 1 .OM 2 = OM 1 .OM 2 .cosM
1OM 2

Nếu zk có modul bằng rk và có argument bằng a k thì

uuuur uuuur
OM 1 .OM 2 = r1 .r2 .cos (a 2 - a1 ) = r1r2 ( cosa1 cosa 2 + sin a1 sin a 2 )

Do đó

(

1
z1 ; z2 = . z1 .z2 + z1 .z2
2

)

Từ đó suy ra z1 ; z2 = z1 ; z2 và do đó z1 ; z2 Ỵ ¡ . Tích vơ hướng của hai số
phức cũng có tính chất như tích vơ hướng của hai vectơ. Ngoài ra

z1 ; zz2 = z. z1 ; z2 và zz1 ; z2 = z. z1 ; z2 .

Nhận xét: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) . Khi đó
z1 ; z2 bằng phương tích của O với đường trịn đường kính M 1M 2 .

+ Nếu A ( a ) ,B ( b ) ,C ( c ) ,D ( d ) là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức, thì


11

ỉb-
AB ^ CD Û b - a;d - c = 0 Re ỗ
ữ=0
ố d -cứ

c. Cụng thc tớnh din tích tam giác
Diện tích của tam giác ABC định hướng, với các đỉnh
A ( a ) ,B ( b ) ,C ( c ) được tính theo cơng thức
a a 1
i
S= b b 1
4
c c 1
a a 1

Do đó A ( a ) ,B ( b ) ,C ( c ) thẳng hàng khi và chỉ khi b b 1 = 0 .
c

c 1


d. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng

cách

từ

điểm

M ( z0 )

đến

đường

thẳng

D : a .z + a .z + b = 0 bằng
d ( M ,D ) =

a .z0 + a .z0 + b
2 a .a

e. Đường tròn
Đường tròn tâm M 0 ( z0 ) bán kính R là tập hợp những điểm M(z) sao
cho M 0 M = R hay z - z0 = R tức là z z - z0 z - z0 z + z0 z0 - R 2 = 0 .
Từ đó mọi đường trịn đều có phương trình dạng z z + a z + a z + b = 0 , trong
đó
a Ỵ £ , b Ỵ ¡ . Đường trịn này có tâm với tọa vị -a , bán kính R = aa - b .


f. Mơ tả các phép biến hình phẳng bằng ngơn ngữ số phức
Phép dời hình.


12

r

Phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo véc-tơ v = ( v ) là phép biến hình
uuuur

r

biến điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho MM ' = v. Do đó, biểu thức của phép
tịnh tiến là
z' = f ( z ) = z + v

Phép quay. Phép quay tâm M 0 ( z0 ) góc quay a là phép biến hình

(

uuuuur uuuuuur

)

biến M(z) thành điểm M'(z') mà M 0 M = M 0 M ' và M 0 M ;M 0 M ' º a ( mod 2p ) .
Từ đó, biểu thức của phép quay là z' - z0 = ei .a ( z - z0 )
Phép đối xứng trục. Phép đối xứng qua đường thẳng l là phép biến
hình biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho l là trung trực của MM'.
Từ đó

· Phép đối xứng qua trục thực: z' = f ( z ) = z
· Phép đối xứng qua trục ảo: z' = f ( z ) = - z
uur r
uur uuur
uur uuuur
r
· Do 2 Ox; l = Ox;OM + Ox;OM ' ( ở đây l = ( z0 ) ) nên phép đối

(

) (

) (

)

xứng qua đường thẳng l đi qua gốc tọa độ O và điểm z0 = e
z' = f ( z ) = ei.a z .

r

a
i.
2

có biểu thức

Từ đó, nếu D = Tvr ( l ) với v = ( z0 ) thì phép đối xứng qua D có biểu
thức
z' = ei .a z + 2 z0



13

Hình 1.3

Hình 1.2

Phép vị tự.
Phép vị tự tâm C ( z0 ) , tỷ số r Ỵ ¡ * là phép biến hình biến mỗi điểm
uuuur

uuur

M(z) thành điểm M'(z') mà CM ' = r.CM . Do đó, có biểu thức
z' = r.( z - z0 ) + z0 .

g. Điều kiện thẳng hàng, vng góc và cùng nằm trên một đường tròn
Định lý 3. Ba điểm M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) ,M 3 ( z3 ) thẳng hàng khi và chỉ khi
ỉz -z ư
z3 - z1
ẻ Ă * hay Im ỗ 3 1 ữ = 0 .
z2 - z1
è z2 - z1 ø

Định lý 4. Bốn điểm M k ( zk ) ,k = 1, 2,3, 4 cùng nằm trên một đường thẳng hay
đường tròn khi và chỉ khi

z3 - z2 z3 - z4
Ỵ¡

:
z1 - z2 z1 - z4

Hệ quả 1. Bốn điểm M k ( zk ) ,k = 1, 2,3, 4 cùng nằm trên một đường thẳng khi
và chỉ khi

z3 - z2
z -z
Ỵ ¡ và 3 4 Ỵ ¡
z1 - z2
z1 - z4


14

Bốn điểm M k ( zk ) ,k = 1, 2,3, 4 cùng nằm trên một đường tròn khi và
chỉ khi

z3 - z2 z3 - z4
z -z
z -z
:
Ỵ ¡ nhung 3 2 Ï ¡ và 3 4 Ï ¡ .
z1 - z2 z1 - z4
z1 - z2
z1 - z4

h. Tích ngoài của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) . Khi đó
uuuur uuuur uuuur uuuur

