ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNGăĐẠIăHỌC SƯăPHẠM
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

NGUYỄNăTHỊăLINH

MỐIăLIÊNăHỆăGIỮAăMỘTăSỐ
KHƠNGăGIANăMETRICăSUYăRỘNG

LUẬNăV NăTHẠC SĨăTỐNăHỌC

ĐàăNẵngă- N mă2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ LINH

MỐI LIÊN HỆ GIỮA MỘT SỐ
KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 84 6 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Đà Nẵng - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tơi dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Tác giả
Nguyễn Thị Linh

3


4

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng
dẫn TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực
hiện để tơi có thể hồn thành được luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo đã
tận tình dạy bảo tơi trong suốt thời gian học tập của khóa học.
Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp Toán giải tích
Khóa 34 đã nhiệt tình giúp đỡ tơi trong q trình học tập tại lớp.
Cuối cùng, tơi xin được cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã ln ủng hộ, quan
tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.

Tác giả
Nguyễn Thị Linh



TANG THONG TIN LUAN
. VAN
Ten d� tai: M6i lien M gira m)t s6 khong gian metric SQY r)ng
Nganh: Toan giai tich
Hq va ten hqc vien: Nguy�n Thi Linh
Ngroi hmg din hoa hqc: TS. Luong Qu6c TuyBn
C' S' dao t�o: Truong Dii h9c Su ph�m - )�i hQC Da Ning
Tom tit:
1. Nhng kSt qua chinh :
H� th6ng l�i m)t s6 kiSn thuc ve topo d�i cung.
Tim hiBu va nghien cuu m)t s6 kiSn thuc ve C' S' ySu, sn-m�ng va m6i quan M gira
chung.
Nghien cuu m6i lien M gira khong gian thoa man tien de dSm duqc hr hAt, khong gian
thoa man tien de dSm durc thu hai, khong gian thoa man tien de dSi durc thu nhAt ySu,
khong gian Frechet minh, khong gian Frechet, khong gian day va k-khong gian.
2. Y ngha khoa h9c :
De tai c6 gia tri ve m�t ly thuySt. C6 thB sr dvng lu�n van lam tai li�u tham khao danh cho
nhng nguri dang quan tam dSn mang Ly thuySt khong gian metric suy r)ng.

Nguri thµc hi�n de tai

Luung Qu6c Tuy€n

Nguy€n Thi Linh



5


MỤC LỤC

1

2

Khơng gian topo

9

1.1

Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Các tiên đề tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4


Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5

Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6

Tổng các không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.7

Ánh xạ thương, không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Mối quan hệ giữa một số không gian metric suy rộng

24

2.1

Một số suy rộng của cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


24

2.2

Một số không gian metric suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3

Cái lược dãy và cái quạt dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận

43


6

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Năm 1966 Arhangelskii đã suy rộng khái niệm cơ sở, đưa ra khái niệm cơ sở
yếu và đã thu được nhiều kết quả thú vị (xem [1, 4]). Bằng cách thay cơ sở bởi cơ
sở yếu , K. B. Lee đã suy rộng khái niệm không gian thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ nhất thành không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất yếu và không
gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thành không gian thỏa mãn tiên đề đếm

được thứ hai yếu (xem [2]). Sau đó, bằng cách sử dụng một số tính chất của cơ
sở cũng như tính chất của dãy hội tụ trong không gian metric, người ta đã đưa
ra khái niệm không gian được xác định bởi phủ đếm được theo điểm, k -không
gian, không gian dãy, khơng gian Fréchet, khơng gian Fréchet mạnh (xem [4]).
Ngồi ra, trong [1, 3, 4], các tác giả đã chứng minh rằng
• Mỗi khơng gian metric là khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất;
• Mỗi khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất là không gian thỏa

mãn tiên đề đếm được thứ nhất yếu;
• Mỗi không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất là khơng gian Fréchet

mạnh;
• Mỗi khơng gian Fréchet mạnh là khơng gian Fréchet;
• Mỗi khơng gian Fréchet là khơng gian dãy;
• Mỗi khơng gian dãy là k -khơng gian.

