BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ DIỄM THÚY

MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC
VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trịnh Đào Chiến

Đà Nẵng - Năm 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan:
Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Trịnh Đào Chiến.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Diễm Thúy


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

* p

Nửa chu vi của tam giác.

* S

Diện tích của tam giác.

* R

Bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp của tam giác.

* r

Bán kính đƣờng tròn nội tiếp của tam giác.

* ha , hb , hc Độ dài các đƣờng cao lần lƣợt kẻ từ các đỉnh A, B, C.
* ma , mb , mc Độ dài các đƣờng trung tuyến lần lƣợt kẻ từ các đỉnh A, B, C.
* la , lb , lc

Độ dài các đƣờng phân giác lần lƣợt kẻ từ các đỉnh A, B, C.

* ra , rb , rc

Bán kính của các đƣờng trịn bàng tiếp.

* G

Trọng tâm của tam giác.


* O

Tâm của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác.

* I

Tâm của đƣờng tròn nội tiếp tam giác.

* H

Trực tâm của tam giác.

*

Tập hợp các số tự nhiên.

*

*

*
*

Tập hợp các số tự nhiên khác 0.
Tập hợp các số thực.



Tổng các hốn vị.
Ví dụ:



 f  ab   f  ab   f  bc   f  ca .
 x MA

 x1MA2  x2 MB 2  x3 MC 2 .

a x x

 a 2 x2 x3  b 2 x3 x1  c 2 x1x2 .

2

1

2

2 3

sin nA  sin nA  sin nB  sin nC.
 x PA  x PA  x
1

x

1

1

2


PB  x3 PC.

 x1  x2  x3.

a

a

b

c

b  b  c  a .
*



Tích các hốn vị.
Ví dụ:

  a  b    a  b b  c  c  a  .

 sin A  sin A.sin B.sin C .
sin nA  sin nA.sin nB.sin nC.

 MA  MA.MB.MC .


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1.Tính cấp thiết của đề tài .............................................................................. 1
2. Mục tiêu nghiên cứu .................................................................................. 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.............................................................. 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
5. Bố cục luận văn .......................................................................................... 2
6.Tổng quan tài liệu nghiên cứu..................................................................... 5
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................................... 6
1.1. CÁC KHÁI NIỆM .......................................................................................... 6
1.1.1. Đƣờng đối trung ................................................................................... 6
1.1.2. Điểm Lemoine...................................................................................... 6
1.1.3. Điểm Gergone ...................................................................................... 6
1.1.4. Điểm Nagel .......................................................................................... 7
1.1.5. Điểm Brocard ....................................................................................... 7
1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CỔ ĐIỂN ...................................................................... 8
1.2.1. Định lí hàm số cơsin trong tam giác .................................................... 8
1.2.2. Định lí hàm số sin trong tam giác ........................................................ 8
1.2.3. Công thức trung tuyến của tam giác .................................................... 9
1.2.4. Cơng thức tính diện tích của tam giác ................................................. 9
1.2.5. Định lí Céva ......................................................................................... 9
1.2.6. Một số tính chất.................................................................................. 11
1.2.7. Một số bổ đề ....................................................................................... 15


CHƢƠNG 2. MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC LIÊN QUAN ĐẾN
TAM GIÁC ......................................................................................................... 25
2.1. ĐỒNG NHẤT THỨC JACOBI .................................................................... 26
2.1.1. Đồng nhất thức Jacobi ......................................................................... 26
2.1.2. Các trƣờng hợp đặc biệt của Đồng nhất thức Jacobi ........................... 27

2.2. ĐỒNG NHẤT THỨC LEIBNIZ .................................................................. 42
2.2.1. Đồng nhất thức Leibniz ....................................................................... 42
2.2.2. Một số trƣờng hợp đặc biệt của Đồng nhất thức Leibniz .................... 45
2.3. ĐỒNG NHẤT THỨC LƢỢNG GIÁC ......................................................... 61
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC ĐẠI SỐ ................................. 69
3.1. ĐỒNG NHẤT THỨC NEWTƠN................................................................. 69
3.2. MỘT LỚP ĐỒNG NHẤT THỨC DẠNG PHÂN THỨC ............................ 77
3.2.1. Đa thức nội suy Lagrange .................................................................. 77
3.2.2. Ý nghĩa hình học của cơng thức nội suy Lagrange............................ 78
3.2.3. Các đồng nhất thức cảm sinh từ công thức nội suy Lagrange ........... 79
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 85
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................... 86
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO).