·
OM 1 ´ OM 2 = OM 1 . OM 1 .sin M
1OM 2

Nếu zk có modul bằng rk , và có argument bằng a k thì

uuuur uuuur
OM 1 ´ OM 2 = r1r2 .sin (a 2 - a1 ) = r1r2 .( sin a 2cosa1 - cosa 2 sin a1 )

Do đó z1 ´ z2 =

(

)

i
z1 .z2 - z1 .z2 . Từ đó, do
2

z1 ´ z2 = z1 ´ z2

nên suy ra

Im z1 ´ z2 = 0 .

Tích ngồi của hai số phức cũng có các tích chất như tích ngồi của hai véc-tơ
trong mặt phẳng, ngoài ra ( zz1 ) ´ z2 = z.( z1 ´ z2 ) và z1 ´ ( zz2 ) = z.( z1 ´ z2 ) .
1.4. CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
1.4.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp số thực
Mỗi số phức a + bi hoàn tồn được xác định "a; bỴ ¡ gọi là các thành

phần của chúng.
Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự (a; b), ¡ , bỴ ¡ được
gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng
và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:

ìa = c
.
i. Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: (a; b) = (c; d) Û í
b
=
d
ỵ
ii. Phép cộng trong tập số phức: (a; b) + (c; d) := (a +c; b +d) và cặp (a
+ c; b + d) được gọi là tổng của các cặp (a; b) và (c; d) .


15

iii. Phép nhân trong tập số phức: (a; b) (c; d) :=(ac -bd; ad +bc) và cặp
(ac - bd; ad + bc) được gọi là tích của các cặp (a; b) và (c; d).
iv. Số thực trong tập số phức: Cặp (a;0) được đồng nhất với số thực a,
nghĩa là: (a; 0) : = a hay là (a; 0) º a.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ .
Như vậy, mọi phần của định nghĩa số phức đều được phát biểu bằng
ngôn ngữ số thực và các phép toán trên chúng.
1.4.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số
Mọi số phức (a; b) Ỵ ¡ 2 đều được biểu diễn dưới dạng:
(a; b) = (a; 0)+ (b; 0) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi ,
trong đó cặp (0; 1) được ký hiệu bởi chữ i.
Từ tiên đề iii) ta có: i2 = (0;1)(0;1) = (0.0 -1.1; 0.1+1.0) = (-1; 0) = -1.

Biểu thức (a; b) = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức.
Cho số phức z = a + bi ("a;bỴ ¡ 2 ). Khi đó a được gọi là phần thực của số
phức z và kí hiệu là Rez; b được gọi là phần ảo của số phức z và kí hiệu là Imz.
1.4.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(a; b). Mỗi số phức z = a + bi có
thể đặt tương ứng với điểm M(a; b) và ngược lại, mỗi điểm M(a; b) của mặt
phẳng sẽ tương ứng với số phức z = a + bi.
Nhờ phép tương ứng: M(a; b) a a + bi, ta có thể xem các số phức như
là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vectơ với điểm đầu tại gốc tọa độ O(0;
0) và điểm mút tại M(a; b).
Định nghĩa 1.2. Mặt phẳng tọa độ với phép tương ứng đơn trị một một (a; b) a a + bi được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss và
cũng được kí hiệu là £ . Khi đó z = a + bi là một điểm thuộc mặt phẳng đó.


16

Như vậy mặt phẳng ¡ 2 mà các điểm của nó được đồng nhất với các
phần tử của trường £ được gọi là mặt phẳng phức.
Trục hoành của mặt phẳng tọa độ được gọi là trục thực (do các điểm
của nó tương ứng với các số (a; 0) º a Î ¡ ), còn trục tung được gọi là trục ảo
(do các điểm của nó tương ứng với các số thuần ảo (0; b) = bi).
Số phức z = a + bi cũng có thể biểu diễn bởi một vectơ đi từ gốc tọa độ
với các hình chiếu a và b trên các trục tọa độ. Như vậy, vectơ z = a + bi bằng
bán kính vectơ của điểm z.
Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ, các phép
cộng và trừ các số phức được thực hiện theo phép cộng và trừ các vectơ.
1.4.4. Biểu diễn số phức dưới dạng ma trận
Xét tập hợp các ma trận cấp hai dạng đặc biệt trên trường s thc
ỡổ a b ử
ỹ

M := ớỗ
a
;
b
Ă
ẻ
ý
ữ
ợố -b a ứ
ỵ
sao cho trên đó các phép tốn cộng và nhân được thực hiện theo các quy tắc
thông thường của đại số ma trận.
Khi đó mỗi số phức z = a + bi c t tng ng vi ma trn:
ổ a bử
ỗ
ữ
ố -b a ø