Hơn thế nữa, các tác giả đã cho các ví dụ nhằm chứng tỏ rằng các không gian
được đưa ra ở trên là không tầm thường.


7

Nhằm hiểu rõ những vấn đề được nêu trên, dưới sự định hướng của thầy giáo
TS. Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “Mối
liên hệ giữa một số không gian metric suy rộng” làm đề tài luận văn thạc sỹ.
2. Mục tiêu nghiên cứu
• Hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương.
• Tìm hiểu và nghiên cứu một số kiến thức về cơ sở yếu, sn-mạng và mối quan

hệ giữa chúng.

• Nghiên cứu mối liên hệ giữa không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ

nhất, không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai, không gian thỏa
mãn tiên đề đếm được thứ nhất yếu, không gian Fréchet mạnh, không gian
Fréchet, không gian dãy và k -không gian.
3. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong q trình thực
hiện đề tài.
• Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.
• Thu thập các bài báo khoa học liên quan đến đề tài.
• Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
• Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
4. Đối tượng nghiên cứu

Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, không gian thỏa mãn tiên
đề đếm được thứ hai, không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất yếu,
không gian Fréchet mạnh, không gian Fréchet, không gian dãy và k -không gian.
5. Phạm vi nghiên cứu


8

Mối liên hệ giữa không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, không gian
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai, không gian thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ nhất yếu, không gian Fréchet mạnh, không gian Fréchet, khơng gian dãy và
k -khơng gian.
6. Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, là một tài liệu tham khảo dành cho những

người đang quan tâm đến mảng Lý thuyết không gian metric suy rộng.


9

CHƯƠNG 1
KHƠNG GIAN TOPO

Trong chương này, trước tiên chúng tơi trình bày lại một số khái niệm và tính
chất cơ bản của topo đại cương. Sau đó, chúng tơi chứng minh chi tiết một số
kết quả về không gian con, không gian thương và không gian được xác định bởi
phủ nhằm phục vụ cho việc chứng minh chương 2. Nội dung chính của chương
này được lấy từ [1]. Ngồi ra trong tồn bộ luận văn này chúng tơi quy ước thêm
rằng N = {1, 2, 3, . . . , }, ω = {0, 1, 2, 3, . . . }.

1.1

Một số khái niệm và tính chất cơ bản

1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp và τ là họ gồm các tập con nào đó của
X thỏa mãn các điều kiện sau.
(a) ∅, X ∈ τ ;
(b) Nếu U , V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ ;
(c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , thì

Uα ∈ τ .
α∈Λ

Khi đó,
(1) τ được gọi là một topo trên X.

(2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo.
(3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.


10
(4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.
1.1.2 Nhận xét. Đối với khơng gian topo (X, τ ), ta có
(1) ∅, X là các tập hợp mở.
(2) Giao hữu hạn các tập hợp mở là tập hợp mở. Tuy nhiên, giao tùy ý các

tập hợp mở có thể khơng mở.
(3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là tập hợp mở.
1.1.3 Định nghĩa. Cho A là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, tập con
U của X được gọi là một lân cận của tập A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho
A ⊂ V ⊂ U.

Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt, nếu A = {x},
thì ta nói rằng U là lân cận của x.
1.1.4 Nhận xét. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó,

(1) Lân cận của một điểm khơng nhất thiết là một tập mở, nhưng mỗi tập
mở bất kỳ là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
(2) Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của x. Tuy nhiên,
giao tùy ý các lân cận của x có thể khơng là lân cận của x.
(3) U ∈ τ khi và chỉ khi với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận V của x sao cho
x ∈ V ⊂ U,

khi và chỉ khi U là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
1.1.5 Định nghĩa. Tập con A của không gian topo (X, τ ) được gọi là tập hợp


đóng trong X nếu X\A ∈ τ .
1.1.6 Nhận xét.

(1) ∅, X là các tập hợp đóng.

(2) Hợp hữu hạn các tập hợp đóng là tập hợp đóng. Tuy nhiên, hợp tùy ý

các tập hợp đóng có thể khơng đóng.


11
(3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là tập hợp đóng.
1.1.7 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của khơng gian topo (X, τ ). Khi đó,

(1) Phần trong của A là hợp của tất cả các tập con mở nằm trong A. Ta ký
hiệu IntA.
(2) Bao đóng của A là giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A. Ta
ký hiệu A.
1.1.8 Nhận xét. Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó,

các khẳng định sau là đúng.
(1) IntA là tập con mở lớn nhất nằm trong A;
(2) A mở khi và chỉ khi IntA = A;
(3) Nếu A ⊂ B , thì IntA ⊂ IntB;
(4) A là tập con đóng nhỏ nhất chứa A;
(5) A đóng khi và chỉ khi A = A;
(6) Nếu A ⊂ B , thì A ⊂ B .
1.1.9 Định nghĩa. Không gian topo (X, τ ) được gọi là khả metric nếu trên X tồn

tại metric d sao cho τ chính là topo được sinh bởi metric d.


1.2

Các tiên đề tách

1.2.1 Định nghĩa. Cho không gian topo (X, τ ). Khi đó,
(1) X được gọi là T1 -khơng gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x = y , tồn tại các

lân cận U của x và V của y sao cho x ∈
/ V và y ∈
/ U.
(2) X được gọi là T2 -không gian hay không gian Hausdorff nếu với mọi x,
y ∈ X mà x = y , tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.


12
(3) X được gọi là khơng gian chính quy nếu với mọi tập hợp đóng F ⊂ X và

với mọi x ∈
/ F , tồn tại các lân cận U của x và V của F sao cho U ∩ V = ∅.
(4) X được gọi là T3 -không gian nếu nó là T1 -khơng gian và chính quy.
(5) X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu với E , F là các tập con đóng

trong X sao cho E ∩ F = ∅, tồn tại các lân cận U của E , V của F sao cho
U ∩ V = ∅.
(6) X được gọi là T4 -không gian nếu nó là T1 -khơng gian và chuẩn tắc.
1.2.2 Định lí. Đối với khơng gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là đúng.
(1) X là T1 -không gian khi và chỉ khi tập một điểm {x} là đóng trong X với

mọi x ∈ X.

(2) X là T3 -không gian khi và chỉ khi với mọi x ∈ X và với mọi lân cận U

của x, tồn tại lân cận V của x sao cho
x ∈ V ⊂ V ⊂ U.
(3) X là T4 -không gian khi và chỉ khi với mọi tập con đóng F trong X và với

mọi lân cận U của F , tồn tại lân cận V của F sao cho
F ⊂ V ⊂ V ⊂ U.
1.2.3 Nhận xét. Đối với không gian topo (X, τ ), ta có
T4 -khơng gian =⇒ T3 -khơng gian =⇒ T2 -không gian =⇒ T1 -không gian.

Tuy nhiên, chiều ngược lại nói chung khơng đúng.

1.3

Khơng gian compact

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ) và U là họ

gồm các tập con nào đó của X . Khi đó,


13
(1) U được gọi là một phủ của A nếu A ⊂

{U : U ∈ U}.

(2) V được gọi là phủ con của U phủ A nếu V ⊂ U và V phủ A.
(3) Một phủ U của A được gọi là phủ mở của A nếu mỗi phần tử của U là


mở trong X.
1.3.2 Định nghĩa. Giả sử K là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, K

được gọi là tập con compact trong X nếu mỗi phủ mở của K , tồn tại phủ con
hữu hạn. Nếu K = X , thì ta nói rằng X là không gian compact.
1.3.3 Nhận xét. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là đúng.
(1) Hợp hữu hạn các tập con compact là tập con compact.
(2) Mỗi tập con đóng của khơng gian compact là tập compact.
(3) Nếu X là T2 -không gian, thì mỗi tập con compact của X đều đóng.

1.4

Ánh xạ liên tục

1.4.1 Định nghĩa. Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không gian topo (X, τ )

vào không gian topo (Y, σ). Khi đó,
(1) f được gọi là ánh xạ liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận V của
f (x0 ) trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho f (U ) ⊂ V.
(2) f gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu f liên tục tại mọi điểm của X.
1.4.2 Định lí. Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không gian topo (X, τ ) vào

khơng gian (Y, σ). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
(1) f liên tục;
(2) Tạo ảnh của mỗi tập hợp mở trong Y là một tập hợp mở trong X;
(3) Tạo ảnh của mỗi tập hợp đóng trong Y là một tập hợp đóng trong X;


14
(4) f (A) ⊂ f (A) với mọi A ⊂ X;

(5) f −1 (B) ⊂ f −1 (B) với mọi B ⊂ Y ;
(6) f −1 (IntB) ⊂ Intf −1 (B) với mọi B ⊂ Y.
1.4.3 Định lí. Giả sử X , Y , Z là các không gian topo và
f :X →Y; g :Y →Z

là các ánh xạ liên tục. Khi đó,
h=g◦f :X →Z

cũng là một ánh xạ liên tục.
1.4.4 Định lí. Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào

khơng gian topo Y . Khi đó, nếu K là tập con compact trong X , thì f (K) là tập
con compact trong Y .
1.4.5 Định nghĩa. Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ không gian topo X vào

khơng gian topo Y . Khi đó,
(1) f được gọi là một ánh xạ mở nếu f (A) là tập hợp mở trong Y với mọi

tập hợp mở A trong X.
(2) f được gọi là một ánh xạ đóng nếu f (A) là tập hợp đóng trong Y với mọi

tập hợp đóng A trong X.
(3) f được gọi là một phép đồng phôi nếu f là một song ánh đồng thời f và
f −1 đều là các ánh xạ liên tục.
1.4.6 Định lí. Nếu f : X → Y là một song ánh liên tục từ không gian topo X lên

khơng gian topo Y , thì các khẳng định sau là tương đương.
(1) f là một phép đồng phôi;
(2) f là một ánh xạ mở;



15
(3) f là một ánh xạ đóng.
1.4.7 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Ta nói dãy {xn } hội tụ

đến x trong X nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại N ∈ N∗ sao cho
xn ∈ U với mọi n ≥ N .
1.4.8 Bổ đề. Giả sử X, Y là hai không gian topo, f : X → Y là ánh xạ liên tục,
xn → x trong X . Khi đó,

(1) Nếu X là T2 -khơng gian, thì x duy nhất;
(2) f (xn ) → f (x) trong Y .
Chứng minh. (1) Giả sử ngược lại rằng {xn } cũng hội tụ đến y với y = x. Khi
đó, vì X là T2 -không gian nên tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho
U ∩ V = ∅.

Mặt khác, vì xn → x trong X nên tồn tại n1 ∈ N∗ sao cho
xn ∈ U với mọi n ≥ n1 .

Hơn nữa, vì xn → y trong X nên tồn tại n1 ∈ N∗ sao cho
xn ∈ V với mọi n ≥ n2 .

Nếu ta lấy n > max{n1 , n2 }, thì xn ∈ U ∩ V , đây là một mâu thuẫn.
(2) Giả sử W là lân cận của f (x). Khi đó, vì f liên tục nên tồn tại lân cận V
của x trong X sao cho f (V ) ⊂ W . Mặt khác, vì V là lân cận của x, xn → x nên
tồn tại N ∈ N∗ sao cho
xn ∈ V với mọi n ≥ N .

Điều này suy ra rằng
f (xn ) ∈ f (V ) ⊂ W với mọi n ≥ N.


Như vậy, f (xn ) → f (x) trong Y .


16

1.5

Không gian con

1.5.1 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là khơng gian topo, F ⊂ X. Khi đó,
τF = {V ∩ F : V ∈ τ }

là một topo trên F. Ta nói rằng (F, τF ) là khơng gian con của (X, τ ).
1.5.2 Nhận xét. Giả sử (F, τF ) là không gian con của (X, τ ), U ⊂ F và {xn } ⊂ F.

Khi đó,
(1) U mở trong (F, τF ) ⇐⇒ tồn tại V mở trong X sao cho U = F ∩ V ;
(2) U là lân cận của x trong F ⇐⇒ tồn tại lân cận V của x trong X sao cho
U =F ∩V;
(3) xn → x trong F ⇐⇒ xn → x trong X.

Chứng minh. (1) Suy trực tiếp từ định nghĩa.
(2) Ta có
U là lân cận của x trong F ⇐⇒ tồn tại W ∈ τF sao cho x ∈ W ⊂ U,
⇐⇒ tồn tại A ∈ τ sao cho x ∈ W = F ∩ A ⊂ U,
⇐⇒ tồn tại V = X \ (F \ U ) sao cho
x ∈ A ⊂ V, U = F ∩ V.
(3) Giả sử {xn } ⊂ X. Khi đó,
♣ Giả sử xn → x trong F và U là lân cận của x trong X. Khi đó, U ∩ F là lân


cận của x trong F. Bởi vì xn → x trong F nên tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn ∈ U ∩ F ⊂ U với mọi n ≥ n0 .

Như vậy, xn → x trong X.
♣ Giả sử xn → x trong X và U là lân cận của x trong F. Khi đó, tồn tại lân

cận V của x trong X sao cho U = V ∩ F. Bởi vì xn → x trong X nên tồn tại n0 ∈ N
sao cho xn ∈ V với mọi n ≥ n0 . Điều này kéo theo rằng


17
xn ∈ V ∩ F = U với mọi n ≥ n0 .

Như vậy, xn → x trong F.
1.5.3 Định lí. Giả sử (F, τF ) là khơng gian con của (X, τ ), E ⊂ F. Khi đó,
(1) E đóng trong F khi và chỉ khi tồn tại tập con đóng A trong X sao cho
E = A ∩ F;
F

(2) E = E ∩ F.

Chứng minh. (1) Ta có
E đóng trong F ⇐⇒ F \ E ∈ τF ,
⇐⇒ tồn tại V ∈ τ sao cho F \ E = V ∩ F,
⇐⇒ E = (X \ V ) ∩ F, trong đó X \ V đóng trong X.
(2) Ta có
E = ∩ {A : A đóng trong F, E ⊂ A}
F


= ∩ {B ∩ F : B đóng trong X, E ⊂ B}
=F ∩

∩ {B : B đóng trong X, E ⊂ B}

=F ∩ E.

Như vậy, định lí được chứng minh.

1.6

Tổng các không gian topo

1.6.1 Định nghĩa. Giả sử P là họ nào đó gồm các tập con của khơng gian topo
(X, τ ). Ta nói rằng X được xác định bởi P nếu với G ⊂ X, ta có
G mở trong X ⇐⇒ G ∩ P mở trong P với mọi P ∈ P.
1.6.2 Nhận xét.

(1) Nếu G mở trong X, thì G ∩ P là mở trong P với mọi

P ∈ P. Như vậy, để chứng minh X được xác định bởi P, ta chỉ cần

chứng tỏ rằng


18

Nếu G ∩ P mở trong P với mọi P ∈ P, thì G mở trong X.
(2) Khơng gian X được xác định bởi P ⇐⇒ với tập con G ⊂ X là đóng nếu
G ∩ P đóng trong P với mọi P ∈ P.


Chứng minh. (1) Hiển nhiên.
(2) ♣ Điều kiện cần. Giả sử X được xác định bởi P và G ⊂ X thỏa mãn G ∩ P

đóng trong P với mọi P ∈ P. Ta chứng minh rằng G đóng trong X. Thật vậy, giả
sử P ∈ P. Khi đó, vì G ∩ P là đóng trong P nên P \ (G ∩ P ) là mở trong P. Như
vậy, từ đẳng thức
(X \ G) ∩ P = P \ (G ∩ P )

ta suy ra rằng (X \ G) ∩ P là mở trong P. Nhờ giả thiết ta suy ra X \ G mở trong
X, kéo theo G đóng trong X.
♣ Điều kiện đủ. Giả sử rằng với mọi F ⊂ X sao cho F ∩ P đóng trong P với

mọi P ∈ P, ta đều có F đóng trong X. Ta chứng minh rằng X được xác định bởi
P. Thật vậy, giả sử G ⊂ X sao cho G ∩ P mở trong P với mọi P ∈ P. Khi đó,
P \ (G ∩ P ) là đóng trong P với mọi P ∈ P. Như vậy, từ đẳng thức
(X \ G) ∩ P = P \ (G ∩ P )

ta suy ra rằng (X \ G) ∩ P là đóng trong P với mọi P ∈ P. Nhờ giả thiết điều
kiện đủ ta suy ra rằng X \ G đóng trong X, kéo theo G mở trong X.
1.6.3 Định nghĩa. Giả sử {(Xα , τα )}α∈Λ là một họ gồm các không gian topo
(Xα , τα ) thỏa mãn
Xα ∩ Xβ = ∅ với mọi α = β,
Xα và τ là một topo nào đó trên X. Khi đó, (X, τ ) được gọi là tổng topo

X=
α∈Λ

của các không gian topo Xα nếu nó được xác định bởi phủ {Xα : α ∈ Λ}. Lúc
này, ta ký hiệu

X=

Xα .
α∈Λ

Đặc biệt, nếu Λ hữu hạn, thì ta ký hiệu X = X1

X2

···

Xn .


19
1.6.4 Nhận xét.

(1) G mở trong X ⇐⇒ G ∩ Xα mở trong Xα với mọi α ∈ Λ;

(2) G đóng trong X ⇐⇒ G ∩ Xα đóng trong Xα với mọi α ∈ Λ;
(3) τα ⊂ τ với mọi α ∈ Λ.
1.6.5 Định lí. Giả sử rằng i ∈ {1, 2, 3, 4}. Khi đó, tổng topo của các Ti -không gian

là Ti -không gian.
Chứng minh. Giả sử {(Xα , τα }α∈Λ là các Ti -không gian rời nhau. Khi đó,
♣ Trường hợp i = 1. Giả sử x, y ∈ X sao cho x = y. Ta có
• Nếu tồn tại α ∈ Λ sao cho x, y ∈ Xα , thì do Xα là T1 -khơng gian nên tồn tại
U , V ∈ τα sao cho x ∈
/ V và y ∈
/ U. Theo Nhận xét 1.6.4 ta suy ra U, V ∈ τ.

• Nếu tồn tại α, β ∈ Λ sao cho α = β và x ∈ Xα , y ∈ Xβ , thì nhờ Nhận xét

1.6.4 ta suy ra Xα là lân cận của x và Xβ là lân cận của y rời nhau sao cho
X α ∩ X β = ∅.
♣ Trường hợp i = 2. Giả sử x, y ∈ X sao cho x = y. Ta có
• Nếu tồn tại α ∈ Λ sao cho x, y ∈ Xα , thì do Xα là T2 -không gian nên tồn tại
U , V ∈ τα sao cho U ∩ V = ∅. Theo Nhận xét 1.6.4 ta suy ra U, V ∈ τ.
• Nếu tồn tại α, β ∈ Λ sao cho α = β và x ∈ Xα , y ∈ Xβ , thì nhờ Nhận xét

1.6.4 ta suy ra Xα là lân cận của x và Xβ là lân cận của y rời nhau sao cho
X α ∩ X β = ∅.
♣ Trường hợp i = 3. Ta chỉ cần chứng minh rằng X là khơng gian chính quy.

Thật vậy, giả sử x ∈ X và F là tập con đóng trong X sao cho x ∈
/ F. Khi đó, vì
x ∈ X nên tồn tại α ∈ Λ sao cho x ∈ Xα . Mặt khác, vì F ∩ Xα đóng trong Xα nên

tồn tại lân cận mở U của x và W của F ∩ Xα trong Xα sao cho U ∩ W = ∅. Bây
giờ, nếu ta đặt
V =W∪

Xβ ,
β=α


20

thì V là lân cận của F và U ∩ V = ∅.
♣ Trường hợp i = 4. Ta chỉ cần chứng minh X là không gian chuẩn tắc. Thật


vậy, giả sử E, F là các tập con đóng rời nhau trong X. Ta đặt
Γ = {α ∈ Λ : E ∩ Xα = ∅, F ∩ Xα = ∅};
ΓE = {α ∈ Λ : E ∩ Xα = ∅}; ΓF = {α ∈ Λ : F ∩ Xα = ∅}.

Khi đó, với mỗi α ∈ Γ, E ∩ Xα và F ∩ Xα là hai tập con đóng khác rỗng rời nhau
trong Xα . Mặt khác, vì Xα là không gian chuẩn tắc nên tồn tại các lân cận mở
rời nhau Uα của E ∩ Xα và Vα của F ∩ Xα trong Xα . Bây giờ, nếu ta đặt
Uα ∪

U=
α∈Γ

Vα ∪

Xα ; V =
α∈ΓE

α∈Γ

Xα ,
α∈ΓF

thì U là lân cận của E và V là lân cận của F trong X và U ∩ V = ∅.

1.7

Ánh xạ thương, khơng gian thương

1.7.1 Định nghĩa. Một tồn ánh f : X → Y từ không gian topo X lên không


gian topo Y được gọi là ánh xạ thương nếu
U mở trong Y ⇐⇒ f −1 (U ) mở trong X.
1.7.2 Nhận xét. Ánh xạ thương f : X → Y là ánh xạ thương khi và chỉ khi
F đóng trong Y ⇐⇒ f −1 (F ) đóng trong X .

Chứng minh. ♣ Điều kiện cần. Giả sử f là ánh xạ thương và F ⊂ Y. Khi đó,
F đóng trong Y ⇐⇒ Y \ F mở trong Y
⇐⇒ f −1 (Y \ F ) = X \ f −1 (F ) mở trong X
⇐⇒ f −1 (F ) đóng trong X.
♣ Điều kiện đủ. Giả sử rằng với mọi tập con F ⊂ X, ta có F đóng trong Y

khi và chỉ khi f −1 (F ) đóng trong X và U ⊂ Y. Khi đó,
U mở trong Y ⇐⇒ Y \ U đóng trong Y
⇐⇒ f −1 (Y \ U ) = X \ f −1 (U ) đóng trong X
⇐⇒ f −1 (U ) mở trong X.


21

Như vậy, f là ánh xạ thương.
1.7.3 Bổ đề. Giả sử f : X → Y là ánh xạ thương và X được xác định bởi P. Khi

đó, Y được xác định bởi f (P).
Chứng minh. Giả sử U là tập con trong Y sao cho U ∩ f (P ) mở trong f (P ) với
mọi P ∈ P. Ta chứng minh U mở trong Y. Thật vậy, với mọi P ∈ P, vì f là ánh
xạ liên tục và U ∩ f (P ) mở trong f (P ) nên
f

f −1 f (P )


: f −1 f (P ) → f (P )

liên tục và f −1 U ∩ f (P ) mở trong f −1 f (P ) . Do đó, ta suy ra
f −1 (U ) ∩ f −1 f (P )

mở trong f −1 f (P ) . Mặt khác, vì P ⊂ f −1 f (P ) nên
f −1 (U ) ∩ P = f −1 (U ) ∩ f −1 f (P ) ∩ P

là tập hợp mở trong P. Bởi vì X được xác định bởi P nên f −1 (U ) mở trong X.
Cuối cùng, vì f là ánh xạ thương nên U mở trong Y.
1.7.4 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, X ∗ là một phân hoạch

của X. Ký hiệu x∗ là phần tử của X ∗ chứa x, X ∗ = x∗ : x ∈ X , và
π : X → X∗
x → π(x) = x∗ .

Khi đó,
(1) π được gọi là một phép chiếu tự nhiên.
(2) Topo τ ∗ mạnh nhất trên X ∗ sao cho π liên tục được gọi là topo thương.
(3) (X ∗ , τ ∗ ) được gọi là không gian thương, π được gọi là ánh xạ thương.
1.7.5 Mệnh đề. τ ∗ = {G ⊂ X ∗ : π −1 (G) ∈ τ }.


22

Chứng minh. Đặt B = {G ⊂ X ∗ : π −1 (G) ∈ τ }.
Đầu tiên ta cần chứng minh B là một topo trên X ∗ .
• π −1 (∅) = ∅ ∈ τ nên ∅ ∈ B
π −1 (X ∗ ) = X ∈ τ nên X ∗ ∈ B
• Giả sử U, V ∈ B nên π −1 (U ∩ V ) = π −1 (U ) ∩ π −1 (V ) ∈ τ


Suy ra U ∩ V ∈ τ kéo theo U ∩ V ∈ B
• Giả sử {Uα }α∈Λ ⊂ B nên π −1 (
α∈Λ

Suy ra

π −1 (Uα ) ∈ τ

Uα ) =
α∈Λ

Uα ∈ B
α∈Λ

Tiếp theo ta chứng rằng ánh xạ π : (X, τ ) → (X ∗ , B) liên tục. Thật vậy, giả sử
W là tập mở trong (X ∗ , B) nên W ∈ B . Do đó, π −1 (W ) ∈ τ nên π −1 (W ) là tập mở

trong (X, τ ). Như vậy, π là một ánh xạ liên tục.
♣ B ⊂ τ ∗.

Thật vậy, vì B là một topo trên X ∗ sao cho π : (X, τ ) → (X ∗ , B) liên tục, và
τ ∗ là topo mạnh nhất trên X ∗ sao cho π liên tục nên B ⊂ τ ∗ .
♣ τ ∗ ⊂ B.

Giả sử G ∈ τ ∗ , khi đó vì π liên tục nên π −1 (G) ∈ τ, kéo theo G ∈ B. Như vậy,
τ ∗ ⊂ B.
1.7.6 Nhận xét.

(1) U mở trong X ∗ ⇐⇒ π −1 (U ) mở trong X;


(2) F đóng trong X ∗ ⇐⇒ π −1 (F ) đóng trong X.

Chứng minh. (1) Suy trực tiếp từ định nghĩa.
(2) Ta có
F đóng trong X ∗ ⇐⇒ X ∗ \ F ∈ τ ∗
⇐⇒ π −1 (X ∗ \ F ) = X \ π −1 (F ) ∈ τ
⇐⇒ π −1 (F ) đóng trong X.

Như vậy, nhận xét được chứng minh.


23
1.7.7 Định lí. Nếu π : (X, τ ) → (X ∗ , B) liên tục mở hoặc đóng, thì B = τ ∗ .

Chứng minh. Ta có
• B ⊂ τ ∗.

Thật vậy, vì π : (X, τ ) → (X ∗ , B) liên tục và τ ∗ là topo mạnh nhất trên X ∗
sao cho π liên tục nên B ⊂ τ ∗ .
• τ ∗ ⊂ B.

Giả sử V ∈ τ ∗ . Khi đó, theo Mệnh đề 1.7.5, π −1 (V ) ∈ τ . Mặt khác, vì π là
tồn ánh và mở nên
V = π π −1 (V ) ∈ B.

Như vậy, định lí được chứng minh.
1.7.8 Định lí. f : (X ∗ , τ ∗ ) → (Y, σ) liên tục ⇐⇒ f ◦ π : (X, τ ) → (Y, σ) liên tục.

Chứng minh. ♣ Điều kiện cần. Giả sử f liên tục. Khi đó, vì π là ánh xạ liên tục

nên ta suy ra rằng f ◦ π liên tục.
♣ Điều kiện đủ. Giả sử U ∈ σ. Khi đó, vì f ◦ π liên tục nên
π −1 [f −1 (U )] = (f ◦ π)−1 (U ) ∈ τ.

Mặt khác, theo Mệnh đề 1.7.5 ta suy ra f −1 (U ) ∈ τ ∗ .