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong chƣơng trình tốn học phổ thơng, đồng nhất thức đóng một vai trị
quan trọng, nó có mặt trong nhiều bài tốn Đại số, Số học, Hình học. Đồng
nhất thức cịn là một trong những cơ sở để hình thành nhiều bất đẳng thức.
Chẳng hạn, với I, G lần lƣợt là tâm của đƣờng tròn nội tiếp, trọng tâm tam
giác ABC, từ đồng nhất thức sau đây

IA2  IB2  IC 2  3IG2  GA2  GB2  GC 2 ,
ta có thể suy ra bất đẳng thức

IA2  IB2  IC 2  GA2  GB2  GC 2 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I  G .

Nhƣ vậy, đôi khi mỗi đồng nhất thức sẽ cảm sinh một bất đẳng thức.
Chứng minh một đồng nhất thức, đôi khi khơng q khó, nhƣng để sáng
tác ra một đồng nhất thức, không phải lúc nào cũng dễ dàng.
Ở mức độ khó hơn, đồng nhất thức cịn xuất hiện trong các đề thi chọn
học sinh giỏi các cấp, ở trong nƣớc, khu vực hoặc cao hơn là các kỳ Olympic
Toán quốc tế.
Do đó, việc nghiên cứu đồng nhất thức một cách có hệ thống, ở một góc
độ nào đó, là rất cần thiết. Luận văn sẽ phần nào đáp ứng nhu cầu này, phù
hợp với chuyên ngành Phƣơng pháp Toán sơ cấp.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Luận văn sẽ đề cập đến một số đồng nhất thức trong chƣơng trình tốn
phổ thơng, đặc biệt đối với hệ Chun Tốn và những ứng dụng của chúng.


2

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu là một số đồng nhất thức trong chƣơng trình tốn
phổ thơng, đặc biệt đối với hệ Chun Tốn.
Phạm vi nghiên cứu thuộc chuyên ngành Phƣơng pháp toán sơ cấp.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Từ các tài liệu sƣu tầm đƣợc, luận văn sẽ đề cập một số đồng nhất thức
thƣờng gặp trong chƣơng trình tốn phổ thơng. Luận văn khơng quá đi sâu
vào lý thuyết về các đồng nhất thức mà áp dụng chúng để giải hoặc sáng tác
một số bài tốn ở phổ thơng, đặc biệt đối với hệ chun Tốn.
5. Bố cục luận văn
Ngồi phần mở đầu và kết luận, luận văn đƣợc chia làm ba chƣơng:
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị
Chƣơng này đề cập những kiến thức cơ sở, chuẩn bị cho nội dung ở các
chƣơng sau và một số kết quả cổ điển liên quan.

Chƣơng 2. Một số đồng nhất thức liên quan đến tam giác
Chƣơng này đề cập đến một số đồng nhất thức liên quan đến tam giác,
trong đó có 2 đồng nhất thức quan trọng trong chƣơng trình tốn phổ thơng,
đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán, là Đồng nhất thức Jacobi và Đồng nhất thức
Leibniz. Một số đồng nhất thức lƣợng giác cũng đƣợc đề cập trong nội dung
tiếp theo của chƣơng.
2.1. Đồng nhất thức Jacobi
Đồng nhất thức Jacobi cho ta một trong những mối liên hệ giữa các
vectơ cảm sinh bởi một điểm M tùy ý nằm trong tam giác ABC cho trƣớc. Cụ
thể nhƣ sau:


3

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Đặt

x

SBMC
S
S
, y  CMA , z  AMB .
S
S
S
Thế thì, ta có

xMA  yMB  zMC  0 .

Đồng nhất thức trên đƣợc gọi là Đồng nhất thức Jacobi.

Đồng nhất thức Jacobi có thể đƣợc xem là một trong những đồng nhất
thức cơ sở của những đồng nhất thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố
về vectơ trong tam giác.
2.2. Đồng nhất thức Leibniz
Đồng nhất thức Leibniz cho ta một trong những mối liên hệ giữa độ dài
các cạnh của tam giác ABC cho trƣớc, với một điểm M tùy ý thuộc mặt phẳng
chứa tam giác ABC. Cụ thể nhƣ sau:
Cho tam giác ABC, BC  a , CA  b , AB  c . Ta biết rằng, với 3 số thực

x1, x2 , x3 sao cho x1  x2  x3  0 luôn tồn tại duy nhất một điểm P thuộc
mp  ABC  sao cho x1 PA  x2 PB  x3 PC  0 . Khi đó, với mọi điểm M thuộc
mp  ABC  , ta có

 x1  x2  x3  MP 2
  x1  x2  x3   x1MA2  x2 MB 2  x3MC 2    a 2 x2 x3  b 2 x3 x1  c 2 x1x2  .
2

Đồng nhất thức trên đƣợc gọi là Đồng nhất thức Leibniz.


4

Đồng nhất thức Leibniz có thể đƣợc xem là một trong những đồng nhất
thức cơ sở của những đồng nhất thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố
về độ dài của tam giác.
2.3. Đồng nhất thức lƣợng giác
Phần này đề cập đến những đồng nhất thức lƣợng giác dạng tổng quát, có
thể đƣợc xem là một trong những đồng nhất thức cơ sở của những đồng nhất
thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố về lƣợng giác trong tam giác.
Chƣơng 3. Một số đồng nhất thức đại số

Chƣơng này đề cập đến một số đồng nhất thức đại số, trong đó có một
đồng nhất thức quan trọng trong chƣơng trình tốn phổ thơng, đặc biệt đối với
hệ Chuyên Toán, là Đồng nhất thức Newton.
Một lớp đồng nhất thức dạng phân thức cũng đƣợc đề cập trong nội dung
tiếp theo của chƣơng.
3.1. Đồng nhất thức Newton
Đồng nhất thức Newton, thực ra đã đƣợc Albert Girard phát hiện từ năm
1629, nhƣng mãi đến năm 1666, Isaac Newton mới có những nghiên cứu sâu
sắc về nó, bằng cách biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm của đa
thức dƣới dạng các hàm đối xứng sơ cấp. Đặc biệt, nó là một cơng cụ hữu
hiệu để tính đƣợc các tổng dạng

x1k  x2k  ...  xn k .
Luận văn trình bày một cách giải cho bài tốn tổng quát liên quan đến
tổng nêu trên. Đây là một đóng góp của luận văn.
Một trong những áp dụng trực tiếp của Đồng nhất thức Newton là sáng
tác ra những đồng nhất thức biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm


5

của đa thức dƣới dạng các hàm đối xứng sơ cấp, từ đó cảm sinh những bất
đẳng thức, có thể dùng trong việc giảng dạy của giáo viên và học tập của học
sinh, đặc biệt đối với hệ Chuyên toán.
3.2. Một lớp đồng nhất thức dạng phân thức
Trong các đồng nhất thức dạng phân thức, đồng nhất thức cảm sinh từ
các tính chất của Đa thức nội suy Lagrange có thể đƣợc coi là đồng nhất thức
cơ sở của nhiều đồng nhất thức dạng phân thức trong chƣơng trình tốn phổ
thơng, đặc biệt là các phƣơng trình đƣờng và phƣơng trình mặt trong hình học
tọa độ. Chẳng hạn, đồng nhất thức sau đây



n
n 
 x j    n x ,


 j
n
 j 1
j 1 
   x j  xi  
 i 1,i  j


trong đó x1, x2 , ... , xn là n số thực khác nhau từng đôi một, n  2 .
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Luận văn đƣợc nghiên cứu dựa trên các tài liệu đƣợc trình bày trong
danh mục tài liệu tham khảo.


6

CHƢƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. CÁC KHÁI NIỆM
1.1.1. Đƣờng đối trung
Trong tam giác ABC , đường đối trung AD là đƣờng đối xứng với
đƣờng trung tuyến AM qua đƣờng phân giác trong AN .

A

B

D

N

C

M

1.1.2. Điểm Lemoine
Trong tam giác ABC , ba đƣờng đối trung của tam giác đồng quy tại một
điểm L , điểm L đó gọi là Điểm Lemoine của tam giác.
A
E
F

L

N

P

C

B
D


M

1.1.3. Điểm Gergone
Cho tam giác ABC với đƣờng tròn nội tiếp tâm I. Tiếp điểm của đƣờng
tròn (I) trên BC, CA, AB lần lƣợt là D, E, F. Khi đó ba đƣờng thẳng AD, BE,
CF đồng quy tại một điểm J, điểm J đó gọi là Điểm Gergone của tam giác.


7

A

F

E
J
I

B

C
D

1.1.4. Điểm Nagel
Cho tam giác ABC. Các đƣờng tròn bàng tiếp tiếp xúc với ba cạnh BC,
CA, AB lần lƣợt tại D, E, F. Khi đó ba đƣờng thẳng AD, BE, CF đồng quy tại
một điểm N, điểm N đó gọi là Điểm Nagel.

A


F

E
N

B

D

C

1.1.5. Điểm Brocard
Trong tam giác ABC có hai điểm Brocard W1, W2 . Các góc 1 , 2 tƣơng
ứng gọi là các góc Brocard.


8

A

1

W1

2

W2
1

2


B

1

2

C

* Điểm Brocard thứ nhất W1 là một điểm xác định ở miền trong tam
giác ABC sao cho các góc W1 AB, W1BC, WCA
bằng nhau và nhận giá trị là
1

1 .
* Điểm Brocard thứ hai W2 là một điểm xác định ở miền trong tam giác
ABC sao cho các góc W2 AC, W2CB, W2 BA bằng nhau và nhận giá trị là 2 .
1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CỔ ĐIỂN
1.2.1. Định lí hàm số cơsin trong tam giác
Trong tam giác ABC với BC  a, CA  b, AB  c , ta có

a 2  b2  c 2  2bc cos A;
b2  c 2  a 2  2ca cos B;
c 2  a 2  b2  2ab cos C.
1.2.2. Định lí hàm số sin trong tam giác
Trong tam giác ABC với BC  a, CA  b, AB  c và R là bán kính
đường trịn ngoại tiếp của tam giác, ta có

a
b

c


 2R .
sin A sin B sin C


9

1.2.3. Công thức trung tuyến của tam giác
Trong tam giác ABC với BC  a, CA  b, AB  c , ta có:
b2  c2 a 2
 ;
2
4
2
2
c  a b2
2
mb 
 ;
2
4
2
2
a  b c2
2
mc 
 .
2

4
ma 2 

1.2.4. Cơng thức tính diện tích của tam giác
1
1
1
S  aha  bhb  chc ;
2
2
2
1
1
1
S  ab sin C  ac sin B  bc sin A ;
2
2
2
abc
S
;
4R
S  pr ;
S

p  p  a  p  b  p  c  .

1.2.5. Định lí Céva
Gọi D, E, F là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC , CA, AB của
tam giác ABC . Khi đó, ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm

khi và chỉ khi
DB EC FA
.
.
 1.
DC EA FB


10

Chứng minh
A

H
F

E
M

B

C
D
K

Phần thuận. Giả sử AD, BE, CF đồng quy tại M .
Kẻ AH / / BE và AH  CF  H ,
kẻ CK / / BE và CK  AD  K .
Trong tam giác CAH có ME / / AH nên


CE CM

.
EA MH
Ta có AHM  KCM nên

CM CK

.
MH HA
Từ đó suy ra

CE CK

.
EA AH
Tƣơng tự

AF AH
BD BM

.
và

BF BM
CD CK


11


Vậy
DB EC FA BM CK AH
.
.

.
.
 1.
DC EA FB CK AH BM

Phần đảo. Giả sử ta có
DB EC FA
.
.
 1.
DC EA FB

Gọi M là giao điểm của AD và BE. Từ M kẻ đƣờng thẳng CC’, với C’
nằm trên cạnh AB.
Khi đó, theo chứng minh ở phần thuận ta có
AC ' BD CE
.
.
 1.
C ' B DC EA

Suy ra
AC ' AF

.

C ' B FB

Do đó C’ trùng F .
Vậy ba đƣờng thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.
1.2.6. Một số tính chất
Cho tam giác ABC và điểm M nằm bên trong tam giác. Gọi D là điểm
nằm trên cạnh BC .
Đặt BC  a, CA  b, AB  c, BD  a1, DC  a2 .
Gọi Sa , Sb , Sc lần lƣợt là diện tích của các tam giác MBC, MCA, MAB .


12

A

M

B

K

H

D

C

a. Tính chất 1
a1
S

= DAB .
a2
SDAC

(1.1)

Chứng minh
Ta có

Do đó

SDAB 

1
1
AK .a1, SDAC  AK .a2 .
2
2
a1 SDAB

.
a2 SDAC

b. Tính chất 2
a1 Sc
 .
a2 S b
a1
Sc


.
a S c  Sb

Chứng minh
Ta có

1
Sc  S ABD  SMBD  a1  AK  MH  ,
2

(1.2)

(1.3)


13

1
Sb  S ADC  SMDC  a2  AK  MH .
2
Suy ra

Sc
a
= 1 .
Sb
a2
Ta lại có

Sb  Sc 


1
1
 a1  a2  AK  MH   a  AK  MH .
2
2

Từ đó suy ra

Sc
a
 1.
S c  Sb a
c. Tính chất 3
MD
Sa

.
MA Sb  Sc

Chứng minh
Ta có

1
Sa  a. MH ,
2
Sb  Sc 
Suy ra

1

1
 a1  a2  AK  MH   a  AK  MH .
2
2

(1.4)


14

Sa
MH
1
1
DM
MD





.
AK
DA
Sc  Sb AK  MH
DA

DM
MA
1

1
MH
DM

Vậy
MD
Sa

.
MA Sb  Sc

d. Tính chất 4
Cho hai điểm A, B phân biệt.
Nếu điểm M nằm trong đoạn AB thì ta có:
MA  

MA
.MB.
MB

(1.5)

Nếu điểm M nằm ngồi đoạn AB thì ta có:
MA 

MA
.MB.
MB

(1.6)


e. Tính chất 5 (Công thức điểm chia)
Cho hai điểm A, B phân biệt và k  1. Gọi M là một điểm nằm trên AB
thỏa mãn MA  k MB . Khi đó với mỗi điểm O ta ln có:
OM 

Chứng minh
Ta có

OA  kOB
.
1 k

(1.7)


15

MA  k MB



 OA  OM  k OB  OM



 1  k  OM  OA  kOB.
Vậy
OM 


OA  kOB
.
1 k

f. Tính chất 6
Cho hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là một điểm thuộc đoạn AB nhưng
khơng trùng với A, B. Khi đó với mỗi điểm O ta ln có:
OM 

MB
MA
.OA 
.OB.
AB
AB

(1.8)

Chứng minh
Thật vậy, từ (1.7) cho k  

OM 

MB
ta có
MA

MB
MA
.OA 

.OB .
AB
AB

Nhận xét. Nếu M là trung điểm của AB thì ta có

1
OM  (OA  OB).
2
1.2.7. Một số bổ đề
Bổ đề 1.1. Gọi D, E, F là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp
tam giác ABC với các cạnh BC, CA, AB. Gọi p là nửa chu vi của tam giác
ABC. Khi đó:


16

AE  AF  p  a;
BF  BD  p  b;
CD  CE  p  c.

(1.9)

Chứng minh
A

p-a

p-a


F

E
p-c

j

p-b

C

Ta có

B

p-b

D

p-c

AF  BD  CE  p  a  p  b  p  c  p.
Suy ra

AF   BD  CD   p,
hay AF  BC  p.
Do đó AF  a  p.
Suy ra AF  p  a.
Vậy AE  AF  p  a.
Tƣơng tự BF  BD  p  b; CD  CE  p  c.

Bổ đề 1.2. Gọi D, E, F là các điểm tiếp xúc của các đường tròn bàng
tiếp với cạnh BC, CA, AB. Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC. Khi đó:
FB  FC  p  a;
DC  FA  p  b;
EA  DB  p  c.

Chứng minh
Ta có

(1.10)


17

FB  DC  AE  p  a  p  b  p  c  p.
Suy ra

FB  (DC  BD)  p,
hay FB  BC  p.
Do đó FB  a  p.
Suy ra FB  p  a.
Vậy FB  EC  p  a.

A
p-b
F
p-a

Tƣơng tự, ta có
B


p-c D

p-c
E
p-a
p-b
C

DC  FA  p  b; EA  DB  p  c.

Bổ đề 1.3. (Tính chất đường trung
tuyến)
Trong tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Gọi P, Q lần lượt là
hình chiếu vng góc của M lên AB, AC. Khi đó,
MQ c
= .
MP
b

Chứng minh

(1.11)


18

A

Q


P

B

M

Ta có SMAB  SMAC nên

Suy ra

C

1
1
c.MP  b.MQ.
2
2

MQ c
= .
MP
b

Bổ đề 1.4. (Tính chất đường đối trung )
Giả sử AD là đường đối trung của đường trung tuyến AM của tam giác
ABC. Khi đó
DB
c2
 2.

DC
b

(1.12)

Chứng minh
A

K
Q

P
H

B

D

M

C

Gọi P, Q lần lƣợt là hình chiếu vng góc của M lên AB, AC.


19

Theo bổ đề 1.3, ta có

MQ c

= .
MP
b

Gọi H, K lần lƣợt là hình chiếu vng góc của D lên AB và AC.
Vì AD là đƣờng đối trung của trung tuyến AM nên BAD  CAM ,

CAD  BAM .
Ta có

AHD AQM nên

DH AD

,
MQ AM

APM

DK AD

.
MP AM

DH DK

MQ MP

Suy ra


hay

DH MQ c

 .
DK MP b

Mặt khác

Vậy

AKD nên

BD BD CM BD CM DH MQ DH MQ c 2

.

.

.

.
 .
CD CD BM BM CD MP DK DK MP b 2

DB
c2
 2.
DC
b


Bổ đề 1.5. (Hệ thức giữa góc nội tiếp và dây cung bị chắn)
Gọi R là bán kính của đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác MBC. Khi đó,

BC  2R.sin BMC
Chứng minh

(1.13)