Đó là ánh xạ đơn trị một - một. Qua ánh xạ này tồn bộ trường số phức
ỉ a bö
được ánh xạ lên tập hợp M các ma trn dng ỗ
ữ . Ta cú:
ố -b a ứ
ổ a bử ổ c
ỗ
ữ+ỗ
ố -b a ứ ố -d

dử ổ a+c
b+dử

=
ữ ç
÷
c ø è - (b + d ) a + c ứ

ổ a bử ổ c
ỗ
ữ .ỗ
ố -b a ứ è -d

d ư ỉ a.c - bd ad + bc ử
ữ=ỗ
ữ
c ứ ố -(ad + bc) ac - bd ứ


17

ỉ a+c

b+dư

Suy ra ánh xạ đã xây dựng là đẳng cu gia Ê v M vỡ ỗ
ữ
ố -(b + d ) a + c ø
là tương ứng với các số phức: (a + c) + (b + d)i = (a + bi) + (c + di) và ma trận
æ a.c - bd

ad + bc ử


v phi ca ỗ
ữ l tương ứng với các số phức:
è -(ad + bc) ac - bd ø
(ac - bd) + (ad + bc)i = (a + bi)(c + di) .
Từ đó suy ra rằng tổng và tích hai số phức trong £ tương ứng với tổng
và tích các ảnh của chúng trong M.
Đồng thời ta cũng thu được tập hợp M0 các ma trận cp 2 dng
ỡổ a 0 ử
ỹ
Ă
M 0 := ớỗ
a
ẻ
ý
ữ
0
a
ố
ứ
ợ
ỵ
l ng cấu với tập hợp các số thực trong ¡ . Trong phép đẳng cấu này mỗi số
ỉa 0ư

thực a tương ng vi ma trn ỗ
ữ
ố0 aứ

ổa 0ử
T ú cú th ng nht ma trn ỗ

ữ vi s thc a.
ố0 aứ
Nu ta xét một ma trận tùy ý của M thì

ỉ a bử ổa 0ử
ổ 0 1ử
ổ 0 1ử
z =ỗ
=
+
b
ữ ỗ
ữ
ỗ
ữ = a + bj , trong ú: j = ỗ
ữ.
ố -b a ø è 0 a ø
è -1 0 ø
è -1 0 ø
ỉ 0 1 ưỉ 0 1 ư ỉ -1 0 ử
2
Ta cú: j = ỗ
ữỗ
ữ=ỗ
ữ = -1 .
ố -1 0 øè -1 0 ø è 0 -1ø

æ 0 1ử
j
=

T ú, ma trn
ỗ
ữ cú vai trũ nh n v ảo.
è -1 0 ø
1.4.5. Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác và dạng mũ
a. Dạng lượng giác của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Oxy và ta biểu diễn một số
phức z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ bởi một điểm có tọa độ (a,b). Như vậy các số thực


18

sẽ được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi là trục thực, các số
thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó được gọi là trục ảo.
Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a, b), ta đặt
tương ứng với một số phức z = a + ib .

Hình 1.4
Vậy có sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp tất cả các số phức £ với tập hợp
tất cả các điểm của một mặt phẳng.
Vì mỗi điểm có tọa độ (a, b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ
có bán kính véc tơ r = a 2 + b 2 và góc cực tương ứng j . Do đó mỗi số phức
z có thể biểu diễn dưới dạng z = r (cosj + isin j ) . Đây là dạng lượng giác
của số phức, trong đó r, j lần lượt là bán kính cực và góc cực của số phức z.
Bán kính r gọi là modun của số phức z, kí hiệu r = z . Góc cực j gọi là
argument của số phức z, kí hiệu là j = Argz .

Hình 1.5



19

Modun của số phức được xác định một cách duy nhất
z = a 2 + b2 ³ 0 .

Và argument của số phức được xác định với sai khác một bi ca 2p .
b
ỡ
ar
ctg
+ 2kp , (k ẻ Â) khi a > 0
ïï
a
j = Argz = í
.
b
ïarctg + (2k + 1) p , (k ẻ Â) khi a < 0
ùợ
a
b
p p
Với arctg Ỵ [- ; ] là giá trị chính của hàm arctg .
a
2 2
b. Một số tính chất
Cho các số phức z = r (cosj + isin j ) ;
z1 = r1 (cosj1 + isin j1 ) ;
z2 = r2 (cosj2 + isin j2 ).

Ta có các tính chất sau:

1) Nếu z1 º z2 thì modul của chúng trùng nhau và argument của
chúng j1 ; j 2 sai khác nhau một số nguyên lần 2p .
2) Tính chất của modun và argument :
i.

z1.z2 = z1 . z2 ..

ii.

z ³ Re z .

iii.

z ³ Im z .

iv.

z £ Re z + Im z .

v.

z1 + z2 £ z1 + z2 .

vi.

z1 - z2 £ z1 - z2 .

3) Tích của hai số phức: